Kellerautomaten. 17 Kellerautomaten. Kellerautomaten Kellerautomaten. Definition c B. Möller lnmol Theor. Inf. SS 2004

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kellerautomaten. 17 Kellerautomaten. Kellerautomaten Kellerautomaten. Definition c B. Möller lnmol Theor. Inf. SS 2004"

Transkriptio

1 D $ 17 pq$7rn;s&1&/tra 1^+5 0_ )# _^.ra 1^89dZ/3/73 23! $Sƒ T23 )tu/$#^ava W &xwz.y;9! zh { ^T ^G}~^ / Xh^T 243/t/)0#&1 243 va$k ;?[ [[ /Y3# ^Tu/$!.yC ;9)/t- E23Y# 243< -^Z )_^ ) KXKr a- T23);9t8?/Z/3)73 dˆ{ /3&xq 3)/7 )\<"% 23)_^ [ ;98s& 23y x 1^{ $3^T/70 3)^qu$S/ u&1 243Yu/$Y0#/tS0K& 237:h &/ ŠŒ$)W S0#/ )7 [ ^Z u 1" $) /T243#^ y! /tžg_&&^ -"%_ E23)_^a_ + [ xqra 1^0 0K FkS0K& 23y x \~^T8 # T ;9 0#d~!"Œ 243^ Ž~& TZF0#^ˆy;9< zk { ^T_ }~^ [[ dt23^d #yk$)80#$^ 243 & ŽG&1&^q" T 1y/ ]9a8? ^ ;M23)/ T 1y/ W $){ 0# ox c B. Möller l Œl Theor. Inf. SS Definition 17.1 A = Q T K δ q 0 F))+ Q )./)0#& /89+:<;9 T K!"#$#"%& % - =?>/9@ /ACB# 4A )./)0#&1 E23)F57/8?G:<;? HI AKJKML# NO IQPR% 4A D )./S0K&1 E23)F57/8?G:!;9 1 TNO IQPR% 4A D δ Q T {ε}) K Q K 0K /)0#&1 243YZ UVLK -J#/A#J<>- QIWA X0# q 0 Q K 0 0_^ àa)bcdakj<>tn?>da%b D àabe/a#j<>-fk 1 TNO IQPR% 4A D F Q 0# 657)89g0#^ /fhno ijqi 4A%B 4AY=k?>?@ /ACB# c B. Möller lnmol Theor. Inf. SS 2004

2 0 $ ŽG&1&^Z 3 &x.rn_^0#/y0$#^ 243 ;9^- ^ $) K [;M0_&&1 ^- ^~Š $)8s^Z ))0 [ &1 #y/ j)0#g Z va{ )8s&1 E23 S0#_a- 243tM$^ [ ŽG_&&^ ^ 070_^qŽG&1&^n [ _^T& $){ 0#^ˆd23)M$)8F&/^/X# ;s")"#q0#^ˆva$# ;9[ c B. Möller l l Theor. Inf. SS 2004 k G$# < $"Œ& ] 0_^vq$# ;9[ q 1 x k q 2 w) δ [ 1 x T [ va$)z8 )8?Zu/$) S0 q 1 ym $&1& [ 8 u/ 243/ W $))0t; _^ /[ Ž~&1& _^ u 243/ 0#/ p $))0Y0 }G 1&x W 23){ ;s& 89/u$S k 0#$^ 23 )0 q 2 w ^ Z_ u_ k x _^ 89/3/y w = xk XZ; ra 1^ 0 x 89y&1&^- d -")$SZ3) d0#/$k _dx c B. Möller l l Theor. Inf. SS 2004

3 3 ^ $ k G$# < $"Œ& q 1 ε k q 2 w) δ [ va$)z8 )8?Zu/$) S0 q 1 >ei AŒ/A X)0 ;93)C/Z/ o; _^ /[ ŽG_&&^Tu/_ E23/ k 0#/ p 23){ ;s& 89/u$S )0 q 2 $))0Y0 W k 0#$^ 23 w ^ Z_ u_ }G 1&x ;?T243< w = ε XZ; ra ^ 0 k 8?_& :<;9 k )8 d0#/$kxh0?x _^ 89/3/y "%;s"s ] 0_^vq$# ;9[ c B. Möller lol Theor. Inf. SS 2004 Definition 17.2 S 657/89g0_^ WA #JSs_? IA% A 0#daŽG_&&^ = Q K [ Š $S ^T8 )0 O q w) S q $S070/YŽG&1&^Z 3 )8?-^T& T ;? $K ;?[ d0#/$kxh0 &x w 3 δ S0#$)u_ _^Z_ n& T ;9 /t E ] 0_^vq$# ;9[ S T {ε}) S < Z s 1 x s 2 ) 23^T xt ;97:<;? & $K q 1 ku) x q 2 wu) ra 1^ $S23 x s 1 s2 q 1 x k q 2 w) δ { $#^ q 1 q 2 Q x T {ε} k K $))0 u w K c B. Möller l l Theor. Inf. SS 2004

4 3 :<;9[ ŽG&1&^ $K ;?[ /fhno ijqi / si%sp-rœ A L# I >PR 1I? 1I PRY / 4 :<;9 A) A FA) = {w T : q 0 ) w q ε) { $^q q Q} i ~=?>//ACB7/fhNO ijqiq / si%sp-rœ - = {w T : q 0 ) w q u) { $^a_ $S07 q F u K } c B. Möller lol Theor. Inf. SS 2004 _ E0#/tvqyhu/"# )urn Z/tZ )0t8s& 243<rn_^ZT 8 { ;s& 89/)0#/[! ) ƒ Satz 17.3 ŠŒ$ d0#/[ ŽG&1&^ ŽG&1&^ C [ 1 $K;9[ FC) = A) $K;9[ A 8s dˆ_ / B [ 1 B) = FA) $))07 / Ž~&1& _^ $# ;9[ / W ^ˆ:<^Tu 243< / $){ 0 _rn $^0K.{ ;s&89/s0# ^ &1&$)8 E + ^a0#."œ^ˆ&/^t/[ ŽG&1& _^ yhu/"#t _^Z 6!")^ 243 A) ){ 23)_^au$ S0#3 / X#Z;0 ]ra 1^M$^q;h23Y0K /Z ^ 243< c B. Möller l l Theor. Inf. SS 2004

5 0 ^ Beispiel 17.4 }+8? ^T/)u 243/! T h / T_ o Š _ E23)!:<;s^Z^ 1^a89 A) = {w!w : w T } oxhrn; x 1 x n ) /7 ) ŽG_&&^ _ = x n x 1 T $))07_ $# ;9[ / A t[ 1 siœiq TJ# / u$ vq^ Š $)o a0 _ 1rn Z :!;9 23Snrn^ 0 x 1 x n A ƒ ^T/)u/_ E23) &1& 6 8! W $){ ^Z xt ra 1^ 0 -rn 1& a0 ak )8 + ŽG&1&^Tu/ 23)/ :<^T8s& 23)/Y$S0 /[89/[Y ] 3 0^avq$# ;9[ u/ 243/ 8?_y&1& _^ZdX /u 243/t[ x~0#/[ ; u_r Š $S _^ / ^T ST [[\$)889& ;? 23< )0 c B. Möller l l Theor. Inf. SS 2004 ^Z_ u// G$# < $"Œ&7 A = {q 0 q 1 } T {!} T { } δ q 0 ) [ δ ƒ 1~{ ;s& 89/)0 q 0 x k q 0 xk) q 0! k q 1 k) q 1 x x q 1 ε) q 1 ε q 1 ε) { $#^ { $#^ &1& &1& x T k K x T Š 243/7y&1& _^T q[ T243 &x /t ^9 ${ [;M0$) ")^9 $){ /t$s0& ;T23) c^t{ ;s&89^t 23t:<_^ x _ c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004

6 3 3 ^ & & 17.2 und kontextfreie Grammatiken Satz 17.5 ŠŒ$ d0#^ny;?< zh{e^t / }~^ ŽG&1&^ $K;9[ A [ x A) = G) [[ 1y G 89 dˆ ) Š $)[ _rn_ E $)243/ ra 1^;h23t{ ;s& 89/)0 /8s^Z?ƒ Definition 17.6 %IAfK> ML Ic 9A#J<>- QIWA Y )_^qy;9< zh{e^ _ }~^ -_^TyM& ^-G0#$^ 243 [[ 1y uxw = l uvw u T X v 0#^ava$)Z8 )8?T 6 3)S0#gpˆ 243<Z_^ [ u/{ ;9^T[ _^Zu ra 1^ 0 0 [ r x/t&1 yk c B. Möller la %l Theor. Inf. SS 2004 va &;98 E~0K G /P-R e>!lo IcT?AKJ<>Z? IA _^TyM&e uxw = r uvw ^-G0#$^ 243 X v w T 0#^ava$)Z8 )8?T 6 3)S0#gpˆ 243<Z_^ [ k %IA#f#> u_r u/{ ;9^T[ _^Zu ra 1^ 0 0 G /P-R c>!lo IcT?AKJ E [ r x/t^td23<4 ;9&89 u 1 = l u 2 = l = l u m u_r v 1 = r v 2 = r = r v n c B. Möller la m l Theor. Inf. SS 2004

7 y ^ Beweis: + 1^ay;?)T^ $# _^T/Y_ /YŽG&1&^ G = N T S) - [\$&1 ^- u$yz_ u/ ra 1^ 5 23!?XK0 $)-y;?[[ ˆ8s 1&x $))0 $K;9[ ox)0#^ A = {q} T N T δ q S ) [ x q ε X q v) δ q x x q ε) δ ] 0_^vq$# ;9[ X v x T % yk [ x~m$^q_ /[ Š $)- W & _ 1 $)89/ u T : uxw = l uvw) q Xw) ε q vw) q xw) x q w) S0 c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004 ^ cs0#$y!t ;9t^T3 cs &1a[ 0 $Sˆ{ $^ t T u T : uxw = l utz) q Xw) t q z) /T;9)0_^ 8s 1&x S = l t q ) t q ε) h23&1 ]?&1 E23t E;h23tu$ /[^Zy/ X0 ]d0#.v & _ 1 $)8 Y )_^ y;9! zh { ^T / }G^ [[ T y70$#^23 ˆ[;s^0#) 0#^ k^ Z_ u/$)8?tt243#^z 1Z.u/$t ^ % yk & _ 1 $)889/[ 243<ˆrn^ 0 W ox0 y;9< zk {E^ _ k u/&^ Z_ u/$)89/ :<;? pˆ 243<Z ^T[ &/ - E23t8?8?SZ xt 8 243< /_ )$)TZ/ c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004

8 [ va$)ˆ )^ $S23t /Yv yku"# ^T/)0YŽG;9 89$^ & x $)8? $[ { $^ T ;?)Z{ ;s&89 t W & /T dz^nra 1^0 0 %:<;?Y0#^ $#^Tu/& W S u/$y0/ ${ 89 $K ;9" ;dr va &xwzd q[89y3^-a8?3 ;s^-au/$ d0#/[ v & x $)8 $[ % yk & _ 1 $)8#X0# g )/[ :!_^ &1& 89/[_ ^- / W 0 $)[ c hz;s^ 0M$)8 /<-")^Z 243< ^ŽG&1&^0#dqva$K ;?[ /Y<3o &x-rn 1&Eq0# u/$#^ $)2yh89d &1&xoXK);M !ˆ:<;s&& )0# 8 0#$^ 23& _ & $[ csz89d [ 8s 1&x+0 3)_^dƒ }~^ S0#/$K 8#Xhrn/d0#6 u{ ;s^t[ [[ 89/ 1y 89/ q S) t q ε) y &e 89/ $7 )% #yk Z ^TY3 $^ 23& $7 ) ${0#$^ 23 $#^ u& 0#^ ${ // $Y0 & x $)83 c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004 ^ˆrn;s&&/YM$) $)243t0# q[y/3#^t$)8 0#dV:<;s^Z 89/ u/dˆu 8?oƒ Satz 17.7 ŠŒ$ d0#/[ ŽG&1&^ dˆ.y;9! zk { ^T 6}~^ [[ $K;9[ 1y G [ 1 A = Q T K δ q 0 F) 8s G) = A) Beweis: % yk W 1^ay;9ST^T$ ^T/t )6}G^ & _ 1 $)89/ ŽG;9 8?$#^ [[ T ;9)Z{ ;s&8?7:<;9 T yœxs0#^t/ A /<-")^Td23) c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004

9 [ r 1^q:<^-rn/)0Ypˆ 243<Z ^T[ $))0 k K! dt243#^t / X#0 ) ŽG;9 8?$#^ T ;9 }G/ $)_^q8s 1&1 &60_^ ] _ FŽG;9# )89$^ q ε) $ ^T89/3)y ;s^t[ T ;9 pkq [ x p q Q p k) T23&1 _]?& 23Y pkq = l t p k) t q ε) 1^~Z_ u// & Z; N G = N T S) Xhr ; = {S} { pkq : p q Q k K} c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004 x_^ d /3< $Sˆ{ ;9&89/)0 ^ ;M0$#y! ;9)oƒ S q 0 q { $#^ &1& q Q pkq x r 1 k 1 r 2 r m k m r m+1 { $^ / && r 1... r m+1 Q [ 1 r 1 = r $S0 r m+1 = q X p x k r k 1 k m ) δ +W C E $S23 / 8?8? //YŠ $) [[/3 7ra d0#^a0$#^ 243e)0$#y! ;9 m = 0 $))0 x = ε [ ;98s&1 E23 )8ura ET23) = l $))0 u/_ 8O c B. Möller la l Theor. Inf. SS 2004

10 z ^ 17.3 Deterministische Ž~& <wm Z3)_^ d-"^t;h23)//7žg_&&^ TZF0#^ˆy;9! zk { ^T /!"^ &xw#t 0#^^ z# q# 243< $# ;9[ 23)/ X#Z )0 /7T^ /tu_r ^q{ $^a0k + ^89/ d $Y0K 243#&1 E23) ^ava$k ;?[ $)q0[ _r qu/$ u [\$#] [ ^ Tu/ )/apˆ 243<Z_^ [ & X ${0#/[ ŽG_&&^0# Y ^Z E23< 89d k^t;m0$#ymt ;9Y_^T^ dˆ[ $]9. Yw /[ $^ 23"^ ; _^ 0# FŽ~;?["&zK 1 $)243 / pˆ 23!0 ^T[ # EZ[6$S T23)/Yva)/ ^/ƒ u/y0#$^ / 89)_ / &&^+5 ;98s&1 E23y_ 1 /Y^ Z_ u_ˆrn_^0#/ Xhr ^T3) &1 E23Y- 89/7y ;h0#$^ 243 c B. Möller la l Theor. Inf. SS ^q{ $3^-q[ + va$k;9[ Y_ $S23Y3# _^q )g0_ ^T[ T ET23) ^Z < F0#^ Definition 17.8 ŽG_&&^ B IA#IE>QI >_PR XKr /Y{ $^ $^ && &1& $# ;9[ x T {ε} $))0 k K 8s A = Q T K δ q 0 F) 3 1]9 q Q 8s 1&1dƒ /ˆ3 ;?243) /S G$#! $"Œ& q x k r w) δ }~ adˆ G$# < $"Œ& q ε k r w) δ XZ;&1 8say_ G$#! $#"%& q x k r w ) [ 1 x T δ $^Z;s&E23)gva$K;9[ t & Z; d0#/[ Š $)- k 8 &dz7;h0#^n )t-"%;9< ) ^T8 & /8OG0#^p 243{ ;s&89/u/$) S0 S0#/$#T 8{ /- ^ava$k;9[ $) -") & )8 S0 yh& E~0#_ ^T[ T243 ^dx; $)Z{ $3^T/ D - $]^ 0#/[ c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004

11 Š y Definition 17.9.y;9< zh{e^ _ 6!"^ B IA#IE>QI >_PR XKr / L = FA) { ŽG&1&^ $K;9[ A 8s &x 243 L 3 1]? $#^q ) 0#_ ^T[ T243/ k 89_ra TZ && 0^ˆ^T/89$#& )!"^ 243/ E ^ ^Z^!")^ T243M$)8 -h$ox#0 243/oXh ).d23! 1&1yh& ] 0# dxk [ }G/89/) u.u/$[ ZF0#^ˆy;?< zh { ^T / c B. Möller l m %l Theor. Inf. SS 2004 Beispiel !0#_ ^T[ # -T T243 6!"^ 243 {ww : w T } ay;9! zh { ^T cx W k }~^ [[ 1yt0 { $#^q3 0# F^T;h0#$y!T ;9/ S ε $)0 S asa {4 $#^ &1& a T k /t 243<0_^ [ # ET 23/ vˆyhu/"#;s^q89_ra )<[ $Sq0#/[ va$k;9[ :<;9 Z" & XK )0/[ [ 0#/ ^T8 8{ $^ˆ0 243/! 0$#^ 2437 ) -"%;9< / ^T ^ Z_ u_ q 1 d ^Z^ 0^ ;s^-[ xz/ a_^q^t 23!T 8XKra ^ 0t ) y;9^z^ty! F 8 $)243 yhu/_"t ^- W k 0 ^T[ # ET T243^va$K ;?[ [ $]9.;93) / $)Zy;9[[/ _^qh$#^a/)0#&1 243 :K &6Š $SW )0.3 a$s07z;?[ x~# E23< &1 8 + rn xq:<;s^ $STT23 $)/ ) X)0K F 8 ^ˆ$) / 23^ y!ˆ& )8 W W rn^ 0#/7y oxk ~0 ˆ# 243<a[ ;989&1 243 ^ c B. Möller l m m l Theor. Inf. SS 2004

12 $ y 3 ^a8? / );M2437;93) rn q0 Satz W 0_^ [ # ET 23ty;?< zh { ^T /!")^ 89dT243#& ;?TZ/7$)< ^ŽG;9[")&/[! & 0#$)8 243/Y- )0 ŽG;9ST^T$y!T ;9 0/ˆ<4-"^ /243/)0/ ŽG&1&^ ε ^T8 $K;9[ Y _ r 89. Y_ 89dT243#^ ${Er y! ^ /S0K 8?_^ ;9^T[ 0_ ^T[ T ET23) _^T& & _ ~Z )0 jvxhrn 1& c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004 k.rn_ 1 ^T 8?)/3[ 8?ST23 { ˆ E Satz Wd0.0_^ [ # ET ET23ty;?< zh { ^T \<")^ 0$#^ 2437 ). S0#/$#T 89\}~^ [[ T 1y dt23^z rn_^0#/ 23)+y $S23 89/89/78s d~!"^ 23)oXK0# IARa@ / AŒj 4R#_B WQI1J + 0# g/ny ). S0#/$K 89.y;9< zk { ^T_ 6}~^ [[ 1y789 - S0CX0 / { $^ Beispiel y;9! zh { ^T 6<")^ 23) Ea 3 {a i b j c k : i = j j = k} ^!a[/3#^ 0$#T 8$S0tZ;9[ 1# 243<~0_^ [ # ET T243 c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004

13 Korollar #_ ^T[ T243ty;9< zk {E^ _ 6!"^ 23! 89dT23&;TZt$! ^ _^ _ # 89$)8$S0tZ;?[ 1 $^ 23ST243 xz 23)Y- S0 $S23Y# 243<a$)< ^ Beweis: $#^0# g 89/89 )F<")^ 23) 89 1&x {a i b j c k : i = j j = k} = {a i b j c : i = j} {a b j c k : j = k} $^ ŽG&1&^ _ E0# 1&E-"^ $K;9[ 23)/7y )89 / )t[ W ^ˆ& 243<~0_^ [ # ET T243.u_rn_ 1 /3 $#" $)8 { ;s&8sqra d0#^a 23Y0#657;s^T8 ox0 L 1 L 2 = L 1 L 2 c B. Möller l m l Theor. Inf. SS Abschlußeigenschaften allgemeiner Satz ^T/89$&e kontextfreier Sprachen ^ 23!d0#;h23t$! ^ Beweis:.y;?< zh { ^T /!")^ 243/Y- )0 89dT23&;? Zt$! ^ "%^ ;9) _^ _ # 89$)8#X)ŽG;9y ;9Y$))0 _^ X $#^23ST23)# 1Zq$))0YŽG;?["&/[/< FŽG;9ST^T$y!T ;9/t{ $#^0K.^T/89$&e ^T/ "%^ ;9)7yC ;?/ & 243< ${ }~^ [[ 1y/ 0#$^ 24389/{ $3^-nrn^ 0#/ \!"^ 0# /89/ 23)/ {a i b i c j : i j p } $))0 {a i b j c j : i j p } - S0 y;9! zh { ^T cx# 23! L 1 L 2 = L 1 L 2 - S0 ^ˆ 3^ $)243t 23!a$! _^~ŽG;9["& [/< W &EZ; $#^ 243)T243 xt {a i b i c i : i p } 0K.y;9! zh { ^T /!"^ 8?/T243#& ;?TZ/ 243/ c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004

14 $ vq&1& _^ 0# )8?a8s 1&1{ ;s&8?s0#. )89/ 23^d $^ 23ST243 xz 89/ 23&;?TZ/)3 xdƒ y! Satz _^ y;?< zh { ^T /!"^ $^ 243)T243 xza_ ^q^t/89$#& 243 ay;?< zh{e^t ^T/Y$)0t ^ ^ˆ:<^Tu 243< / va<rn/)0$)8 $){ 0 $){ rn/)0# 89/ _rn_ EX89 / ^ˆ c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004 Beispiel y;?< zh { ^T C + u$yz o{ $^ ^ˆr ;9&1&/ u/_ 89/ X0 u ] h243<rqwku/_^0j $KT2437# 243< m n 1 0_^G! "$# m % & )# n ++ ".-/102304$# m )# n s mn 0# )# ^- 9 $$: <;>= & 5 23!?XK0 89dZ_ u_nra 1^0Cƒ ] [?q;m243)0$#t243/70k FŽ~& [[_^ $)8 )0^ : <A@BCD-D!E/ FG) 5IH! &I &I + J K L:$M 9#NO0 78 #P02 Q #R-/SF0T0U ";>= \!"^ 23)g0#^ 3 s mn 0# $))07[ xg0#/[ k$)[" )8 C[[!"^ 243/7 243<qy;9! zh { ^T o- S0 {ua m b n vc m d n w : m n 1} ^- u 8O[ t& _ E23<X)0 ] Z;s& 243 c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004

15 M_ om$ R 0K.^T/89$&e ^T\!")^ 243! "$# % &I K ># ++ "P-/O0UP304$# # 9 $$: <;>= + 7 R h23<rqw#u^ 0k $#T23 = {s mn : m n 1} 23!qy;9< zk { ^T_ ex & Z;y )t h23!rqwku/_^ 0k $K4T237# E23!qy;9< zk {E^ _ 243t0[ :<;s^t 89/ Z_ u $)243 c B. Möller l m l Theor. Inf. SS 2004

l, ; i.'s ä E.ä E o gäästaefiiä,ggäeäeää;äggtää EI ;äe E H * eaä* E E 8EP.E .e= äe eääege F EEE;säääg lee sa 8NY ExE öe äec E= : ;H ä a(ü

l, ; i.'s ä E.ä E o gäästaefiiä,ggäeäeää;äggtää EI ;äe E H * eaä* E E 8EP.E .e= äe eääege F EEE;säääg lee sa 8NY ExE öe äec E= : ;H ä a(ü ,. 8\ ( P ;! l, ;.'s ä.ä >. u.a ä q x ö ä : ; ä ;äe * eä* 8P. ee s $e ää ä F äsä ff ääsfä,ääää;äää ä eääe F ;säää le sa r T e q ( r "j (,{,!. r JJ fl *r ( + T r {rl J Y '( S YC T 8Y C0 ( (f J, r, C,9 l

Lisätiedot

Lappeenrannan Ilmailuyhdistys

Lappeenrannan Ilmailuyhdistys Lappeenrannan Ilmailuyhdistys Tapahtuman tuloksia, moottoripyörät Kierroksia: 396 Osallistujia: 328 Autot Moottoripyörät Kaikki Ajoneuvo Lähtöaika Aika 400 (s) Nopeus (km/h) Valmistaja Malli Tyyppi Selitys

Lisätiedot

LVI-numero Hitsattu teräsputki P235 TR1 / EN ;Suojamaalattu / Korro E

LVI-numero Hitsattu teräsputki P235 TR1 / EN ;Suojamaalattu / Korro E Hitsattu putki PUTKI P235TR1 PUN 21,3X2,0 0404058 punainen;hitsauskerroin V=1,0;Todistukset EN10204:2004/3.1;Toimituspituus 6 m; TM42 PUTKI P235TR1 PUN 26,9X2,3 0404094 punainen;hitsauskerroin V=1,0;Todistukset

Lisätiedot

Jakotukit / tarvikkeet

Jakotukit / tarvikkeet Jakotukit / tarvikkeet Tuote LVI-numero Pikakoodi 2022115 BF71 VM 2X3/4 EURO VM 3X3/4 EURO VM 4X3/4 EURO VM 5X3/4 EURO VM 6X3/4 EURO VM 7X3/4 EURO VM 8X3/4 EURO VM 9X3/4 EURO VM 10X3/4 EURO VM 11X3/4 EURO

Lisätiedot

PUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA

PUTKIKAKSOISNIPPA MUSTA Takorauta Tuote LVI-numero Pikakoodi 0753007 RU33 KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS KESKIRASKAS DN 65 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS 0 KESKIRASKAS SK/UK SK/UK

Lisätiedot

Jakotukit / tarvikkeet

Jakotukit / tarvikkeet Jakotukit / tarvikkeet Tuote LVI-numero Pikakoodi VIRTAUSMITTARI UPONOR SMART S 2022148 BT40 JAKOTUKKIIN PALUUVENTTIILI UPONOR SMART S JAKOTUKKIIN JAKOTUKKI DANFOSS FBH-F RST 2+2 LATTIALÄMMITYS 2+2 VIRTAUKSEN

Lisätiedot

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S<

t P1 `UT. Kaupparek. nro Y-tunnus Hämeenlinnan. hallinto- oikeudelle. Muutoksenhakijat. 1( UiH S< 1(0 1 4 1 1 4 UiH 0 0 0 1 S< A S I A N A J O T O I M I S T O O S S I G U S T A F S S O N P L 2 9, Ra u h a n k a t u 2 0, 1 5 1 1 1 L a h t i P u h e l i n 0 3 / 7 8 1 8 9 6 0, G S M 0 5 0 0 / 8 4 0 5

Lisätiedot

Aluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava

Aluevarausmerkinnät: T/kem Maakuntakaava kk mk mv se jl ma ge pv nat luo un kp me va sv rr rr A AA C P TP T TT T/kem V R RA RM L LM LL LS E ET EN EJ EO EK EP S SL SM SR M MT MU MY W c ca km at p t t/ kem mo vt/kt/st vt/kt st yt tv /k /v ab/12

Lisätiedot

Uraputket ja -liittimet

Uraputket ja -liittimet Uraputket ja -liittimet URAPUTKI ZN EN10217-1 42,4X2,6 P235 TR1 LZ17 0477938 48,3X2,6 P235 TR1 RH46 0477939 60,3X2,6 P235 TR1 WP75 0477940 76,1X2,6 P235 TR1 BX04 0477941 88,9X2,9 P235 TR1 TV91 0477942

Lisätiedot

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies)

1. Kaikki kaatuu, sortuu August Forsman (Koskimies) olo q» date reliioso olo 7 K (2003) KE2a7 1. Kaikki kaatuu, sortuu uust Forsma (Koskimies) olo 14 olo 21 3 3 3 3 3 3 3 3 Ÿ ~~~~~~~~~~~ π K (2003) KE2a7 uhlakataatti (kuoro) - 2 - Kuula: - 3 - uhlakataatti

Lisätiedot

sim.exe DLL DLL ISO 639 sim.exe DLL ISO 639

sim.exe DLL DLL ISO 639 sim.exe DLL ISO 639 DLL sim.exe DLL DLL ISO 639 sim.exe DLL ISO 639 *************************** ISO 639 *************************** () ab aa af sq am ar hy as ay az ba eu bn dz bh bi br bg my be 299 ( ) ( ) () () km ca zh

Lisätiedot

-lllii;i i Eiää: Iiiii:; ä;äiäeiäi

-lllii;i i Eiää: Iiiii:; ä;äiäeiäi I z v x 'uz1zz?z., d!?.,rtz l t! r zx x tru tl Ifl Ag, lp llg l!q?6 ff -lll I 'g l 1 II giigur gtl,l9 t grliffglgi ggrygtgg , ur?.1,ä.r 'r,!,tzlt "z'.1 {r,? yr,! rz fl. r F g g!fi z,. g! q I?!?+ t f g

Lisätiedot

w%i rf* meccanoindex.co.uk

w%i rf* meccanoindex.co.uk &, w% r* lr,ryd* kro g ; - C +gä!! r -. ä.;'! dg+s Zt t0, y < 9 -! 8 tü;r" lun.'-y; ',ä lrl;!tä u l - 9 9! - ä 6 ^ 9 b - q - cz * ; *'a! a = ;6 f

Lisätiedot

Keittiöaltaat ja -varusteet

Keittiöaltaat ja -varusteet Keittiöaltaat ja -varusteet Tuote LVI-numero Pikakoodi UPOTETTAVA-ALLAS STALA LYRIA 5922146 ZG80 L50-60 1-ALT HANA-ALUEELLA PUHDISTUSAINE FRANKE TWISTER RST PINNOILLE CUT-4 KOIVUA KANTTIALLAS STALA DESIRE

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=."fl: ä; E!, \ ins:" qgg ;._ EE üg.

3 *ä;r ä:e 5ä ä{ :i. c oo) S g+;!qg *r; Er ; l[$ E ;;iä F:ä ä :E ä: a bo. =. * gäf$iery g! Eä. a is äg*!=.fl: ä; E!, \ ins: qgg ;._ EE üg. t AJ 1., t4 t4 \J : h J \) (.) \ ( J r ) tḡr (u (1) m * t *h& r( t{ L.C g :LA( g9; p ö m. gr iop ö O t : U 0J (U.p JJ! ä; >

Lisätiedot

Patteriventtiilit, termostaatit

Patteriventtiilit, termostaatit Patteriventtiilit, termostaatit Tuote LVI-numero Pikakoodi TERMOSTAATTI UPONOR SMATRIX 2024509 MJ53 RADIAATTOREILLE 1071660 TYHJENNYSVARUSTE STAD DN 10-50 TA52179-990 SUOJATASKU DANFOSS 3/4 MS 18X210 MM

Lisätiedot

2018/17/08. 8W Z8 Alumiinivanne (talvi), 10-spoke Gravis design, 18" 471,00. 80A Z8 Alumiinivanne (talvi), 10-spoke design, 17" 269,01

2018/17/08. 8W Z8 Alumiinivanne (talvi), 10-spoke Gravis design, 18 471,00. 80A Z8 Alumiinivanne (talvi), 10-spoke design, 17 269,01 8W0071498E 8Z8 10-Parallel-spoke design, 349,00 80A071497 8Z8 10-spoke 4K0071497 8Z8 10-spoke 8W0071498 8Z8 10-spoke Gravis design, 471,00 8W0071497A 8Z8 15-spoke 4F0071496H 8Z8 5 spoke 4M0071490 8Z8 5-arm

Lisätiedot

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A

K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E

Lisätiedot

17 Jm. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so Pe/so. Pe/so. Hattulan kunta 32. Pe/ao Johtoaukea, uusi. Reunavyöhyke, uusi

17 Jm. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so. Pe/so Pe/so. Pe/so. Hattulan kunta 32. Pe/ao Johtoaukea, uusi. Reunavyöhyke, uusi ga sa la -H ik iä k V( FG ) SI/ J --- MÄKELÄ SI/J --- --- --- --- --- --- silta --- SUPPA --- KUTTILA --- KAURANEN / I --- Hattulan kunta Suunniteltu keskilinja kv VANAJA - TIKINMAA kv Purettava kv keskilinja

Lisätiedot

'/i. 4»/ ! / i, 3"/ 7 J i. 3"/i. i 17. l?- 1 /* A j\l I i 8 3V B 37, 6! 3% 47, 2»/16 /3-i/ A 996

'/i. 4»/ ! / i, 3/ 7 J i. 3/i. i 17. l?- 1 /* A j\l I i 8 3V B 37, 6! 3% 47, 2»/16 /3-i/ A 996 37, 37. 47, 17/. '. keus»/ /3-7, Hntalte N:o 1. Spencer-Smth männät ja tapt. Vaunu Männäntapp Keskö- Rengas- SS N:o ne 3 tuus korurat ss «5 keus vr-r., j^-.q ' 0 tuus Mall Buck 34-50, 35-50 1934-35 *f00

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Ilmalämpöpumput. KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY LVI-numero PIKA VR06

Ilmalämpöpumput. KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY LVI-numero PIKA VR06 Ilmalämpöpumput KUPARIPUTKI KIEPPI ARMACELL 1/4X3/8 L25M ERISTETTY 1582309 VR06 SEINÄLIITOS ARMACELL SPLIT SD-CA 80X60 3258501 GG64 LIITOSKAPPALE ARMACELL SPLIT SD-CC 80X60 3258503 SW22 SUOJAKOTELO ARMACELL

Lisätiedot

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n

M Pv + q = 0, M = EIκ = EIv, (EIv ) + Pv = q. v(x) = Asin kx + B cos kx + Cx + D + v p. P kr = π2 EI L n ÄÙ Ù ½ ËØ Ð Ù Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ ÈÙÖ Ø ØØÙ Ø ÚÙØ ØØÙ ÙÚ Ì Ô ÒÓ ÓØ Q v + q =, M = Q, ½º½µ ÑÑÓ ÐÐ ÙÚ ÐÐ M v + q =, M = EIκ = EIv, (EIv ) + v = q. ½º¾µ ½º µ ½º µ EI = Ú Ó ÆÙÖ Ù ÚÓ Ñ v (4) + k v = q EI, k = EI,

Lisätiedot

Peitelevy ja peitelaippa

Peitelevy ja peitelaippa Peitelevy ja peitelaippa Tuote LVI-numero Pikakoodi PEITELAATTA MERIKA 5688050 JF92 50-75-110/VALKOINEN 510 PEITELEVY ORAS D70/G1/2 167051 PEITELEVY KAULUKSELLA 50 MM-130 MM PEITELEVY KAULUKSELLA 75 MM-150

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi S2

Mat Matematiikan peruskurssi S2 Mat-1.122 Matematiikan peruskurssi S2 Ratkaisuehdotuksia Harjoitus 12 alkuviikko Tehtävä 1 Hahmottele annetut vektorikentät sekä niiden kenttäviivat tapauksissa. a)f(x, y) xi + yj b)f(x, y) e x i + e -x

Lisätiedot

PS. Jos vastaanotit Sinulle kuulumattoman viestin, pyydän ilmoittamaan siitä viipymättä allekirjoittaneelle ja tuhoamaan viestin, kiitos.

PS. Jos vastaanotit Sinulle kuulumattoman viestin, pyydän ilmoittamaan siitä viipymättä allekirjoittaneelle ja tuhoamaan viestin, kiitos. Teamware Office' Posti Saapunut posti : Olavi Heikkisen lausunto Lähettäjä : Karjalainen Mikko Vastaanottaja : Leinonen Raija Lähetetty: 18.1.2013 10:29 He i! Korjasin nyt tämän spostiliitteenä olevaan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

POISTOILMAVENTTIILI HALTON

POISTOILMAVENTTIILI HALTON Venttiilit Tuote LVI-numero Pikakoodi 8707702 AT09 URH/A-100 URH/A-125 URH/A-160 URH/A-200 URH/B-100 URH/B-125 URH/B-160 URH/B-200 PEITELEVY HALTON CS/ULA-160 TULOVENTTIILI HALTON ULA-100 TULOVENTTIILI

Lisätiedot

-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012

-Jotta maailma olisi parempi paikka wappuna. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 -J w. RAKENNUSINSINÖÖRIKILLAN VIRALLINEN KILTALEHTI JO VUODESTA 1963 2/2012 JOS ET NÄE LUKEA ALLAOLEVAA PIILOTETTUA TEKSTIÄ, JUO LISÄÄ SKUMPPAA, SILLÄ STEREOGRAMMIEN NÄKEMINEN ONNISTUU VAIN SILMÄT KILLISSÄ.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w

& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w Epainn muis (1.1., 6.12.) # œ œ œ œ œ # œ w i nun Kris lis sä py hää muis tus Tofia (6.1.) jo Jo pai a, y lis n [Ba li nu a, os,] kun ni, l nä ru k, i dän Ju ma lis, y lis ka i dän h tm h nk sl nu a, o

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Käyttövedenlämmitin. KÄYTTÖVEDENLÄMMITIN HAATO HK-15 1/3KW SEINÄ/VAAKA LVI-numero PIKA OD38

Käyttövedenlämmitin. KÄYTTÖVEDENLÄMMITIN HAATO HK-15 1/3KW SEINÄ/VAAKA LVI-numero PIKA OD38 Käyttövedenlämmitin HK-15 1/3KW SEINÄ/VAAKA 5253010 OD38 HK-35 2KW SEINÄ/VAAKA 5253015 RS52 HK-55 2KW SEINÄ/VAAKA 5253020 DE35 HK-100 2KW SEINÄ/VAAKA 5253022 VL77 HM-150 2/3KW SAUNA 5253045 UH93 HM-230

Lisätiedot

1i; i S;Ji'l i. ?::Z+i?; i i räf. i:ä;äi +;la=;iilsi*t li +t ' ?1*1i+;s iii:e: riile s:: : ri;-r2=" ii1js:?i_?7-i17;i i

1i; i S;Ji'l i. ?::Z+i?; i i räf. i:ä;äi +;la=;iilsi*t li +t ' ?1*1i+;s iii:e: riile s:: : ri;-r2= ii1js:?i_?7-i17;i i ,.24 1,? V ) J.,, q " < ^ ; > ). p. Ä I +, 1. ) d. + 1 \ d ; t l r Y ^ L j. 1 > \ 7. r 7 5 r r E,^.. l, 2 9 ; r t 9 j J l 2 1 ; Y,7, ) r 4.. ; G / ) ^ ^ ^ 7 ^ t. r P l t L ) 2 4 P? D 9 ; F I*, 1.. ) /

Lisätiedot

"#$#%&'()*%+,$-#.!&,*$#-/0!1'&),*,,.!23*&343.!'45,,.!#$3#6&#0#44,!!!!!

#$#%&'()*%+,$-#.!&,*$#-/0!1'&),*,,.!23*&343.!'45,,.!#$3#6&#0#44,!!!!! "#$%%&'())(*+(,))*%-./))/**01*'/,)&23*4%%&(+'*,5" "#$#%&'()*%+,$-#.&,*$#-/01'&),*,,.23*&343.'45,,.#$3#6&#0#44, 7&&'--#$%*$,'$%545-5-$#..%.%)#..3/-,-/8 "'69,.0#:5;?@A B,,--'74'$'44''.:''*'+'C'-*#C''*-%

Lisätiedot

P S. Va r äi n. m m2 2. e a / puistossa säilyvät puut. korko muuttuu, kansi uusitaan SVK asv.

P S. Va r äi n. m m2 2. e a / puistossa säilyvät puut. korko muuttuu, kansi uusitaan SVK asv. TI E f as 8 5 5 pu ke lu pi ip iv - le / te AP 1 4 KI +8 8 +8 9 O le lem ht a ip ss uu a st ol oa ev aa rk ki ip met A L 31 6 L AP P LE IK S E T ei l y tu pu r u va liu m k u at m to äk i in u hl M 22

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

TALVIKAUDEN LINJASTOSUUNNITELMALUONNOS

TALVIKAUDEN LINJASTOSUUNNITELMALUONNOS 1 () död 10 TIUDE -1 IJTOUUITEUOO öd J - d T g g d 09 - -d 1 %: 18 %: g J % d 09 11, d 0 % ö ö, d d, g d ö T - b ö d, d, ö T d T d d T, d ö J 11 (://f/f///), d, d -, ö d T 8, Fc 2 B, 1 T, 0-11, fx 0- @f,

Lisätiedot

5 NOUSIAINEN. > 40 db > 45 db > 50 db > 55 db > 60 db > 65 db > 70 db > 75 db. Vt 8 ja kt 40 Raisio. LIITE Maanteiden meluselvitys 2012

5 NOUSIAINEN. > 40 db > 45 db > 50 db > 55 db > 60 db > 65 db > 70 db > 75 db. Vt 8 ja kt 40 Raisio. LIITE Maanteiden meluselvitys 2012 Mets-Sy Tm Nuhj Tm Lets Kerttu Tmmst Ru lttyl Petterpe lt Pr Krvett Thv NTALI Völ Kerr Mj trt Vrppee seutu Vlulut Pellper Lu Jr Nur Vsr r Ie V Kr Ks K Ih Upl v Plus Aury l Per Vt 8 j t 0 Rs PrlAsureus

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

M Arvio. tttilrili ttr. metsämaan arvosta. uui0 [rttta. Pl,[ 0{00 12r832. metsänhoitoyhdistys. Laatijan allekirjoitus. Lisätietoja.

M Arvio. tttilrili ttr. metsämaan arvosta. uui0 [rttta. Pl,[ 0{00 12r832. metsänhoitoyhdistys. Laatijan allekirjoitus. Lisätietoja. M Arvi metsänhityhdistys metsämaan arvsta Omistaja Kunta Kylä Tila Rn: Ala, ha Sal Phj a kylä LJtila 2:97 L33,L SALO 25,11.214 Lisätietja Laatijan allekirjitus Hakala Raun uui [rttta tttilrili ttr Pl,[

Lisätiedot

ä 3 lr;+fä3fää äää+ r

ä 3 lr;+fä3fää äää+ r h. /] fr ff J { 1) -* {s ;; '*J 0 K F * 4 EP f' J d {.l E *e}' -{ ä'r) * fü PE }} ä g {fr ff EW g) f< Q-O -r -l ^= F{ $ $ ä- $FF flü +ä# äf $ E& =4 äh $ F. g ääü f se L ü,,8 g gr- ä äe HSs 9 5 ;n; g Fß;

Lisätiedot

URN: NBN:fi-fe19991228

URN: NBN:fi-fe19991228 URN: NBN:fi-fe19991228 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62

Lisätiedot

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto

i lc 12. Ö/ LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 4,0 3,8 4,0 1 ( 5 ) L i e d o n a mma t ti - ja aiku isopisto i lc 12. Ö/ 1 ( 5 ) LS K KY: n opiskelijakysely 2014 (toukokuu) 1. O pintojen ohjaus 1=Täysi n en mi eltä. 2=Jokseenki n er i m ieltä, 3= En osaa sanoa 4= Jokseenki n sa m a a mieltä, 5= Täysin sa ma a

Lisätiedot

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA

YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA YHDYSKUNTALAUTAKUNTA TALOUSARVIOEHDOTUS 2018 TALOUSSUUNNITELMA 2018-2020 TOIMIALA 50 YHDYSKUNTAPALVELUT P A L V E L U 5 0 0 T E K N I S E N J A Y M P Ä R I S T Ö T O I M E N H A L L I N T O J A M A A S

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Kristuksen syntymän kalanda kreikaksi

Kristuksen syntymän kalanda kreikaksi Krstuks syntymän klnd krekk 1 F G7 7 G7 K ln es pe Hrs tu n th Hrsts j n U r n rn, n r hn des, j n n rn gl ln de n n he, p, V, r, n ne rs n p strhn Vthem he r ks ms k p ss, ss. l, 9 7. 8. F G7 7 G7 En

Lisätiedot

Tuote LVI-numero Pikakoodi KAULUS PURISTETTU HST DN 100/114,3/3,0 EN Puristettu putkikaulus;en ;Todistukset EN 10204:2004/3.

Tuote LVI-numero Pikakoodi KAULUS PURISTETTU HST DN 100/114,3/3,0 EN Puristettu putkikaulus;en ;Todistukset EN 10204:2004/3. Kaulus Tuote LVI-numero Pikakoodi DN 100/114,3/3,0 EN 1.4404 1171035 DD44 DN 125/139,7/3,0 EN 1.4404 1171039 OE47 DN 150/168,3/3,0 EN 1.4404 1171044 JG62 DN 200/219,1/3,0 EN 1.4404 1171048 MH87 DN 200/219,1/4,0

Lisätiedot

IrUl. L(r. \a,u j l,/"å"? i\, -à (*rl. rj -t. ehdoinx+y:40. xrj > v. XV ky. \ì i. ' -?"{ '?ç;: l+ r t {À- U i. 3,t (.", ) .1CI= \ i.

IrUl. L(r. \a,u j l,/å? i\, -à (*rl. rj -t. ehdoinx+y:40. xrj > v. XV ky. \ì i. ' -?{ '?ç;: l+ r t {À- U i. 3,t (., ) .1CI= \ i. \u /"Å"? d--- ( + r À- ru v. V ky ç. Vsn Rmpuu Oy myy shuksen svuueen synyvän purun rk-neeks kheen ksus-kheeseen. ( Oss puru ehdään ämmykseen käyeävää peeä (2 s purus käyeään muvkmps-evyen vmsukseen. Vkss

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 Mat-.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 11 1. Olkoon tehtaan tuotanto x(t) ajan hetkellä t ja investoitava osuus tuotannosta u(t). Tehdasta kuvaa systeemiyhtälö ẋ(t) = u(t)x(t) x() = c

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG

POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K KIMSET 6405400001 TREVI/VIVA 9159200001 SEVEN D

Lisätiedot

Belz & Gelberg & /01

Belz & Gelberg & /01 Deutsch Fünfter sein Arabisch Ernst Jandl. Norman Junge &' (! )$(.! "# $% Belz & Gelberg 234506 & /01 Ernst Jandl, 1925 in Wien geboren und 2000 dort gestorben, zählt zu den bedeutendsten Lyrikern unserer

Lisätiedot

Scalar diffraction and vector diffraction using Fourier analysis. Yasuhiro Takaki. Tokyo University of Agriculture & Technology. Faculty of Technology

Scalar diffraction and vector diffraction using Fourier analysis. Yasuhiro Takaki. Tokyo University of Agriculture & Technology. Faculty of Technology Scalar diffraction and vector diffraction using Fourier analysis Yasuhiro Takaki Faculty of Technology Maxwell RCWA : F F I G G ; Maxwell! " # $ % & ' ( ) * +, -. / 0. 1 ' 2 3 $ 4 5 6 7 8 9, : ; < = >

Lisätiedot

Koulutoimen henkilöstörakenne

Koulutoimen henkilöstörakenne Koulutoimen henkilöstörakenne 11.11.2016 Virka/toimi Toimen/viran nimike Toimisto V 1 koulutusjohtaja T 2 toimistosihteeri T 3 toimistosihteeri V0033 4 koulukuraattori T 5 koulupsykologi Yhtenäiskoulu,

Lisätiedot

Ilmastointi PUSSISUODATIN ALTECH CL-36-3-M5 LASIKUITU L500 PUSSISUODATIN ALTECH CL-63-6-M5 LASIKUITU L360

Ilmastointi PUSSISUODATIN ALTECH CL-36-3-M5 LASIKUITU L500 PUSSISUODATIN ALTECH CL-63-6-M5 LASIKUITU L360 Ilmastointi Tuote LVI-numero Pikakoodi 7754400 OK08 CL-36-3-M5 LASIKUITU L360 CL-36-3-M5 LASIKUITU L500 CL-63-6-M5 LASIKUITU L360 CL-63-6-M5 LASIKUITU L500 CL-66-6-M5 LASIKUITU L360 CL-66-6-M5 LASIKUITU

Lisätiedot

Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K

Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K SÄILIÖN TIIVISTE GBG HUUHTELUPUTKI GBG HUUHTELUVENTTIILI

Lisätiedot

Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K

Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG LA37 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K WC-varaosat Tuote LVI-numero Pikakoodi POHJAISTUKAN TIIVISTE GBG 5652536 LA37 NORDIC 2300/2200 HUUHTELUVENTT. TIIVISTE GBG NORDIC 2300/2200 T II/ T I/ K HUUHTELUPUTKI GBG HUUHTELUVENTTIILI GBG 1-H JA 2-H

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

2"3" FOR HOUSEHOLD USE ONLY ((

23 FOR HOUSEHOLD USE ONLY (( ype SP025PY * 2"" SRZO PR 'SO OPR,A G SROS MOD D'MPO BDGSAG SROS D SO rsrrqös PARA SO GBRKSAAWZG PR A VOSRA SRZZA GGR AAM SRZO PR 'SO. OR YOR SAry ARY RAD H OPRAG SROS. pur R sunr, sz SSM S SRS D'Mp. rün

Lisätiedot

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten?

Kokeile ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! Miten opit parhaiten? Miten opit parhaiten? Valmistaudu täydellisesti lääkiksen pääsykokeeseen! n Voit harjoitella kotoa käsin huippusuositulla Mafynetti-ohjelmalla. Mukaan kuuluu 4 täysimittaista harjoituskoetta!! n Harjoittelu

Lisätiedot

TEKNISET TIEDOT. ISO 6432 minisylinterit Ø 8-40 mm

TEKNISET TIEDOT. ISO 6432 minisylinterit Ø 8-40 mm ISO 6432 minisylinterit Ø 8-40 mm Univerin minisylinterien kehitystyöhön on hyödynnetty vuosien tutkimustyö ja tuotekehityksen saavutukset. Tuloksena on luotettava tuote, joka soveltuu kaikkein vaativimmankin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

3 Yhtälöryhmä ja pistetulo Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =

Lisätiedot

MO-teoria ja symmetria

MO-teoria ja symmetria MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO

Lisätiedot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto

Lisätiedot

Sinusta Kvantin. toimittaja?

Sinusta Kvantin. toimittaja? j? jö j jj j j j IO j j j j yj jj föö j y j j j j j - j ö ö j j H j j 05! A ö j ö @fyyf! jj y j Ey fy j! O j! 3 & Pjj 5 Pj 6 yy 8 JU: & H 5 y 8 Q 0 M y j j J : III/ II - /0 P 50 P C Φ- Mj A O H H J J M

Lisätiedot

-d;'$ d{ee lr a ;{*.v. ii{:i; rtl i} dr r/ r ) i a 4 a I p ;,.r.1 il s, Karttatuloste. Maanmittauslaitos. Page 1 of 1. Tulostettu 22.08.

-d;'$ d{ee lr a ;{*.v. ii{:i; rtl i} dr r/ r ) i a 4 a I p ;,.r.1 il s, Karttatuloste. Maanmittauslaitos. Page 1 of 1. Tulostettu 22.08. Maanmttauslats Page 1 f 1 -d;'$ d{ee lr a ;{*.v {:; rtl } dr r/ r ) a 4 a p ;,.r.1 l s, Karttatulste Tulstettu 22.08.2014 Tulsteen keskpsteen krdnaatt (ETRS-TM3SFlN): N: 6998249 E: 379849 Tulse e le mttatarkka.

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

( )

(   ) ( www.padasalai.net ) TET TET TET ReExam Paper I Paper II. 8015118094 sivatvmalai@yahoo.co.in Questions TRB - Page 1 II ( 7, 21 ) ( 3, 15 ) ( 3, 5) ( 6,2) (3,5) 1 ( 3, 5 ) (2 + ) ( - 2 ) (2 + ) ( - 2 )

Lisätiedot

Rajamäen terveysasema Kaavamuutoksen viitesuunnitelma 1:800

Rajamäen terveysasema Kaavamuutoksen viitesuunnitelma 1:800 +93.80 +93.20 +92.75 +93.10 +92.50 Huttunen-Lipasti-Pakkanen Oy Uudenmaankatu 7 B 5, 00120 Helsinki +358 (0)9 694 7724, etunimi.sukunimi@h-l-p.fi Rajamäen terveysasema Kaavamuutoksen viitesuunnitelma Asemapiirustus

Lisätiedot

Arvio metsdmaan arvosta

Arvio metsdmaan arvosta Arv metsmaan arvsta Omstaja Kuusam, Nskajrv Kunta Kyll Tla Rn: Ala, ha 35 477 Nskajrv 31. : 77,5 SPOO LO.6.2L7 Lstetja Teemu Saarnen KTM, LKV Arv phjautuu 14.1,23 pvtyn metssuunntelman kuvtethn ja Kuusamn

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

+ () 4 Abä. o t-{ +J t4. -s. -r) -^.b. L,'iI. o I=={ ) ts{ A L] l--.l. l*4. op{ cta-rff" ii F{ H H. !Jrl) ..:

+ () 4 Abä. o t-{ +J t4. -s. -r) -^.b. L,'iI. o I=={ ) ts{ A L] l--.l. l*4. op{ cta-rff ii F{ H H. !Jrl) ..: \ H + t4 + to t{ F{ O 4, ) e) 4 Abä,.,'i M ^.b 4 r), U) A ] l.l { ) t{ ) C5 t< cff" rl) t{ A p{ H H ii F{ c l4 ä..: v \ \ \ ) ) \ R V) A ) \ g'ä$ää e;'ü ä; {3;t:Hfä F",r ri 3 äääätäää c;{r;l ä:ärugärlsä:h$

Lisätiedot

RENGASHINNASTO 2015 TRAKTORIN RENKAAT

RENGASHINNASTO 2015 TRAKTORIN RENKAAT 16.11.2015 13:06 1 (6) 512R7107042 710/70R42 BKT RT765 TL 173A8 DW20 507R4265065TM800158D 650/65R42 Trelleborg TM800 TL 158D DW20 3 225,81 4 000,00 0 503R6506542 650/65R42 Alliance A-365 TL 158D 1945 DW20

Lisätiedot

MASSARÄÄTÄLIT RY JUHLASEMINAARI Ferrometal Oy Ferrometal Group

MASSARÄÄTÄLIT RY JUHLASEMINAARI Ferrometal Oy Ferrometal Group MASSARÄÄTÄLIT RY JUHLASEMINAARI 2011 Ferrometal Oy Ferrometal Group pe ru As H ste Yrit ia el tt y kk si a s aa nk a n t: ii n su Su u Tu rt om eo a ot tu e lli lai M v ot a su n e u t e l ik ut D us n

Lisätiedot

Ei asemakaavaa. E3 Söörmarkun eritasoliittymä

Ei asemakaavaa. E3 Söörmarkun eritasoliittymä X= Värn slyks Suunnllu : Y = Tään suunnlan ukaan Y = raknnaa a parannaa X= Mudn suunnln ukaan raknnaa E asakaaaa Tdn hallnnllsssa järjslyssä apahdu uusa Y E Söörarkun raslyä Y Y M a s a Va Y P r R R Va

Lisätiedot

Obchodní podmínky. TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTěT. TTTTTTTeTTTTTTTTTTTTeTTTTT.T. Úvodní údaje

Obchodní podmínky. TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTěT. TTTTTTTeTTTTTTTTTTTTeTTTTT.T. Úvodní údaje Obchodní podmínky ě www.s..ořsřes ee. Úvodní údaje Sč s:web ARIADNA s... I Č:05073561 S: Bílkova 855/19, Staré Město, 110 00 Praha 1 SčsnsOnněssnsPn,C, ž257901 E:f@s. Ks:P.O.Bx8,15000P5 OOeOnO Odě Oení

Lisätiedot

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

CHEVROLET JA FORD OSIEN

CHEVROLET JA FORD OSIEN 1939 CHEVROLET JA FORD OSEN HNNASTO SUOMEN AUTOVARUSTE TURKU YLOPSTONKATU 7 PUH: KONTTOR 3908, MYYMÄLÄ JA VARASTO 3907, 3917 SÄHKÖ O S: AUTOVARUSTE :60 335285 335446-7-8(84018) 335679 335977 335978 337709

Lisätiedot

Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.

Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0. Mat-.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 1 1. Olkoon maaston korkeus y(s) derivoituva funktio ja etsitään tien profiilia x(s). Päätösmuuttuja on tien jyrkkyys

Lisätiedot

Usko, toivo ja rakkaus

Usko, toivo ja rakkaus Makku Lulli-Seppälä sko toivo a akkaus 1. Ko. 1 baitoille viululle alttoviululle a uuille op. kummityttöi Päivi vihkiäisii 9.8.1986 iulu a alttoviulu osuude voi soittaa sama soittaa. Tavittaessa alttoviulu

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

L -"(! /!(#((0'(1 # JM$N'O("#""'!"#I#J"!"#$!&() % #I!"#(K!(!!"#(#"((JM$NN. ARIESWALL HEATER &'#()*+,-#!!$2()(#"'('((. '((. P;QRS5T99R9:87CCU;99CVC;99CW>?@AXC

Lisätiedot

Helka-neiti kylvyssä

Helka-neiti kylvyssä Helkanet kylvyssä Frtz Grunbaum suom. M. A. ummnen Solo Tenor???? m Fred Raymond sov. G. Ventur 2001 Tä män täs tä p Bass Uu m g Wow uu uu uu uu uu uu uu, uu p wow wow wow wow wow wow wow, wow uu wow Mart

Lisätiedot

Korkein halinto -oikeus

Korkein halinto -oikeus .......................... 1. 1 1. 1. 1 1 1 1 1 1 Salon kaupunki Saapunut 18.5.2015 Konsernipalvelut salainen/4/00.04.02/2013 1 Korkein halinto -oikeus Saapunut o. zo Li(teitä...:2. h KORKEIMMALLE IIAI.LINT

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot