A-osa (ilman laskinta) 1. a) Tehtävässä käsketään ratkaista yhtälö à selvittää muuttuja x. Pieni hankaluus on siinä että funktiot ovat yhtälössä vain funktiomerkinnän avulla, niihin täytyy sijoittaa funktioiden lausekkeet yläpuolelta. Nyt sijoitus on onneksi helppo, tarkkana vain täytyy olla. Täytyy osata sujuvasti funktiomerkinnän ja funktion lausekkeen käyttö Toisen asteen yhtälön ratkaisu. b) Lasketaan derivaatta funktiosta f, joten täytyy derivoida ylhäällä oleva f(x):n lauseke. Derivoinnin merkinnät Derivointi
2. a) Tässä onkin hiukan hankala tietää, mikä perustelu on riittävä. Ensimmäiseksi tulee mieleen helpoin yhtenevyys, Ö9 = 3. Sitä jollain tavalla täytyy hyödyntää. Ö7 < Ö9 ei kuitenkaan välttämättä riitä täysiin pisteisiin. Silloin voi olla tarpeen todeta, että neliöjuurifunktio on aidosti kasvava. Esimerkkivastauksessa on vielä korotettu puolittain toiseen potenssiin, jolloin saadaan 7 < 9. Helpointa on tietysti suoraan korottaa alussa oleva epäyhtälö puolittain toiseen potenssiin. Perustelun selkeys. Joskus on vaikea tietää mikä on riittävä perustelu. Täytyy tietää mitä matematiikassa pidetään selvänä (esim. Ö7 < Ö9 ei ehkä täysin selvä, mutta 7 < 9 selvä) b) Pitkiä lausekkeita. Paras ensiksi huolella poistaa sulut, järjestellä termit ja hoitaa muut sieventämiset. Toisen asteen epäyhtälö, joten kaikki termit vasemmalle puolelle ratkaisua varten. Silloin oikealla on vain nolla. Kun selvitetään milloin yhtälö on nollaa pienempi tai isompi, kannattaa tietysti ratkaista ensin helpoin asia, eli milloin yhtälö on nolla (toisen asteen yhtälön ratkaisu). Siitä täytyy jatkaa tarkastelua milloin se on nollaa pienempi ja milloin isompi. Sieventäminen Tunnistaa tehtävä toisen asteen epäyhtälöksi ja muistaa sen ratkaisutapa (eroaa ensimmäisen asteen epäyhtälön ratkaisusta) Toisen asteen epäyhtälön ratkaiseminen. Epäyhtälön ratkaisun päättely nollakohtien avulla. Epäyhtälön ratkaisuvälin merkitseminen. c) Taas hankaluuksia saattaa aiheuttaa perustelu. Tässä auttaa se, että kaikkia taulukkokirjassa olevia asioita voi käyttää perustelun apuna (ne ovat tosia). Sieltä löytyy erilaisia laskusääntöjä. Vaikeus on löytää tilanteeseen sopiva ja kirjoittaa siitä perustelu. Perustelun selkeys. Taulukkokirjan käyttö. Kaavat ovat kirjaimilla taulukkokirjassa. Niiden soveltaminen numeroilla tehtyyn laskuun täytyy osata.
3. Haastavia tehtäviä muutoin kuin hyvällä laskutaidolla. Täytyy kuitenkin muistaa, että tehtävät eivät ole päässälaskuja. A Päättelyllä: ei ainakaan 3,3. Edelleen päättelemällä, että jo 1,1 1,1 on enemmän kuin 1,13 joten sen täytyy olla 1,331. Laskemalla: Lasketaan 1,1 1,1 1,1 = 1,1 1 + 1,1 0,1 B Päättelyllä: tärkeä muistaa, että 1m 3 on 1000l (tai katsoa se taulukkokirjasta). Siloin on helppo huomata, että puoli kuutiota on 500l. Laskemalla: Muunnosten laskeminen on monesti helpompi päätellä, kuin laskea. Tietysti laskulla 0,5m 3 1000l/m 3 saadaan 500l. C Päättelyllä: 6/7 on vain 1/7 verran vajaa täydestä, joten se on ainakin 2/3 lukua suurempi (se on 1/3 verran vajaa täydestä). 16/21 on myös 5/21 vajaa täydestä, joten 6/7 on suurin. Laskemalla: lavennetaan nimittäjät samaksi, jolloin vertailu on helppoa. 2/3 à 14/21, 6/7 à 18/21. Nyt on helppo nähdä, että 18/21 (eli 6/7) on suurin. D Päättelyllä: ei kannata päätellä. Laskemalla: luvun vastaluku on -(luku), joten -(-a + b) = +a - b E Päättelyllä: Yhtälöllä on kaksi juurta, koska se on toisen asteen yhtälö. Kokeilemalla eri muuttujien arvoja ja katsomalla tuloksia voidaan päästä jäljille: x=0 à positiivinen, x=1 à negatiivinen (ensimmäinen juuri siis 0 ja 1 välillä), x=2 à negatiivinen, x=3 à positiivinen (toinen juuri siis on 2 ja 3 välillä). Mikä siis on tulos? Tulos ei voi olla neljä, koska ensimmäinen juuri on alle yhden ja toinen juuri alle kolmen, niistä ei tule yhteensä neljää. Myöskään viisi ei ole mahdollinen. Juurten summan siis täytyy olla kolme. Laskemalla: Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa juuret. Niitä ei kannata alkaa sieventää, vaan laskee ne yhteen sellaisenaan. Tulos seuraa helposti. F Päättelyllä: Ei ainakaan 100%. Koska hinta ensin nousee 10% ja summa kasvaa, täytyy jälkimmäisen laskun olla isompi, koska suuremmasta summasta myös 10% on enemmän ja hinta putoaa alle alkuperäisen. Siis 99% Laskemalla: 10% sadasta on 10. Nousun jälkeen hinta on siis 110. Hinta laskee 10% ja 10% 110:stä on 11. Hinta siis laskee 11. Uusi hinta on 110-11=99. Kun verrataan lopullista hintaa 99 alkuperäiseen 100, huomataan että hinta on 99% alkuperäisestä. Tehtävässä pärjää monipuolisella laskutaidolla. Taulukkokirjaa kannattaa myös vilkaista, mutta sen käytön täytyy olla sujuvaa (nopeaa). Ensin täytyy olla vähän ideaa, mitä sieltä on etsimässä (edes suuntaa).
4. a) Etsitään ensin selkeät kohdat. Ainoa täysin selkeä on, kun x = 1. Silloin kulmakerroin (ja derivaatta) on nolla. Piirretään viereiseen kuvioon piste (pieni rasti) kohtaan [1,0]. Derivaattafunktion kuvaajan arvo tietyssä kohdassa riippuu funktion kulmakertoimesta samassa kohdassa (!!!). Tehdään viivoittimella kulmakertoimet f(x):n kuvaajiin kohtiin x=0, x=0,5, x=1,5, x=2. Huomataan että kulmakertoimet ovat: 2, 1, -1 ja -2. Nyt on helppo piirtää lisää rasteja kohtiin [0, 2], [0,5; 1], [1,5; -1] ja [2, -2]. Huomataan että f (x) on suora viiva. Täytyy ymmärtää kuvaajat hyvin. Vertailu kahden kuvaajan välillä, funktion ja sen derivaattafunktion kuvaajat. Koordinaatiston käyttö. Koordinaatistoon piirtäminen. b) Tässä on yksi selvä kohta, sillä se on sanottu: g(0)=0. Siis funktion g kuvaaja kohdassa x=0 saa arvon 0 (pystysuunnassa). Piirretään kohtaan [0, 0] kuvaajan ensimmäinen piste. Nyt joutuu tekemään hiukan arviointia. Derivaattafunktio saa aluksi positiivisia arvoja (alussa 1,5), mutta derivaatta pienenee koko ajan. Täytyy siis piirtää a) kohdan tapainen kaari, pienillä eroilla: derivaatta on aluksi pienempi, joten funktio kasvaa hitaammin JA funktion g kuvaajan huippu on kohdassa 1,5 (siitä se kaartuu hitaasti alaspäin. Mitään erikoisia kiintopisteitä ei ole, mutta kuvaaja täytyy piirtää mahdollisimman tarkasti! Mm. taitekohdan täytyy olla juuri kohdassa 1,5! Täytyy ymmärtää kuvaajat hyvin. Vertailu kahden kuvaajan välillä, funktion ja sen derivaattafunktion kuvaajat. Koordinaatiston käyttö. Koordinaatistoon piirtäminen.
B1- osa 5. a) Prosenttilaskuissa tarkkana. Kuinka monta prosenttia nousu à Prosenttilaskun laskeminen!"#$#! &ää(ä )*+#,-(ä.!-! &ää(ä b) Kaksi mahdollisuutta. Valita vuokraksi alussa x, laskea sille nousut ja lopuksi tehdä yhtälö. Koska nousu on ilmoitettu indeksinä (eikä prosenttinousuina) voi koko muutoksen laskea yhdellä kertaa. Tässä täytyy kuitenkin olla tarkkana ja jos aikaa on, voi muutoksen laskea korotus kerrallaan. Toinen tapa on laskea kuinka paljon vuokra vähenee takaisin päin katsottuna ja vähentää summa lopussa olevasta määrästä. Prosenttilaskenta Indeksien tunteminen auttaa Tarkkuus
6. a) Tiheys on ilmoitettu ja mitat. Kun massa halutaan saada selville (ilmeisesti, eikä paino), voidaan päätellä tai taulukkokirjasta fysiikan kohdasta etsiä tiheyden kaava. Tiheyden lisäksi laskuun tarvitaan tilavuus ja sen laskeminen hoituu puuosien tilavuuden laskemisella. Fysiikan peruskaavojen käyttö/etsiminen taulukkokirjasta Tilavuuden laskeminen (suorakulmainen särmiö) b) Täytyy jollain tavalla hahmottaa sisätilavuuden mitat. Kuinka korkea pönttö on sisältä, kuinka leveä ja kuinka syvä. Miettii mikä lauta sopii minnekin, niin tilanne alkaa avautua. Päättelykykyä (kolmiulotteista hahmottamista) Tilavuuden laskeminen (suorakulmainen särmiö)
7. a) Vaihtoehtojen laskemisessa täytyy tietää vaihtoehtojen määrä. Ensimmäisellä valintakerralla on numerot 1, 3, 5, 7 ja 9 (viisi vaihtoehtoa). Toisella valintakerralla vaihtoehtoja on neljä, sitten kolme ja viimeiseksi kaksi. Kerrotaan keskenään nämä vaihtoehdot (vaihtoehtojen määrän kertominen eri kohdissa on peruste kokonaisvaihtoehtojen laskemiselle). b) Helpoimmasta liikenteeseen. Nyt ensimmäisellä kerralla on neljä vaihtoehtoa. Seuraavan numeron valinta on hiukan monimutkaisempi. Nyt laskeminen hiukan haarautuu, sillä jos on valittu 1 tai 7 seuraavaan ruutuun on vaihtoehtoja kaksi, jos on valittu 3 tai 5, seuraavaan ruutuun on vaihtoehtoja vain yksi. 1/7 valinnalla: seuraavassa 2 vaihtoehtoa. Ajatellaan että valinta oli ykkönen. Jos seuraavaan valitaan 5, 7: 5 ei voi valita, vain seiska voidaan valita, sitten voidaan valita vain 5, mutta sen jälkeen ei voida valita kolmosta (koska se on vitosen vieressä). Alkaa näyttämään siltä, että täytyy valita tietyssä järjestyksessä. Tähän voi auttaa jos piirtää numerot 1, 3, 5 ja 7 vierekkäin. Koettaa piirtää viivat numeroista toiseen niin että hyppää aina yhden yli. Huomataan että 3715 ja 5173 on ainoat vaihtoehdot. Täytyy osata laskea vaihtoehtojen määrä Päättelyä ja perustelua 8. a) Tarkka täytyy olla lukemisessa, mielellään lukea useaan kertaan. Kaksinkertaistuu kahdeksassa tunnissa. Aikaa kuluu nyt 6h, joten se ei kerkeä kaksinkertaistumaan. Koska korotus ei ole tasaista (ensimmäisen kahdeksan tunnin jälkeen tulee 40 lisää, sitten 80, 160 jne.) voidaan päätellä, ettei se ole tasaista myöskään kahdeksan tunnin aikavälin sisällä. Jatkuvasti nopeutuva kasvu viittaa eksponentiaaliseen kasvuun. Etsi taulukkokirjasta sille sopiva kaava. Eksponentiaalisen kasvun tunnistaminen ja laskeminen. b) Väheneminenkin on eksponentiaalista, koska siinä määrä puoliintuu säännöllisesti tietyn ajan välein. Tähänkin käy eksponentiaalisen kasvun kaava. Eksponentiaalisen muutoksen tunnistaminen ja laskeminen. 9. Ensimmäisenä hiukan hahmottelisin tilannetta paperille, siis suorien L 1, L 2 ja L 3 osalta. Tehtävässä puhutaan aika hankalasta kahden muuttujan yhtälöstä. Pidä kuitenkin mielessä funktion suurimman ja pienimmän arvon etsintä. Funktion lausekkeesta näkee heti, että tulos on suuri jos x on oikein iso ja y on pieni. Pienen tuloksen saa päinvastaisella, x on pieni ja y on suuri. Hahmottelun jälkeen aletaan miettimään erilaisia vaihtoehtoja ja toivotaan että päästään helpolla (suorakulmiossa päästään, ympyrän tai epäsäännöllisen kuvion tilanteessa homma on vaikea). Rauhallisuus erikoisissa tehtävissä Tilanteen hahmottelu mielessään graafisesti, mutta myös siten että graafinen tilanne yhdistyy funktion arvoon.
10. a) Taulukon ymmärtäminen on avainasemassa. Sitä voi miettiä itselleen erilaisilla arvoilla. Jos jokin raja on esim. 40 000-60 000, minkä verran täytyy maksaa veroja 40 000e perinnöstä, 60 000e perinnöstä yms.. Entä jos vero menee yli rajan? Selvästikin 40 000e kohdalla maksetaan Veron vakioerä osuuden alarajan kohdalla ja kun summa ei osu kohdalleen, maksetaan alarajan vero ja lisäksi tietty summa ylimenevästä. Esim. 58 000e = 40 000e + 18 000e. Tällöin maksetaan veron vakioerä + 11% summasta 18 000e. Taulukon tulkinnassa huolellisuus ja tarkkuus Prosenttilasku b) Liikkeelle selkeimmistä kohdista, kuvaajan piirtämisestä (x-akseli 0e-60 000e, y-akseli esim. 20% asti). Alussa tiedetään veron olevan 0%. 20 000e kohdalla alkaa veroa kerääntyä. On vaikea päätellä, kuinka kuvaaja kulkee. Helpompi on laskea. Lasku tehdään kaavalla veron määrä/perinnön määrä. Se on helppo laskea taitekohdissa 20 000e, 40 000e ja 60 000e. Veron määrä välillä on parasta laskea muuttujan avulla. X on määrä jolla summa ylittää rajan 20 000e. Silloin saadaan lauseke veron määrä/perinnön määrä = 100+0,08x / 20 000+x. Aika hankala laskea. Derivoimalla huomataan, että muutos ei ainakaan ole tasaista. Koordinaatiston valinta Kuvaajan piirtäminen Funktion päätteleminen Paloittain määritellyn funktion päätteleminen 11. a) Suurinta ja pienintä arvoa kysytään funktiolle. Koska funktio on ilmoitettu lausekkeella, kannattaa ensimmäiseksi hiukan miettiä lauseketta. Kuinka isoja mahdollisesti siitä saatavat tulokset ovat. Tässäkin tapauksessa huomaa nopeasti, että lauseke koostuu kahdesta termistä, joista +1 vakiotermi vaikuttaa aika selkeästi funktion kokoon. Täytyy vain miettiä cos(x) vaikutus funktion arvoon ja se pitäisi muistaa. Vastaus täytyy vain perustella hyvin. Tietysti on mahdolista derivoida ja etsiä nollakohdat jne., mutta aika vaivalloista. Trigonometristen funktioiden perusominaisuudet Suurimman ja pienimmän arvon päättely b) Hiukan haastavampi tehtävä. Tehtävä alkaa samalla tavalla kuin edellinenkin kohta. Mieti hetki minkälaisia arvoja lausekkeesta voi tulla. Jotta pääset kärryille, voit miettiä A ja B paikalle jotain lukuja. Lopulta voit miettiä, kysytäänkö tehtävässä jotain lukuja vai etsitäänkö vastauksia niin, että A ja B sisältyvät vastaukseen. Saatat huomata, että jos B tai A on äärettömän suuri, on funktion arvo äärettömän suuri ja jos A on äärettömän suuri, funktio saa myös negatiivisia arvoja äärettömään asti. Pohdi niin kauan, että huomaat (ennemmin tai myöhemmin), vastauksen olevan luultavasti niin, että tulos ilmoitetaan A ja B avulla. Termi +B on täysin vakio, joten funktion muutos tulee termistä Asin(x). Koska sin(x) on pienimmillään -1 ja suurimmillaan 1, saadaan funktion suurin arvo A 1 + B = A + B ja pienin arvo A (-1) + B = -A + B. Tämä vaatii hiukan perusteluja siitä, että nämä todella ovat pienin ja suurin arvo. Tärkeää on, että A itsessään on positiivinen. Derivointi saattaa olla tarpeen, mutta toisaalta sanallinenkin perustelu käy. Koska funktio on jatkuva, se saa kaikki arvot ääripäiden väliltä. Perustelutaitoa tarvitaan
Trigonometristen funktioiden perusominaisuudet Suurimman ja pienimmän arvon päättely Vakiokirjaimien käyttö laskemisessa ja tuloksen ilmoittamisessa 12. a) Tarkastele taulukkoa. Siinä on hiukan oudosti ilmoitettu mitä sarakkeisiin täytyy laittaa. Mieti mitä ovat lg t ja lg s. Tehtäväsi on laskea niitä, kun t saa eri arvoja (vasemmassa reunassa). Onneksi tehtävässä on vähän alkua, on laskettu lg t:n ensimmäinen arvo. Voit kokeilla laskimella, saatko saman tuloksen, kun lasket lg 1 (=0). Hiukan hankalampi on lg s. Miten ensimmäiseen kohtaan lasketaan lg s? Lg on vain yksi merkintä, joten s:n sijaan täytyy saada numero. Sen saa laskusta s=10t 2 =10(1) 2 =10. Silloin lg10=1. Nyt on homma selvillä ja täytyy vain täyttää taulukko (siis laskea lg 2, lg4, ja lg(10 2 2 ), lg(10 4 2 ), ). Logaritmifunktion laskeminen ja ymmärtäminen. Taulukon täyttäminen ja ymmärtäminen. b) Pisteet (lg t, lg s) koordinaatistoon? Yleensähän koordinaatistoon piirretään pisteet (x, y)! Mieti kuinka piirrät koordinaatiston lg t:n ja lg s:n arvoille. Havaitseminen liittyy pisteiden/kuvaajan muotoon/sijaintiin koordinaatistossa. Perusteleminen onkin hiukan hankalampaa. Miksi kuvaaja on suora. Tietysti siksi että kyseessä on ensimmäisen asteen kuvaaja. Tuossahan on toisen asteen yhteys s ja t välillä, kuinka niiden välinen kuvaaja voi olla suora? Täytyy saada laskettua kuvaajan funktio. Lg(t) on aika tiivis, mutta voisi yrittää sieventää toista koordinaattia lg(s) (tämä vaan on yritys, koska todennäköisesti logaritmi jotenkin poistaa neliön). Koordinaatti (lg t, lg (10t 2 )) = (lg t, lg10 + lg t 2 ) = (lg t, 1 + 2lg t). Täytyy kyllä miettiä paljon, mutta koordinaatit ovat selvästi riippuvaisia toisistaan. Korvataan lg t muuttujalla x (x=lg t). Nyt saadaan (x, 1+2x). Edelleen saadaan (x, y), kun y=2x+1. Siis (x, y) koordinaatistossa muodostuu kuvaaja y=2x+1. Logaritmilaskennan täytyy olla hallussa. Perustelutaito. Taulukkokirjan käytön täytyy sujua nopeasti. Koordinaatiston piirtäminen. 13. Ensiksi tulisi mieleen piirtää tilanteesta kuva. Jos kerrostalo olisi yhtään korkeampi, kannattaisi miettiä tilanne vain päässään. Aika on ruuhkaton à hissit ovat odotuspaikoillaan (ei kait sentään). Kuinka suuri todennäköisyys on, että JOKU joutuu odottamaan hissiä kauan. Tietysti hissin odotusaika riippuu kerroksesta. Täytyy selvittää missä kerroksissa on pitkä odotusaika ja kuinka todennäköisesti siellä joku varaa hissin. Outo tehtävä, joka ei aivan käy maalaisjärkeen. Todennäköisyyslaskenta