KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka 0-4: 03 830 + 00 74 = 404 7 404 7 Osuus koko väestöstä 7,8 % 9 73 Vastaus: a) 3,0 % b), % c) 7,8 % 3. a) Kukkie lukumäärä x Frekvessi f Suhteellie frekvessi f % (%) 3, 4,0 0,0 9 9, 7 0 0,0 8 4,0 9 7 3, 0, 3,, 3, 4 3,0 4,0 0 0, Yhteesä 00 00,0 9
b) f %(%) 0 0 0 3 4 7 8 9 0 3 4 7 8 9 0 kukkie lkm 4. Luokitellaa aieisto 8 luokkaa. Piei arvo o 47 cm ja suuri 80 cm ja 80 47 cm = 4, cm, jolloi sopiva pyöreä luokkaväli o cm. 8 Luokat Todelliset luokkarajat (cm) Luokkakeskus x (cm) Frekvessi f Suhteellie frekvessi sf% (%) 4-49 [44,; 49,[ 47 4 8 0-4 [49,; 4,[ 0 8-9 [4,; 9,[ 7 4 0-4 [9,; 4,[ 73-9 [4,; 9,[ 7 3 8 70-74 [9,; 74,[ 7 9 7-79 [74,; 79,[ 77 9 80-84 [79,; 84,[ 8 00 Piirretää histogrammi f 8 4 0 4,, 9,, 73, 80, pituus (cm) 9
. Sektoreita vastaavat keskuskulmat: Vettä, 30 98 00 Rasvaa 3, 0 30 83 00 Proteiieja 9, 0 30 8 00 Hiilihydraattia 9, 30 0 00 rasvaa proteiiia hiilihydraatteja vettä Keskiluvut. Vuode keskilämpötila Eossa x 3,8 + (,) + ( 3,7) + 4,7+,+ 8+ 7,+ 3,3+ 9,+ 4, + (,) + ( 7,4) x = = C, C Vastaus: Keskilämpötila, C 7. Keskiarvot: x + 9 + 8+... + 0 Ikä x = = a = 0, 4 a 0 x 7+ 7 + 74+... + 77 Pituus x = = cm = 7, 9 cm 0 x 0 + 7 + 7+... + Paio x = = kg = 4, 7 kg 0 x 9 + 9+ 89+... + 9 Rita x = = cm = 89, cm 0 x 4 + 4 + +... + 4 Vyötärö x = = cm =, cm 0 97
x 9 + 9+ 93... + 94 Latio x = = cm = 90, cm 0 x 9, 9 + 9, 7 + 8, 83+... + 7, 87 Paioideksi x = = = 8, 9 0 Kaikki alipaioisia, joillaki jopa merkittävää alipaioa. Vastaus: Ikä 0,4 a, pituus 7,9 cm, paio 4,7 kg, rita 89,7 cm, vyötärö, cm, latio 90, cm, paioideksi 8,9 Kaikki alipaioisia. 8. Oppilaita 4, eljäsosa eli säilyttää keskiarvosa, kolmasosa eli 8 ostaa keskiarvosa yhdellä, loppuje eli 4 8 = 0 oppilaa uusi keskiarvo a Luoka keskiarvo x = f x 7, + 8(7, + ) + 0 a = 8, 0 4 4 3 + 0a = 9 0a = 79 a = 7,9 Lopuilla 0 oppilaalla keskiarvo pitää ousta 7,9 7, = 0,4. Vastaus: Nousua pitää olla 0,4 9. Kuude kurssi arvo saa pysyy samaa, kolme kurssi arvosaa ousee yhdellä. Vaha keskiarvo, eli kurssie keskimääräie arvosaa o a. Uusi keskiarvo 8 ( a ) x = f x a+ 3 + = 8, 0 9 9 9a + 3= 7 9a = 9 a 7,7 Vastaus: Jai ykyie keskiarvo o 7,7. 98
0. Taulukoidaa asiakkaide käyttämät rahamäärät Ostoste arvo ( ) Luokkakeskus x( ) Frekvessi f Summafrekvessi sf 0< x 30 30 < x 0 4 33 0 < x 90 7 4 90 < x 0 0 0 0 < x 0 3 9 9 Yhteesä 9 Tyyppiarvo Mo = ja moodiluokka 0-30, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 ja mediaailuokka 0 90, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 9 34, =. f x + 4+ 7+ 0+ 9 3 Keskiarvo x = = 9 Vastaus: Mo =, Md = 7, x =. Taulukoidaa palveluajat Aika (mi) x f sf (mi) 3, 3 4 3, 3 40 4 4, 4 8, 97 7, 8 0 Yhteesä 0 Tyyppiarvo Mo = 4, mi ja moodiluokka 4 mi, koska sitä o eite Mediaai Md = 4, mi ja mediaailuokka 4 mi, koska tässä luokassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 0, =. f x Keskiarvo x = =, + 33, + 44, +, + 8, mi 44, mi 9 Vastaus: Mo = 4, mi, Md = 4, mi, x = 4,4 mi 99
. Luvut,, a, 3; keskiarvo a x Keskiarvo x = + b g + a + 3 = a 4 4 + a = 4a a = 3 Vastaus: 3 3. Luvut b, b, b; keskiarvo Keskiarvo Vastaus: b = tai b = ( ) 3 x x = b + b+ b = 3 3 3 b b = 0 ( ) ± ( ) 4 ( ) b = 9 b = + = 9 b = = 4. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo 7,0 x Keskiarvo x = 8 + + 8 + 7 + x = 70, 9 + x = 3 x = Vastaus: 00
. Arvosaat 8,, 8, 7, x; keskiarvo vähitää 7, x Keskiarvo x = 8+ + 8+ 7+ x 7, 9 + x 7, 0 x +,8 7, 0 x, 7 0 Nollakohdat x, 7 = 0 x =, 7 x = 8, Koska keskiarvo pitää ousta, ii myös arvosaa pitää ousta. Arvosaa o olta yli 8, eli 9 tai 0. Vastaus: Arvosaa tulisi olla 9 tai 0. Hajotaluvut. Normitetut arvot: x x Matematiikka z mat = s = 8 7, 3 0,, x x Ruotsi zru = 7, 7, = 03, s, Koska matematiika ormitettu arvosaa o parempi kui ruotsi, Oskari meestyi paremmi matematiikassa. Vastaus: Oskari meestyi suhteellisesti paremmi matematiikassa. 7. Normitetut arvot: x x Pituushyppy z pit = 4, 40, = 07, s 07, x x Eglati ze = 77, 7, = = 00, s, Koska pituushypy ormitettu arvosaa o parempi, ii Sirkka meestyi suhteellisesti paremmi pituushypyssä. 0
Eglai arvosaa 9 ormitettu arvo (eli kuika mota hajota-askelta ollaa keskiarvosta): x x z egl = s = 9 7, =,, Vastaava pituushypy tulos o,-pituushypy keskihajoa askelta yli pituushypy keskiarvo: Pituushyppy: x+, s = 4, 0 m +, 0, 7 m = 4, 9 m Vastaus: Pituushypy tulos oli suhteellisesti parempi ja eglai arvosaaa 9 vastaava pituushypy tulos o 4,9 m. 8. Normitettu arvo Vastaus: Keskihajota o 0,. x x z = s x = 8,, x = 7, 7, z =, 8, 7, 7 =, s s 0, = s : s = 0, 9. Esimerkiksi aieisto A:,, 0 ja 0 aieisto B: 7,7,8 ja 8 30. Luvut, 7, 7, 8, 9, 0 Moodi Mo = 7, koska sitä o eite Mediaai Md = 7,, koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäiste lukuje keskiarvo. Laskimella: x + 7+ 7+ 8+ 9+ 0 keskiarvo x = = = 7 7,83 ( x x) ( 7 ) + (7 7 ) +... + (0 7 ) keskihajota s = =, 47 Vastaus: Mo = 7, Md = 7,, x = 7,83, s =,47 0
3. Taulukoitu aieisto x f sf 0 9 9 7 3 0 4 4 Yhteesä Moodi Mo = 0, koska sitä o eite Mediaai Md =, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 3 =. Laskimella f x 90 Keskiarvo x = = + + 7 +... + =, f ( x x) 9 (0, ) + (, ) +... + (, ) Keskihajota s = =, Vastaus: Mo = 0, Md =, x =,, s =, 3. Järjestetää aieisto suuruusjärjestyksee: 3, 3, 3, 37, 37, 37, 38, 39, 39, 40, 4, 4, 4, 43,43, 44, 4 Moodi Mo = 37, koska iitä o eite. Mediaai Md = 39 koska se o suuruusjärjestyksee asetetu aieisto keskimmäie luku. Vaihteluväli R = 4 3 = 0, suurimma ja pieimmä arvo väli. Laskimella x 3 + 37 + 43 +... + 37 0 Keskiarvo x = = = 39 39, 7 7 Keskihajota 0 0 0 ( x x) (3 39 ) + (37 39 ) +... + (37 39 ) laskimella s = = 7 7 7 3, Vastaus: Mo = 37, Md = 39, R = 0, x = 39, s = 3, 03
33. Taulukoidaa v.00 avioliito solmieide aiste iät. Ikä x f sf (a) 9 7 779 779 0 4 047 8 9 7 8 4 088 30 34 3 4 7 8 844 3 39 37 9 800 40 44 4 8 3 4 49 47 97 48 0 4 87 4 9 7 49 93 0 4 09 80 9 7 89 89 70 7 78 99 Yhteesä 99 Moodi Mo = 7 a ja moodiluokka o 9 a, koska sitä o eite. Mediaai Md = 7 a, koska tässä kohdassa ylittyy suuruusjärjestyksee asetetu aieisto puoliväli 99 = 3 484,. Laskimella f x 779 7 + 047 +... + 7 78 keskiarvo x = = a 3,8 a 99 keskihajota f ( x x) 779 (7 3,8) + 047 ( 3,8) +... + 7 (7 3,8) s = = 99 7,4 Vastaus: Mo = 7 a, Md = 7 a, x = 3,8 a s = 7,4 a 34. x 90, + 78, +, +... + 3, a) Keskiarvo x = = 0 Vaihteluväli R =,3 mg 4,4 mg = 7,9 mg Keskihajota 04 mg = 80, mg ( x x) (9,0 8,0) + (7,8 8,0) +... + (,3 8,0) s = = mg =,37... mg,38 0 mg b) Arvo 8 o (ormitus) 8,0 8, 0 0,0 keskihajoa päässä keskiarvosta.,38 c) Kaksi hajotaa alaspäi 8, 0 mg, 38 mg 3, mg Kaksi hajotaa ylöspäi 8,0 mg +,38 mg,8 mg
Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. Vastaus: a) x = 8, 0 mg, R = 7,9 mg, s =,38 mg b) 0,0 keskihajoa päässä c) Arvot 3,3 mg ja,8 mg ovat kahde hajoa päässä keskiarvosta. 3. Taulukoitu ikäjakauma Ikä x f 0 4 83 37 9 7 30 7 0 4 330 4 9 7 39 74 0 4 330 87 9 7 37 973 30 34 3 308 0 3 39 37 37 48 40 44 4 379 7 4 49 47 387 03 0 4 404 7 9 7 390 83 0 4 9 893 9 7 3 8 70 74 7 08 4 7 79 77 7 779 80 84 8 70 8 89 87 88 90 9 777 Yhteesä 9 73 Moodi Mo = a Keskiarvo f x 83 37 + 30 7 7 +... + 777 9 x = = 39, a 9 73 Keskihajota s = f ( x x) 8337 ( 39, ) 30 7 (7 39, )... 777 (9 39, ) + + + =,7 973 Vastaus: Mo =, x = 39,, s =,7 0
Korrelaatio ja regressio 3. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y =, x, Korrelaatiokerroi r = 0,9 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio. c) y( 40) =, 40, = 49, 9 Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y =, x,. Korrelaatiokerroi o 0,9. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 49,9 37. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 3, x 93, 3 Korrelaatiokerroi r = 0,84 b) Voimakas positiivie korrelaatio c) y( 0) = 3, 0 93, 3 0 (solua/ml) Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 3, x 93, 3. Korrelaatiokerroi o 0,84. b) Voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 0 solua/ml 38. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 404, x+ 777 Korrelaatiokerroi r = 0,999 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) y(0) = 404, 0+ 777 980 Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 4, 04x+ 777. Korrelaatiokerroi o 0,999. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 980 kg/ha 39. a) Laskimella regressiosuora yhtälö y = 0, 00083x+ 49, 9884 Korrelaatiokerroi r = 0,9999 b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) y( 0) = 0, 00083 00 + 49, 9884 = 49, 9884 (m) d) Ku y = 0,0, ii 0, 0 = 0, 00083x + 49, 9884 0, 00083x = 0, 03 : 0, 00083 x 40, ( C ) Vastaus: a) Regressiosuora yhtälö o y = 0, 00083x+ 49, 9884. Korrelaatiokerroi o 0,9999. b) Erittäi voimakas positiivie korrelaatio c) Eustearvo 49,9884 m d) Eustearvo 40, C. 0
Empiirie todeäköisyys 40. P("Vuoa 00 sytyyt suomalaisvauva o tyttö") = Vastaus: 0,48 99 0, 48 8 3 + 99 4. a) P("Vastasytyee pituus o 0 cm") = 03 0, 933 + 49 + b) P(("Vastasytyee pituus o vähitää cm") = 933 Vastaus: a) 0, b) 0,4 4. O A B AB yhteesä suomalaiset 30 490 80 740 0000 japailaiset 040 334 770 30 3084 saksalaiset 938 09 37 8 9 islatilaiset 00 80 73 49 804 eskimot 30 37 0 4 4 itiaait 7 0 0 48 4 = 04, 933 Lasketaa todeäköisyydet taulukkoo O A B AB suomalaiset 3 0 0,33 0000 4 90 0, 4 0000 80 0,8 0000 740 0000 = 0,074 japailaiset 0 40 0,30 3 084 3 34 0,38 3 084 770 0, 3 084 30 0,0 3 084 saksalaiset 938 0,37 9 0 9 0, 43 9 3 7 0,4 9 8 0,0 9 islatilaiset 00 0, 804 80 0,3 804 73 0,0 804 49 0,03 804 eskimot 30 0, 4 37 0, 44 4 0 0 4 = 4 0,0 4 itiaait 0,89 48 7 0,07 48 0 0,04 48 0 0 48 = 07
43. Lammiko kaloje määrä x Pyydetyssä uudessa erässä o merkittyjä kaloja samassa suhteessa kui koko lammikossa. 30 = 0 x x = 300 Vastaus: Lammikossa oli oi 300 kalaa. Klassie ja geometrie todeäköisyys 44. a) P("Suomalaie o sytyyt karkauspäivää") = b) Suomalaisista o sytyyt karkauspäivää 00000 300 4 0 00084 43 + = 4, Vastaus: a) Suomalaie o sytyyt karkauspäivää todeäköisyydellä 0, 00084. 4 b) Karkauspäivää sytyeitä oi 3 00. 4 "Riks, mutta ei raks eikä poks" = 7 47 3 = 9 riks 7 raks 47 poks 3 Vastaus: Yhteesä 9 o Riks, mutta ei raks eikä poks. 4. A = Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia oikei. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 4 todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 4. umero o todeäköisyydellä 0. umero o 9 todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 08
7. umero o todeäköisyydellä 0 7 F I HG 0 K J = P("Näppäillää pii 7 esimmäistä desimaalia oikei") = 7 0 Vastaus: Pii likiarvo 7 esimmäistä desimaalia o oikei todeäköisyydellä 7 0. 47. a) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = P(". opalla ja toisella ") = = 3 b) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o 7") = = 3. oppa 4 3 c) P("Silmälukuje summa kahde opa heitossa o ") = = 3 8. oppa 4 3 4. oppa 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 8. 3 4. oppa 48. Yksi kortti voidaa jakaa pelaajalle vai kerra ja korttie jakojärjestyksellä ei ole merkitystä. F Yhdelle pelaajalle 3 voidaa jakaa = H G I K J tavalla 3 F Sellaisia jakoja, joissa ei ole yhtää pistekorttia o k = H G 38I K J 3 38I F P("Pelaaja ei saa yhtää pistekorttia") = H G k = F HG Vastaus: Todeäköisyydellä 0,008. 3 3 09 KJ I KJ 0008,
49. Laatikossa umerolaput,, 4, 4, 9, 9. P("Numeroista muodostuu alkuluku") = P ( " tai 9 tai 4") = + + = 0 = 30 3 Vastaus: Todeäköisyydellä 3. 0. P("Ooa löytää omat lapaset kahdella ostolla") = P(". o oma ja. o oma lapae") = = 0, 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,0.. a) Esimmäie hekilö voi valita paikkasa mistä tahasa jolloi toiselle jää kaksi mahdollista viidestä jäljellä olevasta. P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat pyöreässä pöydässä") = = b) Esimmäie hekilö istuu pöydä päädyssä (paikkoja o eljä) tai keskipaikalla (paikkoja o kaksi). P("Kaksi hekilöä saavat vierekkäiset paikat suorakulmio muotoisessa pöydässä") = 4 8 4 + = = 30 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) 4.. A = Pikku-Oskari äppäilee hätäumero. umero o todeäköisyydellä 0. umero o todeäköisyydellä 0 3. umero o todeäköisyydellä 0 P("Pikku-Oskari äppäilee hätäumero ") = 0 0 0 = 000 Vastaus: a) Pikku-Oskari äppäilee hätäumero todeäköisyydellä 000. 3. Hekilö voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Ryhmä viidestä jäseestä o F jo kaksi tiettyä hekilöä valittu, jote jäljellä olevat kolme jäsetä voidaa valita k = H G I K J eri tavalla. 3 0
F Kaikkiaa kahdeksasta voidaa muodostaa = H G 8 I K J erilaista ryhmää. F P ("Tietyt kaksi tulee valituksi viide hege ryhmää") = H G I K J k = 3 F HG I K J = 0 = 8 4 Vastaus: Tietyt kaksi hekilöä tulevat valituksi viide hege ryhmää todeäköisyydellä 0,3 4. 4. Oikea jakojärjestys S T R Vastaaottaja Jakojärjestys Suotuisat alkeistapaukset eri kohdissa Levy ostojärjestys S T R a) b) S R T R S T c) R T S T S R a) T R S c) a) P("Raakel saa oma CD:sä") = = 3 b) P("Kaikki saavat omasa") = c) P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 d) P("Aiaki yksi saa omasa") = P("Kukaa ei saa omaasa") = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 3 b) c) 3 d) 3. 3 03,. Laatikossa valkoista palloa Palloje kokoaismäärä P("Kahdella ostolla molemmat pallot valkoisia") = 3 = 3 = 90 90 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 90) = 3 = + = 0
3 = = 9 Ei käy, koska palloje määrä > 0 Vastaus: Palloja o 0.. Oistumise todeäköisyys pelissä o p Epäoistumise todeäköisyys pelissä o p Kahde peräkkäise oistumise todeäköisyys o yhtä suuri kui epäoistumise todeäköisyys. p p = p p + p = 0 Vastaus: p 08, p = ± 4 ( ) p = + 0, 8 p = 8, Ei käy, koska todeäköisyys 0 p 7. P("Pelaaja saa voito oepyörässä") = k = 0 = Vastaus: Voitto tulee todeäköisyydellä. 8. a) P("Oepyörällä saadaa 0") = k = b) P("Oepyörällä ei saada ") = k = c) P("Oepyörällä saadaa suurempi kui 3") = k = = 3 Vastaus: Todeäköisyydellä a) b) c) 3. 9. a) Ykkösrigi pita-ala k = π 0 π 9 = 9π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa ") = k = 9π 00 = 9 00 = 09, π b) 9 ja 0 rigi pita-ala k = π = 4π Koko taulu pita-ala = π 0 = 00π P("Saadaa 9 tai 0") = k = 4π 00 = 4 00 = 004, π Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,9 b) 0,04.
0. Koliko keskipistee tulee sijoittua kauemmaksi kui, cm päähä eliö reuoista. Suotuie alue o eliö muotoie, eliö sivu pituus o 4,7 cm, cm =,3 cm P("Kolikko o ruudu sisällä") = k = 3, 47, Vastaus: Todeäköisyydellä 0,4. cm cm 04, 4,7 cm k, m,3 m, m Lukumäärie laskemie. Villapusero mahdollisuutta Hame mahdollisuutta Kegät mahdollisuutta Hattu 7 mahdollisuutta Erilaisia asukokoaisuuksia 7 = 00 Yhde hatu voi valita trioo vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä, jote F7 erilaisia hattutrioja 3 3 Vastaus: 00 ja 3 HG I K J =. a). umero mahdollisuutta (). umero mahdollisuutta (0 tai ) 3. umero mahdollisuutta (0 tai ) 4. umero mahdollisuutta (0 tai ). umero mahdollisuutta (0 tai ) Erilaisia viisiumeroisia lukuja, joissa o vai 0 ja o = b). umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) 3. umero mahdollisuutta ( tai ) 4. umero mahdollisuutta ( tai ). umero mahdollisuutta ( tai ) Erilaisia lukuja, joissa umerot tai o = 3 c). umero 9 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8,9). umero 9 mahdollisuutta (0,,,3,4,,,7,8) 3. umero 8 mahdollisuutta (,,3,4,,,7,8) 4. umero 7 mahdollisuutta (,,3,4,,,7). umero mahdollisuutta (,,3,4,,) Erilaisia lukuja, joissa sama umero esiityy vai kerra 9987 = 7 Vastaus: a) b) 3 c) 7 3
3.! 7! = 3 8 800 Kokeilemalla saadaa 0! = 3 8 800, jote N = 0 Vastaus: N = 0 4. a). oppilas voi istua yhtee 7 pulpetista. oppilas voi istua yhtee pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 7!, 09 0 8 b) ). oppilas voi istua yhtee 40 pulpetista. oppilas voi istua yhtee 39 pulpetista 3. oppilas voi istua yhtee 38 pulpetista 7. oppilas voi istua yhtee 4 pulpetista Erilaisia istumajärjestyksiä 40 39 38... 4, 3 0 38 (Saadaa kätevästi laskime permutaatiotoimiolla 40 Pr 7) c) Aikaa kuluu a-kohda järjestyksie läpikäymisee Vastaus: a),09 0 8 b),3 0 38 c) 3, 0 vuotta. a). kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla. kortti voidaa valita tavalla Erilaisia järjestyksiä! 8, 0 7 8 09, 0 3, 0 (vuotta) 0 0 4 3 b) Yksi kortti voidaa valita vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. Erilaisia viide korti kombiaatioita F HG I = KJ c) Pataässä voidaa valita tavalla FI Loput 4 korttia voidaa valita tavalla 4KJ Erilaisia kombiaatioita 4 HG F H G I K J = 49 900 Vastaus: a) 8, 0 7 b) 98 90 c) 49 900 9890 4
. a) Mies voidaa valita tavalla Naie voidaa valita 4 tavalla Erilaisia sekapareja 4 = 0 b) Yksi aie voidaa valita parii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F4 Erilaisia aispareja HG I K J = c). paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi 4 miehestä 3. paikalle jooo voidaa valita yksi 3 miehestä 4. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä. paikalle jooo voidaa valita yksi miehestä Erilaisia miesjooja! = 0 Vastaus: a) 0 b) c) 0 7. Yksi tyttö (poika) voidaa valita ryhmää vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole merkitystä. F8I Tytöt voidaa valita = 3 tavalla HG KJ Pojat voidaa valita Ryhmä voidaa valita 8 Vastaus: 0 098 FI = tavalla HG KJ F I HG KJ F H G I K J = = 3 0098 8. Eri mahdollisuudet ovat JVAO JAVO JAOV VJAO VAJO VAOJ. Mahdollisuuksia yhteesä. Vastaus: tapaa 9.. amiohappo voidaa valita 0 tavalla. amiohappo voidaa valita 0 tavalla 00. amiohappo voidaa valita 0 tavalla Erilaisia proteiieja 0 00 Vastaus: 0 00
70.. kirjai voidaa valita tavalla. kirjai voidaa valita 8 tavalla 3. kirjai voidaa valita 8 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla. umero voidaa valita 0 tavalla Erilaisia rekisterilaattoja 8800 = 78400 Vastaus: 78 400 7. a) Paluumatkaa voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea 3 tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 33 = 3 b) ) Paluumatkaa ei voi käyttää samaa reittiä Reitti A B voidaa kulkea tavalla Reitti B C voidaa kulkea 3 tavalla Reitti C B voidaa kulkea tavalla Reitti B A voidaa kulkea tavalla Erilaisia reittejä 3 = Vastaus: a) 3 b) 7. Hampurilaie voidaa valita tavalla Perua-aos voidaa valita 3 tavalla Juoma voidaa valita 4 tavalla Jäätelö voidaa valita 4 tavalla Erilaisia ruoka-aoksia 344 = 40 Vastaus: 40
Laskusäätöjä 73. a). heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita 3. heitto C voittaa C ei voita 4. heitto A voittaa A ei voita. heitto B voittaa B ei voita. heitto C voittaa C ei voita P("A voittaa") = P("A voittaa. kierroksella tai A voittaa. kierroksella tai kukaa ei saa kuutosta") = F + + 098 H G I K J, b) P("B ei voita") = P("B voittaa") = P("B voittaa. kierroksella tai B voittaa. kierroksella") F I = + 0 78 HG K J, Vastaus: a) 0,98 b) 0,78 A voittaa 7
74. Pussissa o hedelmäkaramellia (H) ja 0 salmiakkikaramellia (S). a) P("Kaikki kolme karamellia ovat salmiakkia") = P("SSS") = 0 9 8 074, 3 34 33 b) P("Joukossa o vai yksi salmiakki") = P("SHH tai HSH tai HHS") = 0 4 0 4 4 0 + + 03, 3 34 33 3 34 33 3 34 33 c) P("Joukossa o aiaki salmiakki") = P("Ei yhtää salmiakkia") = P("HHH") = 4 3 0930, 3 34 33 Vastaus: a) 0,74 b) 0,3 c) 0,930 7. Lelulaatikossa o kaksi puaista (P), kaksi siistä (S) ja kaksi vihreää (V) leikkiautoa. a) P("Autot samaväriset") = P("PP tai SS tai VV") = + + = 30 = b) P("Autot eriväriset") = P("Autot samaväriset") = 4 = Vastaus: a) b) 4 7. Käytettävissä kirjaimet L, A, U, D, A, T, U, R. kirjai L todeäköisyydellä 8. kirjai A todeäköisyydellä 7 3. kirjai U todeäköisyydellä 4. kirjai D todeäköisyydellä. kirjai A todeäköisyydellä 4. kirjai T todeäköisyydellä 3 7. kirjai U todeäköisyydellä 8. kirjai R todeäköisyydellä 8
P("LAUDATUR") = 0, 000099 8 7 4 3 Vastaus: 0,000099 77. A = "Vähitää kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". hekilö sytymäpäivä voi olla mikä tahasa vuode 3:sta päivästä eli 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 34 3 3. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 33 3 0. hekilöllä eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3 P(A) = P( A) = 3 34 33 3... 0, 7 (Laskimella permutaatiotoimiolla (3 Pr 3 3 3 3 0)/3 0 ) Vastaus: 0,7 78. Kellolaitteessa kolme osaa A, B ja C. (A toimii, A ei toimi) a) P("Kaikki osat toimivat") = P("ABC") = 0, 90 0, 987 0, 99 0, 94 b) P("Mikää osa ei toimi") = P(" A B C ") = 0, 04 0, 0 0, 00, 7 0 c) P("Vähitää kaksi osaa toimii") = P("AB C tai A B C tai A BC tai ABC") = 0, 90 0, 989 0, 004 + 0, 90 0, 0 0, 99 + 0, 04 0, 989 0, 99 + 0, 90 0, 989 0, 99 0, 9997 Vastaus: a) 0,94 b),7 0 c) 0,9997 79. Ruokailijoita 4 + 4 + = 9 hekilöä. 80. Täydeetty taulukko B B Yhteesä A 9 =7 9 A 7 = 43 =7 yht. 8 43 smörgareit 4 raskiksii 4 9
8. Taulukoidaa tiedot: P T yhteesä oli 3 4 ei 8 4 3 yhteesä 0 3 8 Vastaus: Poikia oli 0 ja tyttöjä 3. 8. Alue A Alue B Ei Kyllä Yhteesä Ei Kyllä Yhteesä Naiset 4 7 00 48 300 Miehet 47 00 8 4 700 Yhteesä 900 00 000 90 90 000 Uihäiröitä proseteia Alue A Alue B Ei Kyllä Kyllä % Ei Kyllä Kyllä % Naiset 4 7 7 % 00 = 48 48 % 300 = Miehet 47 % 00 = 8 4 4 % 700 = 900 00 00 0% 000 = 90 90 90 9% 000 = Taulukosta ähdää, että alueella B sekä aisilla että miehillä esiityy uihäiriöitä prosetuaalisesti eemmä kui alueella A. Toisaalta alueella A esiityy paradoksaalisesti kokoaisuudessaa prosetuaalisesti eemmä uihäiriöitä kui alueella B ( 0 % ja 9 %). 83. Yksi umero voidaa valita lottorivii vai kerra ja valitajärjestyksellä ei ole 39 merkitystä, jote käytetää kombiaatioita. Erilaisia lottorivejä = F H G I K J 7 a) A = "Neljä oikei" Neljä umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I 4K J tavalla Kolme umeroa lottorivii kuulumattomista umeroista voidaa valita F HG I 3 tavalla 3 KJ 0
F7 P(A) = H G I K JF H G 3I K J k = 4 3 F39I HG 7KJ 0, 00 b) A = "Kuusi mutta ei lisäumeroa oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Yksi umero lottorivii ja lisäumeroihi kuulumattomista umeroista voidaa valita tavalla F HG 9 I KJ F7 P(A) = H G I K JF H G 9I K J k = F39I HG 7KJ 3, 0 c) A = "Kuusi ja lisäumero oikei" Kuusi umeroa oikeasta rivistä voidaa valita F 7 HG I K J tavalla Kolme umeroa lisäumeroihi kuuluvista umeroista voidaa valita F7 P(A) = H G I K JF H G 3 I K J k = F39I HG 7KJ 37, 0 Vastaus: a) 0,0 b),3 0 c),37 0 F 3 HG I K J tavalla 84. Hevoe voidaa valita kaksarii F vai kerra ja järjestyksellä ei ole merkitystä, jote erilaisia kaksaririvejä o = H G 0I K J. P("Veikkaaja saa kaksari") = k = F H G Vastaus: 4 0 I KJ = 4
8. a) Yhdeksästä umerosta valitaa seitsemä kombiaatioita. Näitä o 9 7 kappaletta. b)vääriä umeroita o 9 4 =. Neljä oikei voidaa valita tavalla F Kolme vääri voidaa valita 0 3 HG I K J = tavalla F Erilaisia rivejä, joissa eljä oikei 0 H G I 3K J = kappaletta. F HG I K J = 3 Vastaus: a) 3 b) 0 8. a) P("Kortti o pata tai ässä") = 3 3 4 + = = 3 b) A = "Otettaessa viisi korttia kaikki ovat samaa maata". kortti o samaa maata todeäköisyydellä. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 3. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 4. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 0. kortti o samaa maata todeäköisyydellä 9 P(A) = 0 9 0, 0098 0 49 48 Vastaus: a) 4 3 b) 0,0098
87.. arpa. arpa 3. arpa 4. arpa. arpa 00 voitto 99 voitto 99 00 ei voittoa 98 voitto 98 99 ei voittoa 97 voitto 97 98 ei voittoa 9 voitto 9 97 ei voittoa ei voittoa P("Saadaa päävoitto") = 99 99 98 99 98 97 99 98 97 9 + + + + = = 00, 00 00 99 00 99 98 00 99 98 97 00 99 98 97 9 00 Vastaus: 0,0 Normaalijakauma 88. Jootusaja keskiarvo x = 8 ja keskihajota s = 3. x x Muuttuja ormeeraus z = s a) Odotusaika korkeitaa 0 miuuttia F 0 8 P(x < 0) = P H G I z < K J 3 F = H G I Φ K J 3 Φb07, g = 0, 748 3 z 3
b) Odotusaika 0 miuuttia F P( < x < 0) = P 8 0 8 < z < 3 3 I HG K J F I HG 3 K J b g b07, g c h b07, g Φbg = Φ Φ = Φ = Φ + = 0, 748 + 0, 843 = 0, 899 Vastaus: a) 0,748 b) 0,899 3 z 89. Pakkaukse massa vähitää 70 g. F 70 70 Pb I x 70g = P z K J HG = P z 0, 833 = P z < 0, 833 = Φb0833, g = 0, 797 Vastaus: Todeäköisyydellä 0,797. b b g g 0,833 z 90. Pakkaukse massa yli 0 g 9% = 0,9 todeäköisyydellä. P( x 0 ) = 0,9 F 0 x P z 09, I HG K J = F 0 xi Φ HG K J = 09, 0 x = 4, ( ) 0 x = 3, 8 x = 3, 3 (g) Vastaus: Keskipaio pitää säätää 3,3 grammaksi. 0 x s 0,9 z 4
9. Pakkaukse paio o yli 300 g 90 % = 0,90 todeäköisyydellä P(x 300) = 0,90 F 300 30 P z 090, s I HG K J = F 300 30I < HG s K J = F I HG s K J =, P z 090, Φ 0 090 0 8 s =, 0 s = 78, (g) 8, Vastaus: Pakkauksie keskihajota o 7,8 grammaa. 9. a) Pussi paiaa 70 g tai eemmä. F 70 70 P(x 70) = P H G I z K J = P( z 0 ) = P(z < 0) = 0,00 300 0,90 30 0 g z b) Pussi paiaa vähemmä kui 80 g. F 80 70 P( x < ) = H G I 80 Φ K J b = Φ 7, = 09, g,7 z c) Pussi paiaa g 7 g 0,83 0,83 z
b g F HG b g b g c b gh Φ b083, g 70 7 70 P < x < 7 = P < z < = P 0,83 < z < 0,83 = Φ 083, Φ 083, = = 0, 797 = 0934, d) Pussi paiaa yli 90 g. F 90 70 P(x > 90) = P z > HG = Φ F H G b g = Φ 333, = 0, 999 = 0, 000 90 70 I K J I K J Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00 b) 0,9 c) 0,934 d) 0,000. I K J 3,33 z 93. Mita ylittävät: F 0, P(x >,0) = P H G I z > K J 008, b g Φb g = P z > 0, = 0, = 0, 737 = 043, Mita alittavat: F, P(x < 0,97) = P H G z < 008, 097 I K J b, g Φb, g = P z < 037 = 0 37 = 0, 480 = 030, 0,37 0, z z P("Osa hylätää") = P(x >,0) + P(x < 0,97) = 0,43 + 0,30 = 0,3, % Vastaus: Osista joudutaa hylkäämää, %.
Biomitodeäköisyys 94. a) A = "Jukka F saa kaksi voittoa eljästä arvasta" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 4, =, = 0,, = = 0, = 08, 8 F 4 P(A) = 0 088 009 HG I K J,,, b) A = "Jukka saa aiaki yhde voito" A = " Jukka ei saa yhtää voittoa" 4 P(A) = P( A ) = 0, 88 0, 400 Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0,400. 9. a) Maiokse kuulee 040, 0= 8 kuulijaa A = "Viisi kuulijaa F kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, =, = 00,, = = 00, = 09, =F H G I K J 8 3 P(A) = P 0, 0 0, 9 0, 00000 b) A = "Eitää F kaksi kuulijaa kahdeksasta ostaa tuottee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J = 8, = 0,,, = 00,, = = 00, = 09, P(A) = +F P0 + 8 7 P + 8 P = 09 00 09 8 00 09 0994 H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,00000 b) 0,994. 9. a) A = "Viidestä F matkustajasta yksi joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, =, = 00,, = = 00, = 098, =F H G I K J 4 P(A) = P 0, 0 0, 98 0, 09 b) A = "Eitää F kaksi matkustajaa viidestä joutuu tarkastuksee" k k Toistokoe P k = p q k p q p H G I kk J =, = 0,,, = 00,, = = 00, = 098, P(A) = +F P0 + 4 3 P + P = 098 00 098 0 0 0 98 0 9999 H G I K J F + H G I,,, K J,,, Vastaus: Todeäköisyydellä a) 0,09 b) 0,9999. 7
97. A = " opaheitolla aiaki kaksi kuutosta" A = " opaheitolla 0 tai kuutosta" k k Toistokoe P k p q, k 0,, p, q p k F = H G I K J = = = = = = F F + = 09 H G I K J F + H G I K J HG F H G I K J I ( P 0 P ) KJ, P(A) = P( A ) = Vastaus: Todeäköisyydellä 0,9. HARJOITUSKOE. x 4 7 8 9 0 Yhteesä f 0 8 0 30 3 39 9 Pylväsdiagrammi f 40 3 30 0 0 0 4 7 8 9 0 arvosaa Laskimella fx 04 + 8 +...90 3 Keskiarvo x = = = 8 8, Keskihajota 3 3 3 f ( x x) 0 (4 8 ) + 8 ( 8 ) +... + 9 (0 8 ) s = =, 39 Vastaus: Keskiarvo 8, ja keskihajota,39 8
. Vuosi x CO (ppm) y 98 3 970 3 98 340 998 33 a) Laskimella regressiosuora yhtälö: y = a+ bx a = 03,80 87 b =,3470 87 y = 03, 8 +, 347 x b) Euste pitoisuudelle (y), ku vuosi (x) o 00: y = 03, 80... +, 3470... x = 03, 80... +, 3470... 00 37 (ppm) Vastaus: a) y = 03, 8 +, 347 x b) 37 ppm k 3. P( A) = 4 Naiset: P( aie värisokea ) = 0,00 800 = 0 Miehet: P( mies värisokea ) = 0,08 70 = Vastaus: Naiset 0,00, miehet 0,08 4. Halaajat muodostavat pari. Lasketaa, kuika moella eri tavalla voidaa valita 30:stä: Vastaus: 8 38 30 = 8 38. Oepyörät ovat riippumattomia toisistaa. Yhde luvu todeäköisyys o /0 = 0,, koska umeroita 0 ja suotuisia yksi. a) P( kumpiki ollia ) = P(. olla) P(. olla) = 0, 0, = 0,0 b) Pitää saada sama umero. Tällöi. umero voi olla mikä tahasa, kuha toie o sama kui se. P( sama umero ) = P(. mikä tahasa) P( sama kui :llä ) = 0,= 0, c) Pitää saada eri umero. Tällöi. umero voi olla mikä tahasa, kuha toie ei ole sama kui se. Toisella oepyörällä o täte 9 suotuisaa kymmeestä. P( sama umero ) = P(. mikä tahasa) P( eri kui :llä ) = 0,9= 0,9 Vastaus: a) 0,0 b) 0, c) 0,9 9
. Siise pallo todeäköisyys o 0 % = 0,. Koska pallot aia palautetaa, siise pallo todeäköisyys säilyy samaa. P( pallo siie ) = P(S)=0, P( pallo ei ole siie ) = P(S) = 0, =0,4 a) P( vai. ja 3. ja. pallot ovat siisiä ) = P(.S) P(. ei S) P(3.S) P(4.eiS) P(.S) = 0, 0, 4 0, 0, 4 0, = 0,034 0,03 b) P(. ja 3. ja. pallot ovat siisiä ) = P(.S) P(. mikä tahasa ) P(3.S) P( 4. mikä tahasa ) P(.S) = 0, 0, 0, = 0, 0, c) P( korkeitaa eljä siistä palloa ) = P( kaikki pallot siisiä )= 0, 0, 0, 0, 0, = 0,94 0,9 d) P( vähitää yksi siie pallo )= P( ei yhtää siistä palloa) = 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4 0, 4 = 0,9897 0,990 Vastaus: a) 0,03 b) 0, c) 0,9 d) 0,990 7. Kuusiumeroisessa luvussa, jossa kaikki umerot ovat eri suuria. voidaa valita 9:stä ( 9),. myös yhdeksästä (0 9, paitsi se mikä o esimmäie), 3. umero kahdeksasta, je. k k = 9987 P( A) = = 900000 9987 = 900000 = 0, Vastaus: 0, 8. Nopeudet ovat jakautueet ormaalisti keskiarvoa 8, km/h ja keskihajotaa 8,0 km/h ) P( yliopeus ) = P(x > 90) = 90 8, P( z > ) = P( z > 0,) = P( 0,) = φ(0,) = 0,77 7,4 % 8, 0 0, 30
) P(x > 00) = 00 8, P( z > ) = P( z >,8) = P(,8) = φ(0, ) = 0, 978 3, % 8, 0,8 Vastaus: ) 7,4 % ) 3, % HARJOITUSKOE x + + 8+... + 7. Keskiarvo x = = = 0 Tyyppiarvo Mo = ( x x) ( ) + ( ) +... + (7 ) Keskihajota s = =,0 0 Vastaus: Keskiarvo o, tyyppiarvo ja keskihajota,0.. a) Regressiosuora yhtälö y = 0, x+ 438, b) Eustearvo eliiälle y( 8) = 0, 8 +, 438 34 (a) c) Eustearvo katoajalle, ku y = 8 8 = 0, x +, 438 0, x = 8, :( 0, ) x 740 (vrk) Vastaus: a) y = 0, x+ 438, b) 34 a c) 740 vrk 3. A = "Nostettaessa viisi korttia saadaa MAMMA" 3. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 4 3. kortti o M todeäköisyydellä 3 4. kortti o M todeäköisyydellä. kortti o A todeäköisyydellä 3
P(A) = 3 4 3 = 0 Vastaus: Todeäköisyydellä 0. 4. P("Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää") = P("A ja A tai B ja B tai AB ja AB tai O ja O") = 0, 44 0, 44 + 0, 7 0, 7 + 0, 08 0, 08 + 0, 3 0, 3 = 0, 3 Vastaus: Puolisot kuuluvat samaa veriryhmää todeäköisyydellä 0,3.. A = "Aiaki kahdella sama sytymäpäivä" A = "Kaikilla eri sytymäpäivä". eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 34 3 3. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 33 3 3.. eri sytymäpäivä todeäköisyydellä 334 3 P(A) = P( A ) = 3 34 33 334... 073, 3 3 3 3 (Laskime permutaatiotoimiolla (3 Pr 3)/3 3 ) Vastaus: Aiaki kahdella sama sytymäpäivä todeäköisyydellä 0,73.. P("Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu") = P("ti ja ke ajoissa tai ti myöhässä ja ke ajoissa") = 0,7 0,9 + 0,3 0,7 = 0,84 Vastaus: Oppilas tulee keskiviikkoa ajoissa kouluu todeäköisyydellä 0,84. 7. Haastatteluaja keskipituus miuuttia Haastatteluaja hajota s Haastattelu pituus o alle 30 miuuttia 9 % = 0,9 todeäköisyydellä. P(x 30) = 0,9 30 P z = 0,9 s Φ = 0,9 s 3
0,9 s,449 Kuvaajie perusteella =,449 s s,449s = :,449 s 3, 0 Vastaus: Keskihajoa oltava korkeitaa 3,0 miuuttia. 8. Mustie palloje lukumäärä P("Molemmat mustia palloja") = 0,0 = 00, 40 0 0 = 0 ( ) ± ( ) 4 ( 0) = 84 = + = 84 = = 4 Ei käy, koska > 0. Vastaus: Laatikossa o mustaa palloa. 33
HARJOITUSKOE 3 x 3 + + 7 +... +. Keskiarvo x = = 389 Keskihajota ( x x) (3 388,87...) + ( 388,87...) +... + ( 388,87...) s = = 00. kävijämäärä 700 00 00 400 300 00 00 0 9 7 9 0 kelloaika Hiljaisimmat tuit olivat klo ja vilkkaimmat tuit olivat klo 7 9, jolloi kävi 80 8 keskimääri = hekilöä tuissa. 3. Taulukoidaa oppilaitoksee valittuje suhteelliset osuudet. Osasto A Osasto B Koko oppilaitos Tytöt 48 4 48 + 4 = % = 0% =, % 300 0 300 + 0 Pojat 3 4 3+ 4 = % = 9% = 8, 87% 0 00 0 + 00 Taulukosta ähdää, että kummallaki osastolla tyttöje hyväksymisprosetti o yhde prosettiyksikö suurempi ja koko oppilaitokse kohdalla taas poikie hyväksymisprosetti o suurempi. (Tällaista saotaa s. Simpsoi paradoksiksi). 4. Astiassa 3 keltaista, puaista ja 9 siistä kuulaa. a) P("Saadaa samaväriset kuulat kahdella ostolla") = P("KK tai PP tai SS") b) P("Saadaa keltaiset kuulat") = P("KK") = F 3 I HG 8 K J = F I 9 HG K J F + H G I 8 K J F + H G I 8 K J = = 3 8 3 7 8 34
c) P("Kumpikaa kuulista ei ole keltaie tai molemmat ovat siisiä") = P(" KK tai SS") = P(" KK ") F I HG K J = = 8 3 Vastaus: a) 7 8 b) 3 c) 3 39. Kahdeksa umero lottorivejä kaikkiaa =, joista suotuisat saadaa seuraavasti: 8 F7 Oikeat eljä umeroa voidaa valita HG I 4K J F3I eri tavalla ja väärät eljä eri tavalla. HG 4KJ F Suotuisat alkeistapaukset k = H G 7 I K J F H G 3I K J P("Neljä oikei 8 rasti systeemissä") = Vastaus: 0,00 4 4 7 3 k 4 4 = 0,00 39 8. P("Aiaki yksi poika") = P("Ei yhtää poikaa") = 4 F H G I K J = 7. Kahvipaketi paio o alle a grammaa 97, % = 0,97 todeäköisyydellä F P(x a) = 0,97 a P z HG 00I K J = 097, 0 F H G I K J = Φ a 00 097, 0 a 00 = 9, 0 0 a 00 = 9, a = 00 + 9, 0 a = 00 9, 480 Vastaus: Välillä 480 g, 0 g o 9 % paketeista., % 9 %, % b a z 3
8. Ihmiste määrä Valitaa : ihmise joukosta pareja eli kahde kombiaatioita b g gb gb g b gb 3g... F HG I K J =! =!! 3... = ( ) = 3 = 0 Vastaus: Juhlissa oli osallistujaa. ( ) ± ( ) 4 ( 3) = 9 = + = 9 = = Ei käy, koska lukumäärä > 0 3