Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama
|
|
- Tuula Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ESY Q16.2/2006/ Espoo Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama
2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja GTK Raportin nimi Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Tiivistelmä Raportissa käsitellään kompleksilukujen käytön perusteita sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Asiasanat (kohde, menetelmät jne.) Sähkömagnetismi, kompleksiluvut, teoria, mallintaminen Maantieteellinen alue (maa, lääni, kunta, kylä, esiintymä) Karttalehdet Muut tiedot Arkistosarjan nimi Q-raporttisarja Arkistotunnus Q16.2/2006/5 Kokonaissivumäärä 5 Kieli suomi Hinta - Julkisuus julkinen Yksikkö ja vastuualue ESY/geofysiikan linja (va 213) Allekirjoitus/nimen selvennys Hanketunnus Allekirjoitus/nimen selvennys
3 Sivu 2/4 SISÄLLYLUETTELO Johdanto Kentän kompleksiesitys Kenttien suhteet Kirjallisuusluettelo JOHDANTO Tämän raportin tarkoitus on selvittää kompleksilukujen käytön perusteet sähkömagneettisten ilmiöiden tutkimisessa ja kaavojen johdossa. Oikeastaan ainoa näkemäni tyhjentävä esitys on TKK:n sähkömagnetiikan professorin Ismo Lindellin esitys kirjansa alussa Methods for Electromagnetic Field Analysis (ks. viittet). Muut sähkömagnetiikan kirjat sivuuttavat selventävän esityksen. Jo yli sata vuotta on tajuttu, että saamme aikaharmoniselle kentälle matematiikan helpommaksi, jos käytämme kompleksilukuja. KENTÄN KOMPLEKSIESITYS Aikaharmoninen kenttä K on yleisesti muotoa K=Acoswt+Bsinwt, missä isot kirjaimet A ja B ovat vektoreita, ja riippuvat vain paikasta. Kun lisäämme yleiseen aikaharmonisen kentän esitykseen ei-todellista, merkitään se imaginääriseksi, saamme K=Acoswt+Bsinwt + i(-bcoswt+asinwt)= (A i B)exp(iwt). (2 Kun lähteen aikariippuvuuden ajatellaan olevan tätä ns. yleistettyä muotoa exp(iwt), yksinkertaistuvat laskumme lähes aina. Todelliset kentät ovat yleistettyjen kenttien reaaliosia. Laskettaessa differentiaaliyhtälöillä, supistamme kaikissa termeissä esiintyvän exp(iwt)-termin, ja saamme tulokseksi supistetusta differentiaaliyhtälöstä A - ib.
4 Sivu 3/4 Kompleksikentän ratkaisu on (A i B)exp(iwt). Edellä esitetyn mukaan luonnossa esiintyvä kenttä saadaan, kun otetaan kompleksisen kentän reaaliosa. Kun tiedämme kentän riippuvuuden ajasta, voimme laskea kaikki ajasta riippuvat suureet, luonnollisesti. Vaihtoehtoisesti, jos haluamme yleiseksi aikariippuvuudeksi exp(-iwt), imagimaariosana lisäämme kaavan mukaan K=Acoswt+Bsinwt + i(bcoswt-asinwt)= (A+iB)exp(-iwt). Vastaavasti, kompleksimuotoa käyttäen differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa, supistamme tekijän exp(-iwt) ja saamme tulokseksi A+iB ja kentäksi (A+iB)exp(-iwt), jonka reaaliosa on todellinen kenttä. Sähkömagnetismin tunnettu osaaja Tai (Tai, 1971) käytti aikariippuvuutta exp(-iwt), Lindell (1992) aas käytti aikariippuvuutta exp(iwt). Molemmat ilmoittivat käyttämänsä yleistetyn aikariippuvuuden tietenkin. KENTTIEN SUHTEET Haluemme usein, lähes aina, mittaussuureeksi ja tulkintasuureeksi kenttien suhteet. Esimerkiksi Sligram-menetelmässä tulkintasuure on (hz href)/href, missä hz mitattu magneettikentän pystykomponentti ja href on valittu referenssikenttä, yleensä tyhjiön pystykomponentti. Sampossa tulkintasuure on hz/hrad, joka on joko itseisarvomerkkien sisällä, tai ei.
5 Sivu 4/4 Suhdesuureet lasketaan yleistetyllä aikariippuvuudella. Esim. kenttien hz ja hr suhde saadaan muotoon s = [abs(hz)(exp(iwt+ia+ivaihez)]/[abs(hr)exp(iwt+ia+ivaihez)] (1 = abs(hz/hr)exp(i(vaihez-vaiher)) = jokin kompleksiluku. a kuvaa ajanhetkeä, jolloin mittaukset on aloitettu. Suhdesuureet ovat siis laskennollisia. Niitä ei mitata suoraan, vaan ne lasketaan tarvittavista apusuureista. Esim. slingram-menetelmässä href on mitattu johtamattomassa ympäristössä, ja liitetään esitetyllä tavalla totaalikentän mittauksiin. Jos käytämme aikariippuvuutta exp(-iwt) laskiessamme kentän suhteita esitetyllä tavalla, saamme suhteeksi kompleksi-konjugaatin (imaginaariosa on eri merkkinen verrattuna aikariippuvuuteen exp(iwt)). ESIMERKKI Esimerkkinä esitetään kysymys, käyttääkö Sampo dataa käsitellessään exp(iwt) vai exp(-iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja? Tiedetään, että Marco-mallinnusohjelma käyttää exp(iwt) -aikariippuvuutta. Kun Hangon syvän meren päällä mitattuja Sampo-vasteita (Hongisto ja muut, 2004) verrattiin Marcolla saatuihin tuloksiin kompleksimuodossa, saatiin samat reaali- ja imaginäärivasteet. Sampon datankäsittelyohjelmat käyttävät siis exp(iwt) - aikariippuvuudella johdettuja kaavoja. KIRJALLISUUSLUETTELO Ismo V. Lindel, Methods for Electromagnetic Field Analysis. Oxford. Hongisto, H.; Jokinen, J.; Jokinen, T.; Säävuori, H.; Oksama, M Full scale EM modelling on sea ice [Electronic resource]. In: Sharing the Earth : EAGE 66th Conference & Exhibition, Paris, France, 7-10 June 2004 : extended abstracts. Houten: EAGE, 4 p.. Optical disc (CD-ROM). Chen-To Tai, Dyadic Green's Functions in Electromagnetic Theory. Monograph Series in Electrical Engineering.
Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006.
Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006 Seppo Elo - 2 - GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Seppo Elo KUVAILULEHTI
LisätiedotSampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama
ESY Q16.2/2006/4 28.11.2006 Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 28.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti
LisätiedotIP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella
Etelä-Suomen yksikkö 12.12.2006 Q18.4/2006/1 Espoo IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella Heikki Vanhala (Pohjakartta Maanmittauslaitos, lupa nro 13/MYY/06) 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI
LisätiedotSAMPOSUUREET Matti Oksama
ESY Q16.2/2006/6 28.11.2006 Espoo SAMPOSUUREET Matti Oksama 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 28.11.2006/ Tekijät Matti Oksama Raportin laji tutkimusraportti Toimeksiantaja Raportin
LisätiedotASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille
GTK / Etelä-Suomen yksikkö LIFE10 ENV/FI/000062 ASROCKS 30.10.2012 Espoo ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille Paavo Härmä ja Jouko Vuokko With the contribution of the LIFE financial instrument of the
LisätiedotGeologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo Tuire Valjus
Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo 2.5.2017 Geofysiikan mittaukset Velkuan Aumineralisaation alueella Naantalissa Tuire Valjus GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro
LisätiedotKiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa. Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK)
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Itä-Suomen yksikkö Kuopio M173K2015 Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK) Kokkovaran tilan pintamalli. Korkeusulottuvuutta
LisätiedotKultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama
Pohjois-Suomen yksikkö M19/2743/2006/1/10 19.10.2006 Rovaniemi Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI
LisätiedotGEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi 26.6.2012
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi Selvitys Sodankylän ympäristön maankäyttöä ja kaivostoimintaa tukevasta maaperätiedonkeruusta ja toimintamallista - maaperätiedonkeruu
LisätiedotSampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama
ESY Q16.2/2007/89 20.12.2007 Espoo Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 20.12.2007 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja
LisätiedotSiilomittari Jarkko Jokinen, Kalevi Sulkanen ja Teemu Koskinen
Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/2008/83 5.1.2009 Espoo Siilomittari Jarkko Jokinen, Kalevi Sulkanen ja Teemu Koskinen Siilomittari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 5.1.2009 / E/206/44/2006
LisätiedotGEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI. Työraportti. Pertti Turunen. Geofysikaaliset malminetsintätutkimukset karttalehdellä vuosina
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Paivamaara 7.9.1999 Tekijät Raportin laji Pertti Turunen Työraportti Toimeksiantaja Raportin nimi Geofysikaaliset malminetsintätutkimukset karttalehdellä 4522 12 vuosina
LisätiedotGeologian tutkimuskeskus M06/3821/-97/1/10 Inari, Angeli. Antero Karvinen Rovaniemi
Geologian tutkimuskeskus Inari, Angeli Rovaniemi 17.12.1997 Kaoliinitutkimukset Inarin kunnassa Angelin ympäristössä Jalkavaara 1 ja 2 nimisillä valtausalueilla kaivosrekisterinumero 5622/1 ja 2 Tutkimukset
LisätiedotHYDROTERMISEN. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN KUUSAMON~ Y ~ S S A
Q 19/46] 3/1998/1 KUUSAMO Pertti Turunen 4.6.1998 ARKISTOKAPPALE GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti HYDROTERMISEN MUUTTUMISEN VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN
LisätiedotKullaan Levanpellon alueella vuosina 1997-1999 suoritetut kultatutkimukset.
GEOLOGIAN TUTKIMCJSKESKUS Tekij at Rosenberg Petri KUVAILULEHTI Päivämäärä 13.1.2000 Raportin laji Ml 911 14312000/ 711 0 tutkimusraportti 1 Raportin nimi Toimeksiantaja Geologian tutkimuskeskus Kullaan
LisätiedotSerpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia
ARKISTOKAFPALE.Q h :IS/PL ILZ-SuoinEi! yksikk6 M 10.1/2006/3 Kuopio Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia Soile Aatos, Peter Sorjonen-Ward, Asko Kontinen & Tapio Kuivasaari QEOLOQIAN TVrKlMUSKESKUS
LisätiedotMagneettisen suskeptibiliteetin mittaukset eri vaihtovirtakentissä Fredrik Karell, Satu Mertanen ja Matti Leino
Etelä-Suomen yksikkö Q16/2009/27 29.4.2009 Espoo Magneettisen suskeptibiliteetin mittaukset eri vaihtovirtakentissä Fredrik Karell, Satu Mertanen ja Matti Leino Magneettisen suskeptibilieetin mittaukset
LisätiedotHappamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen yksikkö Kokkola Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla Anton Boman ja Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotIP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari
Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/1244/2008/66 20.11.2008 Espoo IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotTutkimustyöselostus Vampulan kunnassa, valtausalueella Matkussuo (kaivosrekisterinumero 7822/1) suoritetuista kaoliinitutkimuksista vuosina
Etelä-Suomen yksikkö M06/2112/2007/82/16 12.3.2007 Espoo Tutkimustyöselostus Vampulan kunnassa, valtausalueella Matkussuo (kaivosrekisterinumero 7822/1) suoritetuista kaoliinitutkimuksista vuosina 2004-2005
Lisätiedotd+tv 1 S l x 2 x 1 x 3 MEI Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen
MEI-55100 Mallintamisen perusteet Harjoitus 6, kevät 2015 Tuomas Kovanen Tehtävä 1: Tarkastellaan luentojen esimerkkiä, jossa johepalkki liikkuu kahen johelevyn välissä homogeenisessä magneettikentässä,
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
LisätiedotGTK-FrEM reikämittaukset Suhangon kerrosintruusiolla 2017
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Geofysiikan sovellukset Arkistotunnus: 73/2017 GTK-FrEM reikämittaukset Suhangon kerrosintruusiolla 2017 Matti Niskanen ja Jarkko Jokinen GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotPv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko
Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Ma 02.09.13 16:00-19:00 ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 4/S1 A102 T02 36 Mon 02.09.13 16:00-19:00 S-104.3310 Optoelectronics 4/S1 A102 T2 36
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
LisätiedotGeologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS ESY Espoo 70/2014 Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien projekteina Laine, Eevaliisa GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Geologisten 3D-mallien tallentaminen 15.11.2012
LisätiedotNäränkävaaran FrEM-syvätutkimus 2018
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GSO Kuopio 45/2018 Näränkävaaran FrEM-syvätutkimus 2018 Matti Niskanen (GTK) Jarkko Jokinen (Loop and Line Oy) FrEM-mittauksen valmistelua Korpijärven jäällä. Vasemmalta J Jokinen
LisätiedotTammelan Liesjärven Au-Cu -kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2016
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Yksikkö Espoo 93/2016 Tammelan Liesjärven Au-Cu -kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2016 Hanna Leväniemi, Niilo Kärkkäinen GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 93/2016 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotPYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS
Geologian tutkimuskeskus Länsi-Suomen yksikkö Kokkola 21.3.2013 PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 21.03.2013 / M29L2013
LisätiedotBasen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä. Elo Seppo
Geologian tutkimuskeskus Raporttitunnus 6/2011 Etelä-Suomen yksikkö 02.02.2011 Espoo Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä Elo Seppo GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotMaatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää
Etelä-Suomen yksikkö P 31.4/2009/12 02.03.2009 Espoo Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotSodankylän Mutsoivan luonnonkiviesiintymän geofysikaaliset tutkimukset 2005-2006 Erkki Lanne
Pohjois-Suomen yksikkö Q19/3731/2007/20/10 20.2.2007 Rovaniemi Sodankylän Mutsoivan luonnonkiviesiintymän geofysikaaliset tutkimukset 2005-2006 Erkki Lanne GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLitium tutkimukset Someron Luhtinmäellä vuonna 2012 Timo Ahtola & Janne Kuusela
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 17.12.2015 103/2015 Litium tutkimukset Someron Luhtinmäellä vuonna 2012 Timo Ahtola & Janne Kuusela GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 17.12.2015 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotItä-Suomen yksikkö K/781/41/ Kuopio. Kalliokiviaineskohteiden inventointi. Pohjois-Karjala. Reino Kesola. Tilaaja:
2 Itä-Suomen yksikkö K/781/41/2006 29.12.2006 Kuopio Kalliokiviaineskohteiden inventointi Pohjois-Karjala Reino Kesola Tilaaja: 3 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Reino Kesola KUVAILULEHTI Päivämäärä /
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen Yksikkö Kokkola 2/2015 Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotRAPAKALLIOTUTKIMUKSET PELKOSENNIEMEN SUVANNOSSA 1998
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/3642/-99/1/82 PELKOSENNIEMI Suvanto Panu Lintinen 27.9.1999 RAPAKALLIOTUTKIMUKSET PELKOSENNIEMEN SUVANNOSSA 1998 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI
LisätiedotSMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
LisätiedotTepsa ja Palojärvi: Kohteellisten moreeninäytteiden uudelleenanalysointi
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Malmit ja teollisuusmineraalit Espoo 5/2019 Tepsa ja Palojärvi: Kohteellisten moreeninäytteiden uudelleenanalysointi Anne Taivalkoski GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 5/2019 GEOLOGIAN
LisätiedotYleistä sähkömagnetismista SÄHKÖMAGNETISMI KÄSITEKARTTANA: Varaus. Coulombin voima Gaussin laki. Dipoli. Sähkökenttä. Poissonin yhtälö.
Yleistä sähkömagnetismista IÄLTÖ: ähkömagnetismi käsitekarttana ähkömagnetismin kaavakokoelma ähkö- ja magneettikentistä Maxwellin yhtälöistä ÄHKÖMAGNETIMI KÄITEKARTTANA: Kapasitanssi Kondensaattori Varaus
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotVAASAN YLIOPISTO SATE.2010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE 2: AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT
VAAAN YLIOPITO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA ÄHKÖTEKNIIKKA Maarit Vesapuisto ATE.010 DYNAAMINEN KENTTÄTEORIA: KAPPALE 1: JOHDANTO KAPPALE : AJAN MUKAAN MUUTTUVAT KENTÄT JA MAXWELLIN YHTÄLÖT Opetusmoniste (Raaka
LisätiedotKolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
LisätiedotVesijärven sedimenttitutkimukset kaikuluotaamalla 2018
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Merigeologia Espoo Vesijärven sedimenttitutkimukset kaikuluotaamalla 2018 Jyrki Hämäläinen GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 8.11.2017 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Jyrki
LisätiedotViidansuon kairaukset Kangasniemellä vuonna 2015
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat Kuopio Arkistoraportti 26/2016 Viidansuon kairaukset Kangasniemellä vuonna 2015 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Arkistoraportti 26/2016 GEOLOGIAN
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
Lisätiedot5i!40 i. $,#] s! LL 9 S0. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti. VLF-R-mittaus Kouvervaarasta
Q 19/4522/2000/1 KUUSAMO Pertti Turunen 16.6.2000 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti @ 60 Li 9 S0 5i!40 i 1 rd $,#] s! LL 10' 0 50 100 150 X (m) 200 20 30 40 VLF-R-mittaus
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
LisätiedotSÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN
SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN H. Honkanen SÄHKÖMAGNEETTISEN KYTKEYTYMISEN TEORIAA Sähkömagneettinen kytkeytyminen on häiiöiden siitymistä sähkömagneettisen aaltoliikkeen välityksellä. Sähkömagneettisen
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää
LisätiedotTuuli- ja rantakerrostumien inventointi GTK:n Etelä-Suomen yksikössä 2009 Rauhaniemi Tom & Sahala Lauri
Etelä-Suomen yksikkö 31.4/2010/17 18.03.2010 Espoo Tuuli- ja rantakerrostumien inventointi GTK:n Etelä-Suomen yksikössä 2009 Rauhaniemi Tom & Sahala Lauri Arkistoraportti GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI
LisätiedotMaailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin
Länsi-Suomen yksikkö 16.5.2011 Kokkola Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.05.2011/L/289/42/2010
LisätiedotPv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko
Pv Pvm Aika Kurssin koodi ja nimi Sali Tentti/Vk Viikko Ke 25.09.13 10:00-12:00 ELEC-A3110 Mekaniikka 1/B Y203a, 4/S4 A202 VK01 39 Ke 16.10.13 10:00-12:00 ELEC-A3110 Mekaniikka 1/A Y202a VK02 42 Ke 06.11.13
LisätiedotKARBONAATTIKIVITUTKIMUKSIA SIUNTION VEJANSISSA VUONNA Hannu Seppänen, Pekka Karimerto & Jukka Kaunismäki
Etelä-Suomen yksikkö 81/2012 SIUNTIO Vejans KARBONAATTIKIVITUTKIMUKSIA SIUNTION VEJANSISSA VUONNA 2001 Hannu Seppänen, Pekka Karimerto & Jukka Kaunismäki GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Hannu
LisätiedotKARKKILAN HONGISTON POHJAVESIALUEEN GEOLOGISEN RAKENTEEN SELVITYS JA VAIKUTUS POHJAVESIOLOSUHTEISIIN
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGISKA FORSKNINGSCENTRALEN GEOLOGICAL SURVEY OF FINLAND ARKISTORAPORTTI 22/2014 Raportti 07.05.2002 UUDENMAAN YMPARISTOKESKUS: KARKKILAN HONGISTON POHJAVESIALUEEN GEOLOGISEN
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotAdditions, deletions and changes to courses for the academic year Mitä vanhoja kursseja uusi korvaa / kommentit
s, s and changes to courses for the academic year 2016 2017 Mikro ja nanotekniikan laitos Department for Micro and Nanosciences S 69, S 87, S 104, S 129, ELEC A3, ELEC C3, ELEC D3, ELEC E3, ELEC L3 T 4030
LisätiedotPieksämäen Lohkolinjakankaan kairaukset vuonna 2016
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat Kuopio Arkistoraportti 84/16 Pieksämäen Lohkolinjakankaan kairaukset vuonna 16 Perttu Mikkola & Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Arkistoraportti 84/16 GEOLOGIAN
LisätiedotJännite, virran voimakkuus ja teho
Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto
LisätiedotOutokummun syväreiän ja sen viereisen pohjavesikaivon lämpötila ja vedenpintaseuranta
Yksikkö P 32.4/2009/5 16.01.2009 Espoo Outokummun syväreiän ja sen viereisen pohjavesikaivon lämpötila ja vedenpintaseuranta 2006-2008 Pekka Hänninen, Osmo Äikää, Ilmo Kukkonen ja Raimo Sutinen 2 GEOLOGIAN
LisätiedotGEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Väli-Suomen aluetoimisto M06/3241/1-98/2/10 LEPPÄVIRTA Heimonvuori 1, 2,3. Jari Mäkinen, Heikki Forss 15.12.
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Väli-Suomen aluetoimisto M06/3241/1-98/2/10 LEPPÄVIRTA Heimonvuori 1, 2,3 Jari Mäkinen, Heikki Forss 15.12.1998 TUTKIMUSTYÖSELOSTUS LEPPÄVIRRAN KUNNASSA VALTAUSALUEELLA HEIMONVUORI
LisätiedotOminaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170
Ominaisarvot ja ominaisvektorit 140 / 170 Seuraavissa luvuissa matriisit ja vektori ajatellaan kompleksisiksi, ts. kertojakuntana oletetaan olevan aina kompleksilukujoukko C Huomaa, että reaalilukujoukko
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotValitse ruudun yläosassa oleva painike Download Scilab.
Luku 1 Ohjeita ohjelmiston Scilab käyttöön 1.1 Ohjelmiston lataaminen Ohjeet ohjelmiston lataamiseen Windows-koneelle. Mene verkko-osoitteeseen www.scilab.org. Valitse ruudun yläosassa oleva painike Download
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotHämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GSO/MIV Espoo 97/2016 Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2014-2016 Hanna Leväniemi, Sari Grönholm GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 97/2016 2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
LisätiedotGeologian tutkimuskeskus Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/4611/99/1/82 KUUSAMO Kokanlampi Risto Vartiainen 31.8.1999
Geologian tutkimuskeskus Pohjois-Suomen aluetoimisto M19/4611/99/1/82 KUUSAMO Kokanlampi Risto Vartiainen 31.8.1999 KAOLIINITUTKIMUKSET KUUSAMON KOKANLAMMELLA 1997-1998 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI
LisätiedotKairaukset Toivakan Hamperinjoella ja Toivakanlehdossa vuonna 2015
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Mineraalivarat tulosyksikkö Kuopio Arkistoraportti 9/2016 Kairaukset Toivakan Hamperinjoella ja Toivakanlehdossa vuonna 2015 Perttu Mikkola, Sami Niemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
Lisätiedotpitkittäisaineistoissa
Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon
LisätiedotIlmastonmuutokseen sopeutuminen - esimerkkejä hyvistä käytännöistä ja ratkaisuista
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 17.6.2014 90/2014 Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - esimerkkejä hyvistä käytännöistä ja ratkaisuista CliPLivE-projektin ekskursio This project is co-funded
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotEspoon yksikkö Viitajärvi Toholammi M06/2342/2007/10/70 26.10.20067
Espoon yksikkö Viitajärvi Toholammi M06/2342/2007/10/70 26.10.20067 Tutkimustyöselostus malmitutkimuksista Kannuksen, Lohtajan ja Toholammin kuntien alueella sijaitsevalla Viitajärven valtauksella, kaivosrekisteri
LisätiedotIlmastonmuutokseen sopeutuminen - Kotka, Hamina ja Porvoo CliPLivE-projektin ekskursio 11.-12.8.2014
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Etelä-Suomen yksikkö Espoo 11.8.2014 91/2014 Ilmastonmuutokseen sopeutuminen - Kotka, Hamina ja Porvoo CliPLivE-projektin ekskursio 11.-12.8.2014 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 11.8.2014
LisätiedotAloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotVaakarakoilu Länsi-Metron linjauksen alueella Salmisaaresta Matinkylään Mari Tuusjärvi
Kallioperä ja raaka-aineet K 21.42/2007/55 21.11.2007 Espoo Vaakarakoilu Länsi-Metron linjauksen alueella Salmisaaresta Matinkylään Mari Tuusjärvi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 21.11.07 / Dnro
LisätiedotTässä riisinjyvien määrät jokaisessa ruudussa on laskettava yhteen. Tällöin tuloksena on
8. Luvut 8.1 Suuret luvut, summa ja kertoma Aloittakaamme shakkipelin keksimiseen liittyvällä tunnetulla tarinalla. Intian hallitsija innostui kovasti shakkipelistä, jonka yksi palatsin viisaista miehistä
Lisätiedot3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari
Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/200/6 Espoo 3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro Tekijät Taija Huotari Raportin laji arkistoraportti Toimeksiantaja
LisätiedotTilanne sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op
MATEMATIIKKA Mat-1.1210 Matematiikan peruskurssi S1 ei järjestetä enää MS-A0103/4* Differentiaali- ja integraalilaskenta I 5 op sekä MS-A0003/4* Matriisilaskenta 5 op Mat-1.1110 Matematiikan peruskurssi
Lisätiedotf(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
LisätiedotSinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla
LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään
LisätiedotMaastotallennin ja metsäkuviotietoihin pohjautuva reitinoptimointi moreeninäytteenotossa Anne Taivalkoski ja Pertti Sarala
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen yksikkö Rovaniemi 170/2013 Maastotallennin ja metsäkuviotietoihin pohjautuva reitinoptimointi moreeninäytteenotossa Anne Taivalkoski ja Pertti Sarala GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS
Lisätiedotz 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2
BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden
LisätiedotGEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS M 06/2433/-91/2/10 Haapavesi Ängesneva, Kiimala Kaj J. Västi
GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS M 06/2433/-91/2/10 Haapavesi Ängesneva, Kiimala Kaj J. Västi 8.10.1991 TUTKIMUSTYÖSELOSTUS HAAPAVEDEN KUNNASSA VALTAUS- ALUEILLA KIIMALA 1, KAIV. REK. N:o 4125/1, JA KIIMALA 2,
LisätiedotLuku 13. Vaihtovirrat Sinimuotoinen vaihtojännite
Luku 13 Vaihtovirrat 13.1 Sinimuotoinen vaihtojännite Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate on esitetty kappaleessa 10.7. Sen perusteella homogeenisessa magneettikentässä pyörivään johdinsilmukkaan
Lisätiedot