TILASTOT JA TODENNÄKÖISYYS Perusopetuksen opetussuunnitelmien perusteissa 2004 on vuosiluokille 6 9 määritelty tietyt tavoitteet koskien tilastoja ja todennäköisyyttä. Seuraavat keskeiset sisällöt tulevat esille: Todennäköisyys ja tilastot todennäköisyyden käsite frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi keskiarvon, tyyppiarvon ja mediaanin määrittäminen hajonnan käsite diagrammien tulkinta tietojen kerääminen, muuntaminen ja esittäminen käyttökelpoisessa muodossa. Alaluokkien opettajilla saattaa olla vaikeaa lähestyä näitä käsitteitä ilman sopivaa tukimateriaalia. Myös yläluokilla aihe saattaa jäädä vähäiselle huomiolle. Tämän materiaalin tarkoituksena on tuoda asiat esille hauskalla ja valmiiksi ohjeistetulla tavalla. Tehtävät ovat tarkoitettu perusopetuksen vuosiluokille 5-9. Materiaalissa on mukana myös projektityö ja erilaisia tapoja arvioida oppilaan suorituksia. Osa materiaalista on valmiiksi tulostettavassa muodossa. Oppilaan oletetaan hallitsevan koordinaatiston käytön ja osaavat prosenttilaskennan perusteet. Käsitteiden avaamista Arvosanat - pylväs- ja viivadiagrammi 12 10 8 - mediaani (järjestyksessä olevan aineiston keskimmäinen arvo tai keskimmäisten keskiarvo) - moodi eli tyyppiarvo (se aineiston arvo/arvot, joka esiintyy useimmin) - keskiarvo (arvojen summa jaettuna niiden lukumäärällä) - todennäköisyys (klassinen todennäköisyys P(A)= 6 4 2 0 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 Arvosanat 1 2 3 4 5 6 suotuisat tapaukset kaikki tapaukset Todennäköisyyden arvo on aina lukujen 0 ja 1 väliltä. 0 P A 1 ) Arvosanat Arvosanat.
1. HEITETÄÄN NOPPAA 1. Jokainen oppilas/ryhmä heittää noppaa 10 kertaa ja merkitsee tulokset sarakkeeseen (A) (käytä tukkimiehen kirjanpitoa). Sarakkeeseen (B) merkitään heittojen suhteellinen osuus (esim. 2/10 = 0,2). 2. Jokainen oppilas/ryhmä jatkaa heittämistä yhteensä sata kertaa (jatka kirjanpitoa sarakkeeseen (A)). Tämän jälkeen lasketaan suhteelliset osuudet sarakkeeseen (C). 3. Lopuksi opettaja kerää ryhmien tulokset sarakkeesta (A) taululle. Lasketaan kaikkien heittojen suhteelliset osuudet sarakkeeseen (D). (A) (B) (C) (D) Nopan silmäluku kappaletta osuus ensimmäisessä 10 heitossa osuus sadassa heitossa osuus koko luokan heitoissa 1 2 3 4 5 6 yhteensä 100 10/10 100/100 100 % Miten suhteelliset osuudet muuttuvat, kun heittojen lukumäärä kasvaa? _ Onko noppa rehellinen? _
2. KAHDEN NOPAN HEITTO 2. heiton silmäluku 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1. heiton silmäluku Heitä noppaa kahdesti (tai kahta noppaa kerran). Toista heitto kymmenen kertaa. Merkitse tuloksia vastaava ruutu rastilla. Jos sama tulos toistuu, merkitse ruutuun useampia rasteja. Rengasta taulukosta kaikki ne mahdolliset tapaukset, joissa noppien silmälukujen summa on parillinen. Kuinka monessa kaikista mahdollisista tapauksista silmälukujen summa on parillinen? Laske todennäköisyys sille, että silmälukujen summa on parillinen. Vastasiko oma heittotuloksesi todennäköisyyttä? Peli: Noppien taistelu Pelaajat kopioivat yllä olevan taulukon vihkoonsa. Pelaajat arpovat nopalla itselleen yhden seuraavista linnoituksista ja merkitsevät ne rasteilla omaan taulukkoonsa. linna (1) Silmälukujen summa = 6 linna (4) Silmälukujen summa < 5 linna (2) Silmälukujen summa = 7 linna (5) Silmälukujen summa > 9 linna (3) Silmälukujen summa = 8 linna (6) Sama silmäluku Pelaaja heittää kahta noppaa ja pyrkii tuhoamaan vastustajan linnan.
3. OVELAT HYRRÄT Pelin ohjeet Peliin tarvitaan neljä alla olevaa hyrrää, jotka voit valmistaa kartongista. Työnnä jokaisen kuusikulmion keskelle teräväpäinen tikku, jolloin hyrrä on valmis. Haasta sitten ystäväsi hyrrämatsiin, jossa molemmat valitsevat itselleen haluamansa hyrrän. Jokaisen hyrrän lukujen summa on 24, joten pelin uskoisi olevan reilua. Suuremman luvun saanut voittaa. Vihje opettajalle: Oma hyrrä kannattaa valita vastustajan hyrrän mukaan. Jos hänen hyrränsä suurin luku on 8, niin valitse itsellesi hyrrä jossa on 5. Jos hän ottaa hyrrän jossa on 7, niin valitse hyrrä jossa on 8. Vastaavasti hyrrällä jossa on 7 voitat todennäköisemmin hyrrän jossa on 6, sekä hyrrällä 6 voitat hyrrän jossa on 5. Miksi? Kannattaako pelata vain yhden voiton peliä? 5 4 3 3 4 5 7 1 1 7 7 1 8 2 2 2 2 8 6 6 0 0 6 6
4. TILASTOLLINEN TUTKIMUS JA DIAGRAMMIEN PIIRTÄMINEN Tilastollinen tutkimus: Tilastollinen materiaali voidaan kerätä usealla eri tavalla. Esimerkiksi - Yksilöllisyystesti: a) kädet ristiin (pane kädet ristiin, kumpi peukalo päällimmäinen?) b) kädet puuskaan (kädet rinnan yli ristiin, kumpi päällimmäinen?) c) silmän näkökyky (kummalla silmällä näet paremmin?) d) aplodit. (kumpi kämmenselkä jää päälle?) Opettaja kerää luokan tulokset taululle. Oppilaat päättelevät millainen on tyypillisin oppilas ominaisuuksiltaan. Onko luokalla yhtään tyypillisintä oppilasta? Diagrammin piirtäminen: Ensin tehdään tilastollinen tutkimus. Esimerkiksi luokan oppilaiden syntymäkuukausista. Esitä tulokset kolmen eri diagrammin avulla: pylväs-, viiva- ja sektoridiagrammi. Kukin diagrammi piirretään A4-kokoiselle valkoiselle paperille. Piirrä diagrammit siististi, voit käyttää myös värejä. Muista seuraavat asiat: - kirjoita diagrammille otsikko - nimeä akselit - merkitse akseleille asteikot (yleensä tasaväliset) - piirrä pylväät, sektorit ym. huolella
ARVIOINTIPOHJA NIMI: DIAGRAMMIEN PIIRTÄMINEN DIAGRAMMITYYPPI ARVIOITAVA KOHDE OMA TOVERI ARVIO ARVIO Pylväsdiagrammi Diagrammilla on otsikko /2 /2 Vaaka-akseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Pystyakseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Akselien asteikkovalinta /2 /2 on sopiva ja tasavälinen Pylväät on piirretty oikein /2 /2 Diagrammi on siisti ja /2 /2 selkeälukuinen Viivadiagrammi Diagrammilla on otsikko /2 /2 Vaaka-akseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Pystyakseli on nimetty ja /2 /2 sille on merkitty yksikkö Akselien asteikkovalinta /2 /2 on sopiva ja tasavälinen Pylväät on piirretty oikein /2 /2 Diagrammi on siisti ja /2 /2 selkeälukuinen Sektoridiagrammi Diagrammilla on otsikko /3 /3 Sektorit on nimetty ja /3 /3 niihin on merkitty prosentit tms. Sektorit on piirretty oikein /3 /3 Diagrammi on siisti ja /3 /3 selkeälukuinen YHTEENSÄ / /
5. TODENNÄKÖISYYSTUTKIMUS Tehtävänäsi on tutkia tapahtuman todennäköisyyttä. Työ tehdään pareittain. Tee ensin kokeellinen tutkimus. Laske sen jälkeen tapahtuman todennäköisyys, vertaa tuloksia ja tee työstä raportti. 1. Tee tutkimussuunnitelma työstä vihkoon. Näytä suunnitelma opettajalle. 2. Laske tapahtuman todennäköisyys. Näytä laskusi opettajalle. 3. Kirjoita työstä raportti ohjeiden mukaan. AIHEET: 1. Heitä arpakuutiota kahdesti. Silmäluvusta muodostuu kaksinumeroinen luku. Millä todennäköisyydellä saatu luku on suurempi kuin 45? 2. Heitä arpakuutiota kahdesti. Laske silmälukujen summa. Millä todennäköisyydellä summa on parillinen? 3. Heitä arpakuutiota kahdesti. Millä todennäköisyydellä saat ainakin kerran silmäluvun viisi? 4. Rasiassa on kahdeksan marmorikuulaa. Kaksi niistä on punaisia, kaksi sinisiä, kaksi keltaisia ja kaksi vihreitä. Nostat rasiasta silmät ummessa kaksi kuulaa. Millä todennäköisyydellä kuulat ovat samanvärisiä? 5. Rasiassa on kahdeksan marmorikuulaa. Kaksi niistä on punaisia, kaksi sinisiä, kaksi keltaisia ja kaksi vihreitä.. Nostat rasiasta silmät ummessa kaksi kuulaa. Millä todennäköisyydellä kuulat ovat erivärisiä? 6. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. Ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä kumpikaan niistä ei ole voittoarpa? 7. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. Ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä toinen niistä on voittoarpa? 8. Arpajaisissa on myymättä vielä viisi arpakuponkia. Tiedetään, että kaksi niistä on voittoarpoja. ostat kaksi arpaa. Millä todennäköisyydellä molemmat niistä ovat voittoarpoja?
RAPORTTI Raportissa tulee olla seuraavat asiat: 1. Tutkimuksen aihe. Kirjoita annettu tehtävä. Esim. Tehtävänä oli 2. Menetelmä, jota käytit kokeellisessa tutkimuksessa. Kerro kuinka suoritit tutkimuksen. Esitä tutkimustulokset esimerkiksi taulukon avulla. 3. Tapahtuman todennäköisyyden laskeminen. Esitä kaikki laskut selkeästi. Laita laskuihin selitykset. 4. Kokeellisen ja lasketun tuloksen vertailu, mikäli mahdollista. Arvioi kuinka lähelle laskettua tulosta, pääsit omilla tutkimuksillasi. 5. Työn arviointi. Arvioi kuinka hyvin tutkimuksesi onnistui. Mitä olisi voinut tehdä paremmin? Aihe tekijät koulu päiväys 1. Tutkimuksen aihe 2. Kokeellinen osuus 3. Laskettu todennäköisyys Vertailu Arviointi
tekijät: koulu: päivämäärä:
1. Tutkimuksen aihe. 2. Kokeellinen osuus.
3. Laskettu todennäköisyys. 4. Vertailu. 5. Arviointi.
TODENNÄKÖISYYSTUTKIMUKSEN ARVIOINTI Työn nimi: Työn tekijät: Arvioinnin kohde Esitys Kirjallisen esityksen selkeys Korkea (3p) Keskimääräine n (2p) Matala (1p) Ei havaintoa (0p) Matemaattisen esityksen, symbolien ja tunnettujen lauseiden ja yhtälöiden tarkoituksenmukainen käyttö Tulkinta Aineiston jäsentely- ja kirjaamistaito Taulukoiden, diagrammien ym. käyttö Ongelman, tilanteen tai aiheen matemaattinen formulointi Arviointi Tulosten selittäminen ja merkityksellisyyden arviointi työn kannalta Tutkimuksen syvyys ja laajuus Pisteet yhteensä K Kiitettävä 21-18 T Tyydyttävä 17-14 V Välttävä 13-10 Kokonaisarvio
6. PROJEKTITYÖ: SÄÄKARTOITUS Työ suoritetaan pienryhmissä. Ryhmät muodostetaan asuinalueen mukaan. Työn kesto on noin kaksi viikkoa. Tarvittava materiaali: Lämpömittari, astia sateen keräämiseen, mittalasi, kaupungin kartta, nuppineuloja, lankaa, havaintokortti (kuva A). Säähavaintokortin täyttäminen: Korttiin merkitään - päivämäärä - lämpötila - sademäärä - säätyyppi (aurinkoa, puolipilvistä, pilvistä, sadetta) - tuulen voimakkuus (kova, keskiverto, tyyni) - päivän mieliala (hyväntuulinen, neutraali, huonotuulinen) Työohje: Työ koostetaan kaupunkikartalle, jonne oppilaat merkitsevät asuinpaikkansa ja rengastavat alueen eri värein. Samalla värikoodilla työstetään lämpötiloista viivadiagrammi (kuva B) luokan seinälle käyttämällä nuppineuloja ja lankaa. Tehdään myös pylväsdiagrammi sademääristä esim. multilinkpalikoilla. Tulokset kerätään henkilökohtaisesti ja ryhmät laskevat keskiarvot. Ryhmän keskiarvo merkitään diagrammiin. Aineistot kerätään iltaisin, jotta sademäärä ja päivän mieliala voidaan kertoa. Lisää pohdittavaa: Vaikuttaako sää mielialaan (korrelaatio)? Mistä johtuu lämpötilojen ja sademäärien poikkeavuudet? Kuinka monta erilaista vaihtoehtoa on olemassa, kun huomioidaan säätyyppi, tuulen voimakkuus ja päivän mieliala (tuloperiaate)?
Säähavaintokortti (Kuva A) päivämäärä 2.9. 3.9. 4.9. 5.9. lämpötila -3 +5 +6 + 2 sademäärä 0 3 1 0 säätyyppi tuuli mieliala Viivadiagrammimalli (kuva B) 7 6 5 4 lämpötila 3 2 1 0-1 2.9. 3.9. 4.9. 5.9. Itä -2-3 -4 pvm