KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, iikko 46/07. Kuan esittämä esiskootteri etenee akioauhdilla. Veden (tihes ) sisäänotto tapahtuu pohjassa olean aakasuoran aukon kautta. Sisääntulean eden auhti on likimain 0. Pumppu poistaa eden aakasuuntaisena suihkuna, jonka poikkipinta on A ja tilauusirta Q 3 [ Q ] < m /s. Johda moottorin töntöoiman lauseke. Soella liikemäärän taseen periaatetta ja esitä selästi kappale, jota tarkastelet läheisillä ajanhetkillä t ja t Vastaus F < Q( u, ) Χ t.. Nestesuihku isket kitkattomaan kärään siipeen auhdilla. Nesteen tihes on, tilauusirta Q ([ Q ] < m /s) ja nopeuden oletetaan psän tasaisena koko suihkun alueella ja paineen muuttumattomana (sama kuin mpäröiän ilman paine). Laske siipeen kohdistuan oiman komponentit F kulman π funktioina. 3 F ja π Vastaus F < Q(, cos π), F <, Qsinπ. 3. Kuan aunuun, jonka massa thjänä on 0, aletaan hetkellä t < 0 lastata kiihiiltä akiomassairralla q ([ q ] < k/s). ääritä aunun nopeus ja kiihts ajan funktiona, kun hetkellä t < 0 sen nopeus on 0. Ei kitkaa. m m, a Vastaus < 0 0 q t 0 m q, a<, 0 0 m ( 0 qmt) 4. Oheisen kuan esittämä kasassa olea pienistä renkaista muodostua ketju purkautuu suoraksi ketjun päähän aikuttaan akiooiman P johdosta. ääritä ketjun liikehtälö. Ketjun massa pituusksikköä kohti on akio ja kitkakerroin alustan suhteen on λ. Otaksutaan, että ketju purkautuu siten, että älittömästi kohdan < 0 puolella ketjussa allitsea oima on nolla. asemmalla P Vastaus d d ( ( ) λ) < P
5. Raketti lähtee maanpinnalta ( 0 < 0) pstsuoraan löspäin. Alussa sen massa polttoaineineen on 0. Polttoaineen palamisesta sntä kaasu poistuu raketin taakse akionopeudella u rakettiin nähden. Polttoaineen kulutus on λ ([ λ ] < k/s ). ikä on raketin nopeus, kun Χ massa polttoainetta on palanut, jos ainoa ulkoinen oima on maan etooima? aan etooiman kiihts oletetaan akioksi. Vastaus ln 0 < u, Χ,Χ λ 0 σ 6. Tarkastellaan ajasta riippumatonta / t < 0, pörteetöntä ϖ < < 0 ja kitkatonta ρ <, Ip σ irtausta. Oletetaan lisäksi, että tilauusoima on konseratiiinen eli f <, Ε. Johda Bernoullin htälö, kun lähtökohtana on ektori-identiteetti < / ϖ ja liikemäärän taseen lokaali muoto σ ( ) < f ρ. t Vastaus p Ε< C 7. Tarkastellaan kuan mukaista kitkatonta ja kokoonpuristumatonta irtausta kapeneassa aakasuorassa putkessa. Laske Bernoullin htälöä ja massan tasetta kättäen paine-ero putken alku- ja loppupään älillä. Oletetaan, että irtausnopeus poikkipinnalla on akio. A, A, A Vastaus A Χ p < [,( ) ] A 8. Aoimesta tnnristä purkautuu että alaosassa olean lhen putken kautta. Alkutilanteessa t < 0 eden korkeus tnnrissä on h. Laske aika, joka kuluu tnnrin thjenemiseen. Tnnrin poikkileikkauksen pinta-ala on A (oletetaan akioksi), pienen putken poikkileikkauksen pinta-ala on a, a/ A< ja iskositeetti oidaan unohtaa. Kätä Bernoullin htälöä ja massan tasetta. Paine ulosirtaaassa nesteessä putken suulla on sama kuin ilmanpaine. z Vastaus T < A a h
Kuan esittämä esiskootteri etenee akioauhdilla. Veden (tihes ) sisäänotto tapahtuu pohjassa olean aakasuoran aukon kautta, joten sisääntulean eden auhti on likimain 0. Pumppu poistaa eden aakasuuntaisena suihkuna, jonka poikkipinta on A ja tilauusirta Q 3 [ Q ] < m /s. ääritä moottorin töntöoima. Soella liikemäärän taseen periaatetta ja esitä selästi kappale, jota tarkastelet läheisillä hetkillä t ja t. Poistuan suihkun suhteellinen auhti u < Q/ A. Olkoon nesteeseen kohdistua aakasuuntainen oima F. Tarkastellaan nestekappaletta joka koostuu moottorin sisältämästä nesteestä ja aikaälillä Χ t moottorin imemästä nesteestä. F m Χ m< Q Dm=r QDt 0 -u m Nestekappaleen liikemäärän muutos on htä suuri kuin ulkoisten oimien summa QΧ t(, u) m, m < F F < Q(, u). Nesteeseen kohdistuu siis oima F. Nesteen moottoriin kohdistama oima on htä suuri mutta astakkaismerkkinen eli skootterin kokema töntöoima F < Q( u, ).
Virtaussuihku isket kitkattomaan kärään siipeen auhdilla. Nesteen tihes on, tilauusirta Q 3 [ Q ] < m /s ja nopeuden oletetaan psän tasaisena koko suihkun alueella ja paineen muuttumattomana (sama kuin mpäröiän ilman paine). Laske siipeen kohdistuan oiman komponentit F ja F kulman π funktioina. Tarkastellaan kuan nestekappaletta, joka koostuu hetkellä t siien kohdalla oleasta nesteestä ja siihen aikaälissä Χ t saapuasta nesteestä. Ulkoisina oimina nestekappaleeseen kohdistuu ulkoinen paine ja siien nesteeseen kohdistama oima. Ulkoilman akiopaine kohdistuu tarkasteltaan kappaleen koko reunaa joko siien kautta tai suoraan, joten sen resultantti oidaan unohtaa. Ajanhetkellä t nesteestä ja siitä poistuasta nesteestä Χ t kappale on siirtnt eteenpäin ja koostuu siien kohdalla oleasta Q π π Q p, p F p, p F assan taseen perusteella kontrollialueesseen tulean ja poistuan nesteen massat oat samoja. Kappaleen liikemäärän muutos on htä suuri kuin ulkoisten oimien summa. Siien kohdalla olean nesteen liikemäärän komponentit cos p ja p oat samat kummallakin ajahetkellä. Näin ollen Q π p, QΧ t, p < F Χ t ja Qsinπ p, p < F F < Q(cosπ, ) ja F < Qsinπ. Nesteen siipeen kohdistama oima on htä suuri mutta astakkaissuuntainen eli F < Q(, cos π) ja F <, Qsinπ.
Kuan aunuun, jonka massa thjänä on 0, aletaan hetkellä t < 0 lastata kiihiiltä akiomassairralla q m. ääritä aunun nopeus ja kiihts ajan funktiona, kun hetkellä t < 0 sen nopeus on 0. Ei kitkaa., a Tarkastellaan kappaletta, joka koostuu aunusta, sen sisällä oleista partikkeleista ja aikaälissä aunuun tuleista (kiihiili) partikkeleista. Kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia oimia. Olkoon aunun ja sen sisältämän kiihiilen massa () t ja aunun nopeus t (). Oheinen kua esittää tilanteita ajanhetkillä t ja t qm m < 0 Χ Χ assan tase alitulle kappaleelle d Χ,, qmχ t < 0 Χ < qm < q m. Liikemäärän tase alitulle kappaleelle ( Χ )( Χ ), < 0 Χ Χ ΧΧ < 0 Χ Χ Χ t Χ Χ < 0. Lopuksi tarkastellaan raja-aroa 0. Liikemäärän tasehtälön iimeinen termi häiää ja saadaan aunun liikehtälö d d d < ( ) < 0. Vaunun liikkeen alkuarotehtää koostuu massan ja liikemäärän taseista ja tunnetuista aunun massan ja nopeuden alkuaroista d d ( ) < 0, < q m t = 0 ja < 0, < 0 t < 0. ääritetään ielä aunun auhti ajan funktiona. assan taseesta saadaan aluksi < 0 qmt ja liikemäärän taseesta tämän jälkeen < 00 0 0 < < 0 0 q t 0 m q 0 0 a<, m ( 0 qmt).
Oheisen kuan esittämä kasassa olea pienistä renkaista muodostua ketju purkautuu suoraksi ketjun päähän aikuttaan akioaroisen oiman P johdosta. ääritä ketjun liikehtälö. Ketjun massa pituusksikköä kohti on akio ja kitkakerroin alustan suhteen on λ. Otaksutaan, että ketju purkautuu siten, että älittömästi kohdan < 0 asemmalla puolella ketjussa allitsea oima on nolla. P Tarkastellaan kappaletta, joka koostuu hetkellä t liikkuan ketjunosan partikkeleista ja aikaälissä Χ t liikkuaan osaan leossa oleasta ketjun osasta siirtistä partikkeleista. Kappaleeseen kohdistuu aakasuunnassa ketjun päähän aikuttaa oima sekä kitkaoima tasosta (Coulombin liikekitka F < λn ). Olkoon liikkuan ketjunosan massa () t, nopeus t () ja pituus t () ajanhetkellä t. Oheinen kua esittää tilanteita ajanhetkillä t ja t Χ () t < d t () < P d ( t Χ t) < ( ) d d () t < λ Liikemäärän tase alitulle kappaleelle Χ p< FΧ t (termit joissa esiint suureen muutos kaksi kertaa unohdetaan, koska ne häiäät rajalla 0 d d d d ( )( Χ t), ( P ) t <, λ Χ d d d d d d d Χ t, < ( P, λ ) d d ( ( ) λ) < P. d
Raketti lähtee maanpinnalta ( 0 < 0) pstsuoraan löspäin. Alussa sen massa polttoaineineen on 0. Polttoaineen palamisesta sntä kaasu poistuu raketin taakse akionopeudella u rakettiin nähden. Polttoaineen kulutus λ ([ λ ] < k/s ). ikä on raketin nopeus, kun massa ulkoinen oima on maan etooima ( oletetaan akioksi)? Χ polttoainetta on palanut, jos ainoa uodostetaan ensin raketin liikehtälö kättäen massan ja liikemäärän taseen periaatteita ja tarkastelemalla kahta lähekkäistä ajanhetkeä. Kappale koostuu raketista ja sen sisältämästä polttoaineesta ajanhetkellä t. Olkoon raketin ja sen sisältämän polttoaineen massa () t, raketin nopeuden pstsuora komponentti t (), palamiskaasujen suhteellinen nopeus u ja palamiskaasujen massairta λ. Dm t t Χ Χ assan tase mt ( Χ t), mt ( ) < 0 alitulle kappaleelle λ Χ, u +D-u m() t < ja m( t Χ t) < Χ λ Χ mt ( Χ t), mt ( ) < Χ λχ t, < 0 λ< 0 d λ < 0. Ainoa kappaleeseen aikuttaa ulkoinen oima on painooima eli F kappaleelle pt ( Χ t), pt () < F p() t < ja p( t) < ( Χ)( Χ) λ( Χ, u) Χ p < ( Χ)( Χ) λ( Χ, u), <, <,. Liikemäärän tase Χ, λu <, d, λu <,. assan ja liikemäärän taseesta saatiin kaksi differentiaalihtälöä, joiden ratkaisuina saadaan raketin nopeus ja massa ajan funktioina. Alkuarotehtää nopeudelle ja massalle d d, λu <, ja λ < 0 t = 0, < 0 ja < 0 t < 0. Alkuarotehtään ratkaisu nopeudelle massan funktiona (eliminoidaan λ )
d d u <, d ( u ln t ) < 0 (alkuehdot) uln t < uln 0 ln 0 ln 0 < u, t < u, Χ.,Χ λ 0
σ Tarkastellaan ajasta riippumatonta / t < 0, pörteetöntä ϖ < < 0 ja kitkatonta ρ <, Ip σ irtausta. Oletetaan lisäksi, että tilauusoima on konseratiiinen f <, Ε, jossa tihes on akio. Johda Bernoullin htälö, kun lähtökohtana on ektori-identiteetti < / ϖ ja liikemäärän taseen lokaali muoto σ ( ) < f ρ. t Korataan konektiiista kiihtttä kuaaa termi lausekkeella < ϖ, jossa pörteiss ϖ < < 0 ja tilauusoima f <, Ε oletusten perusteella. Tällöin p ( Ε ) < 0, jonka ratkaisu on ns. Bernoullin htälö p Ε< C. n akion aro oidaan laskea, jos htälön asemman puolen suureet tunnetaan alueen jossain pisteessä. Jos tilauusoima on seurausta painooimasta neatiiisen z, akselin suuntaan, f <, k ja potentiaali Ε< z. Jos nopeus häiää, päädtään nestestatiikasta tuttuun tulokseen p z < C.
Tarkastellaan kuan mukaista kitkatonta ja kokoonpuristumatonta irtausta kapeneassa aakasuorassa putkessa. Laske Bernoullin htälöä ja jatkuuushtälöä (massan tase) kättäen paine-ero putken alku- ja loppupään älillä. Oletetaan, että irtausnopeus on akio poikkipinnalla. A, A, A, Vastaus Tarkastellaan kappaletta, joka hetkellä t koostuu putkenosan sisältämästä nesteestä ja siihen aikaälissä Χ t irtaaasta nesteestä. A A assan taseesta mt ( Χ t), mt ( ) < 0 A AΧ t, ( AΧ t) < 0 A, A < 0 <. A Kirjoitetaan Bernoullin htälö putkenosan kohdille ja (putkenosa on aakasuora Ε <Ε ) p p < (, ) < p, p. Sijoitetaan nopeus kapeammassa kohdassa A Χ p < p, p < (, ) < [,( ) ]. A
Aoimesta tnnristä purkautuu että alaosassa olean lhen putken kautta. Alkutilanteessa t < 0 eden korkeus tnnrissä on h. Laske aika, joka kuluu tnnrin thjenemiseen. Tnnrin poikkileikkausala on A (oletetaan akioksi), pienen putken poikkileikkausala on a, a/ A< ja iskositeetti oidaan unohtaa. Kätä Bernoullin htälöä ja massan tasetta. Paine ulosirtaaassa nesteessä putken suulla on sama kuin ilmanpaine. z Ajasta riippumaton Bernoullin htälö olettaa, että irtaus on pörteetöntä, iskositeetti häiää ja että tilauusoima f on konseratiiinen. Tällöin p Ε< C. Yhtälö pätee tietlle irtaiialle. ssa C on akio jonka aro oidaan laskea, jos htälön asemman puolen suureet tunnetaan irtaiian jossain pisteessä. Tarkastellaan tilannetta kuan irtaiialla pisteissä A ja B. Kuan koordinaatistossa Ε< z. Ilmanpaine olkoon p 0. Bernoullin htälö kirjoitettuna nesteen apaan pinnan pisteelle A ja putken pään pisteelle B p0 z A < p0 B B < z A. A z Χz B z a B Kirjoitetaan massan tase Χ m < 0 kuan tilanteille. Hetkellä t kappale koostuu tnnrin ja pienen putken sisältämästä nesteestä ja korkeus z nesteestä on irrannut tnnristä putken kautta A< a Χ t. A B Χ z. Hetkellä t Χ t pinnan korkeus on z ja osa Saatiin kaksi alebrallista htälöä (Bernoulli ja massan tase) irtausnopeuksille pisteissä A ja B. Ratkaistaan nopeus A oletuksella a/ A< z B < z A ja AA < ab A < A ( ), a a A, z. A
Tässä koordinaatti kasaa löspäin ja pinnan auhti on alaspäin., joten alitaan neatiiinen etumerkki kahdesta aihtoehdosta. Alkuarotehtää edenpinnan korkeudelle z koostuu pinnan aseman differentiaalihtälöstä ja alkuehdosta dz a <, z kun t = 0 ja z < h kun t < 0. A Etsitään aluksi diff. htälön leinen ratkaisu dz a z <, A z <, a t C. A Ratkaistaan akio C alkuehdon aulla h C <. Sijoitetaan leiseen ratkaisuun ja ratkaistaan aika T, jolla tnnri thjenee eli z < 0 a h 0 <, T A A h T < a.