TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1

Transkriptio

1 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Käsitteitä: Tilastoja voidaan havainnollistaa: o Tilastokuvioilla eli diagrammeilla Tavallisimmin käytettyjä tilastokuvioita ovat pylväsdiagrammit Muodostuu erillisistä yhtä leveistä pylväistä Voivat olla pysty tai vaaka pylväitä o Piirakkakuvioilla eli sektoridiagrammeilla Voidaan käyttää osuuksien havainnollistamiseen Hankala hahmottaa lähes yhtä suurten osuuksien suuruusjärjestystä o 3D tilastokuviot Hankalia hahmottaa, varsinkin perspektiivisissä kuvissa Esiintymiskertojen lukumäärä eli frekvenssi o Yleisin esiintymiskerta on tyyppiarvo eli moodi o Keskiarvo on kaikkien esiintymiskertojen summa jaettuna esiintymiskertojen lukumäärällä Keskiarvo voidaan laskea kahdella tavalla: Ensimmäinen tapa on laskea kaikki yhteen ja jakaa lukumäärällä Toinen tapa on laskea summa siten, että jokainen esiintymiskerta kerrotan omalla frekvenssillään o Esiintymiskertojen jakaumaa voidaan havainnollistaa mm. pylväkuvioilla tai janakuvoilla. Janakuviossa jokaisen esiintymiskerran kohdalle piirretään jana, jonka korkeus vastaa frekvenssiä Jakauma o Tilastollisissa tutkimuksissa tutkitaan tilastollisen muuttujan jossain havaintoaineistossa saamien arvojen jakaumaa. Jakauma saadaan selville, kun havaintoarvoista laaditaan frekvenssitaulukko. o Jakaumaa kuvaillaan erilaisilla tilastollisilla tunnusluvuilla, kuten tyyppiarvolla ja keskiarvolla Tyyppiarvo eli moodi o On havaintoaineistossa yleisimmin esiintyvä muuttujan arvo Keskiarvo o On havaintoarvojen summa jaettuna havaintojen lukumäärällä Suhteellinen frekvenssi on tilastollisten muuttujien esiintymiskertojen suhde prosentteina o Haluttaessa laskea suhteellisesta frekvenssistä keskiarvo, voidaan toimia kuten tavallisen keskiarvolaskun kohdalla Luokittelu o Sopivan luokittelun valitseminen kannattaa aloitta etsimällä havaintoainestosta pienin ja suurin havainto o Valitaan tasalevyiset luokat havaintojakauman välille o Laaditaan frekvenssitaulukko, josta jätetään pois nolla havainnot o Riitävän hyvä arvio keskimääräiselle havaintojakaumalle, kun lasketaan keskiarvo luokitellusta aineistosta o Keskiarvon laskemista vartren jokaista luokkaa edustamaan valitaan yksi luku, ns. luokkakeskus. Luokkakeskus on luokan todellisten rajojen keskiarvo o Pyöristyksessä käytetään normaaleja pyöristyssääntöjä Histogrammi o Luokiteltua havaintoaineistoa havainnollistetaan histogrammilla. Histogrammi muodostuu toisissaan kiinni olevista pylväistä. Histogrammissa kunkin luokan todellisen ala- ja ylärajan väliin jäävä pinta-ala vastaa suhteellista frekvenssiä. Jos luokat ovat tasaväliset, myös pylväiden korkeudet vastaavat suhteellisia frekvenssejä

2 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. Kertymä Mediaani o On kohta, joka jakaa havaintoarvot järjestyksessä kahteen yhtä suureen osaan o Jos havaintoarvoja on äärellinen määrä, mediaani löydetään asettamalla havaintoarvot järjestykseen Jos havaintoarvojen lukumäärä on pariton, mediaani on keskimmäinen havaintoarvo Jos havaintoarvojen lukumäärä on parillinen, mediaani on kahden keskimmäisen havaintoarvon keskiarvo edellyttäen, että keskiarvo voidaan laskea (eli havaintoarvot ovat lukuja). Jos havaintoarvot eivät ole lukuja, molemmat keskimmäiset havaintarvot ovat mediaaneja o Havaintoarvojen jakaumaa voidaan havainnollistaa myös ilmoittamalla, minkä kohdan alatai yläpuolella jää neljäsosa, 10 prosenttia jne. havaintoarvoista o Tarkempi arvo mediaanille saadaan käyttämällä kertymäkuvaajia, jossa taulukoidaan suhteellisten frekvenssien kertymä käyttäen todellisia luokkarajoja Keskiluvut o Tyyppiarvo eli moodi, keskiarvo ja mediaani ovat ns. keskilukuja, jotka kukin omalla tavallaan luonnehtivat havaintoarvojen jakaumma (yleisin, keskimääräinen ja keskimmäinen havaintoarvo) Keskihajonta o Havaintoarvojen hajonnan mittaluku o Keskihajonta s on keskiarvosta laskettujen poikkeamien neliöiden keskiarvon neliöjuuri eli poikkeamien neliöiden summa jaettuna havaintojen lukumäärällä o Frekvennsitaulukosta poikkeamien neliöiden summa lasketaan siten, että jokainen poikkeaman neliö kerrotaan frekvenssillään o Keskihajonnalla on sama yksikkö kuin havaintoarvoilla Normitettu arvo o Havaintoarvoa vastaava normitettu arvo on havaintoarvojen poikkeama keskiarvosta jaettuna keskihajonnalla o Normitettu arvo ilmaisee, kuinka monen keskihajonnan verran ja mihin suuntaan havaintoarvo poikkeaa keskiarvosta o Kuvaa havaintoarvojen suhteellista sijaintia jakaumassa. Kun lasketaan normitetut arvot, saadaan samankaltaisista jakaumista poimitut havaintoarvot vertailukelpoisiksi Normaalijakauma o Monien tilastollisten muuttujien kokeellisesti havaittu jakauma noudattaa normaalijakaumaa. Normaalijakaumaa noudattavat likimain esim. eräät mittausvirheet, tuotteen painon ja koon vaihtelu sarjatuotannossa ja jotkin ihmisten ja muiden eliöiden ominaisuudet. o Normaalijakauman käyrää kutsutaan usein Gaussin käyräksi tai muotonsa puolesta kellokäyräksi. Jakauma on symmetrinen; se on samanlainen keskiarvon molemmin puolin o Normitettu normaalijakauma Kuvion prosenttiosuuksia voidaan käyttää minkä tahansa normaalijakaumaa noudattavan muuttujan yhteydessä, kun ensin suoritetaan normitus Poikkeama keskiarvosta jaettuna keskihajonnalla

3 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 3 Tehtävä 01 Television katselu kesä-elokuussa 005, 10-4 vuotiaat Kanava Keskim. min/pv YLE (TV1 ja TV) MTV3 9 Subtv 9 Nelonen 14 Muut 11 Yhteensä 5 Havainnollista a) katseluaikoja pylväskuviolla b) katseluosuuksia piirakkakuviolla Tehtävä 0 Laadi pylväskuvio, joka antaa oikean kuvan myynnin kehityksestä.

4 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 4 Tehtävä 03 Ajassa tapahtuvia muutoksia kuvataan usein ns. viivakuviolla. Etsi kuviosta ajanjaksot, jolloin a) tulojen kasvaessa tuloerot ovat kasvaneet b) tulojen kasvaessa tuloerot ovat pienentyneet c) tulojen laskiessa tuloerot ovat pienentyneet d) tulojen laskiessa tuloerot ovat kasvaneet a) , ja b) ja c) d)

5 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 5 Tehtävät 04 a) Minkä musiikkilajin kuuntelijoiden määrä kasvoi vuodesta 191 vuoteen 00 eniten ja minkä suhteellisesti eniten? b) Minkä musiikkilajin kuuntelijoiden määrä vähenin vuodesta 1991 vuoteen 00 eniten ja minkä suhteellisesti eniten? c) Kuinka suuri osa väestöstä kuunteli klassista musiikkia tutkimusvuosina? Kuinka osuus muuttui vuodesta 191 vuoteen 1991 ja kuinka vuodesta 1991 vuoteen 00? d) Suomen asukasluku vuonna 1991 oli 4,5 % suurempi kuin vuonna 191 ja vuonna 00, % suurempi. Kuinka monta prosenttia klassisen musiikin kuuntelijoiden lukumäärä suureni tai pieneni vuodesta 191 vuoteen 1991 ja kuinka monta prosenttia vuodesta 1991 vuoteen 00? a) eniten pop- ja rockmusiikin ja suhteellisesti eniten jazzmusiikin b) eniten kansanmusiikin ja suhteellisesti eniten myös kansanmusiikin c) vuonna 191 noin 16 %, vuonna 1991 noin 41 % ja vuonna 00 noin 31 %. Vuodesta 191 vuoteen 1991 osuus suureni noin 5 %, vuodesta 1991 vuoteen 00 osuus pieneni noin 10 %. d) Vuodesta 191 vuoteen 1991 suureni noin 10 %. Vuodesta 1991 vuoteen 00 pieneni noin 0 %. Merkitään Suomen väkilukua vuonna 191 esimerkiksi a:lla. Vuodesta 191 vuoteen 1991 kuuntelijoiden määrä kasvoi (noin) määrästä 0,16a määrään 0,41 1,045a. Vuonna 00 määrä oli (noin) 0,31 1,0a.

6 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 6 Tehtävä 05 Vastaa kuvioiden perusteella seuraaviin kysymyksiin, jos vastaaminen on mahdollista. a) Kuinka YLE:n televisiokanavien katseluosuus muuttui kesästä 004 kesään 005? b) Kuinka monta prosenttia kasvoi MTV3:n katseluun käytetty aika? c) Kuinka paljon suurempi YLE:n katseluosuus oli kesällä 004 kuin MTV3:n? Entä kesällä 005? d) Kuinka monta prosenttia suurempi YLE:n kanavien katseluun käytetty aika oli kesällä 004 kuin MTV3:n? Entä vuonna 005? e) Kuinka monta prosenttia pienempi Nelosen katseluun käytetty aika oli kesällä 004 kuin YLE:n kanavien katseluun käytetty aika? Entä vuonna 005? a) Pieneni 6 % b) Ei voida laskea c) 1 % suurempi vuonna 004, 5 % suurempi vuonna 005 d) 40 % suurempi vuonna 004, 16 % suurempi vuonna 005 e) 6 % vuonna 004 ja 56 % vuonna 005 Tehtävä 06 Piirrä pylväskuvio, joka havainnollistaa a) Kiinteän puhelinverkon ja matkapuhelinverkon puheluiden määrää vuosina b) Kiinteän puhelinverkon ja matkapuhelinverkon puheluiden keskipituutta vuosina

7 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. Tehtävä 0 Frekvenssi a) Selvitä arvosanojen jakauma. Mikä kurssiarvosana on kaikkein yleisin? b) Laske arvosanojen keskiarvo c) Havainnollista arvosanojen jakaumaa sopivalla diagrammilla

8 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. Ratkaisu: a) Laaditaan taulukko jokaisen arvosanan esiintymiskertojen lukumäärästä eli frekvenssistä. Taulukko on ns. frekvenssitaulukko Taulukosta nähdään, että yleisin arvosana on. Arvosana on arvosanojen tyyppiarvo eli moodi. 6 9 b) Keskiarvo on kaikkien annettujen arvosanojen summa jaettuna arvosanojen lukumäärällä Keskiarvo voidaan laskea kahdella tavalla: Tapa 1: Kaikki 6 arvosanaa lasketaan yhteen Tapa : Käytetään hyväksi frekvenssitaulukkoa ja lasketaan arvosanojen summa niin, että jokainen arvosana kerrotaan frekvenssillään. *10 4*9 * 5* 5*6 0*5 3* 4 19,3 6 6 c) Arvosanojen jakaumaa voidaan havainnollistaa pylväskuvioilla tai janakuvioilla. Janakuviossa jokaisen arvosanan kohdalle piirretään jana, jonka korkeus vastaa frekvenssi.,3 a) tyyppiarvo on b) keskiarvo on,3 Mikä on arvosanojen suhteellinen frekvenssi? Arvosana Frekvenssi f Suhteellinen frekvenssi f % YHTEENSÄ 6 100

9 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 9 Tehtävä 0 Erään oppilaan kurssiarvosanat lyhyen matematiikan seitsemältä kurssilta olivat: 9,,,, 9, 10 ja 9. Mikä oli kurssiarvosanojen a) moodi b) keskiarvo a) Tyyppiarvo eli on 9, joka esiintyy kolme kertaa b) Keskiarvo on,5 Tehtävä 09 Laske lämpötilojen: 3 C, - C, 0 C, -4 C ja 1 C keskiarvo Keskiarvo on -0,4 C Tehtävät 10 Tutkittiin erään opetusryhmän oppilaiden kotiin tilattavien sanomalehtien lukumäärää. Tuloksena olivat seuraavanlaiset havaintoarvot: a) Järjestä havaintoarvot frekvenssitaulukkoon b) Mikä on sanomalehtien lukumäärän tyyppiarvo ja keskiarvo? c) Määritä sanomalehtien lukumäärän suhteellinen jakauma d) Havainnollista suhteellista jakaumaa sopivalla tilastokuviolla 1 1

10 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 10 Tehtävä 11 Painotettu keskiarvo Teoriaa: Havaintoarvojen x 1, x,..., x n painoilla w 1, w,..., w n painotettu keskiarvo on w1 x1 w x... w w w... w n x n 1 n Jokainen havaintoarvo kerrotaan painollaan, tulot lasketaan yhteen ja summa jaetaan painojen summalla. Tehtävä: a) Laske matematiikan kurssiarvosanojen 10, 10, 10, 9, 6, 4 ja 4 painotettu keskiarvo, jos kolmen ensimmäisen kurssin paino on 1, kahden seuraavan paino on ja kahden viimeisen 3. b) Laske normaali keskiarvo ja vertaa tuloksia a) 6, b), 5 Tehtävä 1 Luokittelu Kyselyssä tiedusteltiin erään oppilaitoksen aloittaneiden oppilaiden kotien pinta-aloja. Vastauksina saatiin seuraavat neliömetrimäärät: 45, 51, 4, 1, 3, 10,, 9, 95,, 0, 4, 1,, 9, 105, 90, 10, 15, 5, 59, 5,, 0, 66, 65, 0, 4, 69, 49, 6, 4, 6, 54, 54, 6,, 3,, 6, 64,,, 5, 63, 59, 60, 1, 6, 63 ja 100 Lisäksi kahdeksan oppilasta ei tiennyt kotinsa pinta-alaa ja 1 jätti vastaamatta kyselyyn. a) Luokittele pinta-alat sopiviin luokkiin ja laadi frekvenssitaulukko b) Mikä on keskimääräinen pinta-ala? c) Määritä pinta-alojen suhteellinen jakauma d) Havainnollista pinta-alojen jakaumaa sopivalla diagrammilla

11 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 11 Ratkaisu: a) Sopivan luokittelun valitseminen kannattaa aloittaa etsimällä havaintoaineistosta pienin ja suurin havainto. Pienin pinta-ala on 3 m ja suurin on 15 m. Luokiksi valitaan tasalevyiset luokat 30-49, 50-69, jne.. Luokitellusta aineistosta laaditaan frekvenssitaulukko. Oppilaat, joilta tietoa ei saatu, jätetään laskuista pois. b) Riittävän hyvä arvio keskimääräiselle keskiarvolle saadaan, kun lasketaan keskiarvo luokittelusta aineistosta. Keskiarvon laskemista varten jokaista luokkaa edustamaan valitaan yksi luku, ns. luokkakeskus. Luokkakeskus on luokan todellisten rajojen keskiarvo. Pinta-ala on pyöristetty neliömetrin tarkkuuteen normaaleilla pyöristyssäännöillä. Luokan todellinen alaraja on 9,5 ja todellinen yläraja on 49,5. Luokkakeskus on (9,5 49,5) : 39,5 Luokan luokkakeskus on (49,5 69,5) : 59,5 jne... Frekvenssitaulukko täydennetään luokkakeskuksilla Keskiarvo lasketaan luokkakeskusten avulla: 4 *39,5 1 *59,5 3* 9,5 6 *99,5 1* x eli 3 m Jos 51 oppilaan keskiarvo m yleistetään koskemaan kaikkia 1 oppilasta, joudutaan olettamaan, että puuttuvien 0 oppilaan kotien pinta-ala on myös 3 m. Tämä heikentää tuloksen luotettavuutta.

12 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 c) Luokkien suhteelliset frekvenssit d) Luokiteltua havaintoaineistoa havainnollistetaan histogrammilla. Histogrammissa kunkin luokan todellisen ala- ja ylärajan väliin piirretään pylväs, jonka pinta-ala vastaa suhteellista frekvenssiä. Jos luokat ovat tasaväliset, kuten tässä tehtävässä, myös pylväiden korkeus vastaa suhteellisia frekvenssejä. Tehtävä 13 Mediaani a) Mikä Suomen väestön mediaani-ikä oli vuonna 150? b) Minkä ikäisiä vuonna 150 olivat nuorimmat 5 % Suomen väestöstä? Entä minkä ikäinen väestön vanhin neljännes oli?

13 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 13 a) On selvitettävä ikäraja, jota nuorempia (ja siis myös vanhempia) oli 50 % suomalaisista vuonna 150. Alle 5-vuotiaita oli 13,9 % Alle 15-vuotiaita oli 13,9 % 0,6 % 34,5 % Alle 5-vuotiaita oli 34,5 % 1, % 5, % 50 % ylittyy ikäluokassa Mediaani-ikä on jonkin verran iän 5 alapuolella. Tarkempi arvio mediaani-iälle saadaan kertymäkuvaajan avulla. Taulukoidaan suhteellisten frekvenssien kertymä käyttäen todellisia luokkarajoja. Piirretään kertymäkuvaaja koordinaatistoon, jonka vaaka-akselina on ikä ja pystyakselina suhteellisten frekvenssien kertymä. Kuvaaja ylittää 50 %:n rajan 4 vuoden kohdalla. Iän mediaani on siis noin 4 vuotta.

14 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 14 b) Kuvaaja ylittää 5 %:n rajan 10 vuoden kohdalla, joten nuorimmat 5 % suomalaisista olivat vuonna vuotiaita tai nuorempia. Kuvaaja ylittää 5 %:n rajan 4 vuoden kohdalla. Vanhimmat 5 % suomalaisista olivat 4- vuotiaita tai vanhempia. Tehtävä 14 Keskihajonta Henkilöt X ja Y ovat kumpikin suorittaneet samat seitsemän lyhyen matematiikan kurssia. Laske molemmille kurssiarvosanojen keskiarvo. Vertaa arvosanojen hajontaa. Keskihajonta on poikkeamien neliöiden keskiarvon neliöjuuri n x x x x x x s n 1 ) (... ) ( ) ( Lasketaan keskiarvot Oppilas X Oppilas Y 56 9 Keskihajontakaavan käyttö (Oppilas X): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1, ) ( 0 ) ( s s kurssi X Y 9

15 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 15 Keskiarvot ovat yhtä suuret, mutta jakaumat ovat erilaisia. Oppilaan Y arvosanat ovat keskittyneet lähelle keskiarvoa, kun taas oppilaan X arvosanat ovat enemmän hajallaan. Oppilas X Oppilas Y Etsitään keino ilmaista hajonta lukuarvona. Tätä varten lasketaan kurssiarvosanojen poikkeamat keskiarvosta. kurssi X Y Keskiarvosta laskettujen poikkeamien summa on aina nolla. Yleisimmin hajonnan mittana käytetään ns. keskihajontaa. Ensin lasketaan poikkeamien neliöiden keskiarvo. Keskihajonta on tämän keskiarvon neliöjuuri. Oppilaan X arvosanojen poikkeamien neliöiden keskiarvo on: ( ) 0 ( ) Oppilaan X arvosanojen keskihajonta on 1, Oppilaan Y arvosanojen poikkeamien neliöiden keskiarvo on: ( 1) Oppilaan Y arvosanojen keskihajonta on 0, 53

16 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 16 Tieliikenneonnettomuudet kuukausittain Onnettomuudet Menehtyneet Loukkaantuneet Onnettomuudet kuukausittain Yhteensä Vuosi Kuukausi Menehtymiseen johtaneet Yhteensä Jalankulkija Polkupyörä Mopo ja moottoripyörä Henkilöauto Yhteensä Jalankulkija Polkupyörä Mopo ja moottoripyörä Tammikuu Helmikuu Maaliskuu Huhtikuu Toukokuu Kesäkuu Heinäkuu Elokuu Syyskuu Lokakuu Marraskuu Joulukuu Tammikuu Helmikuu Maaliskuu Huhtikuu Toukokuu Kesäkuu Heinäkuu Elokuu Syyskuu Lokakuu Marraskuu Joulukuu Tilastokeskus /9/006 Henkilöauto

17 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Tieliikenteessä menehtyneet ja loukkaantuneet vuosina Menehtyneet ja loukkaantuneet Menehtyneet Loukkaantuneet Yhteensä Taajamissa Yhteensä Taajamissa Vuosi henkilöä Tilastokeskus /9/006

18 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Tehtävä 15: Sivun 16 materiaalista a) Piirrä kuvaaja, joka kuvaa mielestäsi parhaiten onnettomuuksien määrää kuukausittain tammikuusta vuodesta 005 heinäkuuhun vuoteen 006 b) Lisää kuvaajaan menehtyneiden osuus kuukausittaisesta onnettomuusmäärästä c) Mikä tai mitkä onnettomuusryhmät selittävät eniten loukkaantuneiden määrän vaihteluja kuukausittain? d) Kuinka monta prosenttia enemmän kuukausittain henkilöautoilijoita loukkaantui kuin mopo ja moottoripyöräilijöitä? Piirrä kuvaaja. Tehtävä 16: Sivun 1 materiaalista a) Kuinka loukkaantuneiden määrä on vuosien 1960 ja 005 välillä muuttunut? Piirrä kuvaaja loukkaantuneiden määrästä vuosien 1960 ja 005 väliltä b) Kuinka menehtyneiden osuus on vuosien 1960 ja 005 välillä muuttunut? Piirrä kuvaaja menehtyneiden määrästä vuosien 1960 ja 005 väliltä c) Onko piirtämilläsi kuvaajilla jotain yhteistä trendiä?

19 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 19 Tehtävä 15, vastaus:

20 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 0 Tehtävä 16, vastaus:

21 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 1 Tehtävä 1: 0-tuumaiset littunäytöt Testatut: Acer AL01 BenQ FP09 Fujitsu Siemens ScenicView P0- HP LP065 LaCie 10 LG L000C-SF Philips Brilliance 00P6IS Samsung SyncMaster 04B Sony SDM-S05K ViewSonic VP030b Tuote Keskiarvo Acer AL01ms (0") 5 BenQ FP09 (0") 5 Fujitsu-Siemens Scenic View P0- (0") 16 HP LP065 (0") 566 LaCie 10 (0") 4 LG L000C-SF (0") 49 Philips 00P6IS (0") 665 Samsung SyncMaster 04B (0") 466 Sony SDM-S05K (0") 1 ViewSonic VP030b (0") 631 Osa-alue Paino Acer BenQ Fujitsu Siemens HP LaCie LG Philips Samsung Sony ViewSonic Väritoisto 5 % Kirkkaat sävyt 15 % Tummat sävyt 15 % Nopeus 5 % Skaalaus 10 % Katselukulmat 10 % Säädöt 10 % Jalusta 10 % Painotettu keskiarvo: 100 %,6,5,6,6,9,9,6,0 9,1,9 Tehtävä a) Tee taulukko ja diagrammi, josta näkyy näytön hinta sekä kyseisen näytön painotettu keskiarvo b) Mikä näyttö on hinta-laatu suhteeltaan paras? c) Mikä on näyttöjen hinnan keskiarvo ja keskihajonta? d) Mikä on näyttöjen painotettujen keskiarvojen keskiarvo sekä keskihajonta e) Vertaa keskenään äsken laskemiasi keskihajontoja. Huomaatko mitään erityistä?

22 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. a) b) Hinta-laatu suhteeltaan paras näyttö on diagrammissa oikealla alhaalla oleva LG:n näyttö vastaavasti huonoin hinta-laatu suhteeltaan on vasemmalla ylhäällä olevan LaCie:n näyttö c) Näyttöjen hinnan keskiarvo on 635 euroa ja hajonta 90 euroa d) Painotettujen keskiarvojen keskiarvo on,4 ja hajonta 0,4 e) Suhteessa näyttöjen hinnan keskihajonta on 14 % kun painotettujen keskiarvojen keskihajonta on 5 %. Näin ollen voidaan katsoa, että näyttöjen laatu on lähempänä toisiaan kuin mitä hinnat ovat.

23 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 3 Tehtävä 1: Kokonaisindeksi Elintarvikkeet ja alkoholittomat juomat Alkoholijuomat ja tupakka Vaatetus ja jalkineet Asuminen, vesi, sähkö, kaasu ja muut polttoaineet Kalusteet, kotitalouskoneet ja yleinen kodinhoito Terveys Liikenne Viestintä Kulttuuri ja vapaa-aika Koulutus Ravintolat ja hotellit Muut tavarat ja palvelut Tehtävä a) Tee taulukko, johon sovitat tuoteryhmien hintaindeksin muutokset vuodesta 000 vuoteen 005 b) Laske tuotetyhmien hintaindeksin keskiarvo c) Minkä tuoteryhmän hinnan indeksi on muuttunut tarkasteluaikana eniten? d) Mikä on tämän eniten muuttuneen tuoteryhmän keskihajonta? Kuinka monta prosenttia se eroaa tuoteryhmän keskiarvosta? Vastausta ei ole annettu valmiiksi. Tunnilla käytyjen ja materiaalin avulla sinun tulisi voida jo laskea kyseinen tehtävä omatoimisesti.

24 TILASTO- JA TALOUSMATEMATIIKKA s. 4 Lisätehtäviä: (Lisätehtävien palautus ennen tilastomatematiikan koetta) (Lisätehtäville ei tule vastauksia yleiseen jakoon ollenkaan) LT01: Sama matematiikan koe pidettiin kahdelle ryhmälle, joista ensimmäisessä oli 36 oppilasta ja toisessa 4. Kokeen keskiarvot ryhmissä olivat,53 ja,9. Mikä oli kokeen keskiarvo kaikkien kokeeseen osallistujien kesken? LT0: Lyhyen matematiikan ensimmäisellä kurssilla oli 5 oppilasta. Kurssiarvosanojen keskiarvoksi tuli,4. Täsmälleen samat oppilaat osallistuivat toiseenkin kurssiin. Toiselta kurssilta 13 oppilasta sai saman arvosanan kuin ensimmäisestä, viiden oppilaan arvosana putosi yhdellä, kuuden nousi yhdellä ja kahden oppilaan arvosana nousi kahdella. Mikä oli kurssiarvosanojen keskiarvo toisessa kurssissa? LT03: Erään oppilaan kurssiarvosanat matematiikan seitsemältä kurssista olivat 9,,,, 9, 10 ja 9. Mikä oli kurssiarvosanojen a) Moodi b) Keskiarvo c) Keskihajonta LT04: Kuntien palveluksessa olevien ekonomien keskimääräinen kuukausiansio vuonna 004 oli 3404 euroa. Naisekonomien keskiansio oli 346 euroa ja miesekonomien 3634 euroa. Kuinka monta prosenttia kuntien palveluksessa olevista ekonomeista oli naisia? LT05: Erään oppilaan keskiarvo matematiikan viidestä pakollisesta kurssista on,. Oppilaan tavoite on saada pakollisten kurssien keskiarvoksi vähintään,5. Mikä arvosana oppilaan on saatava kuudennesta ja samalla viimeisestä kurssista? LT06: Laske mittaustuloksien 4 cm, 3 cm, 43 cm, 3 cm ja 39 cm keskiarvo ja keskihajonta. LT0: Kokoonpanotehtaalla työpisteessä A työntekijän vauhti on keskimäärin 136 suoritusta tunnissa, keskihajontana 3 suoritusta. Työpisteessä B keskiarvo on 40 suoritusta tunnissa ja keskihajonta 60 suoritusta. Erään kesäharjoittelijan tulos työpisteessä A on suoritusta tunnissa. Mikä on vastaava vauhti työpisteessä B? LT0: Äidinkieli (suomi) ylioppilaskoe, kevät 004, arvosanajakauma (L) 6 (E) 5 (M) 4 (C) 3 (B) (A) 0(I) 4 % 11 % 3 % 34 % 1 % 9 % 1 % Laske arvosanojen keskiarvo ja keskihajonta.