HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2 0 kaikilla t R. Tällöin saadaan: (x 1 + ty 1 ) 2 + (x 2 + ty 2 ) 2 +... + (x n + ty n ) 2 0. (x 2 1 + 2tx 1 y 1 + y 2 1) + (x 2 2 + tx 2 y 2 + y 2 2) +... + (x 2 n + tx n y n + y 2 n) 0. Yhdistämällä saadaan: (x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 }{{ n) } +2t (x 1y 1 + x 2 y 2 +... + x n y n ) }{{} +t2 (y1 2 + y2 2 +... + yn) 2 }{{} 0 x 2 + 2t (x y) + t 2 y 2 0 Nyt valitsemalla t = x y y 2, kun y 0 saadaan: x 2 2(x y) x y (x y)2 + y 2 y 2 ( y 2 ) 0 2 x 2 (x y)2 (x y)2 2 + 0 y 2 y 2 x 2 (x y)2 y 2 0 y 2 x 2 y 2 (x y) 2 0. 1
Tästä seuraa, että x y x y. Nyt pitää vielä tarkistaa kun y = 0. Tällöin tämä pätee jos ja vain jos y = 0. Sijoittamalla saadaan triviaali ratkaisu: x 0 x 0. Eli 0 0. Joten x y x y kaikilla x, y R. I.2. Osoita, että vektoriavaruudessa R n maksiminormi max, itseisarvonormi abs ja euklidisen sisätulon määräämä normi ovat ekvivalentteja. Ratkaisu: Palauttakaamme mieleemme topologian kurssilta tieto, että normit d ja p ovat ekvivalentit vektoriavaruudessa X, jos on olemassa vakiot a ja b, joilla kaikilla x X pätee missä 0 < a b. ad(x) p(x) bd(x), Olkoon x R n. Lähdetään arvioimaan ensin maksiminormista ylöspäin: saamme, että x max = max( x 1,..., x n ) = x k = x 2 k x 2 1 + + x 2 n = x n = x i e i x 1 + + x n = x abs n x max n x, i=1 missä k on se indeksi, jolla vektorin x komponentin itseisarvo on suurin ja e i on R n :n standardikannan i:s kantavektori. Kohdassa käytimme normin kolmioepäyhtälöä. Voimme kerätä yltä halutut tiedot kasaan: saamme että pätee x max x n x max, x max x abs n x max x x abs n x, ja mikä haluttiin osoittaa. 2
I.3. Määrää funktion g : R 2 R, g : (x 1, x 2 ) 4x 2 1 + x 2 2 tasa-arvokäyrät. Hahmottele/Piirrä muutama tasa-arvokäyrä. Piirrä funktion graafi. Ratkaisu: Ks. liite. I.4. Määrää funktion f : R 3 R, x x 2 1 + x 2 2 x 2 3 tasa-arvopinnat. Hahmottele/Piirrä muutama tasa-arvopinta. Ratkaisu: Ks. liite. I.5. Osoita, että avaruuden R n jonolle (x k ) on voimassa lim x k = a x jos ja vain jos jokaisella j = 1,..., n reaaliselle komponenttijonolle (x k,j ) j pätee lim k x k,j = a j missä x k = (x k,1,..., x k,n ) ja a = (a 1,..., a n ). Ratkaisu: Todistetaan ensin, että jono suppenee jossakin normissa, jos ja vain jos se suppenee jossakin ekvivalentissa normissa. Oletetaan siis, että 1 ja 2 ovat ekvivalentit R n :n normit, eli löytyy vakiot C 1, C 2 0 joilla x 1 C 2 x 2 ja x 2 C 1 x 1 kaikilla x R n. Oletetaan sitten, että (x k ) on jono joka suppenee pisteeseen x normissa 1, eli x k x 1 0 kun k. Halutaan osoittaa, että myös x k x 2 0 kun k. Olkoon tätä varten ε > 0, jolloin myös ε/c 1 > 0. Koska x k x 1 0, niin on olemassa N N jolla pätee, että x k x 1 < ε/c 1 kunhan k N. Kun siis k N, niin pätee x k x 2 C 1 x k x 1 < C 1 ε/c 1 = ε, eli myös x k x 2 0, kun k. Tiedetään siis, että suppenemisesta normissa 1 seuraa suppeneminen normissa 2. Koska normit olivat mielivaltaisia, vaihtamalla ne keskenään saadaan aikaan ekvivalenssi. 3
Tehtävässä 2 osoitettiin, että tavallinen euklidinen normi, maksiminormi max ja itseisarvonormi abs ovat ekvivalentteja. Koska suppeneminen määriteltiin euklidisen normin avulla, ylläolevan mukaan voi sen suppenemiskysymyksissä vaihtaa huoletta myös normiin max tai abs. Osoitetaan sitten itse väite: oletetaan ensin, että (x k ) on jono, jolla x k a, eli x k a max 0. Olkoon 1 j n. Koska voimassa on epäyhtälöt 0 x k,j a j max( x k,1 a j,..., x k,n a j ) = x k a max, niin kuristusperiaatteen nojalla myös x k,j a j 0 (eli x k,j a j ), kun k. Oletetaan sitten, että x k,j a j kaikilla 1 j n, eli x k,j a j 0, kun k. Analyysin peruskurssin tietojen nojalla tällöin myös näiden summajono suppenee: tarkemmin sanoen, kun k, eli x k a. n n x k a abs = x k,j a j 0 = 0 j=1 j=1 Siis avaruuden R n jono suppenee jos ja vain jos sen komponenttijonot suppenevat. I.6. Tutki, onko avaruuden R 3 jono (x k ) suppeneva, kun (a) x k = (1, k 1, k 2 ) (b) x k = (k, 1, k 1 ) (c) x k = (( 1) k, ( k) 1, ( k) 2 ). Ratkaisu: Jono x k = (a k, b k, c k ) suppenee, jos ja vain jos jonot a k, b k ja c k suppenevat. Jos a k suppenee kohti a:ta, b k suppenee kohti b:tä ja c k suppenee kohti c:tä, niin x k suppenee kohti (a, b, c):tä. Voidaan käyttää tässä hyväksi Analyysin kursseilta opittuja tietoja raja-arvoista. Tiedetään, siis että 1/k 0 ja ( 1) k ei suppene, kun k. (a) Jono x k = (1, k 1, k 2 ) suppenee kohti (1,0,0) kun k. (b) Jono x k = (k, 1, k 1 ) ei suppene. (c) Jono x k = (( 1) k, ( k) 1, ( k) 2 ) ei suppene. 4
Vektorianalyysi I, 2017, Harjoitus 1.3 Table of Contents Piirretään ensin graafi... 1 Piirretään muutama tasa-arvokäyrä... 2 Piirretään muutama tasa-arvokäyrä, 3D... 2 Tarkastellaan funktiota. Piirretään ensin graafi x = -100:5:100; y = -100:5:100; [X,Y] = meshgrid(x,y); Z = 4*X.^2+Y.^2; figure(1);clf surf(x,y,z) xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') 1
Vektorianalyysi I, 2017, Harjoitus 1.3 Piirretään muutama tasa-arvokäyrä x = -100:.01:100; c = [0.1 5 20 50 100]; figure(2);clf;hold on for ii = 1:length(c) y2 = c(ii)-4*x.^2; ind = find(y2>=0); plot([x(ind(1)) x(ind) x(ind(end:-1:1))],[-sqrt(y2(ind(1))) sqrt(y2(ind)) -sqrt(y2(ind(end:-1:1)))],'-') text(x(ind(1)),-sqrt(y2(ind(1))),['c = ' num2str(c(ii))]) end hold off xlabel('x');ylabel('y') Piirretään muutama tasa-arvokäyrä, 3D x = -100:.01:100; c = [0.1 5 20 50 100 1000 10000 25000]; figure(3);clf;hold on 2
Vektorianalyysi I, 2017, Harjoitus 1.3 surf(x,y,z) for ii = 1:length(c) y2 = c(ii)-4*x.^2; ind = find(y2>=0); xx = [x(ind(1)) x(ind) x(ind(end:-1:1))]; yy = [-sqrt(y2(ind(1))) sqrt(y2(ind)) -sqrt(y2(ind(end:-1:1)))]; zz = c(ii)+0*xx; plot3(xx,yy,zz,'m-','linewidth',2) %text(x(ind(1)),-sqrt(y2(ind(1))),['c = ' num2str(c(ii))]) end hold off xlabel('x');ylabel('y');zlabel('c') grid on set(gca,'cameraposition',1e5*[-0.0061-0.0223 3.1925]) Published with MATLAB R2017a 3
Vektorianalyysi I, 2017, Harjoitus 1.4. Piirretään muutama tasa-arvopinta. x = -100:1:100; y = -100:1:100; [X,Y] = meshgrid(x,y); c = [-10000-1000 -500-100 -10-1 0 1 10 100 500 1000 2000]; figure(1);clf;%hold on for ii = 1:length(c) figure(ii);clf;%hold on Z2 = -c(ii)+x.^2+y.^2; ind = find(z2<0); Xb = X;Yb= Y; Xb(ind) = NaN;Yb(ind) = NaN;Z2(ind) = NaN; mesh(xb,yb,sqrt(z2),0*xb+c(ii),'facealpha',.03);hold on mesh(xb,yb,-sqrt(z2),0*xb+c(ii),'facealpha',.03)%;hold off colormap jet xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z') caxis([c(1) c(end)]) h = colorbar;h.label.string = 'c'; axis square axis on grid on;set(gca,'cameraposition',[ -1.1858-1.1437 1.0692]*1e3);%[-200-800 80]) title(['c = ' num2str(c(ii))]) %pause(.5) end 1
2
3
4
5
6
7
Published with MATLAB R2017a 8