Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat"

Transkriptio

1 MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat Harjoituksia Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? : Celsius asteikon nollapiste on mielivaltaisesti valittu eikä edes mittaa kylmyyttä vaan lämpötilaa. Veden jäätymispisteellä on merkitystä lähinnä vain ihmisten kannalta. Se ei ole luonnollinen nollapiste. Ei siis ole kaksi kertaa niin kylmä. Voithan toki sanoa, että tämän päivän astemäärä on kaksi kertaa eilinen astemäärä. Minkä luokkien muuttujia ovat paino, kengännumero, kuukausipalkka, polkupyörän väri ja kaupan myyjän ammattitaito? : suhdelukuasteikko, järjestysasteikko, suhdelukuasteikko, laatueroasteikko ja järjestysasteikko. Määrittele seuraaville arvosanoille järjestys eli tee niistä järjestysasteikon muuttujia. Kaikki aakkoset Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. : Aakkosjärjestys tai käänteinen. Katso myös b kohdan vastauksen kommenttia. A, B, C, E, i, L, M eli aakkosjärjestykseen tai käänteiseen aakkosjärjestykseen. Oikeastaan voit määritellä järjestyksen ihan mielivaltaisesti ja pitäytyä siinä, mutta saatat kohdata vaikeuksia yrittäessäsi saada muut ymmärtämään! Millaisia asioita kysyisit asiakastyytyväisyyskyselyssä? Esitä kolme tai neljä mahdollisuutta. Mieti, miten muotoilet kysymyksesi. Minkä luokkien muuttujia ne ovat? : Kuinka usein asioit liikkeessämme? Tee luettelo vaihtoehdoista ajattelemasi liikkeen toimialan mukaan: käyntien satunnaisuus contra säännöllisyys. Palvellaanko sinua riittävän nopeasti contra liian innokkaasti? Laati luettelo vastausvaihtoehdoista. Ottavatko myyjät vaarin sinun mielipiteestäsi? Tähän taas vaihtoehdot, jotka kattavat asteikon täysi välinpitämättömyys ripeä vastine. Kaikki muuttujat ovat järjestys- eli ordinaaliasteikon muuttujia. Juniorikerho kokoontuu. Tarkoituksesi on selvittää kerhosta seuraavat seikat: jäsenen ikä, sukupuoli, suosikkibändi, lempiväri, kuukausirahan suuruus, jäsenen kerhossa käymisen aktiivisuus, mielipide jäsenmaksun suuruudesta, kunkin jäsenen sitoutuminen kerhon arvoihin, jäsenen käytännön henkilökohtainen asenne ilmastonlämpenemiseen eli mitä itse teet sekä vielä kerhon jäsenmäärä. Kuinka kattavaan tietoon voit korkeintaan pyrkiä? Minkä otantamenetelmän valitset? Miten keräät tiedot? Mitkä kysymykset ainakin esität? : Juniorikerho voi hyvinkin olla niin pieni, että kaikkien tiedot on mahdollista saada, jolloin sinulla on kokonaisaineisto. Jos kyseessä olisi rekisteröity yhdistys, laki suorastaan vaateisi täydellisen jäsenluettelon olemassaoloa. Ikä:

2 Voi olla, että kirjaimellisen iän sijasta on järkevämpää tallentaa syntymäaika. Tämä saattaa olla tarkka syntymäaika. Usein syntymäaika kirjataan vaan merkkijonona eikä muuna tulkita. Tällöin se jää meidän asteikkomme ulkopuolelle. Jos käytät taulukkolaskentaohjelmaa kerhon jäsenrekisterin ylläpitoon, voit tehdä syntymäajasta päivämääräkentän. Taulukkolaskentaohjelman päivämääräkenttiä voi vähentää toisistaan, mutta ei laskea yhteen. Ne voidaan myös laittaa aikajärjestykseen. Tällöin kyseessä on välimatka-asteikon muuttuja. Kerhossa käymisen aktiivisuus: Oletetaan, että kerho kokoontuu normaalisti kerran viikossa. Silloin voit kysyä jäsenen mukanaolon aktiivisuutta luettelemalla vaihtoehtoja, joista vastaa valitsee yhden: joka viikko, joka toinen viikko, korkeintaan kerran kuussa, ole eka kertaa. Tämä on ordinaaliasteikon muuttuja. Mielipide jäsenmaksun suuruudesta: Myös tämä on luontevasti ordinaaliasteikon muuttuja. Jäsenen sitoutuminen kerhon arvoihin: Tämäkin on ordinaaliasteikon muuttuja. Jos juniorit ovat kovin nuoria, heillä ei ehkä ole omaa, perusteltua mielipidettä. Vastaajan ikä täytyy ottaa huomioon kyselyä laadittaessa. Käytännön henkilökohtainen asenne ilmastonlämpenemiseen eli mitä itse teet: Nuorille aikuisille sopiva kysymys. Nominaaliasteikon muuttuja. Kerhon jäsenmäärä tulee automaattisesti tietoon, jos kysely on kattava, kuten sopii olettaa. Tiedot hankitaan kyselemällä joko niin, että jäsen itse täyttää tai kyselijä auttaa. Tiedonhankintatapa valitaan vastaajien iän mukaan. Miten keräisit tiedot seuraavia tutkimuksia varten? Oman työpaikkasi henkilökunnan palkat. Jos et ole palkkatyössä, kuvittele jokin työpaikka. : Arkaluontoinen aihe monen mielestä! Kuitenkin ammattiliittoa varten tämä tieto saatetaan kerätä ja silloin sen on useampi halukas antamaan kuin muuten vaan tilastoa varten. Tieto on varauduttava keräämään niin, että yksityisen henkilön palkkatiedot eivät tule julki. Siis kirjallinen, anonyymi eli nimetön kysely. Edellyttää käytännössä lomakkeen täyttämistä ja palauttamista nimettömästi. Jonkin sinulle ennestään tuntemattoman yrityksen tai laitoksen henkilökunnan palkat. : Nimetön kysely. Yksittäisen vastaajan henkilöllisyys ei saa missään vaiheessa olla yhdistettävissä mihinkään vastaukseen. Viikon jokaisen keskipäivän keskilämpötila vuoden ajalta. : Jos valmista tilastoa asiasta ei ole, sinun on perustettava mittausasema! Jos kyseessä on viime vuoden hyvin paikalliset tiedot, peli saattaa jo olla menetetty. Ovatko naulatehtaan kahden tuuman naulat todella keskimäärin kaksi tuumaa pitkät? Varmaa on, että joka ikinen naula ei ole tasan kaksi tuumaa pitkä. : Tehdas tuottaa nauloja kappalemääräisesti sellaista tahtia, että laadunvalvonta käyttää systemaattista otantaa ja tämän lisäksi satunnaisotantaa. Systemaattisen otannan periaatteellinen heikkous on siinä, nauloja leikkaava kone saattaa tehdä systemaattisesti viallisia nauloja. Jos tuo systemaattisuus osuus sinun otantasi kanssa sopivasti yksiin, et ehkä huomaa sitä ollenkaan tai saat liian pessimistisen kuvan tuotannon laadusta. Molemmat väärät tulokset tulevat kalliiksi! Siksi kahta eri otostyyppiä.

3 Tarvitset satunnaisen, tuhannen puhelinnumeron haltijan otoksen sähköisestä puhelinluettelosta. : Yksi mahdollisuus on arpoa lähtökohta ja ottaa siitä joka kymmenes kunnes tuhat on kasassa. Mieti itse vielä menetelmä, jonka avulla voit arpoa tuhat satunnaista nimeä luettelosta ilman mitään systemaattisuutta. Kumpi kahdesta limonadista on jossakin valitsemassasi yhdessä ostoskeskuksessa kävijöiden mielestä raikkaamman makuinen. Onko tämä sama kysymys kuin kummasta hän tykkää enemmän? : Mene ao. ostoskeskuksen sisäänkäynnin luo ja kysy. Laita jokainen vastaus muistiin ja laske jälkeenpäin, kuinka moni äänesti tyhjää ja monta ääntä kukin juoma sai. Ihminen, joka tykkää tumman, pehmeän makuisista juomista ei välttämättä pidä juoman raikkautta sen maun mittarina. Frekvenssijakaumien harjoituksia Olet mitannut hippihyppiäispopulaation täysikasvuisten yksilöitten pituudet. Tulokset ovat oheisessa taulukossa. Yksilö Pituus [cm] Järjestä hippihyppiäiset tietokoneella kasvavaan pituusjärjestykseen. Jaa hippihyppiäiset sentin pituisiin luokkiin. Laske kunkin luokan frekvenssi, summafrekvenssi, suhteellinen frekvenssi ja suhteellinen summafrekvenssi. Kuinka moni hippihyppiäinen on pitempi kuin 9,5 cm absoluuttisesti sekä suhteellisesti? Käytä tässä työssä tietokoneen lisäksi laskinta sen mukaan, kuinka laskimesi sopii kuhunkin tehtävään. : Kasvava pituusjärjestys: Jaetaan pituudet luokkiin niin, että täydet sentit ovat luokkakeskuksia. Jako on seuraava: Pituus [cm] Yksilö Erilaiset frekvenssit ovat seuraavassa taulukossa.

4 [7,5;8,5) [8,5;9,5) [9,5;10,5) [10,5;11,5) Yli 9,5 senttisiä yksilöitä on 4 eli 40 prosenttia. Sippo heitti tikkaa viidellä tikalla pyöreään tauluun, jonka keskellä oli valkoinen ympyrä. Jos hän osui tähän ympyrään, hän sai 10 pistettä. Kympin ympärillä oli samankeskiset kehät, joihin osunut tikka tuotti 9 1 pistettä kukin. Jokaisesta tikasta, jonka Sippo heitti ohi taulun, hän kirjasi itselleen nolla pistettä. Sippo kirjoitti muistiin kymmenen heittokierroksen pisteet. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka Kuinka monella kierroksella Sippo sai alle 30 pistettä? Kuinka monella tikalla Sippo sai tarkalleen 8 pistettä? Kuinka monella tikalla Sippo sai vähemmän kuin 5 pistettä? Kuinka monella tikalla Sippo sai enemmän kuin 5 pistettä? Pitäisikö kahdesta viimeksi mainitusta tikkojen määrästä tulla yhteensä 50 kappaletta? : Kysymyksiin vastaamista varten laadin taulukkoja, joita käytän tuloksia laskiessani. Kierros I tikka tikka tikka tikka tikka

5 Ensimmäisen taulukon kukin sarake päättyy sarakesummaan ja rivi summaan, joka on laskettu koko riviltä. Oikean alanurkan sinisellä reunustettu solu sisältää rivisummien ja sarakesummien summan, joka on siis 512 eli tasan kaksi kertaa kaikkien tikkojen ja kierrosten yhteistulos kuten pitää. Kahdeksan pistettä Taulukon, jonka otsikko on Kahdeksan pistettä, vasemman ylänurkan nolla tulee taulukkolaskentaohjelman ehdosta =JOS(B2=8;1;0), kun alkuperäisen datan 1. kierroksen 1. tikan tulos joka siis oli 2 on solussa B2. Muut tulokset oikean alanurkan vihreällä reunustettua ja hennommalla vihreällä taustalla olevaa mustaa 6 lukuun ottamatta on alimmaisen rivin eli keltaisen vaakaviivan alle jäävän rivin summa. Sippo sai kahdeksan pistettä siis kuudella tikalla. Alle viisi pistettä Vastaavasti taulukon, jonka otsikko on Alle viisi pistettä, vasemman ylänurkan ykkönen tulee taulukkolaskentaohjelman ehdosta =JOS(B2<5;1;0), kun alkuperäisen datan 1. kierroksen 1. tikan tulos joka siis oli 2 on solussa B2. Muut tulokset oikean alanurkan vihreällä reunustettua ja hennommalla vihreällä taustalla olevaa mustaa 22:a lukuun ottamatta on taas alimmaisen rivin eli keltaisen vaakaviivan alle jäävän rivin summa. Sippo sai alle viisi pistettä siis 22 tikalla. Vastaavalla tavalla saadaan selville, että Sippo sai yli viiden tuloksen 24 tikalla. Kahden viimeisen luvun summa on = 46 eikä siitä voi tulla 50. Kun otat summaan mukaan vielä ne tikat, joilla tulos oli tasan 5 neljä kappaletta on summa 50, kuten pitäisi. Laske harjoituksen 2 jokaisen mahdollisen pistemäärän frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi. :

6 Tässä tehtävässä kannattaa käyttää taulukkolaskentaohjelman LASKE.JOS funktiota. Sen nimi englanninkielisessä ohjelmassa on COUNTIF. Jos heittotulokset ovat soluissa B2:K6, esimerkiksi =COUNTIF($B$2:$K$6;A10) ja =LASKE.JOS($B$2:$K$6;A10) laskevat, kuinka monta solussa A10 olevaa lukua taulukossa B2:K6 on. Huomaa, että solun A10 tietotyypin täytyy olla luku, samoin koko taulukon B2:K6 jokaisen solun. Järjestä harjoituksen 2 tulokset nousevan kierroksen numeron ja nousevan tikan numeron mukaiseen järjestykseen: toisen kierroksen 3. tikka = (2;3) ja kolmannen kierroksen toinen tikka on (3;2). Laita ne siis aikajärjestykseen. Käytä sinulle parhaiten sopivaa merkintää kunkin kierroksen ja sen kunkin tikan erottamiseksi muista. Edellä oleva on vain esimerkki. Laske sitten harjoituksen 2 summafrekvenssit ja suhteelliset summafrekvenssit. Kehittyykö Sipon heittotarkkuus? : Frekvenssit: Kierroksen numero Osuman frekvenssi Suhteelliset frekvenssit:

7 Kierroksen numero Osuman suhteellinen frekvenssi 0 25,0 % 25,0 % 0,0 % 25,0 % 25,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 1 20,0 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 2 66,7 % 0,0 % 33,3 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 3 20,0 % 40,0 % 20,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 20,0 % 0,0 % 4 0,0 % 0,0 % 40,0 % 0,0 % 0,0 % 20,0 % 0,0 % 20,0 % 20,0 % 0,0 % 5 0,0 % 0,0 % 0,0 % 50,0 % 25,0 % 25,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 6 0,0 % 0,0 % 0,0 % 25,0 % 25,0 % 25,0 % 0,0 % 0,0 % 25,0 % 0,0 % 7 0,0 % 20,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 0,0 % 20,0 % 8 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 16,7 % 16,7 % 33,3 % 0,0 % 16,7 % 16,7 % 9 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 28,6 % 28,6 % 14,3 % 28,6 % 10 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 50,0 % 0,0 % 50,0 % Suhteelliset summafrekvenssit: Kierroksen numero Osuman suhteellinen 025,0 % 50,0 % 50,0 % 75,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % summafrekvenssi 120,0 % 40,0 % 60,0 % 80,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 266,7 % 66,7 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 320,0 % 60,0 % 80,0 % 80,0 % 80,0 % 80,0 % 80,0 % 80,0 % 100,0 % 100,0 % 4 0,0 % 0,0 % 40,0 % 40,0 % 40,0 % 60,0 % 60,0 % 80,0 % 100,0 % 100,0 % 5 0,0 % 0,0 % 0,0 % 50,0 % 75,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 100,0 % 6 0,0 % 0,0 % 0,0 % 25,0 % 50,0 % 75,0 % 75,0 % 75,0 % 100,0 % 100,0 % 7 0,0 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 20,0 % 40,0 % 60,0 % 80,0 % 80,0 % 100,0 % 8 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 16,7 % 33,3 % 66,7 % 66,7 % 83,3 % 100,0 % 9 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 28,6 % 57,1 % 71,4 % 100,0 % 10 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 50,0 % 50,0 % 100,0 % Kyllä Sippo vaikuttaa oppivaiselta tikanheittäjältä, sillä huonot osumat vähenevät ja hyvät lisääntyvät turnauksen edetessä.

8 Valitse tarkoituksenmukaisin luokittelu, kun a) mitataan autojen nopeudet viidenkympin rajoitusalueella; b) tilastoidaan uimaretkellä käytettäviä kulkuvälineitä; c) tilastoit lukemiesi kirjojen sivumääriä. Viimeisessä kohdassa vaikuttimesi on, onko jokin kirjan sivumäärä sopivampi kuin muut, kun valitset vapaa-ajan lukemista. : a) Yhtä ainoaa oikeaa tarkoituksenmukaista luokittelua ei ole olemassa tässä(kään) tapauksessa. Yksi mahdollisuus on määritellä luokat Ei ylinopeutta, Lievä ylinopeus, Suuri ylinopeus ja Törkeä ylinopeus. Tarkat nopeudet, jotka ilmoitetaan kilometreinä tunnissa, riippuvat ainakin vuorokaudenajasta ja paikasta, jota tarkkaillaan. b) Luokat olkoot Aikaa on, Matka on pitkä, Tehdään retki ja Viikonlopun rantaloma. Luokkaan Aikaa on kuuluvat sitten käveleminen, hidas pyöräily ja vaikkapa hölkkä. Luokkaan Aikaa on sopivat pyöräily, kun matka ei ole ihan lyhyt ja kävely, kun kolmi-vuotias ajaa kolmipyöräisellään. Luokkaan Matka on pitkä laitetaan kilpapyörä, mopo ja auto. Tehdään retki luokka on auto- tai mp-retkelle sopiva luokka. Viikonlopun rantaloma tehdään varmaan linjaautolla, junalla tai omalla autolla, ja nämä ajoneuvot siis tähän luokkaan. Koska sama ajoneuvo näyttää löytyvän nyt useammasta kuin yhdestä luokasta, ajoneuvoon on liitettävä luetellut määreet tai luokat on määriteltävä uudelleen. c) Oletetaan, että valittavana olevien kirjojen sivumäärät vaihtelevat välillä [100;1500]. Kun kriteerinä on vapaa-ajanlukemiseen sopivan kokoinen kirja, haluat määritellä luokat niin, että yksi luokka on Tarkalleen sopivan kokoiset, Melkein sopivan kokoiset, Luultavasti liian isot, Turhan pienet. Mahdottomat lomalukemiseksi ja Muut. Viimeksi mainittu luokka on niitä tapauksia varten, joita et osaa ennakoida. Tähän voisi sopia kirja, jonka sivumäärä on 101, kirjoittaja on Erwin Schrödinger ja kirjan kieli on saksa. Esimerkkinä olkoon luokka Tarkalleen sopivan kokoiset. Sivumäärä voisi olla välillä [160;250[. Pyöristetään sivumäärät lähimpään kymmeneen. Luokittele harjoituksen 2 tiedot. Luokitellaan kunkin heittokierrosten tulos. Koska tikanheitto on tarkkaa puuhaa tikkahan sitä paitsi putoaa, jos heitto yltää vain melkein tauluun saakka jokainen piste on oma luokkansa. Mieti, mitä 10 sentin (absoluuttinen) mittausepätarkkuus merkitsee tuulessa heiluvan, noin 30 metriä pitkän puun tapauksessa! Ei ole mitään käytännöllistä keinoa yrittää mitata 10 sentin tarkkuudella. Voi sanoa, että sellaista tulosta ei ole olemassa. Harjoituksia frekvenssien kuvaamisesta Näitten tehtävien avulla on tarkoitus harjoitella mahdollisimman hyvän ja havainnollisen tilastokaavion laatimista. Tilastoilla valehtelemista emme harjoittele. Erään kunnallisvaalien ehdokaslistahahmotelman koko oli 55 henkeä. Listan jäsenten ammatit jakautuivat seuraavan kaavion mukaisesti.

9 Ehdokkaat 11 % 5 % 5 % 9 % 27 % 13 % Hierojia Opiskelijoita Kotiäitejä Maanviljelijöitä Etätyöntekijöitä Konsulentteja Toimittajia 30 % Laske kuvan tietojen perusteella kuinka monta kutakin ammattialan edustajaa ehdokkaana oli. Etätyöntekijät 0,27 55 = 15 Hierojia 0,05 55 = 3 Konsulentteja 0,11 55 = 6 Kotiäitejä 0,13 55 = 7 Maanviljelijöitä 0,30 55 = 16 Opiskelijoita 0,09 55 = 5 Toimittajia 0,05 55 = = 55 Laadi harjoituksen 1 tiedoista pylväsdiagrammi (histogrammi, pylväs, palkki). Jos käytössäsi on graafinen laskin, tee tämä harjoitus sillä. Vertaa tekemääsi pylväsdiagrammia tehtävän 1 sektoridiagrammiin. Kumpi kuva, piirakka vai pylväsdiagrammi, olisi sopinut paremmin lähdeaineistoksi ehdokkaitten ammattialojen frekvenssien laskemiseen? Perustele vastauksesi.

10 Ammattiryhmät Lukumäärä Hierojia Konsulentteja Opiskelijoita Toimittajia Ammatti

11 Maaliskuu Vuosi indeksi Lähde: Tilastokeskus

12 Oheisessa taulukossa on vuosien maaliskuun kuluttajahintaindeksi (Lähde: ). Taulukon mittakaava on sellainen, että vuoden 1951 lopun hintatasoa merkitään 100 pisteellä. Laadi asiaa kuvaava diagrammi. Valitse juuri tämän tehtävän tilanteeseen sopiva kuvaajatyyppi. Kuluttajahintaindeksi 1800 Indeksin arvo maaliskuussa Vuosi Kyseessä on aikasarja. Sitä voidaan kuvata viivadiagrammilla, tarkemmin sanoen frekvenssimonikulmiolla. Mikään yksinkertainen, matemaattinen yhtälö ei kuvaa tätä käyrää. Oheiseen kuvaan olen valinnut xy kuvion eli kaavion, jonka taulukkolaskentaohjelma piirtää, kun sille annetaan pisteluettelo. Piirrä esimerkin 23 käyrä niin, että vaaka-akselilla on tilausten määrä. Mieti, onko tämä kuvio yhtä helposti tulkittava kuin alkuperäinen.

13 Vuodet Oheisessa taulukossa annetaan tietoja Suomessa muutamana lähimenneisyyden vuotena tutkimus- ja kehittämistoimintaan tehdyistä investoinneista. Se perustuu Tilastokeskuksen tietoihin. Toisessa sarakkeessa on tutkimus- ja kehittämistoimintaan liittyvissä olevien henkilöiden määrä, kolmannessa sarakkeessa tähän toimintaan käytetty aika niin sanottuina miestyövuosina ja viimeisessä sarakkeessa tutkimukseen ja kehittämiseen käytetyt varat miljoonina euroina. Olet poliittisesti sitoutumattoman lehden toimittaja. Tehtäväsi on antaa mahdollisimman värittymätön kuva yritysten käytännön kiinnostuksesta tutkimus- ja kehittämistoimintaa kohtaan taulukon kattamana aikana. Kuten huomaat, vuosi 1996 puuttuu taulukosta. Tilastovuosi Henkilöä Työvuosia Miljoonia Vihje: Jos käytät taulukkolaskentaohjelmaa tämän kurssin harjoitustehtävien tekemiseen, niin sinun kannattaa tutustua sen Liitä määräten toimintoon. Maalaa ensin taulukko, jossa tehtävän data on ja paina sitten CTRL-C. Tämän pitäisi toimia selaimessakin. Jos ei toimi, tarvitset kärsivällisyyttä Jos siis voit kopioitta taulukon sisällön Windows in leikepöydälle kuten kuvasin, valitse datan maalaamisen jälkeen taulukko-ohjelmassa

14 Muokka Liitä määräten Saat eteesi oheisen kuvan mukaisen tai vastaavan dialogi-ikkunan. Huomaa siinä erityisesti ruksi kohdassa Transponoi. Tilastodiagrammin lukijan kannalta selvin tapa käsitellä tämä tehtävä on laatia kaksi erillistä pylväs- tai palkkidiagrammia. Toinen esittää investointien rahallista arvoa, toinen investoituja miestyövuosia. Nämä diagrammit olisi mahdollista piirtää yhteen kuvaan, mutta kahden eri kuvan lukeminen on helpointa. Valitaan palkkidiagrammi eli pylväsdiagrammi, jonka pylväät ovat vaakasuorassa. Puuttuva vuosi 1996 otetaan mukaan ilman investoinnin määrää. Erityisesti täytyy huomata, että lukijalle ei väitetä, että vuonna 1996 tuotekehitykseen ei investoitu mitään! Lukijalle kerrotaan joko tekstissä tai kaaviossa, että vuoden 1996 tiedot puuttuvat. Lukija voi halutessaan arvata, että vuoden 1996 investointien arvo on vuosien 1995 ja 1997 investointien keskiarvo. Tällaista mittaustulosten välisen arvon arvaamista sanotaan interpoloimiseksi.

15 Investoinnit tuotekehitykseen Kalenterivuosi Tieto puuttuu Miestyövuosia Investoinnit tuotekehitykseen Vuosi Tieto puuttuu Miljoonaa markkaa

16 Kahden muuttujan jakauman harjoituksia Piirrä Esimerkin 27 pisteet ja regressiosuora samaan kuvaan. Hippihyppiäiset Pituus ja paino Paino, g ,0 14,5 15,0 15,5 16,0 16,5 Pituus, cm Esitä korrelaatiokertoimen r tulkinta janana. Seuraavassa on yksi mahdollisuus esittää regressiokertoimen tulkinta graafisesti. Haluat ehkä itse valita ainakin värit eri tavalla, jos satut olemaan puna - viher värisokea. Minun kuvassani punainen on vasemmalla ja vihreä oikealla, mikä on vastakkainen järjestys esimerkiksi liikennevaloihin verrattuna. r 0 0,3 0,6 0,8 1 heikko kohtalainen huomattava voimakas

17 Miksi Esimerkin 28 käyrä ei voi olla eksponentiaalinen? bx Muotoa a e olevan eksponenttifunktion kuvaaja ei vaihda merkkiään. Emme tarkastele muotoa a e bx + c olevia käyriä, jollainen voisi vaihtaa merkin. Tässä a, b ja c ovat vakioita. Kokeile Esimerkin 30 yhtälöä laskemalla auton nopeus antamalla x:lle joitakin arvoja. Laske aika, jona auton nopeus on 20,5 m/s, aika, jona auton nopeus on 7 m/s ja aika, kun auton nopeus on 21,9 m/s. Piirrä kaikki Esimerkin 30 regressiosuorat samaan kuvaan. Esimerkin 30 yhtälö on y = 0, kun aika x on välillä 0 x < 71 y = 0, 989x 69, 8, kun 71 x 93 y = +21, 9, kun 93 < x 140. Kun auton nopeus on 20,5 m/s, kyseessä on keskimmäisen yhtälön tilanne, joten 20,5 = 0,989x 69,8, josta x = 91,3. Auton nopeus on siis 20,5 metriä sekunnissa, kun kello näyttää aikaa 91,3 sekuntia. Kun auton nopeus on 7 m/s, ollaan yhtälön edelleen keskimmäisen yhtälön vaikutuspiirissä. Ajaksi saadaan 77,7 sekuntia eli noin 78 sekuntia. Kun nopeus on 21,9 m/s, kello näyttää aikaa 93 sekuntia tai enemmän. Seuraava taulukko esittää erään bakteeriviljelmän massan kasvua ajan funktiona. Sovita siihen eksponenttifunktio eli laadi kasvua kuvaava eksponentiaalinen malli. Tehtäväsi on siis etsiä b t funktion y = m 2 parametrit m ja b. Muuttuja t on aika. Laske saamasi kaavan avulla massat ajanhetkinä eli muuttujan t arvoilla 2 tuntia, 30 minuuttia, 25 minuuttia ja 3 tuntia. Aika, min Solumassa, mg Kun aika t on minuutteja, vakiot m ja b ovat: m = 10

18 1 b = 30 Yhtälöksi saadaan siis m( t) massa ajan funktiona. m( 2h) = 0,625 mg m( 30min) = 5 mg m(25min) = 17,8 mg m(3h) = 640 mg. t =, missä t on siis edelleen aika minuutteina ja missä m(t) on Eksponentiaalinen kasvu Massa, mg Aika, min

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i.

1.9 Harjoituksia. Frekvenssijakaumien harjoituksia. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat. a) Kaikki aakkoset b) Kirjaimet L, E, M, C, B, A ja i. MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 1.9 Harjoituksia 1.1 Ulkolämpömittari näytti eilen 10 C ja tänään 20 C. Onko tänään kaksi kertaa niin kylmä kuin eilen? Miksi tai miksi ei? 1.2 Minkä luokkien muuttujia

Lisätiedot

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/AVOIN YLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia 1 KURSSIKYSELYAINEISTO: 1. Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen

MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen MONISTE 2 Kirjoittanut Elina Katainen TILASTOLLISTEN MUUTTUJIEN TYYPIT 1 Mitta-asteikot Tilastolliset muuttujat voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: kategorisiin ja numeerisiin muuttujiin. Tämän lisäksi

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6.3 Loppukoe 9.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

2.6 Frekvenssien kuvaamisesta

2.6 Frekvenssien kuvaamisesta MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 2.6 Frekvenssien kuvaamisesta Pelkästä taulukosta, jollaisia näit edellä, on vaikea saada kunnolla selvää. Ainakin ison taulukon tapauksessa on laadittava kaavio, jos asiasta

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)

Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi) Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Kirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta.

Kirjoita oma versio funktioista strcpy ja strcat, jotka saavat parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tehtävä 63. Kirjoita oma versio funktiosta strcmp(),joka saa parametrinaan kaksi merkkiosoitinta. Tee ohjelma, jossa luetaan kaksi merkkijonoa, joita sitten verrataan ko. funktiolla. Tehtävä 64. Kirjoita

Lisätiedot

Tilastolliset toiminnot

Tilastolliset toiminnot -59- Tilastolliset toiminnot 6.1 Aineiston esittäminen graafisesti Tilastollisen aineiston tallentamisvälineiksi TI-84 Plus tarjoaa erityiset listamuuttujat L1,, L6, jotka löytyvät 2nd -toimintoina vastaavilta

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10)

Kirjoita ohjelma jossa luetaan kokonaislukuja taulukkoon (saat itse päättää taulun koon, kunhan koko on vähintään 10) Tehtävä 40. Kirjoita ohjelma, jossa luetaan 20 lukua, joiden arvot ovat välillä 10 100. Kun taulukko on täytetty, ohjelma tulostaa vain ne taulukon arvot, jotka esiintyvät taulukossa vain kerran. Tehtävä

Lisätiedot

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet

1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: 1.Työpaikan työntekijöistä laaditussa taulukossa oli mm. seuraavat rivit ja sarakkeet Nimi Ikä v. Asema Palkka

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

2.4 Muuttujien luokittelemisesta

2.4 Muuttujien luokittelemisesta MAB5: Tilastotieteen lähtökohdat 2.4 Muuttujien luokittelemisesta Eräs tapa luokitella muuttujat on seuraava jako kahteen muuttujatyyppiin: kvantitatiivinen muuttuja eli muuttuja, jonka arvo esitetään

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO...

Metsämuuronen: Tilastollisen kuvauksen perusteet ESIPUHE... 4 SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 2. AINEISTO... Sisällysluettelo ESIPUHE... 4 ALKUSANAT E-KIRJA VERSIOON... SISÄLLYSLUETTELO... 6 1. METODOLOGIAN PERUSTEIDEN KERTAUSTA... 8 1.1 KESKEISTEN KÄSITTEIDEN KERTAUSTA...9 1.2 AIHEESEEN PEREHTYMINEN...9 1.3

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33.

Til.yks. x y z 1 2 1 20.3 2 2 1 23.5 9 2 1 4.7 10 2 2 6.2 11 2 2 15.6 17 2 2 23.4 18 1 1 12.5 19 1 1 7.8 24 1 1 9.4 25 1 2 28.1 26 1 2-6.2 33 1 2 33. Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä!

KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun se kelpaa kyllä! VAASAN YLIOPISTO/KESÄYLIOPISTO TILASTOTIETEEN PERUSTEET Harjoituksia A KURSSIKYSELYAINEISTO: HUOM! Aineiston tilastoyksikkömäärä 11 on kovin pieni oikean tilastotieteen tekemiseen, mutta Harjoitteluun

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen

Opetusmateriaali. Tutkimustehtävien tekeminen Opetusmateriaali Tämän opetusmateriaalin tarkoituksena on opettaa kiihtyvyyttä mallintamisen avulla. Toisena tarkoituksena on hyödyntää pikkuautoa ja lego-ukkoa fysiikkaan liittyvän ahdistuksen vähentämiseksi.

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043)

Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) Opiskelun ja työelämän tietotekniikka (DTEK1043) pääaine- ja sivuaineopiskelijat Taulukkolaskennan perusteet Yleistä Tämä harjoitus käsittelee taulukkolaskentaohjelman perustoimintoja. Harjoituksissa opetellaan

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Harjoitustehtävät Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c)

Lisätiedot

Til.yks. x y z

Til.yks. x y z Tehtävien ratkaisuja. a) Tilastoyksiköitä ovat työntekijät: Vatanen, Virtanen, Virtanen ja Voutilainen; muuttujina: ikä, asema, palkka, lasten lkm (ja nimikin voidaan tulkita muuttujaksi, jos niin halutaan)

Lisätiedot

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia

Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat Klassisen ja geometrisen todennäköisyyden harjoituksia 3.1 Heität tavallista noppaa. Millä todennäköisyydellä a) saat kuutosen? b) saat ykkösen? c) saat parittoman pisteluvun?

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet

H6: Tehtävänanto. Taulukkolaskennan perusharjoitus. Harjoituksen tavoitteet H6: Tehtävänanto Taulukkolaskennan perusharjoitus Ennen kuin aloitat harjoituksen teon, lue siihen liittyvä taustamateriaali. Se kannattaa käydä läpi kokeilemalla samalla siinä annetut esimerkit käyttämässäsi

Lisätiedot

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät 1/11. TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden tiedekunta Valintakoe Matematiikka ja tilastotiede. Sukunimi (painokirjaimin) 1/11 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012. Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON KVANTITATIIVINEN ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi

Lisätiedot

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu

Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu GeoGebran LASKENTATAULUKKO Esimerkki 1: auringonkukan kasvun kuvailu Auringonkukka (Helianthus annuus) on yksivuotinen kasvi, jonka varren pituus voi aurinkoisina kesinä hyvissä kasvuolosuhteissa Suomessakin

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2

Harjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2 MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis

Lisätiedot

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat).

Valmistelut: Aseta kartiot numerojärjestykseen pienimmästä suurimpaan (alkeisopiskelu) tai sekalaiseen järjestykseen (pidemmälle edenneet oppilaat). Laske kymmeneen Tavoite: Oppilaat osaavat laskea yhdestä kymmeneen ja kymmenestä yhteen. Osallistujamäärä: Vähintään 10 oppilasta kartioita, joissa on numerot yhdestä kymmeneen. (Käytä 0-numeroidun kartion

Lisätiedot

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla:

1. Matikan kurssin arvosanat jakautuivat seuraavalla tavalla: MAA6. Loppukoe 8.11.01 Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Matikan

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Tehtäväsarja A. 2. a) a + b = = 1 b) (a + b) = ( 1) = 1 c) a + ( b) = 13 + ( 12) = = 1. TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtäväsarja A.. a) a b b) (a b) ( ) c) a ( b) ( ) ). a) 4 4 5 6 6 6 6 6 b) Pienin arvo: ) 4 4 4 6 6 6 6 6 6 6 Suurin arvo: ) 4) 4 8 7 7 4 6 6 6 6 4. @ tekijät ja Sanoma Pro Oy 06 5.

Lisätiedot

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi

Järvi 1 Valkjärvi. Järvi 2 Sysijärvi Tilastotiedettä Tilastotieteessä kerätään tietoja yksittäisistä asioista, ominaisuuksista tai tapahtumista. Näin saatua tietoa käsitellään tilastotieteen menetelmin ja saatuja tuloksia voidaan käyttää

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot

Ma8 Todennäköisyys ja tilastot Ma8 Todennäköisyys ja tilastot H1 Tilastollisen aineiston kuvaaminen 1.1 Vastaa kuvaajan perusteella kysymyksiin. a) Kuinka paljon tarvitset kuvaajan mukaan unta? b) Paljonko 20-vuotias tarvitsee unta?

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KURSSIN SISÄLTÖ Johdanto Mittaaminen ja aineiston hankinta Mitta-asteikot Otanta Aineiston esittäminen ja data-analyysi Havaintomatriisi Yksiulotteisen

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 1.4.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 1.4.2009 1 / 56 Tentti Ensimmäinen tenttimahdollisuus on pe 8.5. klo 13:00 17:00 päärakennuksessa. Tämän jälkeen

Lisätiedot

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia

6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia 6.8 Erityisfunktioiden sovelluksia Tässä luvussa esitellään muutama esimerkki, joissa käytetään hyväksi eksponentti-, logaritmi- sekä trigonometrisia funktioita. Ensimmäinen esimerkki juontaa juurensa

Lisätiedot

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku.

Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. 1/11 4 MITTAAMINEN Mittaaminen menettely (sääntö), jolla tilastoyksikköön liitetään tiettyä ominaisuutta kuvaava luku, mittaluku. Mittausvirhettä johtuen mittarin tarkkuudesta tai häiriötekijöistä Mittarin

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE

AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE AMMATTIKORKEAKOULUJEN TEKNIIKAN VALINTAKOE OHJEITA Valintakokeessa on kaksi osaa: TEHTÄVÄOSA: Ongelmanratkaisu VASTAUSOSA: Ongelmanratkaisu ja Tekstikoe HUOMIOI SEURAAVAA: 1. TEHTÄVÄOSAN tehtävään 7 ja

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO

Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO Aki Taanila YHDEN SELITTÄJÄN REGRESSIO 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 LINEAARINEN MALLI... 1 Selityskerroin... 3 Excelin funktioita... 4 EKSPONENTIAALINEN MALLI... 4 MALLIN KÄYTTÄMINEN ENNUSTAMISEEN...

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto

Valitse aineisto otsikoineen maalaamalla se hiirella ja kopioimalla (Esim. ctrl-c). Vaihtoehtoisesti, Lataa CSV-tiedosto Versio k15 Näin laadit ilmastodiagrammin Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla. Ohje on laadittu käyttäen Libre Officen versiota 4.2.2.1. Voit ladata ohjelmiston omalle koneellesi osoitteesta fi.libreoffice.org.

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas JAKAUMAN MUOTO Vinous, skew (g 1, γ 1 ) Kertoo jakauman symmetrisyydestä Vertailuarvona on nolla, joka vastaa symmetristä jakaumaa (mm. normaalijakauma)

Lisätiedot

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.

Virhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita

Lisätiedot

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9?

3. a) Otetaan umpimähkään reaaliluku väliltä [0,1]. Millä todennäköisyydellä tämän luvun ensimmäinen desimaali on 2 tai toinen desimaali on 9? MAA6 Kurssikoe 1.10.20 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Muista että välivaiheet perustelevat ratkaisusi! Lue ohjeet tarkasti! A-osio. Ei saa käyttää

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015

Excel syventävät harjoitukset 31.8.2015 Yleistä Excel on taulukkolaskentaohjelma. Tämä tarkoittaa sitä että sillä voi laskea laajoja, paljon laskentatehoa vaativia asioita, esimerkiksi fysiikan laboratoriotöiden koetuloksia. Excel-ohjelmalla

Lisätiedot

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654

Otoskoko 107 kpl. a) 27 b) 2654 1. Tietyllä koneella valmistettavien tiivisterenkaiden halkaisijan keskihajonnan tiedetään olevan 0.04 tuumaa. Kyseisellä koneella valmistettujen 100 renkaan halkaisijoiden keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Määrällisen aineiston esittämistapoja. Aki Taanila

Määrällisen aineiston esittämistapoja. Aki Taanila Määrällisen aineiston esittämistapoja Aki Taanila 24.4.2017 1 Kategoriset muuttujat Lukumääriä Prosentteja (muista n-arvot) Pylväitä 2 Yhteenvetotaulukko (frekvenssitaulukko) TAULUKKO 1. Asunnon tyyppi

Lisätiedot

Tuen tarpeen tunnistaminen

Tuen tarpeen tunnistaminen Tuen tarpeen tunnistaminen Matematiikan arviointi esiopetus kevät Esitysohjeet opettajalle Arvioinnin yleisiä periaatteita Tutustu ennen tehtävien esittämistä ohjeisiin ja materiaaliin sekä tarkista, että

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Kuva 7.2 vastaustaulu harjoitukseen 7.2

Kuva 7.2 vastaustaulu harjoitukseen 7.2 Harjoitus 7. Lataa tiedosto http://users.metropolia.fi/~pasitr/opas/ran13b/data/ran13b.zip levylle Z: ja pura se. Kun olet tehnyt kaikki seuraavat 17 tehtävää palauta Tuubiin harjoituksen 7 vastauksena

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

Sääasema Probyte JUNIOR

Sääasema Probyte JUNIOR Sääasema Probyte JUNIOR JUNIOR sääanturi COM1 12VDC RS-232 signaali PC W9x Excel-tiedosto PROBYTE JUNIOR sääanturin toimintaperiaate Yleistä Probyte SÄÄASEMA JUNIOR1 on sään mittaukseen tarkoitettu ulkoanturi,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo

1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1 Funktiot, suurin (max), pienin (min) ja keskiarvo 1. Avaa uusi työkirja 2. Tallenna työkirja nimellä perusfunktiot. 3. Kirjoita seuraava taulukko 4. Muista taulukon kirjoitusjärjestys - Ensin kirjoitetaan

Lisätiedot

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit

Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Laskun vaiheet ja matemaattiset mallit Jukka Sorjonen sorjonen.jukka@gmail.com 28. syyskuuta 2016 Jukka Sorjonen (Jyväskylän Normaalikoulu) Mallit ja laskun vaiheet 28. syyskuuta 2016 1 / 22 Hieman kertausta

Lisätiedot

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma:

Kerta 2. Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5. 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: Kerta 2 Kerta 3 Kerta 4 Kerta 5 Kerta 2 1. Toteuta Pythonilla seuraava ohjelma: 2. Tulosta Pythonilla seuraavat luvut allekkain a. 0 10 (eli, näyttää tältä: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b. 0 100 c. 50 100 3.

Lisätiedot

Käyttöopas yksityisautolle Android, ios ABAX MOBIILI

Käyttöopas yksityisautolle Android, ios ABAX MOBIILI Käyttöopas yksityisautolle Android, ios ABAX MOBIILI 2 The difference is ABAX The difference is ABAX 3 SISÄÄNKIRJAUTUMINEN Avaa ABAX-sovellus, ja klikkaa «Kirjaudu». Syötä käyttäjätunnuksesi ja salasanasi

Lisätiedot

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat:

Tarkista vielä ennen analysoinnin aloittamista seuraavat seikat: Yleistä Tilastoapu on Excelin sisällä toimiva apuohjelma, jonka avulla voit analysoida tilastoaineistoja. Tilastoapu toimii Excelin Windows-versioissa Excel 2007, Excel 2010 ja Excel 2013. Kun avaat Tilastoavun,

Lisätiedot

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet?

Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? 1 Metallitanko, jonka pituus on 480 cm, jaetaan kahteen osaan. Toinen osista on 60 cm pitempi kuin toinen. Mitkä ovat osien pituudet? Tapa 1 Merkitään toista osaa x:llä, toista y:llä ja piirretään asiaa

Lisätiedot

Esimerkkejä vaativuusluokista

Esimerkkejä vaativuusluokista Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään

Lisätiedot

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + =

Merkitse yhtä puuta kirjaimella x ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3x + 2x = 5x + = Mikä X? Esimerkki: Merkitse yhtä puuta kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi. Mikä tulee vastaukseksi? 3 + 2 = 5 + = 5 + = 1. Merkitse yhtä päärynää kirjaimella ja kirjoita yhtälöksi? Mikä tulee vastaukseksi?

Lisätiedot

Napapiirin luontokansio

Napapiirin luontokansio Puolipilvistä, sanoi etana ja näytti vain toista sarvea Tutki säätilaa metsässä ja suolla ja vertaa tuloksia. Säätilaa voit tutkia mihin vuodenaikaan tahansa. 1. Mittaa a) ilman lämpötila C b) tuulen nopeus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT

FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT FYSP101/K1 KINEMATIIKAN KUVAAJAT Työn tavoitteita tutustua kattavasti DataStudio -ohjelmiston käyttöön syventää kinematiikan kuvaajien (paikka, nopeus, kiihtyvyys) hallintaa oppia yhdistämään kinematiikan

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

finnish BOI 2015, päivä 1. Muistiraja: 256 MB. 30.04.2015

finnish BOI 2015, päivä 1. Muistiraja: 256 MB. 30.04.2015 Tehtävä: BOW Keilaus finnish BOI 0, päivä. Muistiraja: 6 MB. 30.04.0 Jarkka pitää sekä keilauksesta että tilastotieteestä. Hän on merkinnyt muistiin muutaman viimeisimmän keilapelin tulokset. Valitettavasti

Lisätiedot

Kertaustehtävien ratkaisut

Kertaustehtävien ratkaisut Kertaustehtävien ratkaisut. x y = x + 6 (x, y) 0 0 + 6 = 6 (0, 6) + 6 = (, ) + 6 = 0 (, 0) y-akselin leikkauspiste on (0, 6) ja x-akselin (, 0).. x y = x (x, y) 0 0 (0, 0) (, ) (, ) x y = x + (x, y) 0

Lisätiedot

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa Aloitustapaaminen 11.4.2016 Osa III: Tekninen raportointi Sisältö Raportoinnin ABC: Miksi kirjoitan? Mitä kirjoitan? Miten kirjoitan? Muutamia erityisasioita 1 Miksi

Lisätiedot

Johdatus Ohjelmointiin

Johdatus Ohjelmointiin Johdatus Ohjelmointiin Syksy 2006 Viikko 2 13.9. - 14.9. Tällä viikolla käsiteltävät asiat Peruskäsitteitä Kiintoarvot Tiedon tulostus Yksinkertaiset laskutoimitukset Muuttujat Tiedon syöttäminen Hyvin

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi)

Vektorit. Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Vektorit Kertausta 12.3.2013 Seppo Lustig (Lähde: avoinoppikirja.fi) Sisällys Vektorit Nimeäminen Vektorien kertolasku Vektorien yhteenlasku Suuntasopimus Esimerkki: laivan nopeus Vektorit Vektoreilla

Lisätiedot

Matin alkuvuoden budjetti

Matin alkuvuoden budjetti 1 TILASTOJEN TULKINTAA 1. euroa Matin alkuvuoden budjetti 600 500 400 300 200 100 0 tammikuu helmikuu maaliskuu huhtikuu a) Milloin Matti on kuluttanut eniten rahaa ostoksiin? Arvioi, kuinka paljon vaatteisiin

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22.1.2014 Ratkaisuita 1. Laske 3 21 12 3. a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 Ratkaisu. 3 21 12 3 = 63 36 = 27. 2. Peräkylän matematiikkakerholla on kaksi tapaa

Lisätiedot

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI.

Esimerkiksi jos käytössä ovat kirjaimet FFII, mahdolliset nimet ovat FIFI ja IFIF. Näistä aakkosjärjestykssä ensimmäinen nimi on FIFI. A Nimi Uolevi sai koiranpennun, mutta siltä puuttuu vielä nimi. Uolevi on jo päättänyt, mitä kirjaimia nimessä tulee olla. Lisäksi hän haluaa, että nimi muodostuu toistamalla kaksi kertaa sama merkkijono.

Lisätiedot

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut

R1 Harjoitustehtävien ratkaisut MAB R Harjoitustehtävien ratkaisut R Harjoitustehtävien ratkaisut. Jos lämpötila nousee asteesta asteella, mikä on uusi lämpötila? +. Lämpötila nousee viiteen asteeseen. Lukusuoralla: 0 + Nuolen pituus.

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot