Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen suhteita. Pääomamarkkinasuora kulkee tuotto-keskihajonta kaaviossa riskittömän sijoituskohteen ja markkinaportfolion kautta. Toisin sanoen pisteiden (0, r f ) ja (σ M, r M ) kautta. Pääomamarkkinasuora on siis r = r f + r M r f σ M Jos markkinaportfolio on tehokas niin mielivaltaisen sijoituskohteen i odotettu tuotto r i toteuttaa ehdon (Capital Asset Pricing Model = CAPM) σ r i r f = β i ( r M r f ), β i = σ im (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) Beta-kerroin β kertoo miten kohteen tuotto korreloin markkinaportfolion kanssa ja se on keskeinen tekijä hinnoittelussa. CAPM on hinnoittelumalli, mutta edellä mainuttu yhtälö ei ota hintaa eksplisiittisesti huomioon vaan ainostaan odotetut tuotot. Oletetaan sijoituskohteen hinnan olevan P ja se myydään myöhemmin hintaan Q. Tuotto on silloin r = Q P P, missä P on siis tiedossa ja Q satunnaismuuttuja. Sijoittamalla tämä CAPM yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P P = r f + β( r M r f ) P = Q 1 + r f + β( r M r f ) Hinnoittelumalli on lineaarinen! Toisin sanoen kahden sijoituskohteen summan hinta on sijoituskohteiden hintojen summa eli Q 1 + P 1 + P 2 = Q 2 1 + r f + β 1+2 ( r M r f ), missä β 1+2 on sijoituskohteiden 1 ja 2 summan beta. CAPM:n varmuusekvivalenttimuodosta nähdään selkeämmin, mallin lineaarisuus. Varmuusekvivalenttimuoto saadaan, kun kirjoitetaan beta ensin muotoon β = cov[r, r M] = Q P cov[ P, r M] σm 2 = cov[ Q P 1, r M] σm 2 = cov[q, r M] P σm 2 Sijoitetaan tämä hinnoittelukaavaan ja saadaan Q P = 1 + r f + β( r M r f ) = Q 1 + r f + cov[q,r M ] ( r M r f ) P = 1 [ 1 + r Q cov[q, r M] ( r M r f )] f P Koska odotusarvo ja kovarianssi ovat molemmat lineaarisia Q:n suhteen on hinnoittelun siis oltava lineaarista!
Kuva 1: Jensenin indeksi. Kuva 2: Sharpen indeksi. CAPM:n avulla voidaan arvioida miten hyviä sijoituskohteet ovat olleet aiemman tuotto ja markkinakehityksen valossa. Tuottojen odotusarvo voidaan estimoida esim. periodien painotettuna keskiarvona, minkä jälkeen varianssit/kovarianssit estimoidaan tavanomaisin tilastollisin kaavoin. Jensenin indeksi J määräytyy kaavasta ˆ r r f = J + β(ˆ r M r f ) Sharpen indeksi S määräytyy kaavasta ˆ r r f = Sˆσ
1. (L7.1) Markkinaportfolion odotettu tuotto on 23% ja keskihajonta 32%. Riskitön korkokanta on 7%. Oletetaan, että markkinat toimivat tehokkaasti. a) Mikä on pääomamarkkinasuoran yhtälö? b) Jos haluat 39% tuoton, mikä on tätä tuottoa vastaava keskihajonta? Jos sinulla on sijoitettavana 1000 euroa, miten sinun kannattaa jakaa se riskittömän kohteen ja markkinaportfolion kesken (saadaksesi 39% tuoton)? c) Jos sijoitat 300 euroa riskittömään kohteeseen ja 700 euroa markkinaportfolioon, kuinka paljon rahaa sinulla on odotusarvoisesti vuoden lopussa? a) Pääomamarkkinasuoran yhtälö: r M = 23% σ M = 32 r f = 7% r = 39% r = r f + r M r f σ M σ = 0.07 + 0.5σ Yhtälössä kulmakerrointa kutsutaan usein riskin hinnaksi. b) Keskihajonta voidaan ratkaista suoraan pääomamarkkinasuoran yhtälöstä: r r f 0.39 0.07 σ = σ M = 0.32 r M r f 0.23 0.07 0.64 = 64% Portfolion odotettu tuotto r = w i r i. r = wr f + (1 w) r M = w 0.07 + (1 w) 0.23 = 0.39 w = 1 Toisin sanoen otetaan 1000 euroa lainaa ja sijoitetaan 2000 euroa markkinaportfolioon. c) r = 0.07 0.3 + 0.23 0.7 = 0.182 1.182 1000 = 1182 Siis vuoden lopussa on odotusarvoisesti rahaa 1182 euroa.
2. (L7.5) Voit sijoittaa yhteen tai useampaan n:stä kohteesta, jotka ovat keskenään korreloimattomia. Kohteen i tuoton varianssi on σi 2 (i = 1, 2,..., n) ja kokonaisarvo markkinoilla (so. markkina-arvo) X i. Olkoot T = X i markkinaporfolion kokonaisarvo ja x i = X i T kunkin yksittäisen sijoituskohteen paino markkinaportfoliossa (capitalization weight), jolloin markkinaportfolio voidaan esittää normalisoidussa muodos- sa x = (x 1, x 2, x 3,..., x n ). Oletetaan, että riskitön korkokanta on r f. Määritä sijoituskohteen i betan β i = cov[r i,r M ] var[r M ] lauseke suhteellisten osuuksien x i ja sijoituskohteiden keskihajontojen σ i avulla. Markkinaportfolion sijoituskohteiden painot ovat x i ja kohteet ovat korreloimattomia joten markkinaportfolion tuotoksi, odotusarvoksi ja varianssiksi saadaan: r M = x i r i r M = x i r i σm 2 = x 2 i σi 2 Korreloimattomien sijoituskohteiden kovarianssiksi markkinaportfolion kanssa saadaan σ im = cov[r i, r M ] = cov[r i, x j r j ] = cov[r i, x i r i ] = x i σi 2 j=1 Sijoittamalla nämä sijoituskohteen i betan lausekkeeseen β i = cov[r i,r M ] var[r M ] saadaan β i = cov[r i, r M ] var[r M ] = x i σ 2 i n j=1 x2 j σ2 j
3. (L7.7) Olkoon w 0 portfolio, joka vastaa käyvän alueen minimivarianssipistettä (varianssi σ0 2). Olkoon w 1 jokin toinen portfolio tehokkaalla rintamalla (varianssi σ1 2). Oletetaan lisäksi, että r 0 ja r 1 ovat portfolioiden tuotot. a) Portfolioiden kovarianssi voidaan esittää muodossa σ 01 = Aσ0 2. Määritä A tutkimalla portfolion p = dv ar[p] (1 α)w 0 + αw 1 varianssia α = 0 ympäristössä. Huomaa, että dα α=0 = 0, koska w 0 on minimivarianssipiste. b) Minimivarianssijoukossa on olemassa portfolio w z, jonka beta w 1 :n suhteen on nolla (σ 1,z = 0). Portfolio voidaan ilmaista muodossa (1 α)w 0 + αw 1. Määritä α. c) Piirrä kaavio, joka havainnollistaa portfolioiden riippuvuussuhteen sekä käyvän alueen. d) Jos markkinoilla ei ole riskitöntä sijoituskohdetta, voidaan osoittaa, että sijoituskohteet voidaan hinnoitella seuraavan kaavan mukaan: r i r z = β im ( r M r z ), missä M on markkinaportfolio ja r z sellaisen portfolion odotettu tuotto, jonka beta on nolla markkinaportfolion kanssa. Oletetaan, että markkinaportfolion odotettu tuotto on 15% ja nolla-betaisen portfolion 9%. Sijoituskohteen i korrelaatio markkinaportfolion kanssa on 0.5. Markkinaportfolion tuoton keskihajonta on 15% ja i:nnen sijoituskohteen 5%. Määritä sijoituskohteen i odotettu tuotto. a) Nyt p = (1 α)w 0 + αw 1 ja varianssin määritelmästä saadaan var[p] = (1 α) 2 σ 2 0 + α 2 σ 2 1 + 2α(1 α)σ 01 = (1 α) 2 σ 2 0 + α 2 σ 2 1 + 2α(1 α)aσ 2 0 dvar[p] dα Koska w 0 on minimivarianssipiste niin = 2(1 α)σ 2 0 + 2ασ 2 1 + 2(1 α)aσ 2 0 2αAσ 2 0 dvar[p] dα b) Portfolion w z beta w 1 :n suhteen on nolla joten = 0 2σ 2 0 + 2Aσ 2 0 = 0 A = 1 β = σ z1 σ 2 1 = 0 σ z1 = 0 Toisin sanoen portfolion w z kovarianssi portfolion w 1 kanssa tulee olla nolla. Nyt w z = (1 α)w 0 + αw 1 ja kun muistetaan a-kohdasta, että cov[w 0, w 1 ] = σ 01 = Aσ 2 0 = σ2 0 saadaan cov[w z, w 1 ] = cov[(1 α)w 0 + αw 1, w 1 ] = cov[(1 α)w 0, w 1 ] + cov[αw 1, w 1 ] = (1 α)σ 2 0 + ασ 2 1 Tämän tulee määritelmän mukaan olla nolla, joten (1 α)σ 2 0 + ασ 2 1 = 0 α(σ 2 1 σ 2 0) = σ 2 0 α = σ2 0 σ 2 0 σ2 1 koska w 0 on minimivarianssipiste eli σ 2 0 σ2 1 < 0. < 0,
c) w 0 on minimivarianssipiste ja w 1 sijaitsee tehokkaalla rintamalla eli w 0 :n "yläpuolella"minimivarianssijoukossa. α osoittautui b-kohdassa negatiiviseksi, joten w z on w 0 :n "alapuolella"minimivarianssijoukossa. d) Tehtävänannosta saadaan Kuva 3: Tehtävän 3c varianssi-tuotto käyrä. r M = 0.15 σ M = 0.15 r z = 0.09 σ i = 0.05 ρ im = 0.5 Korrelaatiolle ρ im pätee ρ im = σ im σ i σ M σ im = ρ im σ i σ M. Annetun kaavan r i r z = β im ( r M r z ) perusteella saadaan r i = r z + βim( r M r z ) = r z + σ im σm 2 ( r M r z ) = r z + ρ imσ i ( r M r z ) σ M Sijoittamalla tähän lukuarvot saadaan sijoituskohteen i odotetuksi tuotoksi r i = 0.10 = 10%.
4. (L7.9) Näytä, että molemmat CAPM-kaavat (perusmuoto ja varmuusekvivalenttimuoto) hinnoittelevat 100 euron rahasto-osuuden, jonka tuotto on r = (1 α)r f +αr M, 100 euroksi. (Sijoitat siis 100 euroa rahastoon, jonka tuotto r. Näytetään, että sijoituksen hinnaksi tulee molemmilla CAPM-muodoilla 100 euroa.) Olkoon Q satunnaismuuttuja, joka kuvaa rahasto-osuuden arvoa vuoden päästä. Tehtävänannon mukaisesti rahaston tuotto on r = (1 α)r f + αr M. Kun rahasto-osuuden arvo on nyt P saadaan sen arvoksi ja odotusarvoksi vuoden päästä Rahaston tuoton betaksi saadaan Q = P (1 + r) = P (1 + (1 α)r f + αr M ) Q = P (1 + r) = P (1 + (1 α)r f + α r M ) β = cov[r, r M] var[r M ] = 0 + ασ2 M = α Nyt rahasto-osuuden hinnaksi saadaan perusmuodon kaavalla P = Q 1 + r f + β( r M r f ) = Q 1 + r f + α( r M r f ) = P (1 + (1 α)r f + α r M ) 1 + (1 α)r f + α r M = P Toisin sanoen rahasto-osuuden hinta on rahasto-osuuden arvo OK. Varmuusekvivalenttimuoto P = 1 [ 1 + r Q cov[q, r M]( r M r f ) ], f missä Q:n ja markkinaportfolion välinen kovarianssi on Nyt saadaan cov[q, r M ] = cov[p (1 + (1 α)r f + αr M ), r M ] = P α P = 1 [ 1 + r Q cov[q, r M]( r M r f ) ] = P [1 + (1 α)r f + α r M α( r M r f )] = P [1 + r f ] = P f 1 + r f 1 + r f Tälläkin kaavalla saatiin rahasto-osuuden hinnaksi rahasto-osuuden arvo OK. Kummassakaan muodossa hinta 100 euroa ei siis riipu α:sta eli 100 euron allokoinnista riskittömän kohteen ja markkinaportfolion välillä.