4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on 1 x + 1 x 3 x. Muodostetaan yhtälö neliöiden pintaalojen summalle ja ratkaistaan siitä 4 4 x. 3 x + x 100 4 9 x + x 100 16 16 9 x + x 100 16 16 5 5 x 100 : 16 16 1600 x 5 x 64 Ratkaistaan kokeilemalla, mikä luku kerrottuna itsellään on 64. x x x x 1 1 4 3 9 4 16 5 5 6 36 7 49 8 64 Taulukosta huomataan, että x 8 on yhtälön x 64 ratkaisu.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 Isomman neliön sivun pituus on 8 kyynärää ja pienemmän neliön 3 4 8 6 kyynärää. 4 8 Vastaus: 8 kyynärää ja 6 kyynärää. Jos henkilön ikä on x vuotta, silloin vuosi on x. Taulukoidaan iän ja vuosien arvoja. ikä x vuosi x 41 1681 4 1764 43 1849 44 1936 45 05 Taulukosta huomataan, että tällä hetkellä elävien joukossa voi olla vain henkilö, joka täyttää 45 vuotta vuonna 05 ja hän on syntynyt vuonna 05 45 1980. Vastaus: vuonna 1980

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4.1 Neliöjuuri ja neliöyhtälö ALOITA PERUSTEISTA 401. Vastaus: Neliön pinta-ala Neliön sivun pituus 1 1 1 4 4 9 9 3 16 16 4 5 5 5 40. a) Luvussa 45 kg ei ole nollia, joten kaikki numerot ovat merkitseviä. Vastaus: b) Luku 6 900 m on kokonaisluku, joten kaikki muut numerot ovat merkitseviä, paitsi kokonaisluvun lopussa olevat nollat. Vastaus: c) Luku 53,0 cm on desimaaliluku, joten myös luvun lopussa oleva nolla on merkitsevä. Vastaus: 3 d) Luku 0,1 s on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat nollan jälkeen tulevat numerot. Vastaus: e) Luku 0,060 g on desimaaliluku, joten merkitseviä numeroita ovat kaikki muut numerot, paitsi luvun alussa olevat nollat. Vastaus: 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 403. a) 36 6, koska 6 36 ja 6 0. Vastaus: 6 b) 64 8, koska 8 64 ja 8 0. Vastaus: 8 c) 100 10 koska 10 100 ja 10 0. Vastaus: 10 d) 49 ei ole määritelty, sillä minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ole reaaliluku 404. a) x 49 x 49 tai x 49 x 7 tai x 7 Vastaus: x ±7 b) x 1 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään reaaliluvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua c) x x 100 x 100 x 100 tai x 100 x 10 tai x 10 Vastaus: x ±10 d) x 7 x 7 tai x 7 Vastaus: x ± 7

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 405. a) x + 6 4 x 36 x ± 36 x ±6 Vastaus: x ±6 b) x : 8 x 16 x ± 16 x ±4 Vastaus: x ±4 c) 4x 3 33 4x 36 : 4 x 9 x ± 9 x ±3 Vastaus: x ±3 406. a) Merkitään neliön sivun pituutta kirjaimella x. Muodostetaan yhtälö neliön pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x x 31 x 31 x ± 31 x ±5,567 x ± 5,6 A 31 m x x Neliön sivun pituus ei voi olla negatiivinen, joten vain positiivinen ratkaisu kelpaa. Vastaus: Sivun pituus on 5,6 metriä. b) Lasketaan neliön piiri. x + x + x + x 4x 4 31,71... Vastaus: Köyttä tarvitaan metriä.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 VAHVISTA OSAAMISTA 407. a) 350 m 47 m 16 450 m Molemmissa lähtöarvoissa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 16 000 m b) 3 6,9 m,41 m,863... m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kaksi merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kahden merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus:,9 m c) 0,65 s 8,401 m s 5,5065 m Epätarkimmassa lähtöarvossa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 5,5 m d),60 m 3,9 m 8,554 m 3 Molemmissa lähtöarvoissa on kolme merkitsevää numeroa, joten tulos pyöristetään kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen. Vastaus: 8,55 m 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 408. a) 5 5 Vastaus: 5 b) 49 7 Vastaus: 7 c) 36 + 9 1 + 5 0 6 + 3 1+ 5 0 8 Vastaus: 8 d) 5 4 5 16 9 3 Vastaus: 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 409. Juurrettava luku luetaan y-akselilta ja tätä vastaava neliöjuuren arvo x- akselilta. Kun juurrettava on 3, luvun 3 neliöjuuri 3 on noin 1,73. Kun juurrettava on 7, luvun 7 neliöjuuri 7 on noin,65. Vastaus: 3 1,73ja 7,65

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 410. a) 4x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 b) 3y 15 0 3y 15 : 3 y 5 y ± 5 Vastaus: y ± 5 c) 6z + 3 3 6z 0 : 6 z 0 Vastaus: z 0 d) 18 + x 0 x 18 : x 9 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei ratkaisua

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 411. a) 100x x 99x 0 : 99 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) x + 1 x + x x 1 x 1 tai x 1 x 1 tai x 1 Vastaus: x ±1 1 81 c) x + 0 x + 81 0 x 81 : ( 1) x 81 x 81 tai x 81 x 9 tai x 9 Vastaus: x ±9 d) (x + 1)(x 3) x(x 1) + 3x 19 x 3x + x 3 x x + 3x 19 x x 3 5x x 19 4x 16 : ( 4) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ±

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 41. a) Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se. 4x + 3 3 4x 0 : 4 x 0 x 0 Vastaus: x 0 b) 4x + 3 103 4x 100 : 4 x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5 c) 4x + 3 1 4x : 4 x 4 Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska minkään luvun neliö ei ole negatiivinen luku. Vastaus: ei millään d) 4x + 3 11 4x 8 : 4 x x ± Vastaus: x ±

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 413. a) f(x) 3x + 75 f( 3) 3 ( 3) + 75 3 9 + 75 48 Vastaus: f ( 3) 48 b) f(x) 3x + 75 f(x) 63, kun 3x + 75 63 3x 1 : ( 3) x 4 x 4 tai x 4 x tai x Vastaus: x ± c) Nollakohdassa funktio f(x) 3x + 75 saa arvon nolla. f(x) 0, kun 3x + 75 0 3x 75 : ( 3) x 5 x 5 tai x 5 x 5 tai x 5 Vastaus: x ±5

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 414. Yhtälöllä a x 576 0 on juuri x 8, joten x 8 toteuttaa yhtälön. Sijoitetaan x 8 yhtälöön ja ratkaistaan a. a x 576 0 a 8 576 0 64a 576 : 64 576 a 64 a 9 a 9 tai a 9 a 3 tai a 3 Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x 576 0 3 x 576 0 9x 576 : 9 576 x 9 x 64 x 64 tai x 64 x 8 tai x 8 Yhtälön toinen juuri on x 8. Sijoitetaan a 3 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan se. a x 576 0 ( 3) x 576 0 9x 576 Huomataan, että yhtälö on sama kuin edellä, joten sen ratkaisut ovat samat. Yhtälön toinen juuri on x 8. Vastaus: a 3 tai a 3, x 8

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 415. a) Kokeillaan eri lukuja, joista toinen on neljä kertaa suurempi kuin toinen. Taulukoidaan tulokset: Lapsen ikä (vuotta) Äidin ikä (vuotta) Ikien tulo 1 4 1 4 4 ei kelpaa 8 4 8 ei kelpaa 3 1 3 1 36 ei kelpaa 4 16 4 16 64 ei kelpaa 5 0 5 0 100 ei kelpaa 6 4 6 4 144 kelpaa Vastaus: Lapsi on 6-vuotias ja äiti on 4-vuotias b) Merkitään lapsen ikää kirjaimella x. Tällöin äidin ikä on 4x. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, kun tiedetään, että ikien tulo on 144. x 4x 144 4x 144 : 4 x 36 x 36 tai x 36 x 6 tai x 6 Yhtälön ratkaisuista x 6 hylätään, koska ikä on aina positiivinen luku. Lapsen ikä on 6 vuotta ja äiti on 4x 4 6 4 vuotta. Vastaus:

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 416. Merkitään mainostaulun korkeutta kirjaimella x. Tällöin sen leveys on 0x. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle, kun suorakulmion pintaala on leveyden ja korkeuden tulo. Ratkaistaan tästä yhtälöstä x. 0x x 880 0x 880 : 0 x 144 x 144 tai x 144 x 1 tai x 1 Yhtälön ratkaisuista x 1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Suorakulmion korkeus on siis 1 metriä ja leveys 0x 0 1 40 metriä. Vastaus: korkeus 1 m ja leveys 40 m

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 417. Merkitään uima-altaan sädettä kirjaimella r. Muodostetaan yhtälö ympyrän pinta-alalle ja ratkaistaan siitä säde r. πr 5, 5, r π 5, r ± π r ±1,87 : π Yhtälön ratkaisuista r 1,87 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Uima-altaan säde on siis 1,87 metriä ja halkaisija r 1,87,574 metriä. Parvekkeen mitat ovat,7 metriä ja 6, metriä. Koska altaan halkaisija on pienempi kuin parvekkeen sivun pituus, uima-allas mahtuu parvekkeelle. Vastaus: Mahtuu.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 418. a) (x 3) 3(4 x) 0 (x 3)(x 3) 3 4 3 ( x) 0 x 3x 3x + 9 1 + 6x 0 x 3 0 x 3 x 3 tai x 3 b) Vastaus: x ± 3 ) 3) x 5 6) 1 + x + 3 6 x 15 1x 1 + + 6 6 6 6 6 x + 15 1x + 1 10x 14 : ( 10) ( 14 x 10 7 x 5 x ± 7 5 Vastaus: x ± 7 5

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 419. Sijoitetaan H 50 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 50 d d 50d sin 68 : 50 d sin68 50 d ± sin68 50 d ± 0,193 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,193 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Sijoitetaan H 15 kovuuden kaavaan H sin68 d H sin68 d sin68 15 d d 15d sin 68 : 15 d sin68 15 d ± sin68 15 d ± 0,1 ja ratkaistaan d. Yhtälön ratkaisuista d 0,1 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kullan raaputussyvyys on 0,19 mm ja platinan raaputussyvyys on 0,1 mm. Vastaus: d(kulta) 0,19 mm ja d(platina) 0,1 mm

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 1 40. Yhtälöllä (x + 1)3 a ( x + 3) on juuri x 1. Sijoitetaan x 1 tähän 4 yhtälöön ja ratkaistaan siitä vakio a. 1 (( 1) + 1)3 a (( 1) + 3) 4 1 33 a 4 4 9a 1 :9 1 a 9 1 a ± 9 1 a ± 3 1 Sijoitetaan a ± alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan siitä muuttuja x. 3 1 1 (x + 1) 3 ± ( x + 3) 3 4 1 1 3 (x + 1) 3 x + 9 4 4 1 1 3 (x + 1) x + 3 4 4 4) 4) 3) 3) 1 1 3 x + x + 3 3 4 4 8 4 3 9 x + x + 1 1 1 1 1 8x + 4 3x + 9 5x 5 : 5 x 1 x ±1 Toinen juuri on x 1. 1 1 Vastaus: a tai a, x 1 3 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 41. Sijoitetaan L 5 (jalkaa) runkonopeuden kaavaan v 1,34 L ja ratkaistaan yhtälöstä nopeus v. v 1,34 L v 1,34 5 v 44,89 v ± 44,89 v ±6,7 Yhtälön ratkaisuista v 6,7 hylätään, koska nopeus on positiivinen luku. Runkonopeus on 6,7 1,85 1,41 (km/h) Vastaus: Nopeus on 6,7 solmua 1,4 km/h. 4. Merkitään lyhyempää kateettia kirjaimella x. Tällöin pidempi kateetti on 3x. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. ah A x 3x 40 3x 480 : 3 x 160 x ± 160 x ±1,649 3x x y Yhtälön ratkaisuista x 1,649 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kateettien pituudet ovat siis 160 ja 3 160 metriä.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 Merkitään kolmion hypotenuusaa kirjaimella y ja ratkaistaan sen pituus Pythagoraan lauseella (hypotenuusa kateetti + kateetti ). y ( 160) ( 3 160) + y 160 + 9 160 y 1600 y ± 1600 y ±40 Yhtälön ratkaisuista y 40 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Kolmion piiri on x + 3x + y 160 + 3 160 + 40 91 metriä. Aitaa tarvitaan noin 91 metriä. Vastaus: 91 metriä

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 43. Sijoitetaan h 1000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9,81 1000 v ± 9,81 1000 v ± 9810 v ±99,0 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 99,0 kelpaa. Sijoitetaan h 4000 (m) ja g 9,81 (m/s ) aallon nopeuden laskukaavaan v gh ja ratkaistaan siitä v. v gh v 9,81 4000 v ± 9,81 4000 v ± 3940 v ±198,1 Tässä tilanteessa vain positiivinen nopeus v 198,1 kelpaa. Kun meren syvyys kasvaa nelinkertaiseksi, niin aallon nopeus muuttuu 3940 3940 4 9810 9810 -kertaiseksi. Vastaus: Nopeudet ovat 99 m/s ja 198 m/s. Ei kasva.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava ALOITA PERUSTEISTA 44. a) 3x 4x + 0 toisen asteen termin kerroin a 3 ensimmäisen asteen termin kerroin b 4 vakiotermi c Vastaus: a 3, b 4 ja c b) x x 5 0 x + x 5 0 toisen asteen termin kerroin a 1 ensimmäisen asteen termin kerroin b 1 vakiotermi c 5 Vastaus: a 1, b 1 ja c 5 c) x + 8 0 toisen asteen termin kerroin a ensimmäisen asteen termin kerroin b 0 vakiotermi c 8 Vastaus: a, b 0 ja c 8 45. a) Kuvaajan perusteella funktion nollakohdat ovat x 1 ja x. Vastaus: x 1 ja x b) Nollakohdassa funktio saa arvon nolla, eli ratkaistiin yhtälö x x 0. Vastaus: x x 0 c) Lasketaan funktion arvot f( 1) ja f(). f( 1) ( 1) ( 1) 1 + 1 0 f() 4 0 Vastaus: f( 1) 0 ja f() 0

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 46. a) x + 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) 3± 3 4 1 4 x 1 3± 5 3± 5 ja Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 5 x 1 tai 3 5 8 x 4. Vastaus: x 1 tai x 4 b) x 5x + 6 0 a 1, b 5, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 5 ± 5 4 1 6 x 1 5± 1 5± 1 ja Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 1 6 x 3 tai 5 1 4 x. Vastaus: x 3 tai x

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 47. a) Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla, joten ratkaistaan yhtälö x 6 + x 0. x + x 6 0 a 1, b 1, c 6 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. 1± 1 41( 6) x 1 1± 1+ 4 1± 5 1± 5 ja Funktion nollakohdat ovat 1+ 5 4 x tai 1 5 6 x 3. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x + x 6 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 3 ja x. Vastaus: x tai x 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 b) x 9x 0 a 1, b 9, c 0 ± 4 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x b b ac a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 9 ± 9 410 x 1 9± 81 9± 9 ja Funktion nollakohdat ovat 9+ 9 18 x 9 tai 9 9 0 x 0. Tarkistus: Piirretään funktion f(x) x 9x kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 9 ja x 0. Vastaus: x 9 tai x 0

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 c) 3x 3 0 3x 3 : 3 x 1 x ±1 Tarkistus: Piirretään funktion f(x) 3x 3 kuvaaja ja luetaan kuvaajasta funktion nollakohdat. Nollakohdat ovat x 1 ja x 1. Vastaus: x ±1

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 48. a) x + 1 5x x 4x +5x + 1 0 a 4, b 5, c 1 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 5± 5 4 4 1 x 4 5± 5 16 8 5± 9 8 5± 3 8 Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 3 1 x tai 8 8 4 5 3 8 x 1. 8 8 Vastaus: x 1 tai 1 x 4

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 b) 1+ x 3(x +1) 1 + x 3x + 3 x 3x 4 0 a 1, b 3, c 4 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 3) ± ( 3) 4 1 ( 4) x 1 3± 9+ 16 3± 5 3± 5 Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 5 8 x 4 tai 3 5 x 1. Vastaus: x 4 tai x 1

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 49. Merkitään huoneen leveyttä kirjaimella x. Tällöin huoneen pituus on x +. Muodostetaan yhtälö suorakulmion pinta-alalle ja ratkaistaan siitä x. x (x + ) 1 x + x 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 ( 1) x 1 ± 88 Yhtälön ratkaisut ovat + 88 x 3,69 tai b± b 4ac x ja sievennetään a 88 x 5,69. Yhtälön ratkaisuista x 5,69 hylätään, koska pituus on aina positiivinen luku. Huoneen leveys on siis noin 3,7 metriä ja pituus on x + 3,69 + 5,7 metriä. Vastaus: pituus 5,7 m ja leveys 3,7 m

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 VAHVISTA OSAAMISTA 430. a) 4x + 6x 8 0 : x + 3x 14 0 a, b 3, c 14 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 3 ± 3 4 ( 14) x 3 ± 11 4 3± 11 4 Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 11 8 x tai 4 4 ( 3 11 14 7 x. 4 4 Vastaus: x tai x 7

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 b) 0,1x 1,5 0,x 10 x 15 x x + x 15 0 a 1, b, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ± 4 1 ( 15) x 1 ± 64 ± 8 Yhtälön ratkaisut ovat + 8 6 x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 3 tai x 5

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 431. a) x 3(x x ) x 3x 3x 3x x 0 a 3, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 1) ± 1 4 3 0 x 3 1± 1 6 1± 1 6 Yhtälön ratkaisut ovat ( 1+ 1 1 x tai 6 6 3 1 1 0 x 0. 6 6 Tarkistus: 1 Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x. 3 1 vasen puoli: 3 3 3) (3 1 1 1 1 3 1 6 oikea puoli: 3 3 3 3 3 3 3 9 9 9 9 9 3 1 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x on yhtälön 3 ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman ja oikean puolen arvo, kun x 0. vasen puoli: 0 0 oikea puoli: 3 (0 0 ) 0 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 0 on yhtälön ratkaisu.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 1 Vastaus: x tai x 0 3 b) (x )(x + ) 8 x + 4x x 44 8 x 18x 7 0 : x 9x 36 0 a 1, b 9, c 36 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( 9) ( 9) 4 1 ( 36) ± x 1 9 ± 5 9± 15 Yhtälön ratkaisut ovat 9+ 15 4 x 1 tai 9 15 6 x 3. Tarkistus: Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 1. vasen puoli: ( 1 )(1 + ) (4 ) 14 14 8 oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 1 on yhtälön ratkaisu. Lasketaan yhtälön vasemman puolen arvo, kun x 3. vasen puoli: ( ( 3) )( 3 + ) ( 6 )( 1) 8 ( 1) 8 oikea puoli: 8 Koska vasemman ja oikean puolen arvot ovat samat, x 3 on yhtälön ratkaisu.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 Vastaus: x 3 tai x 1 43. Ratkaistaan yhtälöt 3 1 5 x + ja 3x 7x 0 0. 3 x + 1 1. asteen yhtälö 5 3 3 x 1 : 5 5 5 x 3 3x 7x 0 0. asteen yhtälö a 3, b 7, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja sievennetään a lauseke. ( 7) ± ( 7) 4 3 ( 0) x 3 7± 89 6 7± 17 6 ( 7+ 17 4 7 17 10 5 x 4 tai x 6 6 6 6 3 Vastaus: sama ratkaisu 5 x 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 433 a) Muodostetaan yhtälö funktion arvolle ja ratkaistaan siitä x. 3x + 15x 18 3x + 15x + 18 0 : 3 x + 5x + 6 0 a 1, b 5, c 6 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± 5 4 1 6 x 1 5± 49 5± 7 Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 7 x 1 tai 5 7 1 x 6. Vastaus: x 1 tai x 6

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 b) Ratkaistaan funktion nollakohdat yhtälöstä f(x) 0. 3x + 15x 0 : 3 x + 5x 0 a 1, b 5, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) 5± 5 4 1 0 x 1 5± 5 5± 5 Funktion nollakohdat ovat 5+ 5 0 x 0 Vastaus: x 0 tai x 5 tai 5 5 10 x 5.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 434. a) P(x) Q(x) 4x + 7x + 8 5x x 7 x + 8x + 15 0 a 1, b 8, c 15 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± 8 4 1 15 x 1 8± 4 8± Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 3 tai 8 10 x 5. Vastaus: x 5 tai x 3

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 b) P(x) Q(x) 8 4x + 7x + 8 ( 5x x 7) 8 4x + 7x + 8 + 5x + x + 7 8 x + 8x + 7 0 a 1, b 8, c 7 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a 8± 8 4 1 7 x 1 8± 36 8± 6 Yhtälön ratkaisut ovat 8+ 6 x 1 tai 8 6 14 x 7. Vastaus: x 7 tai x 1

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 435. a) 1 1 x + x 0 3 3 3 x + x 0 a 1, b 1, c 0 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. ( ) ( ) 1± 1 4 1 0 x 1 1± 1 1± 1 Yhtälön ratkaisut ovat 1+ 1 0 x 0 Vastaus: x 0 tai x 1 tai 1 1 x 1. b) 3y 18y 15 0 : ( 3) y + 6y + 5 0 a 1, b 6, c 5 b± b 4ac Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan x ja a sievennetään lauseke. 6± 6 4 1 5 y 1 6± 16 6± 4 Yhtälön ratkaisut ovat 6+ 4 y 1 tai Vastaus: y 1 tai y 5 6 4 10 y 5.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 c) 0,001z + 0,00z 0,001 1000 z + z 1 z + z 1 0 a 1, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) ( ) ( ) ± 4 1 1 z 1 ± 0 ± 0 1 Vastaus: z 1

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 436. Sijoitetaan a 0,001 yhtälöön 4x 4ax 3a 0. 4x 4 0,001x 3 0,001 0 4x 0,004x 0,000 003 0 1000 4000x 4x 0,003 0 a 4000, b 4, c 0,003 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 4) ( 4) 4 4000 ( 0,003) ± x 4000 4± 64 8000 4± 8 8000 Yhtälön ratkaisut ovat 4+ 8 1 x 0,0015 8000 8000 tai 4 8 4 x 0, 0005 8000 8000. Vastaus: x 0,0015 tai x 0,0005 437. Toisen asteen yhtälössä muuttujan x suurin eksponentti on kaksi. Esimerkiksi yhtälö x 1 toteuttaa tehtävän ehdot, sillä sen ratkaisut ovat x ± 1 ± 1. Vastaus: Esimerkiksi x 1, jonka ratkaisut ovat x ±1.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 438. a) 5x + x 3 0 a 5, b, c 3 Sijoitetaan kertoimet a, b ja c diskriminantin lausekkeeseen D b 4ac. D 4 5 ( 3) 4 + 60 64 Koska D > 0, yhtälöllä 5x + x 3 0 on kaksi ratkaisua. Vastaus: 64, kaksi ratkaisua b) Funktiolla f(x) x + x + t on täsmälleen yksi nollakohta, jos yhtälön x + x + t 0 diskriminantti on nolla. b 4ac 0 a 1, b, c t 4 ( 1) t 0 4 + 4t 0 4t 4 : 4 t 1 Vastaus: t 1

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 439. Merkitään lukua kirjaimella x. Tällöin sen neliö on x ja neliön puolikas x on. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x x x x x x 0 a 1, b, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ± 4 1 0 x 1 ± 4 ± Yhtälön ratkaisut ovat + 4 x tai b± b 4ac x ja sievennetään a 0 x 0. Vastaus: Luku on 0 tai.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 440. Merkitään lyhyemmän kateetin pituutta kirjaimella x. Tällöin pidemmän kateetin pituus on x + 4. Muodostetaan yhtälö kolmion pinta-alalle kaavan ah A mukaan ja ratkaistaan yhtälöstä x. x( x+ 4) 10,5 x (x + 4) 1 x + 4x 1 x + 4x 1 0 a 1, b 4, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( ) 4± 4 4 1 1 x 1 4 ± 100 4± 10 Yhtälön ratkaisut ovat 4+ 10 6 x 3 tai 4 10 14 x 7. Yhtälön ratkaisuista x 7 hylätään, sillä pituus on aina positiivinen. Lyhyemmän kateetin pituus on siis 3 mm ja pidemmän kateetin pituus on x + 4 3 + 4 7 mm. Vastaus: Kateettien pituudet ovat 3 mm ja 7 mm.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 441. Koiran hypyn yhtälö on y 0,90x +,x, missä y on hypyn korkeus ja x koiran vaakasuuntainen etäisyys ponnistuspisteestä. Hypyn pituus on ponnistuskohdan ja hypyn alastulokohdan välinen etäisyys. Ponnistus- ja alastulokohdissa hypyn korkeus on nolla, joten saadaan yhtälö 0,90x +,x 0. a 0,90, b,, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a, ±, 4 ( 0,90) 0 x ( 0,90), ± 4,84 + 0 1,80, ±, 1,80 Yhtälön ratkaisut ovat, +, x 0 1,80 tai,, 4,4 x,444... 1,80 1,80 Ponnistuskohta on x 0 ja hypyn alastulokohta x,444. Hypyn pituus on siis noin,4 metriä. Koska y 0,90x +, on alaspäin aukeava paraabeli, hypyn suurin korkeus on paraabelin huipussa. Paraabelin huipun x-koordinaatti on nollakohtien puolivälissä eli kohdassa 0 +,444... x 1,... 1,. Hypyn suurin korkeus saadaan laskemalla huipun y-koordinaatti. y 0,90 1, +, 1, 1,344. Vastaus: Hypyn pituus on,4 m ja korkeus on 1,3 m.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 44. Suoran ja paraabelin leikkauspisteet ovat yhtälöparin ratkaisut. y x 3 y x x 3 Merkitään yhtälöiden y x 3 ja y x x 3 oikeat puolet yhtä suuriksi ja ratkaistaan saadusta yhtälöstä x. x 3 x x 3 x + 3x 0 a 1, b 3, c 0 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) 3± 3 4 1 0 x 1 3± 9 3± 3 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat 3+ 3 0 x 0 tai 3 3 6 x 3. Sijoitetaan x 0 yhtälöön y x 3. y 0 3 3 Toinen leikkauspiste on siten (0, 3). Sijoitetaan x 3 yhtälöön y x 3. y 3 3 0. Toinen leikkauspiste on siten (3, 0).

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 Tarkistus: Piirretään paraabeli y x x 3 ja suora y x 3 samaan koordinaatistoon ja luetaan siitä kuvaajien leikkauspisteet. Vastaus: Leikkauspisteet ovat (0, 3) ja (3, 0).

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 443. Juuri x 3 toteuttaa yhtälön x + ax 3 0. Sijoitetaan x 3 yhtälöön ja ratkaistaan siitä a. x + ax 3 0 3 + a 3 3 0 18 + 3a 3 0 3a + 15 0 1. asteen yhtälö 3a 15 : 3 a 5 Sijoitetaan a 5 alkuperäiseen yhtälöön ja ratkaistaan yhtälöstä x. x 5x 3 0. asteen yhtälö a, b 5, c 3 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. b± b 4ac x ja sievennetään a ( 5) ( 5) 4 ( 3) ± x 5± 49 4 5± 7 4 Yhtälön ratkaisut ovat 5+ 7 1 x 3 4 4 tai ( 5 7 1 x 4 4. Vastaus: a 5, toinen juuri 1 x

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 444. a) 6x(7 x) 0 tulon nollasääntö 6x 0 : ( 6) tai 7 x 0 x 0 x 7 Vastaus: x 0 tai x 7 b) x 3x 0 x(x 3) 0 tulon nollasääntö x 0 tai x 3 0 x 3 Vastaus: x 0 tai x 3 c) x 4x 4x x 0 x(4x 1) 0 tulon nollasääntö x 0 tai 4x 1 0 4x 1 : 4 Vastaus: x 0 tai 1 x 4 1 x 4

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 445. a) (x + )(x 3) 0 tulon nollasääntö x + 0 tai x 3 0 x x 3 : Vastaus: x tai 3 x b) (x + 1) 0 (x + 1) (x + 1) 0 tulon nollasääntö x + 1 0 x 1 : Vastaus: 1 x 1 x c) (x 1)(x + ) 1 x + x x 1 + x 3 0 a 1, b 1, c 3 3 x Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan sievennetään lauseke. b± b 4ac x ja a ( ) 1± 1 4 1 3 x 1 1± 13 Vastaus: 1± 13 x

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 446. Ratkaistaan yhtälö 3x + x + 1 x x 1. 3x + x + 1 x x 1 4x + 4x + 0 : x + x + 1 0 a, b, c 1 Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ± 4 1 x ± 4 8 4 ± 4 4 b± b 4ac x ja sievennetään a Negatiivisella luvulla ei ole neliöjuurta, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Piirtämällä paraabelit y 3x + x + 1 ja y x x 1 samaan koordinaatistoon, havaitaan, että näillä paraabeleilla ei ole leikkauspisteitä. Yhtälöllä 3x + x + 1 x x 1 ei siis ole ratkaisua. Vastaus: On.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 447. Merkitään suorakulmion sivuja kirjaimilla x ja y. Muodostetaan yhtälöt suorakulmion piirille ja pinta-alalle. Saadaan yhtälöpari x+ y 4,6. xy 1, Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä y ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. x + y 4,6 y 4,6 x : y,3 x xy 1, x (,3 x) 1,,3x x 1, 0 x +,3x 1, 0 a 1, b,3, c 1, Sijoitetaan kertoimet ratkaisukaavaan lauseke. ( ) ( ) ( ),3 ±,3 4 1 1, x 1,3 ± 0, 49,3 ± 0,7 b± b 4ac x ja sievennetään a Yhtälön ratkaisut ovat,3 + 0,7 1,6 x 0,8 tai,3 0,7 3,0 x 1,5. Toinen suorakulmion sivuista on 0,8 metriä ja toinen on y,3 x,3 0,8 1,5 metriä. Vastaus: Sivujen pituudet ovat 0,8 m ja 1,5 m.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 448. a) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) s 7 (m) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja ratkaistaan yhtälöstä t. s v 0 t + 0,5 gt 7 3,0t + 0,5 9,81t 4,905t + 3t 7 0 a 4,905, b 3, c 7 Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan t 3,54 ja t 4,15. Näistä ratkaisuista t 4,15 hylätään, sillä aika on positiivinen luku. Putoaminen kestää 3,5 sekuntia. Vastaus: 3,5 s b) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) t (s) g 9,81 (m/s ) yhtälöön s v 0 t + 0,5 gt ja lasketaan s. s v 0 t + 0,5 gt s 3,0 + 0,5 9,81 6 + 19,6 5,6 Ensimmäisen kahden sekunnin aikana avainnippu tippuu noin 6 metriä. Vastaus: 6 m

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 c) Sijoitetaan v 0 3,0 (m/s) g 9,81 (m/s ) t 3,53768 (s) yhtälöön v v 0 + gt ja lasketaan v. v v 0 + gt 3,0 + 9,81 3,53768 37,7046 Muutetaan nopeus yksiköstä m/s yksikköön km/h. 37,7046 m 0,0377046 km 3600 0,0377046 km/h s 1 h 3600 135,73656 km/h 136 km/h Avainnipun nopeus on noin 136 km/h. Vastaus: 136 km/h

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 449. Suorakulmion alkuperäinen pinta-ala on 0,0 m 1,0 m 40 m. Merkitään lisättävän nurmikaistaleen leveyttä kirjaimella x. Tällöin suurennetun nurmialueen sivujen pituudet ovat 0 + x ja 1 + x metriä. Koska suurennetun alueen pinta-ala on kaksinkertainen alkuperäiseen pinta-alaan verrattuna, saadaan yhtälö (0 + x)(1 + x) 40 0 1 + 0x + 1x + x 480 x + 3x 40 0. Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. ( ) 3 ± 3 4 1 40 x 1 3 ± 1984 Yhtälön ratkaisut ovat 3 1984 x + 6,7 tai 3 1984 x 38,7. Ratkaisu x 38,7 hylätään, sillä pituus ei voi olla negatiivinen. Nurmikentän mitat ovat siis 0,0 + 6,7 6,7 6,3 metriä ja 1,0 + 6,7 18,7 18,3 metriä. Vastaus: pituus 6,3 m ja leveys 18,3 m

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 450. Merkitään vähennysten määrää kirjaimella x. Hahmotellaan tilannetta taulukoimalla. Vähennysten määrä Kappalehinta ( ) Myytyjen aurinkolasien määrä 0 8 16 1 8 + 1 16 8 + 1 16 3 8 + 1 3 16 3 x 8 + 1 x 16 x Myyntitulojen lauseke saadaan, kun aurinkolasien kappalehinta kerrotaan myytyjen aurinkolasien määrällä. (8 + x)(16 x) 18 16x + 16x x x + 18 Aurinkolaseista kertyy kustannuksia euroa kappaleelta eli (16 x) 3 4x. Myyntivoiton y lauseke saadaan vähentämällä myyntituloista x + 18 kustannukset 3 4x. y x + 18 (3 4x) x + 18 3 + 4x x + 4x + 96 Koska myyntivoiton lausekkeen kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, myyntivoitto y saa suurimman arvonsa paraabelin huippukohdassa. Ratkaistaan paraabelin ja x-akselin leikkauskohdat symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla. Saadaan x 6 ja x 8. Huipun x-koordinaatti on leikkauskohtien puolessa välissä. 6+ 8 1 Suurin myyntivoitto saadaan, kun kappalehinta on 8 + x 8 + 1 9 euroa. Aurinkolaseja menee tällöin kaupaksi 16 14 kappaletta. Myyntitulo on 14 9 16 ja voittoa saadaan 16 14 98. Vastaus: 9 euroa/kpl ja voitto 98 euroa

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 451. Merkitään pidemmän osan pituutta kirjaimella x. Tällöin lyhyempi osa on 170 x. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä x. x 170 170 x x x 170 (170 x ) x 170 170 170x x + 170x 8900 0 a 1, b 170, c 8900 Sijoitetaan yhtälön kertoimet a 1, b 3 ja c 40 ratkaisukaavaan ja sievennetään lauseke. 170 ± 170 4 1 ( 8900) x 1 170 ± 8900 + 115600 170 ± 144500 Yhtälön ratkaisut ovat 170 + 144500 x 105,1 tai 170 144500 x 75,1. Yhtälön ratkaisu x 75,1 hylätään, sillä pituus on positiivinen luku. Pidempi osa on noin 105 cm ja lyhyempi osa noin 170 x 170 105 65 cm. Kultaiset mitat ovat 105 cm ja 65 cm. Vastaus: 105 cm ja 65 cm

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 45. Sijoitetaan pisteen (,3) koordinaatit yhtälöön y (x a) 1 ja ratkaistaan yhtälöstä a. y (x a) 1 3 ( a) 1 3 ( a) ( a) 1 3 4 a a + a 1 a 4a 0 a(a 4) 0 tulon nollasääntö a 0 tai a 4 0 a 4 Piirretään paraabelien y (x 0) 1 x 1 ja y (x 4) 1 (x 4) (x 4) 1 x 8x + 15 kuvaajat samaan koordinaatistoon. Vastaus: a 0 tai a 4

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 453. a) Toisen asteen yhtälöllä on täsmälleen yksi ratkaisu silloin, kun ratkaisukaavan neliöjuuren sisällä oleva lauseke eli diskriminantti b 4ac on nolla. Tutkitaan, millä vakion t arvolla ehto toteutuu. x + tx + 4 0 a 1, b t, c 4 b 4ac 0 t 4 1 4 0 t 16 0 neliöyhtälö t 16 t ± 16 t ±4 Vastaus: t ±4 b) Tutkitaan, millä vakion t arvolla yhtälön x + tx + t 0 diskriminantti on nolla. x + tx + t 0 a 1, b t, c t b 4ac 0 t 4 1 t 0 t 4t 0 t(t 4) 0 tulon nollasääntö t 0 tai t 4 0 t 4 Vastaus: t 0 tai t 4

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 ALOITUSAUKEAMAAN LIITTYVIÄ TEHTÄVIÄ 1 1. Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin metsässä oli 8 x ja kukkulalla 1 apinaa. Koska apinajoukko jakaantui kahteen paikkaan, pienempien joukkojen summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen joukko. 1 x + 1 x 8 1 x + 1 x 64 64 x + 768 64x x 64x + 768 0 Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 16 tai x 48. Vastaus: Apinoita oli 16 tai 48.

Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 1. Merkitään apinajoukkoa kirjaimella x. Tällöin luolaan meni 3 5 x. Lisäksi yksi oli kiivennyt oksalle. Koska alueella ei ollut enempää apinoita, luolaan menneiden apinoiden ja oksalle kiivenneen apinan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen apinajoukko. 1 x 3 + 1 x 5 1 1 x 3 x 3 + 1 x 5 5 1 3 3 x x x+ 9+ 1 x 5 5 5 1 6 x x+ 10 x 5 5 5 x 30x + 50 5x x 55x + 50 0 Symbolisen laskennan yhtälönratkaisutoiminnolla saadaan x 5 tai x 50. Apinoiden määrä ei voinut olla 5, koska siitä viidesosa on 1 ja yhdestä ei voi vähentää kolmea apinaa. Apinoita oli siis 50. Vastaus: Apinoita oli 50.