Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama"

Transkriptio

1 ESY Q16.2/2006/ Espoo Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama

2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja GTK Raportin nimi Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Tiivistelmä Raportissa käsitellään kompleksilukujen käytön perusteita sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Asiasanat (kohde, menetelmät jne.) Sähkömagnetismi, kompleksiluvut, teoria, mallintaminen Maantieteellinen alue (maa, lääni, kunta, kylä, esiintymä) Karttalehdet Muut tiedot Arkistosarjan nimi Q-raporttisarja Arkistotunnus Q16.2/2006/5 Kokonaissivumäärä 5 Kieli suomi Hinta - Julkisuus julkinen Yksikkö ja vastuualue ESY/geofysiikan linja (va 213) Allekirjoitus/nimen selvennys Hanketunnus Allekirjoitus/nimen selvennys

3 Sivu 2/4 SISÄLLYLUETTELO Johdanto Kentän kompleksiesitys Kenttien suhteet Kirjallisuusluettelo JOHDANTO Tämän raportin tarkoitus on selvittää kompleksilukujen käytön perusteet sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Oikeastaan ainoa näkemäni tyhjentävä esitys on TKK:n sähkömagnetiikan professorin Ismo Lindellin esitys kirjansa alussa Methods for Electromagnetic Field Analysis (ks. viittet). Muut sähkömagnetiikan kirjat sivuuttavat selventävän esityksen. Jo yli sata vuotta on tajuttu, että saamme aikaharmoniselle kentälle matematiikan helpommaksi, jos käytämme kompleksilukuja. KENTÄN KOMPLEKSIESITYS Aikaharmoninen kenttä K on yleisesti muotoa K=Acoswt+Bsinwt, missä isot kirjaimet A ja B ovat vektoreita, ja riippuvat vain paikasta. Kun lisäämme yleiseen aikaharmonisen kentän esitykseen ei-todellista, merkitään se imaginääriseksi, saamme K=Acoswt+Bsinwt + i(-bcoswt+asinwt)= (A i B)exp(iwt). (2 Kun lähteen aikariippuvuuden ajatellaan olevan tätä ns. yleistettyä muotoa exp(iwt), yksinkertaistuvat laskumme lähes aina. Todelliset kentät ovat yleistettyjen kenttien reaaliosia. Laskettaessa differentiaaliyhtälöillä, supistamme kaikissa termeissä esiintyvän exp(iwt)-termin, ja saamme tulokseksi supistetusta differentiaaliyhtälöstä A - ib.

4 Sivu 3/4 Kompleksikentän ratkaisu on (A i B)exp(iwt). Edellä esitetyn mukaan luonnossa esiintyvä kenttä saadaan, kun otetaan kompleksisen kentän reaaliosa. Kun tiedämme kentän riippuvuuden ajasta, voimme laskea kaikki ajasta riippuvat suureet, luonnollisesti. Vaihtoehtoisesti, jos haluamme yleiseksi aikariippuvuudeksi exp(-iwt), imagimaariosana lisäämme kaavan mukaan K=Acoswt+Bsinwt + i(bcoswt-asinwt)= (A+iB)exp(-iwt). Vastaavasti, kompleksimuotoa käyttäen differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa, supistamme tekijän exp(-iwt) ja saamme tulokseksi A+iB ja kentäksi (A+iB)exp(-iwt), jonka reaaliosa on todellinen kenttä. Sähkömagnetismin tunnettu osaaja Tai (Tai, 1971) käytti aikariippuvuutta exp(-iwt), Lindell (1992) aas käytti aikariippuvuutta exp(iwt). Molemmat ilmoittivat käyttämänsä yleistetyn aikariippuvuuden tietenkin. KENTTIEN SUHTEET Haluemme usein, lähes aina, mittaussuureeksi ja tulkintasuureeksi kenttien suhteet. Esimerkiksi Sligram-menetelmässä tulkintasuure on (hz href)/href, missä hz mitattu magneettikentän pystykomponentti ja href on valittu referenssikenttä, yleensä tyhjiön pystykomponentti. Sampossa tulkintasuure on hz/hrad, joka on joko itseisarvomerkkien sisällä, tai ei.

5 Sivu 4/4 Suhdesuureet lasketaan yleistetyllä aikariippuvuudella. Esim. kenttien hz ja hr suhde saadaan muotoon s = [abs(hz)(exp(iwt+ia+ivaihez)]/[abs(hr)exp(iwt+ia+ivaihez)] (1 = abs(hz/hr)exp(i(vaihez-vaiher)) = jokin kompleksiluku. a kuvaa ajanhetkeä, jolloin mittaukset on aloitettu. Suhdesuureet ovat siis laskennollisia. Niitä ei mitata suoraan, vaan ne lasketaan tarvittavista apusuureista. Esim. slingram-menetelmässä href on mitattu johtamattomassa ympäristössä, ja liitetään esitetyllä tavalla totaalikentän mittauksiin. Jos käytämme aikariippuvuutta exp(-iwt) laskiessamme kentän suhteita esitetyllä tavalla, saamme suhteeksi kompleksi-konjugaatin (imaginaariosa on eri merkkinen verrattuna aikariippuvuuteen exp(iwt)). ESIMERKKI Esimerkkinä esitetään kysymys, käyttääkö Sampo dataa käsitellessään exp(iwt) vai exp(-iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja? Tiedetään, että Marco-mallinnusohjelma käyttää exp(iwt) -aikariippuvuutta. Kun Hangon syvän meren päällä mitattuja Sampo-vasteita (Hongisto ja muut, 2004) verrattiin Marcolla saatuihin tuloksiin kompleksimuodossa, saatiin samat reaali- ja imaginäärivasteet. Sampon datankäsittelyohjelmat käyttävät siis exp(iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja. KIRJALLISUUSLUETTELO Ismo V. Lindel, Methods for Electromagnetic Field Analysis. Oxford. Hongisto, H.; Jokinen, J.; Jokinen, T.; Säävuori, H.; Oksama, M Full scale EM modelling on sea ice [Electronic resource]. In: Sharing the Earth : EAGE 66th Conference & Exhibition, Paris, France, 7-10 June 2004 : extended abstracts. Houten: EAGE, 4 p.. Optical disc (CD-ROM). Chen-To Tai, Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory. Monograph Series in Electrical Engineering.

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006.

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006. Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006 Seppo Elo - 2 - GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Seppo Elo KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama ESY Q16.2/2006/4 28.11.2006 Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 28.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella

IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella Etelä-Suomen yksikkö 12.12.2006 Q18.4/2006/1 Espoo IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella Heikki Vanhala (Pohjakartta Maanmittauslaitos, lupa nro 13/MYY/06) 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille

ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille GTK / Etelä-Suomen yksikkö LIFE10 ENV/FI/000062 ASROCKS 30.10.2012 Espoo ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille Paavo Härmä ja Jouko Vuokko With the contribution of the LIFE financial instrument of the

Lisätiedot

SAMPOSUUREET Matti Oksama

SAMPOSUUREET Matti Oksama ESY Q16.2/2006/6 28.11.2006 Espoo SAMPOSUUREET Matti Oksama 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 28.11.2006/ Tekijät Matti Oksama Raportin laji tutkimusraportti Toimeksiantaja Raportin

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo Tuire Valjus

Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo Tuire Valjus Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo 2.5.2017 Geofysiikan mittaukset Velkuan Aumineralisaation alueella Naantalissa Tuire Valjus GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro

Lisätiedot

Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa. Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK)

Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa. Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK) GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Itä-Suomen yksikkö Kuopio M173K2015 Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK) Kokkovaran tilan pintamalli. Korkeusulottuvuutta

Lisätiedot

Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama

Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama Pohjois-Suomen yksikkö M19/2743/2006/1/10 19.10.2006 Rovaniemi Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi 26.6.2012

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi 26.6.2012 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi Selvitys Sodankylän ympäristön maankäyttöä ja kaivostoimintaa tukevasta maaperätiedonkeruusta ja toimintamallista - maaperätiedonkeruu

Lisätiedot

Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama

Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama ESY Q16.2/2007/89 20.12.2007 Espoo Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 20.12.2007 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja

Lisätiedot

Siilomittari Jarkko Jokinen, Kalevi Sulkanen ja Teemu Koskinen

Siilomittari Jarkko Jokinen, Kalevi Sulkanen ja Teemu Koskinen Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/2008/83 5.1.2009 Espoo Siilomittari Jarkko Jokinen, Kalevi Sulkanen ja Teemu Koskinen Siilomittari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 5.1.2009 / E/206/44/2006

Lisätiedot

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI. Työraportti. Pertti Turunen. Geofysikaaliset malminetsintätutkimukset karttalehdellä vuosina

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI. Työraportti. Pertti Turunen. Geofysikaaliset malminetsintätutkimukset karttalehdellä vuosina GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Paivamaara 7.9.1999 Tekijät Raportin laji Pertti Turunen Työraportti Toimeksiantaja Raportin nimi Geofysikaaliset malminetsintätutkimukset karttalehdellä 4522 12 vuosina

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus M06/3821/-97/1/10 Inari, Angeli. Antero Karvinen Rovaniemi

Geologian tutkimuskeskus M06/3821/-97/1/10 Inari, Angeli. Antero Karvinen Rovaniemi Geologian tutkimuskeskus Inari, Angeli Rovaniemi 17.12.1997 Kaoliinitutkimukset Inarin kunnassa Angelin ympäristössä Jalkavaara 1 ja 2 nimisillä valtausalueilla kaivosrekisterinumero 5622/1 ja 2 Tutkimukset

Lisätiedot

HYDROTERMISEN. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN KUUSAMON~ Y ~ S S A

HYDROTERMISEN. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN KUUSAMON~ Y ~ S S A Q 19/46] 3/1998/1 KUUSAMO Pertti Turunen 4.6.1998 ARKISTOKAPPALE GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti HYDROTERMISEN MUUTTUMISEN VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN

Lisätiedot

Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla

Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen yksikkö Kokkola Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla Anton Boman ja Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Kullaan Levanpellon alueella vuosina 1997-1999 suoritetut kultatutkimukset.

Kullaan Levanpellon alueella vuosina 1997-1999 suoritetut kultatutkimukset. GEOLOGIAN TUTKIMCJSKESKUS Tekij at Rosenberg Petri KUVAILULEHTI Päivämäärä 13.1.2000 Raportin laji Ml 911 14312000/ 711 0 tutkimusraportti 1 Raportin nimi Toimeksiantaja Geologian tutkimuskeskus Kullaan

Lisätiedot

Magneettisen suskeptibiliteetin mittaukset eri vaihtovirtakentissä Fredrik Karell, Satu Mertanen ja Matti Leino

Magneettisen suskeptibiliteetin mittaukset eri vaihtovirtakentissä Fredrik Karell, Satu Mertanen ja Matti Leino Etelä-Suomen yksikkö Q16/2009/27 29.4.2009 Espoo Magneettisen suskeptibiliteetin mittaukset eri vaihtovirtakentissä Fredrik Karell, Satu Mertanen ja Matti Leino Magneettisen suskeptibilieetin mittaukset

Lisätiedot

IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari

IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/1244/2008/66 20.11.2008 Espoo IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro

Lisätiedot

Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia

Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia ARKISTOKAFPALE.Q h :IS/PL ILZ-SuoinEi! yksikk6 M 10.1/2006/3 Kuopio Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia Soile Aatos, Peter Sorjonen-Ward, Asko Kontinen & Tapio Kuivasaari QEOLOQIAN TVrKlMUSKESKUS

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

d+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen

d+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,

Lisätiedot

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Ma 02.09.13 16:00-19:00 ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 4/S1 A102 T02 36 Mon 02.09.13 16:00-19:00 S-104.3310 Optoelectronics 4/S1 A102 T2 36

Lisätiedot

Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien

Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS ESY Espoo 70/2014 Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien projekteina Laine, Eevaliisa GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Geologisten 3D-mallien tallentaminen 15.11.2012

Lisätiedot

Tutkimustyöselostus Vampulan kunnassa, valtausalueella Matkussuo (kaivosrekisterinumero 7822/1) suoritetuista kaoliinitutkimuksista vuosina

Tutkimustyöselostus Vampulan kunnassa, valtausalueella Matkussuo (kaivosrekisterinumero 7822/1) suoritetuista kaoliinitutkimuksista vuosina Etelä-Suomen yksikkö M06/2112/2007/82/16 12.3.2007 Espoo Tutkimustyöselostus Vampulan kunnassa, valtausalueella Matkussuo (kaivosrekisterinumero 7822/1) suoritetuista kaoliinitutkimuksista vuosina 2004-2005

Lisätiedot

PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS

PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS Geologian tutkimuskeskus Länsi-Suomen yksikkö Kokkola 21.3.2013 PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 21.03.2013 / M29L2013

Lisätiedot

Tammelan Liesjärven Au-Cu -kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2016

Tammelan Liesjärven Au-Cu -kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2016 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Yksikkö Espoo 93/2016 Tammelan Liesjärven Au-Cu -kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2016 Hanna Leväniemi, Niilo Kärkkäinen GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 93/2016 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää

Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää Etelä-Suomen yksikkö P 31.4/2009/12 02.03.2009 Espoo Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä. Elo Seppo

Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä. Elo Seppo Geologian tutkimuskeskus Raporttitunnus 6/2011 Etelä-Suomen yksikkö 02.02.2011 Espoo Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä Elo Seppo GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Litium tutkimukset Someron Luhtinmäellä vuonna 2012 Timo Ahtola & Janne Kuusela

Litium tutkimukset Someron Luhtinmäellä vuonna 2012 Timo Ahtola & Janne Kuusela GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 17.12.2015 103/2015 Litium tutkimukset Someron Luhtinmäellä vuonna 2012 Timo Ahtola & Janne Kuusela GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 17.12.2015 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi

Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen Yksikkö Kokkola 2/2015 Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

RAPAKALLIOTUTKIMUKSET PELKOSENNIEMEN SUVANNOSSA 1998

RAPAKALLIOTUTKIMUKSET PELKOSENNIEMEN SUVANNOSSA 1998 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/3642/-99/1/82 PELKOSENNIEMI Suvanto Panu Lintinen 27.9.1999 RAPAKALLIOTUTKIMUKSET PELKOSENNIEMEN SUVANNOSSA 1998 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.

Yleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö. Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT

VAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava

Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Viidansuon kairaukset Kangasniemellä vuonna 2015

Viidansuon kairaukset Kangasniemellä vuonna 2015 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat Kuopio Arkistoraportti 26/2016 Viidansuon kairaukset Kangasniemellä vuonna 2015 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Arkistoraportti 26/2016 GEOLOGIAN

Lisätiedot

Sodankylän Mutsoivan luonnonkiviesiintymän geofysikaaliset tutkimukset 2005-2006 Erkki Lanne

Sodankylän Mutsoivan luonnonkiviesiintymän geofysikaaliset tutkimukset 2005-2006 Erkki Lanne Pohjois-Suomen yksikkö Q19/3731/2007/20/10 20.2.2007 Rovaniemi Sodankylän Mutsoivan luonnonkiviesiintymän geofysikaaliset tutkimukset 2005-2006 Erkki Lanne GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

5i!40 i. $,#] s! LL 9 S0. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti. VLF-R-mittaus Kouvervaarasta

5i!40 i. $,#] s! LL 9 S0. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti. VLF-R-mittaus Kouvervaarasta Q 19/4522/2000/1 KUUSAMO Pertti Turunen 16.6.2000 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti @ 60 Li 9 S0 5i!40 i 1 rd $,#] s! LL 10' 0 50 100 150 X (m) 200 20 30 40 VLF-R-mittaus

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)

Lisätiedot

Pieksämäen Lohkolinjakankaan kairaukset vuonna 2016

Pieksämäen Lohkolinjakankaan kairaukset vuonna 2016 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat Kuopio Arkistoraportti 84/16 Pieksämäen Lohkolinjakankaan kairaukset vuonna 16 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Arkistoraportti 84/16 GEOLOGIAN

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut

Lisätiedot

Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin

Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin Länsi-Suomen yksikkö 16.5.2011 Kokkola Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.05.2011/L/289/42/2010

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää

Lisätiedot

Tuuli- ja rantakerrostumien inventointi GTK:n Etelä-Suomen yksikössä 2009 Rauhaniemi Tom & Sahala Lauri

Tuuli- ja rantakerrostumien inventointi GTK:n Etelä-Suomen yksikössä 2009 Rauhaniemi Tom & Sahala Lauri Etelä-Suomen yksikkö 31.4/2010/17 18.03.2010 Espoo Tuuli- ja rantakerrostumien inventointi GTK:n Etelä-Suomen yksikössä 2009 Rauhaniemi Tom & Sahala Lauri Arkistoraportti GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

KARKKILAN HONGISTON POHJAVESIALUEEN GEOLOGISEN RAKENTEEN SELVITYS JA VAIKUTUS POHJAVESIOLOSUHTEISIIN

KARKKILAN HONGISTON POHJAVESIALUEEN GEOLOGISEN RAKENTEEN SELVITYS JA VAIKUTUS POHJAVESIOLOSUHTEISIIN GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGISKA FORSKNINGSCENTRALEN GEOLOGICAL SURVEY OF FINLAND ARKISTORAPORTTI 22/2014 Raportti 07.05.2002 UUDENMAAN YMPARISTOKESKUS: KARKKILAN HONGISTON POHJAVESIALUEEN GEOLOGISEN

Lisätiedot

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko

Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Ke 25.09.13 10:00-12:00 ELEC-A3110 Mekaniikka 1/B Y203a, 4/S4 A202 VK01 39 Ke 16.10.13 10:00-12:00 ELEC-A3110 Mekaniikka 1/A Y202a VK02 42 Ke 06.11.13

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

KARBONAATTIKIVITUTKIMUKSIA SIUNTION VEJANSISSA VUONNA Hannu Seppänen, Pekka Karimerto & Jukka Kaunismäki

KARBONAATTIKIVITUTKIMUKSIA SIUNTION VEJANSISSA VUONNA Hannu Seppänen, Pekka Karimerto & Jukka Kaunismäki Etelä-Suomen yksikkö 81/2012 SIUNTIO Vejans KARBONAATTIKIVITUTKIMUKSIA SIUNTION VEJANSISSA VUONNA 2001 Hannu Seppänen, Pekka Karimerto & Jukka Kaunismäki GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Hannu

Lisätiedot

Additions, deletions and changes to courses for the academic year Mitä vanhoja kursseja uusi korvaa / kommentit

Additions, deletions and changes to courses for the academic year Mitä vanhoja kursseja uusi korvaa / kommentit s, s and changes to courses for the academic year 2016 2017 Mikro ja nanotekniikan laitos Department for Micro and Nanosciences S 69, S 87, S 104, S 129, ELEC A3, ELEC C3, ELEC D3, ELEC E3, ELEC L3 T 4030

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Väli-Suomen aluetoimisto M06/3241/1-98/2/10 LEPPÄVIRTA Heimonvuori 1, 2,3. Jari Mäkinen, Heikki Forss 15.12.

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Väli-Suomen aluetoimisto M06/3241/1-98/2/10 LEPPÄVIRTA Heimonvuori 1, 2,3. Jari Mäkinen, Heikki Forss 15.12. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Väli-Suomen aluetoimisto M06/3241/1-98/2/10 LEPPÄVIRTA Heimonvuori 1, 2,3 Jari Mäkinen, Heikki Forss 15.12.1998 TUTKIMUSTYÖSELOSTUS LEPPÄVIRRAN KUNNASSA VALTAUSALUEELLA HEIMONVUORI

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.

Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab. Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN

SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN H. Honkanen SÄHKÖMAGNEETTISEN KYTKEYTYMISEN TEORIAA Sähkömagneettinen kytkeytyminen on häiiöiden siitymistä sähkömagneettisen aaltoliikkeen välityksellä. Sähkömagneettisen

Lisätiedot

Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset

Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GSO/MIV Espoo 97/2016 Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2014-2016 Hanna Leväniemi, Sari Grönholm GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 97/2016 2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/4611/99/1/82 KUUSAMO Kokanlampi Risto Vartiainen 31.8.1999

Geologian tutkimuskeskus Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/4611/99/1/82 KUUSAMO Kokanlampi Risto Vartiainen 31.8.1999 Geologian tutkimuskeskus Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/4611/99/1/82 KUUSAMO Kokanlampi Risto Vartiainen 31.8.1999 KAOLIINITUTKIMUKSET KUUSAMON KOKANLAMMELLA 1997-1998 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Kairaukset Toivakan Hamperinjoella ja Toivakanlehdossa vuonna 2015

Kairaukset Toivakan Hamperinjoella ja Toivakanlehdossa vuonna 2015 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat tulosyksikkö Kuopio Arkistoraportti 9/2016 Kairaukset Toivakan Hamperinjoella ja Toivakanlehdossa vuonna 2015 Perttu Mikkola, Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Espoon yksikkö Viitajärvi Toholammi M06/2342/2007/10/70 26.10.20067

Espoon yksikkö Viitajärvi Toholammi M06/2342/2007/10/70 26.10.20067 Espoon yksikkö Viitajärvi Toholammi M06/2342/2007/10/70 26.10.20067 Tutkimustyöselostus malmitutkimuksista Kannuksen, Lohtajan ja Toholammin kuntien alueella sijaitsevalla Viitajärven valtauksella, kaivosrekisteri

Lisätiedot

Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - esimerkkejä hyvistä käytännöistä ja ratkaisuista

Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - esimerkkejä hyvistä käytännöistä ja ratkaisuista GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 17.6.2014 90/2014 Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - esimerkkejä hyvistä käytännöistä ja ratkaisuista CliPLivE-projektin ekskursio This project is co-funded

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

KULTATUTKIMUKSET SUODENNIEMEN PAISKALLION ALUEELLA VUOSINA 1997-1999.

KULTATUTKIMUKSET SUODENNIEMEN PAISKALLION ALUEELLA VUOSINA 1997-1999. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen aluetoimisto Kallioperä ja raaka-aineet M19/2121/2000/ 1 /10 SUODENNIEMI Paiskallio RAPORTTITIEDOSTO N:O 4404 Petri Rosenberg 18.2.2000 KULTATUTKIMUKSET SUODENNIEMEN

Lisätiedot

Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - Kotka, Hamina ja Porvoo CliPLivE-projektin ekskursio 11.-12.8.2014

Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - Kotka, Hamina ja Porvoo CliPLivE-projektin ekskursio 11.-12.8.2014 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 11.8.2014 91/2014 Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - Kotka, Hamina ja Porvoo CliPLivE-projektin ekskursio 11.-12.8.2014 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 11.8.2014

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

Vaakarakoilu Länsi-Metron linjauksen alueella Salmisaaresta Matinkylään Mari Tuusjärvi

Vaakarakoilu Länsi-Metron linjauksen alueella Salmisaaresta Matinkylään Mari Tuusjärvi Kallioperä ja raaka-aineet K 21.42/2007/55 21.11.2007 Espoo Vaakarakoilu Länsi-Metron linjauksen alueella Salmisaaresta Matinkylään Mari Tuusjärvi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 21.11.07 / Dnro

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari

3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/200/6 Espoo 3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro Tekijät Taija Huotari Raportin laji arkistoraportti Toimeksiantaja

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Maastotallennin ja metsäkuviotietoihin pohjautuva reitinoptimointi moreeninäytteenotossa Anne Taivalkoski ja Pertti Sarala

Maastotallennin ja metsäkuviotietoihin pohjautuva reitinoptimointi moreeninäytteenotossa Anne Taivalkoski ja Pertti Sarala GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen yksikkö Rovaniemi 170/2013 Maastotallennin ja metsäkuviotietoihin pohjautuva reitinoptimointi moreeninäytteenotossa Anne Taivalkoski ja Pertti Sarala GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Tilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op

Tilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op MATEMATIIKKA Mat-1.1210 Matematiikan peruskurssi S1 ei järjestetä enää MS-A0103/4* Differentiaali- ja integraalilaskenta I 5 op sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op Mat-1.1110 Matematiikan peruskurssi

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Luku 13. Vaihtovirrat Sinimuotoinen vaihtojännite

Luku 13. Vaihtovirrat Sinimuotoinen vaihtojännite Luku 13 Vaihtovirrat 13.1 Sinimuotoinen vaihtojännite Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate on esitetty kappaleessa 10.7. Sen perusteella homogeenisessa magneettikentässä pyörivään johdinsilmukkaan

Lisätiedot

Maankamaran kartoitus lentogeofysikaalisin menetelmin

Maankamaran kartoitus lentogeofysikaalisin menetelmin Maankamaran kartoitus lentogeofysikaalisin menetelmin Kaukokartoituspäivät 9.11.2007 Hanna Leväniemi, Taija Huotari, Ilkka Suppala Sisältö Aerogeofysikaaliset mittaukset yleisesti GTK:n lentomittaukset

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

PAIMION KORVENALAN ALUEELLA VUOSINA 1996-1998 SUORITETUT KULTATUTKIMUKSET.

PAIMION KORVENALAN ALUEELLA VUOSINA 1996-1998 SUORITETUT KULTATUTKIMUKSET. RAPORTTITIEDOSTO N:O 4403 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen aluetoimisto Kallioperä ja raaka-aineet M19/2021/2000/1/10 PAIMIO Korvenala Petri Rosenberg 20.1.2000 PAIMION KORVENALAN ALUEELLA VUOSINA

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin

2. Polynomien jakamisesta tekijöihin Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Hollan kairaukset Joutsassa 2014 Perttu Mikkola & Sami Niemi

Hollan kairaukset Joutsassa 2014 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Itä-Suomen yksikkö Kuopio Arkistoraportti 31/2015 Hollan kairaukset Joutsassa 2014 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä

Lisätiedot

Heijastusseismisten FIRE-luotausten tulkinta Keski-Lapin liuskealueella Reflex2DQuick-ohjelmaa käyttäen Erkki Lanne

Heijastusseismisten FIRE-luotausten tulkinta Keski-Lapin liuskealueella Reflex2DQuick-ohjelmaa käyttäen Erkki Lanne Pohjois-Suomen yksikkö Q23/2009/21 8.4.2009 Rovaniemi Heijastusseismisten FIRE-luotausten tulkinta Keski-Lapin liuskealueella Reflex2DQuick-ohjelmaa käyttäen Erkki Lanne GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Liikkuva-sovellusprojekti

Liikkuva-sovellusprojekti Liikkuva-sovellusprojekti Joel Kivelä Erkki Koskenkorva Mika Lehtinen Oskari Leppäaho Petri Partanen Vaatimusmäärittely Julkinen Versio 010 1322014 Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos Jyväskylä

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että

Lisätiedot

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT: Logiikka 1/5 Sisältö Formaali logiikka Luonnollinen logiikka muodostaa perustan arkielämän päättelyille. Sen käyttö on intuitiivista ja usein tiedostamatonta. Mikäli logiikka halutaan täsmällistää esimerkiksi

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:

6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim: 6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus

Lisätiedot

INSPIREn määrittelyjen mukaisen tietotuotteen muodostaminen: <Mineraalivarat>

INSPIREn määrittelyjen mukaisen tietotuotteen muodostaminen: <Mineraalivarat> Muistio 2014-06-11 Sivu 1 / 6 INSPIREn määrittelyjen mukaisen tietotuotteen muodostaminen: Suunnitelma Otsikko INSPIREn määrittelyjen mukaisen tietotuotteen muodostaminen: Mineraalivarat

Lisätiedot

Työ- ja elinkeinoministeriön kaivostilastojen kehittämisen asiakasnäkökulma - suppea kyselytutkimus Saku Vuori ja Mari Tuusjärvi

Työ- ja elinkeinoministeriön kaivostilastojen kehittämisen asiakasnäkökulma - suppea kyselytutkimus Saku Vuori ja Mari Tuusjärvi Etelä-Suomen Yksikkö M10/2009/17 02.04.2009 Espoo Työ- ja elinkeinoministeriön kaivostilastojen kehittämisen asiakasnäkökulma - suppea kyselytutkimus Saku Vuori ja Mari Tuusjärvi Luonnonvarojen tilinpito

Lisätiedot