ISSN-L ISSN (Painettu) ISSN (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ISSN-L 0782-6648 ISSN 0782-6648 (Painettu) ISSN 1798-9744 (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden"

Transkriptio

1

2 ISSN-L ISSN (Painettu) ISSN (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry. Saatavissa: Toimituksen sähköpostiosoite:

3

4

5 MAA YO K2013 ja symbolinen laskin Ratkaisut laati JuLe/LYLL Tämä tutkielma on tehty, jotta selviäisi, mikä merkitys symbolisella laskimella on pitkän matematiikan yo- tehtävien ratkaisussa tällä hetkellä. Tulos on yllättävä, ellei peräti järkyttävä. Jopa 9 tehtävistä ratkeaa suoraan laskimen avulla ilman, että laskija joutuu tekemään juurikaan omia johtopäätöksiä. Mihin on matematiikan opetus menossa? Lopussa on kommentteja aiheeseen liittyen. Ratkaisut on tehty TI nspire CX CAS laskimella, suomenkielinen käyttöjärjestelmä, vain perustoiminnot käytössä. Tehtävistä laskettu vain ne, joista selviää ilman suurempaa ajattelutoimintaa, kunhan laskimen käyttö on hallinnassa. Panu Ruoste, rehtori Lohjan Yhteislyseon lukio Ratkaisut MA yo K2013: 1. a) (x 4) 2 = (x 4)(x + 4) Laskin Solve x = 4 b) 3 5 x 7 10 < 2 x Laskin Solve 15 x < c) Suoran pisteet ovat (1,7) ja (2,4). Suoran yhtälö on y = 3x +10. x- akselin leikkauspiste on (3,33;0). Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0! Tarkka leikkauspiste saadaan yhtälöstä 0 = 3x +10 Laskin Solve x = Leikkauspiste on 3,0. 1

6 2. a) f (x) = sin 3x f π 9 = 3 2 Laskin Derivointi b) a = 4i + j 7k b = 2i 3j 5k a b = 2i + 4j 2k Laskin Vektoritoiminto a b = 2 6 Laskin Vektorin pituus 1 c) cosα = cos sin 1 4 = 15 4 Laskin. Harmillisesti cosmerkki menee vahingossa oikein cos 3. a) a = 1 b a +b = 2 2 a = ( 3 2) b = tai a = b = ( 3 2) Laskin Solve ( a + b) 2 = 6 molemmissa tapauksissa. Laskin 1 b) x 3 + y x 1 3 x 1 3 y 3 + y 2 3 = x + y, x, y > 0 Laskin (Domain-toiminto ei osaa kertoa määrittelyjoukkoa oikein). 4. Tehtävässä joutuu tekemään aluksi päätelmiä. Ei onnistu suoraan laskimella. Tehtävä on siis hyvin onnistunut. Tosin alkupäättelyn jälkeen lopputulos saadaan suoraan laskimesta. 5. f (x) = (x 2 x 5) e x, x 0 Suurin arvo on f(4) = 7e 4 ( 0,128) Pienin arvo on f (0) = 5 Laskin Fmax Laskin Fmin 2

7 6. Toistokoe, toistoja 12 kpl, P(O) = 0,33 ja P(B) = 0,17. a) Onnistumisia 0, 1, 2,, 9 kpl, onnistumisen tn p = 0,33 P(korkeintaan 9 O-ryhmäläistä) = p 0 + p 1 + p p 9 = 0, ,9995 b) Onnistumisia 3 tai 4 kpl, onnistumisen tn p = 0,17. P(3 tai 4 B-ryhmäläistä) = p 3 + p 4 = 0, ,295 (a ja b kohdissa laskimen BinomPdf- toiminto, laskijan ei tarvitse ymmärtää, miten binomitodennäköisyys lasketaan) 7. Tehtävä on hyvin onnistunut, koska laskimella ei saa sitä suoraan laskettua ainakaan palikkatoiminnoilla. Laskujen osalta yksinkertainen, mutta kuitenkin haastava. y 8. a) 1 = 12x 3 36x y 2 = 12x x Käyrien leikkauspisteet ovat ( 3, 216), (0, 0) ja (2, 24). Laskin Solve 0 b) A = (y 1 y 2 )dx + (y 2 y 1 )dx = 253 Laskin Laskimen kuvaajasta päätelty käyrien järjestys. 9. Laskin ei osaa ratkaista yhtälöä tarkasti, eikä myöskään kerro jaksoja. Pyörittelemällä yhtälö polynomiyhtälöksi laskin antaa tarkat arvot, muttei jaksoja. Vihjaa kyllä niistä. Tehtävän ratkaiseminen vaatii laskijalta omaa ajatustoimintaa. 10. Tehtävä on hyvä, mutta vaativa. Vaatii laskijalta ihan ikiomaa ajattelua ja ymmärrystä. 11. Jono ln 2, ln(2 x 2), ln(2 x + 2) on aritmeettinen, kun peräkkäisten termien erotus on vakio: (d =) ln(2 x 2) ln 2 = ln(2 x + 2) ln(2 x 2) Laskin Solve x = ln 6 ln 2 3

8 12. y = cosx, π 2 < x < π 2 a) A(t) = 2 t cost, 0 < t < π 2 Tämä pitää keksiä ihan itse, mutta onneksi on todella selvä kuva tehtävänannossa b) A (t) = 2cost 2t sint, 0 < t < π 2 Laskin Derivaatan nollakohta saadaan haarukoimalla: A on jatkuva ja A (0,861) sekä A (0,859) ovat eri merkkiset, joten nollakohta löytyy 2 desimaalin tarkkuudella näiden t:n arvojen välistä: t 0,86 Laskimen Solvella tämäkin on tietysti todellisuudessa etsitty. c) A(t) = 2 t cost, 0 < t < π, maksimiarvo on 2 A(0,860334) = 1, ,1 Laskin FMax 13. Tehtävä on melko helppo, b- kohdan perustelut vaativat hieman pohdintaa. Hyvä tehtävä, ei suju laskimella suoraan ainakaan perustoiminnoilla. 14. P(x) = x 2 + x 2 a) P(x) = (x 1)(x + 2) Laskin Factor 1 b) P(x) = A x 1 + B x P(x) = 1 3(x 1) 1 3(x + 2) 1 P(x) = 1 3 x x + 2 Laskin Expand eli "Laajenna". Pitäisi tietysti olla "Sievennä". joten A = 1 3 ja B =

9 ln x c) P(x) dx x 1 = +C = ln x + 2 +C, x 2, C x 1 Laskin 1 d) P(x) dx = 2ln Laskin 15. Vaatii omaa ajattelua. Ei suju laskimella suoraa näppäilemällä, kuten suurin osa tehtävistä. Hyvä ja vaativa tehtävä. Kommentteja liittyen symbolisen laskimen käyttöön lukiomatematiikassa Onko tämä nyt sitten matematiikkaa? Pitkän matematiikan yo- kokeessa peräti 9 tehtävää voi laskea suoraan laskimella käyttämättä hiukkaakaan omaa päätään. Ainoa, mitä vaaditaan on yksinkertainen nappulatekniikka ja laskimen mukana tulleen 40- sivuisen suomenkielisen ohjeen sivujen 2-29 muutamien esimerkkien harjoittelu jossain opiskelun lomassa. Mikäli koetilanteessa aivan kaikki ei muistu mieleen, niin laskin kyllä auliisti opastaa, ja ihan halutulla kielellä, myös suomeksi. Jos lisänä on pieni päättelykyky, voi helposti täydentää tehtävien ratkaisut sellaisiksi, että niistä saa ihan reilusti pisteitäkin. Kokeen maksimipistemäärä on 66. Edellä olevista 9 tehtävästä on mahdollista saada 57 pistettä laskimen avustuksella. Haloo! Miten toteutuu opiskelijoiden tasavertainen kohtelu? Osalla opiskelijoista on tällainen menestyksen mahdollistama laskin. Osa heistä jopa on opetellut sitä käyttämään. Muilla ei tällaista luvallista lunttausmenetelmää ole, syynä esimerkiksi taloudelliset seikat, tekniikkapelko, opettajan esimerkki/asenne tms. Mikäli taas yo- tehtävät laaditaan niin, että estetään laskimen suora käyttö (vertaa edellä tehtävät 4, 7, 9, 10, 13 ja 15), niistä tulee samalla aivan liian vaativia suurimmalle osalle laskijoista. Jos laskimen on tarkoitus olla apuväline ja opiskelijan on määrä itse tuottaa oleelliset välivaiheet tehtävänsä ratkaisuun, niin heti tulee mieleen kaksi ongelmaa: Laskimen avustuksella nuo välivaiheet on kohtuullisen helppo arpoa, kun on jo suuntaviivat selvitetty muutamalla näppäimen painalluksella. Osa laskimista pystyy jopa antamaan vaadittavat välivaiheet. Toiseksi, onko kohtuullista jättää opiskelijan pääteltäväksi, mitkä ovat kulloinkin vaadittavat oleelliset välivaiheet? Eiväthän sitä nykyisin tiedä opettajakaan, kun aiheeseen liittyviä kattavia ohjeita ei ole eikä sellaisia varmasti voi ollakaan olemassa. Ei niitä ainakaan kukaan osaa aukottomasti soveltaa. Lukion matematiikan opiskelijoilla on nykyisin suuria vaikeuksia aivan peruslaskutoimituksissa: murtoluvut, yhtälön ja epäyhtälön ratkaisu, yhdistetyn funktion derivointi jne. Hyvin harva osaa esimerkiksi jakaa luvun toisella käyttäen ala- asteella opittua ja sittemmin laskimen rutiininomaisen käytön takia täysin unohdettua jakokulmaa. Samoin tulee laskimen myötä käymään hyvin monelle muullekin aivan oleelliselle perusmatematiikan 5

10 osa- alueelle. Jos kuvitelmissa on, että laskimen avustuksella laskurutiineihin ennen kulunut aika voidaan käyttää itse ongelmien ratkaisuun, niin tämä on täyttä puppua. Laskimen myötä nimittäin katoaa myös kyky ratkoa niitä ongelmia, koska matemaattinen ajattelutaito surkastuu ja muuttuu laitteistoriippuvuudeksi. Jo nyt monelle ylivoimainen lausekkeiden sieventäminen tulee olemaan katoavien taitojen listan kärkipäässä. Laskimen myötä tulee yleistymään vastauskeskeinen matemaattisten ongelmien ratkaisumalli: tärkeintä on lopputulos eikä se, miten siihen päädytään. Matemaattisen ymmärryksen ja loogisen päättelyn kehittymisen kannalta kuitenkin paljon tärkeämpää on ymmärtää ongelman luonne ja siihen liittyvä matemaattinen problematiikka. Vastaus tulee sitten siinä sivutuotteena ja kylkiäisenä tulee aimo annos rutiinia ja kykyä selviytyä uusista vastaantulevista haasteista. Ja jos ymmärryksen löytymisen jälkeen vastaus on vähän pielessä, niin korjaaminen on pikku juttu, jos matemaattinen perusta on kunnossa. Pikaisena korjausliikkeenä olisi syytä harkita sitä, että osa pitkän matematiikan kursseista suoritetaan ilman minkään tyypin laskimen apua. Valitsemalla tehtävien ja harjoitusten lukuarvot sopivasti, voi ratkaisuista selvitä ilman teknisiä apuneuvoja. Jos laskimettomuus aiheuttaa hankaluuksia, niin sitten otettakoon käyttöön aivan perusmallin funktiolaskimet, jotka esimerkiksi koulu voisi hankkia yo- kirjoituksia varten. Kustannukset ovat alle 10 euroa laskimelta, joten kenenkään talous ei tähän kaadu. Jotta itse matematiikan osaaminen korostuisi, voisi myös matematiikan ylioppilaskirjoituksista suorittaa esimerkiksi alkuosan ilman laskinta. Kun puolet kokeesta on selvitetty, palautetaan alkupään tehtävät ja noudetaan uudet sekä tarvittava laskin. Nykyinen symbolisen laskimen käyttö johtaa siihen, että opiskelija tehtävää ratkaistessaan kysyy ensin oikeat vastaukset laskimelta ja sen jälkeen naamioi laskun näyttämään siltä, että hän on itse selvittänyt ongelman. Onko tässä tarkoitus huijata opiskelijaa itseään, koetehtävän korjaajaa vai kansainvälisiä osaamistutkimuksia tekevää suurta maailmaa? Lopputuloksena tulee joka tapauksessa olemaan se, että jo nykyisellään heikko matemaattinen osaaminen vähenee entisestään. Jos se on tavoite, niin sitten ollaan oikealla tiellä. Lohjan Yhteislyseon lukio matemaattisten aineiden lehtorit FL Jukka Lehtonen FM Sari Korte FM Erkki Mustonen FM Tapio Nygren FM Samuli Heikinaho FT Sara Lehtovuori FM Olavi Nurmi FM Esa Ritvanen Lisätietoja: Jukka Lehtonen 6

11 edimensio 2013 Julkaistu (muokattu ) Sivu 1(2) Hyödyllinen matematiikka ei saa tehdä mahalaskua - Huomioita pakkolaskuraportista Opetushallitus järjesti kuudennen perusopetuksen päättövaiheen matematiikan oppimistulosten arvioinnin keväällä Arviointikokeeseen osallistui oppilasta 169 koulusta. Raportin tiivistelmässä huomio kiinnittyy kahteen huolestuttavaan seikkaan. 1) Kun vertailuna käytetään aiemmissa 9. vuosiluokan arvioinneissa mukana olleita tehtäviä, voidaan todeta, että osaamisen taso on heikentynyt kaikilla matematiikan osa-alueilla. Tähän kaikista huolestuttavimpaan asiaan raportin lopussa suositellaan opetusryhmien järjestämistä siten, että kaikilla oppilailla on mahdollisuus saada opettajan ohjausta. Miten tämä toteutuu käytännössä, kun inkluusion edetessä opetusryhmät ovat yhä heterogeenisempia ja liian suuri osa opettajan ajasta menee heikoimpien ohjaukseen. Siis matematiikassa mennään heikoimpien ehdoilla. Lisäksi opettajien työtä vaikeuttavat nykykasvatuksen puutteet. Tapakasvatus on heikentynyt eivätkä läheskään kaikki lapset osaa käyttäytyä oppimistilanteen vaatimalla tavalla. Ei pystytä istumaan hiljaa ja keskittymään opetukseen. Varsinkin ryhmäkuuntelun taito on rapistunut. Ei ryhdytä työhön ilman erillistä henkilökohtaista kehotusta tai ohjausta. Jo muutamakin tällainen oppilas vie opettajan ajan siten, että vain perusasioita ehditään oppia eikä syventäviin tehtäviin päästä lainkaan. Matematiikassa keskilahjakkaat ja lahjakkaatkin oppilaat tarvitsevat opettajan ohjausta innostuakseen ja jaksaakseen uurastaa vaativimpien tehtävien parissa. Toisena erittäin kannatettavana keinona suositellaan tukiopetuksen antamista kaikille sitä tarvitseville. Tukiopetuksen tulee kuitenkin olla satunnaista, sillä oppilaan koulupäiviä ei voi pysyvästi pidentää. Erityinen tai tehostettu tuki vaatii onnistuakseen erityisjärjestelyjä joko klinikkamuotoista tai resurssiopettajaa, jotta se olisi laadultaan ja määrältään lapsen kehitystason sekä yksilöllisten tarpeiden mukaista. Jos koululta vaaditaan täysin heterogeenistä ryhmitystä matematiikan opetuksessa, niin silloin mennään kunkin ryhmän ns. matemaattisen osaamisen keskitason mukaan. Jos opetus pitkään ylittää ryhmän enemmistön tason, niin työrauha loppuu eikä oppimista tapahdu.

12 edimensio 2013 Julkaistu (muokattu ) Sivu 2(2) Näissä oloissa hyödyllinen pakkolaskukin kokee mahalaskun, sillä inkluusion tuomat säästöt on jo hyödynnetty eikä kuntien nykyisessä taloustilanteessa tukiopetukseen tarkoitetut määrärahat ainakaan kasva. 2) Myös opettajan kelpoisuudella on merkitystä koulujen välisiin eroihin. Jos koulussa toimi opettajana muodollisesti kelpoinen aineenopettaja, arviointimenestys oli keskimäärin parempaa ja koulujen väliset vaihtelut pienempiä verrattuna kouluihin, joissa opettaja ei ollut muodollisesti kelpoinen. Raportin suositukset ovat erittäin kannatettavia. On syytä muistaa, että opetusjärjestelyjä tehtäessä ensisijaisesti tulee ottaa huomioon oppiaan oikeus kelpoisen opettajan opetukseen. Opettajien kelpoisuustasoa voidaan nostaa helpoimmin lisäämällä luokanopettajien koulutukseen matematiikan perusopintoja muutama kurssi. Tarvittaessa alemmilla luokilla voidaan käyttää aineenopettajia varsinkin matematiikassa. Lisäksi peruskoulun ylemmillä luokilla koulutuksen ylläpitäjiltä tulee edellyttää, että vain ko. aineeseen kelpoiset opettajat myös opettavat ns. omia aineitaan eikä kikkailla lehtoreiden esim. matemaattisten aineiden virkanimikkeillä, kun tutkinnot tehdään kahden aineen pätevyyksillä. Koska koulussa toimiva muodollisesti kelpoinen aineenopettaja takaa oppilaan arviointimenestyksen, niin on kaikin tavoin pyrittävä käyttämään kelpoisia opettajia opintojen mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Lisäksi kelpoisen opettajan käyttäminen takaa oppilaan oikeusturvan koulujen välisissä vaatimustasoissa eikä kirjava arvosanojen antamiskäytänne vaaranna oikeudenmukaisuuden toteutumista jatko-opintoihin hakeuduttaessa. Kaikki voitava ja vaikka vanhatkin keinot on otettava käyttöön, jotta oppilaiden matematiikan osaamisen taso ei pääse entisestään laskemaan ja tekemään kuuluisaa mahalaskua. Koko raportti löytyy osoitteesta Raportin loppuun on koottu 11 erinomaista suositusta matematiikan opetuksen kehittämiseksi, joihin kannattaa tutustua. Aune Toivanen MAOL:n edunvalvontatoimikunnan jäsen

13

14 Ikäheimo, Hannele. KYMPPI-kirja. Opperi, Helsinki 2012, 206 sivua. Kymmenjärjestelmä on perusopetuksen matematiikan keskeisiä kulmakiviä. Sen vaikutus ulottuu paljon laajemmalle kuin yksittäisten lukujen lukemiseen tai kirjoittamiseen: lukuihin ja laskutoimituksiin, päässä laskemiseen, laskutoimitusalgoritmeihin, yksikönmuunnoksiin, kymmenpotensseihin, muihin lukujärjestelmiin. Kuitenkin monet oppilaat jäävät kiinni juuri näissä tehtävissä, vaikka asiaa opetetaan alkuopetuksesta lähtien kaikilla perusopetuksen alaluokilla. KYMPPI-kirja perustuu pitkäaikaiseen kokemukseen. Siihen huipentuu tekijän elämäntyö, joka alkoi matematiikan oppimisvaikeuksien tutkijana ja matematiikan erityisopetukseen erikoistuvien opettajien kouluttajana Jyväskylässä 1970-luvulla. Myöhemmin hän on opettanut lapsia, nuoria ja aikuisia sekä Ruotsissa että Helsingissä, tuottanut oppi- ja arviointimateriaaleja sekä kouluttanut opettajia. Opetusmenetelmiä ja harjoitteita on siis kokeiltu ja kehitetty kymmeniä vuosia. Ja nyt ne on koottu yksiin kansiin. Eikä teksti koostu vain opettamisen kuvailusta ja toimintamateriaalin käyttöohjeista, vaan mukana on lähes kolme tuntia videoituja opetustilanteita. Ne johdattavat katsojan suoraan oppimisen äärelle seuraamaan, miten yksityiskohtaista, järjestelmällistä ja rauhallista oppimisen tulisi olla, jos todella halutaan varmistua siitä, että asiat opitaan ymmärtäen. Jo otsikoista saa hyvän käsityksen siitä, miten aihetta lähestytään: matematiikan osaamisesta ja taitojen kartoittamisesta, mikä ihmeen kymmenjärjestelmä, oppilaiden käsityksiä kymmenjärjestelmästä, kymmenjärjestelmän opetus konkreettisesti, lukujen vertailua, lukujonoja, mittaamista ja yksikönmuunnoksia, algoritmien konkretisointia jne jne. Videoihin liittyy paljon filmattujen opetustilanteiden ulkopuolelle ulottuvaa pedagogista ohjeistusta. Kirjassa on myös ohjeet, miten voidaan varmistua siitä, että asia on opittu, harjoitteluun tarkoitettuja piirtojunnauksia sekä opetustilanteisiin liittyviä materiaalipohjia. Opetuksen perusideana on konkreettisten toimintavälineiden käyttö oppimisen apuna ja tukena. Keskeisin on tietysti kymmenjärjestelmävälineistö. Sen käyttö ei suinkaan rajoitu luonnollisiin lukuihin, vaan myös desimaalilukujen opettamiseen, monen oppijan kompastuskiven kiertämiseen, on oma lisämateriaalinsa. Niiden avulla abstraktien sääntöjen opettelun varassa etenevä puurtaminen muuttuu peliksi tai jopa leikiksi, joka luo ymmärtämistä ja mieleenpalauttamista helpottavia mielikuvia. Tekijän monipuolinen kokemus takaa sen, että kirjan teksti ei ole kuivan asiallista, vaan että siihen sisältyy myös hellyttäviä kokemuksia vuosien varrelta. "Minä näin sen luvun miljoona neljäsataakuusikymmentätuhatta", kertoi neljäsluokkalainen. Sellaisen luvun näkemiseen tarvitaan jo miljoonakuutio, jota ei ole kymmenjärjestelmävälineissä, mutta jonka voi rakentaa styroxista tai rimoista. Jos tällainen kuutio tuntuu liian kovalta, terävältä ja pelottavalta, niin lukuja voi havainnollistaa pehmeämpiäkin mielikuvia tuottavilla välineillä kuten helminauhoilla. Eräs Julkaistu edimensiossa

15 tällainen opetustilanne päättyi siihen, että tyttö kokosi tuhatnauhan päänsä päälle, tarkasteli tulosta peilistä ja totesi: "Ei pelota tuhat enää". Kirjan erityinen ansio on se, että opettaminen ei rajoitu vain yhden välineistön käyttöön. Kymmenjärjestelmävälineiden ohella sijansa saavat sormet, värinapit, helmet, munakennot, tikkuniput, värisauvat, opetusrahat, mittapyörät, helmitaulut, pikalukukortit, hajotelmaruudukot, päässälaskupohjat. Onpa liitteenä luettelot matematiikan opetuksen välineistä luokille 1 3 ja 4 6 sekä erityis- ja tukiopetukseen yläasteella ja ammattiopinnoissa. Alaluokkien ja erityisopetuksen korostaminen välineluettelojen otsikoinnissa kummastuttaa aineopettajalukijaa, sillä monet välineistä ovat erinomaisia apuneuvoja perusopetuksen yläluokkien ja vielä lukionkin luokkaopetuksessa. Varsinkin kun välineet eivät ole tavoite, vaan keino. Kirja sisältää ohjeita siitä, miten siirrytään välineistä laskustrategioihin ja matematiikan symbolimerkintöjen käyttöön. Yksi ymmärtämistä tukevista silloista on toiminnan selittäminen suullisesti välineiden käytön aikana. Lausekkeiden muodostamiseen voidaan johdatella jo alkuopetuksessa laskuketjuja muodostamalla, esimerkiksi = 46. Kirja on ulkoasultaan miellyttävä. Tukevat kannet ja A4-kokoiset sivut on kiinnitetty kapealta sivulta kierrejousella. Kirja avautuu siis kokonaan, mikä on kätevää sekä opetustilanteessa että materiaalipohjia kopioitaessa. Varsinainen tekstiosa on taitettu vaakasivuille kaksipalstaiseksi ja kopioitavaksi tarkoitettu materiaali yleensä pystysivuille. Havainnollista ja selkeää piirroskuvitusta on runsaasti. Nimestään huolimatta kirja sisältää niin paljon yksityiskohtia niin monesta asiasta, että kokonaiskuvaa ei voi saada kuin itse siihen tutustumalla. Jonkinlaista esimakua siitä, mitä on odotettavissa saa lukemalla Opperin verkkosivuja, esimerkiksi Tietoa KYMPPI-kirjasta. Osoitteessa Miksi kirjoitin KYMPPI-kirjan. Osoitteessa Kuinka KYMPPI-filmit tehtiin. Osoitteessa Hannu Korhonen Julkaistu edimensiossa

16 Ikäheimo, Hannele. KYMPPI-kartoitus. Opperi, Helsinki 2012, 110 sivua. Hyvästäkin opetuksesta huolimatta opittuun saattaa jäädä puutteita ja väärinymmärryksiä. Usein ne aiheuttavat kasautuvia vaikeuksia jatkossa. Siksi tarvitaan välineitä, joilla voidaan selvittää, mitä keneltäkin on jäänyt oppimatta, jotta tilanne voitaisiin korjata. Keskeiseen matematiikan kohtaan paneutuva arviointiväline on kymmenjärjestelmän hallinnan kartoitus. Sen on osa laajaa oppimateriaalikokonaisuutta, johon kuuluvat kymmenjärjestelmävälineistö, opettajan opas KYMPPIkirja ja sen mukana toimitettavat opetusta yksityiskohtaisesti kuvaavat KYMPPI-filmit. KYMPPI-kartoitus sisältää luonnollisten lukujen ja desimaalilukujan käsitteisiin liittyviä tehtäviä, laskutoimituksia ja yksikönmuunnoksia. Ne ovat kaikki alaluokkien matematiikan keskeisiä sisältöjä. Mittariosa muodostuu kahdesta kokeesta. Ensimmäinen on tarkoitettu tehtäväksi toisella tai kolmannella luokalla ja toinen neljännellä tai viidennellä luokalla. Jälkimmäisellä luokalla oppilaiden pitäisi suoriutua virheettömästi kaikista tehtävistä, sillä ne sisältävät niin keskeisiä asioita, että pienetkin puutteet haittaavat tulevaa oppimista. Tulosta tarkastellaan yksityiskohtaisesti ja yksittäiseen virheeseen suhtaudutaan vakavasti riippumatta kokonaispistemäärästä. Kokeen suorittamisessa ei ole aikarajaa, mutta ajankäyttöön kiinnitetään huomiota. Hitaus voi nimittäin olla osoitus siitä, että laskutoimitusten hallinta on niin heikkoa, että laskut selviävät vain sormia apuna käyttäen tai luettelemalla lukuja yksitellen. Sekin osoittaa korjaavien toimien tarvetta. Kirja ei kuitenkaan ole ensisijaisesti testauksen väline, vaan pääosassa on korjaava opetus. Tämä näkyy jo sivumääristä. Vain vähän enemmän kuin viidesosa sivuista käsittelee kokeita. Loput ovat korjaavan opetuksen ohjeita ja harjoitusmateriaalia. Ne ovat samantapaisia ja samaan tapaan jaoteltuja tehtäviä kuin varsinaiset koetehtävätkin. Mukana on luonnollisesti ohjeet opettajallekin. Erityinen osa harjoitusmateriaalia ovat junnauskokeet. Oppilaalle ne ovat harjoituksia muiden harjoitusten joukossa. Opettajalle niiden merkitys on paljon suurempi. Ne antavat tietoa oppilaiden käyttämistä laskustrategioista. Kokeille on määritelty tavoiteaika. Sitä seurataan esimerkiksi niin, että määräajan kuluttua vaihdetaan lyijykynä värikynäksi. Tavoiteajan ylittäminen osoittaa useimmiten laskustrategioiden puutteita. Opetuksessa opetetaan sitten uusia strategioita ja vahvistetaan entisiä. Useat tehtävät on tarkoitettu tehtäviksi konkreettisten välineiden avulla. Junnauskokeisiin on myös vastaukset ja ryhmäkohtaiset tuloslomakkeet. Varsinaisiin KYMPPI-kokeisiin on myös sähköinen tuloslomake Excel-muodossa Opperin verkkosivuilla. Siellä on myös lisätietoa KYMPPI-kartoituksesta: Julkaistu edimensiossa

17 Kokkola, R. Ansku ja Armas ynnä Matikkatäti. Keminmaa: Nordbooks 2013, 104 sivua. Alli on veeveeäm (ei veeveeämmä) eli Valtakunnan Virallinen Matikkatäti (ei kalatäti). Ritva Kokkola on englanninopettaja ja kirjailija, aikaisemmin matematiikan stigmatisoima humanisti. Ansku ja Armas ovat kymmenvuotiaat kaksoset, Ansku kymmenen minuuttia eli 600 sekuntia veljeään vanhempi, Armas kirjan kertoja. Kirja on Kokkolan kolmas lastenkirja. Aloitteen teki Matikkatäti, mutta matematiikasta kirjoittaminen vei kirjailijan mukanaan. Näin hän kuvailee kokemustaan OULUMAn verkkosivulla: " minun matematiikkani on satua. kirmaan Keminmaan Luma-päivän vieraaksi kuin vasikka kesälaitumelle. Olen ilosanoman tuoja, valaistunut, vastaherännyt. Olen kuin rakastunut koulutyttö. Muistutan raha-automaattien turvakoodeista, vihjaan pikavippien korkoansoihin. Näytän aanelosen kokoista piin symbolia ja yllytän opettelemaan sen desimaaleja Kehotan kertaamaan kertotaulua. Saarnaan laskimen petollisuudesta. Paasaan prosenttilaskuista. Painotan päässälaskua. pakotan päättelykyvyn takaisin kunniapaikalleen. matematiikka kuuluu kaikille, myös naisille ja kieltenopettajille. Kirjoitin sadun ja pääsin stigmasta. Olen iloinen ja ihmeissäni. Enää en sano hyvästejä matematiikalle. en enää pelkää." Kirjan päähenkilöt Ansku ja Armas joutuvat mukaan samalla tavalla kuin kirjailijakin joutui: Matikkatäti ottaa yhteyttä. "Matikkatädin tukka oli niskassa nutturalla, jota piti kasassa kaksi harppia. Päässä hänellä oli hattu, jonka koristeena sojotti eri pituisia ja eri värisiä viivaimia. Lippana oli kolmioviivain eli suorakulma. Matikkatädin sukat olivat keltaiset. Kenkiä oli kummassakin jalassa yksi. Toisessa punainen ja siniset nauhat, toisessa jalassa sininen kenkä ja punaiset nauhat." Ensin Matikkatäti opetti lapset käyttämään konetta, joka heillä on aina mukanaan eli aivoja. Sitten he rupesivat tosissaan tekemään matematiikasta leikkiä. Matka matematiikkaan alkoi oppitunneilla, joilla opeteltiin vaikeita sanoja kuten "luku" ja "numero". Sitten Anskusta ja Armaasta tehtiin matematiikkalähettiläitä, jotka ryhtyivät värväämään päiväkotilapsia uusiksi matikkatädeiksi ja -sediksi. Matka jatkui sirkukseen, jonka ohjelmassa oli muun muassa aivoakrobatiaa, matematiikkamagiaa ja lukujen lumoa. Ja sellainen on matematiikan ihmeellinen maailma, että murtoluvut, jakolasku ja prosentit sopivat hyvin sirkusesityksen innostaviksi aiheiksi. "Lisää, lapset

18 huusivat eivätkä tarkoittaneet jäätelöä." Ja sitä tuli: kertotaulua, keskiarvoja, pellehyppyjä ja matemaattisia taikatemppuja. Eikä aikaakaan, kun Anskun ja Armaan kotikaupunki julistetaan matematiikkakaupungiksi. Eikä ilosanoman levittäminen siihen jää. Lapset ryhtyvät lentelemään ympäri Suomea ja levittämään iloa ja ymmärrystä matematiikkatempuillaan. Samalla kaupunginjohtaja miettii mahdollisuuksia laajentaa matematiikkavientiä ympäri maapallon. Sen pituinen se. Matikkatäti seuraa lasten mukana koko seikkailun ajan. Ehkä hän on opastanut kirjailijaakin. Muuten on vaikea ymmärtää, että humanisti olipa hän kuinka innostunut ja matematiikkaan rakastunut käännynnäinen tahansa olisi löytänyt kohteikseen murtolukujen omenamalleja ja palindromilukuja puhumattakaan kolminumeroisista luvuista, joiden ensimmäisen ja viimeisen numeron erotus on vähintään kaksi. Alussa kirja tuntuu aikuisesta lukijasta turhankin opettavaiselta, kun Armas pohtii ruotsinkielen tervehdyksiä ja Matikkatäti selittää sanojen merkityksiä. Se sallittakoon, sillä ei kirja ole aikuisille tarkoitettukaan. Vauhti kiihtyy kuitenkin, kun tapahtumien puitteet laajenevat oman pään sisältä sirkustelttaan ja kotimaan rajojen ylitsekin. Ei ihme, että Ansku ja Armas -kirjoja luetaan ääneen kouluissa. Tätä kirjaa parempaa matematiikan puolestapuhujaa on vaikea löytää. Erityistä uskottavuutta tuo se, että puhujana ei ole matemaatikko eikä matematiikanopettaja, vaan täysverinen humanisti. Kirjan voit hankkia suoraan kustantajalta ja monista verkkokaupoista. Hannu Korhonen

19 Sympsionics. Geometristen kappaleiden piirtäminen. Geometristen kuvien värittäminen. Platonin kappaleiden rakentaminen. Järvenpää: Deltaspektri Harvoin opaskirjoista tulee niin hykerryttävän hyvälle mielelle kuin Deltaspektrin kolmesta geometriaoppaasta. Kirjaset ovat pieniä, paksuinkin vain kuusikymmensivuinen, mutta jo niiden katseleminen on nautittavaa. Vahva osoitus matematiikan ulkoisesta kauneudesta. Aihepiirin valinta osoittaa tekijöiltä myös matematiikan sisäisen kauneuden tajua. Kohteina ovat nimittäin Platonin monitahokkaat, Keplerin monitahokastähdet ja monet muut monitahokkaat, joita kaikkia koulumatematiikka ei edes tunne. Nykyisenä tieto- ja viestintätekniikan valtakautena on rauhoittavaa ja turvallista nähdä, että käsintekemisen taito ja tahto eivät ole kadonneet. Siihen kirjat opastavat lukijoitaankin. Kappaleiden piirtämiseen, värittämiseen ja rakentamiseen on huolelliset ohjeet. Kokonaisuuden kannalta taitava ratkaisu on ollut esittää kukin asia omassa kirjasessaan. Se tekee mahdolliseksi syventyä yhteen asiaan kerrallaan. Piirtämisohjeet on mietitty tarkkaan. Dodekaedrin piirtämiseen tarvitaan vain kaksi samankeskistä kultaisen leikkauksen suhteessa piirrettyä ympyrää ja kummankin kehän jakaminen kymmeneen yhtä suureen osaan, mikä voidaan tehdä käsin piirrettäessä astelevyn ja tietokoneohjelmassa kehän pisteen kiertämisen avulla. Sitten vain yhdistellään jakopisteitä ohjeen mukaan ja siinä se on. Kuution ja sen sisälle piirretyn duaalikappaleen oktaedrin piirtäminen on vielä helpompaa. Kirjasarjan erityinen arvo ei kuitenkaan sisälly piirtämisohjeisiin, vaikka jokainen piirtämistä yrittänyt tietää, miten tärkeitä ohjeet ovat. Ilman niitä kunnollisen perspektiivikuvan piirtäminen ei synny pohtimatta ja laskeskelematta. Värit saavat viivapiirrokset leiskumaan tai tässä tapauksessa, kun värisuunnittelu on harkittua ja hillittyä, hehkumaan sisäistä valoa. Ja kaikki tämä on saatu aikaan puuväreillä! Salaisuus on värikynien käyttötekniikoissa, jotka paljastetaan toisessa kirjasessa. Kynän asento, teroituspurun käyttö sekä paperin ja jopa alustan laatu vaikuttavat tulokseen. Ohjeiden huolellisuutta todistaa, että kirjassa on väritettyjen kuvioiden ohella runsaasti eri tavoin aikaansaatuja väripintanäytteitä.

20 Kirjat eivät kuitenkaan sisällä pelkkiä ohjeita ja malleja, vaan esimerkiksi väritysohjekirjassa on väritysmallin rinnalla saman aukeaman toisella sivulla sama kuvio viivapiirroksena, siis luokkaan vietävä oppimateriaali samoissa kansissa. Toiminnallisuus korostuu sarjan kolmannessa osassa, jossa on ohjeet Platonin kappaleiden rakentamiseen. Ohjeita on myös tehtyjen kappaleiden esillepanoon. Huikeasta estetiikastaan huolimatta kirjojen kuvat eivät ole mitään vapaan käden taideluomuksia, vaan mittatarkkoja perspektiivikuvia. Tämän takaa kuvien suunnittelu tietokoneella, olkoonkin että värittäminen ja lopulliset viivapiirroksetkin on tehty käsin. Kirjojen ulkoasu ja pedagogiset tavoitteet antavat olettaa virikkeiden tulevan tavanomaisen matematiikanopetuksen ulkopuolelta. Tämä paljastuukin todeksi, sillä tekijöistä toinen on perusopetuksen yläluokkien matematiikan opettaja, mutta toinen Steiner-koulun matematiikan ja fysiikan opettaja. Arvasit väärin! Visuaalisen ulkoasun luonut taiteilija on se peruskoulun opettaja ja Steiner-koulussa opettaa tietokonesuunnittelija. Yhtä yllättävää on se, että geometristen kuvioiden piirtämisidea ei ole Steiner-koulun tuotetta, vaan syntynyt tekijän ollessa vielä ammattikoulun opettajana. Molemmat tekijät ovat kaiken lisäksi suomalaisia, vaikka kirjan kannessa piiloutuvatkin englanninkieliseltä vaikuttavan nimimerkin taakse. On ymmärrettävää, että kirjasia käytetään Steiner-kouluissa, mutta käyttäjiä on tavallisissakin peruskouluissa. Parasta on, että piirtämisohjeet sopivat yhtä hyvin kynä- ja paperityöskentelyyn kuin tietokonepiirroksienkin avuksi. Olisi hienoa, jos värityspohjat voisi saada verkosta sähköisessä muodossa. Uudistuvien opetussuunnitelmanperusteiden toivoisi antavan lisää tilaa tällaiselle toiminnalle, sillä matematiikka ei ole pelkästään sääntöjä ja mustavalkoisia viivapiirroksia. Parhaimmillaan se on ajattelun lentoa ja värikästä mielikuvitusta niin kuin näistäkin kirjoista voi nähdä. Hannu Korhonen

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.3.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.3.2009 1 / 28 Puhelinluettelo, koodi def lue_puhelinnumerot(): print "Anna lisattavat nimet ja numerot." print

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu?

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Oppimispäiväkirjablogi Hannu Hämäläinen oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Parhaimmillaan oppimispäiväkirja toimii oppilaan oppimisen arvioinnin työkaluna. Pahimmillaan se tekee

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

10. Kerto- ja jakolaskuja

10. Kerto- ja jakolaskuja 10. Kerto- ja jakolaskuja * Kerto- ja jakolaskun käsitteistä * Multiplikare * Kertolaatikot * Lyhyet kertotaulut * Laskujärjestys Aiheesta muualla: Luku 14: Algoritmien konkretisointia s. 87 Luku 15: Ajan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon!

INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon! 1(5) INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon! Ilmaisia koulutuksia! Opetushallitus on myöntänyt Lapin yliopistolle määrärahan koulutushankkeelle Matematiikan osaaminen lentoon: pedagogista ymmärrystä ja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

GeoGebra. Meeri Ensio

GeoGebra. Meeri Ensio GeoGebra Meeri Ensio GeoGebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelma Suomeksi, myös ohjekirja ja osa verkkosivuista Ei tarvitse asentaa, latautuu automaattisesti Aloita osoitteesta http://www.geogebra.org/cms/

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen

Lisätiedot

RAPORTTI. Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014. Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa

RAPORTTI. Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014. Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa RAPORTTI Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014 Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa Johdanto Työpajatoiminta matemaattisissa aineissa kurssiin kuului työskentely SciFest-tapahtumassa. Itse en päässyt

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys. Tuntijakotyöryhmä

Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys. Tuntijakotyöryhmä Oppimistulosten arviointia koskeva selvitys Tuntijakotyöryhmä 28.09.2009 Oppimistulosarvioinneista Arvioinnit antavat tietoa osaamisen tasosta perusopetuksen nivel- ja päättövaiheissa. Tehtävänä selvittää

Lisätiedot

Code.org sivusto ohjelmoinnin opetuksessa

Code.org sivusto ohjelmoinnin opetuksessa Code.org sivusto ohjelmoinnin opetuksessa Innokas-verkosto Kati Sormunen 1 Tämän oppitunnin tavoitteena On ottaa käyttöön Code.org sivusto, jossa oppilas voi harjoitella ohjelmointia koulussa ja kotona

Lisätiedot

KUINKA KIRJOITAT E-KIRJAN päivässä

KUINKA KIRJOITAT E-KIRJAN päivässä KUINKA KIRJOITAT E-KIRJAN päivässä Valmentaja-Akatemia opettaa sinulle kuinka valmentajana pystyt kasvattamaan bisnestäsi, auttamaan useampia ihmisiä ja ansaitsemaan enemmän. www.valmentaja- akatemia.fi

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Tiina Partanen. Koodaamassa Matikantunnilla

Tiina Partanen. Koodaamassa Matikantunnilla Koodaamassa Matikantunnilla Racket-iskuryhmä? Ryhmä Tamperelaisia ja Ylöjärveläisiä opettajia, jotka testaavat ja kehittävät Racket-ohjelmointimateriaalia yläkoulun matematiikan (tietotekniikan ja fysiikan)

Lisätiedot

ADHD-LASTEN TUKEMINEN LUOKKAHUONEESSA

ADHD-LASTEN TUKEMINEN LUOKKAHUONEESSA ADHD-LASTEN TUKEMINEN LUOKKAHUONEESSA Tässä luvussa annetaan neuvoja parhaista tavoista tukea ADHD-lasta luokkahuoneessa. Lukuun on sisällytetty myös metodologiaan liittyviä ehdotuksia, joiden avulla voidaan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 15.3.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 15.3.2010 1 / 56 Tiedostoista: tietojen tallentaminen ohjelman suorituskertojen välillä Monissa sovelluksissa ohjelman

Lisätiedot

Johdatus Ohjelmointiin

Johdatus Ohjelmointiin Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin

Lisätiedot

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä Turun MATIKKAKAHVILA 22.09.2016 Teija Laine 1. OTTEITA UUDESTA OPETUSSUUNNITELMASTA: "Vuosiluokkien 3 6 matematiikan opetuksessa tarjotaan kokemuksia, joita oppilaat hyödyntävät matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6?

Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6? Miten mittayksiköiden muunnoksia hallitaan luokilla 5 ja 6? Missä: Kolme paikkakuntaa ja neljä koulua. Milloin: Vuoden 2014 lopussa tai vuoden 2015 alussa. Oppilaita: yhteensä 385 (mukana on myös erityisopetuksen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Opetuksen pyrkimyksenä on kehittää oppilaiden matemaattista ajattelua.

Opetuksen pyrkimyksenä on kehittää oppilaiden matemaattista ajattelua. Matematiikkaluokkien opetussuunnitelma 2016 Alakoulu Matematiikkaluokilla opiskelevalla oppilaalla on perustana Kokkolan kaupungin yleiset matematiikan tavoitteet. Tavoitteiden saavuttamiseksi käytämme

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

Numeeriset arviot. Opintojaksolla vallinnut ilmapiiri loi hyvät puitteet oppimiselle. Saavutin opintojaksolle määritellyt osaamistavoitteet

Numeeriset arviot. Opintojaksolla vallinnut ilmapiiri loi hyvät puitteet oppimiselle. Saavutin opintojaksolle määritellyt osaamistavoitteet Tämä asiakirja sisältää opiskelijoiden antaman palautteen opettajan Metropoliassa vuoteen 2014 mennessä opettamista kursseista. Palautteet on kerätty Metropolian anonyymin sähköisen palautejärjestelmän

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla

Laske Laudatur ClassPadilla Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, kevät 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä lukija,

Lisätiedot

4.3. Matemaattinen induktio

4.3. Matemaattinen induktio 4.3. Matemaattinen induktio Matemaattinen induktio: Deduktion laji Soveltuu, kun ominaisuus on osoitettava olevan voimassa luonnollisilla luvuilla. Suppea muoto P(n) : Ominaisuus, joka joka riippuu luvusta

Lisätiedot

Eväspussi. Onko lähipiirissä esiintynyt hitautta tai vaikeutta lukemaan ja kirjoittamaan oppimisessa? Millaista?

Eväspussi. Onko lähipiirissä esiintynyt hitautta tai vaikeutta lukemaan ja kirjoittamaan oppimisessa? Millaista? Liite Pienten Kielireppuun. Eväspussi Oman äidinkielen vahva hallinta tukee kaikkea oppimista. Tämän vuoksi keskustelemme kielten kehityksestä aina varhaiskasvatuskeskustelun yhteydessä. Kopio Kielirepusta

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 1. Algoritmeista 1.1 Algoritmin käsite Algoritmi keskeinen laskennassa Määrittelee prosessin, joka suorittaa annetun tehtävän Esimerkiksi Nimien järjestäminen aakkosjärjestykseen

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma

Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Espoon suomenkielinen perusopetukseen valmistavan opetuksen opetussuunnitelma Sisällys 1 Perusopetukseen valmistavan opetuksen lähtökohdat... 1 3 Perusopetukseen valmistavan opetuksen tavoitteet ja keskeiset

Lisätiedot

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa

Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Symbolinen laskin perinteisissa pitka n matematiikan ylioppilaskirjoituksissa Meri Vainio Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka Tiivistelmä Symbolinen laskin sallitaan

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla

tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla 2.5. YDIN-HASKELL 19 tään painetussa ja käsin kirjoitetussa materiaalissa usein pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla. Jos Γ ja ovat tyyppilausekkeita, niin Γ on tyyppilauseke. Nuoli kirjoitetaan koneella

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio

POHDIN - projekti. Funktio. Vektoriarvoinen funktio POHDIN - projekti Funktio Funktio f joukosta A joukkoon B tarkoittaa sääntöä, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon jonkin alkion joukosta B. Yleensä merkitään f : A B. Usein käytetään sanaa kuvaus synonyymina

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Kota- hanke. Kohdennetun tuen antaminen

Kota- hanke. Kohdennetun tuen antaminen Kota- hanke Kohdennetun tuen antaminen 1 Joustava yksilöllisen llisen oppimisen pienryhmä Toiminnan tavoitteena on: Lähikouluperiaatteen turvaaminen/säilytt ilyttäminen ja soveltaminen Torkinmäen koululle

Lisätiedot

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin

Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Näkökulmia tietoyhteiskuntavalmiuksiin Tietotekniikka oppiaineeksi peruskouluun Ralph-Johan Back Imped Åbo Akademi & Turun yliopisto 18. maaliskuuta 2010 Taustaa Tietojenkäsittelytieteen professori, Åbo

Lisätiedot

Aasian kieliä ja kulttuureita tutkimassa. Paja

Aasian kieliä ja kulttuureita tutkimassa. Paja Esittäytyminen Helpottaa tulevan päivän kulkua. Oppilaat saavat lyhyesti tietoa päivästä. Ohjaajat ja oppilaat näkevät jatkossa toistensa nimet nimilapuista, ja voivat kutsua toisiaan nimillä. Maalarinteippi,

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa

Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa Matematiikan opetuksen keskeiset tavoitteet yläkouluikäisten valmistavassa opetuksessa Olemme valinneet opetussuunnitelman perusteiden 2014 tavoitteiden, sisältöjen ja hyvän osaamisen kuvausten pohjalta

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2009 1 / 33 Valintakäsky if syote = raw_input("kerro tenttipisteesi.\n") pisteet = int(syote) if pisteet >=

Lisätiedot

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS

LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS LASKINTEN JA TAULUKOIDEN TARKISTUS Yo-kokeessa käytettävät laskimet ja taulukkokirjat on tuotava aikuislukion kansliaan tarkistettavaksi viimeistään yo-koetta edeltävänä päivänä kello 18 mennessä. Jos

Lisätiedot

MOT-hanke. Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 2. MOT-hanke

MOT-hanke. Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 2. MOT-hanke Dia 1 MOT-hanke Mat ematiikan Oppimat eriaalin Tutkimuksen hanke 2005-2006 Hämeenlinnan OKL:ssa Metodimessut 29.10.2005 Jorma Joutsenlahti & Pia Hytti 1 MOT-hanke Osallistujat:13 gradun tekijää (8 gradua)

Lisätiedot

Matematiikan yo-ohjeita 2007

Matematiikan yo-ohjeita 2007 Matematiikan yo-ohjeita 2007 Yleisohjeita Laskimet ja taulukot tuotava tarkastettaviksi vähintään vuorokautta ennen kirjoituspäivää kansliaan. Laskimien muisti tyhjennettävä. Kun tuot tarkastettavaksi

Lisätiedot

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE

TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE TOIMINNALLISTA MATEMATIIKKAA OPETTAJILLE HANKE Toiminnallista matematiikkaa opettajille hanke Lapin yliopiston kasvatustieteiden tiedekunnan Opetus ja kasvatusalan täydennyskoulutusyksikkö järjestää opetustoimen

Lisätiedot

Fiktion käsitteet tutuiksi. Oppitunnit 1 4

Fiktion käsitteet tutuiksi. Oppitunnit 1 4 Oppitunnit 1 4 Oppituntien kulku 1. oppitunti 2. oppitunti 3. oppitunti 4. oppitunti Fiktion käsitteet tutuiksi 1. Oppia fiktion käsitteiden hyödyntämistä kaunokirjallisten tekstien avaamisessa. 2. Oppia

Lisätiedot