Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama"

Transkriptio

1 ESY Q16.2/2006/ Espoo Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Matti Oksama

2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja GTK Raportin nimi Sampomuunnos, kallistuneen lähettimen vaikutuksen poistaminen Tiivistelmä Raportti käsittelee sampo-lähettimen kallistuskorjausta kaava-tasolla Asiasanat (kohde, menetelmät jne.) Sähkömagnetismi, kompleksiluvut, teoria, Sampo-menetelmä Maantieteellinen alue (maa, lääni, kunta, kylä, esiintymä) Karttalehdet Muut tiedot Arkistosarjan nimi Q-raporttisarja Arkistotunnus Q16.2/2006/4 Kokonaissivumäärä 9 Kieli suomi Hinta - Julkisuus julkinen Yksikkö ja vastuualue ESY/geofysiikan linja Allekirjoitus/nimen selvennys Hanketunnus Allekirjoitus/nimen selvennys

3 1 Johdanto Kirjoitan Samposta muutamia yksityiskohtia muistiin. Näiden yksityiskohtien keskusteluun osallistuin Hessun (Heikki Soinisen) kanssa. Hessu keksi kaksi tapaa poistaa pienestä lähettimen kallistuksesta aiheutuneet muutokset luotaustuloksista: Nykyisin käytössä oleva vastaanottimen kallistamiseen perustuva menetelmä ja kokeiluasteelle jäänyt Kramers-Kronig-muunnokseen perustuva menetelmä, Geofysiikan osaston vuosikertomus Seuraavassa käyn kaavatasolla läpi seuraavat kohdat: Sampomuunnos, johon kuuluvat kohdat näennäinen ominaisvastus ja syvyysmuunnos, kallistuneella lähettimellä mitattujen vasteiden muuntaminen suoran lähettimen vasteeksi, vastaanottimen kallistuskulma ja korkeuseron huomioiminen. 1.a Näennäinen ominaisvastus Tarkastellaan tietyn taajuuden sampotulosta abs(hz/hrad). Näennäinen ominaisvastus on puoliavaruuden ominaisvastus, joka aiheuttaa saman sampotuloksen kuin on saatu. Puoliavaruuden sampotulos abs(hz/hrad) riippuu taajuuden ja kelavälin neliön tulosta jaettuna puoliavaruuden ominaisvastuksella. S=g(L**2 f/v), missä L on kelaväli, f taajuus ja v puoliavaruuden ominaisvastus. Ominaisvastus saadaan numeerisesti taulukoimalla samposuureen riippuvuus vasteparametristä Lpot2 f/v, esim. Mining Geophysics, vol II, ohjelmatoteutus Heikki Soininen APPRESaliohjelma. Siis, taajuuden ja kelavälin neliön tulo ja samposuure S kuvautuvat näennäiseksi ominaisvastukseksi: ( 2 fl, S ) ρ app 1.b Syvyysmuunnos Osoittautuu, että tietyn horisontaalisen kerroksen johtokyky ei juuri vaikuta Samposuureeseen ennen kuin tietyn määrätyn taajuuden jälkeen. Tämän voi tulkita siten, että tämän taajuuden syvyysulottuvuus on juuri tuon kerroksen syvyys, joka ei siis riipu alla olevasta johtokyvystä - juurikaan.

4 2 Lasketaan se syvyys, jolla tietyllä taajuudella mitattuun Samposuureeseen ei vaikuta vielä alla oleva kerros, mutta pienemmällä taajuudella alla oleva kerros jo vaikuttaa. Saamme samposuureelle ja vaikutussyvyydelle riippuvuuden - normeerattuna kelavälillä. Tuon samposuureen ja sen vaikutussyvyyden, syvyysmuunnoksen kerrosmaassa laskee Heikki Soinisen tekemä ohjelma APPRES. Saatu riippuvuus yhtyy Outokummun ja Elgi esittämiin. Siis, Samposuure s kuvautuu syvyydeksi (normeerattuna kelavälillä): Kuva 1. Samposuure s kuvautuu syvyydeksi (normeerattuna kelavälillä)

5 3 Ilmaistuna toisin kuvauksen muodossa: ( ) S d L Esimerkiksi syvyysvaikutus on noin puolet kelävälistä, kun Samposuure on 3. Syvyysvaikutus on kelaväli, kun Samposuure on 7. 1.c Esimerkki ominaisvastus- - syvyysmuunnoksesta Ajatellaan esimerkiksi kerrosmaata, jossa alussa 200 ohm-m:n kerros, sitten johtava 1 ohm-m kerros 10 metrin paksuudelta. Sen alla taas resistiivisempi alue 1000 ohm-m. Tiettyyn taajuuteen asti Sampo näkee vain yläkerroksen. Suurimmilla taajuuksilla muunnoksessa on hieman epätarkkuutta Samposuureen ollessa 0.5 tuntumassa tai pienempi. Kun näiden taajuuksien tulokset piirretään syvyys-näennäinen ominaisvastus koordinaatistoon, saadaan näitä taajuuksia vastaavat tulokset suoraan alaspäin eteneväksi pistejonoksi. Kun tullaan taajuuksiin, jotka näkevät johtavan kerroksen, näitä taajuuksia vastaavat muunnokset kääntyvät johtavampaan suuntaan; näennäisen ominaisvastuksen arvo pienenee. Kun mitataan taajuuksilla, joilla johtavan kerroksen alapuolinen kerros näkyy, kääntyy muunnoskäyrä suoraan alaspäin meneväksi, tai näennäinen ominaisvastus joskus jopa kasvaa hiljalleen. Tarmo Jokisen tekemä ohjelma. Kuva 2. Näennäinen ominaisvastus- syvyysmuunnos

6 4 2. Kallistuneen lähettimen muunnoksen muuttaminen kallistamattoman lähettimen muunnokseksi Lähettimen ollessa kallistunut syntyy EM-kenttä vaaka ja pystylähettimestä. Kun lähetin on kallistunut, taajuutta laskettaessa vaakakenttä ei pienenekään loputtomasti kuten suoran lähettimen tapauksessa, vaan vaakakenttä lähenee tiettyä kallistumisesta johtunutta arvoa. Heikki Soinisen idea oli, että kallistetaan vastaanotinta joko laskennollisesti tai fyysisesti siten, että tällaista pysyvää kenttää ei vaakakentän paikalle ilmene, vaan uusi vaakakenttä menee nollaan taajuuden pienetessä kuten suoran lähettimen tapauksessa. kuva 3. Ilmaistaan vastaanotettu kenttä toisessa koordinaatistossa, sellaisessa, jossa Z'- akseli olkoon pienitaajuisen tulevan kentän suuntainen, ja X' on sitä vastaan kohtisuorassa, kuva.

7 5 Olkoon Sampomittauksessa kuvan kaltainen tilanne. Ilmaistaan vastaanotettu kenttä toisessa koordinaatistossa, sellaisessa, jossa Z'-akseli olkoon pienitaajuisen tulevan kentän suuntainen, ja X' on sitä vastaan kohtisuorassa, kuva. Uuden koordinaatiston X'-komponenti on alkuperäisen XZ-koordinaatiston avulla muotoa Hx'=-Hzsinb+Hxcosb, missä b on vastaanottimen kallistuskulma, tiltti-kulma. Vastaanottimen kallistuskulma b on positiivinen kulman kallistuessa z-akselista oikealle. a olkoon lähettimen kallistuskulma. Kallistunut lähetin koostuu z-suuntaisesta dipolista ja x-suuntaisesta dipolista. Lähetin noudattaan staattisen kentän kaavoja, Hx' on nyt 0, a olkoon lähetin-dipolin kallistuskulma. Sijoittamalla tiedot staattisen magneettisen dipolin yhtälöön, Hx':n nollaantumisesta tulee vaatimus cosa sinb + 2 sina cosb =0, josta -2tan a=tan b. eli kun lähetin on kallistunut kulman a verran vastaanottimeen päin, kallistetaan vastaanotinta kaavan mukaisesti lähettimeen päin. Vastaavasti menetellään, jos lähetin on kallistunut vastaanottimesta poispäin, eli kallistetaan vastaanotinta poispäin lähettimestä. Uudessa koordinaatistossa Hz' on muotoa Hz'=Hzcosb+Hxsinb. Samposuure Hz'/Hx' saadaan muotoon Suusi=(S+tanb)/(1-Stanb). Tiltti-kulman merkki määräytyy edellä olevassa johdossa siten, että kallistettaessa vastaanotinta lähettimeen päin kallistuskulma on negatiivinen, ja kallistettaessa vastaanotinta poispäin lähettimestä kallistuskulma on positiivinen. Kallistuskulma b Kallistuskulma b on kulma, jolla vastaanotettu kenttä muodostaa vertikaalisuunnan kanssa kohdatessaan vastaanottimen lähetin-vastaanotin tasossa. Jos taajuus ei ole nolla, ja alla olevassa puoliavaruudessa on johtavuutta, piirtää Hz-Hr tasossa magneettikenttä ellipsiä, joka taajuuden pienetessä kapenee ja pystyakseli lähenee

8 6 vertikaalisuuntaa suoran dipolin tapauksessa. Jos lähetin on kallistunut vastaanotinlähetintasossa pystyakseli ei rajatta lähenekään vertikaalisuuntaa, vaan lähenee vertikaalisuunnasta poikkeavaa suuntaa. Tilt-kulmalla arvioidaan tätä suuntaa, poikkeamaa z- akselista. Jos taajuus ei ole nolla, kenttä piirtää ellipsiä ajan kuluessa, kuva. Ellipsin pitkän akselin ja vertikaalisuunnan välinen kulma lähenee nolla-taajuuden tilt-kulmaa. Tilt-kulma approksimoidaan tästä alimmilla taajuuksilla mitatuista ellipsien kulmasta Hessun käyttämällä kaavalla, Geophysics, vol. 39, No 6, p (Huomautus, viitteen mukaan kaava antaa ellipsin pitkän akselin ja x-akselin välisen kulman. Kokeiltaessa kaava antaakin z-akselin ja ellipsin pitkän akselin välisen kulman, tiltti-kulman.) tilt-kulma=0.5arctan(2scos(vaihe-ero)/(1-s**2)), ohjelma TKORJ. Lähettimen kallistus kohtisuoraan vastaanotin-lähetin linjaa vasten ei juuri vaikuta tutkittuun suureeseen. Kuvassa on esitetty vastaanottimessa magneettikentän piirtämän ellipsin periaatteellinen käyttäytyminen taajuuden pienetessä vasemmalta oikealle. Jos kykenemme mittaamaan riittävän alhaisia taajuuksia, ellipsimme on kutistunut lähes janaksi, ja ellipsin kulma (kuva) yhtyy todelliseen tiltti-kulmaan. Kuva 4. vastaanottimessa magneettikentän piirtämän ellipsin periaatteellinen käyttäytyminen taajuuden pienetessä vasemmalta oikealle.

9 7 Korkeuseron huomiointi Vastaanotin olkoon eri korkeudella kuin lähetin. Edellä kuvattua kallistuneen lähettimen käsittelyä voidaan käyttää myös tähän tapaukseen. Ajatellaan, että maanpinta kulkee lähettimen ja vastaanottimen kautta. Tällöihän lähettimen momentti ei ole 90 asteen kulmassa maan pintaan nähden. Näin ollen korjaus palautuu kallistuneen lähettimen tapaukseen. Huomautus: Monet työssä esitetyistä kaavoista riippuvat valitusta koordinaatistosta. Kaikki tehdyt valinnat on esitetty kaavojen yhteydessä.

SAMPOSUUREET Matti Oksama

SAMPOSUUREET Matti Oksama ESY Q16.2/2006/6 28.11.2006 Espoo SAMPOSUUREET Matti Oksama 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 28.11.2006/ Tekijät Matti Oksama Raportin laji tutkimusraportti Toimeksiantaja Raportin

Lisätiedot

Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama

Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama ESY Q16.2/2006/5 16.11.2006 Espoo Kompleksilukujen käyttö sähkömagneettisia kaavoja johdettaessa Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.11.2006 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti

Lisätiedot

Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama

Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama ESY Q16.2/2007/89 20.12.2007 Espoo Sampon tangentiaalisesta komponentista Matti Oksama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 20.12.2007 Tekijät Matti Oksama Raportin laji Tutkimusraportti Toimeksiantaja

Lisätiedot

IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella

IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella Etelä-Suomen yksikkö 12.12.2006 Q18.4/2006/1 Espoo IP-luotaus Someron Satulinmäen kulta-aiheella Heikki Vanhala (Pohjakartta Maanmittauslaitos, lupa nro 13/MYY/06) 1 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa. Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK)

Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa. Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK) GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Itä-Suomen yksikkö Kuopio M173K2015 Kiviaineksen määrä Kokkovaaran tilan itäosassa Kontiolahdessa Akseli Torppa Geologian Tutkimuskeskus (GTK) Kokkovaran tilan pintamalli. Korkeusulottuvuutta

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006.

Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006. Geologian tutkimuskeskus Q 19/2041/2006/1 20.11.2006 Espoo JÄTEKASOJEN PAINUMAHAVAINTOJA ÄMMÄSSUON JÄTTEENKÄSITTELYKESKUKSESSA 1999-2006 Seppo Elo - 2 - GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Tekijät Seppo Elo KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo Tuire Valjus

Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo Tuire Valjus Geologian tutkimuskeskus 35/2017 Pohjavesiyksikkö Espoo 2.5.2017 Geofysiikan mittaukset Velkuan Aumineralisaation alueella Naantalissa Tuire Valjus GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro

Lisätiedot

3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari

3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/200/6 Espoo 3D-IP -tulkinnan testaus Taija Huotari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro Tekijät Taija Huotari Raportin laji arkistoraportti Toimeksiantaja

Lisätiedot

ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille

ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille GTK / Etelä-Suomen yksikkö LIFE10 ENV/FI/000062 ASROCKS 30.10.2012 Espoo ASROCKS -hankkeen kysely sidosryhmille Paavo Härmä ja Jouko Vuokko With the contribution of the LIFE financial instrument of the

Lisätiedot

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi 26.6.2012

GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi 26.6.2012 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Raportti 61/2012 Rovaniemi Selvitys Sodankylän ympäristön maankäyttöä ja kaivostoimintaa tukevasta maaperätiedonkeruusta ja toimintamallista - maaperätiedonkeruu

Lisätiedot

IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari

IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari Etelä-Suomen yksikkö Q16.1/1244/2008/66 20.11.2008 Espoo IP-mittaukset ja 3D-tulkinta Ilmajoen Välikorven tutkimuskohteelta Taija Huotari-Halkosaari GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro

Lisätiedot

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä

Työ 31A VAIHTOVIRTAPIIRI. Pari 1. Jonas Alam Antti Tenhiälä Työ 3A VAIHTOVIRTAPIIRI Pari Jonas Alam Antti Tenhiälä Selostuksen laati: Jonas Alam Mittaukset tehty: 0.3.000 Selostus jätetty: 7.3.000 . Johdanto Tasavirtapiirissä sähkövirta ja jännite käyttäytyvät

Lisätiedot

Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä. Elo Seppo

Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä. Elo Seppo Geologian tutkimuskeskus Raporttitunnus 6/2011 Etelä-Suomen yksikkö 02.02.2011 Espoo Basen-Fossilryggen terminen mallinnus: Esimerkki ABAQUS FEM -ohjelmiston käytöstä Elo Seppo GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Kullaan Levanpellon alueella vuosina 1997-1999 suoritetut kultatutkimukset.

Kullaan Levanpellon alueella vuosina 1997-1999 suoritetut kultatutkimukset. GEOLOGIAN TUTKIMCJSKESKUS Tekij at Rosenberg Petri KUVAILULEHTI Päivämäärä 13.1.2000 Raportin laji Ml 911 14312000/ 711 0 tutkimusraportti 1 Raportin nimi Toimeksiantaja Geologian tutkimuskeskus Kullaan

Lisätiedot

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011

1/6 TEKNIIKKA JA LIIKENNE FYSIIKAN LABORATORIO V1.31 9.2011 1/6 333. SÄDEOPTIIKKA JA FOTOMETRIA A. INSSIN POTTOVÄIN JA TAITTOKYVYN MÄÄRITTÄMINEN 1. Työn tavoite. Teoriaa 3. Työn suoritus Työssä perehdytään valon kulkuun väliaineissa ja niiden rajapinnoissa sädeoptiikan

Lisätiedot

Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää

Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää Etelä-Suomen yksikkö P 31.4/2009/12 02.03.2009 Espoo Maatutkaluotauksen soveltuvuudesta maan lohkareisuuden määrittämiseen Pekka Hänninen, Pekka Huhta, Juha Majaniemi ja Osmo Äikää GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

GTK:n aerosähkömagneettisen mittausjärjestelmän vaikutusala pehmeikön paksuuden määrittämisessä Ilkka Suppala

GTK:n aerosähkömagneettisen mittausjärjestelmän vaikutusala pehmeikön paksuuden määrittämisessä Ilkka Suppala ESY Q16.1/2007/88 31.12.2007 Espoo GTK:n aerosähkömagneettisen mittausjärjestelmän vaikutusala pehmeikön paksuuden määrittämisessä Ilkka Suppala GTK:n AEM mittausjärjestelmän vaikutusalasta GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 11.1 Sigge-serkku tasapainoilee sahapukkien varaan asetetulla tasapaksulla puomilla, jonka pituus L = 6.0 m ja massa M = 90 kg. Sahapukkien huippujen välimatka D = 1.5

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN

RYHMÄKERROIN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ÄÄNILÄHDERYHMÄN SUUNTAAVUUDEN ARVIOINNISSA Seppo Uosukainen, Jukka Tanttari, Heikki Isomoisio, Esa Nousiainen, Ville Veijanen, Virpi Hankaniemi VTT PL, 44 VTT etunimi.sukunimi@vtt.fi Wärtsilä Finland Oy

Lisätiedot

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA

HALLIN ILMIÖ 1. TUTKITTAVAN ILMIÖN TEORIAA 1 ALLIN ILMIÖ MOTIVOINTI allin ilmiötyössä tarkastellaan johteen varauksenkuljettajiin liittyviä suureita Työssä nähdään kuinka all-kiteeseen generoituu all-jännite allin ilmiön tutkimiseen soveltuvalla

Lisätiedot

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT

TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT TASA- JA VAIHTOVIRTAPIIRIEN LABORAATIOTYÖ 5 SUODATINPIIRIT Työselostuksen laatija: Tommi Tauriainen Luokka: TTE7SN1 Ohjaaja: Jaakko Kaski Työn tekopvm: 02.12.2008 Selostuksen luovutuspvm: 16.12.2008 Tekniikan

Lisätiedot

Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla

Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen yksikkö Kokkola Happamien sulfaattimaiden kartoitus Keliber Oy:n suunnitelluilla louhosalueilla Anton Boman ja Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama

Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama Pohjois-Suomen yksikkö M19/2743/2006/1/10 19.10.2006 Rovaniemi Kultataskun löytyminen Kiistalassa keväällä 1986 johti Suurikuusikon esiintymän jäljille Jorma Valkama GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI

Lisätiedot

FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit

FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit FYS206/5 Vaihtovirtakomponentit Tässä työssä pyritään syventämään vaihtovirtakomponentteihin liittyviä käsitteitä. Tunnetusti esimerkiksi käsitteet impedanssi, reaktanssi ja vaihesiirto ovat aina hyvin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Luvun 10 laskuesimerkit

Luvun 10 laskuesimerkit Luvun 10 laskuesimerkit Esimerkki 10.1 Tee-se-itse putkimies ei saa vesiputken kiinnitystä auki putkipihdeillään, joten hän päättää lisätä vääntömomenttia jatkamalla pihtien vartta siihen tiukasti sopivalla

Lisätiedot

Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien

Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS ESY Espoo 70/2014 Geologisten 3D-mallien tallentaminen 3Dmallinnusohjelmien projekteina Laine, Eevaliisa GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Geologisten 3D-mallien tallentaminen 15.11.2012

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

HYDROTERMISEN. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN KUUSAMON~ Y ~ S S A

HYDROTERMISEN. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN KUUSAMON~ Y ~ S S A Q 19/46] 3/1998/1 KUUSAMO Pertti Turunen 4.6.1998 ARKISTOKAPPALE GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti HYDROTERMISEN MUUTTUMISEN VAIKUTUS KIVIEN PETROFYSIKAALISIIN OMINAISUUKSIIN

Lisätiedot

Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin

Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin Länsi-Suomen yksikkö 16.5.2011 Kokkola Maailmanperintöalueen moreenimuodostumien kartoitus Vaasan saaristossa Niko Putkinen, Maiju Ikonen, Olli Breilin GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 16.05.2011/L/289/42/2010

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

1. Telemetriakanava 3. Lähettimen taajuus 2. Lähettimen tyyppi 4. Akun vahvuus

1. Telemetriakanava 3. Lähettimen taajuus 2. Lähettimen tyyppi 4. Akun vahvuus Vastaanottimen virran kytkentä 1 Akku ja sarjanumero Kytkin F5 -järjestelmän pikaohje 1. Asenna akku ja pidä laukaisin painettuna sekunnin ajan. 2. Kuittaa varoitusnäyttö painamalla laukaisinta. 3. Merkitse

Lisätiedot

' Tel. 1 ARKISTOKAPPALE 1. Vastusluotaus Ekokemin radalla Riihimäellä. Ominaisvastusleikkaus. Q 16.2/2000/2 Heikki Vanhala Työraportti 2.2.

' Tel. 1 ARKISTOKAPPALE 1. Vastusluotaus Ekokemin radalla Riihimäellä. Ominaisvastusleikkaus. Q 16.2/2000/2 Heikki Vanhala Työraportti 2.2. 1 ARKISTOKAPPALE 1 tih0lwtilska FWKSKNlNUSCENï'KALEN GEOLOGICAL SURVEY OF FINLAND Q 16.2/2000/2 Heikki Vanhala Työraportti 2.2.2000 Vastusluotaus Ekokemin radalla Riihimäellä - Ominaisvastusleikkaus '

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Luento 4: Kiertomatriisi

Luento 4: Kiertomatriisi Maa-57.301 Fotogrammetrian yleiskurssi (P. Rönnholm / H. Haggrén, 28.9.2004) Luento 4: Kiertomatriisi Mitä pitäisi oppia? ymmärtää, että kiertomatriisilla voidaan kiertää koordinaatistoa ymmärtää, että

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Häiriöt kaukokentässä

Häiriöt kaukokentässä Häiriöt kaukokentässä eli kun ollaan kaukana antennista Tavoitteet Tuntee keskeiset periaatteet radioteitse tapahtuvan häiriön kytkeytymiseen ja suojaukseen Tunnistaa kauko- ja lähikentän sähkömagneettisessa

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi

Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Länsi-Suomen Yksikkö Kokkola 2/2015 Kultatutkimukset Alajärven Peurakalliolla vuosina 2008-2014 Heidi Laxström, Olavi Kontoniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS

PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS Geologian tutkimuskeskus Länsi-Suomen yksikkö Kokkola 21.3.2013 PYHÄJOEN PARHALAHDEN TUULIPUISTO- HANKEALUEEN SULFAATTIMAAESISELVITYS Jaakko Auri GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI 21.03.2013 / M29L2013

Lisätiedot

Pehmeikön paksuuskarttojen tuotteistaminen Tuire Valjus Heikki Säävuori Hanna Leväniemi

Pehmeikön paksuuskarttojen tuotteistaminen Tuire Valjus Heikki Säävuori Hanna Leväniemi Etelä-Suomen yksikkö 12/2011 30.3.2011 Espoo Pehmeikön paksuuskarttojen tuotteistaminen Tuire Valjus Heikki Säävuori Hanna Leväniemi GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS KUVAILULEHTI Päivämäärä / Dnro 30.3.2011 Tekijät

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

5i!40 i. $,#] s! LL 9 S0. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti. VLF-R-mittaus Kouvervaarasta

5i!40 i. $,#] s! LL 9 S0. GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti. VLF-R-mittaus Kouvervaarasta Q 19/4522/2000/1 KUUSAMO Pertti Turunen 16.6.2000 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Pohjois-Suomen aluetoimisto Työraportti @ 60 Li 9 S0 5i!40 i 1 rd $,#] s! LL 10' 0 50 100 150 X (m) 200 20 30 40 VLF-R-mittaus

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304. Toijalan asema-alueen tärinäselvitys. Toijala

Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304. Toijalan asema-alueen tärinäselvitys. Toijala Insinööritoimisto Geotesti Oy TÄRINÄSELIVITYS TYÖNRO 060304 Toijalan asema-alueen tärinäselvitys Toijala Insinööritoimisto TÄRINÄSELVITYS Geotesti Oy RI Tiina Ärväs 02.01.2006 1(8) TYÖNRO 060304 Toijalan

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Geofysikaalisia tutkimuksia Soklissa vuosina 2009-2015

Geofysikaalisia tutkimuksia Soklissa vuosina 2009-2015 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS Geofysiikan sovellukset Rovaniemi 19.1.2016 3/2016 Geofysikaalisia tutkimuksia Soklissa vuosina 2009-2015 Pertti Turunen Soklin magneettinen anomalia pintakuviona ja painovoima-anomalia

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Vektoreita GeoGebrassa.

Vektoreita GeoGebrassa. Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Operaatiovahvistimen vahvistus voidaan säätää halutun suuruiseksi käyttämällä takaisinkytkentävastusta.

Operaatiovahvistimen vahvistus voidaan säätää halutun suuruiseksi käyttämällä takaisinkytkentävastusta. TYÖ 11. Operaatiovahvistin Operaatiovahvistin on mikropiiri ( koostuu useista transistoreista, vastuksista ja kondensaattoreista juotettuna pienelle piipalaselle ), jota voidaan käyttää useisiin eri kytkentöihin.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen

Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen Kapasitiivinen ja induktiivinen kytkeytyminen EMC - Kaapelointi ja kytkeytyminen Kaapelointi merkittävä EMC-ominaisuuksien kannalta yleensä pituudeltaan suurin elektroniikan osa > toimii helposti antennina

Lisätiedot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot

Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö ESITIEDOT: trigonometriset funktiot Trigonometrian kaavat 1/6 Sisältö Ulkoa muistettavat peruskaavat Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Seuraavassa esitetään tärkeimmät ja lyhyet ohjeet niiden muistamiseen. Varsinaisesti

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ

FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 MAGNEETTIKENTTÄTYÖ MIKKO LAINE 2. kesäkuuta 2015 1. Johdanto Tässä työssä määritämme Maan magneettikentän komponentit, laskemme totaalikentän voimakkuuden ja monitoroimme magnetometrin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Esimerkki 1a. Stubisovituksen (= siirtokaapelisovitus) laskeminen Smithin kartan avulla

Esimerkki 1a. Stubisovituksen (= siirtokaapelisovitus) laskeminen Smithin kartan avulla Esimerkkejä Smithin kartan soveltamisesta Materiaali liittyy OH3AB:llä keväällä 2007 käytyihin tekniikkamietintöihin. 1.5.2007 oh3htu Esimerkit on tehty käyttäen Smith v 1.91 demo-ohjelmaa. http://www.janson-soft.de/seminare/dh7uaf/smith_v191.zip

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä

RATKAISUT: 19. Magneettikenttä Physica 9 1. painos 1(6) : 19.1 a) Magneettivuo määritellään kaavalla Φ =, jossa on magneettikenttää vastaan kohtisuorassa olevan pinnan pinta-ala ja on magneettikentän magneettivuon tiheys, joka läpäisee

Lisätiedot

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI.

VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA. Lauri Karppi j82095. SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI. VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Oskari Uitto i78966 Lauri Karppi j82095 SATE.2010 Dynaaminen kenttäteoria DIPOLIRYHMÄANTENNI Sivumäärä: 14 Jätetty tarkastettavaksi: 25.02.2008 Työn

Lisätiedot

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ

33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ TYÖOHJE 14.7.2010 JMK, TSU 33 SOLENOIDIN JA TOROIDIN MAGNEETTIKENTTÄ Laitteisto: Kuva 1. Kytkentä solenoidin ja toroidin magneettikenttien mittausta varten. Käytä samaa digitaalista jännitemittaria molempien

Lisätiedot

Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset

Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS GSO/MIV Espoo 97/2016 Hämeenlinnan Pirttikosken Cu-kohteen geofysikaaliset tutkimukset 2014-2016 Hanna Leväniemi, Sari Grönholm GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS 97/2016 2 GEOLOGIAN TUTKIMUSKESKUS

Lisätiedot

Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia

Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia ARKISTOKAFPALE.Q h :IS/PL ILZ-SuoinEi! yksikk6 M 10.1/2006/3 Kuopio Serpentiinin ja serpentiniitin hyotykayttonakymia Soile Aatos, Peter Sorjonen-Ward, Asko Kontinen & Tapio Kuivasaari QEOLOQIAN TVrKlMUSKESKUS

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä

NELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Theory Finnish (Finland)

Theory Finnish (Finland) Q1-1 Kaksi tehtävää mekaniikasta (10 pistettä) Lue yleisohjeet ennen tehtävien aloittamista. Osa A: Piilotettu kiekko (3,5 pistettä) Tässä tehtävässä käsitellään umpinaista puista sylinteriä, jonka säde

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

3D inversio maavastusluotaustutkimuksissa

3D inversio maavastusluotaustutkimuksissa 3D inversio maavastusluotaustutkimuksissa K. Tiensuu 1 ja T. Huotari 2 1 Geologian tutkimuskeskus, karla.tiensuu@gtk.fi 2 Geologian tutkimuskeskus, taija.huotari@gtk.fi Abstract In this work we have compared

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet:

Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: Nimi: Muiden ryhmäläisten nimet: PALKKIANTURI Työssä tutustutaan palkkianturin toimintaan ja havainnollistetaan sen avulla pienten ainepitoisuuksien havainnointia. Työn mittaukset on jaettu kolmeen osaan,

Lisätiedot