Hyvä käyttäjä! Tekijänoikeudellisista syistä osa kuvista on poistettu. Ystävällisin terveisin. Toimitus
|
|
- Iivari Pakarinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Hyvä käyttäjä! Tämä pdf-tiedosto on ladattu Tieteen Kuvalehti Historia -lehden verkkosivuilta ( Tiedosto on tarkoitettu henkilökohtaiseen käyttöön, eikä sitä saa luovuttaa kolmannelle osapuolelle. Tekijänoikeudellisista syistä osa kuvista on poistettu. Ystävällisin terveisin Toimitus
2 Arkielämä vuotta sitt en: Kuukalenteri Royal Belgian Institute of Natural Sciences & shutterstock Matematiikan pitkä historia Ihminen lajina on lähtöisin Afrikasta, ja sieltä ovat peräisin myös ensimmäiset merkit matematiikasta. Tutkijat löysivät Lebombovuorilta nykyisestä Swazimaasta 1970-luvulla niin kutsutun Lebombon luun, johon esihistoriallinen ihminen on raa put tanut yksinkertaisia matemaattisina pidettyjä merkintöjä. Noin vuotta vanhaan luuhun on kaiverrettu 29 viivaa, ja sen on tulkittu olevan varhainen yritys pitää lukua Kuun vaiheista tai naisen kuukautiskierrosta. Kongon demokraattisesta tasavallasta löytynyt niin sanottu Ishangon luu on puolestaan noin vuotta vanha, ja siihen on raaputettu viivoja kolmeen sarakkeeseen. Ilmeisesti silläkin on seurattu Kuun vaiheita, mutta sen on myös väitetty edustavan korkeampaa matematiikkaa. Ishangon luun viivoja on saatettu käyttää apuna yksinkertaisissa kerto- ja jakolaskuissa. Egyptin kirjurit osasivat laskea niin palkkoja kuin pyramidien pinta-alojakin. Morten Thomsen Lessing archive Varhaisimmat merkit matematiikasta ovat viivoja vuotta vanhassa luussa. Kaikki tärkeät korkeakulttuurit ovat antaneet oman panoksensa matematiikan kehitykseen, ja jokainen matemaattinen edistysaskel on myös aina vauhdittanut ihmiskunnan kulttuurista kehitystä. Matematiikan merkkihetkiä 60
3 1850 eaa.: Murtolukuja Matematiikka mahdollisti muinaisen Egyptin ihmeet Muinaisessa Egyptissä matematiikkaa tarvittiin työläisten palkkojen maksuun, verojen keräämiseen ja faraoiden hautamuistomerkkien rakentamiseen. Muinaisen Egyptin yhteiskunta oli riippuvainen matematiikasta: kansalta kerättiin veroa viljan ja muiden tuotteiden muodossa, valtion virkamiehille maksettiin rahapalkkaa, eikä pyramideja tai muita mahtavia monumentteja olisi voitu rakentaa ilman matemaattista osaamista. Niin kutsuttu Rhindin papyrus noin vuodelta 1850 eaa. sisältää muun muassa opettajan oppilailleen antamat 87 laskutehtävää. Mukana on kerto- ja jakolaskuja sekä laskuja murtoluvuilla, joissa osoittaja on 1. Yksi tehtävistä on esimerkiksi jakaa seitsemän leipää 10 miehelle. Mukana oli myös kolmioiden pinta-alan ja sylinterin tilavuuden laskemista. Monia Rhindin papyruksessa kuvattuja periaatteita hyödynnettiin vielä tuhat vuotta myöhemmin antiikin Kreikan matematiikassa. Rhindin papyrus sisältää matemaattisia tehtäviä jakolaskuista geometriaan. Egyptin hieroglyfinumeroita Egyptiläisiä lukuja = miljoona = lessing archive 1800 eaa.: Algebran alkeet Babylonialaiset kauppiaat olivat aikaansa edellä Babylonialaiset olivat innokasta kauppiaskansaa, ja siksi he tarvitsivat runsaasti matemaattisia apuvälineitä. Löytyneiden savitaulujen perusteella tiedetään, että babylonialaiset osasivat käyttää potenssilaskuja sekä neliö- ja kuutiojuuria. Kuuluisin matemaattisista savitauluista on niin kutsuttu Plimpton 322 -taulu, joka on ajoitettu 1800-luvulle eaa. Siitä näkyy muun muassa, että babylonialaiset osasivat määrit tää suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituuden; nykyisin mene telmä tunnetaan vuotta myöhemmin eläneen kreikkalaisen matemaatikon mukaan Pythagoraan lauseena. Babylonialaisilla oli 60- kantainen järjestelmä, jota käytetään yhä ajan mittauksessa ja tarkoissa kulmien astemittauksissa. gribeco 300 eaa.: Geometria Geometria kehittyi antiikin Kreikassa Kreikkalainen Eukleides kirjoitti noin vuonna 300 eaa. teoksen Stoikheia eli Alkeet, latinaksi Elementa, jossa hän esitti kaiken siihenastisen matemaattisen tiedon painottaen erityisesti geometriaa. Myös kuuluisa Pythagoraan lause a 2 + b 2 = c 2, jonka avulla lasketaan suorakulmaisen kolmion pitkän sivun pituus, oli mukana. Alkeet hallitsi länsimaista matematiikkaa yli vuoden ajan. Babylonian nuolenpäänumeroita Plimpton 322 -savitaulussa on varhaisen historiallisen ajan edistyneintä matematiikkaa. Eukleides paneutui muun muassa Pythagoraan lauseeseen. c b a
4 Arkielämä Arkhimedeen ympyrät Kreikkalainen matemaatikko Arkhimedes ratkaisi vuoden 250 eaa. paikkeilla yhden antiikin kolmesta suuresta matemaattisesta ongelmasta, kun hän määritti piin eli luvun, jota merkitään nykyisin kreikkalaisella kirjaimella π. Jo egyptiläiset ja babylonialaiset olivat vuosituhansien ajan yrittäneet laskea ympyrän halkaisijan ja ympärysmitan eli kehän suhdetta. Geometria ja varsinkin ympyrät kiehtoivat Arkhimedesta, ja hän määritti pohdintojensa jälkeen piin arvoksi noin 22/7 eli noin 3,1428. Se poikkeaa vain 0,04 prosenttia luvusta, joksi pii nykyisin on määritetty, joten Arkhimedeen piillä saattoi hyvin tehdä käytännössä tarvittavia laskutoimituksia. Noin 250 eaa.: Pii löytyi Arkhimedes keksi myös keinon määrittää esineiden ominaispaino upottamalla ne veteen. all over press Noin 500 jaa.: Tärkeä nolla Kymmenjärjestelmä levisi maailmalle Maailmalla nykyisin yleisesti käytetty 10-kantainen järjestelmä on kotoisin Intiasta. Järjestelmässä on vain 10 erilaista numeromerkkiä, mutta yhdistelemällä niitä ja ennen kaikkea muuttamalla niiden paikkaa voidaan ilmaista loputtomasti lukuja. Ehkä tärkein intialaisten matemaattinen keksintö oli nolla, joka mahdollisti myös negatiiviset luvut. Intialainen matemaatikko Brahmagupta kirjoitti vuonna 628: Positiivisen luvun ja vastaavan negatiivisen luvun summa on nolla. Nolla oli itsenäinen luku, mutta sillä myös merkittiin tyhjää paikkaa kymmenjärjestelmässä, minkä ansiosta voitiin erottaa toisistaan esimerkiksi luvut 22, 202 ja 220. Nolla levisi Eurooppaan vasta 1200-luvun taitteessa. Arabit pelastivat matematiikan Rooman valtakunnan rappion jälkeen arabioppineet jatkoivat matematiikan tutkimista ja kehittämistä. Keskiajan arabien antia matematiikalle pidetään yhtä tärkeänä kuin antiikin kreikkalaisten panosta. Ilman arabeja muinaiset matemaattiset edistysaskeleet olisivat saattaneet kadota ainiaaksi. Länsi-Rooma mureni vuonna 476, ja vuonna 529 suljettiin viimeinen Platonin filosofikoulu. Euroopassa alkoi niin sanottu pimeä keskiaika, ja tieteiden kehitys pysähtyi. Intiassa, Kiinassa ja varsinkin Lähiidässä matematiikka kuitenkin kiinnosti enemmän kuin koskaan. Vuodesta 750 alkaen islamilaisesta maailmasta tuli matematiikan tutkimuksen keskus, ja arabioppineet tutkivat ja kehittivät kreikkalaisten ja intialaisten opetuksia. Kreikkalaiset olivat keskittyneet geometriaan, kun taas arabien huomio kiinnittyi osa-alueeseen, josta he käyttivät nimitystä al-jabr algebra. Algebrassa käytetään kirjaimia, joiden avulla voidaan laskea esimerkiksi yhtälöitä tuntematta muuttujien arvoa. Yksi kuuluisimmista arabimatemaatikoista oli persialainen al-khwarizmi, joka noin vuonna 830 kirjoitti teoksen 830: Algebra algebrasta. Al-Khwarizmin ja muiden arabioppineiden työ sekä käännöksinä säilynyt antiikin matemaattinen perintö mahdollistivat matematiikan uuden nousun Euroopassa vuosisatoja myöhemmin. Algebraa käsittelevässä teoksessaan matemaatikko al-khwarizmi muun muassa ratkaisi toisen asteen yhtälön geometrisesti. 62
5 1614: Logaritmit scanpix/akg-images Logaritmien avulla suurten lukujen kimppuun Matemaatikko ja tähtitieteilijä Johannes Kepler hyödynsi 1600-luvun alussa matematiikkaa muotoillessaan planeettojen liikkeitä koskevia lakejaan. Hänen erittäin monimutkaiset ja loputtoman tuntuiset laskelmansa täyttivät lähes tuhat muistikirjan sivua. Kepler tunnusti, että hänen omakin keskittymiskykynsä herpaantui ajoittain tähtitieteellisen suurten lukujen keskellä. Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti logaritmit, jotka osoittau tuivat ihanteellisiksi Keplerin ja muiden tähtitieteilijöiden tarpeisiin. Logaritmit helpottivat pitkiä ja monimutkaisia laskutoimituksia muut tamalla kerto- ja jakolaskuja yhteen- ja vähennyslaskuiksi. Ratkaisu löytyi logaritmitaulukosta ja myöhemmin laskutikuista, joista tuli pian yhtä yleisiä kuin taskulaskimista 1900-luvun lopussa. Ranskalainen René Descartes keksi samoihin aikoihin koor dinaatiston, joihin tähtitieteilijät saattoivat matemaattisesti sijoittaa planeettojen radat. Tähtitieteilijä Johannes Kepler käytti logaritmitaulukkoja apunaan planeettatutkimuksissaan. 1654: Todennäköi syyslaskenta Lue lisää Uhkapeluri pyysi tutkijoilta apua Peter J. Bentley: Numerot kuinka matematiikka muutti maailmaa, Ajatus, 2009 Carl B. Boyer: Tieteen kuningatar, Art House, 1994 John Gullberg & Peter Hilton: Mathematics: From the Birth of Numbers, W.W. Norton & Company, getty images Sana algoritmi juontuu Al-Khwarizmin nimen latinan kielisestä muodosta. Nykyinen todennäköisyyslaskenta syntyi epäonnisen noppapelin jälkimainingeissa. Ranskalainen uhkapeluri Antoine Gombaud harmistui vuonna 1654 kovasti hävittyään nopassa. Hän oli uskonut voittavansa varmasti, jos hän 24 nopanheiton kuluessa asettaisi panoksensa vähintään kerran sille, että hän saisi kaksi kuutosta. Hän kuitenkin hävisi. Turhautuneena tappiostaan Gombaud pyysi matemaatikkoja Blaise Pascalia ja Pierre de Fermat ta selvittämään, miksi hän ei voittanutkaan. Matemaa tikot tarttuivat haasteeseen ja tulivat kuulussa kirjeenvaihdossaan luoneeksi pohjan todennäköisyyslaskennalle. Uhkapelihäviön innoittamasta pohdiskelusta kehittyi myöhemmin matematiikan osa-alue tilastomatematiikka. Uhkapelurit tarvitsevat todennäköisyyslaskentaa ja tilastomatematiikkaa. Polfoto/corbis 63
Platonin kappaleet. Avainsanat: geometria, matematiikan historia. Luokkataso: 6-9, lukio. Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia.
Tero Suokas OuLUMA, sivu 1 Platonin kappaleet Avainsanat: geometria, matematiikan historia Luokkataso: 6-9, lukio Välineet: Polydron-rakennussarja, kynä, paperia Tavoitteet: Tehtävässä tutustutaan matematiikan
LisätiedotMatematiikka vuosiluokat 7 9
Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa
LisätiedotFysiikan historia Luento 2
Fysiikan historia Luento 2 Ibn al- Haytham (Alhazen), ensimmäinen tiedemies Keskiajan tiede Kiinnostus =iloso=iaa ja luonnontiedettä kohtaan alkoi laantua Rooman vallan kasvaessa Osa vanhasta tiedosta
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
kevät 2014 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan avoin yliopisto / kevät 2013 1 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
s16 Talousmatematiikan perusteet ORMS.1030 Matti Laaksonen, (Matemaattiset tieteet / Vaasan yliopisto) Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi Opettajan kotisivu: http://lipas.uwasa.fi/ mla/ puh. 044 344 2757
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet ORMS.1030
orms.1030 Vaasan yliopisto / kevät 2015 Talousmatematiikan perusteet Matti Laaksonen Matemaattiset tieteet, Vaasan yliopisto Vastaanotto to 11-12 huone D110/Tervahovi Sähköposti: matti.laaksonen@uva.fi
LisätiedotPäättöarvioinnin kriteerit arvosanalle hyvä (8)
Tavoitteet Jokaisella oppilaalla on peruskoulun aikana mahdollisuus hankkia matemaattiset perustiedot ja -taidot, jotka antavat valmiuden luovaan matemaattiseen ajatteluun ja taitojen soveltamiseen eri
LisätiedotHunajakakku menossa lingottavaksi
POHDIN projekti Hunajakenno Mehiläispesän rakentuminen alkaa kennoista. Kenno on mehiläisvahasta valmistettu kuusikulmainen lieriö, joka jokaiselta sivultaan rajoittuu toisiin kennoihin. Hunajakennot muodostavat
LisätiedotOpetusmateriaali. Fermat'n periaatteen esittely
Opetusmateriaali Fermat'n periaatteen esittely Hengenpelastajan tehtävässä kuvataan miten hengenpelastaja yrittää hakea nopeinta reittiä vedessä apua tarvitsevan ihmisen luo - olettaen, että hengenpelastaja
Lisätiedotkymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen 60-järjestelmään kellonaikojen avulla
7.6.1 MATEMATIIKKA VUOSILUOKAT 3 5 Vuosiluokkien 3 5 matematiikan opetuksen ydintehtävinä ovat matemaattisen ajattelun kehittäminen, matemaattisten ajattelumallien oppimisen pohjustaminen, lukukäsitteen
Lisätiedot+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain
Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain
LisätiedotKESKEISET SISÄLLÖT Keskeiset sisällöt voivat vaihdella eri vuositasoilla opetusjärjestelyjen mukaan.
VUOSILUOKAT 6 9 Vuosiluokkien 6 9 matematiikan opetuksen ydintehtävänä on syventää matemaattisten käsitteiden ymmärtämistä ja tarjota riittävät perusvalmiudet. Perusvalmiuksiin kuuluvat arkipäivän matemaattisten
LisätiedotEukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä
Eukleidinen geometria aksiomaattisena systeeminä Harri Mäkinen Kreikkalaisen Eukleides Aleksandrialaisen noin 300 vuotta ennen ajanlaskun alkua kirjoittama Alkeet (kreikaksi Stoikheia, latinaksi Elementa),
LisätiedotPeruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009
Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailun tulosten ja tehtävien analysointi vuodelta 2009 Anastasia Vlasova Peruskoulun matematiikkakilpailutyöryhmä Tämän työn tarkoituksena oli saada käsitys siitä,
LisätiedotKuuluisat matemaatikot tutuiksi
Koostanut: Elina Viro Opettajalle Kuuluisat matemaatikot tutuiksi Kohderyhmä: Projekti voidaan toteuttaa 7., 8., 9. luokalla, mutta 9. luokalla taustalla oleva matematiikka on tutuinta. Esitiedot: - Taustalla
LisätiedotAvainsanat: matematiikan historia, geometria, trigonometria
Tero Suokas OuLUMA sivu 1 Arkhimedes Syrakusalainen Avainsanat: matematiikan historia geometria trigonometria Luokkataso: 9 lk ja lukio Välineet: kynä paperia viivain harppi laskin Tavoitteet: Tehtävässä
Lisätiedotmatematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117
LisätiedotTodennäköisyys. Antoine Gombaud, eli chevalier de Méré?.? Kirjailija ja matemaatikko
Todennäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Todennäköisyyslaskennan juuret ovat ~1650-luvun uhkapeleissä. Kreivi de Mérén noppapelit: Jos noppaa heitetään 4 kertaa, niin kannattaako lyödä vetoa sen puolesta,
LisätiedotPERUSKOULUSTA PITKÄLLE
Raimo Seppänen Tytti Kiiski PERUSKOULUSTA PITKÄLLE KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ LUKION PITKÄLLE MATEMATIIKALLE JA MATEMATIIKKAA VAATIVAAN AMMATILLISEEN KOULUTUKSEEN MFKA-KUSTANNUS OY HELSINKI 2007 SISÄLLYS
Lisätiedotniin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.
Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-
LisätiedotS5-S9 L1, L2, L4, L5, L6, L7 havaintojensa pohjalta kannustaa oppilasta esittämään ratkaisujaan ja päätelmiään muille
MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden
LisätiedotHUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen
LisätiedotALKULUVUISTA (mod 6)
Oulun Yliopisto Kandidaatintutkielma ALKULUVUISTA (mod 6) Marko Moilanen Opiskelijanro: 1681871 17. joulukuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Tutkielman sisältö........................ 2 1.2 Alkulukujen
LisätiedotFibonaccin luvut ja kultainen leikkaus
Fibonaccin luvut ja kultainen leikkaus Avainsanat: Fibonacci, lukujono, kultainen leikkaus, suhde, yhtälö Luokkataso: 6.-9.-luokka, lukio, yliopisto Välineet: Kynä, paperi (kulmaviivain, sakset) Kuvaus:
Lisätiedot9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa
9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotOppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein:
9.8. MATEMATIIKKA Oppiaineen opetussuunnitelmaan on merkitty oppiaineen opiskelun yhteydessä toteutuva aihekokonaisuuksien ( = AK) käsittely seuraavin lyhentein: AK 1 = Ihmisenä kasvaminen AK 2 = Kulttuuri-identiteetti
LisätiedotVetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk
Vetelin kunta Oppimisen seurantalomake 0-2 lk Koulu: Oppilas: ÄIDINKIELI Lukeminen 20. Luet kokonaisia kirjoja. 19. Osaat tehdä johtopäätöksiä lukemastasi. 18. Löydät lukemastasi tarvittavia tietoja. 17.
LisätiedotTasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
LisätiedotKenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka
3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta
LisätiedotMATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA. Matti Lehtinen
MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA Matti Lehtinen Sisällys 1 Johdanto... 5 1.1 Miksi matematiikan historiaa?... 5 1.2 Tästä luentosarjasta... 6 1.3 Matematiikan historian suuret kaudet... 6 2 Matematiikan
LisätiedotLAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
LisätiedotKenguru 2016 Student lukiosarja
sivu 1 / 9 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä
Lisätiedot3 Muinaiskulttuurien matematiikasta
3 MUINAISKULTTUURIEN MATEMATIIKASTA 5 3 Muinaiskulttuurien matematiikasta Nykymatematiikan monimutkainen ja abstrakti käsitemaailma pohjautuu perimmältään lukumäärää, kokoa ja muotoa koskeviin havaintoihin.
LisätiedotRatkaisut Tarkastelemme kolmiota ABC, jonka sivujen pituudet ovat!, & ja ' ja niiden vastaiset korkeudet
197 Lausu logaritmeja käyttämättä jaksollisen desimaaliluvun (kymmenysluvun) 0,578703703 kuutiojuuri jaksollisena desimaalilukuna. [S3, pitempi kurssi] Ratkaisut 1917 197 1917 Tarkastelemme kolmiota ABC,
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotMatemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja
Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä
LisätiedotOulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut
Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN
HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE - kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun - kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan
LisätiedotMATEMATIIKKA. Oppiaineen tehtävä
14.4.4 MATEMATIIKKA Oppiaineen tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden
LisätiedotMatemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
LisätiedotI Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien
I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen
LisätiedotMerkitys, arvot ja asenteet 7 Ei vaikuta arvosanan
Oppiaineen nimi: MATEMATIIKKA 7-9 Vuosiluokat Opetuksen tavoite Sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Arvioinnin kohteet oppiaineessa Hyvä/arvosanan kahdeksan osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet 7 Ei
LisätiedotMatematiikka ja teknologia, kevät 2011
Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:
LisätiedotMATEMATIIKKA VL LUOKKA. Laaja-alainen osaaminen. liittyvät sisältöalueet
MATEMATIIKKA VL.7-9 7.LUOKKA Opetuksen tavoitteet Tavoitteisiin liittyvät sisältöalueet Laaja-alainen osaaminen Merkitys, arvot ja asenteet T1 vahvistaa oppilaan motivaatiota, myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
Lisätiedot5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä
5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa
LisätiedotKontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista
J Pahikkala Kontraharmonisesta keskiarvosta ja Pythagoraan luvuista Erilaisia lukujen keskiarvoja on useita tunnetuimmat ovat tavallinen eli aritmeettinen keskiarvo ja keskiverto eli geometrinen keskiarvo
LisätiedotMatematiikan didaktiikka, osa II Estimointi
Matematiikan didaktiikka, osa II Estimointi Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Arviointi Arvionti voidaan jakaa kahteen osaan; laskutoimitusten lopputulosten arviointiin ja arviontiin
LisätiedotMatti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja Helsingin yliopisto, syyslukukausi 2001
Matti Lehtinen: Matematiikan historian luentoja Helsingin yliopisto, syyslukukausi 2001 1 Aluksi... 1 1.1 Miksi matematiikan historiaa?... 1 1.2 Tästä luentosarjasta... 1 1.3 Matematiikan historian suuret
LisätiedotKun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.
Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =
Lisätiedot4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE
HELSINGIN YLIOPISTON VIIKIN NORMAALIKOULUN MATEMATIIKAN OPETUSSUUNNITELMA TAVOITTEET 1. LUOKALLE kykenee keskittymään matematiikan opiskeluun kykenee kertomaan suullisesti matemaattisesta ajattelustaan
LisätiedotLataa Auta lastasi matematiikassa läpi koko peruskoulun ja lukion - Carol Vorderman. Lataa
Lataa Auta lastasi matematiikassa läpi koko peruskoulun ja lukion - Carol Vorderman Lataa Kirjailija: Carol Vorderman ISBN: 9789522205087 Sivumäärä: 256 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 10.73 Mb Ainutlaatuinen
LisätiedotMurtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla
Murtolukujen peruslaskutoimitukset Cuisenairen lukusauvoilla 1. Tehtävänanto Pohdi kuinka opettaisit yläasteen oppilaille murtolukujen peruslaskutoimitukset { +, -, *, / } Cuisenairen lukusauvoja apuna
LisätiedotMATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9
MATEMATIIKKA/Vuosiluokat 7-9 Oppiaineen tehtävä vuosiluokilla 7-9 Vuosiluokkien 7 9 matema ikan opetuksen tehtävänä on vahvistaa matemaa sta yleissivistystä. Opetuksessa syvennetään matemaattisten käsitteiden
Lisätiedot15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
LisätiedotReaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:
Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:
LisätiedotMonien mieleen matematiikasta tulee jonkinlainen
Esipuhe Monien mieleen matematiikasta tulee jonkinlainen laskuoppi. Matemaatikkoa he saattavat pitää tyyppinä, joka tuossa tuokiossa laskee päässään, onko ravintolalasku oikein. Joillekin matematiikasta
LisätiedotKenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)
Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan
LisätiedotAloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun
Aloitustunti MAA22 Starttikurssi pitkän matematiikan opiskeluun 13. elokuuta 2015 Miksi matikkaa Erityisen tärkeää teknillisillä ja luonnontieteellisillä aloilla Ohjelmointi ja tietojenkäsittelytiede Lääketieteellinen
LisätiedotPII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET
PII JA OPETUSSUUNNITELMAN PERUSTEET Yläkoulun matematiikan oppimateriaali Pii noudattaa uuden opetussuunnitelman perusteita. Sarja tarjoaa kaikille oppijoille oman taitotasonsa mukaisia haasteita ja myönteisiä
LisätiedotMika Setälä Lehtori Lempäälän lukio
LOPS 2016 matematiikka Mika Setälä Lehtori Lempäälän lukio Millainen on input? Oppilaiden lähtötaso edellisiin lukion opetussuunnitelmiin nähden pitää huomioida kun lukion uutta opetussuunnitelmaa tehdään.
LisätiedotGeogebra-appletit Scifestissä
Geogebra-appletit Scifestissä Raportti Henri Heiskanen 185703 Itä-Suomen yliopisto 29. huhtikuuta 2014 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Pajan suunnittelu ja applettien taustateoria 1 3 Geogebra-appletit 2 4 Pohdintaa
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotYMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne
YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana
LisätiedotTarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m
MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista
LisätiedotMatematiikan didaktiikka, osa II Algebra
Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.
LisätiedotLaaja-alaiseen osaamiseen liittyvät painotukset matematiikassa vuosiluokilla 1-9
Matematiikan tehtävä Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaiden loogista, täsmällistä ja luovaa matemaattista ajattelua. Opetus luo pohjan matemaattisten käsitteiden ja rakenteiden ymmärtämiselle
LisätiedotLectio praecursoria Matti Katila, 6.2.2004
Lectio praecursoria Matti Katila, 6.2.2004 Arvoisa vastaväittäjä, arvoisa kustos, hyvä yleisö, Erään sanomalehden tiedesivuilla todettiin, että ihmiset ja kehittyneet eläimet, kuten esimerkiksi harakat,
LisätiedotMATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen
MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotKappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
Lisätiedot1 lk Tavoitteet. 2 lk Tavoitteet
MATEMATIIKKA Matematiikan opetuksen tehtävänä on tarjota mahdollisuuksia matemaattisen ajattelun kehittämiseen ja matemaattisten käsitteiden sekä yleisimmin käytettyjen ratkaisumenetelmien oppimiseen.
Lisätiedot[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]
2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...
Lisätiedot3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?
Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.
LisätiedotSisällys. 3. Pseudokoodi. Johdanto. Johdanto. Johdanto ja esimerkki. Pseudokoodi lauseina. Kommentointi ja sisentäminen.
Sisällys 3. Pseudokoodi Johdanto ja esimerkki. Pseudokoodi lauseina. Kommentointi ja sisentäminen. Ohjausrakenteet: Valinta if- ja if--rakenteilla. oisto while-, do-while- ja for-rakenteilla. 3.1 3.2 Johdanto
LisätiedotOppilas vahvistaa opittuja taitojaan, kiinnostuu oppimaan uutta ja saa tukea myönteisen minäkuvan kasvuun matematiikan oppijana.
Tavoitteet S L 3. lk 4. lk 5. lk 6. lk Merkitys, arvot ja asenteet T1 pitää yllä oppilaan innostusta ja kiinnostusta matematiikkaa kohtaan sekä tukea myönteistä minäkuvaa ja itseluottamusta L1, L3, L5
LisätiedotHelsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
LisätiedotKuva Suomen päätieverkko 1 Moottoritiet on merkitty karttaan vihreällä, muut valtatiet punaisella ja kantatiet keltaisella värillä.
POHDIN projekti TIEVERKKO Tieverkon etäisyyksien minimointi ja esimerkiksi maakaapeleiden kokonaismäärän minimointi sekä ylipäätään äärellisen pistejoukon yhdistäminen reitityksillä toisiinsa niin, että
Lisätiedot1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotTurmeleeko ohjelmointi nuorisomme?
Solmu 2/2015 1 Turmeleeko ohjelmointi nuorisomme? Antti Laaksonen Tietojenkäsittelytieteen laitos, Helsingin yliopisto ahslaaks@cs.helsinki.fi Uuden peruskoulun opetussuunnitelman mukaan syksystä 2016
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotLataa Perspektiivikuvan geometriset perusteet - Simo Kivelä. Lataa
Lataa Perspektiivikuvan geometriset perusteet - Simo Kivelä Lataa Kirjailija: Simo Kivelä ISBN: 9789525491494 Sivumäärä: 116 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 14.81 Mb Luontevien kuvien piirtäminen kolmiulotteisista
Lisätiedot8.1 Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta
8. Murtoluvun määritelmä - murtoluvulla tarkoitetaan aina osaa (osia) jostakin kokonaisuudesta - oheisessa kuvassa ympyrä on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joista kukin osa on yksi kolmasosa koko ympyrästä
LisätiedotMATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA 2014. Matti Lehtinen
MATEMATIIKAN HISTORIAN LUENTOJA 2014 Matti Lehtinen Sisällys 1 Johdanto... 5 1.1 Miksi matematiikan historiasta pitäisi tietä jotakin?... 5 1.2 Tästä luentosarjasta... 6 1.3 Matematiikan historian suuret
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
Lisätiedot10. Kerto- ja jakolaskuja
10. Kerto- ja jakolaskuja * Kerto- ja jakolaskun käsitteistä * Multiplikare * Kertolaatikot * Lyhyet kertotaulut * Laskujärjestys Aiheesta muualla: Luku 14: Algoritmien konkretisointia s. 87 Luku 15: Ajan
LisätiedotKaks`Kättä työpaja/ Taloushallinto. Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.
Kaks`Kättä työpaja/ Taloushallinto Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.2018) tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotAiemmin opittu. Jakson tavoitteet. Ajankäyttö. Tutustu kirjaan!
Aiemmin opittu Perusopetuksen opetussuunnitelman mukaan seuraavat lukuihin ja laskutoimituksiin liittyvät sisällöt on käsitelty vuosiluokilla 3 5: kymmenjärjestelmä-käsitteen varmentaminen, tutustuminen
LisätiedotLataa Matikka 10 - Pentti K. Laaksonen. Lataa
Lataa Matikka 10 - Pentti K. Laaksonen Lataa Kirjailija: Pentti K. Laaksonen ISBN: 9789525819090 Sivumäärä: 105 Formaatti: PDF Tiedoston koko: 17.48 Mb Matikka Kymppi -kirja sisältää yläkoulun matematiikan
LisätiedotPeruslaskutoimitukset Mittayksiköiden muunnokset Geometria Talousmatematiikka
Työpaja Junki, Kauhava Työpajan puuosasto Matemaattis-luonnontieteellinen osaaminen pakolliset osaamistavoitteet, 4 osp (voimaan 1.8.2018) Peruslaskutoimitukset Mittayksiköiden muunnokset Geometria Talousmatematiikka
Lisätiedot