ISSN-L ISSN (Painettu) ISSN (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ISSN-L 0782-6648 ISSN 0782-6648 (Painettu) ISSN 1798-9744 (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden"

Transkriptio

1

2 ISSN-L ISSN (Painettu) ISSN (verkkojulkaisu) edimensio on MAOLin sähköinen lehti. Julkaisija: Matemaattisten aineiden opettajien liitto MAOL ry. Saatavissa: Toimituksen sähköpostiosoite:

3

4

5 MAA YO K2013 ja symbolinen laskin Ratkaisut laati JuLe/LYLL Tämä tutkielma on tehty, jotta selviäisi, mikä merkitys symbolisella laskimella on pitkän matematiikan yo- tehtävien ratkaisussa tällä hetkellä. Tulos on yllättävä, ellei peräti järkyttävä. Jopa 9 tehtävistä ratkeaa suoraan laskimen avulla ilman, että laskija joutuu tekemään juurikaan omia johtopäätöksiä. Mihin on matematiikan opetus menossa? Lopussa on kommentteja aiheeseen liittyen. Ratkaisut on tehty TI nspire CX CAS laskimella, suomenkielinen käyttöjärjestelmä, vain perustoiminnot käytössä. Tehtävistä laskettu vain ne, joista selviää ilman suurempaa ajattelutoimintaa, kunhan laskimen käyttö on hallinnassa. Panu Ruoste, rehtori Lohjan Yhteislyseon lukio Ratkaisut MA yo K2013: 1. a) (x 4) 2 = (x 4)(x + 4) Laskin Solve x = 4 b) 3 5 x 7 10 < 2 x Laskin Solve 15 x < c) Suoran pisteet ovat (1,7) ja (2,4). Suoran yhtälö on y = 3x +10. x- akselin leikkauspiste on (3,33;0). Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0! Tarkka leikkauspiste saadaan yhtälöstä 0 = 3x +10 Laskin Solve x = Leikkauspiste on 3,0. 1

6 2. a) f (x) = sin 3x f π 9 = 3 2 Laskin Derivointi b) a = 4i + j 7k b = 2i 3j 5k a b = 2i + 4j 2k Laskin Vektoritoiminto a b = 2 6 Laskin Vektorin pituus 1 c) cosα = cos sin 1 4 = 15 4 Laskin. Harmillisesti cosmerkki menee vahingossa oikein cos 3. a) a = 1 b a +b = 2 2 a = ( 3 2) b = tai a = b = ( 3 2) Laskin Solve ( a + b) 2 = 6 molemmissa tapauksissa. Laskin 1 b) x 3 + y x 1 3 x 1 3 y 3 + y 2 3 = x + y, x, y > 0 Laskin (Domain-toiminto ei osaa kertoa määrittelyjoukkoa oikein). 4. Tehtävässä joutuu tekemään aluksi päätelmiä. Ei onnistu suoraan laskimella. Tehtävä on siis hyvin onnistunut. Tosin alkupäättelyn jälkeen lopputulos saadaan suoraan laskimesta. 5. f (x) = (x 2 x 5) e x, x 0 Suurin arvo on f(4) = 7e 4 ( 0,128) Pienin arvo on f (0) = 5 Laskin Fmax Laskin Fmin 2

7 6. Toistokoe, toistoja 12 kpl, P(O) = 0,33 ja P(B) = 0,17. a) Onnistumisia 0, 1, 2,, 9 kpl, onnistumisen tn p = 0,33 P(korkeintaan 9 O-ryhmäläistä) = p 0 + p 1 + p p 9 = 0, ,9995 b) Onnistumisia 3 tai 4 kpl, onnistumisen tn p = 0,17. P(3 tai 4 B-ryhmäläistä) = p 3 + p 4 = 0, ,295 (a ja b kohdissa laskimen BinomPdf- toiminto, laskijan ei tarvitse ymmärtää, miten binomitodennäköisyys lasketaan) 7. Tehtävä on hyvin onnistunut, koska laskimella ei saa sitä suoraan laskettua ainakaan palikkatoiminnoilla. Laskujen osalta yksinkertainen, mutta kuitenkin haastava. y 8. a) 1 = 12x 3 36x y 2 = 12x x Käyrien leikkauspisteet ovat ( 3, 216), (0, 0) ja (2, 24). Laskin Solve 0 b) A = (y 1 y 2 )dx + (y 2 y 1 )dx = 253 Laskin Laskimen kuvaajasta päätelty käyrien järjestys. 9. Laskin ei osaa ratkaista yhtälöä tarkasti, eikä myöskään kerro jaksoja. Pyörittelemällä yhtälö polynomiyhtälöksi laskin antaa tarkat arvot, muttei jaksoja. Vihjaa kyllä niistä. Tehtävän ratkaiseminen vaatii laskijalta omaa ajatustoimintaa. 10. Tehtävä on hyvä, mutta vaativa. Vaatii laskijalta ihan ikiomaa ajattelua ja ymmärrystä. 11. Jono ln 2, ln(2 x 2), ln(2 x + 2) on aritmeettinen, kun peräkkäisten termien erotus on vakio: (d =) ln(2 x 2) ln 2 = ln(2 x + 2) ln(2 x 2) Laskin Solve x = ln 6 ln 2 3

8 12. y = cosx, π 2 < x < π 2 a) A(t) = 2 t cost, 0 < t < π 2 Tämä pitää keksiä ihan itse, mutta onneksi on todella selvä kuva tehtävänannossa b) A (t) = 2cost 2t sint, 0 < t < π 2 Laskin Derivaatan nollakohta saadaan haarukoimalla: A on jatkuva ja A (0,861) sekä A (0,859) ovat eri merkkiset, joten nollakohta löytyy 2 desimaalin tarkkuudella näiden t:n arvojen välistä: t 0,86 Laskimen Solvella tämäkin on tietysti todellisuudessa etsitty. c) A(t) = 2 t cost, 0 < t < π, maksimiarvo on 2 A(0,860334) = 1, ,1 Laskin FMax 13. Tehtävä on melko helppo, b- kohdan perustelut vaativat hieman pohdintaa. Hyvä tehtävä, ei suju laskimella suoraan ainakaan perustoiminnoilla. 14. P(x) = x 2 + x 2 a) P(x) = (x 1)(x + 2) Laskin Factor 1 b) P(x) = A x 1 + B x P(x) = 1 3(x 1) 1 3(x + 2) 1 P(x) = 1 3 x x + 2 Laskin Expand eli "Laajenna". Pitäisi tietysti olla "Sievennä". joten A = 1 3 ja B =

9 ln x c) P(x) dx x 1 = +C = ln x + 2 +C, x 2, C x 1 Laskin 1 d) P(x) dx = 2ln Laskin 15. Vaatii omaa ajattelua. Ei suju laskimella suoraa näppäilemällä, kuten suurin osa tehtävistä. Hyvä ja vaativa tehtävä. Kommentteja liittyen symbolisen laskimen käyttöön lukiomatematiikassa Onko tämä nyt sitten matematiikkaa? Pitkän matematiikan yo- kokeessa peräti 9 tehtävää voi laskea suoraan laskimella käyttämättä hiukkaakaan omaa päätään. Ainoa, mitä vaaditaan on yksinkertainen nappulatekniikka ja laskimen mukana tulleen 40- sivuisen suomenkielisen ohjeen sivujen 2-29 muutamien esimerkkien harjoittelu jossain opiskelun lomassa. Mikäli koetilanteessa aivan kaikki ei muistu mieleen, niin laskin kyllä auliisti opastaa, ja ihan halutulla kielellä, myös suomeksi. Jos lisänä on pieni päättelykyky, voi helposti täydentää tehtävien ratkaisut sellaisiksi, että niistä saa ihan reilusti pisteitäkin. Kokeen maksimipistemäärä on 66. Edellä olevista 9 tehtävästä on mahdollista saada 57 pistettä laskimen avustuksella. Haloo! Miten toteutuu opiskelijoiden tasavertainen kohtelu? Osalla opiskelijoista on tällainen menestyksen mahdollistama laskin. Osa heistä jopa on opetellut sitä käyttämään. Muilla ei tällaista luvallista lunttausmenetelmää ole, syynä esimerkiksi taloudelliset seikat, tekniikkapelko, opettajan esimerkki/asenne tms. Mikäli taas yo- tehtävät laaditaan niin, että estetään laskimen suora käyttö (vertaa edellä tehtävät 4, 7, 9, 10, 13 ja 15), niistä tulee samalla aivan liian vaativia suurimmalle osalle laskijoista. Jos laskimen on tarkoitus olla apuväline ja opiskelijan on määrä itse tuottaa oleelliset välivaiheet tehtävänsä ratkaisuun, niin heti tulee mieleen kaksi ongelmaa: Laskimen avustuksella nuo välivaiheet on kohtuullisen helppo arpoa, kun on jo suuntaviivat selvitetty muutamalla näppäimen painalluksella. Osa laskimista pystyy jopa antamaan vaadittavat välivaiheet. Toiseksi, onko kohtuullista jättää opiskelijan pääteltäväksi, mitkä ovat kulloinkin vaadittavat oleelliset välivaiheet? Eiväthän sitä nykyisin tiedä opettajakaan, kun aiheeseen liittyviä kattavia ohjeita ei ole eikä sellaisia varmasti voi ollakaan olemassa. Ei niitä ainakaan kukaan osaa aukottomasti soveltaa. Lukion matematiikan opiskelijoilla on nykyisin suuria vaikeuksia aivan peruslaskutoimituksissa: murtoluvut, yhtälön ja epäyhtälön ratkaisu, yhdistetyn funktion derivointi jne. Hyvin harva osaa esimerkiksi jakaa luvun toisella käyttäen ala- asteella opittua ja sittemmin laskimen rutiininomaisen käytön takia täysin unohdettua jakokulmaa. Samoin tulee laskimen myötä käymään hyvin monelle muullekin aivan oleelliselle perusmatematiikan 5

10 osa- alueelle. Jos kuvitelmissa on, että laskimen avustuksella laskurutiineihin ennen kulunut aika voidaan käyttää itse ongelmien ratkaisuun, niin tämä on täyttä puppua. Laskimen myötä nimittäin katoaa myös kyky ratkoa niitä ongelmia, koska matemaattinen ajattelutaito surkastuu ja muuttuu laitteistoriippuvuudeksi. Jo nyt monelle ylivoimainen lausekkeiden sieventäminen tulee olemaan katoavien taitojen listan kärkipäässä. Laskimen myötä tulee yleistymään vastauskeskeinen matemaattisten ongelmien ratkaisumalli: tärkeintä on lopputulos eikä se, miten siihen päädytään. Matemaattisen ymmärryksen ja loogisen päättelyn kehittymisen kannalta kuitenkin paljon tärkeämpää on ymmärtää ongelman luonne ja siihen liittyvä matemaattinen problematiikka. Vastaus tulee sitten siinä sivutuotteena ja kylkiäisenä tulee aimo annos rutiinia ja kykyä selviytyä uusista vastaantulevista haasteista. Ja jos ymmärryksen löytymisen jälkeen vastaus on vähän pielessä, niin korjaaminen on pikku juttu, jos matemaattinen perusta on kunnossa. Pikaisena korjausliikkeenä olisi syytä harkita sitä, että osa pitkän matematiikan kursseista suoritetaan ilman minkään tyypin laskimen apua. Valitsemalla tehtävien ja harjoitusten lukuarvot sopivasti, voi ratkaisuista selvitä ilman teknisiä apuneuvoja. Jos laskimettomuus aiheuttaa hankaluuksia, niin sitten otettakoon käyttöön aivan perusmallin funktiolaskimet, jotka esimerkiksi koulu voisi hankkia yo- kirjoituksia varten. Kustannukset ovat alle 10 euroa laskimelta, joten kenenkään talous ei tähän kaadu. Jotta itse matematiikan osaaminen korostuisi, voisi myös matematiikan ylioppilaskirjoituksista suorittaa esimerkiksi alkuosan ilman laskinta. Kun puolet kokeesta on selvitetty, palautetaan alkupään tehtävät ja noudetaan uudet sekä tarvittava laskin. Nykyinen symbolisen laskimen käyttö johtaa siihen, että opiskelija tehtävää ratkaistessaan kysyy ensin oikeat vastaukset laskimelta ja sen jälkeen naamioi laskun näyttämään siltä, että hän on itse selvittänyt ongelman. Onko tässä tarkoitus huijata opiskelijaa itseään, koetehtävän korjaajaa vai kansainvälisiä osaamistutkimuksia tekevää suurta maailmaa? Lopputuloksena tulee joka tapauksessa olemaan se, että jo nykyisellään heikko matemaattinen osaaminen vähenee entisestään. Jos se on tavoite, niin sitten ollaan oikealla tiellä. Lohjan Yhteislyseon lukio matemaattisten aineiden lehtorit FL Jukka Lehtonen FM Sari Korte FM Erkki Mustonen FM Tapio Nygren FM Samuli Heikinaho FT Sara Lehtovuori FM Olavi Nurmi FM Esa Ritvanen Lisätietoja: Jukka Lehtonen 6

11 edimensio 2013 Julkaistu (muokattu ) Sivu 1(2) Hyödyllinen matematiikka ei saa tehdä mahalaskua - Huomioita pakkolaskuraportista Opetushallitus järjesti kuudennen perusopetuksen päättövaiheen matematiikan oppimistulosten arvioinnin keväällä Arviointikokeeseen osallistui oppilasta 169 koulusta. Raportin tiivistelmässä huomio kiinnittyy kahteen huolestuttavaan seikkaan. 1) Kun vertailuna käytetään aiemmissa 9. vuosiluokan arvioinneissa mukana olleita tehtäviä, voidaan todeta, että osaamisen taso on heikentynyt kaikilla matematiikan osa-alueilla. Tähän kaikista huolestuttavimpaan asiaan raportin lopussa suositellaan opetusryhmien järjestämistä siten, että kaikilla oppilailla on mahdollisuus saada opettajan ohjausta. Miten tämä toteutuu käytännössä, kun inkluusion edetessä opetusryhmät ovat yhä heterogeenisempia ja liian suuri osa opettajan ajasta menee heikoimpien ohjaukseen. Siis matematiikassa mennään heikoimpien ehdoilla. Lisäksi opettajien työtä vaikeuttavat nykykasvatuksen puutteet. Tapakasvatus on heikentynyt eivätkä läheskään kaikki lapset osaa käyttäytyä oppimistilanteen vaatimalla tavalla. Ei pystytä istumaan hiljaa ja keskittymään opetukseen. Varsinkin ryhmäkuuntelun taito on rapistunut. Ei ryhdytä työhön ilman erillistä henkilökohtaista kehotusta tai ohjausta. Jo muutamakin tällainen oppilas vie opettajan ajan siten, että vain perusasioita ehditään oppia eikä syventäviin tehtäviin päästä lainkaan. Matematiikassa keskilahjakkaat ja lahjakkaatkin oppilaat tarvitsevat opettajan ohjausta innostuakseen ja jaksaakseen uurastaa vaativimpien tehtävien parissa. Toisena erittäin kannatettavana keinona suositellaan tukiopetuksen antamista kaikille sitä tarvitseville. Tukiopetuksen tulee kuitenkin olla satunnaista, sillä oppilaan koulupäiviä ei voi pysyvästi pidentää. Erityinen tai tehostettu tuki vaatii onnistuakseen erityisjärjestelyjä joko klinikkamuotoista tai resurssiopettajaa, jotta se olisi laadultaan ja määrältään lapsen kehitystason sekä yksilöllisten tarpeiden mukaista. Jos koululta vaaditaan täysin heterogeenistä ryhmitystä matematiikan opetuksessa, niin silloin mennään kunkin ryhmän ns. matemaattisen osaamisen keskitason mukaan. Jos opetus pitkään ylittää ryhmän enemmistön tason, niin työrauha loppuu eikä oppimista tapahdu.

12 edimensio 2013 Julkaistu (muokattu ) Sivu 2(2) Näissä oloissa hyödyllinen pakkolaskukin kokee mahalaskun, sillä inkluusion tuomat säästöt on jo hyödynnetty eikä kuntien nykyisessä taloustilanteessa tukiopetukseen tarkoitetut määrärahat ainakaan kasva. 2) Myös opettajan kelpoisuudella on merkitystä koulujen välisiin eroihin. Jos koulussa toimi opettajana muodollisesti kelpoinen aineenopettaja, arviointimenestys oli keskimäärin parempaa ja koulujen väliset vaihtelut pienempiä verrattuna kouluihin, joissa opettaja ei ollut muodollisesti kelpoinen. Raportin suositukset ovat erittäin kannatettavia. On syytä muistaa, että opetusjärjestelyjä tehtäessä ensisijaisesti tulee ottaa huomioon oppiaan oikeus kelpoisen opettajan opetukseen. Opettajien kelpoisuustasoa voidaan nostaa helpoimmin lisäämällä luokanopettajien koulutukseen matematiikan perusopintoja muutama kurssi. Tarvittaessa alemmilla luokilla voidaan käyttää aineenopettajia varsinkin matematiikassa. Lisäksi peruskoulun ylemmillä luokilla koulutuksen ylläpitäjiltä tulee edellyttää, että vain ko. aineeseen kelpoiset opettajat myös opettavat ns. omia aineitaan eikä kikkailla lehtoreiden esim. matemaattisten aineiden virkanimikkeillä, kun tutkinnot tehdään kahden aineen pätevyyksillä. Koska koulussa toimiva muodollisesti kelpoinen aineenopettaja takaa oppilaan arviointimenestyksen, niin on kaikin tavoin pyrittävä käyttämään kelpoisia opettajia opintojen mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Lisäksi kelpoisen opettajan käyttäminen takaa oppilaan oikeusturvan koulujen välisissä vaatimustasoissa eikä kirjava arvosanojen antamiskäytänne vaaranna oikeudenmukaisuuden toteutumista jatko-opintoihin hakeuduttaessa. Kaikki voitava ja vaikka vanhatkin keinot on otettava käyttöön, jotta oppilaiden matematiikan osaamisen taso ei pääse entisestään laskemaan ja tekemään kuuluisaa mahalaskua. Koko raportti löytyy osoitteesta Raportin loppuun on koottu 11 erinomaista suositusta matematiikan opetuksen kehittämiseksi, joihin kannattaa tutustua. Aune Toivanen MAOL:n edunvalvontatoimikunnan jäsen

13

14 Ikäheimo, Hannele. KYMPPI-kirja. Opperi, Helsinki 2012, 206 sivua. Kymmenjärjestelmä on perusopetuksen matematiikan keskeisiä kulmakiviä. Sen vaikutus ulottuu paljon laajemmalle kuin yksittäisten lukujen lukemiseen tai kirjoittamiseen: lukuihin ja laskutoimituksiin, päässä laskemiseen, laskutoimitusalgoritmeihin, yksikönmuunnoksiin, kymmenpotensseihin, muihin lukujärjestelmiin. Kuitenkin monet oppilaat jäävät kiinni juuri näissä tehtävissä, vaikka asiaa opetetaan alkuopetuksesta lähtien kaikilla perusopetuksen alaluokilla. KYMPPI-kirja perustuu pitkäaikaiseen kokemukseen. Siihen huipentuu tekijän elämäntyö, joka alkoi matematiikan oppimisvaikeuksien tutkijana ja matematiikan erityisopetukseen erikoistuvien opettajien kouluttajana Jyväskylässä 1970-luvulla. Myöhemmin hän on opettanut lapsia, nuoria ja aikuisia sekä Ruotsissa että Helsingissä, tuottanut oppi- ja arviointimateriaaleja sekä kouluttanut opettajia. Opetusmenetelmiä ja harjoitteita on siis kokeiltu ja kehitetty kymmeniä vuosia. Ja nyt ne on koottu yksiin kansiin. Eikä teksti koostu vain opettamisen kuvailusta ja toimintamateriaalin käyttöohjeista, vaan mukana on lähes kolme tuntia videoituja opetustilanteita. Ne johdattavat katsojan suoraan oppimisen äärelle seuraamaan, miten yksityiskohtaista, järjestelmällistä ja rauhallista oppimisen tulisi olla, jos todella halutaan varmistua siitä, että asiat opitaan ymmärtäen. Jo otsikoista saa hyvän käsityksen siitä, miten aihetta lähestytään: matematiikan osaamisesta ja taitojen kartoittamisesta, mikä ihmeen kymmenjärjestelmä, oppilaiden käsityksiä kymmenjärjestelmästä, kymmenjärjestelmän opetus konkreettisesti, lukujen vertailua, lukujonoja, mittaamista ja yksikönmuunnoksia, algoritmien konkretisointia jne jne. Videoihin liittyy paljon filmattujen opetustilanteiden ulkopuolelle ulottuvaa pedagogista ohjeistusta. Kirjassa on myös ohjeet, miten voidaan varmistua siitä, että asia on opittu, harjoitteluun tarkoitettuja piirtojunnauksia sekä opetustilanteisiin liittyviä materiaalipohjia. Opetuksen perusideana on konkreettisten toimintavälineiden käyttö oppimisen apuna ja tukena. Keskeisin on tietysti kymmenjärjestelmävälineistö. Sen käyttö ei suinkaan rajoitu luonnollisiin lukuihin, vaan myös desimaalilukujen opettamiseen, monen oppijan kompastuskiven kiertämiseen, on oma lisämateriaalinsa. Niiden avulla abstraktien sääntöjen opettelun varassa etenevä puurtaminen muuttuu peliksi tai jopa leikiksi, joka luo ymmärtämistä ja mieleenpalauttamista helpottavia mielikuvia. Tekijän monipuolinen kokemus takaa sen, että kirjan teksti ei ole kuivan asiallista, vaan että siihen sisältyy myös hellyttäviä kokemuksia vuosien varrelta. "Minä näin sen luvun miljoona neljäsataakuusikymmentätuhatta", kertoi neljäsluokkalainen. Sellaisen luvun näkemiseen tarvitaan jo miljoonakuutio, jota ei ole kymmenjärjestelmävälineissä, mutta jonka voi rakentaa styroxista tai rimoista. Jos tällainen kuutio tuntuu liian kovalta, terävältä ja pelottavalta, niin lukuja voi havainnollistaa pehmeämpiäkin mielikuvia tuottavilla välineillä kuten helminauhoilla. Eräs Julkaistu edimensiossa

15 tällainen opetustilanne päättyi siihen, että tyttö kokosi tuhatnauhan päänsä päälle, tarkasteli tulosta peilistä ja totesi: "Ei pelota tuhat enää". Kirjan erityinen ansio on se, että opettaminen ei rajoitu vain yhden välineistön käyttöön. Kymmenjärjestelmävälineiden ohella sijansa saavat sormet, värinapit, helmet, munakennot, tikkuniput, värisauvat, opetusrahat, mittapyörät, helmitaulut, pikalukukortit, hajotelmaruudukot, päässälaskupohjat. Onpa liitteenä luettelot matematiikan opetuksen välineistä luokille 1 3 ja 4 6 sekä erityis- ja tukiopetukseen yläasteella ja ammattiopinnoissa. Alaluokkien ja erityisopetuksen korostaminen välineluettelojen otsikoinnissa kummastuttaa aineopettajalukijaa, sillä monet välineistä ovat erinomaisia apuneuvoja perusopetuksen yläluokkien ja vielä lukionkin luokkaopetuksessa. Varsinkin kun välineet eivät ole tavoite, vaan keino. Kirja sisältää ohjeita siitä, miten siirrytään välineistä laskustrategioihin ja matematiikan symbolimerkintöjen käyttöön. Yksi ymmärtämistä tukevista silloista on toiminnan selittäminen suullisesti välineiden käytön aikana. Lausekkeiden muodostamiseen voidaan johdatella jo alkuopetuksessa laskuketjuja muodostamalla, esimerkiksi = 46. Kirja on ulkoasultaan miellyttävä. Tukevat kannet ja A4-kokoiset sivut on kiinnitetty kapealta sivulta kierrejousella. Kirja avautuu siis kokonaan, mikä on kätevää sekä opetustilanteessa että materiaalipohjia kopioitaessa. Varsinainen tekstiosa on taitettu vaakasivuille kaksipalstaiseksi ja kopioitavaksi tarkoitettu materiaali yleensä pystysivuille. Havainnollista ja selkeää piirroskuvitusta on runsaasti. Nimestään huolimatta kirja sisältää niin paljon yksityiskohtia niin monesta asiasta, että kokonaiskuvaa ei voi saada kuin itse siihen tutustumalla. Jonkinlaista esimakua siitä, mitä on odotettavissa saa lukemalla Opperin verkkosivuja, esimerkiksi Tietoa KYMPPI-kirjasta. Osoitteessa Miksi kirjoitin KYMPPI-kirjan. Osoitteessa Kuinka KYMPPI-filmit tehtiin. Osoitteessa Hannu Korhonen Julkaistu edimensiossa

16 Ikäheimo, Hannele. KYMPPI-kartoitus. Opperi, Helsinki 2012, 110 sivua. Hyvästäkin opetuksesta huolimatta opittuun saattaa jäädä puutteita ja väärinymmärryksiä. Usein ne aiheuttavat kasautuvia vaikeuksia jatkossa. Siksi tarvitaan välineitä, joilla voidaan selvittää, mitä keneltäkin on jäänyt oppimatta, jotta tilanne voitaisiin korjata. Keskeiseen matematiikan kohtaan paneutuva arviointiväline on kymmenjärjestelmän hallinnan kartoitus. Sen on osa laajaa oppimateriaalikokonaisuutta, johon kuuluvat kymmenjärjestelmävälineistö, opettajan opas KYMPPIkirja ja sen mukana toimitettavat opetusta yksityiskohtaisesti kuvaavat KYMPPI-filmit. KYMPPI-kartoitus sisältää luonnollisten lukujen ja desimaalilukujan käsitteisiin liittyviä tehtäviä, laskutoimituksia ja yksikönmuunnoksia. Ne ovat kaikki alaluokkien matematiikan keskeisiä sisältöjä. Mittariosa muodostuu kahdesta kokeesta. Ensimmäinen on tarkoitettu tehtäväksi toisella tai kolmannella luokalla ja toinen neljännellä tai viidennellä luokalla. Jälkimmäisellä luokalla oppilaiden pitäisi suoriutua virheettömästi kaikista tehtävistä, sillä ne sisältävät niin keskeisiä asioita, että pienetkin puutteet haittaavat tulevaa oppimista. Tulosta tarkastellaan yksityiskohtaisesti ja yksittäiseen virheeseen suhtaudutaan vakavasti riippumatta kokonaispistemäärästä. Kokeen suorittamisessa ei ole aikarajaa, mutta ajankäyttöön kiinnitetään huomiota. Hitaus voi nimittäin olla osoitus siitä, että laskutoimitusten hallinta on niin heikkoa, että laskut selviävät vain sormia apuna käyttäen tai luettelemalla lukuja yksitellen. Sekin osoittaa korjaavien toimien tarvetta. Kirja ei kuitenkaan ole ensisijaisesti testauksen väline, vaan pääosassa on korjaava opetus. Tämä näkyy jo sivumääristä. Vain vähän enemmän kuin viidesosa sivuista käsittelee kokeita. Loput ovat korjaavan opetuksen ohjeita ja harjoitusmateriaalia. Ne ovat samantapaisia ja samaan tapaan jaoteltuja tehtäviä kuin varsinaiset koetehtävätkin. Mukana on luonnollisesti ohjeet opettajallekin. Erityinen osa harjoitusmateriaalia ovat junnauskokeet. Oppilaalle ne ovat harjoituksia muiden harjoitusten joukossa. Opettajalle niiden merkitys on paljon suurempi. Ne antavat tietoa oppilaiden käyttämistä laskustrategioista. Kokeille on määritelty tavoiteaika. Sitä seurataan esimerkiksi niin, että määräajan kuluttua vaihdetaan lyijykynä värikynäksi. Tavoiteajan ylittäminen osoittaa useimmiten laskustrategioiden puutteita. Opetuksessa opetetaan sitten uusia strategioita ja vahvistetaan entisiä. Useat tehtävät on tarkoitettu tehtäviksi konkreettisten välineiden avulla. Junnauskokeisiin on myös vastaukset ja ryhmäkohtaiset tuloslomakkeet. Varsinaisiin KYMPPI-kokeisiin on myös sähköinen tuloslomake Excel-muodossa Opperin verkkosivuilla. Siellä on myös lisätietoa KYMPPI-kartoituksesta: Julkaistu edimensiossa

17 Kokkola, R. Ansku ja Armas ynnä Matikkatäti. Keminmaa: Nordbooks 2013, 104 sivua. Alli on veeveeäm (ei veeveeämmä) eli Valtakunnan Virallinen Matikkatäti (ei kalatäti). Ritva Kokkola on englanninopettaja ja kirjailija, aikaisemmin matematiikan stigmatisoima humanisti. Ansku ja Armas ovat kymmenvuotiaat kaksoset, Ansku kymmenen minuuttia eli 600 sekuntia veljeään vanhempi, Armas kirjan kertoja. Kirja on Kokkolan kolmas lastenkirja. Aloitteen teki Matikkatäti, mutta matematiikasta kirjoittaminen vei kirjailijan mukanaan. Näin hän kuvailee kokemustaan OULUMAn verkkosivulla: " minun matematiikkani on satua. kirmaan Keminmaan Luma-päivän vieraaksi kuin vasikka kesälaitumelle. Olen ilosanoman tuoja, valaistunut, vastaherännyt. Olen kuin rakastunut koulutyttö. Muistutan raha-automaattien turvakoodeista, vihjaan pikavippien korkoansoihin. Näytän aanelosen kokoista piin symbolia ja yllytän opettelemaan sen desimaaleja Kehotan kertaamaan kertotaulua. Saarnaan laskimen petollisuudesta. Paasaan prosenttilaskuista. Painotan päässälaskua. pakotan päättelykyvyn takaisin kunniapaikalleen. matematiikka kuuluu kaikille, myös naisille ja kieltenopettajille. Kirjoitin sadun ja pääsin stigmasta. Olen iloinen ja ihmeissäni. Enää en sano hyvästejä matematiikalle. en enää pelkää." Kirjan päähenkilöt Ansku ja Armas joutuvat mukaan samalla tavalla kuin kirjailijakin joutui: Matikkatäti ottaa yhteyttä. "Matikkatädin tukka oli niskassa nutturalla, jota piti kasassa kaksi harppia. Päässä hänellä oli hattu, jonka koristeena sojotti eri pituisia ja eri värisiä viivaimia. Lippana oli kolmioviivain eli suorakulma. Matikkatädin sukat olivat keltaiset. Kenkiä oli kummassakin jalassa yksi. Toisessa punainen ja siniset nauhat, toisessa jalassa sininen kenkä ja punaiset nauhat." Ensin Matikkatäti opetti lapset käyttämään konetta, joka heillä on aina mukanaan eli aivoja. Sitten he rupesivat tosissaan tekemään matematiikasta leikkiä. Matka matematiikkaan alkoi oppitunneilla, joilla opeteltiin vaikeita sanoja kuten "luku" ja "numero". Sitten Anskusta ja Armaasta tehtiin matematiikkalähettiläitä, jotka ryhtyivät värväämään päiväkotilapsia uusiksi matikkatädeiksi ja -sediksi. Matka jatkui sirkukseen, jonka ohjelmassa oli muun muassa aivoakrobatiaa, matematiikkamagiaa ja lukujen lumoa. Ja sellainen on matematiikan ihmeellinen maailma, että murtoluvut, jakolasku ja prosentit sopivat hyvin sirkusesityksen innostaviksi aiheiksi. "Lisää, lapset

18 huusivat eivätkä tarkoittaneet jäätelöä." Ja sitä tuli: kertotaulua, keskiarvoja, pellehyppyjä ja matemaattisia taikatemppuja. Eikä aikaakaan, kun Anskun ja Armaan kotikaupunki julistetaan matematiikkakaupungiksi. Eikä ilosanoman levittäminen siihen jää. Lapset ryhtyvät lentelemään ympäri Suomea ja levittämään iloa ja ymmärrystä matematiikkatempuillaan. Samalla kaupunginjohtaja miettii mahdollisuuksia laajentaa matematiikkavientiä ympäri maapallon. Sen pituinen se. Matikkatäti seuraa lasten mukana koko seikkailun ajan. Ehkä hän on opastanut kirjailijaakin. Muuten on vaikea ymmärtää, että humanisti olipa hän kuinka innostunut ja matematiikkaan rakastunut käännynnäinen tahansa olisi löytänyt kohteikseen murtolukujen omenamalleja ja palindromilukuja puhumattakaan kolminumeroisista luvuista, joiden ensimmäisen ja viimeisen numeron erotus on vähintään kaksi. Alussa kirja tuntuu aikuisesta lukijasta turhankin opettavaiselta, kun Armas pohtii ruotsinkielen tervehdyksiä ja Matikkatäti selittää sanojen merkityksiä. Se sallittakoon, sillä ei kirja ole aikuisille tarkoitettukaan. Vauhti kiihtyy kuitenkin, kun tapahtumien puitteet laajenevat oman pään sisältä sirkustelttaan ja kotimaan rajojen ylitsekin. Ei ihme, että Ansku ja Armas -kirjoja luetaan ääneen kouluissa. Tätä kirjaa parempaa matematiikan puolestapuhujaa on vaikea löytää. Erityistä uskottavuutta tuo se, että puhujana ei ole matemaatikko eikä matematiikanopettaja, vaan täysverinen humanisti. Kirjan voit hankkia suoraan kustantajalta ja monista verkkokaupoista. Hannu Korhonen

19 Sympsionics. Geometristen kappaleiden piirtäminen. Geometristen kuvien värittäminen. Platonin kappaleiden rakentaminen. Järvenpää: Deltaspektri Harvoin opaskirjoista tulee niin hykerryttävän hyvälle mielelle kuin Deltaspektrin kolmesta geometriaoppaasta. Kirjaset ovat pieniä, paksuinkin vain kuusikymmensivuinen, mutta jo niiden katseleminen on nautittavaa. Vahva osoitus matematiikan ulkoisesta kauneudesta. Aihepiirin valinta osoittaa tekijöiltä myös matematiikan sisäisen kauneuden tajua. Kohteina ovat nimittäin Platonin monitahokkaat, Keplerin monitahokastähdet ja monet muut monitahokkaat, joita kaikkia koulumatematiikka ei edes tunne. Nykyisenä tieto- ja viestintätekniikan valtakautena on rauhoittavaa ja turvallista nähdä, että käsintekemisen taito ja tahto eivät ole kadonneet. Siihen kirjat opastavat lukijoitaankin. Kappaleiden piirtämiseen, värittämiseen ja rakentamiseen on huolelliset ohjeet. Kokonaisuuden kannalta taitava ratkaisu on ollut esittää kukin asia omassa kirjasessaan. Se tekee mahdolliseksi syventyä yhteen asiaan kerrallaan. Piirtämisohjeet on mietitty tarkkaan. Dodekaedrin piirtämiseen tarvitaan vain kaksi samankeskistä kultaisen leikkauksen suhteessa piirrettyä ympyrää ja kummankin kehän jakaminen kymmeneen yhtä suureen osaan, mikä voidaan tehdä käsin piirrettäessä astelevyn ja tietokoneohjelmassa kehän pisteen kiertämisen avulla. Sitten vain yhdistellään jakopisteitä ohjeen mukaan ja siinä se on. Kuution ja sen sisälle piirretyn duaalikappaleen oktaedrin piirtäminen on vielä helpompaa. Kirjasarjan erityinen arvo ei kuitenkaan sisälly piirtämisohjeisiin, vaikka jokainen piirtämistä yrittänyt tietää, miten tärkeitä ohjeet ovat. Ilman niitä kunnollisen perspektiivikuvan piirtäminen ei synny pohtimatta ja laskeskelematta. Värit saavat viivapiirrokset leiskumaan tai tässä tapauksessa, kun värisuunnittelu on harkittua ja hillittyä, hehkumaan sisäistä valoa. Ja kaikki tämä on saatu aikaan puuväreillä! Salaisuus on värikynien käyttötekniikoissa, jotka paljastetaan toisessa kirjasessa. Kynän asento, teroituspurun käyttö sekä paperin ja jopa alustan laatu vaikuttavat tulokseen. Ohjeiden huolellisuutta todistaa, että kirjassa on väritettyjen kuvioiden ohella runsaasti eri tavoin aikaansaatuja väripintanäytteitä.

20 Kirjat eivät kuitenkaan sisällä pelkkiä ohjeita ja malleja, vaan esimerkiksi väritysohjekirjassa on väritysmallin rinnalla saman aukeaman toisella sivulla sama kuvio viivapiirroksena, siis luokkaan vietävä oppimateriaali samoissa kansissa. Toiminnallisuus korostuu sarjan kolmannessa osassa, jossa on ohjeet Platonin kappaleiden rakentamiseen. Ohjeita on myös tehtyjen kappaleiden esillepanoon. Huikeasta estetiikastaan huolimatta kirjojen kuvat eivät ole mitään vapaan käden taideluomuksia, vaan mittatarkkoja perspektiivikuvia. Tämän takaa kuvien suunnittelu tietokoneella, olkoonkin että värittäminen ja lopulliset viivapiirroksetkin on tehty käsin. Kirjojen ulkoasu ja pedagogiset tavoitteet antavat olettaa virikkeiden tulevan tavanomaisen matematiikanopetuksen ulkopuolelta. Tämä paljastuukin todeksi, sillä tekijöistä toinen on perusopetuksen yläluokkien matematiikan opettaja, mutta toinen Steiner-koulun matematiikan ja fysiikan opettaja. Arvasit väärin! Visuaalisen ulkoasun luonut taiteilija on se peruskoulun opettaja ja Steiner-koulussa opettaa tietokonesuunnittelija. Yhtä yllättävää on se, että geometristen kuvioiden piirtämisidea ei ole Steiner-koulun tuotetta, vaan syntynyt tekijän ollessa vielä ammattikoulun opettajana. Molemmat tekijät ovat kaiken lisäksi suomalaisia, vaikka kirjan kannessa piiloutuvatkin englanninkieliseltä vaikuttavan nimimerkin taakse. On ymmärrettävää, että kirjasia käytetään Steiner-kouluissa, mutta käyttäjiä on tavallisissakin peruskouluissa. Parasta on, että piirtämisohjeet sopivat yhtä hyvin kynä- ja paperityöskentelyyn kuin tietokonepiirroksienkin avuksi. Olisi hienoa, jos värityspohjat voisi saada verkosta sähköisessä muodossa. Uudistuvien opetussuunnitelmanperusteiden toivoisi antavan lisää tilaa tällaiselle toiminnalle, sillä matematiikka ei ole pelkästään sääntöjä ja mustavalkoisia viivapiirroksia. Parhaimmillaan se on ajattelun lentoa ja värikästä mielikuvitusta niin kuin näistäkin kirjoista voi nähdä. Hannu Korhonen

Kokeellista matematiikkaa SAGE:lla

Kokeellista matematiikkaa SAGE:lla Kokeellista matematiikkaa SAGE:lla Tutkin GeoGebralla 1 luonnollisen luvun jakamista tekijöihin 2. GeoGebran funktio Alkutekijät jakaa luvun tekijöihin ja tuottaa alkutekijät listana. GeoGebrassa lista

Lisätiedot

Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0!

Laskimesta syöttämällä pisteet. Laskimen kuvaajalta. Siis leikkauspisteessähän y = 0! MAA YO K0 ja symbolinen laskin Ratkaisut laati JuLe/LYLL Tämä tutkielma on tehty, jotta selviäisi, mikä merkitys symbolisella laskimella on pitkän matematiikan yo- tehtävien ratkaisussa tällä hetkellä.

Lisätiedot

KYMPPI-kartoitus. www.opperi.fi

KYMPPI-kartoitus. www.opperi.fi KYMPPI-kartoitus KYMPPI-kartoitus sisältää luonnollisten lukujen ja desimaalilukujen käsitteisiin liittyviä tehtäviä, laskutoimituksia sekä mittayksiköiden muunnoksia. Nämä ovat 10-järjestelmän hallinnan

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla

A. Desimaalilukuja kymmenjärjestelmän avulla 1(8) Kymmenjärjestelmä desimaalilukujen ja mittayksiköiden muunnosten pohjana A. Miten saadaan desimaalilukuihin ymmärrystä 10-järjestelmän avulla? B. Miten saadaan mittayksiköiden muunnoksiin ymmärrystä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla

Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla Luova opettaja, luova oppilas matematiikan tunneilla ASKELEITA LUOVUUTEEN - Euroopan luovuuden ja innovoinnin teemavuoden 2009 päätösseminaari Anni Lampinen konsultoiva opettaja, Espoon Matikkamaa www.espoonmatikkamaa.fi

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Hannele Ikäheimo www.opperi.fi 1(3)

Hannele Ikäheimo www.opperi.fi 1(3) Hannele Ikäheimo www.opperi.fi 1(3) Junnauskoe 0 20 A ja B Opettajan ohje Tarkoitus: Tavoite: Testaus: Junnauskokeen 0-20 avulla saadaan selville oppilaiden käyttämät käyttämät laskustrategiat sekä yhteen-

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

2 + = 10 0 + = 10 10 3 = 10 5 = + 4 = 10 + 9 = 10 10 8 = 10 1 = 7 + = 10 5 + = 10 10 6 = 10 10 =

2 + = 10 0 + = 10 10 3 = 10 5 = + 4 = 10 + 9 = 10 10 8 = 10 1 = 7 + = 10 5 + = 10 10 6 = 10 10 = Traggelprov 0 20 A Namn: 2 + = 10 0 + = 10 10 3 = 10 5 = + 4 = 10 + 9 = 10 10 8 = 10 1 = 7 + = 10 5 + = 10 10 6 = 10 10 = Dubbelt + Dubbelt 4 + 4 = 6 + 6 = 8 4 = 14 7 = 9 + 9 = 3 + 3 = 18 9 = 20 10 = 7

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.3.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.3.2009 1 / 28 Puhelinluettelo, koodi def lue_puhelinnumerot(): print "Anna lisattavat nimet ja numerot." print

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006

Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006 Kun vauhti ei riitä Elämänkoulu-lehti 2006 Eija Voutilainen pedagoginen yhteyshenkilö, Helsingin Matikkamaa Tämän syksyn koulukirjoittelua yleisönosastoissa on hallinnut lahjakkaan oppijan teema: Lahjakas

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10)

plot(f(x), x=-5..5, y=-10..10) [] Jokaisen suoritettavan rivin loppuun ; [] Desimaalierotin Maplessa on piste. [] Kommentteja koodin sekaan voi laittaa # -merkin avulla. Esim. #kommentti tähän [] Edelliseen tulokseen voi viitata merkillä

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen

Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Matematiikan didaktiikka, osa II Prosentin opettaminen Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Prosentti Prosentti on arkielämän matematiikkaa. Kuitenkin prosenttilaskut ovat oppilaiden mielestä

Lisätiedot

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

10. Kerto- ja jakolaskuja

10. Kerto- ja jakolaskuja 10. Kerto- ja jakolaskuja * Kerto- ja jakolaskun käsitteistä * Multiplikare * Kertolaatikot * Lyhyet kertotaulut * Laskujärjestys Aiheesta muualla: Luku 14: Algoritmien konkretisointia s. 87 Luku 15: Ajan

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 24.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 24.1.2011 1 / 36 Luentopalaute kännykällä alkaa tänään! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Varga Neményi -menetelmän esittely VARGA NEMÉNYI RY

Varga Neményi -menetelmän esittely VARGA NEMÉNYI RY Oppiaineen tehtävä Kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Luoda pohja matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle. Kehittää oppilaiden kykyä käsitellä

Lisätiedot

Koe on kaksiosainen: siihen kuuluvat tekstitaidon koe ja esseekoe. Tekstitaidon kokeen arvioinnissa painottuu lukutaito ja esseekokeessa

Koe on kaksiosainen: siihen kuuluvat tekstitaidon koe ja esseekoe. Tekstitaidon kokeen arvioinnissa painottuu lukutaito ja esseekokeessa Koe on kaksiosainen: siihen kuuluvat tekstitaidon koe ja esseekoe. Tekstitaidon kokeen arvioinnissa painottuu lukutaito ja esseekokeessa kirjoitustaito. Kokeet järjestetään eri päivinä: esimerkiksi tänä

Lisätiedot

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu?

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Oppimispäiväkirjablogi Hannu Hämäläinen oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Parhaimmillaan oppimispäiväkirja toimii oppilaan oppimisen arvioinnin työkaluna. Pahimmillaan se tekee

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä

1. Lasketaan käyttäen kymmenjärjestelmävälineitä Turun MATIKKAKAHVILA 22.09.2016 Teija Laine 1. OTTEITA UUDESTA OPETUSSUUNNITELMASTA: "Vuosiluokkien 3 6 matematiikan opetuksessa tarjotaan kokemuksia, joita oppilaat hyödyntävät matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta

Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Jorma Merikoski 10.1.2015 Kommentteja Markku Halmetojan ops-ehdotuksesta Markku Halmetoja on laatinut ehdotuksen lukion pitkän matematiikan uudeksi opetussuunnitelmaksi. Hän esittelee sitä matematiikan

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja.

n! k!(n k)! n = Binomikerroin voidaan laskea pelkästään yhteenlaskun avulla käyttäen allaolevia ns. palautuskaavoja. IsoInt Tietokoneiden muisti koostuu yksittäisistä muistisanoista, jotka nykyaikaisissa koneissa ovat 64 bitin pituisia. Muistisanan koko asettaa teknisen rajoituksen sille, kuinka suuria lukuja tietokone

Lisätiedot

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT

MAA 2 - POLYNOMIFUNKTIOT MAA MAA - POLYNOMIFUNKTIOT 1 On annettu muuttujan x polynomi P(x) = x + x + Mitkä ovat sen termien kertoimet, luettele kaikki neljä (?) Mitä astelukua polynomi on? Mikä on polynomin arvo, kun x = 0 Entä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon!

INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon! 1(5) INFOA: Matematiikan osaaminen lentoon! Ilmaisia koulutuksia! Opetushallitus on myöntänyt Lapin yliopistolle määrärahan koulutushankkeelle Matematiikan osaaminen lentoon: pedagogista ymmärrystä ja

Lisätiedot

Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet!

Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet! Matematiikan yo-kirjoitukset Kokeessa: 15 tehtävää, joista valitaan 10 ja vain kymmenen - valintaan kannattaa kiinnittää huomiota!!! (Tehtävien valintaa olemme harjoitelleet!) Pitkän matematiikan kokeessa

Lisätiedot

GeoGebra. Meeri Ensio

GeoGebra. Meeri Ensio GeoGebra Meeri Ensio GeoGebra Ilmainen dynaaminen matematiikkaohjelma Suomeksi, myös ohjekirja ja osa verkkosivuista Ei tarvitse asentaa, latautuu automaattisesti Aloita osoitteesta http://www.geogebra.org/cms/

Lisätiedot

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä

Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen kehittymistä MATEMATIIKKA JOENSUUN SEUDUN OPETUSSUUNNITELMASSA Merkitys, arvot ja asenteet Opetuksen tavoite: T1 tukea oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä myönteisen minäkuvan ja itseluottamuksen

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

KYMPPI-kartoitus 1:n tuloksia luokalla 3

KYMPPI-kartoitus 1:n tuloksia luokalla 3 KYMPPI-kartoitus 1:n tuloksia luokalla 3 KYMPPI-kartoitus-kirja sisältää KYMPPI-kartoitus 1:n ja 2:n. Tavoitteena on, että KYMPPI-kartoitus 1 hallitaan 3. luokan lopussa "Kuinka hyvin KYMPPI-materiaali

Lisätiedot

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna

Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

HUOMAUTUS LUKIJALLE: Tässä on esitelty kaikkien aineiden palaute. Kysymyksestä 1. ilmenee mitä aineita oppilas on kurssilla lukenut.

HUOMAUTUS LUKIJALLE: Tässä on esitelty kaikkien aineiden palaute. Kysymyksestä 1. ilmenee mitä aineita oppilas on kurssilla lukenut. Kurssipalaute HUOMAUTUS LUKIJALLE: Tässä on esitelty kaikkien aineiden palaute. Kysymyksestä 1. ilmenee mitä aineita oppilas on kurssilla lukenut. OPPILAS 1 Vastaa seuraaviin kysymyksiin asteikolla 1 5.

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 6 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 6 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela

Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela Olipa kerran köyhä maanviljelijä Kimmo Koskinen, Rolf Malmelin, Ulla Laitinen ja Anni Salmela 1 1 Johdanto Tässä raportissa esittelemme ratkaisukeinon ongelmalle, joka on suunnattu 7 12-vuotiaille oppilaille

Lisätiedot

Tietotekniikan valintakoe

Tietotekniikan valintakoe Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Tietotekniikan valintakoe 2..22 Vastaa kahteen seuraavista kolmesta tehtävästä. Kukin tehtävä arvostellaan kokonaislukuasteikolla - 25. Jos vastaat useampaan

Lisätiedot

OPS2016 ja ohjelmointi

OPS2016 ja ohjelmointi 1 OPS2016 ja ohjelmointi - johdattelu ohjelmointiin alakoulussa MIKKO HORILA & TUOMO TAMMI OPS2016 ja ohjelmointi 2 Perusopetuksen opetussuunnitelman perusteet päivittyvät syksyllä 2016. Koodaustaidot

Lisätiedot

RAPORTTI. Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014. Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa

RAPORTTI. Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014. Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa RAPORTTI Pajapäivä Joensuun Steinerkoululla 20.5.2014 Joensuussa 22.5.2014 Tuuli Karhumaa Johdanto Työpajatoiminta matemaattisissa aineissa kurssiin kuului työskentely SciFest-tapahtumassa. Itse en päässyt

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Dia 1. Dia 2. Dia 3. Tarinat matematiikan opetuksessa. Koulun opettaja. Olipa kerran pieni kyläkoulu. koulu

Dia 1. Dia 2. Dia 3. Tarinat matematiikan opetuksessa. Koulun opettaja. Olipa kerran pieni kyläkoulu. koulu Dia 1 Tarinat matematiikan opetuksessa merkityksiä ja maisemia matemaattiselle ajattelulle Dia 2 Olipa kerran pieni kyläkoulu koulu Dia 3 Koulun opettaja Laskehan kaikki luvut yhdestä sataan yhteen Dia

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 15.3.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 15.3.2010 1 / 56 Tiedostoista: tietojen tallentaminen ohjelman suorituskertojen välillä Monissa sovelluksissa ohjelman

Lisätiedot

Kiinnostaako. koodaus ja robotiikka? 2014 Innokas www.innokas.fi All Rights Reserved Copying and reproduction prohibited

Kiinnostaako. koodaus ja robotiikka? 2014 Innokas www.innokas.fi All Rights Reserved Copying and reproduction prohibited Kiinnostaako koodaus ja robotiikka? Innokas-verkosto Innovatiivisen koulun toiminnan kehittäminen ja levittäminen Suomi Yli 30 000 osallistujaa vuosien 2011-2014 aikana Kouluja, kirjastoja, päiväkoteja,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.

Lisätiedot