MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

Samankaltaiset tiedostot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

(ks. kuva) ja sen jälkeen x:n ja y:n suhteen yli xy-tasossa olevan alueen projektion G:

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

Differentiaalilaskennan tehtäviä

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

kertausta Esimerkki I

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

Luento 3: Käyräviivainen liike

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

= ( F dx F dy F dz).

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Gaussin lause eli divergenssilause 1

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Luento 5: Käyräviivainen liike

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Matematiikan tukikurssi

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Luento 9: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Luento 10: Työ, energia ja teho

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )

Mat Matematiikan peruskurssi S2

Numeerinen integrointi

PYÖRÄHDYSKAPPALEEN PINTA-ALA

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

Differentiaalimuodot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Insinöörimatematiikka D

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Transkriptio:

MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 1 / 2

Moninkertaisten integraalien sovelluskohteita 1/2 Tähän mennessä kurssilla esiintyneita moninkertaisten integraalien sovelluskohteita ovat mm.: Pinta-alan laskeminen: Ala() = Tilavuuden laskeminen: Tilavuus() = Kappaleen massan laskeminen: m() = 1 da. 1 dv. δ(x, y, z) dv, missä δ(x, y, z) on tiheys pisteessä (x, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 2 / 2

Moninkertaisten integraalien sovelluskohteita 2/2 Hitausmomentti kappaleen pyöriessä z-akselin ympäri: I z () = δ(x, y, z)(x 2 + y 2 ) dv, missä δ(x, y, z) on tiheys pisteessä (z, y, z). Painopisteen eli massakeskipisteen ( x, ȳ) laskeminen tasaisesti jakautuneen massan (eli δ(x, y, z) = vakio) ja kaksiulotteisen alueen tapauksessa: x = x da da, ȳ = y da da. Seuraavaksi käsitellään muutamia muita sovelluksia. Muita sovelluksia esiintyy myöhemmillä kursseilla, mm. lujuuslaskennassa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 3 / 2

Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 1/3 z k n γ y x Tutkitaan kaksiulotteista pintaa S, joka on xy-tason yläpuolella avaruudessa R 3. Tarkastellaan aluksi xy-tason neliön yläpuolelle jäävän osan pinta-alaa. Se on ilmeisesti suurempi tai yhtäsuuri kuin vastaavan neliön pinta-ala. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 4 / 2

Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 2/3 Tästä johtuen pinta-aladifferentiaali ds on suurempi tai yhtäsuuri kuin kuin dx dy. Itseasiassa dx dy saadaan, jos ds projisoidaan xy-tasoon. Projektio voidaan kirjoittaa kaavana dx dy = cos γ ds, missä γ on pinnan S normaalivektorin n ja z-akselin suuntaisen yksikkövektorin k välinen kulma. Toisaalta pistetulon määritelmästä saadaan n k = n k cos γ, ja siis ds = 1 n k dx dy = dx dy. cos γ n k Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 5 / 2

Kaksiulotteinen pinta-ala avaruudessa 3/3 Aikaisemmin on johdettu pinnan (ylöspäin suunnatulle) normaalivektorille esitys n = z x i z y j + k. Saadaan n = 1 + ( z x ) 2 ( z ) 2 + y Lisäksi k = 1 ja n k = 1, joten ( z ) 2 ( z ) 2 ds = 1 + + dx dy. x y Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 6 / 2

Esimerkki Lasketaan xy-tason kiekon x 2 + y 2 = a 2, a > yläpuolella olevan hyperbolisen paraboloidipinnan z = x 2 y 2 osan pinta-ala. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 7 / 2

Ratkaisu 1/2 Lasketaan x z = 2x, y z = 2y. Siten pinta-aladifferentiaaliksi saadaan ( z ) 2 ( z ) 2 ds = 1 + + dx dy x y = 1 + 4(x 2 + y 2 ) dx dy napakoordinaateissa ilmaistuna. = 1 + 4r 2 r dr dθ, Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 8 / 2

Ratkaisu 2/2 Lasketaan nyt integraali napakoordinaateissa: = π 4 Ala(S) = = π 4 a r= ˆ 2π ˆ a ˆ a r 1 + 4r 2 dr dθ 8r 1 + 4r 2 dr 2 3 (1 + 4r 2 ) 3/2 = π [ (1 + 4a 2 ) 3/2 1 ]. 6 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 9 / 2

Massakeskipiste 1/2 Kolmiulotteisen kappaleen massakeskipiste ( x, ȳ, z) voidaan laskea [ x = [ ȳ = [ z = ][ ] 1 xδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv, ][ ] 1 yδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv, ][ zδ(x, y, z) dv δ(x, y, z) dv ] 1, missä δ = δ(x, y, z) on kappaleen tiheys pisteessä (x, y, z). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 1 / 2

Massakeskipiste 2/2 Kaava voidaan kirjoittaa myös vektorimuodossa rδ dv xi + ȳj + zk = δ dv, missä r = xi + yj + zk. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 11 / 2

Esimerkki Lasketaan epäyhtälöiden x 1, y 1 ja z 1 määräämän yksikkökuution massakeskipiste, kun tiheys δ(x, y, z) = z. Huom. Yksikkökuutio voidaan myös määritellä käyttäen nk. karteesista tuloa: = [, 1] [, 1] [, 1] = [, 1] 3. Tämä merkintätapa tarkoittaa samaa kuin ylläoleva määritelmä epäyhtälöiden avulla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 12 / 2

Ratkaisu 1/2 Lasketaan ensin Saadaan x = 1 1 = δ dv = ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 ˆ 1 z dz = 1 xz dx dy dz 1/2 1 z= = z dx dy dz 1 2 z2 = 1 2. ( 1 x= = (1/2)2 1/2 = 1 2. )( 1 1 2 x2 1/2 ) 1 z= 2 z2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 13 / 2

Ratkaisu 2/2 Vastaavasti ȳ = 1 1 1 yz dx dy dz 1/2 = (1/2)2 1/2 = 1 2. Edelleen voidaan laskea z = 1 Massakeskipisteeksi saadaan 1 1 z2 dx dy dz 1/2 = (1/3) (1/2) = 2 3. = ( x, ȳ, z) = (1/2, 1/2, 2/3). 1 1 z= 3 z3 1/2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 14 / 2

Hitausmomentti 1/3 Tarkastellaan tilannetta, jossa pistemäiset kappaleet kiertävät oriogoa xy-tasossa ympyrän muotoista rataa pitkin samalla kulmanopeudella. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 15 / 2

Hitausmomentti 2/3 Voidaan laskea kappaleiden yhteenlaskettu liike-energia saadaan laskemalla summa E = N i=1 1 2 m iv 2 i = 1 2 [ N i=1 ] m i ri 2 ω 2 = 1 2 [ N i=1 ] m i (xi 2 + yi 2 ) ω 2, missä ω on kulmanopeus ja m i, x i sekä y i ovat i:nnen kappaleen massa ja paikka. Summaa kutsutaan hitausmomentiksi. N i=1 m i (x 2 i + y 2 i ) Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 16 / 2

Hitausmomentti 3/3 Ajattelemalla z-akselin ympäri pyörivä kappale joukoksi infinitesimaalisen pieniä pisteitä, voidaan edelläolevasta summasta päätellä kappaleen liike-energia: E = 1 [ ] (x 2 + y 2 )δ(x, y, z) dv ω 2 2 missä I z = = 1 2 I zω 2, (x 2 + y 2 )δ(x, y, z) dv on kappaleen hitausmomentti z-akselin suhteen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 17 / 2

Esimerkki z y ω z=1 a x Lasketaan sylinterin = {(x, y, z) : x 2 + y 2 a 2 ja z 1}, a > hitausmomentti z-akselin suhteen, kun tiheys on vakio δ = δ. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 18 / 2

Ratkaisu 1/2 Lasketaan I z = (x 2 + y 2 )δ dv = δ ˆ 1 ˆ 2π ˆ a r 2 r dr dθ dz ˆ a = 2πδ r 3 dr = 1 2 πδ a 4. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 19 / 2

Ratkaisu 2/2 Toisaalta sylinterin massa on m = δ dv = δ Tilavuus() = δ πa 2. Siten hitausmomentti voidaan kirjoittaa I z = 1 2 (πδ a 2 )a 2 = 1 2 ma2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 217 2 / 2