Hyvä käyttäjä! Tekijänoikeudellisista syistä osa kuvista on poistettu. Ystävällisin terveisin. Toimitus

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Hyvä käyttäjä! Tekijänoikeudellisista syistä osa kuvista on poistettu. Ystävällisin terveisin. Toimitus"

Transkriptio

1 Hyvä käyttäjä! Tämä pdf-tiedosto on ladattu Tieteen Kuvalehti Historia -lehden verkkosivuilta ( Tiedosto on tarkoitettu henkilökohtaiseen käyttöön, eikä sitä saa luovuttaa kolmannelle osapuolelle. Tekijänoikeudellisista syistä osa kuvista on poistettu. Ystävällisin terveisin Toimitus

2 Arkielämä vuotta sitt en: Kuukalenteri Royal Belgian Institute of Natural Sciences & shutterstock Matematiikan pitkä historia Ihminen lajina on lähtöisin Afrikasta, ja sieltä ovat peräisin myös ensimmäiset merkit matematiikasta. Tutkijat löysivät Lebombovuorilta nykyisestä Swazimaasta 1970-luvulla niin kutsutun Lebombon luun, johon esihistoriallinen ihminen on raa put tanut yksinkertaisia matemaattisina pidettyjä merkintöjä. Noin vuotta vanhaan luuhun on kaiverrettu 29 viivaa, ja sen on tulkittu olevan varhainen yritys pitää lukua Kuun vaiheista tai naisen kuukautiskierrosta. Kongon demokraattisesta tasavallasta löytynyt niin sanottu Ishangon luu on puolestaan noin vuotta vanha, ja siihen on raaputettu viivoja kolmeen sarakkeeseen. Ilmeisesti silläkin on seurattu Kuun vaiheita, mutta sen on myös väitetty edustavan korkeampaa matematiikkaa. Ishangon luun viivoja on saatettu käyttää apuna yksinkertaisissa kerto- ja jakolaskuissa. Egyptin kirjurit osasivat laskea niin palkkoja kuin pyramidien pinta-alojakin. Morten Thomsen Lessing archive Varhaisimmat merkit matematiikasta ovat viivoja vuotta vanhassa luussa. Kaikki tärkeät korkeakulttuurit ovat antaneet oman panoksensa matematiikan kehitykseen, ja jokainen matemaattinen edistysaskel on myös aina vauhdittanut ihmiskunnan kulttuurista kehitystä. Matematiikan merkkihetkiä 60

3 1850 eaa.: Murtolukuja Matematiikka mahdollisti muinaisen Egyptin ihmeet Muinaisessa Egyptissä matematiikkaa tarvittiin työläisten palkkojen maksuun, verojen keräämiseen ja faraoiden hautamuistomerkkien rakentamiseen. Muinaisen Egyptin yhteiskunta oli riippuvainen matematiikasta: kansalta kerättiin veroa viljan ja muiden tuotteiden muodossa, valtion virkamiehille maksettiin rahapalkkaa, eikä pyramideja tai muita mahtavia monumentteja olisi voitu rakentaa ilman matemaattista osaamista. Niin kutsuttu Rhindin papyrus noin vuodelta 1850 eaa. sisältää muun muassa opettajan oppilailleen antamat 87 laskutehtävää. Mukana on kerto- ja jakolaskuja sekä laskuja murtoluvuilla, joissa osoittaja on 1. Yksi tehtävistä on esimerkiksi jakaa seitsemän leipää 10 miehelle. Mukana oli myös kolmioiden pinta-alan ja sylinterin tilavuuden laskemista. Monia Rhindin papyruksessa kuvattuja periaatteita hyödynnettiin vielä tuhat vuotta myöhemmin antiikin Kreikan matematiikassa. Rhindin papyrus sisältää matemaattisia tehtäviä jakolaskuista geometriaan. Egyptin hieroglyfinumeroita Egyptiläisiä lukuja = miljoona = lessing archive 1800 eaa.: Algebran alkeet Babylonialaiset kauppiaat olivat aikaansa edellä Babylonialaiset olivat innokasta kauppiaskansaa, ja siksi he tarvitsivat runsaasti matemaattisia apuvälineitä. Löytyneiden savitaulujen perusteella tiedetään, että babylonialaiset osasivat käyttää potenssilaskuja sekä neliö- ja kuutiojuuria. Kuuluisin matemaattisista savitauluista on niin kutsuttu Plimpton 322 -taulu, joka on ajoitettu 1800-luvulle eaa. Siitä näkyy muun muassa, että babylonialaiset osasivat määrit tää suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituuden; nykyisin mene telmä tunnetaan vuotta myöhemmin eläneen kreikkalaisen matemaatikon mukaan Pythagoraan lauseena. Babylonialaisilla oli 60- kantainen järjestelmä, jota käytetään yhä ajan mittauksessa ja tarkoissa kulmien astemittauksissa. gribeco 300 eaa.: Geometria Geometria kehittyi antiikin Kreikassa Kreikkalainen Eukleides kirjoitti noin vuonna 300 eaa. teoksen Stoikheia eli Alkeet, latinaksi Elementa, jossa hän esitti kaiken siihenastisen matemaattisen tiedon painottaen erityisesti geometriaa. Myös kuuluisa Pythagoraan lause a 2 + b 2 = c 2, jonka avulla lasketaan suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituus, oli mukana. Alkeet hallitsi länsimaista matematiikkaa yli vuoden ajan. Babylonian nuolenpäänumeroita Plimpton 322 -savitaulussa on varhaisen historiallisen ajan edistyneintä matematiikkaa. Eukleides paneutui muun muassa Pythagoraan lauseeseen. c b a

4 Arkielämä Arkhimedeen ympyrät Kreikkalainen matemaatikko Arkhimedes ratkaisi vuoden 250 eaa. paikkeilla yhden antiikin kolmesta suuresta matemaattisesta ongelmasta, kun hän määritti piin eli luvun, jota merkitään nykyisin kreikkalaisella kirjaimella π. Jo egyptiläiset ja babylonialaiset olivat vuosituhansien ajan yrittäneet laskea ympyrän halkaisijan ja ympärysmitan eli kehän suhdetta. Geometria ja varsinkin ympyrät kiehtoivat Arkhimedesta, ja hän määritti pohdintojensa jälkeen piin arvoksi noin 22/7 eli noin 3,1428. Se poikkeaa vain 0,04 prosenttia luvusta, joksi pii nykyisin on määritetty, joten Arkhimedeen piillä saattoi hyvin tehdä käytännössä tarvittavia laskutoimituksia. Noin 250 eaa.: Pii löytyi Arkhimedes keksi myös keinon määrittää esineiden ominaispaino upottamalla ne veteen. all over press Noin 500 jaa.: Tärkeä nolla Kymmenjärjestelmä levisi maailmalle Maailmalla nykyisin yleisesti käytetty 10-kantainen järjestelmä on kotoisin Intiasta. Järjestelmässä on vain 10 erilaista numeromerkkiä, mutta yhdistelemällä niitä ja ennen kaikkea muuttamalla niiden paikkaa voidaan ilmaista loputtomasti lukuja. Ehkä tärkein intialaisten matemaattinen keksintö oli nolla, joka mahdollisti myös negatiiviset luvut. Intialainen matemaatikko Brahmagupta kirjoitti vuonna 628: Positiivisen luvun ja vastaavan negatiivisen luvun summa on nolla. Nolla oli itsenäinen luku, mutta sillä myös merkittiin tyhjää paikkaa kymmenjärjestelmässä, minkä ansiosta voitiin erottaa toisistaan esimerkiksi luvut 22, 202 ja 220. Nolla levisi Eurooppaan vasta 1200-luvun taitteessa. Arabit pelastivat matematiikan Rooman valtakunnan rappion jälkeen arabioppineet jatkoivat matematiikan tutkimista ja kehittämistä. Keskiajan arabien antia matematiikalle pidetään yhtä tärkeänä kuin antiikin kreikkalaisten panosta. Ilman arabeja muinaiset matemaattiset edistysaskeleet olisivat saattaneet kadota ainiaaksi. Länsi-Rooma mureni vuonna 476, ja vuonna 529 suljettiin viimeinen Platonin filosofikoulu. Euroopassa alkoi niin sanottu pimeä keskiaika, ja tieteiden kehitys pysähtyi. Intiassa, Kiinassa ja varsinkin Lähiidässä matematiikka kuitenkin kiinnosti enemmän kuin koskaan. Vuodesta 750 alkaen islamilaisesta maailmasta tuli matematiikan tutkimuksen keskus, ja arabioppineet tutkivat ja kehittivät kreikkalaisten ja intialaisten opetuksia. Kreikkalaiset olivat keskittyneet geometriaan, kun taas arabien huomio kiinnittyi osa-alueeseen, josta he käyttivät nimitystä al-jabr algebra. Algebrassa käytetään kirjaimia, joiden avulla voidaan laskea esimerkiksi yhtälöitä tuntematta muuttujien arvoa. Yksi kuuluisimmista arabimatemaatikoista oli persialainen al-khwarizmi, joka noin vuonna 830 kirjoitti teoksen 830: Algebra algebrasta. Al-Khwarizmin ja muiden arabioppineiden työ sekä käännöksinä säilynyt antiikin matemaattinen perintö mahdollistivat matematiikan uuden nousun Euroopassa vuosisatoja myöhemmin. Algebraa käsittelevässä teoksessaan matemaatikko al-khwarizmi muun muassa ratkaisi toisen asteen yhtälön geometrisesti. 62

5 1614: Logaritmit scanpix/akg-images Logaritmien avulla suurten lukujen kimppuun Matemaatikko ja tähtitieteilijä Johannes Kepler hyödynsi 1600-luvun alussa matematiikkaa muotoillessaan planeettojen liikkeitä koskevia lakejaan. Hänen erittäin monimutkaiset ja loputtoman tuntuiset laskelmansa täyttivät lähes tuhat muistikirjan sivua. Kepler tunnusti, että hänen omakin keskittymiskykynsä herpaantui ajoittain tähtitieteellisen suurten lukujen keskellä. Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti logaritmit, jotka osoittau tuivat ihanteellisiksi Keplerin ja muiden tähtitieteilijöiden tarpeisiin. Logaritmit helpottivat pitkiä ja monimutkaisia laskutoimituksia muut tamalla kerto- ja jakolaskuja yhteen- ja vähennyslaskuiksi. Ratkaisu löytyi logaritmitaulukosta ja myöhemmin laskutikuista, joista tuli pian yhtä yleisiä kuin taskulaskimista 1900-luvun lopussa. Ranskalainen René Descartes keksi samoihin aikoihin koor dinaatiston, joihin tähtitieteilijät saattoivat matemaattisesti sijoittaa planeettojen radat. Tähtitieteilijä Johannes Kepler käytti logaritmitaulukkoja apunaan planeettatutkimuksissaan. 1654: Todennäköi syyslaskenta Lue lisää Uhkapeluri pyysi tutkijoilta apua Peter J. Bentley: Numerot kuinka matematiikka muutti maailmaa, Ajatus, 2009 Carl B. Boyer: Tieteen kuningatar, Art House, 1994 John Gullberg & Peter Hilton: Mathematics: From the Birth of Numbers, W.W. Norton & Company, getty images Sana algoritmi juontuu Al-Khwarizmin nimen latinan kielisestä muodosta. Nykyinen todennäköisyyslaskenta syntyi epäonnisen noppapelin jälkimainingeissa. Ranskalainen uhkapeluri Antoine Gombaud harmistui vuonna 1654 kovasti hävittyään nopassa. Hän oli uskonut voittavansa varmasti, jos hän 24 nopanheiton kuluessa asettaisi panoksensa vähintään kerran sille, että hän saisi kaksi kuutosta. Hän kuitenkin hävisi. Turhautuneena tappiostaan Gombaud pyysi matemaatikkoja Blaise Pascalia ja Pierre de Fermat ta selvittämään, miksi hän ei voittanutkaan. Matemaa tikot tarttuivat haasteeseen ja tulivat kuulussa kirjeenvaihdossaan luoneeksi pohjan todennäköisyyslaskennalle. Uhkapelihäviön innoittamasta pohdiskelusta kehittyi myöhemmin matematiikan osa-alue tilastomatematiikka. Uhkapelurit tarvitsevat todennäköisyyslaskentaa ja tilastomatematiikkaa. Polfoto/corbis 63

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.

Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia. Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

Fysiikan historia Luento 2

Fysiikan historia Luento 2 Fysiikan historia Luento 2 Ibn al- Haytham (Alhazen), ensimmäinen tiedemies Keskiajan tiede Kiinnostus =iloso=iaa ja luonnontiedettä kohtaan alkoi laantua Rooman vallan kasvaessa Osa vanhasta tiedosta

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030

Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi

Lisätiedot

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)

Päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8) Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri

Lisätiedot

Hunajakakku menossa lingottavaksi

Hunajakakku menossa lingottavaksi POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat

Lisätiedot

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely

Opetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja

Lisätiedot

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla

kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla 7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.

KESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan. VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten

Lisätiedot

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä

Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009

Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,

Lisätiedot

Kuuluisat matemaatikot tutuiksi

Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Koostanut: Elina Viro Opettajalle Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Kohderyhmä: Projekti voidaan toteuttaa 7., 8., 9. luokalla, mutta 9. luokalla taustalla oleva matematiikka on tutuinta. Esitiedot: - Taustalla

Lisätiedot

Avainsanat: matematiikan historia, geometria, trigonometria

Avainsanat: matematiikan historia, geometria, trigonometria Tero Suokas OuLUMA sivu 1 Arkhimedes Syrakusalainen Avainsanat: matematiikan historia geometria trigonometria Luokkataso: 9 lk ja lukio Välineet: kynä paperia viivain harppi laskin Tavoitteet: Tehtävässä

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko

Todennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,

Lisätiedot

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE

PERUSKOULUSTA PITKÄLLE Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille

S5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

ALKULUVUISTA (mod 6)

ALKULUVUISTA (mod 6) Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen

Lisätiedot

Fibonaccin luvut ja kultainen leikkaus

Fibonaccin luvut ja kultainen leikkaus Fibonaccin luvut ja kultainen leikkaus Avainsanat: Fibonacci, lukujono, kultainen leikkaus, suhde, yhtälö Luokkataso: 6.-9.-luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, paperi (kulmaviivain, sakset) Kuvaus:

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:

Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: 9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti

Lisätiedot

Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk

Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk Koulu: Oppilas: ÄIDINKIELI Lukeminen 20. Luet kokonaisia kirjoja. 19. Osaat tehdä johtopäätöksiä lukemastasi. 18. Löydät lukemastasi tarvittavia tietoja. 17.

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka 3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA. Matti Lehtinen

MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA. Matti Lehtinen MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA Matti Lehtinen Sisällys 1 Johdanto... 5 1.1 Miksi matematiikan historiaa?... 5 1.2 Tästä luentosarjasta... 6 1.3 Matematiikan historian suuret kaudet... 6 2 Matematiikan

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Kenguru 2016 Student lukiosarja

Kenguru 2016 Student lukiosarja sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

3 Muinaiskulttuurien matematiikasta

3 Muinaiskulttuurien matematiikasta 3 MUINAISKULTTUURIEN MATEMATIIKASTA 5 3 Muinaiskulttuurien matematiikasta Nykymatematiikan monimutkainen ja abstrakti käsitemaailma pohjautuu perimmältään lukumäärää, kokoa ja muotoa koskeviin havaintoihin.

Lisätiedot

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet

Ratkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet 197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja

Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä

MATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä 14.4.4 MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan

Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet

MATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista

Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Estimointi

Matematiikan didaktiikka, osa II Estimointi Matematiikan didaktiikka, osa II Estimointi Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Arviointi Arvionti voidaan jakaa kahteen osaan; laskutoimitusten lopputulosten arviointiin ja arviontiin

Lisätiedot

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja Helsingin yliopisto, syyslukukausi 2001

Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja Helsingin yliopisto, syyslukukausi 2001 Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja Helsingin yliopisto, syyslukukausi 2001 1 Aluksi... 1 1.1 Miksi matematiikan historiaa?... 1 1.2 Tästä luentosarjasta... 1 1.3 Matematiikan historian suuret

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE

HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan

Lisätiedot

Lataa Auta lastasi matematiikassa läpi koko peruskoulun ja lukion - Carol Vorderman. Lataa

Lataa Auta lastasi matematiikassa läpi koko peruskoulun ja lukion - Carol Vorderman. Lataa Lataa Auta lastasi matematiikassa läpi koko peruskoulun ja lukion - Carol Vorderman Lataa Kirjailija: Carol Vorderman ISBN: 9789522205087 Sivumäärä: 256 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 10.73 Mb Ainutlaatuinen

Lisätiedot

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla

Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna

Lisätiedot

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9

MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 Oppiaineen tehtävä vuosiluokilla 7-9 Vuosiluokkien 7 9 matema ikan opetuksen tehtävänä on vahvistaa matemaa sta yleissivistystä. Opetuksessa syvennetään matemaattisten käsitteiden

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Monien mieleen matematiikasta tulee jonkinlainen

Monien mieleen matematiikasta tulee jonkinlainen Esipuhe Monien mieleen matematiikasta tulee jonkinlainen laskuoppi. Matemaatikkoa he saattavat pitää tyyppinä, joka tuossa tuokiossa laskee päässään, onko ravintolalasku oikein. Joillekin matematiikasta

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun

Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen

Lisätiedot

PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET

PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET Yläkoulun matematiikan oppimateriaali Pii noudattaa uuden opetussuunnitelman perusteita. Sarja tarjoaa kaikille oppijoille oman taitotasonsa mukaisia haasteita ja myönteisiä

Lisätiedot

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio

Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.

Lisätiedot

Geogebra-appletit Scifestissä

Geogebra-appletit Scifestissä Geogebra-appletit Scifestissä Raportti Henri Heiskanen 185703 Itä-Suomen yliopisto 29. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Pajan suunnittelu ja applettien taustateoria 1 3 Geogebra-appletit 2 4 Pohdintaa

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

Laaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9

Laaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9 Matematiikan tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle

Lisätiedot

Lectio praecursoria Matti Katila, 6.2.2004

Lectio praecursoria Matti Katila, 6.2.2004 Lectio praecursoria Matti Katila, 6.2.2004 Arvoisa vastaväittäjä, arvoisa kustos, hyvä yleisö, Erään sanomalehden tiedesivuilla todettiin, että ihmiset ja kehittyneet eläimet, kuten esimerkiksi harakat,

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet

1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet MATEMATIIKKA Matematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimiseen.

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Sisällys. 3. Pseudokoodi. Johdanto. Johdanto. Johdanto ja esimerkki. Pseudokoodi lauseina. Kommentointi ja sisentäminen.

Sisällys. 3. Pseudokoodi. Johdanto. Johdanto. Johdanto ja esimerkki. Pseudokoodi lauseina. Kommentointi ja sisentäminen. Sisällys 3. Pseudokoodi Johdanto ja esimerkki. Pseudokoodi lauseina. Kommentointi ja sisentäminen. Ohjausrakenteet: Valinta if- ja if--rakenteilla. oisto while-, do-while- ja for-rakenteilla. 3.1 3.2 Johdanto

Lisätiedot

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.

Oppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana. Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.

Kuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä. POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Turmeleeko ohjelmointi nuorisomme?

Turmeleeko ohjelmointi nuorisomme? Solmu 2/2015 1 Turmeleeko ohjelmointi nuorisomme? Antti Laaksonen Tietojenkäsittelytieteen laitos, Helsingin yliopisto ahslaaks@cs.helsinki.fi Uuden peruskoulun opetussuunnitelman mukaan syksystä 2016

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lataa Perspektiivikuvan geometriset perusteet - Simo Kivelä. Lataa

Lataa Perspektiivikuvan geometriset perusteet - Simo Kivelä. Lataa Lataa Perspektiivikuvan geometriset perusteet - Simo Kivelä Lataa Kirjailija: Simo Kivelä ISBN: 9789525491494 Sivumäärä: 116 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 14.81 Mb Luontevien kuvien piirtäminen kolmiulotteisista

Lisätiedot

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta

8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta 8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä

Lisätiedot

MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA 2014. Matti Lehtinen

MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA 2014. Matti Lehtinen MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA 2014 Matti Lehtinen Sisällys 1 Johdanto... 5 1.1 Miksi matematiikan historiasta pitäisi tietä jotakin?... 5 1.2 Tästä luentosarjasta... 6 1.3 Matematiikan historian suuret

Lisätiedot

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Kompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien

Lisätiedot

10. Kerto- ja jakolaskuja

10. Kerto- ja jakolaskuja 10. Kerto- ja jakolaskuja * Kerto- ja jakolaskun käsitteistä * Multiplikare * Kertolaatikot * Lyhyet kertotaulut * Laskujärjestys Aiheesta muualla: Luku 14: Algoritmien konkretisointia s. 87 Luku 15: Ajan

Lisätiedot

Kaks`Kättä työpaja/ Taloushallinto. Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.

Kaks`Kättä työpaja/ Taloushallinto. Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8. Kaks`Kättä työpaja/ Taloushallinto Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.2018) tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!

Aiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan! Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen

Lisätiedot

Lataa Matikka 10 - Pentti K. Laaksonen. Lataa

Lataa Matikka 10 - Pentti K. Laaksonen. Lataa Lataa Matikka 10 - Pentti K. Laaksonen Lataa Kirjailija: Pentti K. Laaksonen ISBN: 9789525819090 Sivumäärä: 105 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 17.48 Mb Matikka Kymppi -kirja sisältää yläkoulun matematiikan

Lisätiedot

Peruslaskutoimitukset Mittayksiköiden muunnokset Geometria Talousmatematiikka

Peruslaskutoimitukset Mittayksiköiden muunnokset Geometria Talousmatematiikka Työpaja Junki, Kauhava Työpajan puuosasto Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.2018) Peruslaskutoimitukset Mittayksiköiden muunnokset Geometria Talousmatematiikka

Lisätiedot