9/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERSTEET SESSIO 9: Tasristikn sauvaelementti, sa. ES9E Svelletaan tasristikn sauvaelementin teriaa kuvan (a) kahden pisteviman kurmittamaan ristikkn, jnka elementtiverkssa (b) n klme slmua ja klme elementtiä. Elementit ja vat erityistapauksia, kska ne vat vaaka- ja pystysurassa asennssa. Elementti n vinssa asennssa -glbaalikrdinaatistssa ja sen avulla nähdään kaikki tasristikn elementtimenetelmän leelliset piirteet. Kuvassa (b) n käytettävä slmujen vapausasteiden numerinti, Elementtiverklla n kuusi vapausastetta, jista vapausasteet,, ja vat tuettuja, jllin vastaavat slmusiirtymät vat nllia. Käytettävät yksiköt vat ja mm, mutta niitä ei merkitä vastauksia lukuun ttamatta näkyviin. E GPa A 8 mm A mm A mm (a) (b) mm 8 Kuva. Tasristikk ja sen elementtiverkk. Elementtien jäykkyysmatriisien mudstamisessa tarvitaan elementtien pituudet ja asentkulmat -krdinaatistssa. Ne vat L L 7,8 L Elementtien jusivakiiksi sekä luvuiksi c ja s tulee 8 k 8 c s k, 7,8 c s k c, s α α 9 α,8 Kirjitetaan elementtien jäykkyysmatriisit sessin ES8 kaavasta () ja varustetaan ne
9/ vapausasteiden mukaisilla sitenumerilla alkiiden sijittelusummausta varten. [ ] k 8 8 8 8 [ ] k,,,, [ ] k,,9,,9,9,9,,9,,9,9,9 Elementtiverkn perusyhtälöksi [ ]{ } { R} humin siirtymien reunaehdt ja kurmitukset K tulee sijittelusummauksella sekä ttamalla 8 8,, 8 99,,9,,9,9,9,,9,,9,,9 8,9,7, Tuntemattmat slmusiirtymät ja saadaan ratkaistua verkn perusyhtälöryhmän klmannesta ja kuudennesta yhtälöstä eli 99, +,9 8,9 +,7 Edellä levan yhtälöparin ratkaisu n,988mm,8987mm 8,8 8,,988 Kuva. Ristikn vapaakappalekuva. Tukireaktiiden,, ja arvt selviävät perusyhtälöryhmän muista yhtälöstä, jista seuraavat tulkset
9/,,8987,9,988,,988,8987,988,9,,8987, 8,8,988 8 Kuvassa n ristikn vapaakappalekuva, jsta vidaan tdeta kurmitusten ja laskettujen tukireaktiiden tteuttavan vima- ja mmenttitasapainn. Elementtien slmuvimavektrit ratkeavat elementin perusyhtälöstä { } [ ] { } u k. Tulkseksi saadaan vektrit 8,8 8,8,988 8 8 8 8,,,8987,,,,,988,,988,,8987,988,9,9,9,,9,,9,9,9,,9, Kuvassa n edellä saatujen tulsten perusteella laaditut slmujen ja elementtien vapaakappalekuvat, jista vidaan tdeta niiden levan tasapainssa. Elementtien ja slmuvimavektreista näkyy niiden nrmaalivimien arvt, kska nämä elementit vat glbaaliakseleiden suuntaiset. Vinn elementin slmuvimavektrissa elementin suuntainen vima n jakaantuneena vaaka- ja pystykmpnentteihin, jiden resultantista saadaan nrmaalivima. Resultantti vitaisiin laskea helpsti vimasuunnikkaalla, mutta svelletaan tähän sessin ES8 muunnskaavaa ().,7,7,988,,988,,,8,8,,,8,8, y x y x
9/ Edellä saatu elementin lkaalikrdinaatistn slmuvimavektri n myös esitetty kuvassa. Elementtien nrmaalivimat ja -jännitykset vat N 8,8 8,8 N/ 8mm N,, N/mm N,7,7 N/mm 7,MPa,MPa,9MPa,,,,988,,,988,7,,,988,7,,988 8,8 8,8 8,8 8,8, 8 8,8,,988 Kuva. Slmujen ja elementtien vapaakappalekuvat. ES9E Tutkitaan tisena kuvan rakenteen kurmitustapauksena tilannetta, jssa pistevimien sijasta kurmituksena n elementin lämpötilan nusu T C ja materiaalin lämpötilakerrin α µ / C. Tästä jhtuva elementin ekvivalenttinen slmukurmitusvektri saadaan sessin ES8 kaavasta ()
9/ {} r {,,8,, 8 } {} r {,,88,,88 } Elementtiverkn perusyhtälöksi tulee tässä kurmitustapauksessa 8 8,, 8 99,,9,,9,9,9,,9,,9,,9,9,7,,8,,88 jsta saadaan ratkaistua tuntemattmille slmusiirtymille ja tukireaktiille arvt,77 mm,98 mm 7,887,, 7,887 Tämän kurmitustapauksen jatklaskut eivät periaatteiltaan era ensimmäisestä kurmitustapauksesta muuten kuin elementin slmuvimavektrin laskennan salta, jten ratkaistaan enää tämä vektri. Ratkaisu saadaan yleisemmällä elementin perusyhtälöllä, jka ttaa humin ekvivalenttiset slmukurmitukset. Tuls n,,9,,9,9,9,,9,,9,9,9,77,,88,,98,88 jsta seuraa slmuvimavektriksi {} { 7,87, 7,87, } Muunnksella saadaan vastaavaksi lkaalikrdinaatistn slmuvimavektriksi {} {,7,7 }
9/ HARJOITS ES9H mm 7 mm Kuvan tasristikn tuet vat siirtymättömiä. Mudsta kuvassa annettua elementtiverkka vastaava elementtiverkn perusyhtälö -glbaalikrdinaatistssa. Elementin pikkileikkauksen pinta-ala n A mm ja elementin A 9mm. Materiaalin kimmmduuli E GPa. Ratkaise perusyhtälöstä tuntemattmat slmusiirtymät ja tukireaktit. Määritä elementin perusyhtälöstä slmuvimavektrit ja niitä vastaavat nrmaalijännitykset. Vast.,8 mm,7,8 mm,mpa,9mpa,7 Vihjeet: HARJOITS ES9H T mm mm Kuvan tasristikn kaikkien sauvjen pikkileikkauksen pinta-ala n mm sekä materiaalin E GPa ja α µ / C. Laske kuvaan merkittyä elementtiverkka ja slmumittausta käyttäen elementin lämpötilan nususta T C aiheutuvat slmun siirtymäkmpnentit ja tukireaktit slmuissa,, ja. Määritä elementin perusyhtälön avulla glbaalikrdinaatistn slmuvimavektrit ja niistä muunnskaavalla lkaalikrdinaatistn slmuvimavektrit. Laske vielä elementtien nrmaalijännitykset. Vast.,77 mm 7,9,7MPa,mm,9,8MPa 7,9,9,8MPa Vihjeet: