2.6 Frekvenssien kuvaamisesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2.6 Frekvenssien kuvaamisesta"

Transkriptio

1 MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 2.6 Frekvenssien kuvaamisesta Pelkästä taulukosta, jollaisia näit edellä, on vaikea saada kunnolla selvää. Ainakin ison taulukon tapauksessa on laadittava kaavio, jos asiasta haluaa ymmärtää jotain. Tämä johtuu siitä, että ihminen on melkoisen visuaalinen eli kuvallinen olio. Millainen kuvatyyppi valitaan, riippuu tilanteesta. Etenen niin, että ensin esittelen lyhyesti kuvaajatyyppejä ja sitten tarkennan esimerkkien avulla sinulle näin muodostunutta mielikuvaa. Taidanpa aloittaa luettelolla en siis kuvalla. Esittelen jatkossa seuraavat kuvaajat. Sulkeissa mainitsen jonkin muuttujatyypin, jota esittämään mainittu kuvaaja sopii. Pylväsdiagrammi (diskreetti muuttuja) Palkkidiagrammi (diskreetti muuttuja) Sektoridiagrammi eli piirakkakuvio (diskreetti muuttuja, osuudet kokonaisuudesta) Histogrammi (jatkuva muuttuja) Frekvenssimonikulmio (jatkuvan muuttujan frekvenssijakauma) Porrasdiagrammi (diskreetin muuttujan summafrekvenssi) Summakäyrä eli summapolygoni (jatkuvan muuttujan summafrekvenssi) Esimerkkejä frekvenssien kuvaamisesta Pylväsdiagrammi Kuvataan Sipon tikanheittotuloksia pylväsdiagrammin avulla. Esimerkki 14 Kuvassa on siis pylväsdiagrammi, joka kuvaa Sipon kuvitteellisen tikanheittoturnauksen tulokset harjoituksesta 2. Vaaka-akselilla ovat heittokierrokset numerojärjestyksessä, pystyakselilla kunkin kierroksen viiden tikan yhteistulos.

2 45 Tikanheitto Pisteet I Kierrokset No, kehittyykö Sipon heittotarkkuus (Harjoitus 4)? Tämä kuvio vastaa kysymykseen vielä selvemmin kuin frekvenssitaulukon silmäileminen. Tein tämän kuvion maalaamalla ensin kaksi riviä: kierrosten numeroitten rivin ja pisterivin. Kuva ohessa. Alimmalla rivillä, joka tässä kuvassa näkyy mustana kuten taulukon ylinkin rivi, on kunkin kierroksen tikkojen yhteispisteet. Näitten kahden rivin taustat ovat mustat, koska ne on maalattu, kuten alan termi kuuluu. Huomaa, että tuon alimman eli summarivin tekemisestä ei ole puhuttu mitään, ei ainakaan harjoituksen määrittelyssä. Tämän jälkeen valitsin ohjelmassa Lisää Kaavio Ruksaa Ensimmäinen rivi selitteenä, paina Seuraava ja ruksaa Tietojoukot: Rivit. Kokeile eri vaihtoehtoja: esimerkiksi, maalaa myös noitten kahden väliin jäävät rivit! Kokeile vielä muita juttuja! Huomaa saadun kaavion eräs pylväsdiagrammi seuraavat piirteet: Pylväät eivät ole kylki kyljessä, vaan niitten välissä on selvä tyhjä tila Pylvään korkeus kuvaa suoraan pisteitten määrää.

3 Kuvioni kaikki pylväät ovat saman levyiset. Jos piirrät eri levyiset pylväät, valitse pylvään pinta-ala suoraan verrannollisesti pistemäärään. Tällöin pylvään ala siis kuvaa pistemäärää. Jatketaan tästä palkkidiagrammin parissa. Palkkidiagrammi Käytetään Sipon tikanheittotuloksia jälleen. Esimerkki 15 Tikkaturnaus Kierrokset I Kierroksen pisteet Käytännössä tämä on vain eräs pylväsdiagrammin versio. Taulukkolaskentaohjelmassa valinnat ovat eräässä vaiheessa kuvan mukaiset.

4 Kerrataan tässä se, mitä äsken sanottiin pylväsdiagrammista. Huomaa saadun kaavion eräs palkkidiagrammi seuraavat piirteet: Palkit eivät ole kylki kyljessä, vaan niitten välissä on selvä tyhjä tila Palkin korkeus kuvaa suoraan pisteitten määrää. Kuvioni kaikki palkit ovat saman levyiset. Jos piirrät eri levyiset palkit, valitse palkin pinta-ala suoraan verrannollisesti pistemäärään. Tällöin palkin ala siis kuvaa pistemäärää. Sektoridiagrammi Sektoridiagrammin eli tuttavallisemmin piirakkakuvion ajatus on esittää kokonaisuuden osien suhteelliset osuudet sektoreihin jaetun ympyrän avulla. Mitä isompi osa ympyrää sitä isompi osa kokonaisuutta! Esimerkki 16 Sipon tikanheittoturnaus tarjoaa mahdollisuuden arvioida sektoridiagrammin avulla vaikkapa kunkin kierroksen pisteiden jakautumista tikkojen kesken. Koska Sippo arvelee, että hänen heittotaitonsa kehittyvät koko ajan, niin hän katsoo kuinka mones tikka antaa parhaan tuloksen. Se on tieto, jonka hän saa edellä olevasta taulukosta. Vai mitä arvelet, kun katsot seuraavaa sektoridiagrammia? Hän tahtoo kuitenkin nähdä myös, kuinka suuri subjektiivinen suhteellinen ero heittojen välillä on. Sippo piirtää kaksi sektoria, yhden ensimmäisestä ja yhden viimeisestä kierroksesta. Kopioidaan molemmat heittotulokset tähänkin. Seuraavat kaksi sektoridiagrammia esittävät Sipon 1. ja 10. heittokierrosta. Koko sektori esittää siis 1. kierroksen tapauksessa yhteensä 8 pistettä ja 10. kierroksen tapauksessa 43 pistettä. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka

5 1. heittokierros 10. heittokierros 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka Ja vielä kerran ruksi eri paikkaan. Lisäksi maalasin tietenkin kierrosnumeron lisäksi molemmille asianmukaisen pistesarakkeen. Kuten huomaat, olen valinnut 1. kierroksen tuloksia kuvaamaan erilaisen sektorin kuin 10. kierrosta varten. Missähän 1. kierroksen 2. tikan siivu on? Ja sitten maalaan molemmat tulokset ja laitan ne samaan kuvaajaan. Mihin ruksi nyt laitetaan, kun valitaan kuvaajan tyyppi? 1. ja 2. heittokierros 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka Esimerkki 17 Tehdään taulukosta piirakkakuvio. Tällä kertaa samankokoisiin luokkiin. seuraavasta aineisto ei ole luokiteltu Tieliikenneonnettomuuksissa vuonna 1994 loukkaantuneet ikäryhmittäin Lähde:

6 Ilmeisiä eroja lukuun ottamatta seuraava kuvio saadaan taulukkolaskentaohjelmalla aikaan samalla tavalla kuin edelliset kuvaajat. Loukkaantuneet ikäryhmittäin Taulukkolaskentaohjelmistot tarjoavat toinen toistaan räväkämpiä keinoja tehdä näyttäviä kuvaajia. Muista kuitenkin, että diagrammi tai sen komeus eivät ole itsetarkoitus. Diagrammin tehtävä on tarjota informaatiota mahdollisimman selvällä, helppolukuisella ja yksiselitteisellä tavalla. Tähän tuloksen on päästävä totuutta mahdollisimman tarkoin noudattaen. Kuvaaja ei saa olla komea luettavuuden kustannuksella. Mieti siis, miksi valitsen juuri tämän kuvaajatyypin ja vaihtoehdon? Antaako kolmiulotteinen ns. 3D kuvaaja sittenkään enemmän tietoa kuin kaksiulotteinen (2D)? Kenen show: asiallisen tiedon vai näyttävyyden? Tämän muistutuksen jälkeen haluan toisaalta rohkaista sinua käyttämään mielikuvitusta. Kyllä kuvaaja saa mielellään olla niin kaunis, että siinä silmä lepää. Täytyy vain muistaa tilastojen ja niitten antamien tulosten perimmäinen tarkoitus ja tavoite. Filosofi peräänkuuluttaisi ehkä diagrammin hyvettä. Histogrammi Histogrammi näyttää pylväsdiagrammilta, jonka pylväät on laitettu kylki kylkeen kiinni. Kuitenkin histogrammilla ja pylväsdiagrammilla on selvä, periaatteellinen ero. Histogrammilla kuvataan

7 jatkuvan muuttujan frekvenssijakaumaa kun taas pylväsdiagrammilla kuvataan epäjatkuvan muuttujan jakaumaa. Tämä kelpaa muistisäännöksi, jonka avulla on helppo muistaa kumpi on kumpi: jatkuvan muuttujan kuvaajassa ei ole aukkoja. Histogrammin pylväitten korkeus valitaan niin, että se vastaa frekvenssiä tai suhteellista frekvenssiä. Toinen mahdollisuus on kuvata frekvenssiä tai suhteellista frekvenssiä pylvään pintaalan avulla. Luokkakeskus kirjoitetaan vaaka-akselille, luokan keskelle. Jos käytät luokkarajoja, kirjoita ne vaaka-akselille, luokan reunoille. Esimerkki 18 Koska en onnistunut laatimaan histogrammia OpenOffice 2.1:llä, käytän MS - Excel 2000:a. Sinä saatat olla taitavampi. Nämä kaksi ohjelmaa muistuttavat toisiaan paljon. Usein ohje, joka pätee OpenOffice:lle, pätee myös Excelille. Seuraavat ohjeet laadin MS - Excel 2000:n mukaan. Myös kuvion tuotin tällä ohjelmalla. Kuvio perustuu oheiseen, joka on ollut esillä aiemmin taulukkoon. Laadi ensin pylväsdiagrammi: Maalaa molemmat sarakkeet ilman otsikoita. Valitse sitten Lisää Kaavio... Paina Seuraava >. Valitse Sarja. Kirjoita Nimi kenttään vaikkapa Luokkakeskukset ja Luokka-akselin (X) otsikot: - kenttään =Taul2!$A$2:$A$11 sekä Arvot kenttään =Taul2!$B$2:$B$11 sekä kenttään, mikäli arvot ja otsikot ovat noissa soluissa. Nyt dialogi-ikkunasi pitäisi olla seuraavan näköinen. Luokkakeskus Frekvenssi 193, , , , , , , , , ,75 57 Paina Seuraava >. Käytä seuraavia kuvia lisäohjeina. Ensimmäisenä dialogin Otsikot sivu.

8 Valitse Selite ja poista ruksi kohdasta Näytä selite. Paina Seuraava > ja sitten Valmis. Klikkaa hiiren vasemmalla eli ykköspainikkeella kaaviota varmuuden vuoksi jonkin pylvään kohdalta. Klikkaa sitten hiiren oikealla eli kakkospainiketta. Valitse Muotoile arvosarjat ja sitten Asetukset. Aseta Välin leveys kentän arvoksi 0. Tätä vastaavaa ominaisuutta en löytänyt OpenOffice 2.1:stä. Katso kuvaa.

9 Paina OK. Nyt sinulla on seuraava kaavio. Kokeile taas erilaisia ohjelmistosi tarjoamia vaihtoehtoja. Huomaa, että voit muun muassa muuttaa kaaviosi kokoa joustavasti. Männyn pituusjakauma Frekvenssit ,25 488,75 784, , , , , , , ,75 Luokkakeskukset Frekvenssimonikulmio Frekvenssimonikulmion kaavioon kirjoitetaan Vaaka-akselille (x - akselille) kirjoitetaan luokat Luokan kohdalle merkitään pisteellä luokan frekvenssi tai sen suhteellinen frekvenssi niitä vastaavalle etäisyydelle vaaka-akselista Kuvaajana on monikulmio, joka kulkee jokaisen frekvenssiä vastaavan pisteen kautta ja joka alkaa ja päättyy vaaka-akselille Esimerkki 19 Käytetään Esimerkistä 18 tuttua taulukkoa, kun piirretään frekvenssimonikulmio. Koska frekvenssimonikulmio alkaa määritelmän mukaan vaaka-akselilta ja myös päättyy sille ja koska tällainenkaan kuvaaja ei kirjaimellisesti kuulu OpenOffice.org:n valikoimiin, joudumme lisäämään tyhjän luokan taulukon alkuun ja loppuun. Sitä varten kopioin mainitun taulukon tähän ja teen tarvittavat muutokset. Maalaa taas muuten koko taulukko, mutta jätä otsikot ulkopuolelle. Tee sitten seuraavat tai vastaavat valinnat ohjelmassasi. Minulla on taas OpenOffice.org 2.1 käytössä. Valitse siis ensin Lisää Kaavio Sitten: Luokkakeskus Frekvenssi , , , , , , , , , , ,25 0

10 Ensimmäinen sarake selitteenä ja Seuraava >> Viivat: listan 1. vaihtoehto ja Seuraava >> Järjestyksessä valikon neljäs eli rivin viimeinen eli Symbolit ja Seuraava >> Ota ruksi pois kohdasta Selite ja laita ruksi kohtaan Näytä esikatselussa tekstielementit. Kirjoita kaavion ja akselien otsikot Vaihdettuani ensin viivan värin ja paksuuden sain seuraavan kaavion. Frekvenssi Mäntytutkimus 0 193,25 488,75 784, , , , , , , , ,25 Luokka Porrasdiagrammi Porrasdiagrammi muodostuu vaakasuorista janoista. Se kuvaa diskreetin muuttujan summafrekvenssejä tai suhteellisia summafrekvenssejä. Joissain tilanteissa tämä kaaviotyyppi sopii sektoridiagrammin rinnalla täydentämään sitä. Koska luokkarajat määritellään niin, että luokkavälin alaraja on mukana luokkavälissä, mutta yläraja ei, niin porrasdiagrammikin piirretään siten, että kukin luokka katetaan sellaisella vaakasuoralla janalla, joka alkaa luokan alarajasta ja päättyy ylärajaan. Janan alkupiste on suljettu ja loppupiste avoin. Näin porrasdiagrammin janoista muodostuu ikään kuin nousevat portaat. Esimerkki 20 Piirretään Sipon tikanheiton kehittymistä 10 kierroksen aikana kuvaava diagrammi. Tehdään se esimerkin vuoksi käyttämällä suhteellista summafrekvenssiä kuvaavaa porrasdiagrammia. Lähtömateriaalina käytämme oheista taulukkoa. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka sf: sf%: 3,13 8,59 14,06 20,70 28,52 40,23 56,25 71,48 83,20 100,00

11 Alarajan 8 arvo 3,13 [%] saadaan laskenta-arkin (Excel 2000) kaavalla =100*SUMMA($C$9:C9)/SUMMA($C$9:$L$9), missä oletetaan, että ensimmäinen frekvenssi (arvo 8) on solussa C9. Muut otsikon Suhteellinen summafrekvenssi, % alla olevat prosenttiluvut saadaan kopioimalla tämä kaava muihin soluihin. Huomaa, että yllä olevassa, ensimmäisen luvun laskevassa kaavassa soluosoite C9 on kolmeen kertaan: kaksi kertaa dollarimerkeillä ympäröitynä, yhden kerran ilman. Kehitys 110,00 100,00 90,00 80,00 Kasautuneet, % 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Kierros Summakäyrä eli summapolygoni Summakäyrää eli summapolygonia käytetään havainnollistamaan jatkuvan muuttujan summafrekvenssiä tai suhteellista summafrekvenssiä. Se piirretään siten, että luokan frekvenssin kertymän arvo merkitään kaavioon seuraavan luokan alarajan kohdalle. Nämä pisteet yhdistetään murtoviivalla, joka alkaa nollasta. Esimerkki 21 Luokkakeskus Frekvenssi , , , , , , , , , , ,25 0

12 Käytetään Esimerkin 19 tilastoa. Kopioidaan se tähän. Summakäyrää käytetään nimensä mukaisesti summafrekvenssien kuvaamiseen toisin kuin Esimerkin 19 porrasdiagrammissa. Siksi tehdään tarvittavat laskut uuteen taulukkoon. Liitän sen taas tähän mukaan. Luokan alaraja Frekvenssi Summafrekvenssi 0, , , , , , , , , , , ,5 601 Summapolygoni 700 Frekvenssien kumul. summat ,0 45,5 341,0 636,5 932,0 1227,5 1523,0 1818,5 2114,0 2409,5 2705,0 3000,5 Luokkien alarajat Huomaa taulukon sinisellä merkityt arvot. Tarvitsin ne jotta sain taulukkolaskentaohjelmani ymmärtämään, mitä haluan. Tässä esimerkissä Excel 2000 ja OpenOffice.org näyttivät olevan tasavertaiset kumppanit. Huomaa myös seuraavat yleiset huomiot, jotka koskevat summapolygonia.

13 Ensimmäisen luokan frekvenssi on sama kuin siihen saakka kertynyt summafrekvenssi. Tämä arvo merkitään toisen luokan alarajan kohdalle. Kahden ensimmäisen luokan frekvenssien summa merkitään kolmannen luokan alarajan kohdalle. Näin jokainen n. summa merkitään n + 1. luokan alarajan kohdalle. Jakauman kuvaaja alkaa vaaka-akselilta, sillä pienimpään alarajaan mennessä ei ole kertynyt mitään Summakäyrän eli summapolygonin kuvaaja muodostuu edellä kuvatut pisteet päätepisteinä piirretyistä janoista. Mukaan on piirrettävä vielä viimeistä luokkaa seuraavan luokan alaraja, jotta viimeinenkin summa saadaan mukaan! Tässäkin mielessä on hyvä, että luokat ovat samanpituiset Diagrammien yhdistelemisestä Jos kasvatat luokan kokoa, saat ainakin johonkin rajaan saakka paremman yleiskuvan tilanteesta. Jos teet päinvastoin ja kavennat luokkia, saat esiin lisää yksityiskohtia, mutta metsän näkeminen puilta kärsii. Otan esiin yhden mahdollisuuden yrittää saada samaan kuvaan vähän molempia. Esimerkki 22 Tein oheisen kaavion Excel 2000:lla niin, että annoin ohjelmalle pituusluokat kerran ja lukumäärät kahteen kertaan sekä valitsin ensin kuvaajatyypiksi pylväät. Puitten lukumäärä Lukumäärät ,0 45,5 341,0 636,5 932,0 1227,5 1523,0 1818,5 2114,0 2409,5 2705,0 3000,5 Pituusluokat Sitten vaihdoin kahden seuraavan kuvan mukaisessa dialogissa toisen kuvaajan tyypiksi viivan asianmukaisin asetuksin.

14 Huomaa, että kuvaajan viiva kulkee luokkakeskusten kautta. Aikasarjoista Aikasarja on ajan funktiona yhtä pitkin aikavälein tehty ja muistiin merkitty havaintojen joukko. Asian voi ilmaista myös niin, että kun seuraat jotain ilmiötä aina yhtä pitkien aikojen kuluttua ja kirjaat havaintosi muistiin aikamerkintöjen kera, teet aikasarjan. Aikasarjoja ovat muiden muassa keskipäivän lämpötila paikkakunnalla potilaan kuume mitattuna tunnin välein kaupungin kerrostaloneliön keskihinta kvartaaleittain lehden levikki vuosittain Sinä osaat jatkaa tämän luettelon tekemistä ainakin riittävän pitkäksi! Usein aikasarjaa ei tehdä pelkästään sitä varten, että saadaan jälkikäteistä tietoa jonkin asian tilasta. Usein tätä tärkeämpää on käyttää aikasarjaa tilastoidun suureen tulevan kehityksen ennustamiseen. Kun näin menetellään, joudutaan olettamaan, että aikasarjan avulla on löydetty sääntö, jota 1. tutkimuksen kohde on noudattanut tähän saakka 2. tutkimuksen kohde noudattaa jatkossakin riittävän kauan. Esimerkki 23

15 Oheisessa taulukossa on erään aikakauslehden vuositilausten määrä vuodesta 1990 alkaen. Lehden levikkipäällikkö sanokaamme Erkki haluaisi arvata lehtensä vuoden 2008 tilausmäärän. Koska luvun alun lamaa lukuun ottamatta tilausten määrä näyttää kasvavan huomattavan tasaisesti. Mielessä on kuitenkin, että vuoden 2007 tilauskanta on peräti 3 % suurempi kuin vuoden 2006 tilauskanta. Pitäisikö tämä tulkita satunnaisena hyppäyksenä vai onko tilauskannan kasvu todella nousussa? Vuonna 1999 tapahtuu samanlainen hyppäys. Erkki päättää tehdä taulukon, johon hän kirjaa jokaisen vuoden tilausten määrän kasvun prosentteina edelliseen vuoteen verrattuna ja siitä edelleen trendikäyrän eli trendiviivan. Diskreetin muuttujan trendikäyrä on frekvenssimonikulmio, jonka vaaka-akselilla on aika. Esimerkiksi vuoden 1992 luvun 3 % hän saa jakamalla vuoden 1992 tilaukset vuoden 1991 levikillä. Tästä hän vähentää ykkösen ja ilmaisee saamansa desimaaliluvun prosentteina. Piirtämänsä trendikäyrää katsottuaan hän päättää, että kahden prosentin kasvu on turvallisin valinta. Täten hän arvaa vuoden 2008 tilausten määräksi kappaletta. Vuosi Tilaukset, kpl Tilausten määrän muuttuminen 4,00 % 3,00 % 2,00 % Muutos, % 1,00 % 0,00 % -1,00 % ,00 % -3,00 % Vuosi

16 Huomaa, että mikään ei estä puhumasta frekvenssimonikulmiosta tai summakäyrästä viivadiagrammina. Erilaisia jakaumia Frekvenssijakaumat, jotka olen tähän mennessä esitellyt, ovat olleet ulkonäöltään lähinnä satunnaisesti polveilevia kuin metsän silhuetti. Monet käytännön tilanteissa tärkeät jakaumat ovat kuitenkin säännöllisemmän näköisiä. Ne ovat usein jatkuvan muuttujan jakaumia. Säännöllisellä jakaumalla tarkoitan tässä yhteydessä jakaumaa, jolle voidaan kuvitella pystysuora, jonka paikalla olevan peilin kautta katsottuna kuvio ei näyttäisi muuttuvan. Näistä tärkein on normaalijakauma eli Gaussin kellokäyrä tai vain Gaussin käyrä. Seuraava kuva esittää juuri sitä. Sen symmetria-akseli on y akseli. Kuvaajan sininen viiva jatkuu loputtomiin molempiin suuntiin lähestyen koko ajan nollaa sitä koskaan saavuttamatta.

17 Tutkimme tätä myöhemmin lisää. Todetaan tässä kuitenkin, että esimerkiksi miesten tai naisten pituudet keskittyvät tällä tavalla jonkin tavallisimman arvon keskimitan ympärille. Yksinkertaisin jakauma on tasainen jakauma. Sitä esittää pelkkä vaakasuora. Jos jokin muuttuja on tasaisesti jakautunut, sen kaikki arvot ovat yhtä suuret. Tästä kelpaa esimerkiksi vaikkapa noppa, jonka kaikki kuusi silmälukua ovat yhtä todennäköiset. Yhtä todennäköiset tarkoittaa sitä, että kun 1 heität noppaa todella monta kertaa, saat jokaista silmälukua suunnilleen yhtä paljon eli 16,7% 6 kaikista heitoista. Asian voi ilmaista myös niin, että jokaisen heiton frekvenssi on sama, kun heittoja on paljon. Toinen esimerkki on lotto. Pitkällä aikavälillä jokainen lottopallo esiintyy yhtä monta kertaa. Nopan jakauma TN 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, Silmäluku Nopan silmäluku on diskreetti muuttuja. Jatkuva tasainen jakauma olisi vain vaakasuora viiva: Tasainen 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-5,00 5,00

18 Esimerkiksi tasaisella järven jäällä olevasta kepistä kahteen suuntaan [-5m ; +5 m] mitattu lumensyvyys saattaa jokaisessa mittauspisteessä olla 2,5 senttiä. Esimerkkinä vinosta jakaumasta mainittakoon työpaikan palkkojen jakauma. Tunnettu tosiseikka lienee, että firman toimitusjohtaja saa talon korkeinta palkkaa ja että väliaikainen juoksuhenkilön määräaikainen sijainen saa puolestaan pienintä palkkaa. Muut ovat sitten tietenkin sillä välillä. Oheinen kuva esittää tätä mukailevaa, täysin fiktiivistä tilannetta. Sen vaaka-akselilla on palkan suuruus ja pystyakselilla kyseistä palkkaa nauttivien henkilöiden lukumäärä eli frekvenssi. Vinolle jakaumalle on ominaista se, että frekvenssit painottuvat asteikon jompaankumpaan päähän. Kuvassa kuvaajan korkein kohta on pienempien palkkojen päässä. Frekvenssi Palkat Euroa / kk Kuinka valehtelen tilastoilla: varo näitä Vanhan sanonnan mukaan asioitten järjestys on seuraava: valhe, emävalhe, tilasto. Tämä juontanee juurensa siitä, että sinänsä oikea tilastokaavio voidaan saada näyttämään melkein miltä tahansa. Keinoja on monia. Kaikki nämä ovat kuitenkin sellaisia, että tarkkaavainen kaavion lukija saa kyllä asiasta selon. Kokonaan erikseen ovat sitten virheellisin menetelmin saadut tulokset. Kaavioissa käytetyt koristeetkin saattavat johtaa katsojaa harhaan viemällä huomion itse asiasta. Siksi niittenkin käyttämisessä kannattaa olla säästäväinen. Seuraavan esityksen lähtökohtana on oikea data, jota esittävää kaaviota rukataan tarkoitushakuisesti.

19 Esimerkki 24 Olkoon meillä seuraava jonkin työpaikan palkkojen jakautumista kuvaava taulukko. Kumpi Palkkojen jakautuminen Lukumäärä Palkkaluokka osapuoli käyttää palkkaneuvotteluissa kumpaa kaaviota? Palkkojen jakautuminen Lukumäärä Palkkaluokka Esimerkki 25 Kaksi kilpailevaa automerkkiä, X ja Y, mainostavat myyntinsä kehittymistä. Molempien kaavio perustuu oheiseen yhteiseen taulukkoon. Vanha, vakaa merkki X mainostaa ehkä seuraavalla kaaviolla, mikäli se ylipäätän on kilpailusta kiinnostunut: Myynti, kpl X Y

20 Uudempi tulokas taas ehkä laatisi samasta taulukosta seuraavan kaavion: 4500 Me ja kilpailija Ostettu, kpl Myyntikausi Me ja kilpailija Myyntikausi Ostettu. kpl Y X X Y

21 Nämä ovat sangen kärjistettyjä esimerkkejä. En missään tapauksessa väitä, että palkkaneuvottelijat tai autojen maahantuojat tai kauppiaat todella käyttävät tällaisia keinoja. Näitten esimerkkien ainoa tarkoitus on näyttää, miten muun muassa on mahdollista, että tosiin faktoihin perustuva tilastokaavio voi todellakin johtaa harhaan. Esimerkki 26 Sirpalepuolue pyrkii esiin ja mainostaa sen mukaisesti. Kannatus XXX YYY ZZZ TTT UUU MEIDÄN kannatus on keltaisella. XXX 24 YYY 24 ZZZ 25 TTT 25 UUU 2

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto Versio k15 Näin laadit ilmastodiagrammin Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla. Ohje on laadittu käyttäen Libre Officen versiota 4.2.2.1. Voit ladata ohjelmiston omalle koneellesi osoitteesta fi.libreoffice.org.

Lisätiedot

Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat

Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat Harjoituksia Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? : Celsius asteikon nollapiste on mielivaltaisesti

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista

Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Diagrammeja ja tunnuslukuja luokkani oppilaista Aihepiiri Tilastollisiin tunnuslukuihin tutustuminen Luokka-aste Kesto Tarvittavat materiaalit / välineet Lyhyt kuvaus tehtävästä Yläaste 9. luokka 30 min

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet H6: Tehtävänanto Taulukkolaskennan perusharjoitus Ennen kuin aloitat harjoituksen teon, lue siihen liittyvä taustamateriaali. Se kannattaa käydä läpi kokeilemalla samalla siinä annetut esimerkit käyttämässäsi

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007)

Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007) Anne-Mari Näsi 15.2.2010 EXCELIN PIKAKÄYTTÖOHJE (EXCEL 2007) TAULUKON NIMEÄMINEN 1. Klikkaa hiiren kakkospainikkeella Taul1 eli taulukon nimen kohdalla. Valitse kohta Nimeä uudelleen. 2. Kirjoita taulukolle

Lisätiedot

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva

14 Jatkuva jakauma. Käsitellään kuitenkin ennen täsmällisiä määritelmiä johdatteleva 4 Jatkuva jakauma Edellä määriteltiin diskreetiksi satunnaismuuttujaksi sellainen, joka voi saada vain (hyppäyksittäin) erillisiä arvoja. Jatkuva satunnaismuuttuja voi saada mitä hyvänsä arvoja yleensä

Lisätiedot

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut 2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla.

Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Näillä sivuilla Tilastomatematiikan esimerkit, joissa käsitellään tietokoneen käyttöä tilastollissa operaatioissa, on tehty Excel-2007 -versiolla. Nämä ohjeet, samoin kuin Tilastomatematiikan kirjakaan,

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1

Excel Perusteet. 2005 Päivi Vartiainen 1 Excel Perusteet 2005 Päivi Vartiainen 1 SISÄLLYS 1 Excel peruskäyttö... 3 2 Fonttikoon vaihtaminen koko taulukkoon... 3 3 Sarakkeen ja rivin lisäys... 4 4 Solun sisällön ja kaavojen kopioiminen... 5 5

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

CEM DT-3353 Pihtimittari

CEM DT-3353 Pihtimittari CEM DT-3353 Pihtimittari Sivu 1/5 CEM DT-3353 Pihtimittari Ongelma Mittarin ohjelmisto ilmoittaa NO DATA vaikka tiedonsiirtokaapeli on kytketty tietokoneen ja mittarin välille, mittarissa on virta päällä

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Monivalintamuuttujien käsittely

Monivalintamuuttujien käsittely Tarja Heikkilä Monivalintamuuttujien käsittely Datatiedosto: Yhdistä.sav Yhdistetään SPSS-ohjelmalla samaan kysymykseen kuuluvat muuttujat. Esimerkkiin liittyvä kysymys ja muita vastaavia kysymyksiä on

Lisätiedot

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS

TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat: Yleistä Tilastoapu on Excelin sisällä toimiva apuohjelma, jonka avulla voit analysoida tilastoaineistoja. Tilastoapu toimii Excelin Windows-versioissa Excel 2007, Excel 2010 ja Excel 2013. Kun avaat Tilastoavun,

Lisätiedot

Aki Taanila AIKASARJOJEN ESITTÄMINEN

Aki Taanila AIKASARJOJEN ESITTÄMINEN Aki Taanila AIKASARJOJEN ESITTÄMINEN 4.12.2012 Viivakaavio Excelissä voit toteuttaa viivakaavion kaaviolajilla Line (Viiva). Viivakaavio onnistuu varmimmin, jos taulukon ensimmäisessä sarakkeessa ovat

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Ohje tekstinkäsittelyharjoitus 10. Pöytäkirja, jossa käytetään ylätunnistetta. Tehtävän aloitus

Ohje tekstinkäsittelyharjoitus 10. Pöytäkirja, jossa käytetään ylätunnistetta. Tehtävän aloitus Ohje tekstinkäsittelyharjoitus 10 Pöytäkirja, jossa käytetään ylätunnistetta Standardiasiakirjan asettelut Microsoft Word 2007 ja 2010 versioissa Word ohjelman oletusasetukset ovat sellaiset, että suomalaisen

Lisätiedot

http://www.nelostuote.fi/suomi/rummikubsaan.html

http://www.nelostuote.fi/suomi/rummikubsaan.html Sivu 1/5 Pelin sisältö 104 numeroitua laattaa (numeroitu 1-13) 2 laattaa kutakin neljää väriä (musta, oranssi, sininen ja punainen) 2 jokerilaattaa, 4 laattatelinettä, pelisäännöt Pelin tavoite Tavoitteena

Lisätiedot

Aktivoi dokumentin rakenteen tarkistamiseksi piilomerkkien näyttäminen valitsemalla valintanauhasta Kappale-kohdasta painike Näytä kaikki.

Aktivoi dokumentin rakenteen tarkistamiseksi piilomerkkien näyttäminen valitsemalla valintanauhasta Kappale-kohdasta painike Näytä kaikki. Asiakirjan valmistelu Aktivoi dokumentin rakenteen tarkistamiseksi piilomerkkien näyttäminen valitsemalla valintanauhasta Kappale-kohdasta painike Näytä kaikki. Tarkista, ettei dokumentissa ole peräkkäisiä

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 1 Kuva 1 Sakari Järvenpää sakari.o.a.jarvenpaa@student.jyu.fi TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 28.3.16 2 Sisällys 1 Kaaviot... 3 1.1 Kaavion osat... 3 1.2 Kaavion tekeminen... 4 1.3 Kaavion muokkaaminen...

Lisätiedot

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu

Excel-harjoitus 1. Tietojen syöttö työkirjaan. Taulukon muotoilu Excel-harjoitus 1 Tietojen syöttö työkirjaan Kuvitteellinen yritys käyttää Excel-ohjelmaa kirjanpidon laskentaan. He merkitsevät taulukkoon päivittäiset ostot, kunnostuskulut, tilapäistilojen vuokramenot,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Todennäköisyys ja tilastot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion 3 MAA Todennäköisyys ja tilastot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Todennäköisyys ja tilastot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Ohje. Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0

Ohje. Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0 Ohje Perusdiabetesseurantataulukko: OpenOffice 3.2 Ohjeen versio: 1.0 Tämän ohjeen tarkoituksen on tutustuttaa sinut Diabetesseurantataulukon käyttöön. Ohjeen lähtökohtana on, että et ennestään hallitse

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoitus sisältää laskentakaavan muodostamisen, suoran ja suhteellisen viittauksen, taulukon muotoilun

Lisätiedot

9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut

9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut 9. Kappale -ryhmä - Kappalemuotoilut Aloitus -välilehdellä Kappale -ryhmästä löytyvät kaikki kappalemuotoilut. Huomaa, että kappalemuotoilut ovat aina voimassa seuraavaan kappalemerkkiin asti. Kappalemerkki

Lisätiedot

Taulukoita ja kaavioita MS Excelillä Keijo Salakari 7. maaliskuuta 2006

Taulukoita ja kaavioita MS Excelillä Keijo Salakari 7. maaliskuuta 2006 Taulukoita ja kaavioita MS Excelillä Keijo Salakari 7. maaliskuuta 2006 Plasmatelevision hintoja 3 000,00 2 900,00 2 800,00 2 700,00 2 600,00 2 500,00 2 400,00 2 300,00 32" 37" 42" 2 (33) Microsoft Excel

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot H1 Tilastollisen aineiston kuvaaminen 1.1 Vastaa kuvaajan perusteella kysymyksiin. a) Kuinka paljon tarvitset kuvaajan mukaan unta? b) Paljonko 20-vuotias tarvitsee unta?

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015

Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Nuorten hyvinvointi tilastotietokannan käyttöohjeet Tieke 18.5 2015 Taulukon valinta Valitse vasemmalta kansioita, kunnes saat taulukkoluettelon näkyviin. Jos etsit tietoa jostain tietystä aiheesta, voit

Lisätiedot

Vapo: Turveauman laskenta 1. Asennusohje

Vapo: Turveauman laskenta 1. Asennusohje Turveauman mittaus 3D-system Oy 3D-Win ohjelman lisätoiminto, jolla lasketaan turveaumasta tilaajan haluamat arvot ja piirretään aumasta kuva. Laskentatoiminto löytyy kohdasta Työkalut/Lisätoiminnot. Valitse

Lisätiedot

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1

TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Käsitteitä: Tilastoja voidaan havainnollistaa: o Tilastokuvioilla eli diagrammeilla Tavallisimmin käytettyjä tilastokuvioita ovat pylväsdiagrammit Muodostuu erillisistä

Lisätiedot

Ma Tänään rapistelemme ja mittailemme sanomalehteä.

Ma Tänään rapistelemme ja mittailemme sanomalehteä. Ma Tänään rapistelemme ja mittailemme sanomalehteä. 3. Kuinka monta sivua tämän päivän lehdessä on? 2. Kumpaan suuntaan sanomalehti repeää paremmin, alhaalta ylös vai sivulta sivulle? Laita rasti oikean

Lisätiedot

2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1

2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1 2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1 Esimerkki 3. Frekvenssijakaumien muokkaaminen [Hei08, s.151-152] 1. Avataan http://users.metropolia.fi/~pasitr/opas/ran15a/02/esim/pytinki2003.sav. 2. Suoritetaan

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

Tietosuoja-portaali. päivittäjän ohje

Tietosuoja-portaali. päivittäjän ohje Tietosuoja-portaali päivittäjän ohje Maisa Kinnunen 2010 1 Sisältö PÄIVITTÄJÄN OHJE Kirjautuminen...3 Sivujen tekstin muokkaus...4 Tiedostojen lisääminen palvelimelle...9 Jos sinun pitää selvittää tiedoston/kuvan

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Opinnäytetyön mallipohjan ohje

Opinnäytetyön mallipohjan ohje Opinnäytetyön mallipohjan ohje Sisällys 1 Johdanto 1 2 Mallin käyttöönotto 1 3 Otsikot 2 3.1 Luvun otsikko 3 3.2 Alalukujen otsikot 5 4 Tekstikappaleet 5 5 Kuvat ja kuviot 6 6 Taulukot 6 7 Lainaus 7 8

Lisätiedot

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043)

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) pääaine- ja sivuaineopiskelijat Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoituksissa opetellaan

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat MS Excel ja LO Calc H6: Lomakkeen solujen visuaalisten ja sisältöominaisuuksien käsittely ja soluviittausten perusteet Taulukkolaskennan perusteita

Lisätiedot

3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut

3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut 3 Mittaamisen taso ja tilaston keskiluvut Tämä tutkimus on sellainen, että (jos nyt jänisten laskua voidaan mittaamiseksi kutsua) mittaamisessa on eroteltavissa neljä erilaista mittaamisen tasoa, mittausasteikkoa.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

MICROSOFT EXCEL 2010

MICROSOFT EXCEL 2010 1 MICROSOFT EXCEL 2010 Taulukkolaskentaohjelman jatkokurssin tärkeitä asioita 2 Taulukkolaskentaohjelmalla voit Käyttää tietokonetta ruutupaperin ja taskulaskimen korvaajana Laatia helposti ylläpidettäviä

Lisätiedot

Taulukot. 2002 Päivi Vartiainen 1

Taulukot. 2002 Päivi Vartiainen 1 Taulukot Taulukon lisääminen FrontPagessa tapahtuu samalla tavoin kuin Word tekstinkäsittelyohjelmassakin. Valitse vakiotyökaluriviltä Lisää taulukko painike. Kun olet napsauttanut painikkeen alas voit

Lisätiedot

Aloitusohje versiolle 4.0

Aloitusohje versiolle 4.0 Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,

Lisätiedot

Webforum. Version 15.1 uudet ominaisuudet. Päivitetty: 2015-03-28

Webforum. Version 15.1 uudet ominaisuudet. Päivitetty: 2015-03-28 Webforum Version 15.1 uudet ominaisuudet Päivitetty: 2015-03-28 Sisältö Tietoja tästä dokumentista... 3 Yleistä... 4 Dokumentit... 5 Uudet versiot dokumenttien katseluohjelmista ipadille... 5 Dokumenttien

Lisätiedot

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4

v 8 v 9 v 5 C v 3 v 4 Verkot Verkko on (äärellinen) matemaattinen malli, joka koostuu pisteistä ja pisteitä toisiinsa yhdistävistä viivoista. Jokainen viiva yhdistää kaksi pistettä, jotka ovat viivan päätepisteitä. Esimerkiksi

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Arvioitavat tehtävät 1. Kuvaajassa on esitetty väkivaltaisesti tai tapaturmaisesti kuolleiden miesten ja naisten lukumäärät eri ikäryhmittäin vuonna 1999. (Lähde: Tilastokeskus)

Lisätiedot

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) 6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren

Lisätiedot

FAMILYTREEPAINTER. FamilyTreePainter Käyttöohje

FAMILYTREEPAINTER. FamilyTreePainter Käyttöohje FAMILYTREEPAINTER FamilyTreePainter Käyttöohje i F A M I L Y T R E E P A I N T E R FamilyTreePainter Käyttöohje Copyright 2006-2013 Timo Vaara Email: timo@vaara.org ii Table of contents 1 YLESIATÄ... 1

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely

HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely Excel Harjoituksia 5 1 (8) HARJOITUS 1 Monen taulukkosivun käsittely 1. Aloita uusi työkirja 2. Nimeä taulukkosivut seuraavalla sivulla olevan mallin mukaan, tarvittaessa lisää taulukkosivuja valitsemalla

Lisätiedot

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto

Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Condess ratamestariohjelman käyttö Aloitus ja alkumäärittelyt Avaa ohjelma ja tarvittaessa Tiedosto -> Uusi kilpailutiedosto Kun kysytään kilpailun nimeä, syötä kuvaava nimi. Samaa nimeä käytetään oletuksena

Lisätiedot

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään

Algoritmit. Ohjelman tekemisen hahmottamisessa käytetään Ohjelmointi Ohjelmoinnissa koneelle annetaan tarkkoja käskyjä siitä, mitä koneen tulisi tehdä. Ohjelmointikieliä on olemassa useita satoja. Ohjelmoinnissa on oleellista asioiden hyvä suunnittelu etukäteen.

Lisätiedot

- 4 aloituslaattaa pelaajien väreissä molemmille puolille on kuvattu vesialtaat, joista lähtee eri määrä akvedukteja.

- 4 aloituslaattaa pelaajien väreissä molemmille puolille on kuvattu vesialtaat, joista lähtee eri määrä akvedukteja. AQUA ROMANA Vesi oli elintärkeä ja keskeinen edellytys Rooman imperiumin kehitykselle. Vedensaannin turvaamiseksi taitavimmat rakennusmestarit rakensivat valtavan pitkiä akvedukteja, joita pidetään antiikin

Lisätiedot

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa

Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 (6. ja 7. luokka) yhteistyössä Pakilan ala-asteen kanssa Kenguru 2012 Benjamin sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

ejuttu ohjeet kuinka sitä käytetään.

ejuttu ohjeet kuinka sitä käytetään. ejuttu ohjeet kuinka sitä käytetään. 1. Artikkelin lisääminen a. Kirjaudu sisään b. Lisää sisältöä c. Artikkeli i. Lisää pääkuva 1. Pääkuvalle kuvateksti ii. Anna artikkelille otsikko iii. Ingressi-kenttään

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU...

1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 3 MUUTTUJAT... 6 4 FREKVENSSIJAKAUMA... 8 5 AINEISTON LUOKITTELU... SISÄLLYSLUETTELO 1 TILASTOMATEMATIIKKA... 2 1.1 JOHDANTO... 2 1.2 LINKKEJÄ... 2 1.3 LÄHTEET... 2 2 TILASTOTIETEEN PERUSKÄSITTEITÄ... 3 2.1 HAVAINTOAINEISTO... 3 2.2 POPULAATIO... 3 2.3 OTOS... 3 2.4 HAVAINTOAINEISTON

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

4.1 Frekvenssijakauman muodostaminen tietokoneohjelmilla

4.1 Frekvenssijakauman muodostaminen tietokoneohjelmilla 4 Aineiston kuvaaminen numeerisesti 1 4.1 Frekvenssijakauman muodostaminen tietokoneohjelmilla Tarkastellaan lasten syntymäpainon frekvenssijakauman (kuva 1, oikea sarake) muodostamista Excel- ja SPSS-ohjelmalla.

Lisätiedot

YLEISKUVA - Kysymykset

YLEISKUVA - Kysymykset INSIGHT Käyttöopas YLEISKUVA - Kysymykset 1. Insight - analysointityökalun käytön mahdollistamiseksi täytyy kyselyn raportti avata Beta - raportointityökalulla 1. Klikkaa Insight välilehteä raportilla

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

H7: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan jatkoharjoitus. Harjoituksen tavoitteet. Tehtävänanto:

H7: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan jatkoharjoitus. Harjoituksen tavoitteet. Tehtävänanto: H7: Tehtävänanto Taulukkolaskennan jatkoharjoitus Muista jälleen, että riippumatta siitä, käytätkö LO Calcia vai MS Officen Exceliä (2013), työkirja tallennetaan ohjelman omassa ja toisenkin ohjelman natiiviformaateissa

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Matemaatikot ja tilastotieteilijät

Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matemaatikot ja tilastotieteilijät Matematiikka/tilastotiede ammattina Tilastotiede on matematiikan osa-alue, lähinnä todennäköisyyslaskentaa, mutta se on myös itsenäinen tieteenala. Tilastotieteen tutkijat

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRISTÖALAN MATEMATIIKAN V. 2010 VALINTAKOETEHTÄVIEN RATKAISUT TEHTÄVÄT 1.a) Oheisessa kuviossa janat ja janoihin liittyvät luvut kuvaavat pisteiden välisiä reittejä

Lisätiedot