2.6 Frekvenssien kuvaamisesta

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2.6 Frekvenssien kuvaamisesta"

Transkriptio

1 MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 2.6 Frekvenssien kuvaamisesta Pelkästä taulukosta, jollaisia näit edellä, on vaikea saada kunnolla selvää. Ainakin ison taulukon tapauksessa on laadittava kaavio, jos asiasta haluaa ymmärtää jotain. Tämä johtuu siitä, että ihminen on melkoisen visuaalinen eli kuvallinen olio. Millainen kuvatyyppi valitaan, riippuu tilanteesta. Etenen niin, että ensin esittelen lyhyesti kuvaajatyyppejä ja sitten tarkennan esimerkkien avulla sinulle näin muodostunutta mielikuvaa. Taidanpa aloittaa luettelolla en siis kuvalla. Esittelen jatkossa seuraavat kuvaajat. Sulkeissa mainitsen jonkin muuttujatyypin, jota esittämään mainittu kuvaaja sopii. Pylväsdiagrammi (diskreetti muuttuja) Palkkidiagrammi (diskreetti muuttuja) Sektoridiagrammi eli piirakkakuvio (diskreetti muuttuja, osuudet kokonaisuudesta) Histogrammi (jatkuva muuttuja) Frekvenssimonikulmio (jatkuvan muuttujan frekvenssijakauma) Porrasdiagrammi (diskreetin muuttujan summafrekvenssi) Summakäyrä eli summapolygoni (jatkuvan muuttujan summafrekvenssi) Esimerkkejä frekvenssien kuvaamisesta Pylväsdiagrammi Kuvataan Sipon tikanheittotuloksia pylväsdiagrammin avulla. Esimerkki 14 Kuvassa on siis pylväsdiagrammi, joka kuvaa Sipon kuvitteellisen tikanheittoturnauksen tulokset harjoituksesta 2. Vaaka-akselilla ovat heittokierrokset numerojärjestyksessä, pystyakselilla kunkin kierroksen viiden tikan yhteistulos.

2 45 Tikanheitto Pisteet I Kierrokset No, kehittyykö Sipon heittotarkkuus (Harjoitus 4)? Tämä kuvio vastaa kysymykseen vielä selvemmin kuin frekvenssitaulukon silmäileminen. Tein tämän kuvion maalaamalla ensin kaksi riviä: kierrosten numeroitten rivin ja pisterivin. Kuva ohessa. Alimmalla rivillä, joka tässä kuvassa näkyy mustana kuten taulukon ylinkin rivi, on kunkin kierroksen tikkojen yhteispisteet. Näitten kahden rivin taustat ovat mustat, koska ne on maalattu, kuten alan termi kuuluu. Huomaa, että tuon alimman eli summarivin tekemisestä ei ole puhuttu mitään, ei ainakaan harjoituksen määrittelyssä. Tämän jälkeen valitsin ohjelmassa Lisää Kaavio Ruksaa Ensimmäinen rivi selitteenä, paina Seuraava ja ruksaa Tietojoukot: Rivit. Kokeile eri vaihtoehtoja: esimerkiksi, maalaa myös noitten kahden väliin jäävät rivit! Kokeile vielä muita juttuja! Huomaa saadun kaavion eräs pylväsdiagrammi seuraavat piirteet: Pylväät eivät ole kylki kyljessä, vaan niitten välissä on selvä tyhjä tila Pylvään korkeus kuvaa suoraan pisteitten määrää.

3 Kuvioni kaikki pylväät ovat saman levyiset. Jos piirrät eri levyiset pylväät, valitse pylvään pinta-ala suoraan verrannollisesti pistemäärään. Tällöin pylvään ala siis kuvaa pistemäärää. Jatketaan tästä palkkidiagrammin parissa. Palkkidiagrammi Käytetään Sipon tikanheittotuloksia jälleen. Esimerkki 15 Tikkaturnaus Kierrokset I Kierroksen pisteet Käytännössä tämä on vain eräs pylväsdiagrammin versio. Taulukkolaskentaohjelmassa valinnat ovat eräässä vaiheessa kuvan mukaiset.

4 Kerrataan tässä se, mitä äsken sanottiin pylväsdiagrammista. Huomaa saadun kaavion eräs palkkidiagrammi seuraavat piirteet: Palkit eivät ole kylki kyljessä, vaan niitten välissä on selvä tyhjä tila Palkin korkeus kuvaa suoraan pisteitten määrää. Kuvioni kaikki palkit ovat saman levyiset. Jos piirrät eri levyiset palkit, valitse palkin pinta-ala suoraan verrannollisesti pistemäärään. Tällöin palkin ala siis kuvaa pistemäärää. Sektoridiagrammi Sektoridiagrammin eli tuttavallisemmin piirakkakuvion ajatus on esittää kokonaisuuden osien suhteelliset osuudet sektoreihin jaetun ympyrän avulla. Mitä isompi osa ympyrää sitä isompi osa kokonaisuutta! Esimerkki 16 Sipon tikanheittoturnaus tarjoaa mahdollisuuden arvioida sektoridiagrammin avulla vaikkapa kunkin kierroksen pisteiden jakautumista tikkojen kesken. Koska Sippo arvelee, että hänen heittotaitonsa kehittyvät koko ajan, niin hän katsoo kuinka mones tikka antaa parhaan tuloksen. Se on tieto, jonka hän saa edellä olevasta taulukosta. Vai mitä arvelet, kun katsot seuraavaa sektoridiagrammia? Hän tahtoo kuitenkin nähdä myös, kuinka suuri subjektiivinen suhteellinen ero heittojen välillä on. Sippo piirtää kaksi sektoria, yhden ensimmäisestä ja yhden viimeisestä kierroksesta. Kopioidaan molemmat heittotulokset tähänkin. Seuraavat kaksi sektoridiagrammia esittävät Sipon 1. ja 10. heittokierrosta. Koko sektori esittää siis 1. kierroksen tapauksessa yhteensä 8 pistettä ja 10. kierroksen tapauksessa 43 pistettä. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka

5 1. heittokierros 10. heittokierros 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka Ja vielä kerran ruksi eri paikkaan. Lisäksi maalasin tietenkin kierrosnumeron lisäksi molemmille asianmukaisen pistesarakkeen. Kuten huomaat, olen valinnut 1. kierroksen tuloksia kuvaamaan erilaisen sektorin kuin 10. kierrosta varten. Missähän 1. kierroksen 2. tikan siivu on? Ja sitten maalaan molemmat tulokset ja laitan ne samaan kuvaajaan. Mihin ruksi nyt laitetaan, kun valitaan kuvaajan tyyppi? 1. ja 2. heittokierros 1. tikka 2. tikka 3. tikka 4. tikka 5. tikka Esimerkki 17 Tehdään taulukosta piirakkakuvio. Tällä kertaa samankokoisiin luokkiin. seuraavasta aineisto ei ole luokiteltu Tieliikenneonnettomuuksissa vuonna 1994 loukkaantuneet ikäryhmittäin Lähde:

6 Ilmeisiä eroja lukuun ottamatta seuraava kuvio saadaan taulukkolaskentaohjelmalla aikaan samalla tavalla kuin edelliset kuvaajat. Loukkaantuneet ikäryhmittäin Taulukkolaskentaohjelmistot tarjoavat toinen toistaan räväkämpiä keinoja tehdä näyttäviä kuvaajia. Muista kuitenkin, että diagrammi tai sen komeus eivät ole itsetarkoitus. Diagrammin tehtävä on tarjota informaatiota mahdollisimman selvällä, helppolukuisella ja yksiselitteisellä tavalla. Tähän tuloksen on päästävä totuutta mahdollisimman tarkoin noudattaen. Kuvaaja ei saa olla komea luettavuuden kustannuksella. Mieti siis, miksi valitsen juuri tämän kuvaajatyypin ja vaihtoehdon? Antaako kolmiulotteinen ns. 3D kuvaaja sittenkään enemmän tietoa kuin kaksiulotteinen (2D)? Kenen show: asiallisen tiedon vai näyttävyyden? Tämän muistutuksen jälkeen haluan toisaalta rohkaista sinua käyttämään mielikuvitusta. Kyllä kuvaaja saa mielellään olla niin kaunis, että siinä silmä lepää. Täytyy vain muistaa tilastojen ja niitten antamien tulosten perimmäinen tarkoitus ja tavoite. Filosofi peräänkuuluttaisi ehkä diagrammin hyvettä. Histogrammi Histogrammi näyttää pylväsdiagrammilta, jonka pylväät on laitettu kylki kylkeen kiinni. Kuitenkin histogrammilla ja pylväsdiagrammilla on selvä, periaatteellinen ero. Histogrammilla kuvataan

7 jatkuvan muuttujan frekvenssijakaumaa kun taas pylväsdiagrammilla kuvataan epäjatkuvan muuttujan jakaumaa. Tämä kelpaa muistisäännöksi, jonka avulla on helppo muistaa kumpi on kumpi: jatkuvan muuttujan kuvaajassa ei ole aukkoja. Histogrammin pylväitten korkeus valitaan niin, että se vastaa frekvenssiä tai suhteellista frekvenssiä. Toinen mahdollisuus on kuvata frekvenssiä tai suhteellista frekvenssiä pylvään pintaalan avulla. Luokkakeskus kirjoitetaan vaaka-akselille, luokan keskelle. Jos käytät luokkarajoja, kirjoita ne vaaka-akselille, luokan reunoille. Esimerkki 18 Koska en onnistunut laatimaan histogrammia OpenOffice 2.1:llä, käytän MS - Excel 2000:a. Sinä saatat olla taitavampi. Nämä kaksi ohjelmaa muistuttavat toisiaan paljon. Usein ohje, joka pätee OpenOffice:lle, pätee myös Excelille. Seuraavat ohjeet laadin MS - Excel 2000:n mukaan. Myös kuvion tuotin tällä ohjelmalla. Kuvio perustuu oheiseen, joka on ollut esillä aiemmin taulukkoon. Laadi ensin pylväsdiagrammi: Maalaa molemmat sarakkeet ilman otsikoita. Valitse sitten Lisää Kaavio... Paina Seuraava >. Valitse Sarja. Kirjoita Nimi kenttään vaikkapa Luokkakeskukset ja Luokka-akselin (X) otsikot: - kenttään =Taul2!$A$2:$A$11 sekä Arvot kenttään =Taul2!$B$2:$B$11 sekä kenttään, mikäli arvot ja otsikot ovat noissa soluissa. Nyt dialogi-ikkunasi pitäisi olla seuraavan näköinen. Luokkakeskus Frekvenssi 193, , , , , , , , , ,75 57 Paina Seuraava >. Käytä seuraavia kuvia lisäohjeina. Ensimmäisenä dialogin Otsikot sivu.

8 Valitse Selite ja poista ruksi kohdasta Näytä selite. Paina Seuraava > ja sitten Valmis. Klikkaa hiiren vasemmalla eli ykköspainikkeella kaaviota varmuuden vuoksi jonkin pylvään kohdalta. Klikkaa sitten hiiren oikealla eli kakkospainiketta. Valitse Muotoile arvosarjat ja sitten Asetukset. Aseta Välin leveys kentän arvoksi 0. Tätä vastaavaa ominaisuutta en löytänyt OpenOffice 2.1:stä. Katso kuvaa.

9 Paina OK. Nyt sinulla on seuraava kaavio. Kokeile taas erilaisia ohjelmistosi tarjoamia vaihtoehtoja. Huomaa, että voit muun muassa muuttaa kaaviosi kokoa joustavasti. Männyn pituusjakauma Frekvenssit ,25 488,75 784, , , , , , , ,75 Luokkakeskukset Frekvenssimonikulmio Frekvenssimonikulmion kaavioon kirjoitetaan Vaaka-akselille (x - akselille) kirjoitetaan luokat Luokan kohdalle merkitään pisteellä luokan frekvenssi tai sen suhteellinen frekvenssi niitä vastaavalle etäisyydelle vaaka-akselista Kuvaajana on monikulmio, joka kulkee jokaisen frekvenssiä vastaavan pisteen kautta ja joka alkaa ja päättyy vaaka-akselille Esimerkki 19 Käytetään Esimerkistä 18 tuttua taulukkoa, kun piirretään frekvenssimonikulmio. Koska frekvenssimonikulmio alkaa määritelmän mukaan vaaka-akselilta ja myös päättyy sille ja koska tällainenkaan kuvaaja ei kirjaimellisesti kuulu OpenOffice.org:n valikoimiin, joudumme lisäämään tyhjän luokan taulukon alkuun ja loppuun. Sitä varten kopioin mainitun taulukon tähän ja teen tarvittavat muutokset. Maalaa taas muuten koko taulukko, mutta jätä otsikot ulkopuolelle. Tee sitten seuraavat tai vastaavat valinnat ohjelmassasi. Minulla on taas OpenOffice.org 2.1 käytössä. Valitse siis ensin Lisää Kaavio Sitten: Luokkakeskus Frekvenssi , , , , , , , , , , ,25 0

10 Ensimmäinen sarake selitteenä ja Seuraava >> Viivat: listan 1. vaihtoehto ja Seuraava >> Järjestyksessä valikon neljäs eli rivin viimeinen eli Symbolit ja Seuraava >> Ota ruksi pois kohdasta Selite ja laita ruksi kohtaan Näytä esikatselussa tekstielementit. Kirjoita kaavion ja akselien otsikot Vaihdettuani ensin viivan värin ja paksuuden sain seuraavan kaavion. Frekvenssi Mäntytutkimus 0 193,25 488,75 784, , , , , , , , ,25 Luokka Porrasdiagrammi Porrasdiagrammi muodostuu vaakasuorista janoista. Se kuvaa diskreetin muuttujan summafrekvenssejä tai suhteellisia summafrekvenssejä. Joissain tilanteissa tämä kaaviotyyppi sopii sektoridiagrammin rinnalla täydentämään sitä. Koska luokkarajat määritellään niin, että luokkavälin alaraja on mukana luokkavälissä, mutta yläraja ei, niin porrasdiagrammikin piirretään siten, että kukin luokka katetaan sellaisella vaakasuoralla janalla, joka alkaa luokan alarajasta ja päättyy ylärajaan. Janan alkupiste on suljettu ja loppupiste avoin. Näin porrasdiagrammin janoista muodostuu ikään kuin nousevat portaat. Esimerkki 20 Piirretään Sipon tikanheiton kehittymistä 10 kierroksen aikana kuvaava diagrammi. Tehdään se esimerkin vuoksi käyttämällä suhteellista summafrekvenssiä kuvaavaa porrasdiagrammia. Lähtömateriaalina käytämme oheista taulukkoa. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka sf: sf%: 3,13 8,59 14,06 20,70 28,52 40,23 56,25 71,48 83,20 100,00

11 Alarajan 8 arvo 3,13 [%] saadaan laskenta-arkin (Excel 2000) kaavalla =100*SUMMA($C$9:C9)/SUMMA($C$9:$L$9), missä oletetaan, että ensimmäinen frekvenssi (arvo 8) on solussa C9. Muut otsikon Suhteellinen summafrekvenssi, % alla olevat prosenttiluvut saadaan kopioimalla tämä kaava muihin soluihin. Huomaa, että yllä olevassa, ensimmäisen luvun laskevassa kaavassa soluosoite C9 on kolmeen kertaan: kaksi kertaa dollarimerkeillä ympäröitynä, yhden kerran ilman. Kehitys 110,00 100,00 90,00 80,00 Kasautuneet, % 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Kierros Summakäyrä eli summapolygoni Summakäyrää eli summapolygonia käytetään havainnollistamaan jatkuvan muuttujan summafrekvenssiä tai suhteellista summafrekvenssiä. Se piirretään siten, että luokan frekvenssin kertymän arvo merkitään kaavioon seuraavan luokan alarajan kohdalle. Nämä pisteet yhdistetään murtoviivalla, joka alkaa nollasta. Esimerkki 21 Luokkakeskus Frekvenssi , , , , , , , , , , ,25 0

12 Käytetään Esimerkin 19 tilastoa. Kopioidaan se tähän. Summakäyrää käytetään nimensä mukaisesti summafrekvenssien kuvaamiseen toisin kuin Esimerkin 19 porrasdiagrammissa. Siksi tehdään tarvittavat laskut uuteen taulukkoon. Liitän sen taas tähän mukaan. Luokan alaraja Frekvenssi Summafrekvenssi 0, , , , , , , , , , , ,5 601 Summapolygoni 700 Frekvenssien kumul. summat ,0 45,5 341,0 636,5 932,0 1227,5 1523,0 1818,5 2114,0 2409,5 2705,0 3000,5 Luokkien alarajat Huomaa taulukon sinisellä merkityt arvot. Tarvitsin ne jotta sain taulukkolaskentaohjelmani ymmärtämään, mitä haluan. Tässä esimerkissä Excel 2000 ja OpenOffice.org näyttivät olevan tasavertaiset kumppanit. Huomaa myös seuraavat yleiset huomiot, jotka koskevat summapolygonia.

13 Ensimmäisen luokan frekvenssi on sama kuin siihen saakka kertynyt summafrekvenssi. Tämä arvo merkitään toisen luokan alarajan kohdalle. Kahden ensimmäisen luokan frekvenssien summa merkitään kolmannen luokan alarajan kohdalle. Näin jokainen n. summa merkitään n + 1. luokan alarajan kohdalle. Jakauman kuvaaja alkaa vaaka-akselilta, sillä pienimpään alarajaan mennessä ei ole kertynyt mitään Summakäyrän eli summapolygonin kuvaaja muodostuu edellä kuvatut pisteet päätepisteinä piirretyistä janoista. Mukaan on piirrettävä vielä viimeistä luokkaa seuraavan luokan alaraja, jotta viimeinenkin summa saadaan mukaan! Tässäkin mielessä on hyvä, että luokat ovat samanpituiset Diagrammien yhdistelemisestä Jos kasvatat luokan kokoa, saat ainakin johonkin rajaan saakka paremman yleiskuvan tilanteesta. Jos teet päinvastoin ja kavennat luokkia, saat esiin lisää yksityiskohtia, mutta metsän näkeminen puilta kärsii. Otan esiin yhden mahdollisuuden yrittää saada samaan kuvaan vähän molempia. Esimerkki 22 Tein oheisen kaavion Excel 2000:lla niin, että annoin ohjelmalle pituusluokat kerran ja lukumäärät kahteen kertaan sekä valitsin ensin kuvaajatyypiksi pylväät. Puitten lukumäärä Lukumäärät ,0 45,5 341,0 636,5 932,0 1227,5 1523,0 1818,5 2114,0 2409,5 2705,0 3000,5 Pituusluokat Sitten vaihdoin kahden seuraavan kuvan mukaisessa dialogissa toisen kuvaajan tyypiksi viivan asianmukaisin asetuksin.

14 Huomaa, että kuvaajan viiva kulkee luokkakeskusten kautta. Aikasarjoista Aikasarja on ajan funktiona yhtä pitkin aikavälein tehty ja muistiin merkitty havaintojen joukko. Asian voi ilmaista myös niin, että kun seuraat jotain ilmiötä aina yhtä pitkien aikojen kuluttua ja kirjaat havaintosi muistiin aikamerkintöjen kera, teet aikasarjan. Aikasarjoja ovat muiden muassa keskipäivän lämpötila paikkakunnalla potilaan kuume mitattuna tunnin välein kaupungin kerrostaloneliön keskihinta kvartaaleittain lehden levikki vuosittain Sinä osaat jatkaa tämän luettelon tekemistä ainakin riittävän pitkäksi! Usein aikasarjaa ei tehdä pelkästään sitä varten, että saadaan jälkikäteistä tietoa jonkin asian tilasta. Usein tätä tärkeämpää on käyttää aikasarjaa tilastoidun suureen tulevan kehityksen ennustamiseen. Kun näin menetellään, joudutaan olettamaan, että aikasarjan avulla on löydetty sääntö, jota 1. tutkimuksen kohde on noudattanut tähän saakka 2. tutkimuksen kohde noudattaa jatkossakin riittävän kauan. Esimerkki 23

15 Oheisessa taulukossa on erään aikakauslehden vuositilausten määrä vuodesta 1990 alkaen. Lehden levikkipäällikkö sanokaamme Erkki haluaisi arvata lehtensä vuoden 2008 tilausmäärän. Koska luvun alun lamaa lukuun ottamatta tilausten määrä näyttää kasvavan huomattavan tasaisesti. Mielessä on kuitenkin, että vuoden 2007 tilauskanta on peräti 3 % suurempi kuin vuoden 2006 tilauskanta. Pitäisikö tämä tulkita satunnaisena hyppäyksenä vai onko tilauskannan kasvu todella nousussa? Vuonna 1999 tapahtuu samanlainen hyppäys. Erkki päättää tehdä taulukon, johon hän kirjaa jokaisen vuoden tilausten määrän kasvun prosentteina edelliseen vuoteen verrattuna ja siitä edelleen trendikäyrän eli trendiviivan. Diskreetin muuttujan trendikäyrä on frekvenssimonikulmio, jonka vaaka-akselilla on aika. Esimerkiksi vuoden 1992 luvun 3 % hän saa jakamalla vuoden 1992 tilaukset vuoden 1991 levikillä. Tästä hän vähentää ykkösen ja ilmaisee saamansa desimaaliluvun prosentteina. Piirtämänsä trendikäyrää katsottuaan hän päättää, että kahden prosentin kasvu on turvallisin valinta. Täten hän arvaa vuoden 2008 tilausten määräksi kappaletta. Vuosi Tilaukset, kpl Tilausten määrän muuttuminen 4,00 % 3,00 % 2,00 % Muutos, % 1,00 % 0,00 % -1,00 % ,00 % -3,00 % Vuosi

16 Huomaa, että mikään ei estä puhumasta frekvenssimonikulmiosta tai summakäyrästä viivadiagrammina. Erilaisia jakaumia Frekvenssijakaumat, jotka olen tähän mennessä esitellyt, ovat olleet ulkonäöltään lähinnä satunnaisesti polveilevia kuin metsän silhuetti. Monet käytännön tilanteissa tärkeät jakaumat ovat kuitenkin säännöllisemmän näköisiä. Ne ovat usein jatkuvan muuttujan jakaumia. Säännöllisellä jakaumalla tarkoitan tässä yhteydessä jakaumaa, jolle voidaan kuvitella pystysuora, jonka paikalla olevan peilin kautta katsottuna kuvio ei näyttäisi muuttuvan. Näistä tärkein on normaalijakauma eli Gaussin kellokäyrä tai vain Gaussin käyrä. Seuraava kuva esittää juuri sitä. Sen symmetria-akseli on y akseli. Kuvaajan sininen viiva jatkuu loputtomiin molempiin suuntiin lähestyen koko ajan nollaa sitä koskaan saavuttamatta.

17 Tutkimme tätä myöhemmin lisää. Todetaan tässä kuitenkin, että esimerkiksi miesten tai naisten pituudet keskittyvät tällä tavalla jonkin tavallisimman arvon keskimitan ympärille. Yksinkertaisin jakauma on tasainen jakauma. Sitä esittää pelkkä vaakasuora. Jos jokin muuttuja on tasaisesti jakautunut, sen kaikki arvot ovat yhtä suuret. Tästä kelpaa esimerkiksi vaikkapa noppa, jonka kaikki kuusi silmälukua ovat yhtä todennäköiset. Yhtä todennäköiset tarkoittaa sitä, että kun 1 heität noppaa todella monta kertaa, saat jokaista silmälukua suunnilleen yhtä paljon eli 16,7% 6 kaikista heitoista. Asian voi ilmaista myös niin, että jokaisen heiton frekvenssi on sama, kun heittoja on paljon. Toinen esimerkki on lotto. Pitkällä aikavälillä jokainen lottopallo esiintyy yhtä monta kertaa. Nopan jakauma TN 1,000 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0, Silmäluku Nopan silmäluku on diskreetti muuttuja. Jatkuva tasainen jakauma olisi vain vaakasuora viiva: Tasainen 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00-5,00 5,00

18 Esimerkiksi tasaisella järven jäällä olevasta kepistä kahteen suuntaan [-5m ; +5 m] mitattu lumensyvyys saattaa jokaisessa mittauspisteessä olla 2,5 senttiä. Esimerkkinä vinosta jakaumasta mainittakoon työpaikan palkkojen jakauma. Tunnettu tosiseikka lienee, että firman toimitusjohtaja saa talon korkeinta palkkaa ja että väliaikainen juoksuhenkilön määräaikainen sijainen saa puolestaan pienintä palkkaa. Muut ovat sitten tietenkin sillä välillä. Oheinen kuva esittää tätä mukailevaa, täysin fiktiivistä tilannetta. Sen vaaka-akselilla on palkan suuruus ja pystyakselilla kyseistä palkkaa nauttivien henkilöiden lukumäärä eli frekvenssi. Vinolle jakaumalle on ominaista se, että frekvenssit painottuvat asteikon jompaankumpaan päähän. Kuvassa kuvaajan korkein kohta on pienempien palkkojen päässä. Frekvenssi Palkat Euroa / kk Kuinka valehtelen tilastoilla: varo näitä Vanhan sanonnan mukaan asioitten järjestys on seuraava: valhe, emävalhe, tilasto. Tämä juontanee juurensa siitä, että sinänsä oikea tilastokaavio voidaan saada näyttämään melkein miltä tahansa. Keinoja on monia. Kaikki nämä ovat kuitenkin sellaisia, että tarkkaavainen kaavion lukija saa kyllä asiasta selon. Kokonaan erikseen ovat sitten virheellisin menetelmin saadut tulokset. Kaavioissa käytetyt koristeetkin saattavat johtaa katsojaa harhaan viemällä huomion itse asiasta. Siksi niittenkin käyttämisessä kannattaa olla säästäväinen. Seuraavan esityksen lähtökohtana on oikea data, jota esittävää kaaviota rukataan tarkoitushakuisesti.

19 Esimerkki 24 Olkoon meillä seuraava jonkin työpaikan palkkojen jakautumista kuvaava taulukko. Kumpi Palkkojen jakautuminen Lukumäärä Palkkaluokka osapuoli käyttää palkkaneuvotteluissa kumpaa kaaviota? Palkkojen jakautuminen Lukumäärä Palkkaluokka Esimerkki 25 Kaksi kilpailevaa automerkkiä, X ja Y, mainostavat myyntinsä kehittymistä. Molempien kaavio perustuu oheiseen yhteiseen taulukkoon. Vanha, vakaa merkki X mainostaa ehkä seuraavalla kaaviolla, mikäli se ylipäätän on kilpailusta kiinnostunut: Myynti, kpl X Y

20 Uudempi tulokas taas ehkä laatisi samasta taulukosta seuraavan kaavion: 4500 Me ja kilpailija Ostettu, kpl Myyntikausi Me ja kilpailija Myyntikausi Ostettu. kpl Y X X Y

21 Nämä ovat sangen kärjistettyjä esimerkkejä. En missään tapauksessa väitä, että palkkaneuvottelijat tai autojen maahantuojat tai kauppiaat todella käyttävät tällaisia keinoja. Näitten esimerkkien ainoa tarkoitus on näyttää, miten muun muassa on mahdollista, että tosiin faktoihin perustuva tilastokaavio voi todellakin johtaa harhaan. Esimerkki 26 Sirpalepuolue pyrkii esiin ja mainostaa sen mukaisesti. Kannatus XXX YYY ZZZ TTT UUU MEIDÄN kannatus on keltaisella. XXX 24 YYY 24 ZZZ 25 TTT 25 UUU 2

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat

Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat Harjoituksia Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? : Celsius asteikon nollapiste on mielivaltaisesti

Lisätiedot

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta

4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta 4. Funktion arvioimisesta eli approksimoimisesta Vaikka nykyaikaiset laskimet osaavatkin melkein kaiken muun välttämättömän paitsi kahvinkeiton, niin joskus, milloin mistäkin syystä, löytää itsensä tilanteessa,

Lisätiedot

GEOS 1. Ilmastodiagrammi Libre Office Calc ohjelmalla

GEOS 1. Ilmastodiagrammi Libre Office Calc ohjelmalla GEOS 1 Ilmastodiagrammi Libre Office Calc ohjelmalla Libre Office Calc ohjelman saat ladattua ilmaiseksi osoitteesta: https://fi.libreoffice.org/ Tässä ohjeessa on käytetty Libre Office Calc 5.0 versiota

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut

2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut 2016/07/05 08:58 1/12 Shortcut Menut Shortcut Menut Shortcut menut voidaan aktivoida seuraavista paikoista. Shortcut menun sisältö riippuu siitä, mistä se aktivoidaan. 1. Shortcut menu suunnitellusta linjasta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä! VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2012 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU

ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU ARVOSANA-HARJOITUKSEN RATKAISU Tee allaoleva taulukko. Arvosana-sarakkeeseen pitää tehdä sellainen jos-funktio. joka määrittää arvosanaksi Hylätty tai Hyväksyttty. Jos pisteet ovat vähintään 10, arvosanaksi

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

LibreOfficen kaavaeditori

LibreOfficen kaavaeditori LibreOfficen kaavaeditori Esim. Koruketjun tiheyden määrittämiseksi ketjun massaksi mitattiin vaa'alla 74 g. Ketjun tilavuudeksi saatiin 24 ml upottamalla ketju mittalasissa olevaan veteen. Laske ketjun

Lisätiedot

Luento 7 Taulukkolaskennan edistyneempiä piirteitä Aulikki Hyrskykari

Luento 7 Taulukkolaskennan edistyneempiä piirteitä Aulikki Hyrskykari Luento 7 Taulukkolaskennan edistyneempiä piirteitä 25.10.2016 Aulikki Hyrskykari Luento 7 o Kertausta: suhteellinen ja absoluuttinen viittaus o Tekstitiedoston tuonti Exceliin o Tietojen lajittelu, suodatus

Lisätiedot

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa

Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teema 7: Todennäköisyyksien laskentaa Teemassa 6 tutustuttiin todennäköisyyden ja satunnaisuuden käsitteisiin sekä todennäköisyyslaskennan perusteisiin. Seuraavaksi tätä aihepiiriä syvennetään perehtymällä

Lisätiedot

Avaa sovellus (PERUSAURORA)

Avaa sovellus (PERUSAURORA) 23.12.2010. Päivitetty 12.01.2011. Täydennetty 01.02.2011 Kaarina Karjalainen 1 Tehdyn numeron kopioiminen omalle osastolle Tämä on ohje numeroiden kopioimista varattaville/lainattaville lehdille. Pääsääntönä

Lisätiedot

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä

1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä Tilastotieteen peruskäsitteitä 1.1 Tilastotieteen peruskäsitteitä 1. Muodostetaan taulukon perusteella suhteellinen frekvenssijakauma. Lehti Levikki f % Helsingin 365994 365 994 0,13579... 13,6% Sanomat

Lisätiedot

I. Ristiintaulukointi Excelillä / Microsoft Office 2010

I. Ristiintaulukointi Excelillä / Microsoft Office 2010 Savonia-ammattikorkeakoulu Liiketalous Kuopio Tutkimusmenetelmät Likitalo & Mäkelä I. Ristiintaulukointi Excelillä / Microsoft Office 2010 Tässä ohjeessa on mainittu ensi Excelin valinnan/komennon englanninkielinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45.

Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 2003 LKM 14.8% 11.2% 19.7% 4.9% 3.6% 45. Pylväsdiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna Piirakkadiagrammi Suomen kunnat lääneittäin vuonna 8.8% 8.9%.%.% 9.7%.7% Etelä Länsi Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Länsi Etelä Itä Oulu Lappi Ahvenanmaa Läänien

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 1 Kuva 1 Sakari Järvenpää sakari.o.a.jarvenpaa@student.jyu.fi TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 28.3.16 2 Sisällys 1 Kaaviot... 3 1.1 Kaavion osat... 3 1.2 Kaavion tekeminen... 4 1.3 Kaavion muokkaaminen...

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1

2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1 2. Aineiston kuvaaminen graafisesti 1 Esimerkki 3. Frekvenssijakaumien muokkaaminen [Hei08, s.151-152] 1. Avataan http://users.metropolia.fi/~pasitr/opas/ran15a/02/esim/pytinki2003.sav. 2. Suoritetaan

Lisätiedot

Kuva 1. GIMP:in uuden kuvan luominen. Voit säätää leveyttä ja korkeutta ja kokeilla muitakin vaihtoehtoja. Napsauta sitten "OK".

Kuva 1. GIMP:in uuden kuvan luominen. Voit säätää leveyttä ja korkeutta ja kokeilla muitakin vaihtoehtoja. Napsauta sitten OK. Gimp alkeet III 8 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 6 Uuden kuvan luominen GIMP:illä yleisinfoa ----> LUE! Sen lisäksi, että GIMP on loistava valokuvankäsittelyohjelma, sillä saa piirrettyä myös omia kuvia

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

7. Normaalijakauma ja standardipisteet

7. Normaalijakauma ja standardipisteet 33 7. Normaalijakauma ja standardipisteet Aiemmin olemme esittäneet joitakin variaabelin jakaumia histogrammien ja frekvenssipolygonien muodossa. Jos kuvittelemme, että mittaamme varsin tarkasti ja jatkuvaksi

Lisätiedot

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5

keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 1 b 3 a 5 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 6, 21.10.2015 1. Ovatko verkot keskenään isomorfiset? (Perustele!) Ratkaisu. Ovat. Tämän näkee indeksoimalla kärjet kuvan osoittamalla tavalla: a 2 b 4 a

Lisätiedot

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset

Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin

Lisätiedot

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P

Jos Q = kysytty määrä, Q = kysytyn määrän muutos, P = hinta ja P = hinnan muutos, niin hintajousto on Q/Q P/P Osa 5. Joustoista Kysynnän hintajousto (price elasticity of demand) mittaa, miten kysynnän määrä reagoi hinnan muutokseen = kysytyn määrän suhteellinen muutos jaettuna hinnan suhteellisella muutoksella

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.)

6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) 6. Tekstin muokkaaminen 6.1 Tekstialueiden valinta eli maalaaminen (tulee tehdä ennen jokaista muokkausta ym.) Tekstin maalaaminen onnistuu vetämällä hiirellä haluamansa tekstialueen yli (eli osoita hiiren

Lisätiedot

Väitöskirja -mallipohja

Väitöskirja -mallipohja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Väitöskirja -mallipohja Word 2007/2010 IT-palvelut hannele.rajaniemi@jyu.fi https://koppa.jyu.fi/avoimet/thk/vaitoskirja sovellustuki@jyu.fi Sisältö Miten toimii väitöskirja/asiakirjamallipohja?

Lisätiedot

Muovikierteen suunnittelu

Muovikierteen suunnittelu Muovikierteen suunnittelu Tampereen teknillinen yliopisto Tuula Höök Hae aloitusmalli start_thread_2.sldprt. Mallinna kappaleeseen sisä ja ulkopuoliset metriset kierteet. Muotoile kierteiden päät pyöreiksi.

Lisätiedot

lehtipajaan! Oppilaan aineisto

lehtipajaan! Oppilaan aineisto Tervetuloa lehtipajaan! Oppilaan aineisto OSA 1: Tietoa sanomalehdestä Mikä on lehtipaja? Tässä lehtipajassa opit tekemään uutisia Luokkanne on Aamulehti junior -lehden toimitus it Saat oman ammatin ja

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2011 Junior (lukion 1. vuosi) sivu 1 / 8 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi, jos et halua

Lisätiedot

Teema 5: Ristiintaulukointi

Teema 5: Ristiintaulukointi Teema 5: Ristiintaulukointi Kahden (tai useamman) muuttujan ristiintaulukointi: aineiston analysoinnin ja tulosten esittämisen perusmenetelmä usein samat tiedot esitetään sekä taulukkona että kuvana mahdollisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33.

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33. Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3B Tilastolliset datajoukot Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc

1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc Word - harjoitus 1 1. HARJOITUS harjoitus3_korjaus.doc Kopioi itsellesi harjoitus3_korjaus.doc niminen tiedosto Avaa näyttöön kopioimasi harjoitus. Harjoitus on kirjoitettu WordPerfet 5.1 (DOS) versiolla

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Excel 2010 ja QlikView. Mihin ja milloin pivot:ia voi käyttää

Excel 2010 ja QlikView. Mihin ja milloin pivot:ia voi käyttää Excel 2010 ja QlikView 6.11.2012 Markku Könkkölä J Y / IT -palvelut Mihin ja milloin pivot:ia voi käyttää Datan pitää olla listamuotoinen ts. otsikkorivi ja sen alla tietorivit ilman tyhjiä välejä. Jokaisella

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

Z O K E R OHJEET REGLER PÅ SVENSKA XL 3 XL 3 M4 1 L4 1 XL 3 M 23 XL 1 XL 4 ML 4 M 41 L4 3 L 1 S4 1 XL 2 XL 1 2 1 M 14 M 4 XL 3 LS 4 XL 3 L 3 S L3

Z O K E R OHJEET REGLER PÅ SVENSKA XL 3 XL 3 M4 1 L4 1 XL 3 M 23 XL 1 XL 4 ML 4 M 41 L4 3 L 1 S4 1 XL 2 XL 1 2 1 M 14 M 4 XL 3 LS 4 XL 3 L 3 S L3 X3 X X X X X X X X 3 3 3 X X 3 X X 3X 3 3 3 X 3 3 X 3 X 3 X X X X X 3 3 3 3 3 3 X 3 3 X X X 3 X X X 3 3 REGER PÅ VENK 3 www.zoker.org/se/regler X X X X X X X 3 X X 3 3 X X X 3 3 3 X 3 X X 3 3 3 3 3 3 3

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2014 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista

Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista 1 / 12 Digitaalisen arkkitehtuurin yksikkö Aalto-yliopisto 24.11.2015 Pohjan ja leikkauksen tekeminen Casa Parrista Talon sijoittaminen maastoon 2 / 12 1. File --> import --> valitse maastotiedosto (tai

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

POWERPOINT. A-ajokorttivaatimukset

POWERPOINT. A-ajokorttivaatimukset POWERPOINT A-ajokorttivaatimukset Kurssin suorittaminen Tunneille osallistuminen Tehtävien teko ja palauttaminen Tämän A-ajokorttivaatimukset tehtävän täydentäminen Tuo kuvakaappauksia ja tee malleja toiminnoista

Lisätiedot

Väitöskirja -mallipohja

Väitöskirja -mallipohja Väitöskirja -mallipohja Ohje: Word 2003 -versiolle Tietohallintokeskus hannele.rajaniemi@jyu.fi Sisältö Miksi tyylit ovat käteviä? Miten toimii asiakirjamallipohja? Miten lisään tekstiä: a) kirjoitan itse

Lisätiedot

INDUKTIIVISEN PÄÄTTELYN HARJOITUSPAKETTI ENSIMMÄISELLE LUOKALLE

INDUKTIIVISEN PÄÄTTELYN HARJOITUSPAKETTI ENSIMMÄISELLE LUOKALLE INDUKTIIVISEN PÄÄTTELYN HARJOITUSPAKETTI ENSIMMÄISELLE LUOKALLE Induktiivisen päättelyn opetuskuvakortit Tehtävät 1 ja 2 Ryhmän muodostaminen ja ryhmän laajentaminen 1. Jaa palikat kahteen ryhmään. Ryhmän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa Aloitustapaaminen 11.4.2016 Osa III: Tekninen raportointi Sisältö Raportoinnin ABC: Miksi kirjoitan? Mitä kirjoitan? Miten kirjoitan? Muutamia erityisasioita 1 Miksi

Lisätiedot

Kuukauden kuvat kerhon galleriaan 1.4.2016 lähtien kuukaudenkuvaajan kuvagalleria on siirretty uudelle palvelimelle osoitteeseen:

Kuukauden kuvat kerhon galleriaan 1.4.2016 lähtien kuukaudenkuvaajan kuvagalleria on siirretty uudelle palvelimelle osoitteeseen: Kuukauden kuvat kerhon galleriaan 1.4.2016 lähtien kuukaudenkuvaajan kuvagalleria on siirretty uudelle palvelimelle osoitteeseen: http://www.kamera73.fi/kuukaudenkuvaaja Kukin seuran jäsen voi laittaa

Lisätiedot

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista

67-x x 42-x. Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 3, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 0 Harjoitus, ratkaisuista. Esitä seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot: a) := { y y = ( ) n n+ n+, n N } b) := { n Z n = k, k Z } c) := { sin( nπ ) n N } Ratkaisut.

Lisätiedot

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö

S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 Laboratoriotyö: Polarisaatio POLARISAATIO. Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 1/10 POLARISAATIO Laboratoriotyö S-108-2110 OPTIIKKA 2/10 SISÄLLYSLUETTELO 1 Polarisaatio...3 2 Työn suoritus...6 2.1 Työvälineet...6 2.2 Mittaukset...6 2.2.1 Malus:in laki...6 2.2.2

Lisätiedot

A* Reitinhaku Aloittelijoille

A* Reitinhaku Aloittelijoille A* Reitinhaku Aloittelijoille Alkuperäisen artikkelin kirjoittanut Patrick Lester, suomentanut Antti Veräjänkorva. Suom. huom. Tätä kääntäessäni olen pyrkinyt pitämään saman alkuperäisen tyylin ja kerronnan.

Lisätiedot