Mapusta. Viikon aiheet

Samankaltaiset tiedostot
Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

MAT Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion derivaatta LaMa 1U syksyllä 2011

Derivointiesimerkkejä 2

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

2.2 Jatkuva funktio Funktio f(x) jatkuva pisteessä x 0, jos f on määritelty. Esim. sin x. = lim. lim. (1 x 2 /6 + O(x 4 )) = 1.

5 Differentiaalilaskentaa

Fysiikan matematiikka P

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Raja arvokäsitteen laajennuksia

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 3. viikolle /

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Matematiikan tukikurssi

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Funktion määrittely (1/2)

A = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

2 Funktion derivaatta

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki = 16 3 =

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista

Matematiikan peruskurssi 2

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta. VASTAUS: ...

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

f (t) + t 2 f(t) = 0 f (t) f(t) = t2 d dt ln f(t) = t2, josta viimeisestä yhtälöstä saadaan integroimalla puolittain

Matematiikan tukikurssi

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen

TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

Matematiikan tukikurssi

Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä

MS-A0103 / Syksy 2015 Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012

Diskreetti derivaatta

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali

Monisteessa määritellään integraalifunktio ja esitetään perusominaisuuksia. Tässä pari esimerkkiä. = x x3 + 2 x + C.

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion derivointi

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

Matematiikan tukikurssi

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdoituksia Rami Luisto Sivuja: 5

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

4 Integrointimenetelmiä

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

Talousmatematiikan perusteet: Luento 16. Integraalin käsite Integraalifunktio Integrointisääntöjä

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Matematiikan tukikurssi

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

Transkriptio:

Infoa Mapusta Tiistaina: Ongelmanratkaisu ryhmässä luento klo 8-10 D101. Tähän liittyviä tehtäviä tehään myöhemmin perusopintojen laboratoriotöihin integroituna. Mikäli luento menee ex-temporen päälle, voit huomenna käyä jossain toisessa ex-tempore ryhmässä. Luennolla esitellään viikon aihealue. Varsinainen oppiminen tapahtuu laskareissa! Oppimateriaalin käyttö keskeistä! Nämä luentokalvot eivät ole oppimateriaali! Oppikirjan (CDH) lisäksi linkit materiaaliin kurssin kotisivulta! Mapusta kotilaskarit Syventävät tehtävät käsittelevät aiheita, jotka eivät ole aivan välttämättömiä syksyn opintojen kannalta. Nämä ovat kuitenkin erittäin hyöyllisiä myöhemmin. Tehtävät eivät ole normitehtäviä hankalampia. Syventävistä tehtävistä voit tienata normaalit laskaripisteet bonusta! Viikon aiheet Keskeistä: Hyperboliset funktiot Derivaatta raja-arvona, erivaatan merkintätavat Tulon erivoimissääntö, ketjusääntö, käänteisfunktion erivaatta, korkeamman asteen erivaatta, erivointi parametriesityksessä Syventävää: Funktion jatkuvuus Sarjakehitelmät ja l Hospitalin sääntö hankalien raja-arvojen määrittämisessä CDH: luvut 10-11, Prujut2016: luku 2, Prujut2008: s. 43-74

Työkaluja funktion piirtämiseen Hyperboliset funktiot Tehtävien ratkaiseminen helpottuu usein, jos annetun funktion piirtää. Käteviä on-line työkaluja ovat mm. www.geogebra.org www.wolframalpha.com Voit toki käyttää muutakin, esim. graafinen laskin, taulukkolaskin, Python, Matlab... sinh x = 1 2 (ex e x ) cosh x = 1 2 (ex + e x ) tanh x = sinh x cosh x Näien käänteisfunktioita kutsutaan areafunktioiksi Nämä kannattaa piirtää! arsinh x, arcosh x, artanh x Hyperboliset funktiot raja-arvo Olkoon = x 2 + 1 Näillä funktioilla monia samantyyppisiä ominaisuuksia, kuin trigonometrisilla funktioilla, esim: Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? cos 2 x + sin 2 x = 1 cosh 2 x sinh 2 x = 1 sin 2x = 2 sin x cos x sinh 2x = 2 sinh x cosh x Myös integroitaessa ja erivoitaessa sama läheinen käyttäytyminen (käsitellään myöhemmin).

raja-arvo Olkoon = x 2 + 1 Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? Raja-arvo merkitään = x 2 x 2 x2 + 1 ja sijoittamalla x = 2 saaaan tulokseksi 5. raja-arvo Olkoon = x 2 + 1 Mitä arvoa lähestyy kun x lähenee arvoa 2? Raja-arvo merkitään = x 2 x 2 x2 + 1 ja sijoittamalla x = 2 saaaan tulokseksi 5. Funktio on jatkuva kun f (a) = x a kulmakerroin kulmakerroin f(x) f(x) f(b) kk = f(b) f(a) b a f(b) kk = f(b) f(a) b a f(a) f(a) a b a b Mikä arvoa kulmakerroin lähestyy, kun b a? b a f (b) f (a) b a

Derivaatta graafinen tulkinta Derivaatta graafinen tulkinta f(x 0 +) f(x 0 +) f f(x 0 ) f(x 0 ) x 0 x 0 + x 0 x 0 + 0 f (x 0 + ) f (x 0 ) f = 0 Derivaatta Funktion f erivaatalla f pisteessä x tarkoitetaan raja-arvoa ja merkitään mm. 0 f (x + ) = f (x) = = = D Leibnizin merkintä (punainen) on Mapulla kätevin: Derivaatta on osamäärän f / raja-arvo kun molemmat lähestyvät rajatta nollaa. Tällöin molemmat ovat infinitesimaalisen pieniä, f ja. Kaksi viimeistä (sininen) painottaa sitä, että erivoinnin voi mieltää erivaatta-operaattorin vaikuttamisena funktioon. (Lisää asiaa Mapu II:lla) Derivaatta Esim: Mikä on funktion = x 2 erivaatta? Suoraan määritelmästä Yleisesti (kokeile osoittaa!) f = 0 (x + ) 2 x 2 = 0 x 2 + 2x + () 2 x 2 = 0 2x + = 2x xn = nx n 1

Alkeisfunktioien erivaattoja Derivoinnin merkintöjä x n e x ln x sin x cos x f (x) nx n 1 e x 1 x cos x sin x Fysiikassa erivaatta ajan suhteen merkitään usein f t = ḟ Funktion f erivaatta laskettuna pisteessä x 0 monesti f (x 0 ) = f x0 Kattava taulukko löytyy mm. CDH Taulukko 10.1. Kts. myös Wikipeiasta. Derivoinnin laskusääntöjä Derivointi on lineaarinen operaatio: (a + bg(x)) = a + b g(x) Tulon erivoimissääntö: (g(x)) = f (x)g(x) + g (x) Derivoinnin laskusääntöjä Yhistetyn funktion erivoimissääntö (ketjusääntö): g = g(x) ja f = f (g) = f (g(x)) f f (g(x)) = = f g Käänteisfunktion erivaatta: g y = ja x = f 1 (y) f 1 y = y = 1 y = 1 f

Derivoinnin laskusääntöjä Korkeammat erivaatat Derivointi parametriesityksessä: x = x(t) ja y = y(t) y = ( y ) t ( ) t ( ) = 2 2 = 2 f 2 = f = f (2) ( )) ( = 3 f 3 2 g(t) = g t2 Hankalat raja-arvot Hankalat raja-arvot, Sarjakehitelmät: Joskus raja-arvon x a g(x) laskeminen tuottaa 0 0 tai tyyppisiä lausekkeita. Näitä voi kiertää esim. seuraavilla menetelmillä: Sarjakehitelmät l Hospitalin sääntö Pisteen a lähiympäristössä funktiot korvataan niitä approksimoivilla polynomeilla. Esimerkiksi origon lähettyvillä, kun x 1 e x 1 + x + x2 2 + O(x3 ) sin x x x3 6 + O(x5 ) cos x 1 x2 2 + O(x4 ) Perustelu myöhemmin kurssilla.

Hankalat raja-arvot, l Hospitalin sääntö: Kun niin = g(x) = 0 tai ± x a x a x a g(x) = x a f (x) g (x) mikäli funktioien erivaatat ovat olemassa pisteessä a.