Harjoitus 2 / viikko 38 / Ennakot Sekä tiistain 15.9. että torstain 17.9. luentoja pohjustavat ennakkotehtävät löytyvät MyCoursesin Tehtävät-osiosta. Lisätietoja itse tehtävissä. Tiedostoa viimeksi muokattu: 15. syyskuuta 2015 13:22 1/5
Harjoitus 2 / viikko 38 / alkuviikko Alkuviikon harjoitusten aihepiiri: ensimmäisen viikon luentojen kertausta. Alkuviikon tuntitehtävä 1: Määritä perustellen funktion ln ( tan(x) ) määrittelyjoukko. Alkuviikon tuntitehtävä 2: a) Määritä arvot arcsin( 3/2), arccos( 2/2) ja arctan( 3). Ks. https://en.wikipedia.org/wiki/inverse_trigonometric_functions. b) Osoita, että funktion sinh(x) = (e x e x )/2 käänteisfunktiolle pätee arsinh(x) = ln ( x + x 2 + 1 ). Taylor-sarja origon ympäris- Alkuviikon tuntitehtävä 3: Määritä funktion ln 1 tössä. 1 x Alkuviikon tuntitehtävä 4: Käyttämällä arkustangentin Taylor-sarjaa arctan x = k=0 ( 1) k x2k+1 2k + 1, x < 1, määritä raja-arvo arctan x x 0 x 3 + 7x. Tiedostoa viimeksi muokattu: 15. syyskuuta 2015 13:22 2/5
Harjoitus 2 / viikko 38 / alkuviikko Alkuviikon kirjallinen 1: Kirjoita lyhyt matemaattinen essee aiheesta kompleksiluku ja sen napakoordinaattimuoto. Pyri vastaamaan seuraaviin kysymyksiin: Miten kompleksiluvut laajentavat tavallisia tason pisteitä? Miten edellä mainittu laajennus korostuu napakoordinaattimuodossa? Alkuviikon kirjallinen 2: Esimerkkinä edelliseen: a) Esitä kompleksiluvut z 1 = 3 + i 3 ja z 2 = 1 + i 3 napakoordinaattimuodossa. b) Käyttäen a-kohdan tuloksia laske z 1 z 2 ja z 1 /z 2. c) Piirrä kuva, jossa näkyvät z 1, z 2, z 1 z 2 ja z 1 /z 2. Kirjalliset tehtävät palautetaan seuraavaan loppuviikon harjoitustilaisuuteen tai laskutupaa vastapäätä olevaan lokeroon viimeistään perjantaina 18.9. klo 16:00. Tiedostoa viimeksi muokattu: 15. syyskuuta 2015 13:22 3/5
Harjoitus 2 / viikko 38 / loppuviikko Loppuviikon harjoitusten aihepiiri: raja-arvo, l Hôpitalin sääntö, derivaatta, differentiaali. Loppuviikon tuntitehtävä 1: Laske raja-arvot x 1 ln x x 1 ja sin(x 2 ) x 0 1 cos x. Kokeile sekä l Hôpitalin sääntöä että Taylor-sarjakehitelmiä. Loppuviikon tuntitehtävä 2: a) Määritä raja-arvo x 0 1 + x 1. x f(x) b) Jos = L 0, niin pisteen x = 0 lähistöllä pätee f(x) L g(x). Soveltamalla tätä a-kohdan raja-arvoon päättele lukujen 3.01 ja 2.99 likiarvot ilman x 0 g(x) laskinta. (Mitä laskin antaa kuinka tarkkoja saamasi likiarvot ovat?) Loppuviikon tuntitehtävä 3: Laske määritelmän f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h avulla funktion f(x) = 1/ x derivaatta pisteessä x 0. (Vastaus: 1/(2x x).) Loppuviikon tuntitehtävä 4: a) Määritä y (x) yhtälöstä x tan y y 2 ln x = 4. b) Laske funktion y(x) = x x (x > 0) derivaatta kirjoittamalla ensin y(x) = e x ln x kirjoittamalla ensin ln y(x) = x ln x. Tiedostoa viimeksi muokattu: 15. syyskuuta 2015 13:22 4/5
Harjoitus 2 / viikko 38 / loppuviikko Loppuviikon kirjallinen 1: Määritä Newtonin menetelmällä luvulle 3 likiarvo, jonka virhe on pienempi kuin 10 7. Lähde liikkeelle funktiosta f(x) = x 2 3 ja sellaisesta alkuarvauksesta, jolla tarvitset ainakin kolme iteraatiota ennen kuin haluttu tarkkuus on saavutettu. Voit laskea välivaiheet kynällä, paperilla ja laskimella tai suoraan tietokonealgoritmilla. Kirjoitat selkeästi lähtökohdat ja välivaiheet ynnä selitä, mitä tehdään ja milloin & miksi haluttu tarkkuus on saavutettu. Loppuviikon kirjallinen 2: Katso prof. Ghristin verkkoluento Lecture 5: BONUS! osoitteessa https://class.coursera.org/calcsing-005/lecture/preview ja kerro suomenkielisen tieteellisen kirjoitelman muodossa, miten verkkoluennossa johdetaan lausekkeet dipolin sähkökentän potentiaalille. Kirjalliset tehtävät palautetaan seuraavaan alkuviikon harjoitustilaisuuteen tai laskutupaa vastapäätä olevaan lokeroon viimeistään tiistaina 22.9. klo 16:00. Tiedostoa viimeksi muokattu: 15. syyskuuta 2015 13:22 5/5