MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution Fourier-muunnos 3 Aliasoituminen 4 Ikkunoitu Fourier-muunnos 5 Diskreettien signaalien konvoluutiot G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 2 / 36 Fourier-kertoimien numeerinen laskeminen ( Jos 1-jaksollisesta signaalista s on saatu havainnot q(j) s j j, 1,..., 1 ja halutaan laskea Fourie-kertoimien ŝ(k) approksimaatioita niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Muodostetaan ensin s:n korvikkeena funktio g(t) ( q(j)p t j ), missä p (t + 1) p (t) ja { 1, t, p (t), t k, k 1, 2,..., 1, ( ) ( ) jolloin siis g j q(j) s j kaikilla j. Tämän funktion Fourier-kertoimet ovat ĝ(k) ˆq(k) p (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 3 / 36 ), Miksi? Funktion g Fourier-kertoimiksi saadaan ĝ(k) 1 e i2πkt e i2πkj ) q(j)p (t j dt 1 q(j) e i2πk(t j ) ) p (t j dt e i2πkj q(j) 1 j j e i2πkt p (t) dt e i2πkj q(j) p (k) ˆq(k) p (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 4 / 36
Jaksollistetut funktiot Jos s L 1 () ja siitä tehdään jaksollien funktio s J kaavalla s J (t) s(t j) s(t + j) niin s J L 1 (/Z) ja ŝ J (k) ŝ(k), k Z. Tämä ei välttämättä onnistu jos ainoastaan oletetaan, että s L 2 (). Miksi Koska e i2πkj 1, k, j Z niin muuttujan vaihdolla t τ + j saadaan e i2πkt s(t) dt j+1 e i2πkt s(t) dt 1 e i2πk(τ+j) s(t+j) dt j 1 e i2πkτ s(t + j) dt 1 e i2πkτ s(t + j) dτ. Esimerkki jaksollistamisesta Jos > 1 ja p L 1 () on sellainen, että p() 1, p(j) kaikilla j Z \ {} ja p (t) p((t j)) niin silloin p (t + 1) p (t), p (t) 1 kun t ja p (t) kun t k ja k 1, 2,..., 1. Lisäksi pätee p (k) 1 ( ) k ˆp, k Z. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 5 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 6 / 36 Poissonin summakaava Jos s L 1 (), s on jatkuva kokonaislukupisteissä ja jono j s(t + j) suppenee tasaisesti kun t ( δ, δ) kun missä δ > niin lim k s(k) lim k k ŝ(k) ja jos esim. k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < niin pätee ŝ(k). Huom! k Z s(k) k Z Soveltamalla tätä tulosta tyyppiä t s(t x), t e i2πxt s(t) ja t s(at) oleviin funktioihin ja niiden kombinaatioihin saadaan lisää kaavoja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 7 / 36 Miksi Poissonin summakaava on voimassa Kyse on oleellisesti siitä missä mielessä, jos lainkaan, käänteiskaava s J (t) k Z ei2πk t ŝ J (k) pätee kun t. Olkoon g(t) lim j s(t + j) jolloin g L1 (/Z) ja ĝ(k) ŝ(k). Oletuksesta, että jono j s(t + j) suppenee tasaisesti kun t (, δ) seuraa, että g on jatkuva pisteessä. Silloin pätee missä F 1 (F g)() lim (F g)() g() ( ) 2 sin(πt) sin(πt) ja koska toisaalta k k ei2πk ĝ(k) k k ŝ(k) niin saadaan väite g:n määritelmästä. Jos k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < rajat-arvot voidaan ottaa ja saadaan väite k Z s(k) k Z ŝ(k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 8 / 36
Vaimennetut distribuutiot Whittaker-Shannonin interpolointikaava Jos s L 2 () ja ŝ(ν) kun ν > 1 2 niin s(t) k Z s(k)sinc (t k) t, missä sinc (t) sin(πt) πt jos t ja 1 jos t. Jos s L 1 () ja ŝ(ν) kun ν > 1 2 niin s L2 () ja oletuksesta s L 2 () seuraa, että k Z s(k)sinc (t k) < kaikilla t. S () { h : h on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Jatkuvuus? Funktio h : S() C on jatkuva jos lim n h(ψ n ) h(ψ) kun ψ n, ψ S() ja lim n ψ n ψ eli lim n d(ψ n, ψ) missä d(ϕ, ψ) k m 2 (k+m) sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)) 1 + sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)). äin ollen funktio h : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos ϕ S() ja d(ϕ, ψ) < δ niin h(ϕ) h(ψ) < ɛ. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 9 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos h S () niin ĥ F(h) on vaimennettu distribuutio Huom! ĥ(ψ) h( ˆψ). Jotta voidaan osoittaa, että ĥ S () jos h S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos s : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että s(t) (1 + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio s D (tai pelkästään s) kaavalla s D (ψ) s(t)ψ(t) dt. Jos s D (ψ) kun ψ S(), eli s D, niin s(t) melkein kaikilla t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 11 / 36 Diracin δ-funktio Voidaan määritellä vaimennettu distribuutio δ T seuraavasti: δ T (ψ) ψ(t ). Jos p L 1 () on sellainen, että p(t) dt 1, esim. p(t) e πt2, ja merkitään p a (t) ap(at) niin p a (t T )ψ(t) dt ψ(t ), lim a joten δ T on funktioiden p a (t T ) raja-arvo distribuutiomielessä. Distribuution δ T Fourier-muunnos δ T on määritelmän mukaan distribuutio jonka arvo testifunktiolla ψ on δ T (ψ) δ T ( ˆψ) ˆψ(T ) e i2πt ν ψ(ν) dν, eli funktion t e i2πt ν generoima distribuutio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 12 / 36
Diracin δ-funktio, jatk. Funktion p a (t T ) Fourier-muunnos on e i2πνt ap(a(t T )) dt a(t T ) τ e i2π ν a τ e i2πt ν p(τ) dτ i2πt e νˆp ( ν a ), koska dt 1 a dτ ja t τ a + T. Kun a saadaan raja-arvona funktio e i2πt ν koska lim a ˆp ( ) ν a ˆp() p(t) dt 1 oletuksen mukaan, jolloin taas nähdään että δ T :n Fourier-muunnos on funktio e i2πt ν (tai tämän funktion generoima distribuutio). Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos on järkevästi määritelty! Jos s L 1 () tai s L 2 () niin Miksi? ŝ D (ŝ) D eli F(s D ) F(s) D. Jos esim. s L 1 () niin määritelmän mukaan F(s D )(ψ) s D ( ˆψ) s(t) ˆψ(t) dt. Koska sekä s että ψ L 1 () niin kertolaksukaavan nojalla, joka pätee myös kuin kuin molemmat funktiot ovat neliöintegroituvia, s(t) ˆψ(t) dt ŝ(t)ψ(t) dt (ŝ) D (ψ), ja koska ψ S() oli mielivaltainen, niin väite seuraa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 13 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 14 / 36 Vaimennetun distribuution derivaatta Jos h S () niin sen derivaatta h määritellään kaavalla h (ϕ) h(ϕ ). Kun todistetaann, että h on vaimennettu on ensin osoitettava, että derivointi on jatkuva funktio: S() S(). Miksi näin? Jos s on derivoituva funktio ja on olemassa m siten, että ( s(t) + s (t) )(1 + t ) m dt niin s D ja (s ) D ovat vaimennettuja distribuutioita ja pätee (s D ) (ψ) s D (ψ ) s(t)ψ (t) dt / s(t)ψ(t) dt + s (t)ψ(t) dt (s ) D (ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 15 / 36 Operaatioita vaimennetuilla distribuutioilla Kun s on funktio C voimme määritellä seuraavat operaatiot: (T x s)(t) s(t x), (M x s)(t) e i2πxt s(t), (C x s)(t) s(xt) (missä x ) ja ehdosta L x s D (L x s) D missä L T, M tai S, niin saadaan seuraavat määritelmät vaimennetuille distribuutioille: (T x h)(ψ) h(t x ψ), (M x h)(ψ) h(m x ψ), ( ) (C x h)(ψ) h 1 x C 1 ψ. x Lisäksi jos ϕ C () ja sup t (1 + t ) k(m) ϕ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m) niin määritellään funktion ϕ ja vaimennetun distribuution h tulo kaavalla (ϕh)(ψ) h(ϕψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 16 / 36
Fourier-muunnos ja derivaatta Jos h S () niin Miksi? F(h) F(( i2πt)h), F(h ) (i2πt)f(h). Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos s L 1 (/Z) niin s määrittelee myös funktion: C siten, että s(t) (1 + t ) 2 dt < ja silloin ŝ D k Z ŝ(k)δ k, F(h) (ψ) F(h)(ψ ) h(f(ψ )) h((i2πt)f(ψ)) (( i2πt)h)(f(ψ)) F(( i2πt)h)(ψ), missä ŝ(k) on s:n Fourier-kerroin ja δ τ (ψ) ψ(τ). ja F(h )(ψ) h (F(ψ)) h(f(ψ) ) h(f(( i2πt)ψ) F(h)((i2πt)ψ) ((i2πt)f(h))(ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 17 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 18 / 36 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Määritelmän mukaan ŝ D (ψ) s(t) ˆψ(t) dt. Koska ˆψ S niin funktio ϕ(t) ˆψ( t + j) on jaksollinen ja äärettömän monta kertaa derivoituva. äin ollen se voidaan kirjoittaa Fourier-summana ϕ(t) k Z e i2πkt ˆϕ(k). Koska s on jaksollinen niin Jaksollisen funktion Fourier-muunnos, jatk. missä ŝ tarkoittaa jaksollisen funktion Fourier-muunnos. Toisaalta ˆϕ(k) äin ollen 1 e i2πkt ˆψ( t + j) dt e i2πkt ˆψ( t) dt ŝ D (ψ) k Z ŝ(k)ψ(k), e i2πkt ˆψ(t) dt ψ(k). s(t) ˆψ(t) dt j+1 j s(t)ψ(t) dt ˆϕ(m) k Z 1 1 s(t)ϕ( t) dt e i2πkt s(t) dt k Z ˆϕ(k)ŝ(k), eli ŝ D k Z ŝ(k)δ k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 19 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 2 / 36
Aliasoituminen I Olkoon s jatkuva-aikainen signaali jonka Fourier-muunnos ŝ L 1 () jolloin s on ainakin jatkuva funktio siten, että lim t s(t). Jos nyt otetaan näytteitä s(k t), k Z, tästä signaalista niin Fourier-muunnoksen käänteiskaavan nojalla ne voidaan esittää Fourier-muunnoksen ŝ avulla seuraavasti: s(k t) e i2πk tν ŝ(ν) dν. Mutta funktio ν e i2πk tν on jaksollinen jaksolla ν 1 t joten jos nyt määritellään ŝ J, ν (ν) ŝ(ν j ν) niin s(k t) ν e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν ν 2 ν 2 e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν. äin funktio ŝ J, ν (ν) määrittää jonon s(k t) ja päinvastoin eikä jälkimmäisen jonon avulla ole mahdollista sanoa luvuista ŝ(ν j ν) muuta kuin niiden summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 21 / 36 Aliasoituminen I, jatk. Toisaalta jos ŝ on nolla tietyn ν-pituisen välin ulkopuolella, niin silloin on mahdollista rekonstruida signaali lukujen s(k t) avulla Whittaker-Shannonin interpolointikaavan (modifikaation) avulla. Aliasoituminen II Tarkastellaan seuraavaksi mahdollisimman yksinkertainen signaali eli s(t) e i2πνt jonka taajuus on ν ja poikkeuksena edelliseen tapaukseen otetaan nyt vain näytettä q(k) s(t + k t), k,.... 1. ämä näytteet määräytyvät yksikäsitteisesti tämän jonon diskreetistä Fourier-muunnoksesta ˆq(m) k mk i2π e s(t + k t) k mk i2π e e i2πν(t +k t) e i2πνt k e i2πk(ν t m ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 22 / 36 Aliasoituminen II, jatk. Funktion e i2πt jaksollisuudesta ja geometrisen sarjan summakaavasta seuraa, että e i2πνt, jos e i2π(mod (ν t,1) m ) 1, ˆq(m) e i2πνt 1 ei2π(mod (ν t,1) m) 1 e i2π(mod (ν t,1) m ), muuten. äin ollen ainoa tieto taajuudesta joka saadaan diskreetistä Fourier-muunnoksesta ja siten myös jonosta s(t + k t) on mod (ν t, 1) ja se näkyy siten, että diskreetti Fourier-muunnos saa itseisarvoltaan suurimmat arvonsa kun m mod (ν t, 1). Muista myös, että jokainen vaimennettu distribuutio on trigonometristen polynomien raja-arvo (tosin aika heikossa mielessä), ja yllä oleva lasku on myös sovellettavissa niihin. Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Ainoa funktio s L 1 () jolle on olemassa M < siten, että s(t) kun t M ja ŝ(ν) kun ν M on s. Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Olkoon s tällainen funktio. Määritellään sen avulla funktio q(t) s(4mt + M) jolloin nähdään, että q(t) kun kun t 1 2 ja kun t. Seuraavaksi muodostetaan tämän funktion jaksollistus q J (t) q(t j) jolle siis pätee, että q J(t) kun t [, 1 2 ]. Koska ˆq(ν) e i2π ν 4 ŝ( ν 4M ) niin ˆq(ν) kun ν 4M2. Erityisesti tämä tarkoittaa sitä, että q J :llä on ainoastaan äärellisen monta nollasta poikkeavaa Fourier-kerrointa koska q J (k) ˆq(k). äin ollen q voidaan esittää Fourier-summana q(t) m k m e i2πkt ˆq(k), ja voimme olettaa, että ˆq( m) + ˆq(m) > jos s jolloin q. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 23 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 24 / 36
Aikataajuudessa rajoitettu signaali on, jatk. Koska Fourier-summa sisältää vain äärellisen monta termiä niin q on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja koska q(t) kun < t < 1 2 niin myös kaikki sen derivaatat ovat tällä välillä ja jatkuvuuden nojalla myös pisteessä t eli q(j) () (i2πm) j m k m ( ) k j ˆq(k). m yt pätee lim j m 1 k m+1 ( k m) j ˆq(k)e i2πkt joten saadaan lim j (( 1) j ˆq( m) + ˆq(m)), josta seuraa, että ˆq( m) ˆq(m) ja s. Ikkunoitu Fourier-muunnos Jos s signaali ja w on ikkuna -funktio niin s:n w-ikkunoitu Fourier-muunnos on F (s, w)(τ, ν) e i2πνt s(t)w(t τ) dt. eli F (s, w)(τ, ν) F(sT τ w)(ν) ja oletetaan, että w on valittu siten, että signaalin s(t)t τ w(t) Fourier-muunnos on hyvin määritelty. (Useimmiten ikkunafunktio w reaalinen, esim w(t) e βt2 jolloin kompleksikonjugoinnilla ei ole merkitystä.) Miksi ikkunointia? Ikkunoitu Fourier-muunnos antaa jotakin informaatiota signaalin s sisältämistä taajuuksista lyhyellä aikavälillä mutta ei ole suinkaan ainoa korjausyritys Fourier-muunnoksen heikoimpiin puoliin, jotka liittyvät siihen, että sen arvo tietyssä pisteessä riippuu signaalin arvoista kaikissa pisteissä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 25 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 26 / 36 Miksi ikkunointia? Kuten Fourier-sarjojen kohdalla voidaan todeta, saadaan yleensä parempi tulos kun signaali rekonstruoidaan Fourier-kertoimista jos käytetään painotettu summa k k ŝ(k)ei2πkt kuin jos lasketaan k ŝ(k)ei2πkt. Tässä tapauksessa käytetään siis diskreettiä Esimerkki Alla olevassa kuvassa on esitetty signaalin s ikkunoidun Fourier-muunnoksen itseisarvo ikkunafunktiolla w(t) e 4t2 missä s(t) sin(2π5t) kun t 1, s(t) sin(2π1t) kun 1 t 2 ja s(t) muuten. ikkunafunktiota w(k) k. Toisin sanoen, kun lasketaan Fourier-muunnoksia ja käänteismuunnoksia voi olla hyvä idea käyttää ikkunointia kiinteällä τ:n arvolla (esim. ) ja valita ikkunafunktioksi esim. e ɛt2 missä ɛ on pieni positiivinen luku. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 27 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 28 / 36
Ikkunoidun Fourier-muunnoksen käänteismuunnos ja energia Jos w S() (mikä on järkevä valinta) ja sup t s(t) (1 + t ) m < jollain m niin Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksella saadaan s(t) (w(t τ)) 1 ei2πνt F (s, w)(τ, ν) dν, jos w(t τ). Mutta jos sen sijaan, että käänteismuunnoskaavassa jaetaan w(t τ):llä kerrotaan w(t τ):lla ja integroidaan τ:n suhteen saadaan 1 s(t) e i2πνt F (s, w)(τ, ν)w(t τ) dν dτ w(τ) 2 dτ Koska ĥ(ν) 2 dν h(t) 2 dt ja ν F (s, w)(τ, ν) on Fourier-muunnos niin F (s, w)(τ, ν) 2 dν dτ s(t) 2 w(t τ) 2 dt dτ w(τ) 2 dτ s(t) 2 dt w(τ) 2 dτ ŝ(ν) 2 dν, eli ikkunoitu Fourier-muunnos jakaa signaalin energian toisella tavalla tasoon 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 29 / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona Määritelmän mukaan F (s, w)(τ, ν) e i2πνt s(t)w(t τ) dt. Oletetaan, että ikkuna-funktio w S(). Seuraavaksi esitetään funktio t e i2πνt w(t τ) Fourier-muunnoksena ja käänteismuunnoksen avulla todetaan, että e i2πνt w(t τ) e i2πνt e i2π(t τ)µ ŵ(µ) dµ e i2πt(µ+ν) e i2πτµ ŵ(µ) dµ µ + ν γ e i2πtγ e i2πτ(ν γ) ŵ(γ ν) dγ. yt ŵ(γ ν) ŵ(ν γ)ja näin ollen funktio t e i2πνt w(t τ) on funktion γ e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) Fourier-muunnos. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 3 / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona, jatk. Kertolaskukaavan nojalla pätee F (s, w)(τ, ν) ŝ(γ)e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) dγ (ŝ (M τ ŵ))(ν). missä siis M x ψ(t) e i2πxt ψ(t). Huomaa, että kertolaskukaavan käyttö kuten edellä edellyttää että esim s L 1 () tai s L 2 () mutta vaimennetun distribuution Fourier-muunnoksen määritelmä on sama kaava joten yllä oleva tulos pätee myös jos s on vaimennettu distrubuutio koska jos h S () ja ψ S() niin (h ψ)(x) on distribuution h arvo testifunktiolla t ψ(x t). Diskreetti konvoluutio Jos a : Z C ja b : Z C ovat esim. sellaisia, että a(j) < ja a(j) < niin niiden konvoluutio a b on (a b)(k) c(k) a(k j)b(j), k Z. Kun tällaisen signaalin Fourier-muunnos on niin pätee â(ν) e i2πνj a(j), â b(ν) â(ν)ˆb(ν). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 31 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 32 / 36
Diskreetti jaksollinen konvoluutio Jos signaalit a : Z C ja b : Z C ovat jaksollisia jaksolla niin niiden (jaksollinen) konvoluutio a J b on ja pätee Konvoluutio :ssa (a J b)(k) a(k j)b(j), â J b(m) â(m)ˆb(m), m Z. Jos a : Z C ja b : Z C ovat sellaisia että a(j) b(j) kun j < niin k (a b)(k) a(k j)b(j), k, ja (a b)(k) kun k < ja kaikilla k on laskettava ainoastaan äärellinen summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 33 / 36 Konvoluution laskeminen Fourier-muunnoksen avulla Jos luvut a(j) ja b(j) tunnetaan kun j,..., 1 ja halutaan laskea (a b)(k) k a(k j)b(j), k,..., 1, niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Määritellään { a(j), j,..., 1, a 2 (j) a 2 (j) a 2 (j + 2), j Z,, j,..., 2 1, { b(j), j,..., 1, b 2 (j) b 2 (j) b 2 (j + 2), j Z,, j,..., 2 1, Sitten lasketaan jolloin c F 1 2 (F 2(a 2 ) F 2 (b 2 )) c(k) (a b)(k), k,..., 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 34 / 36 Miksi? Koska jaksollisten jononjen konvoluution diskreetti Fourier-muunnos on Fourier-muunnosten tulo niin c a 2 J b 2 eli c(k) 2 a 2 (k j)b 2 (j), k Z. Koska b 2 (j) b(j) kun j,..., 1 ja b 2 (j) kun j,..., 2 1 niin c(k) a 2 (k j)b(j), k Z. Mutta jos nyt k 1 ja k + 1 j 1 niin + 1 k j 1 jolloin + 1 k j + 2 2 1 josta seuraa, että a 2 (k j) a 2 (k j + 2). Koska lisäksi a 2 (k j) a(k j) kun j k 1 niin Miksi?, jatk. c(k) k a 2 (k j)b(j) k a(k j)b(j), k,..., 1. Jos lisäksi pätee a(j) b(j) kun j ja 1 k 2 1 niin c(k) a 2 (k j)b(j) jk +1 a(k j)b(j) k a(k j)b(j). ja saadaan kaikki konvoluution termit indekseillä k, 1,..., 2 1 (ja tässä tapauksessa konvoluutio on kun k 2 1). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 35 / 36 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 36 / 36