45. Epähomogeeiset yhtälöt Tarkastelemme sitte epähomogeeista toise kertaluvu yhtälöä (8) Ly= y + ay + ay= b. Kute edellä olevasta teoriasta o selviyt, riittää yleise ratkaisu löytämiseksi tutea vastaava homogeeise yhtälö yleie ratkaisu y h ja epähomogeeise yhtälö joki yksityisratkaisu y p, jolloi yhtälö (8) yleie ratkaisu o iide summa y= y + y. h p Yksityisratkaisu voidaa kostruoida (periaatteessa) aia homogeeise yhtälö ratkaisusta vakioide varioiilla: Lause 6 Jos fuktiot y, y ovat homogeeise yhtälö Ly = lieaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ii epähomogeeise yhtälö (8) eräs yksityisratkaisu o yp( x) = c ( x) y ( x) + c ( x) y ( x), (9) missä y () ( xbx ) ( ) y( xbx ) ( ) c( x) = dx, c( x) = dx W( x) W( x), W( x) = W( y, y )( x). Todistus: Asetetaa y= y yhtälö (9) mukaiseksi ja derivoidaa: p y = c y + c y + c y + c y. Vaatimalla () c y+ c y = ja derivoimalla y uudestaa saadaa
46 y = c y + c y + c y + c y, josta sijoittamalla yhtälöö Ly= b ja ottamalla huomioo Ly= Ly = tullaa yhtälöö () cy + cy =. Yhtälöparista (), () voidaa yt ratkaista c, c, koska yhtälöpari kerroimatriisi determiatti o W( y, y)( x), x I. Crameri säätö ja itegroiti ataa sitte tulokse (). Esim. 7 Yhtälöä y + y = ta x, x ( π /, π / ) vastaava homogeeise yhtälö perusjärjestelmä o aiemmi todetu mukaa y( x) = cos x, y( x) = six, jolloi W( y, y)( x ) =. Siis kerroifuktiot () ovat c( x) = sixtaxdx = six l( + ta x), cos x c ( x) = cosxtaxdx = sixdx = cosx. Yhtälö yleie ratkaisu o siis y( x) = αcos x+ βsi x cos xl( + ta x), α, β. cos x Toie tapa löytää yksityisratkaisuja o määräämättömie kertoimie meetelmä. Yksityisratkaisu o usei pääteltävissä oikea puole fuktio bx ( ) tyypistä. Seuraavassa o lueteltu, mikä tyyppisiä yritteitä kaattaa tavallisimmissa tapauksissa koettaa. Ajatuksea o, että yrite sijoitetaa yhtälöö ja määritetää siiä olevat parametrit tai tutemattomat fuktiot ii, että yhtälö saadaa toteutumaa.. Olkoo bx ( ) astetta oleva polyomi. Jos a, ii yrite o samaasteie polyomi, jos a =, a yrite o ( + ) -asteie polyomi.
47. Jos bx ( ) = pxe ( ) ax, ii yrite o muotoa yx ( ) = uxe ( ) ax. ax ax. Jos bx ( ) = ce, missä c o vakio, ii yx ( ) = Ke, mikäli a ei ole j ax karakteristise yhtälö (4) juuri, ja muute yx ( ) = Kxe ( j=,) se mukaa, oko a karakteristise yhtälö yksi- vai kaksikertaie juuri. 4. Olkoo bx ( ) = pcosω x+ qsiω x. Jos ± iω eivät ole karakteristise yhtälö juuria, ii yritteeksi käy yx ( ) = Acosω x+ Bsiωx, muute yx ( ) = Axcosω x+ Bxsiω x. Esim. 8 y + y + y = e x. x x Homogeeise yhtälö yleie ratkaisu o yh = ce + cxe, sillä r = o karakteristise yhtälö kaksikertaie juuri. Tällöi yritteeksi voi tarjota fuktiota y( x) = Kx e x. Derivoimalla saadaa ( ) ( ) x x y x = K x x e, y ( x) = K( x x+ x ) e, josta tulee sijoittamalla x K = ja yksityisratkaisu o siis y p( x) = x e. Todettakoo lopuksi, että jos oikea puoli o summa kahdesta eri tyyppisestä fuktiosta: Ly= b+ b, ii yksityisratkaisuksi saadaa yp = yp + yp, missä Ly = b, Ly = b. p p Silloi imittäi Ly = L( y + y ) = Ly + Ly = b + b. p p p
48. Differetiaaliyhtälösysteemit, johdatoa Siirrymme käsittelemää esimmäise kertaluvu differetiaaliyhtälösysteemeitä, jotka ovat muotoa () x '(t) = f(t, x(t)), x(t). Tässä f o jatkuva fuktio:. Vektori x(t) voidaa saoa esittävä systeemi tilaa ajahetkellä t. Geometrisesti x muodostaa ratakäyrä -ulotteisessa avaruudessa. Systeemi ratkaisu avoimella välillä I o tällä välillä määritelty jatkuvasti derivoituva vektoriarvoie fuktio x, joka toteuttaa yllä maiitu yhtälö tämä väli jokaisessa pisteessä. Ratkaisuja o yleesä ääretö määrä. Alkuarvotehtävässä () x '(t) = f(x(t),t), x(t )=c ratkaisu määrätää kulkeva ajahetkellä t pistee c kautta. Esimmäise kertaluvu derivaattaa keskittymie edellä ei ole kovi yleisyyttä rajoittavaa: Korkeampaa kertalukua olevat eksplisiittiset differetiaaliyhtälöt voidaa palauttaa esimmäise kertaluvu systeemiksi. Meettelytapa selviää oheisista esimerkeistä: Esim. Jokaie lieaarie toise kertaluvu differetiaaliyhtälö y () t + a () t y () t + a () t y() t = b() t voidaa esittää taso systeemiä: Valitaa x = y, x = y, jolloi saadaa systeemi x = x. x = ax ax + b
49 Esim. Muutetaa oheie differetiaaliyhtälö esimmäise kertaluvu systeemiksi: y'''( t) - y''( t) + 4 y'( t) - y( t) =. Valitaa x( t) = y( t), x( t) = y'( t), x( t) = y''( t), jolloi äide derivaatoille saadaa x '( t) = x ( t) x '( t) = x ( t) x '( t) = / x ( t)- x ( t) + / x ( t). Differetiaaliyhtälösysteemie tasapaiotilat ja stabiilius. Differetiaaliyhtälö x'(t) = f(x(t),t), x(t) määrittelemä systeemi saotaa oleva autoomie, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu ajasta t: x'(t) = f(x(t)). Jos vakiotila x(t) x toteuttaa yhtälö, ii silloi vakioa se derivaatta x'(t) ja saomme, että systeemi o tasapaiotilassa ja x o systeemi tasapaiopiste. Tasapaiopistettä karakterisoi siis yhtälö f(x ) =, josta systeemi tasapaiopisteet voidaa ratkaista. Esim. Systeemi tasapaiopisteet ovat (, π). f(x) = [si(x +x ) exp(x )-] T
5 Taso grafiikkaa Moia autoomiste systeemie käsitteitä ja tilateita, erityisesti taso differetiaalisysteemeillä, voidaa havaiollistaa erilaisilla kuvilla. Vektorikettä Kuvaa piirretää x, x-tasoo pisteesee x vektori x = f( x ). Usei tämä kuvio o sotkuie, koska eri pituiset vektorit voivat peittää toisiaa. Suutakettä o kuva, jossa vektoriketä vektoreista piirretää vai suuat, ei pituuksia. Joskus kuvassa o vai lyhyitä jaoja, joide kulmakertoimet ovat dy x () t f( x, x) = =, dx x () t f( x, x) tai sitte lyhyitä vektoreita uolia. Ratakäyrät ovat x, x-tasossa olevia ratkaisukäyriä x ( t), t I. Faasikuva sisältää kokoelma valikoituja ratakäyriä ja usei tasapaiopisteet. Käyrii voidaa merkitä suuat uolella, jolloi systeemi tila eteee aja mukaa merkittyy suutaa. Faasikuva voi olla suutaketä kassa samassa. Kompoettifuktioide kuvaajat ovat (, tx) - ja (, tx ) tasoihi (usei samaa kuvaa) piirrettyjä fuktioide x () t ja x () t kuvaajia. Seuraavissa kuudessa kuvassa esimmäiseä o vektorikettä, sitte vastaava suutakettä. Kolmaessa kuvassa o yksi ratakäyrä, ja sitä vastaavat kompoettifuktioide kuvaajat eljäteä. Viides ja kuudes ovat faasikuvia.
54. Omiaisarvoteoria kertausta Matriisie omiaisarvot ovat keskeisessä roolissa lieaariste differetiaalisysteemie teoriassa. Kertaamme matriisilasketaa siltä osi. Jokaisee matriisii liittyy joukko sille omiaisia lukuja, s. omiaisarvoja, joista koostuu matriisi "spektri". Tämä vaatii kuiteki lukualuee laajetamista kompleksilukuihi. Jatkossa matriisit ja vektorit voivat olla (ellei toisi maiita) kompleksikertoimisia. Matriisialgebra säilyy samalaisea kui reaalitapauksessaki, paitsi että uutea operaatioa tulee mukaa kompleksilukuje kojugoiti. Avaruus x = koostuu -kompleksivektoreista x x x, missä kertoimet xi. Vektori x kojugaatti o x = x x x. (Kompleksiluvu a + bi kojugaatti eli liittoluku o z = a bi.) T Sisätulo o yt muotoa xy i = x y= xy+ + xy. Silloi vektori pituus eli ormi o T =+ =+ x + + x x x x. i = + + = + 4 + + = 7 + i. Esim. i i ( ) ( ) Skalaarit, esimerkiksi lieaarikombiaatioide kertoimet, ovat tapauksessa kompleksilukuja, ja siitä syystä esimerkiksi : luoollie kata käy myös : kaaksi. :
55 Pääasiassa tarkastelemme tässä kurssissa reaalimatriiseja, mutta kompleksivektoreihi joudutaa kompleksiste omiaisarvoje takia. Skalaari λ o eliömatriisi A omiaisarvo, jos o olemassa joki sellaie x, että Ax= λx. Silloi vektori x o omiaisarvoa λ vastaava omiaisvektori. Eglaikieliset termit ovat eigevalue ja eigevector. Omiaisarvo määrittely-yhtälö saadaa siirtämällä kaikki termit vasemmalle puolelle muotoo Ax λx= eli ( A λi) x=. Kyseessä o siis homogeeie lieaarie yhtälöryhmä, joka kerroimatriisi o A λi. Koska kyseessä o eliömatriisi, sillä o eitriviaaleja ratkaisuja (x= ei kelpaa omiaisvektoriksi) täsmällee silloi, ku kerroimatriisi determiatti =. Yhtälöä p( λ) = det( A λi) = saotaa matriisi A karakteristiseksi yhtälöksi ja polyomia p( λ ) se karakteristiseksi polyomiksi. Matriisi omiaisarvot ovat siis se karakteristise polyomi juuret. Näitä o algebra peruslausee ojalla kertaluvut mukaa lukie kappaletta (jotka voivat olla kompleksisia). (Tässä o syy siihe, että reaaliseki matriisi omiaisarvot voivat olla kompleksisia, ja sitä kautta myös omiaisvektorit.) Omiaisarvoja o -matriisilla siis kertaluvut mukaa lukie kappaletta. Omiaisarvo λ algebrallie kertaluku o k, jos λ o karakteristise polyomi k-kertaie juuri. Algebrallisesta kertaluvusta käytetää merkitää alg(λ ).
56 Kuhuki omiaisarvoo λ liittyvät omiaisvektorit ja ollavektori muodostavat aliavaruude, omiaisarvo λ omiaisavaruude E λ : E λ { A λ } = x R x= x = N( A λi). Omiaisavaruus todella o aliavaruus, sillä: E λ ja x, y Eλ, a, b R A( ax+ by) = aax + bay = aλx + bλy = λ( ax + by ) ax+ by E λ. Omiaisavaruude dimesio o omiaisarvo λ geometrie kertaluku geom(λ ) = dim E = dim N( A λi). λ Voidaa osoittaa (Lay), että geometrie kertaluku o aia korkeitaa algebrallise kertaluvu suuruie: geom(λ ) alg(λ ). Matriisi A omiaisarvotehtävä käsittää matriisi kaikkie omiaisarvoje ja vastaavie omiaisvektorie muodostamista. Omiaisvektoreista haetaa silloi jotki omiaisavaruude katavektorit. Meettely koostuu seuraavista vaiheista:. Muodostetaa karakteristie polyomi p( λ) = det( A λi).. Haetaa karakteristise polyomi juuret λ,, λ.
57. Ratkaistaa kulleki omiaisarvolle λ i homogeeie yhtälöryhmä ( A λ i ) x=, joka ratkaisusta poimitaa "lieaarisesti riippumattomat omiaisvektorit" eli olla-avaruude N( A λi) katavektorit. Esim. 6 A = det( A λi ) = 6 λ = λ 7λ+ = λ = 4& λ = λ ovat omiaisarvot. Omiaisarvolle λ =4: / [ A 4 I ] = x /x =, x = t, t x = x = t, valitaa esim. t=/: omiaisvektori v = /. Vastaavasti omiaisarvolle λ = : v =. Kummaki omiaisarvo algebrallie ja geometrie kertaluku ovat =. Esim.. A= 7 6 5 6 7 λ 6 5 λ = (5 λ)(( 7 λ)( λ) 6) = 6 λ λ = 5, λ =, Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 :
58 6 ½ [ A 5 I ] = x ½x =, 6 ½ x = ½, tx = sx, = t, x = t+ s, omi. vektorit esim. (valit. t=,s=; t=, s=): v =, v =. Vastaavasti omiaisarvolle λ =-: v =. alg(5)= geom(5)=, alg(-)=geom(-)=. Esim. 4 4 5 A = 5 4 Omiaisarvot: 4 λ 5 = (4 λ)( 4 λ) + 5 = λ + 9 = λ, =± i 5 4 λ Omiaisvektorit omiaisarvolle λ = i : 4 i 4 i 5 4 5 i x x 5 4 i + =, 5 4+ i x = t 5 5, valitaa esim. t = 4 i: v = 4 i. x = t 5 Omiaisarvo λ = i = λomiaisvektori o v = v = 4+ i. Kummaki omiaisarvo algebrallie ja geometrie kertaluku ovat =. Esim. 5 5 4 A = 5
59 Omiaisarvot: 5 λ 4 λ λ λ λ λ λ λ λ = (5 )( (5 ) 4) ( 4)(5 ) = (5 )( 5 ) = 5 λ λ = 5, λ =, Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 : 4 5 5 x + x =, x =, x = t x = x = t x = t, valitaa esim. t=: v = Omiaisarvo λ = omiaisvektoriksi saadaa vastaavasti Nyt alg(5)=, geom(5)=, alg()=geom()=. 4 u = 5. Kute esimerkissä 4 ähtii, reaaliselle matriisille kompleksiset omiaisvektorit esiityvät kojugaattipareia: Jos reaalisella matriisilla A o kompleksie omiaisarvo λ ja vastaava omiaisvektori v, ii λ o myös omiaisarvo ja v o sitä vastaava omiaisvektori: Av= λv Av= Av= ( Av) = ( λv) = λv.
6 Koska matriisi omiaisarvo λ o karakteristise polyomi p( λ) = det( A λi) juuri, sille ähdää seuraavat omiaisuudet: Matriisi A o käätyvä, jos ja vai jos ei ole se omiaisarvo. Jos λ o käätyvä matriisi A omiaisarvo, ii λ o kääteismatriisi A omiaisarvo. Kolmiomatriisi omiaisarvot ovat se lävistäjäalkiot. Matriisi determiatti o yhtä kui se omiaisarvoje tulo: det A = λ λ λ Matriisi A = ( a ij ) lävistäjäalkioide summa eli jälki o yhtä kui se omiaisarvoje summa: a + a + + a = λ + λ + λ. a b a Esim. 6 A=, a, b a a Yläkolmiomatriisi, jote omiaisarvot ovat λ = λ = λ = λ4 = a eli a o aioa omiaisarvo, alg(a)=4. b =, joka vastaa yhtälöä x =. [ A ai ] Siis muut muuttujat saavat olla vapaasti mitä tahasa, jote
6 x x x x 4 = r = = = s t eli x = r + s + t, r, s, t R. Omiaisvektoreita löytyy siis kolme lieaarisesti riippumatota, eli v =, v =, v =. Nyt siis geometrie kertaluku geom(a)=. Osoitetaa seuraavaksi hyödyllie omiaisuus eri omiaisavaruuksie keskiäisestä suhteesta: Erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ovat lieaarisesti riippumattomia. Todistus: Olkoot λ,, λr matriisi A erisuuria omiaisarvoja ja v,, vr iihi vastaavasti liittyviä omiaisvektoreita. Osoitetaa, että jos v,,, vk k < r ovat lieaarisesti riippumattomia, ii äi ovat myös v,, vk, vk+. Ellei olisi, ii v k+ olisi muide lieaarikombiaatio: v = c v. k k+ i i i= Tässä kaikki kertoimet c i eivät voi olla =, koska v. k+ Silloi kertomalla matriisilla A puolittai: k A v = Ac v λ v = cλ v. k+ i i k+ k+ i i i i= i= k k Toisaalta kertomalla vk+ = civ i luvulla λ k + saadaa myös esitys λ v = λ c v. k+ k+ k+ i i i= k i= Vähetämällä ämä toisistaa saadaa k = ci( λi λ k + ) v i, josta vektorie v,, vk i= lieaarise riippumattomuude takia ci( λi λ k + ) =, i. Koska omiaisarvot ovat erisuuria, ovat c i = kaikilla i, mikä o ristiriita.
6 Nyt siis aloittamalla vektorista v, joka ollasta eroavaa o yksiää lieaarisesti riippumato, ähdää että v, v ovat lieaarisesti riippumattomia, je. Matriisit A ja B ovat similaariset, jos o olemassa sellaie käätyvä matriisi S, että S AS = B. Similaarisilla matriiseilla o imesä mukaisesti jotai yhteistä: Similaariste matriisie A ja B karakteristiset polyomit ovat samat, ja iillä o siis samat omiaisarvot. Tämä ähdää suoralla laskulla: p B I S AS I S AS S IS B ( λ) = det( λ ) = det( λ ) = det( λ ) = det( S ( AS λis)) = det( S ( A λi) S) = det( S ( A λi) S) = det( S ) det( A λi) det S = det( A λi) det( S ) det S = det( A λi) det( S S) = det( A λi) = p A ( λ). Matriisi A o diagoalisoituva, jos se o similaarie joki lävistäjämatriisi D kassa. Diagoalisoituvuus merkitsee siis sitä, että löytyy käätyvä matriisi S, joka diagoalisoi matriisi A: S AS = D. Lävistäjämatriisi D lävistäjäalkiot ovat silloi A: omiaisarvot. Kokoa oleva matriisi o diagoalisoituva täsmällee silloi, ku A:lla o täysi määrä eli kappaletta lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita. Silloi diagoalisoiva matriisi S pystyrivit ovat tällaiset A: lieaarisesti riippumattomat omiaisvektorit.
6 Vektorit v, v ovat A: lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita, jos ja vai jos iistä rakeettu matriisi S = [ v v ],, o käätyvä (raks=) ja Av = λ v, i =,...,. Siis A o diagoalisoituva lävistäjämatriisiksi i i i D λ λ = diag(,, ) λ λ D S AS SD AS = = [ v,, v ] = A[ v,, v ] = [ Av,, Av ] λ [ ] [ ] λ v,, λ v = Av,, Av Av = λv, i =,...,. i i i Ehto lieaarisesti riippumattomie omiaisvektorie täydelle määrälle o kertalukuje avulla ilmaistua: Jokaisella omiaisarvolla o oltava algebrallie kertaluku yhtä kui geometrie kertaluku: alg(λ)=geom(λ). Erityisesti matriisi o silloi diagoalisoituva, ku se kaikki omiaisarvoa ovat erisuuria. Ku A o diagoalisoituva, ii yhtälö S AS = D tulee pääasiassa käyttöö muodossa A = SDS. Silloi esimerkiksi A = ( SDS )( SDS ) = SDDS = SD S ja yleisemmi k A k = SD S. Lävistäjämatriisi potessit ovat helppoja muodostaa: D k = λ k k λ λ k.
64 Potessie kautta päästää Taylori sarjoihi, ja äi voidaa diagoalisoituville matriiseille määritellä aalyyttiste fuktioide f(x) vastieet matriisifuktioia: f ( λ ) f ( ) f ( A) Sf( D) S S λ = = S f ( λ ). Esim. 7 A= 7 6 5 6 Aikaisemmi käsitelly esimerkki : mukaa omiaisarvot ovat λ, = 5, λ =. Omiaisvektorit omiaisarvolle λ, = 5 : v =, v =. Vastaavasti omiaisarvolle λ =-: v =. Lieaarisesti riippumattomia omiaisvektoreita o yt täysi kappaletta. Siis saamme esitykse A SDS 5 5 = = = 5 /5 /5 5. /5 /5
65 Symmetrise reaalise matriisi tapaus o kaikkei selkei omiaisarvoje ja diagoalisoii kaalta. Symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvot ovat reaaliset ja vastaavat omiaisvektorit voidaa valita reaalisiksi. Jos x o symmetrise reaalimatriisi A omiaisarvoa λ vastaava yksikkövektoriksi ormeerattu omiaisvektori, ii T T T λ A λ λ λ λ Ax = x x x = x x = x x = x =, josta saadaa kojugoimalla T T ( ) T T T T λ = λ = x Ax = x A x = x Ax = λ, jote λ o reaalie. Silloi reaalisella yhtälöllä ( A λi) x = o reaalisia ei-triviaaleja ratkaisuja, eli omiaisvektoritki voidaa valita reaalisiksi. Symmetrise reaalimatriisi erisuuria omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ovat ortogoaaliset. Jos A = λ & A = λ, λ λ x x x x, ii λx = x A = x A λx x = x Ax = x λ x = λ x x, jote T T T T T T T T T ( λ λ ) x x = ja siis x x =. T Neliömatriisi Q o ortogoaalie, jos se sarakkeet muodostavat ortoormaali jouko. Silloi se o käätyvä, ja kääteismatriisi o laskettavissa yksikertaisesti traspooimalla:
66 T, i= j Q = [ q,, q], qi qj = δij =, i j q T QQ= [ q,, q ] [ q,, q ] = [ q,, q ] T T T q q q q q = = I T T q q q q T T = T Q Q =. Ortogoaalise eliömatriisi omiaisuudet ovat siis Q ortogoaalie Q : sarakkeet ortoormaaleja T T QQ= QQ = I T Q = Q. Esim. 8 / / / Q = / / / / / / o ortogoaalie, kute tarkistamalla mikä hyväsä yllä olevista yhtäpitävistä ehdoista osoittaa. Jos matriisi A o symmetrie ja se omiaisarvot ovat kaikki erisuuria, o silloi edellise ojalla se omiaisvektoreista muodostettavissa ortogoaalie matriisi. Tällöi matriisi diagoalisoituu siis ortogoaalisella matriisilla. Tämä pätee myös yleisesti symmetriselle reaalimatriisille (tulos o syvällie):
67 Symmetrie reaalimatriisi A voidaa aia diagoalisoida ortogoaalisella matriisilla Q: A = QDQ T. Matriisi Q koostuu A: ortogoaalisista omiaisvektoreista. Esim. 9 A= 7 6 5 6 Esimerkissä 7 tämä diagoalisoitii. Omiaisvektorit olivat omiaisarvolle λ, = 5 : v =, v = ja omiaisarvolle λ =-: v =. Nyt vektorit v ja v sattuvat olemaa / 5 v ortogoaaliset, jote riittää ormeerata e: q = =, q = v =. v / 5 Omiaisarvoo λ liittyvä omiaisvektori tuleeki olla ortogoaalie äide kassa, jote ormeeraamalla se saadaa kolmas tarvittava omiaisvektori q v / 5 / 5 = = v. Silloi diagoalisoiva matriisi o Q / 5 / 5 [ q, q, q ] ja A: "spektraaliesitys" o / 5 / 5 = = / 5 / 5 5 / 5 / 5 T A = QDQ = 5. / 5 / 5 / 5 / 5