Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos n on pariton, niin C (Cl n ) = {λ 1 + λ e 1 e e n λ 1, λ R}. Todistus. Algebran määritelmän nojalla λ R kuuluu algebran keskukseen. Olkoon α = (α 1,..., α n ) α i {0, 1} multi-indeksi ja e α = e α 1 1 e α n n sitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e e n ja α = n i=1 α i. Koska e k I = e k e 1 e e n = ( 1) n 1 Ie k, niin e α I = ( 1) α (n 1) Ie α. Siis, jos n on pariton, niin e α I = Ie α, kaikilla e α ja siten myös ai = Ia kaikille a Cl n ja I C (Cl n ). Jos taas n on parillinen, niin esimerkiksi e 1 I = e 1 I ja I / C (Cl n ). Olkoon e α I ja e α e. Tällöin on olemassa k 1, jolle α k1 = 0 ja k = min {i α i = 1}. Kun valitaan { k 1, α on pariton k = k, α on parillinen, niin e k e α = e α e k ja e α / C (Cl n ). Joukko, jonka kanta (vektoriavaruuden mielessä) on {e α α on parillinen } on algebran Cl n parillinen alialgebra. Määritelmä 1.3 Olkoon (V, Q) kvadraattinen avaruus. Joukkoa Rad V = {w B (w, v) = 0 kaikilla v V } kutsutaan kvadraattisen avaruuden (V, Q) radikaaliksi. Jos Rad V = {0}, niin avaruus (V, Q) on ei-degeneroitunut. 1
Kohtisuora projektio ja peilauksista Olkoot a, b Cl n vektoreita. Tällöin merkittiin B (a, b) = a b. Lisäksi ja a b = ab + ba ja a b = ab ba ab = a b + a b. Erityisesti Olkoon a vektori, jolle ab = ba a b a b = 0 ab = a b ab = ba a b a b = 0 ab = a b. Tällöin a on kääntyvä ja Q (a) = B (a, a) = a a = a 0. a 1 = a Q (a). Myös kahden kääntyvän vektorin tulo on kääntyvä ja (ab) 1 = b 1 a 1. Jaetaan vektori r kahteen komponenttiin r = r + r, missä r a ja r a. Määritellään peilaus r r vektorin a suhteen luonnollisella tavalla asettamalla r = r r. Nyt koska ja r = r aa 1 = ar a 1 r = r aa 1 = ar a 1
niin saadaan Toisaalta voidaan kirjoittaa Kun tätä verrataan esitykseen r = r r = ar a 1 ( ar a 1) = a ( r + r ) a 1 = ara 1. r = ara 1 = (a r ra) a 1 = a r Q (a) a r. r = r r = r r r + r = r r, huomataan, että jolloin r = a r Q (a) a = (a r) a 1, r = r r = raa 1 (a r) a 1 = (ra (a r)) a 1 = (r a) a 1. Nyt peilausten yhdistäminen on helppoa: r r = ara 1 r = br b 1 = b ( ara 1) b 1 = (ba) r (ba) 1. Jos vektorien a ja b välinen kulma on ϕ, niin kahden peilauksen yhdistelmä on kierto kulman ϕ verran. Peilaus vektorin a normaalin suhteen r r on r = r + r = r aa 1 + r aa 1 = ar a 1 ar a 1 = ara 1. 3
Ortogonaalikuvauksista Määritelmä 1.4 Olkoot (V, Q) ja (V, Q ) kvadraattisia avaruuksia. Lineaarinen kuvaus S : V V on ortogonaalinen, jos se säilyttää kvadraattisen muodon eli Q (Sv) = Q (v) (1) kaikilla v V. Ehto (1) voidaan ilmoittaa myös avaruuksien bilineaaristen muotojen avulla: B (Sv, Su) = B (v, u), () missä u, v V Kaikkien ortogonaalikuvausten S : V V joukkoa merkitään O (V, V ) ja jos V = V niin merkitään O (V ) tai O (V, Q), jos halutaan erityisesti korostaa avaruuden kvadraattista muotoa. Olkoot S : V V ja T : V V ortogonaalikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus T S : V V on ortogonaalinen Lause 1.5 Olkoon (V, Q) ei-degeneroitunut kvadraattinen avaruus. Tällöin ortogonaalikuvaus S O (V, V ) on injektio. Todistus. Koska (V, Q) on ei-degeneroitunut, niin Rad V = {0}. Olkoon Sv = 0 ja olkoon u V. Tällöin ortogonaalisuuden nojalla B (Sv, Su) = B (v, u). Toisaalta, koska Sv = 0, niin myös B (Sv, Su) = B (0, u) = 1 (Q (0) + Q (u) Q (0 u)) = 0, sillä Q (0) = 0 ja Q ( u) = Q (u). Nyt siis B (v, u) = 0 kaikilla u V ja siksi v Rad V = {0} ja v = 0. Siis ker S = {0} ja lineaarikuvaus S on injektio. 4
Identtinen kuvaus I on neutraalialkio ja O (V, Q) on ryhmä kuvausten yhdistämisen suhteen. Olkoon v (V, Q). Jos Q (v) 0 määritellään kuvaus S v : V V S v (u) = u B (u, v) v. Q (v) Koska B (S v (u), S v (w)) = B (u, w), on S v ortogonaalinen. Kuvaus S v on peilaus vektorin v normaalin suhteen. Erityisesti (S v S v ) (u) = u eli S v = I eli peilaus on itsensä käänteiskuvaus. Nyt siis ortogonaalikuvausten ryhmä O (V, Q) sisältää kaikki peilaukset {S v Q (v) 0}. Seuraavassa nähdään, että vahvempikin tulos pätee. Lause 1.6 Olkoon S O (V, Q), S I. Tällöin S voidaan kirjoittaa korkeintaan n peilauksen yhdisteenä, missä n = dim V. Todistetaan ensin yksi aputulos. Lemma 1.7 Olkoot u, v avaruuden (V, Q) vektoreita, joille on voimassa Q (v) = Q (u) 0. Tällöin u voidaan kuvata vektoriksi v korkeintaan kahdella peilauksella. Todistus. Koska B (u v, u + v) = B (u, u + v) B (v, u + v) = B (u, u) + B (u, v) B (v, u) B (v, v) = Q (u) Q (v) = 0, niin vektorit u v ja u + v ovat B-ortogonaalisia. Toisaalta B (u v, u + v) = 1 (Q (u v) + Q (u + v) Q (u v (u + v))) = 0 eli Q (u v) + Q (u + v) = Q ( v) = 4Q (v) 0, 5
joten termeistä Q (u + v) ja Q (u v) ainakin toinen on nollasta eroava. Jos Q (u v) 0, niin ( 1 S u v (u) = S u v (u v) + 1 ) (u + v) = 1 (u v) + 1 (u + v) = v. Jos taas Q (u + v) 0, niin ( 1 S u+v (u) = S u+v (u v) + 1 ) (u + v) = 1 (u v) 1 (u + v) = v. Edelleen, koska S v ( v) = v B ( v, v) v = v + v = v Q (v) niin S v S u+v : u v on toivottu kahden peilauksen yhdistelmä. Todistus. (Lause 1.6) Todistetaan nyt Lause 1.6 induktiolla avaruuden V dimension suhteen. Olkoon n = 1 ja olkoon T O (V, Q). Tällöin Q (T (e 1 )) = Q (e 1 ) = 1. Jos T (e 1 ) = λe 1, niin Q (λe 1 ) = λ Q (e 1 ) = 1 ja λ = ±1 ja O (V, Q) = {±I}. Näistä I voidaan kirjoittaa peilauksena S v, kun vain v 0. Oletetaan seuraavaksi, että väite pätee kvadraattisille avaruuksille, joiden dimensio on korkeintaan n 1. Olkoon {e 1,..., e n } avaruuden V B-ortogonaalinen kanta ja olkoon (V, Q ) kvadraattisen avaruuden (V, Q) rajoittuma aliavaruuteen jonka virittää joukko {e 1,..., e n 1 }. Koska Q (T e n ) = Q (e n ) 0, edellisen Lemman nojalla jokaista T O (V, Q) kohti on olemassa kuvaus S O (V, Q), joka on korkeintaan kahden peilauksen yhdistetty kuvaus ja jolle pätee S (T e n ) = e n eli (S T ) e n = e n. Siis S T O (V, Q ). Jos S T I, niin induktio-oletuksen nojalla S T = T 1, missä T 1 on korkeintaan (n 1) peilauksen tulo. Peilauksen käänteiskuvaus on peilaus, joten kuvaus S 1 on korkeintaan kahden peilauksen tulo. Koska T = S 1 T 1, voidaan T esittää korkeintaan + (n 1) = n peilauksen yhdisteenä. Jos S T = I, niin T = S 1 ja T on kahden peilauksen yhdiste. Siis väite pätee, kun avaruuden V dimensio on n. 6
Lähteet [1] Baylis, W.E. (toim.): Clifford (Geometric) Algebras, with Applications to Physics, Mathematics, and Engineering. Birkhäuser (1996) [] Gilbert, J. Murray, M. Clifford algebras and Dirac operators in harmonic analysis, Cambridge studies in advanced mathematics 6, Cambridge, New York (1991) 7