Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi kaavat. Jos et halua jotakin ratkaisua arvosteltavan, yliviivaa se selkeästi kaikilta ratkaisun sivuilta. C1 (2.1397) Pulkkaa vedetään vaakasuoralla maalla tasaisella nopeudella 1,3 m/s ja hetkellä t = 0 sitä aletaan vetää vaakasuoralla voimalla F, jonka suuruus riippuu ajasta kuvaajan mukaisesti. Pulkan ja siinä istuvan lapsen yhteismassa on 41 kg. Maan ja pulkan välinen kitkakerroin on 0,17. a) Kuinka suuri on pulkan kiihtyvyys hetkellä t = 2,1 s? (2p.) b) Kuinka suuri on pulkan nopeus hetkellä t = 3,3 s? (4p.) N F 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 0 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 t s C2 (2.1396) Fysiikan opiskelijat tutkivat diffraktiota valaisemalla kaksoisrakoa yhdistelmälaserilla, joka lähettää sekä aallonpituutta 470 nm että aallonpituutta 520 nm. Varjostin on 50 cm etäisyydellä raosta. a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. b) Opiskelijat mittaavat, että toisen sivumaksimin eri väriset raidat muodostuvat etäisyyksille 37,5 cm ja 32,3 cm päämaksimista. Laske rakojen etäisyys. c) Kuinka monta sellaista sivumaksimia, jossa näkyy molemmat aallonpituudet, leveällä varjostimella näkyy yhteensä?
C3 (2.1399) 50 kiloinen tasapaksu, 3 metriä pitkä ohut tanko roikkuu seinään neljän metrin korkeudelle kiinnitetystä ohuesta langasta kuvan mukaisesti. Seinän ja tangon välillä ei ole kitkaa ja maan ja tangon välinen kitkakerroin on 0,36. Kuinka pitkä lanka voi korkeintaan olla, kun se kestää enintään 20 kg kuorman? C4 (2.1400) a) Kompassi asetetaan kuvan mukaisesti pitkän käämin pään viereen. Piirrä hahmotelma käämin magneettikentästä, kun siinä kulkee kuvan mukainen virta ja päättele, mihin suuntaan kompassineula pyrkii kääntymään. (Virta kulkee kompassista katsoen vastapäivään silmukassa.) (2p.) b) Renkaan muotoista (säde 23 cm) johdinsilmukkaa pidetään homogeenisessa magneettikentässä siten, että sen renkaan tason normaalin ja magneettivuon tiheyden välinen kulma on 40. Magneettivuon tiheys muuttuu oheisen kuvaajan mukaisesti. Määritä suurin johdinsilmukkaan indusoituva jännite. (4p.)
mt B 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t s C5 (2.1305) Tähän tehtävään liittyvä aineisto (Hitausmomentti) on erillisenä liitteenä. Lue aineisto, ja vastaa sen jälkeen kysymyksiin. a) Perustele, miksi akseli, jonka suhteen kappaleella on pienin mahdollinen hitausmomentti, kulkee sen massakeskipisteen kautta. (2p.) b) Käytä hyödyksi umpinaisen homogeenisen sylinterin hitausmomentin kaavaa ja johda paksuseinäisen (sisäsäde r s, ulkosäde r u, massa m) homogeenisen sylinterin hitausmomentin kaava sen symmetria-akselin suhteen. (4p.) C6 (2.1306) Tähän tehtävään liittyvä aineisto (Hitausmomentti) on erillisenä liitteenä. Lue aineisto, ja vastaa sen jälkeen kysymyksiin. Johda teoriassa annetuista tiedoista lähtien hitausmomentti m-massaiselle suorakulmaiselle homogeeniselle särmiölle (sivunpituudet a, b ja korkeus h) sen h:n pituisen särmän kautta kulkevan akselin suhteen. (6p.)
Hitausmomentti Hitausmomentin J määritellään olevan kappaleen pyörimismäärän L ja kulmanopeuden ω suhde pyörimisakselin suhteen. J = L ω. (1) Ympyräliikkeessä olevalle pistemassalle dm sen pyörimismäärä määritellään sen liikemäärän ja etäisyyden pyörimisakselista avulla. L r p L = r p. (2) Ympyräliikkeen tapauksessa r p, joten L = r p (3) = r dmv. (4) Toisaalta ympyräliikkeessä ratanopeus on v = ωr. (5) Sijoitetaan (4) ja (5) yhtälöön (1). J = L ω = r dm ωr = dmr 2. (6) ω Muunlaisten kappaleiden hitausmomentit saadaan ajattelemalla niiden koostuvan suuresta määrästä pieniä pistemassoja ja summaamalla niiden hitausmomentit yhteen. Kappaleen hitausmomentti on siis sen osien hitausmomenttien summa.
Steinerin sääntö Tarkastellaan kappaleen (massa m) pyörimistä sen massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ympäri. Merkitään hitausmomenttia tämän akselin ympäri J mkp. Steinerin säännön mukaan saman kappaleen hitausmomentti toisen yhdensuuntaisen akselin ympäri on J = J mkp + md 2, (7) missä d on massakeskipisteen läpi kulkevan akselin ja toisen akselin kohtisuora etäisyys. Venytyssääntö Tarkastellaan homogeenisen kappaleen pyörimistä jonkin pyörimisakselin suhteen. Venytyssäännön mukaan kappaleen hitausmomentti pysyy samana, jos sitä venytetään pyörimisakselin suunnassa siten, että sen massa pysyy samana ja se pysyy homogeenisena. Esimerkiksi ohuen homogeenisen tangon (massa m, pituus l) hitausmomentti sitä vastaan kohtisuoran, sen keskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen on sama kuin tangon kanssa samanmassaisen ja pituisen, mutta pyörimisakselin suuntaan a:n levyisen ohuen homogeenisen suorakulmion hitausmomentti. l a l J tanko = J levy = 1 12 ml2. (8) Kohtisuorien akselien sääntö Tarkastellaan tasomaista kappaletta (massa m), joka on xy-tasossa. Kohtisuorien akselien säännön mukaan sen hitausmomentti z-akselin suhteen on yhtäsuuri kuin sen hitausmomenttien summa x- ja y-akselien suhteen. J z = J x + J y. (9)
Kohtisuorien akselien sääntö on erityisen käytännöllinen tapauksissa, joissa kappaleen symmetrian takia sen hitausmomentti x-akselin suhteen on sama kuin y-akselin suhteen. J z = J x + J y = 2J x. (10) Näin ollen jos tunnetaan jompikumpi hitausmomentti (J z tai J x ), saadaan myös toinen selville. Tarkastellaan esimerkiksi xy-tasossa olevan m-massaisen, r-säteisen ohuen umpinaisen ympyräkiekon pyörimistä sen symmetria-akselin, joka on koordinaatiston z-akseli, ympäri. Umpinaisen sylinterin tapauksesta tiedetään venytyssäännön avulla, että hitausmomentti on J z = 1 2 mr2. (11) z y x Nyt koska symmetrian takia hitausmomentti on sama sekä x- että y-akselin suhteen, kohtisuorien akselien säännön nojalla J x = J y = J z 2 = 1 4 mr2. (12)
Vakiot: Alkeisvaraus = 1,602 10 19 C Elektronin massa = 9,109 10 31 kg Protonin massa = 1,673 10 27 kg Putoamiskiihtyvyys = 9,807 m/s 2 Veden taitekerroin valolle = 1,33 Natriumkloridin moolimassa = 58,4398 g/mol Planckin vakio = 6,6261 10 34 Js Absoluuttinen nollapiste = 273,15 K Avogadron vakio = 6,0221 10 23 1/mol Ilman tiheys = 1,22 kg/m 3 Tyhjiön permittiivisyys = 8,854 10 12 F/m Valonnopeus tyhjiössä = 2,9979 10 8 m/s Veden moolimassa = 18 g/mol Maan massa = 5,972 10 24 kg Maan säde = 6378,1 km m3 Newtonin gravitaatiovakio = 6,6738 10 11 kgs 2 Tyhjiön permabiliteetti = 4π 10 7 Alumiinin tiheys = 2700 kg/m 3. Vs Am