Todennäköisyyslaskennan kurssin luentomoniste. Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Todennäköisyyslaskennan kurssin luentomoniste. Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto"

Transkriptio

1 Todennäköisyyslaskennan kurssin luentomoniste Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 11. joulukuuta 2009

2 Sisältö 1 Tapahtumat ja niiden todennäköisyydet Johdanto Joukko-oppia Matemaattinen todennäköisyyden käsite Kombinatoriikkaa Multinomikertoimet Todennäköisyyksiä uhkapeleissä Todennäköisyyksiä lotossa Todennäköisyyksiä korttipeleissä Ehdollinen todennäköisyys Tapahtumien riippumattomuus Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Toistokokeisiin liittyviä todennäköisyyksiä Monotoninen jatkuvuus Satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja ja sen jakauma Kertymäfunktio Diskreetti jakauma Esimerkkejä diskreeteistä jakaumista Jatkuva jakauma Esimerkkejä jatkuvista jakaumista Kvantiilifunktio ja sen käyttö simuloinnissa Satunnaismuuttujan muunnoksen jakauma Satunnaismuuttujien riippumattomuus Odotusarvo Diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo Jatkuvasti jakautuneen satunnaismuuttujan odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia Muunnoksen odotusarvo Momentit Varianssi ja keskihajonta Momenttiemäfunktio, kumulanttiemäfunktio ja karakteristinen funktio i

3 4 Tärkeitä jakaumia Diskreettejä jakaumia Binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poissonin jakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Gamma- ja beetafunktio Jatkuvia jakaumia Siirto ja skaalaus Tasajakauma Eksponenttijakauma Gammajakauma Beetajakauma Normaalijakauma Epäyhtälöitä Markovin ja Tšebyševin epäyhtälöt Konveksit funktiot ja Jensenin epäyhtälö Hölderin epäyhtälö Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö ja kovarianssi Momenttiemäfunktiota koskevia epäyhtälöitä Kaksiulotteiset jakaumat Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Tasajakauma alueessa Riippumattomuus Satunnaisvektorin muunnoksen odotusarvo Kovarianssi ja muita yhteismomentteja Odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi Tiheysfunktion muuntokaava Napakoordinaattimuunnos Ehdollinen jakauma Ehdolliset jakaumat Kertolaskusääntö eli ketjusääntö Diskreetin ja jatkuvan muuttujan yhteisjakauma Ehdollinen odotusarvo Yhteisjakauman määrittely kertolaskukaavan avulla t- ja F -jakauma ehdollistamalla Moniulotteiset jakaumat Satunnaisvektori Odotusarvovektori ja kovarianssimatriisi Ehdolliset jakaumat, kertolaskusääntö ja ehdollinen odotusarvo Ehdollinen riippumattomuus Tilastollisia malleja Multinomijakauma ii

4 8.7 Tiheysfunktion muuntokaava Järjestystunnusluvun tiheysfunktio Satunnaisvektorin momenttiemäfunktio Moniulotteinen normaalijakauma Multinormaalijakauma N n (0, I) Matriisihajotelmia Yleinen multinormaalijakauma Affiinin muunnoksen jakauma Tiheysfunktio Korreloimattomuus ja riippumattomuus Ehdolliset jakaumat Kaksiulotteinen normaalijakauma Normaalijakauman otoskeskiarvon ja otosvarianssin yhteisjakauma Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Suurten lukujen laki Jakaumasuppeneminen Suppenemistuloksia Keskeinen raja-arvolause Normaaliapproksimaatio Deltamenetelmä iii

5 Luku 1 Tapahtumat ja niiden todennäköisyydet 1.1 Johdanto Tällä kurssilla käsitellään sellaisia puolia todennäköisyyslaskennasta, joita jokaisen tilastotieteilijän (tai muun todennäköisyyslaskennan soveltajan) tulisi tuntea. Stokastisiin prosesseihin liittyvät käsitteet ovat kuitenkin rajattu kurssin ulkopuolelle. Lukijalla oletetaan ennestään olevan jonkin verran esitietoja aiheesta, minkä takia kurssin alkuvaiheessa tiettyjä asioita vain kerrataan nopeasti. Lähestymistapa pyrkii olemaan käytännönläheinen: tavoitteena on opetella satunnaismuuttujiin ja todennäköisyysjakaumiin liittyvää laskentoa pikemminkin kuin käsitellä todennäköisyyslaskentaa matemaattisena struktuurina. Matemaattisesti aukoton esitys vaatisi mittateoriaa ja Lebesguen integraalia, mutta näitä työkaluja ei varsinaisesti käytetä tällä kurssilla. Tietyissä kohdissa luentomonisteessa kuitenkin esitetään yhteyksiä mittateoreettisen todennäköisyyslaskennan käsitteisiin. Tilastotiedettä, ja tätä kautta todennäköisyyslaskentaa sovelletaan kaikilla tieteen ja useilla elinkeinoelämän aloilla. Jotkin ilmiöt ovat luonteeltaan deterministisiä, mikä tarkoittaa sitä, että niiden kehitys voidaan ennustaa (esim. jonkin luonnonlain avulla), kun tunnetaan ilmiöön liittyvät alkuehdot ja muut relevantit tekijät. Toisaalta usein tarkastellaan sellaisia ilmiöitä, joiden lopputulosta ei osata varmasti ennustaa käytettävän tiedon perusteella. Tällaiseen ilmiöön liittyvää epävarmuutta voidaan yrittää käsitellä stokastisen mallin (todennäköisyysmallin, tilastollisen mallin) avulla. Todennäköisyyslaskenta on stokastisiin malleihin liittyvää matematiikkaa. Tarkastellaan kahta erilaista ilmiötä, joiden lopputuloksia voidaan kuvailla todennäköisyyksien avulla: a) nopanheitto, b) jonkin tietyn vaalin tulokset. Nopanheiton yhteydessä tavallisesti sovelletaan todennäköisyyden ns. klassista tulkintaa, jonka mukaan eri silmäluvut ovat yhtä todennäköisiä nopan fysikaalisen symmetrian nojalla. Yleisesti, jos mahdollisten lopputulosten joukko 1

6 Ω on äärellinen, ja A Ω on kiinnostuksen kohteena olevan tapahtuman lopputulosten joukko ja todennäköisyydet määritellään symmetrian perusteella, niin tapauksen A todennäköisyydeksi valitaan P (A) = #A A:n alkioiden lkm = #Ω Ω:n alkioiden lkm Esimerkiksi nopanheiton tapauksessa mahdolliset lopputulokset (simäluvut) ovat Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ja silmäluvun 6 todennäköisyydeksi saadaan ylläolevalla määritelmällä (valitsemalla A = {6}) P ( kuutonen ) = 1 6. Nopanheittoa on mahdollista toistaa useita kertoja. Yksittäisen nopanheiton lopputulosta on mahdotonta ennustaa, mutta pitkissä toistosarjoissa eri silmälukujen suhteelliset esiintymisfrekvenssit käyttäytyvät säännöllisesti. Nopanheitossa toistot ovat riippumattomia siinä mielessä, että edeltävien heittojen tulokset eivät vaikuta seuraavien heittojen tuloksiin. Klassisen tulkinnan sijaan nopanheittoon voidaan yrittää soveltaa todennäköisyyden frekvenssitulkintaa, jonka mukaan tietyn tapahtuman tai lopputuloksen A (esim. yhdessä nopan heitossa saadaan silmäluku kuusi ) todennäköisyys on tämän tapahtuman esiintymisten suhteellisen frekvenssin raja-arvo, kun riippumattomien toistojen lukumäärä kasvaa rajatta. Ts. tapahtuman A todennäköisyys voidaan yrittää määritellä kaavalla N(A) P (A) = lim N N, (1.1) jossa N(A) on niiden kokeiden frekvenssi (eli lukumäärä), joissa saatiin lopputulos A, ja N on toistojen lukumäärä. Suure N(A)/N on tapahtuman A suhteellinen esiintymisfrekvenssi. Tämän lähestymistavan teoreettinen oikeutus perustuu todennäköisyyslaskennan ns. suurten lukujen lakiin, joka on eräs todennäköisyyslaskennan kuuluisimmista tuloksista. Tämän takia todennäköisyyttä ei voida määritellä frekvenssitulkinnan avulla. (Sitä paitsi tällaista raja-arvoa ei voida koskaan saada reaalimaailman kokeilujen avulla tarkasti selville.) Frekvenssitulkinta ei kelpaa todennäköisyyden määritelmäksi, mutta sitä kannatta kuitenkin yrittää mielessään soveltaa todennäköisyyslaskennan käsitteiden ja erilaisten todennäköisyysmallien ominaisuuksien ymmärtämiseksi. Toisin kuin nopanheitto, yksittäiset vaalit ovat ainutkertainen tapahtuma, joten tässä yhteydessä ei voida puhua kokeen toistamisesta. Silti monet tahot ovat valmiita arvioimaan vaalien lopputulosta ennen kuin se on tiedossa. Esimerkiksi vaalituloksista on tavallisesti mahdollista lyödä vetoa jossakin vedonlyöntitoimistossa. Vedonlyöntitoimisto asettaa kertoimensa arvioimalla kyseessä olevien tapahtumien todennäköisyyksiä. Todennäköisyydelle on ainutkertaisten tapahtumien yhteydessä annettava toisenlainen, ns. subjektiivinen eli henkilökohtainen tulkinta. Tällöin todennäköisyys kuvaa henkilön (tai muun tahon) uskomuksen astetta väitteen totuuteen hänen käytettävissä olevan tiedon pohjalta. Eri tahot voivat tällöin saada erilaisia numeerisia vastauksia saman tapahtuman todennäköisyydelle. Saman henkilön todennäköisyydet tietylle tapahtumalle voivat olla eri aikoina erilaisia, jos henkilön käytössä oleva informaatio muuttuu. 2

7 Joskus tarvitaan vielä edellisistä poikkeavia tapoja tulkita todennäköisyyden käsitettä. Esimerkiksi kvanttimekaniikan yhteydessä tiettävästi edelleen kiistellään siitä, miten kvanttimaailman ilmiöiden todennäköisyydet pitäisi tulkita, ja sitä paitsi kvanttimekaniikan todennäköisyyslaskenta poikkeaa joiltain osin siitä, mitä tällä kurssilla käsitellään. 1.2 Joukko-oppia Aluksi kertaamme joukko-opin merkintöjä, sillä todennäköisyyslaskenta perustuu joukko-oppiin. Määritelmä 1.1. Olkoon Ω tarkasteltavan satunnaiskokeen kaikkien mahdollisten lopputulosten joukko. Kutsumme joukkoa Ω perusjoukoksi, ja sen alkioita ω Ω alkeistapauksiksi (engl. elementary event). Tapahtumiksi (engl. event) kutsumme perusjoukon Ω osajoukkoja. Huomautus. Usein tilastotieteessä perusjoukolle käytetään nimitystä otosavaruus (engl. sample space) sekä esim. merkintää S. Olkoot nyt A ja B perusjoukon Ω osajoukkoja. Seuraavat merkinnät lienevät lukijalle tuttuja: x A tarkoittaa, että x on joukon A alkio eli x kuuluu joukkoon A; x A tarkoittaa, että x ei ole joukon A alkio eli että x ei kuuluu joukkoon A A c tai Ā tarkoittaa joukon A komplementtia, eli niitä x Ω, jotka eivät ole A:n alkioita; A B tarkoittaa, että joukko A on joukon B osajoukko eli että jokainen A:n alkio on myös B:n alkio; tämä asia voidaan merkitä myös B A; A = B tarkoittaa, että joukot A ja B ovat samoja, eli että niillä on samat alkiot (ts. sitä, että A B ja B A); A B = {x : x A tai x B} on joukkojen A ja B yhdiste; A B = {x : x A ja x B} on joukkojen A ja B leikkaus; A \ B = A B c = {x : x A ja x B} on joukkojen A ja B erotus; on tyhjä joukko. Joukko-operaatiota ja niiden ominaisuuksia kannattaa havainnollistaa Vennin diagrammien avulla. Joukko-operaatioilla on lukuisia tärkeitä algebrallisia ominaisuuksia. Yhdisteellä ja leikkauksella on mm. seuraavat ominaisuudet. Kommutatiivisuus (eli vaihdantalait): kaikilla A ja B pätee A B = B A, A B = B A. Assosiatiivisuus (eli liitäntälait): kaikilla A, B ja C pätee (A B) C = A (B C) = A B C (A B) C = A (B C) = A B C. 3

8 Distributiivisuus (eli osittelulait): kaikilla A, B ja C pätee (A B) C = (A C) (B C), (A B) C = (A C) (B C) De Morganin lait yhdistävät yhdisteen, leikkauksen ja komplementoinnin, (A B) c = A c B c ja (A B) c = A c B c kaikille A ja B. De Morganin lait yleistyvät myös usemman kuin kahden joukon yli lasketulle yhdisteelle ja leikkaukselle. Yhdisteen ja leikkauksen voi laskea myös äärettömän monen joukon kokoelmalle. Jos A 1, A 2,... ovat perusjoukon osajoukkoja, niin niiden yhdistettä merkitään A j = {x : x A j jollakin j} ja leikkausta merkitään j=1 A j = {x : x A j kaikilla j}. j=1 Todennäköisyyslaskennan yhteydessä joukko-operaatioille voidaan antaa havainnollisempia tulkintoja. Taulukko 1.1 antaa tästä esimerkkejä. Taulukko 1.1 Eräitä joukko-opin merkintöjen tulkintoja. Kaava Ω x A A A c A B A B A B = A B A \ B j=1 A j j=1 A j Tulkinta varma tapahtuma mahdoton tapahtuma x on A:lle suotuisa alkeistapaus A sattuu A ei satu A tai B (tai molemmat) sattuu sekä A ja B sattuvat A ja B ovat erillisiä eli toisensa poissulkevia jos A sattuu, niin myös B sattuu A sattuu, mutta B ei satu ainakin yksi tapahtumista A j, j 1 sattuu kaikki tapahtumat A j, j 1 sattuvat Esimerkki 1.1. Perusjoukko eräissä sovelluksissa. Reaalimaailman satunnaisilmiön mallintamiseksi perusjoukko voidaan valita muuten vapaasti, mutta sen pitää olla riittävän rikas, jotta kaikki kiinnostuksen kohteena olevat tapahtumat voidaan esittää sen osajoukkoina. Tietty sovellus voidaan käsitellä käyttämällä erilaisia valintoja. 4

9 Nopanheitossa tulos on jokin silmäluvuista 1, 2,..., 6. Perusjoukoksi voidaan valita Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Kahden nopan heitossa voidaan alkeistapaukset esittää kokonaislukupareilla (i, j), jossa ensimmäinen koordinaatti i kertoo ensimmäisen nopan tuloksen ja toinen koordinaatti j toisen nopan tuloksen. Siis voidaan valita Ω = {(i, j) : 1 i 6, 1 j 6}. Tämä valinta kelpaisi myös yhden nopan heiton kuvailuun; meidän tarvitsisi vain jättää laskuissa jälkimmäinen koordinaatti huomioimatta. Matemaattisissa ohjelmistoissa on yleensä ns. satunnaislukugeneraattori, joka poimii satunnaisesti reaaliluvun väliltä (0, 1). Tällöin luonteva perusjoukko on kyseinen lukuväli, Ω = (0, 1). Toisin kuin edellisissä sovelluksissa, tällä kertaa perusjoukko ei ole äärellinen, vaan on ääretön ja sisältää ylinumeroituvan monta alkiota. Eräs tärkeä stokastisten prosessien tyyppi on sellainen, jonka jokainen realisaatio on välillä (0, ) määritelty jatkuva funktio. Tällöin luonteva perusjoukko on kaikkien välillä (0, ) määriteltyjen jatkuvien funktioiden muodostama joukko. Tällaisen perusjoukon käsittely on huomattavasti monimutkaisempaa kuin minkään aikaisemmin esitetyn perusjoukon käsittely, mutta tähän asiaan emme tällä kurssilla puutu. 1.3 Matemaattinen todennäköisyyden käsite Johdantoluvussa tapasimme erilaisia todennäköisyyden tulkintoja. Matemaattinen todennäköisyyden käsite ei ota kantaa siihen, miten sitä tulkitaan eli miten sitä sovelletaan reaalimaailman ilmiöiden kuvailuun. Sen sijaan ajatuksena on määritellä aksioomien avulla, minkälaisia ominaisuuksia todennäköisyydellä on. Nämä todennäköisyyden aksioomat esitti A. N. Kolmogorov 1930-luvulla Todennäköisyys(mitta) (engl. probability measure) P liittää perusjoukon Ω tapahtumiin A Ω reaaliluvun P (A), jota kutsutaan tapahtuman A todennäköisyydeksi. Todennäköisyydeltä vaaditaan seuraavat ominaisuudet. Määritelmä 1.2. P on todennäköisyys (lyh. tn) eli todennäköisyysmitta (lyh. tn-mitta), mikäli se toteuttaa seuraavat kolme ominaisuutta. (1) P (A) 0 kaikille tapahtumille A Ω, (2) P ( ) = 0 ja P (Ω) = 1, (3) (täysadditiivusuus) P ( j=1 A j) = j=1 P (A j), kun A 1, A 2,... ovat erillisiä tapahtumia. Se seikka, että tapahtumat A 1, A 2,... ovat erillisiä (engl. disjoint) (ks. aksiooma (3)) tarkoittaa sitä, että A i A j = kun i j. 5

10 Tämä voidaan ilmaista myös sanomalla, että kyseiset tapahtumat ovat toisensa poissulkevia (engl. mutually exclusive). Jos A ja B ovat erillisiä tapahtumia (ts. A B = ), niin täysadditiivisuuden aksioomasta seuraa (valinnoilla A 1 = A, A 2 = B ja A j =, kun j 3) se, että P (A B) = P (A) + P (B) kun A B =. (1.2) Tätä ominaisuutta kutsutaan tn-mitan (äärelliseksi) additiivisuudeksi. Pysähdymme nyt pohtimaan todennäköisyyden frekvenssitulkinnan valossa, miksi (äärellinen) additiivisuus on luonnollinen todennäköisyyden ominaisuus. Olkoot A ja B tietyn satunnaiskokeen erillisiä tapahtumia. Oletetaan, että kyseistä satunnaiskoetta toistetaan riippumattomasti N kertaa. (Emme tässä vaiheessa pohdi, mitä tällainen riippumaton toistaminen oikeastaan tarkoittaa, vaan seuraava pohdinta pitää ymmärtää intuitioon nojautuen.) Sovitaan, että N(E) tarkoittaa niiden kokeiden lukumäärää, joissa tapahtuma E sattuu. Koska A ja B ovat erillisiä, niin N(A B) = N(A) + N(B), sillä kussakin toistossa korkeintaan yksi tapahtumista A tai B voi sattua. Tämän takia N(A B) N = N(A) N + N(B) N, joten additiivisuus pätee suhteellisille frekvensseille. Rajankäynnin jälkeen additiivisuuden pitää päteä myös todennäköisyyksille. Sen sijaan täysadditiiviisuus (aksiooma (3)) ei ole intuitiivisesti selvä ominaisuus. Se oletetaan sen takia, että tällä tavalla menetellen saadaan matemaattisesti kaunis teoria, jonka puitteissa voidaan formuloida ja todistaa esim. äärettömiä tapahtumajonoja koskevia lauseita (kuten vahva suurten lukujen lause). Todennäköisyyden aksioomeista seuraa yksinkertaisilla laskuilla monia sen ominaisuuksia, kuten esimerkiksi seuraavassa lauseessa todetut ominaisuudet. Näistä osa jätetään harjoitustehtäviksi. Ideana todistuksissa on jakaa sopivasti valittu tapahtuma erillisiin tapahtumiin, ja sitten soveltaa additiivisuutta sekä muita todennäköisyyden ominaisuuksia. Lause 1.1. Todennäköisyydellä on seuraavat ominaisuudet. a) (Äärellinen additiivisuus) Jos A B =, niin P (A B) = P (A) + P (B). b) P (A c ) = 1 P (A) kaikille A. c) 0 P (A) 1 kaikille A. d) (Tn-mitan monotonisuus) Jos A B, niin P (A) P (B). e) P (A \ B) = P (A) P (A B) kaikille A ja B. f) (Yhteenlaskukaava) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) kaikille A ja B. g) (Boolen epäyhtälö) P (A B) P (A) + P (B) kaikille A ja B. h) (Bonferronin epäyhtälö) P (A B) P (A) + P (B) 1 kaikille A ja B. 6

11 Todistus. Äärellinen additiivisuus (a-kohta) todistettiin jo. Todistetaan esimerkin vuoksi kohdat b) ja c). Jos A on tapahtuma, niin Ω = A A c, jossa osat ovat erillisiä. Additiivisuuden ja aksiooman (2) nojalla 1 = P (A) + P (A c ), joten b-kohta on todistettu. Koska A c on tapahtuma, niin P (A c ) 0 aksiooman (1) nojalla, joten P (A) = 1 P (A c ) 1, mikä yhdessä aksiooman (1) kanssa todistaa c-kohdan. Huomautus. 0 P (A) 1 kaikille tapahtumille A. Jos joskus saat jonkin tapahtuman todennäköisyydeksi luvun, joka ei ole välillä [0, 1], olet tehnyt laskuvirheen. Tällaisista virheistä sakotetaan pisteitä tämän kurssin kokeissa ja tenteissä! Yhdessä perusjoukkoa Ω, sen tapahtumia eli sitä Ω:n osajoukkojen kokoelmaa, jolla tn P on määritelty, sekä tn-mittaa P kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi (tai todennäköisyyskentäksi). Täydentävä huomautus. Jos perusjoukko Ω on äärellinen tai korkeintaan numeroituvasti ääretön, niin tavallisesti sallitaan tapahtumaksi mikä tahansa perusjoukon osajoukko. Jos kuitenkin Ω on suurempi kuin numeroituvasti ääretön, niin todennäköisyyden aksioomia ei saada toteutumaan kaikille sen osajoukoille, vaan joukkofunktion P määrittelyjoukkoa pitää rajoittaa. Kaikkien tapahtumien joukolla eli todennäköisyyden P määrittelyjoukolla on se ominaisuus, että se on ns. σ-algebra. Tästä seuraa se, että jos lähdetään likkeelle korkeintaan numeroituvasta määrästä tapahtumia, ja sovelletaan niihin korkeintaan numeroituva määrä joukko-operaatiota, niin tulokseksi saadaan tapahtuma. Tällä kurssilla sivuutamme σ-algebroihin liittyvät tarkastelut, ja oletamme, että todennäköisyys on määritelty kaikille meitä kiinostaville perusjoukon osajoukoille. 1.4 Kombinatoriikkaa Lantinheiton, nopanheiton, korttipelien, loton ja muiden tällaisten uhkapelin stokastisena mallina pidetään mikäli ei kerrota tarkempia tietoja klassista todennäköisyyden tulkintaa, jonka mukaan P (A) = #A #Ω. (1.3) Tapahtuman A todennäköisyys on tällöin tapahtumalle suotuisten alkeistapauksien lukumäärän (ts. joukon A alkioiden lukumäärän) ja kaikkien mahdollisten alkeistapauksien lukumäärän (ts. perusjoukon Ω alkioiden lukumäärän) suhde. Tällainen valinta on mahdollista tietenkin vain silloin, kun perusjoukko on äärellinen. Alkeistapaukset ω Ω ovat tällöin siinä mielessä symmetrisiä, että niillä on kaikilla sama todennäköisyys, eli P ({ω}) = 1, kaikilla ω Ω. #Ω 7

12 Tällaiseen malliin viitataan esim. termillä klassinen todennäköisyys. Vaihtoehtoisesti voidaan puhua tasaisesta todennäköisyysmallista tai esim. symmetrisestä todennäköisyysavaruudesta. Kun käsitellään klassista todennäköisyyttä (eli symmetristä todennäköisyysavaruutta), niin stokastinen malli on määritelty heti, kun perusjoukko on valittu. Perusjoukko Ω pitää tietenkin valita järkevästi, jotta sen alkiot ja reaalimaailman symmetriat vastaavat toisiaan. Jotta osaisimme laskea todennäköisyyksiä, meidän pitää osata laskea eräitä kombinatorisia laskuja, jotka lienevät lukijalle pääosin jo ennestään tuttuja. Tarkastellaan n-alkioista joukkoa E, E = {e 1, e 2,..., e n }. Kuinka monella eri tavalla voidaan poimia k alkiota n-alkoisesta joukosta E? Saamme tähän kysymykseen erilaisia vastauksia sen mukaan, valitaanko alkiot takaisinpanolla (eli palauttaen, engl. with replacement), jolloin sama alkio voidaan valita useaan kertaan, ja k voi olla suurempi kuin n; ilman takaisinpanoa (eli takaisinpanotta eli palauttamatta, engl. without replacement), jolloin valitaan k n eri alkiota. Termi takaisinpano viittaa tilanteeseen, jossa esim. arpalippuja poimitaan arvontauurnasta umpimähkään yksi kerrallaan. Otannassa takaisinpanolla kukin arpalippu palautetaan, eli pannaan takaisin uurnaan ennen seuraavan arvan poimintaa. Otannassa ilman takaisinpanoa arpalippua ei laiteta takaisin ennen seuravan arpalipun poimintaa. Lisäksi pitää kertoa, onko poimintajärjestyksellä väliä vai ei. Jos poimintajärjestyksellä on väliä, niin valinta esitetään (järjestettynä) jonona. Jos poimintajärjestyksellä ei ole väliä, niin sellaiset kaksi valintaa ovat ekvivalentteja, joissa on poimittu samat alkiot (ja kukin alkio on molemmissa valinnoissa poimittu yhtä monta kertaa). Pysytymme laskemaan lukumäärät eri tilanteissa ns. tuloperiaatteen avulla. Määritelmä 1.3 (Tuloperiaate). Tarkastellaan tehtävää, joka voidaan jakaa k:hon osatehtävään. Ensimmäinen osatehtävä voidaan suorittaa n 1 :llä eri tavalla. Kun ensimmäinen osatehtävä on suoritettu, toinen osatehtävä voidaan suorittaa n 2 :lla eri tavalla (riippumatta siitä, mikä valinta tehtiin ensimmäisessä vaiheessa) jne. ja viimein, kun k 1 ensimmäistä osatehtävää on suoritettu, k:s osatehtävä voidaan suorittaa n k eri tavalla (riippumatta siitä, mitkä valinnat tehtiin aikaisemmissa vaiheissa). Tällöin koko tehtävä voidaan suorittaa eri tavalla. n 1 n 2 n k = k j=1 n j 8

13 Poiminta takaisinpanolla, kun poimintajärjestyksellä on väliä: n- alkioisesta joukosta E voidaan muodostaa n k erilaista k-alkioista jonoa (x 1,..., x k ) takaisinpanolla. Tämä lukumäärä on sama kuin joukon E k-kertaisen karteesisen tulon E E (k tekijää) kardinaliteetti. Kunkin koordinaatin x i arvolle on n eri mahdollisuutta riippumatta muiden koordinaattien arvoista. Näiden jonojen muodostama joukko ja vastaava tasainen todennäköisyysmalli on luonteva malli esim. k:lle lantin tai nopan heitolle: lantinheitossa n = 2, ja nopanheitossa n = 6. Poiminta ilman takaisinpanoa, kun poimintajärjestyksellä on väliä: n-alkioisesta joukosta E voidaan muodostaa n(n 1) (n k + 1). erilaista k-jonoa (k n), kun kaikkien jonon alkioiden pitää olla erisuuria. Tällaisiin jonoihin viitataan termillä E:n k-permutaatio (tai termillä k-variaatio, kuten Tuomisen kirjassa). Ensimmäinen jonon alkio voidaan valita n erilaisella tavalla. Tämän jälkeen toinen alkio voidaan valita (n 1):llä eri tavalla, sillä toisen alkion pitää olla eri suuri kuin ensimmäisen. Tekemällä tällä tavoin peräkkäin k valintaa, joissa aina edelliset valinnat on suljettu pois päädytään yllä olevaan kaavaan. Muistathan n-kertoman n! määritelmän kokonaisluvulle n 0: n! = n (n 1) 2 1, kun n 1, ja 0! = 1. (1.4) Kertoma n! ilmaisee n-alkoisen joukon n-permutaatioiden, eli lyhyesti permutaatioiden lukumäärän; n alkiota voidaan siis järjestää n! erilaisella tavalla. Kertoman avulla kirjoitettuna n-alkioisen joukon k-permutaatioita on n! = n(n 1) (n k + 1). (n k)! Poiminta ilman takaisinpanoa, kun poimintajärjestyksellä ei ole väliä: kun n-alkioisesta joukosta E valitaan k alkiota ilman takaisinpanoa, niin tämä on sama asia kuin että valitaan joukon E k-alkioinen osajoukko. Näitä k-osajoukkoja kutsutaan myös joukon E k-kombinaatioiksi. Niiden lukumäärän ilmaisee binomikerroin n yli k:n, ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) = k k!(n k)! =, kun 0 k n, k! (1.5) 0, muuten. Tämä johtuu siitä, että kukin tällainen osajoukko voidaan järjestää k! eri tavalla k-jonoksi, jolloin saadaan generoitua kertaalleen kaikki joukon E k-permutaatiot. Poiminta takaisinpanolla, kun poimintajärjestyksellä ei ole väliä: sivuutetaan tällä kurssilla. 9

14 Lukija muistaa varmaankin, että binomikertoimet esiintyvät ns. binomikaavassa, jonka mukaan n ( ) n (a + b) n = a k b n k, (1.6) k k=0 kun a ja b ovat reaalilukuja ja n 0 on kokonaisluku. Binomikaava seuraa binomikertoimien kombinatorisesta luonnehdinnasta sekä reaalilukujen laskutoimitusten ominaisuuksista Multinomikertoimet Eräs tulkinta binomikertoimelle ( n k) on, että se kertoo, kuinka monella tavalla n- alkioinen joukko voidaan osittaa kahteen osajoukkoon siten, että ensimmäiseen osaan tulee k alkiota ja toiseen osaan n k alkiota. Kuinka monta vaihtoehtoa on, jos n-alkioinen joukko ositetaan kolmeen osajoukkoon siten, että ensimmäiseen osaan tulee k 1 alkioita, toiseen osaan k 2 alkioita ja kolmanteen osaan k 3 alkiota? Jotta kysymys olisi mielekäs, pitää tietenkin olettaa, että kukin 0 k i n, ja että k 1 + k 2 + k 3 = n. Samme vastattua kysymykseen helposti tuloperiatteen avulla. Voimme valita ensimmäisen osajoukon alkiot ( ) n k 1 tavalla, ja sen jälkeen toisen osan alkiot ( n k1 ) k 2 tavalla, jonka jälkeen kaikki jäljelle jääneet alkiot kuuluvat kolmanteen osaan. Näin ollen eri mahdollisuuksia on yhteensä ( )( ) n n k1 n! (n k 1 )! = k 1!(n k 1 )! k 2!(n k 1 k 2 )! = n! k 1!k 2!k 3!. k 1 k 2 Tälle luvulle käytetään seuraavia merkintöjä, ( ) ( ) n n n! = = k 1 k 2 k 3 k 1, k 2, k 3 k 1!k 2!k 3!, eli toisinaan alakerrassa olevat luvut erotetaan toisistaan pilkuilla, ja toisinaan taas ei. Tälle luvulle käytetään nimitystä trinomikerroin (tai multinomikerroin). Yleistetään edellinen kysymys m:lle osalle. Olkoon annettuna luvut k 1,..., k m siten, että kukin 0 k i n, ja k k m = n. Miten monella eri tavalla n-alkioinen joukko voidaan osittaa m osaan A 1,..., A m siten, että kussakin osassa A i on k i alkiota? Vastaavalla tavalla päättelemällä kuin edellä tapauksessa m = 3 nähdään, että eri mahdollisuuksia on n! k 1! k 2! k m! = ( n k 1, k 2,..., k m ) (1.7) kappaletta. Näitä lukuja kutsutaan multinomikertoimiksi. Binomikerroin on tietenkin multinomikertoimen erikoistapaus, sillä ( ) ( ) n n! n = k k! (n k)! =. k, n k 10

15 Multinomikertoimet esiintyvät ns. multinomikaavassa, jonka mukaan (a 1 + a a m ) n = ( ) n a k1 1 k 1, k 2,..., k ak akm m. (1.8) m Tässä kaavassa summataan kaikkien ei-negatiivisten kokonaislukujen k 1, k 2,..., k m, joiden summa on n. Binomikaava (1.6) on multinomikaavan erikoistapaus. 1.5 Todennäköisyyksiä uhkapeleissä Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa uhkapelien matemaattisesta analysoinnista, minkä takia on paikallaan tarkastella siitä joitakin esimerkkejä Todennäköisyyksiä lotossa Lottoon liittyviä todennäköisyyksiä voidaan laskea pitämällä perusjoukkona n- alkioisen joukon k-alkioisia osajoukkoja. Pelaaja laatii lottorivin eli rastittaa kupongilta 7 numeroa 39:stä. Lottoarvonnassa lottokone valitsee umpimähkäisesti 7 palloa ilman takaisinpanoa 39 numeroidusta pallosta. Aluksi rajoitumme tarkastelemaan ns. varsinaisia numeroita, ja jätämme lisänumerot huomioimatta. Millä todennäköisyydellä pelaajan rivissä on j oikein (eli pelaajan valitseman osajoukon ja koneen arpoman osajoukon leikkaus on kooltaan j)? Lottokysymyksen sijasta tarkastelemme ensin poimintaa äärellisestä populaatiosta ilman takaisinpanoa, kun populaation alkiot eroavat toisistaan yhden kiinnostavan ominaisuuden perusteella. Laatikossa on N numeroitua palloa (= äärellinen populaatio), joista K on valkoista ja loput N K ovat mustia. Laatikosta poimitaan umpimähkäisesti n palloa ilman takaisinpanoa. Millä todennäköisyydellä poimituista palloista tasan k on valkoisia (jolloin loput n k ovat mustia)? Nyt symmetrisiä alkeistapauksia ovat N pallon n-osajoukot, joiden lukumäärä on ( N n). Sellaisen osajoukon valinta, jossa on k valkoista ja n k mustaa palloa, voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa. Ensin valitaan k:n valkoisen pallon osajoukko K valkoisesta pallosta (eri mahdollisuuksia on ( ) K k ), ja sen jälkeen valitaan n k mustan pallon osajoukko N K mustasta pallosta (eri mahdollisuuksia on ( ) N K n k ). Tuloperiaatetta soveltamalla todennäköisyydeksi saadaan ( K ) ( N K ) k n k P ( valitaan k valkoista (ja n k mustaa) palloa ) = ( N. (1.9) n) Nämä ovat ns. hypergeometrisen jakauman pistetodennäköisyyksiä. Miten valkoiset ja mustat pallot liittyvät todennäköisyyteen, että pelaajan lottorivissä on j oikein? Ajatellaan, että pelaajan riviin kuuluvat pallot ovat valkoisia, ja loput mustia. Lottokone arpoo yhden 7-alkioisen osajoukon 39 pallon joukosta siten, että kaikki 7-alkioiset osajoukot ovat yhtä todennäköisiä. Siksi kysytty todennäköisyys saadaan edellisestä kaavasta sijoittamalla N = 39, K = 7, n = 7 ja k = j, ts. ( 7 32 ) j)( P ( lottorivissä on j oikein ) = 11 7 j ( 39 7 ), 0 j 7.

16 Samaan tulokseen voidaan päätyä myös ajattelemalla, että pelaaja valitsee rivinsä umpimähkäisesti ilman tietoa pallojen väreistä, ja lottoarvonta paljastaa pallojen värit. Huomautus. Tämä tulos ei täysin vastaa loton voittoluokkia sikäli, että Veikkaus erottelee toisistaan vielä seuraavat kaksi tapausta: a) 6 varsinaista numeroa oikein, b) 6 varsinaista numeroa plus yksi lisänumero oikein. Ylläolevassa kaavassa nämä molemmat tapaukset on sisällytetty tapaukseen 6 oikein. Lottoarvonnassa arvotaan varsinaisten seitsemän numeron lisäksi kolme lisänumeroa, ja kaikki lottopallot poimitaan ilman takaisinpanoa. Veikkauksen LottoPlus-pelissä on loton perusversioon lisätty uusia voittoluokkia, joissa huomioidaan varsinaisten numeroiden lisäksi myös oikeat lisänumerot. Näiden tapahtumien todennäköisyydet saadaan myös laskettua tuloperiaattella, sillä ) ( 3 ( 29 ) k) P ( lottorivissä on oikein j varsinaista ja k lisänumeroa ) = ( 7 j ( j k ), jossa 0 j 7 ja 0 k 3 sekä 0 j + k 7. Tämä on esimerkki ns. moniulotteisesta hypergeometrisesta jakaumasta. (On makuasia, sanotaanko tätä esimerkkiä kaksi- vai kolmiulotteiseksi jakaumaksi.) Todennäköisyyksiä korttipeleissä Tavallisessa 52 kortin pakassa kukin kortti kuuluu yhteen neljästä maasta (hertta, ruutu, risti, pata), ja kussakin maassa on 13 korttia, jotka ovat arvoltaan ässä, kuningas, kuningatar, sotamies, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 ja 2. Kun perusteellisesti sekoitetusta korttipakasta jaetaan k korttia, niin kyseessä on valinta ilman takaisinpanoa. Tilanne voidaan mallintaa tarpeen mukaan jollakin seuraavista perusjoukoista: 52-alkioisen joukon permutaatiot, jolloin jaetut kortit ovat jonon k ensimmäistä koordinaattia. Tällöin alkeistapaus kertoo koko pakan järjestyksen. 52-alkioisen joukon k-permutaatiot, jolloin jätetään huomiotta ne 52 k korttia, joita ei jaeta. (Poiminta ilman takaisinpanoa, kun poimintajärjestyksellä on väliä.) 52-alkioisen joukon k-alkioiset osajoukot (eli k-kombinaatiot), jolloin jätetään huomiotta jakamattomien korttien lisäksi tieto siitä, missä järjestyksessä kortit pelaajalle jaetaan. (Poiminta ilman takaisinpanoa, kun poimintajärjestyksellä ei ole väliä.) Esimerkki 1.2. (Pokerikäsien todennäköisyyksiä) Perusteellisesti sekoitetusta tavallisesta 52 kortin pakasta jaetaan viisi korttia. Millä todennäköisyydellä saadaan neljä ässää? Millä todennäköisyydellä saadaan neloset? Ratkaisu. Valitaan perusjoukoksi 52-alkioisen joukon 5-alkoiset osajoukot, joita on ( ) 52 5 = kappaletta. Jos kädessä on neljä ässää, niin viides kortti voi olla mikä tahansa 48 jäljelle jäävästä kortista. Tämän takia erilaisia neljän ässän käsiä on 48 kappaletta, ja P ( neljä ässää ) =

17 Tämä tn voidaan laskea myös sijoittamalla hypergeometrisen jakauman pistetodennäköisyyksien kaavaan (1.9) arvot N = 52, K = 4, n = 5 ja k = 4. Kädessä on neloset silloin, kun kädessä on neljä arvoltaan samaa korttia. Tämä arvo voidaan valita 13 eri tavalla, ja kun arvo on valittu, niin käden viides kortti voidaan valita 48 eri tavalla. Tämän takia erilaisia nelos-käsiä on kappaletta, joten P ( neloset ) = Tämä tilanne voitaisiin mallintaa myös poimintana ilman takaisinpanoa, kun poimintajärjestyksellä on väliä. Tällöin pitäisi lisäksi ottaa huomioon, miten monella tavalla voidaan valita neljän ässän paikat (tai nelosten paikat) viiden kortin jonossa. Yhtä hyvin tämä tilanne voitaisiin myös mallintaa pitämällä alkeistapauksina 52 alkioisen joukon permutaatiota. Tällöin pitäisi edellisen lisäksi ottaa huomioon myös se, kuinka monella eri tavalla jakamatta jätetyt kortit voidaan järjestää. 1.6 Ehdollinen todennäköisyys Olkoot A ja B tapahtumia, ja P (B) > 0. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B määritellään kaavalla P (A B) = P (A B), jossa P (B) > 0. (1.10) P (B) Tämä on tapahtuman A todennäköisyys, kun tiedetään, että B on sattunut. Alkuperäiset eli ei-ehdolliset todennäköisyydet P (A) voidaan ymmärtää ehdollisina todennäköisyyksinä ehdolla Ω, P (A Ω) = P (A Ω) P (Ω) = P (A). 1 On lisäksi mahdollista tarkistaa, että ehdollinen todennäköisyys P (A B) on argumentin A funktiona todennäköisyys, eli että se toteuttaa todennäköisyyden kolme aksioomaa. Tästä seuraa, että ehdolliselle todennäköisyydelle saadaan käyttää samoja laskusääntöjä (ensimmäisen argumentin suhteen), kuin tavalliselle todennäköisyydelle. Ehdollisen todennäköisyyden kaavan frekvenssitulkintaa varten tarkastellaan N-kertaista toistokoetta, jossa voi sattua A tai B tai molemmat. Tapahtuman A suhteellinen esiintymisfrekvenssi niissä kokeissa, joissa on sattunut tapahtuma B on N(A B) N(B) = N(A B)/N N(B)/N. Frekvenssitulkinnan mukaan jälkimmäisessä muodossa osoittaja lähestyy todennäköisyyttä P (A B) ja nimittäjä todennäköisyyttä P (B), kun N kasvaa rajatta. Siis ehdollisen todennäköisyyden P (A B) määritelmä osamääränä P (A B)/P (B) on järkeenkäypä. Ehdollisen todennäköisyyden määritelmä (1.10) voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa, P (A B) = P (A B) P (B). (1.11) 13

18 Tämä erittäin tärkeä kaava on nimeltään todennäköisyyksien kertolaskusääntö eli kertolaskukaava. Siitä käytetään myös nimeä todennäköisyyslaskennan ketjusääntö. Mikäli P (A) > 0 ja P (B) > 0, on P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B A), josta saadaan ratkaistua toinen ehdollisista todennäköisyyksistä, nimittäin P (B A) = P (A B) P (B). P (A) Kertolaskusääntö (1.11) voidaan yleistää myös usemmalle tapahtumalle. Tarkastellaan esimerkiksi kolmea tapahtumaa A, B ja C, ja oletetaan, että P (A B) > 0. Tällöin myös P (A) > 0, ja P (A) P (B A) P (C A B) = P (A) P (A B) P (A) = P (A B C). P (A B C) P (A B) Jos tapahtumia on n kappaletta A 1,..., A n ja P (A 1 A n 1 ) > 0, niin niiden leikkauksen todennäköisyys saadaan kertolaskusäännöllä P (A 1 A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A n 1 ). (1.12) Esimerkki 1.3. Perusteellisesti sekoitetusta 52 kortin pakasta jaetaan kaksi korttia. Tarkastellaan tapahtumia A 1 = { 1. kortti on ässä }, A 2 = { 2. kortti on ässä }. Laske todennäköisyydet P (A 1 ), P (A 2 ), P (A 1 A 2 ) ja P (A 2 A 1 ). Ratkaisu 1. Valitaan perusjoukoksi 52 kortin 2-permutaatiot, joita on kappaletta. Tuloperiaatteen nojalla #A 1 = #A 2 = 4 51, #(A 1 A 2 ) = 4 3. Siis P (A 1 ) = P (A 2 ) = = 1 13, P (A 1 A 2 ) = , ja näistä saadaan P (A 2 A 1 ) = P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) = = Ratkaisu 2. Ajatellaan tilannetta kortti kerrallaan. Todennäköisyys, että ensimmäinen kortti on ässä on tietenkin 4/52, koska ässiä on pakassa neljä. Kun tarkastellaan vain yhden kortin arvoa kerrallaan, on samantekevää, monentenako se jaetaan, joten 4/52 on myös tn sille, että toinen kortti on ässä. Siis P (A 1 ) = P (A 2 ) = 4 52 =

19 Kun ensimmäinen kortti on jaettu ja osoittautunut ässäksi, niin jäljellä on perusteellisesti sekoitettu 51 kortin pakka, joka sisältää 3 ässää. Tämän takia Kertolaskusäännön nojalla P (A 2 A 1 ) = P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) = Tapahtumien riippumattomuus Määritelmä 1.4 (Kahden tapahtuman riippumattomuus). Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos Tämä asia voidaan merkitä A B. P (A B) = P (A) P (B). Huomautus. Tarkista, että ymmärrät, mitä eroa on seuraavilla käsitteillä. a) A ja B ovat erillisiä tapahtumia, b) A ja B ovat riippumattomia tapahtumia. Jos A ja B ovat riippumattomia, niin tapauksen A B (sekä A että B sattuvat) todennäköisyys saadaan kertomalla keskenään kyseisten tapauksien ei-ehdolliset todennäköisyydet. (Yleisemmässä tapauksessa tarvitaan kertolaskusääntöä.) Jos P (B) > 0 ja A B, niin P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B) P (B) = P (A). Siis mikäli A ja B ovat riippumattomia, niin tieto B:n sattumisesta ei muuta A:n todennäköisyyttä. Toisaalta, jos P (B) > 0 ja P (A B) = P (A), niin A B, sillä tällöin P (A B) = P (B A) = P (B) P (A B) = P (A) P (B). Yhteenveto edellisistä tarkasteluista: jos P (B) > 0, on A B P (A B) = P (A). (1.13) Jos A B, niin helpoilla laskuilla saadaan tarkistettua, että myös A c B, A B c, A c B c. Esimerkki 1.4. Kahden nopan heitto. Perusjoukko on Ω = E E, jossa E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sen alkeistapaukset ovat symmetrisiä, ja alkeistapauksessa (x, y) E E ensimmäinen koordinaatti x kertoo ensimmäisen nopan 15

20 silmäluvun ja toinen koordinaatti y toisen nopan silmäluvun. Olkoot 1 i, j 6 annettuja kokonaislukuja, ja tarkastellaan tapahtumia A = { nopan yksi tulos on i }, B = { nopan kaksi tulos on j } Tällöin ja joten A B. P (A) = 6 36, P (B) = 6 36, P (A B) = 1 36 = 1 1 = P (A) P (B), 6 6 Määritelmä 1.5 (Useamman tapahtuman riippumattomuus). Tapahtumat A 1,..., A n ovat riippumattomia, jos kaikilla k 2 on voimassa P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) aina kun i 1,..., i k ovat erillisiä ja i j {1,..., n} kullakin j. Tämä asia voidaan merkitä A 1,..., A n. Esimerkiksi kolme tapahtumaa A, B ja C ovat riippumattomia, jos kaikki neljä seuraavaa ehtoa pätee P (A B) = P (A) P (B) P (A C) = P (A) P (C) P (B C) = P (B) P (C) P (A B C) = P (A) P (B) P (C). Tässä neljäs ehto ei seuraa kolmesta ensimmäisestä, eli tapahtumien A, B ja C parittaisesta riippumattomuudesta, mikä voidaan osoittaa yksinkertaisella esimerkillä. Jos tapahtumat A 1,..., A n ovat riippumattomia, ja kukin joukoista B i on joko A i tai sen komplementti, niin voidaan osoittaa, että tapahtumat B 1,..., B n ovat myös riippumattomia. Riippumattomuuden käsite voidaan laajentaa koskemaan myös äärettömän montaa tapahtumaa A 1, A 2,.... Määritelmä 1.6. Tapahtumat A 1, A 2,... ovat riippumattomia, jos kaikilla k 2 pätee P (A i1 A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ) aina kun i 1,..., i k ovat erillisiä positiivisia kokonaislukuja. Määritelmä 1.7 (Ehdollinen riippumattomuus). Olkoon C tapahtuma, jolle P (C) > 0. Tapahtumat A ja B ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla C, jos Tämä voidaan merkitä (A B) C. P (A B C) = P (A C) P (B C). Toisin sanoen kaksi tapahtumaa ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla C, jos ne ovat riippumattomia ehdollisen todennäköisyyden P ( C) mielessä. Ehdollisen riippumattomuuden käsite voidaan tällä periaatteella tietenkin yleistää useammalle kuin kahdelle tapahtumalle. 16

21 1.8 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Oletetaan, että tapahtumat B 1,..., B n muodostavat perusjoukon Ω osituksen, ts. ne ovat erillisiä: B i B j =, kun i j ne peittävät Ω:n, eli Ω = B 1 B n. Olkoon A tapahtuma. Joukko A voidaan osittaa seuraavasti A = (A B 1 ) (A B n ), jossa osat (A B 1 ),..., (A B n ) ovat erillisiä, joten (additiivisuus ja kertolaskusääntö) n P (A) = P (B i ) P (A B i ). (1.14) i=1 Tämä on kokonaistodennäköisyyden kaava. Olkoon A tapahtuma siten, että P (A) > 0, ja olkoon B 1,..., B n perusjoukon Ω ositus kuten edellä. Jos satunnaiskokeessa on sattunut tapahtuma A, niin tapahtuman B i (ehdollinen) tn on P (B i A) = P (A B i) P (A) = P (B i) P (A B i ) P (A) Kun tässä P (A) vielä esitetään kokonaistodennäköisyyden kaavalla, saadaan Bayesin kaava P (B i A) = P (B i ) P (A B i ) n j=1 P (B, 1 i n. (1.15) j) P (A B j ) Esimerkki 1.5. Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu kolmesta rinnan kytketystä komponentista. Tällainen systeemi toimii, jos yksikin kolmesta komponentista toimii. Jos tietty komponentti ei toimi, sanomme, että se on mennyt rikki. Tarkasteltava systeemi on yhdestä toisensa poissulkevasta tilasta: Normaalitilassa komponentit ovat rikki riippumattomasti tn:llä p = Poikkeustilassa (Murphyn laki!) komponentit ovat rikki riippumattomasti tn:llä p 2 = 0.8. Laske todennäköisyys, että systeemi ei toimi seuraavissa tilanteissa. a) Systeemi on poikkeustilassa erittäin pienellä tn:llä b) Systeemi ei ole koskaan poikkeustilassa. Ratkaisu. Merkitään A i = komponentti i on rikki, i = 1, 2, 3 A = systeemi ei toimi = A 1 A 2 A 3 B = systeemi on normaalitilassa. 17

22 Käytetään ositusta Ω = B B c. Merkitään q = P (B c ); a-kohdassa q = 10 6 ja b-kohdassa q = 0. Kokonaistodennäköisyyden kaavan perusteella P (A) = P (A B) P (B) + P (A B c ) P (B c ) = P (A 1 A 2 A 3 B) P (B) + P (A 1 A 2 A 3 B c ) P (B c ) = p 3 (1 q) + p 3 2q. Kohdan (a) oletuksilla saadaan mutta kohdan (b) oletuksilla saadaan P (A) , P (A) = p 3 = Kohdassa (a) saatu vastaus on siis yli 500 kertaa suurempi kuin kohdassa (b). Vaikka a-kohdassa poikkeustila on erittäin epätodennäköinen, sen mahdollisuutta ei tässä laskussa voida jättää huomiotta. Lasketaanpas vielä a-kohdan oletuksilla todennäköisyys, että systeemi on poikkeustilassa silloin, kun se ei toimi. Tämä tn saadaan Bayesin kaavalla, P (B c A) = P (A Bc ) P (A) = p 3 2q p 3 (1 q) + p 3 2 q Toistokokeisiin liittyviä todennäköisyyksiä Bernoullin koe (engl. Bernoulli trial) on satunnaiskoe, jossa tapahtuu toinen kahdesta toisensa poissulkevasta tapahtumasta: tapahtuma A (onnistuminen) tai sen komplementti A c (epäonnistuminen). Olkoon onnistumistodennäköisyys 0 p 1, jolloin epäonnistumisen todennäköisyys on 1 p. Emme enää tarkastele symmetristä tn-avaruutta. Tarkastellaan toistettua Bernoullin koetta (engl. Bernoulli trials), jossa edellistä koetta toistetaan riippumattomasti n kertaa. Alkeistapauksiksi voidaan valita jonot (x 1,..., x n ), jossa x i {0, 1} kullakin i. Tässä i:s koordinaatti x i on ykkönen täsmälleen silloin, kun toistolla i onnistutaan, eli kun toistolla i sattuu A. Olkoon p onnistumistodennäköisyys yhdessä toistossa (eli tapahtuman A tn yhdessä toistossa). Olkoon B k se toistokokeen tapahtuma, jossa n toistossa onnistutaan k kertaa (kun 0 k n). Tapahtuman B k todennäköisyyden antaa tuttu kaava ( ) n P (B k ) = p k (1 p) n k, k = 1,..., n. (1.16) k Nämä ovat ns. binomijakauman pistetodennäköisyyksiä. Edellinen kaava perustellaan seuraavalla tavalla. 18

23 Tapahtumalle B k suotuisia alkeistapauksia ovat ne (x 1,..., x n ), joille n x i = k. i=1 Kunkin tällaisen alkeistapauksen tn on toistojen riippumattomuuden nojalla p k (1 p) n k, ja suotuisa alkeistapauksia on yhteensä ( n k) kappaletta, sillä k:n ykkösen paikkojen valinta n:n pituisessa jonossa nollia ja ykkösiä on sama asia kuin k-alkioisen osajoukon valinta n-alkioisesta joukosta. Eräs Bernoullin kokeen yleistys on sellainen koe, ns. multinomikoe, jossa tapahtuu täsmälleen yksi m:stä toisensa poissulkevasta tapahtumasta A 1,..., A m. (Bernoullin kokeessa tällaisen osituksen muodostavat A ja A c.) Olkoon p j = P ( (yhdessä) kokeessa sattuu A j ), j = 1,..., m. Toistetaan tätä koetta nyt riippumattomasti n kertaa. Tätä toistokoetta voidaan kutsua toistetuksi multinomikokeeksi (engl. multinomial trials) Valitaan alkeistapauksiksi jonot (x 1,..., x n ), jossa x i {1,..., m} kullakin i. Tässä i:s koordinaatti x i saa arvon j täsmälleen silloin, kun toistolla i sattuu tapahtuma A j. Olkoot k 1,..., k m ei-negatiivisia kokonaislukuja, joiden summa on n. Tarkastellaan sitä n-kertaisen toistokokeen tapahtumaa B(k 1, k 2,..., k m ), jossa kukin A j sattuu täsmälleen k j kertaa. Kunkin tällaisen tapahtuman tn on toistojen riippumattomuuden nojalla p k1 1 pk pkm m Joukkoon B(k 1, k 2,..., k m ) kuuluvia alkeistapauksia on multinomikertoimen ( n k 1, k 2,..., k m ) ilmaisema määrä, sillä kukin tällainen alkeistapaus vastaa täsmälleen yhtä tapaa osittaa n-alkioinen joukko m osaan siten, että osaan j tulee k j alkiota. Tämän tarkastelun perusteella ( ) n P (B(k 1, k 2,..., k m )) = p k1 1 k 1, k 2,..., k pk pkm m. (1.17) m Nämä ovat erään moniulotteisen jakauman, ns. multinomijakauman, pistetodennäköisyyksiä Monotoninen jatkuvuus Tarkastellaan jonoa erillisiä tapahtumia A 1, A 2,... Määritellään kaikilla n 1 tapahtuma B n yhdisteenä n ensimmäisestä A i -tapahtumasta, B n = n A i. i=1 19

24 Tapahtumat B 1, B 2,... muodostavat nyt kasvavan jonon, ts. Lisäksi B 1 B 2... A i = B n. i=1 Kehitetään seuraavaksi esitys ylläolevan numeroituvasti äärettömän yhdisteen tn:lle. Todennäköisyyden täysadditiivisuuden ja tapahtumien A 1, A 2,... erillisyyden nojalla on voimassa P (B n ) = n i=1 P (A i ) n i=1 n=1 P (A i ) = P ( i=1 A i ) = P ( m=1 B m ). Toisaalta, jos lähdetään liikkeelle kasvavasta jonosta tapahtuma B 1, B 2,..., jossa siis B 1 B 2..., niin on helppoa konstruoida erilliset tapahtumat A 1, A 2,... siten, että kullakin n joukko B n on yhdiste n ensimmäisestä joukosta A i. Meidän tarvitsee vain valita A 1 = B 1, A 2 = B 2 \ A 1 = B 2 \ B 1, A 3 = B 3 \ (A 1 A 2 ) = B 3 \ B 2 ja niin edelleen, ts. asetetaan A i = B i \ B i 1, kun i 2. Edellisen päättelyn nojalla on voimassa P ( B i ) = lim P (B n). n i=1 Komplementteihin siirtymällä nähdään että samanlainen raja-arvotulos pätee, kun tarkastellaan laskevaa jonoa tapahtumia B 1, B 2,..., jossa siis Tällöin on voimassa P ( i=1 B 1 B B i ) = lim n P (B n). Kirjataan nämä huomiot vielä lauseeksi. Lause 1.2 (Todennäköisyyden monotoninen jatkuvuus). Olkoon B 1, B 2,... jono tapahtumia. (a) Jos jono on kasvava, eli B 1 B 2 B 3..., niin P ( i=1 B i ) = lim n P (B n). (b) Jos jono on laskeva, eli B 1 B 2 B 3..., niin P ( i=1 B i ) = lim n P (B n). 20

25 Luku 2 Satunnaismuuttujat 2.1 Satunnaismuuttuja ja sen jakauma Satunnaismuuttuja (lyhenne sm, engl. random variable, rv) on satunnaiskokeeseen liittyvä numeerinen muuttuja, jonka arvo määräytyy kokeen lopputuloksesta. Satunnaismuuttuja on siis perusjoukolla määritelty reaaliarvoinen funktio. Määritelmä 2.1. Olkoon Ω perusjoukko. Kuvaus X : Ω R on satunnaismuuttuja. Huomautus. Tarkasti ottaen edellinen määritelmä ei ole riittävä. Lisäksi pitäisi vaatia, että jokaisen riittävän säännöllisen joukon (kuten esim. jokaisen välin) B R alkukuva kuvauksessa X pitää olla tapahtuma, eli sellainen Ω:n osajoukko, jonka tn on määritelty. Tämä vaatimus ilmaistaan sanomalla, että X on Borelin funktio (eli Borel-mitallinen funktio). Tästä lähtien sivuutamme tämän asian. Määritelmä 2.2 (Tapahtuman indikaattori). Olkoon A Ω tapahtuma. Sen indikaattori (eli ilmaisin) 1 A on satunnaismuuttuja, jonka määrittelee lauseke { 1, jos ω A, 1 A (ω) = 0, muuten. Huomautus. Tapahtuman A indikaattoria sanotaan myös sen osoitinmuuttujaksi. Sille käytetään yleisesti myös merkintää I A. Jos tapahtuma A esitetään monimutkaisella lausekkeella, niin usein käytetään edellisten sijasta merkintää 1(A) tai I(A). Jos on lisäksi tarpeen merkitä argumentti ω näkyviin (mutta harvoin on), niin voidaan käyttää merkintöjä 1(A)(ω) tai I(A)(ω). Esimerkki 2.1. Silmäluku nopanheitossa. Jos alkeistapaus ω {1,..., 6} kertoo nopan silmäluvun, niin X(ω) = ω on tuo silmäluku. 21

26 Silmälukujen summa kahdessa nopanheitossa. Jos E = {1,..., 6}, perusjoukko Ω = E E, ja alkeistapaukselle (i, j) E E ensimmäinen koordinaatti i kertoo nopan yksi ja toinen koordinaatti j nopan kaksi silmäluvun, niin niiden summan ilmoittaa X(i, j) = i + j. Usein samalla perusjoukolla on määritelty useampi kuin yksi satunnaismuuttuja, esim. X ja Y. Tällöin voidaan tarkastella myös niistä muodostettuja lausekkeita, kuten ax (vakiolle a R), X + Y, XY jne. Myös ne ovat satunnaismuuttujia. Esim. X + Y tarkoittaa funktioiden yhteenlaskua, eli X + Y on se funktio Ω R, jolle (X + Y )(ω) = X(ω) + Y (ω). Toisin sanoen laskutoimitukset pitää tulkita pisteittäin. Jos Y ei saa arvoa nolla, niin myös X/Y on sm. Jos X on sm, niin voidaan kysyä, millä todennäköisyydellä se saa arvon joukosta B, jossa B R. Kyseistä tapahtumaa voidaan merkitä {ω Ω : X(ω) B}, mutta sitä merkitään tavallisesti lyhyemmin seuraavasti, {X B} = {ω Ω : X(ω) B}. Sen todennäköisyyttä voidaan merkitä jollakin seuraavista tavoista, P (X B) = P {X B} = P ({X B}) = P ({ω Ω : X(ω) B}). (2.1) Tavallisesti käytetään lyhyitä merkintöjä, joissa ei esiinny perusjoukkoa eikä sisäkkäisiä sulkuja. Erityisesti voidaan olla kiinnostuneita seuraavista valinnoista joukolle B. Huomaa, minkälaisia merkintöjä niiden yhteydessä käytetään. B on yksiö {x}, jossa x R. Tällöin kysytään pistetodennäköisyyttä P (X = x) = P ({ω Ω : X(ω) = x}). B on väli kuten esim. suljettu väli [a, b], jossa a < b, P (a X b) = P ({ω Ω : a X(ω) b}). Vastaavasti määritellään P (a < X b), P (a X < b) ja P (a < X < b). Voidaan myös tarkastella tapausta B = (, x]. Tällöin merkitään P (X x) = P ({ω Ω : X(ω) x}). Määritelmä 2.3 (Satunnaismuuttujan jakauma). Jos X on satunnaismuuttuja, niin sen jakauma on P (X B) ymmärrettynä argumentin B R funktiona. 22

1. Matkalla todennäköisyyteen

1. Matkalla todennäköisyyteen 1. Matkalla todennäköisyyteen Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen (Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus 1921) Miten ihmeessä tämä liittyy tähän kurssiin????!?? 1.1

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta, syksy Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Todennäköisyyslaskenta, syksy Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto Todennäköisyyslaskenta, syksy 2013 Petri Koistinen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto 30. elokuuta 2013 2 Esipuhe Tämä luentomoniste on tarkoitettu Helsingin yliopiston matematiikan

Lisätiedot

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja.

Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta? Tarvitaan havaintoja. Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Kurssi käsittelee todennäköisyyslaskentaa ja tilastotiedettä. Laaditaan satunnaisilmiöille todennäköisyysmalleja. Miten hyvin mallit kuvaavat todellisuutta?

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset

Todennäköisyyslaskenta I, kesä 2017 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus 1, ratkaisuehdotukset Todennäköisyyslaskenta I, kesä 207 Helsingin yliopisto/avoin Yliopisto Harjoitus, ratkaisuehdotukset. Kokeet ja Ω:n hahmottaminen. Mitä tarkoittaa todennäköisyys on? Olkoon satunnaiskokeena yhden nopan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I

Todennäköisyyslaskenta I Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen, Topias Tolonen 1 Kesä 2017 1 Luentomateriaali alun perin Villen käsialaa kesältä 2016, materiaalia muokataan kesän 2017 luentojen mukana ajan tapaa ja luennoitsijan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen

Todennäköisyyslaskenta I. Ville Hyvönen Todennäköisyyslaskenta I Ville Hyvönen Kesä 2016 Sisältö 1 Todennäköisyys 3 1.1 Klassinen todennäköisyys............................ 3 1.2 Kombinatoriikkaa................................ 6 1.2.1 Tuloperiaate...............................

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Todennäköisyys (englanniksi probability)

Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyys (englanniksi probability) Todennäköisyyslaskenta sai alkunsa 1600-luvulla uhkapeleistä Ranskassa (Pascal, Fermat). Nykyisin todennäköisyyslaskentaa käytetään hyväksi mm. vakuutustoiminnassa,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 12.1.2016/1 MTTTP5, luento 12.1.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585&i dx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 13. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 13. syyskuuta 2007 1 / 21 1 Klassinen todennäköisyys 2 Kombinatoriikkaa Kombinatoriikan perusongelmat Permutaatiot

Lisätiedot

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma

3.1 Kaksiulotteinen satunnaisvektori ja sen jakauma 3 Yhteisjakauma Kappaleessa 2 tarkastelimme aina yhtä satunnaismuuttujaa kerrallaan. Tässä kappaleessa näemme, miten aikaisemmat käsitteet yleistyvät siihen tilanteeseen, jossa samalla perusjoukolla on

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1A Tilastollinen päättely II, kevät 207 Harjoitus A Heikki Korpela 23. tammikuuta 207 Tehtävä. Kertausta todennäköisyyslaskennasta. Ilmoita satunnaismuuttujan Y jakauman nimi ja pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Todennäköisyyden aksioomat Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Bayesin kaava,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi M-0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 1: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet; Todennäköisyyden aksioomat; Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt; Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015

https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 25.10.2016/1 MTTTP5, luento 25.10.2016 1 Kokonaisuudet, joihin opintojakso kuuluu https://www10.uta.fi/opas/opintojakso.htm?rid=11585 &idx=2&uilang=fi&lang=fi&lvv=2015 2 Osaamistavoitteet Opiskelija osaa

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Olkoon S = {s 1,s 2,...,s n } äärellinen otosavaruus. Oletetaan, että Pr(s i ) = 1, kaikille i = 1, 2,...,n n Tällöin alkeistapahtumat

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikan perusperiaatteet

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Yleinen todennäköisyys Kertausmateriaalissa esiteltiin koulusta tuttuja todennäköisyysmalleja. Tällä kurssilla todennäköisyys on

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta

031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Kurssi-info ja lukion kertausta Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 7 4 h) ke 12-14 ja pe 8-10 (ks. tarkemmin Oodista tai Nopasta) Harjoitukset

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 14. syyskuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 14. syyskuuta 2017 1 / 26 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä

Lisätiedot

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta

4. Todennäköisyyslaskennan kertausta luento04.ppt S-38.1145 - Liikenneteorian perusteet - Kevät 2006 1 Sisältö eruskäsitteet Diskreetit satunnaismuuttujat Diskreetit jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat jakaumat aikajakaumat

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat jen Kahden joukon A ja B samuutta todistettaessa kannattaa usein osoittaa, että A on B:n osajoukko ja että B on A:n osajoukko. Tällöin sovelletaan implikaation ja ekvivalenssin yhteyttä. Lause 5. (s. 50).

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 3. lokakuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta 2017 1 / 33 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto

Todennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti.

Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Joukon määritelmä Joukko on alkioidensa kokoelma. Valitsemalla sopivat alkiot joudutaan tämän määritelmän kanssa vaikeuksiin, jotka voidaan välttää rakentamalla joukko oppi aksiomaattisesti. Näin ei tässä

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo.

Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Kertaus Tilaston esittäminen frekvenssitaulukossa ja graafisesti. Luokiteltu aineisto. Keskiluvut luokittelemattomalle ja luokitellulle aineistolle: moodi, mediaani, keskiarvo. Hajontaluvut luokittelemattomalle

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita

11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita 11 Raja-arvolauseita ja approksimaatioita Tässä luvussa esitellään sellaisia kuuluisia todennäköisyysteorian raja-arvolauseita, joita sovelletaan usein tilastollisessa päättelyssä. Näiden raja-arvolauseiden

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 4. Joukot, relaatiot ja funktiot Osa 1: Joukot 4.1 Joukot Matemaattisesti joukko on mikä tahansa hyvin määritelty kokoelma objekteja, joita kutsutaan joukon alkioiksi

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Määritelmiä. Nopanheitossa taas ω 1 = saadaan 1, ω 2 = saadaan 2,..., ω 6 = saadaan

Määritelmiä. Nopanheitossa taas ω 1 = saadaan 1, ω 2 = saadaan 2,..., ω 6 = saadaan Todennäköisyys Todennäköisyys on epävarman matematiikkaa. Matemaattinen todennäköisyys mallintaa satunnaisia ilmiöitä, kuten esimerkiksi nopantai lantinheitto. Todennäköisyyttä voi lähestyä mm. tilastollisesti

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät

Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskenta - tehtävät Todennäköisyyslaskentaa käsitellään Pitkän matematiikan kertauskirjan sivuilla 253 276. Klassinen todennäköisyys Kombinatoriikka Binomitodennäköisyys Satunnaismuuttuja,

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op)

031021P Tilastomatematiikka (5 op) 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division Käytännön asioita Luennot (yht. 11 4 h) ti 12-14 ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht. 11 2 h)

Lisätiedot

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme

A. Jos A on niiden perusjoukon S alkioiden x joukko, jotka toteuttavat ehdon P(x) eli joille lause P(x) on tosi, niin merkitsemme Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 1 Aiheet: Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Klassinen todennäköisyys

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

Yleistä tietoa kokeesta

Yleistä tietoa kokeesta Yleistä tietoa kokeesta Kurssikoe on pe 27.10. klo 12.00-14.30 (jossakin auditorioista). Huomaa tasatunti! Seuraava erilliskoe on ke 1.11 klo 16-20, johon ilmoittaudutaan Oodissa (ilmoittautumisaika erilliskokeeseen

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Johdanto: Deterministisyys ja satunnaisuus Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet TKK (c)

Lisätiedot

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi

Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo hannu.toivonen, marko.salmenkivi, inkeri.verkamo@cs.helsinki.fi Helsingin yliopisto Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi,

Lisätiedot

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta

Tuloperiaate. Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta Tuloperiaate Oletetaan, että eräs valintaprosessi voidaan jakaa peräkkäisiin vaiheisiin, joita on k kappaletta ja 1. vaiheessa valinta voidaan tehdä n 1 tavalla,. vaiheessa valinta voidaan tehdä n tavalla,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt

Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Luku 3 Satunnaismuuttujan odotusarvo ja laskusäännöt Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 16. syyskuuta 2017 3.1 Odotusarvon käsite ja suurten lukujen laki Lukuarvoisen satunnaismuuttujan X odotusarvo määritellään

Lisätiedot

A = B. jos ja vain jos. x A x B

A = B. jos ja vain jos. x A x B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Avainsanat: Bayesin kaava, Binomikaava, Binomikerroin,

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen

Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen Luonnollisten lukujen ja kokonaislukujen määritteleminen LuK-tutkielma Jussi Piippo Matemaattisten tieteiden yksikkö Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Joukko-opin perusaksioomat...................

Lisätiedot

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat

Luku 1. Johdanto. 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede. 1.2 Havaitut frekvenssit ja empiiriset jakaumat Luku 1 Johdanto 1.1 Todennäköisyys ja tilastotiede Tämä kurssi käsittelee sekä todennäköisyyslaskentaa että tilastotiedettä. Uhkapelurien ongelmat inspiroivat todennäköisyyslaskennan uranuurtajien ajattelua,

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä, todistuksia ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteetesimerkkejä,

Lisätiedot