802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LUKUTEORIA 1 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoma/Factorial Määritellään luvun n N kertoma n! induktiivisesti asettamalla Määritelmä 1 0! = 1, (1.1) n! = (n 1)! n, n Z +. (1.2) Yleisesti tapauksessa n 1 kirjoitetaan löyhästi n! = 1 2 3 (n 1) n, (1.3) missä on eräänlainen lyhennysmerkintä tarkasta määritelmästä (1.2). LUKUTEORIA 2 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Kertoman yleistys, Pochammerin symboli (a) n, saadaan seuraavasti. Määritelmä 2 Olkoon a C. Tällöin (a) 0 = 1, (1.4) (a) n = (a) n 1 (a + n 1), n Z +. (1.5) Nytkin tapauksessa n 1 kirjoitetaan (a) n = a (a + 1) (a + n 2) (a + n 1). (1.6) Erityisesti (1) n = n!. (1.7) LUKUTEORIA 3 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Määritelmä 3 Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) a = (a k + 1) k k k! (1.8) ovat binomikertoimia a yli k:n. Huomautus 1 Aikaisempi Määritelmä ja Määäritelmä 3 ovat ekvivalentit eli ( ) a = (a k + 1) k = ( 1) k ( a) k. (1.9) k k! k! LUKUTEORIA 4 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomikertoimen Määritelmä 3 esitetään usein (epätarkemmin) muodossa Määritelmä 4 Olkoot a C ja k N. Tällöin luvut ( ) { a 1, jos k = 0; = (a k+1) (a k+2) (a 1) a k k!, jos k Z + (1.10) ovat binomikertoimia a yli k:n. LUKUTEORIA 5 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Perustelu. Olkoon aluksi k = 0. Tällöin ( ) ( ) a a = = (a + 1) 0 k 0 0! = 1 a C. (1.11) Kun k Z +, niin ( ) a = (a k + 1) k = k k! (a k + 1)(a k + 2) (a 1)a k! a C. (1.12) Kuten yleensäkin niin seuraavassakin käytetään enimmäkseen tätä esitystä. LUKUTEORIA 6 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Olkoon vielä a = n Z +, jolloin ( ) n (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n = k k! = joten (n k)!(n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (1.13) k!(n k)! ( ) n = k n! k!(n k)! 0 k n. (1.14) LUKUTEORIA 7 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Jos k n + 1, niin ( ) n k ( n) ( n + j) ( n + k 1) = ( 1), (1.15) k k! missä 0 j k 1 n. Siten, kun j = n, niin n + j = 0 ja ( ) n = 0 k n + 1. (1.16) k LUKUTEORIA 8 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Olkoon a = n Z, jolloin ( ) n k n(n + 1) (n + k 1) = ( 1) = k k! joten ( ) n k k (n + k 1)! ( 1) k!(n 1)!, (1.17) ( ) n + k 1 = ( 1) k k k 0. (1.18) LUKUTEORIA 9 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Lause 1 Olkoon a C. Tällöin ( ) a + 1 k + 1 = ( ) a + k + 1 ( ) a k k N. (1.19) Erikoistapauksena saadaan Pascalin kolmion sääntö Lause 2 ( ) ( ) n + 1 n = + k + 1 k + 1 ( ) n k k, n N. (1.20) LUKUTEORIA 10 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Todistus. Lasketaan väitteen oikea puoli käyttäen binomikertoimien esitystä (1.12), jolloin ( ) ( ) a a + = k + 1 k a(a 1) (a (k + 1) + 1) (k + 1)! a(a 1) (a k + 1)(a k) k!(k + 1) + a(a 1) (a k + 1) k! (a + 1)(a + 1 1) (a + 1 (k + 1) + 1) (k + 1)! Siis saatiin väitteen vasen puoli. a(a 1) (a k + 1) k! = a(a 1) (a k + 1) + = k! ( ) a k k + 1 + 1 = = ( ) a + 1. (1.21) k + 1 LUKUTEORIA 11 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Pascalin kolmion säännöllä voidaan todistaa Lause 3 Todistus. Induktio n:n suhteen. Aluksi n = 0, 1. ( ) 0 = 0 ( ) n Z + 0 k n N. (1.22) k ( ) 1 = 0 ( ) 1 = 1. (1.23) 1 LUKUTEORIA 12 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Induktio-oletus: Väite tosi, kun n = l. Induktioaskel: Olkoon n = l + 1. Tällöin ( ) ( ) ( ) l + 1 l l = + k + 1 k + 1 k 1 k + 1 l, (1.24) missä induktio-oletuksen nojalla oikea puoli Z +, joten ( ) l + 1 Z + 1 k + 1 l. (1.25) k + 1 Lisäksi ( ) l + 1 = l + 1 ( ) l + 1 = 1. (1.26) 0 LUKUTEORIA 13 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Tuloksen (1.22) nojalla joten mistä saadaan. Lause 4 (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n k! Z +, (1.27) k! (n k + 1)(n k + 2) (n 1)n, (1.28) k! (m + 1)(m + 2) (m + k) k, m N. (1.29) LUKUTEORIA 14 / 94

Edelleen Lause 5 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Palautuskaava, Pascalin kolmio Olkoon p P, tällöin ( ) p p k 1 k p 1. (1.30) Todistus. Tuloksen (1.28) nojalla k! (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p, (1.31) Koska p k!, niin (1.31) johtaa relaatioon jollakin l Z. Siten ( ) p = k k! (p k + 1) (p 1) = l k!, (1.32) (p k + 1)(p k + 2) (p 1)p k! = (1.33) l p 0 (mod p). (1.34) LUKUTEORIA 15 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomisarja, Binomikehitelmä Sarjaa (1 + t) a = k=0 sanotaan Binomisarjaksi. Olkoon a = n N, jolloin (1 + t) n = ( ) a t k, a C (1.35) k n k=0 ( ) n t k. (1.36) k Asetetaan t = A/B, jolloin yhtälöstä (1.36) saadaan Binomikehitelmä: (A + B) n = k+l=n 0 k,l n n k=0 ( ) n A k B n k = (1.37) k n! k!l! Ak B l. (1.38) LUKUTEORIA 16 / 94

KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET Binomisarja, Binomikehitelmä Kun, a = 1 ja t = x, niin saadaan Geometrinen sarja: 1 1 x = x k. (1.39) k=0 Ja yleisemmin, jos a = n Z ja t = x, niin identiteetin (1.18) nojalla. 1 (1 x) n = k=0 ( n + k 1 k ) x k (1.40) LUKUTEORIA 17 / 94

p-valuaatio Tarkastellaan alkuluvun p esiintymistä kokonaisluvussa k (myöhemmin esitetään p-valuaation määritelmä rationaaliluvulle). Määritelmä 5 Olkoot p P, k Z \ {0}, r N ja p r k. (2.1) Tällöin asetetaan v p (k) = r. (2.2) Kertaa vielä, että p r k k = p r c, p c Z \ {0}. (2.3) LUKUTEORIA 18 / 94

p-valuaatio Lause 6 Laskusääntöjä. Olkoon p P ja n, m Z \ {0}, tällöin v p (1) = 0; (2.4) v p (n) 0; (2.5) v p (nm) = v p (n) + v p (m); (2.6) v p (n!) = v p (1) + v p (2) +... + v p (n), n 1; (2.7) n = p vp(n) = p vp(n) = p vp(n), p n p n p P n 1. (2.8) LUKUTEORIA 19 / 94

p-valuaatio Määritelmä 6 Olkoot p P, k Z \ {0}, l Z +. Asetetaan tällöin w p l (k) = 1 jos p l k; (2.9) w p l (k) = 0 jos p l k. (2.10) Lause 7 Olkoot p P, k Z \ {0}, r N ja v p (k) = r. Tällöin v p (k) = r w p i (k) = i=1 w p i (k). (2.11) i=1 LUKUTEORIA 20 / 94

p-valuaatio Lause 8 Olkoot n Z + ja Tällöin A p = i=1 n p i, p P. (2.12) v p (n!) = A p. (2.13) p Ap n! p n!. (2.14) n! = p n p Ap. (2.15) Huomaa, että n/p i = 0, kun p i > n. Siten summat A p ovat äärellisiä/the sums are finite. LUKUTEORIA 21 / 94

p-valuaatio Todistus. I osan tuloksen (4.26) nojalla välillä [1, n] olevien luvulla p i jaollisten lukujen lkm= n #{k Z + 1 k n, p i k} = p i. (2.16) Toisaalta #{k Z + 1 k n, p i k} = w p i (1) + w p i (2) +... + w p i (n). (2.17) Esimerkiksi missä pätee 1,..., 1 p,..., 2 p,..., p p,..., n p,..., n (2.18) p w p (1) = w p (2) =... = w p (p 1) = w p (p + 1) =... = 0 (2.19) ( ) n w p (p) = w p (2p) =... = w p p = 1. p (2.20) LUKUTEORIA 22 / 94

p-valuaatio Olkoon Siten... p r n < p r+1, n w p (1) + w p (2) +... + w p (n) = p n w p 2(1) + w p 2(2) +... + w p 2(n) = w p r (1) + w p r (2) +... + w p r (n) = n p r+1 = 0. (2.21) ; (2.22) p 2 n p r ; (2.23), (2.24) Lasketaan yhtälöt (2.22 2.24) puolittain yhteen, jolloin saadaan n n n v p (1) + v p (2) +... + v p (n) = + p p 2 +... + p r. (2.25) LUKUTEORIA 23 / 94

p-valuaatio Siten Edelleen v p (n!) = i=1 n p i = A p, p P. (2.26) n! = p n p vp(n!). (2.27) Huomautus 2 Alkuluvulle p pätee p n! p n. (2.28) LUKUTEORIA 24 / 94

p-valuaatio Esimerkki 1 v 2 (11!): k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 w 2 1(k) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 5 w 2 2(k) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 w 2 3(k) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 v 2 (k) 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 8 Toisaalta, 2 3 11 < 2 4, joten r = 3 ja v 2 (11!) = i=1 11 2 i = 11 2 1 + 11 2 2 + 11 2 3 = 5 + 2 + 1 = 8. LUKUTEORIA 25 / 94

p-valuaatio Lauseen 4.3 todistus/2. tapa: Kertomien alkutekijäkehitelmien nojalla n! k!(n k)! = p n p Bp, (2.29) missä B p = i=1 n k p i p i n k p i. (2.30) LUKUTEORIA 26 / 94

p-valuaatio Tuloksen (??) avulla saadaan k p i + Siten B p N ja a + b a + b (2.31) n k p i k p i + n p i k n p i = p i. (2.32) p Bp Z +, (2.33) p n joka identiteetin (2.29) kanssa todistaa, että ( ) n Z + 0 k n N. k LUKUTEORIA 27 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 7 Rationaaliluku A = a/b Q on supistetussa muodossa/reduced form, kun a b. Edelleen, den(a) = b on A:n nimittäjä/denominator. Määritelmä 8 Olkoon p P, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a p b ja sanotaan, että p jakaa rationaaliluvun a/b. Q p a (3.1) Z LUKUTEORIA 28 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Huomautus 3 Käytetään myös merkintää p a b. (3.2) Olkoon p P. Jokaisella a/b Q on yksikäsitteinen esitys Tällöin saadaan Lause 9 a b = pr c d, c Z, d Z+, c d, p cd, r Z. (3.3) a p b Q r 1. (3.4) LUKUTEORIA 29 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 9 Olkoon p P, a, b Z ja a b 0. Silloin asetetaan a b 0 (mod p) p a b (3.5) Esimerkki 2 5 20 3 20 3 0 (mod 5). (3.6) Esimerkki 3 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 5). (3.7) LUKUTEORIA 30 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Laajennetaan Määritelmä 8 vapaasti valittavalle modulukselle n Z 2. Määritelmä 10 Olkoon n Z 2, a, b Z, ja a b 0. Silloin asetetaan a n n a n a (3.8) Qb b Z ja sanotaan, että n jakaa rationaaliluvun a/b. Huomautus 4 a n b Q n b. (3.9) LUKUTEORIA 31 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 10 Olkoon n Z 2 annettu ja olkoon rationaaliluvun a/b Q alkutekijäesitys a b = ±pr 1 1 pr k k qv 1 1 qv l l ; (3.10) missä q j / {p 1,..., p k }. Jos p i, q j P r i Z +, v i Z, (3.11) n = p s 1 1 ps k k, s i N, (3.12) ja niin 0 s i r i i = 1,..., k, (3.13) a n b. (3.14) Q LUKUTEORIA 32 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Määritelmä 11 Olkoon n Z 2 annettu ja a/b, c/d Q. Jos n a b c d, (3.15) niin asetetaan a b c (mod n) (3.16) d ja sanotaan, että luvut a/b ja c/d ovat kongruentteja (mod n). Huomautus 5 a b 0 (mod n) a 0 (mod n), b n. (3.17) LUKUTEORIA 33 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 11 Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä polynomi P(x) Q[x]. Tällöin, jos a b c d (mod n), (3.18) niin P( a b ) P( c ) (mod n), (3.19) d mikäli kongruenssi (3.19) on määritelty. LUKUTEORIA 34 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Lause 12 Olkoot n Z 2 ja a/b, c/d Q sekä rationaalifunktio R(x) Q(x). Tällöin, jos a b c (mod n), (3.20) d niin mikäli kongruenssi (3.21) on määritelty. R( a b ) R( c ) (mod n), (3.21) d LUKUTEORIA 35 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki 4 20 3 = 22 5 1 3 1 0 (mod 2 5); (3.22) 20 0 (mod 20), (3.23) 3 missä p 1 = 2, p 2 = 5, q 1 = 3 ja r 1 = 2, r 2 = 1, v 1 = 1. Esimerkki 5 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 = 50 4! 0 (mod 52 ). (3.24) LUKUTEORIA 36 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki 6 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 25 7 (mod 5 3 ). (3.25) Esimerkki 7 Olkoon p P, p 5, tällöin 1 p + 5 1 5 (mod p). (3.26) Huomaa, että kongruenssi (3.26) ei ole määritelty (mod 5). LUKUTEORIA 37 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Perusteita Esimerkki 8 Olkoon p P, tällöin joten ( ) 2p p Lause 13 (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) (p 1)(p 2) 2 1 = (p 1)! (mod p), (3.27) (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = 2 2 (mod p). (3.28) (p 1)! Kongruenssi (mod n) on ekvivalenssirelaatio joukossa { c d Q d n}. LUKUTEORIA 38 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Määritelmä 12 Olkoot n Z 2 ja a/b Q annettu ja n b. Tällöin a/b = { c d Q c d a b (mod n)} (3.29) on edustajan a/b määräämä jakojäännösluokka (mod n) ja Q n = {a/b a/b Q, n b}. (3.30) Asetetaan vielä laskutoimitukset (binary operations) { x + y = x + y, x y = xy (3.31) aina, kun x, y Q n. LUKUTEORIA 39 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Lause 14 a) Laskutoimitukset { + : Q n Q n Q n, (3.32) ovat hyvinmääriteltyjä (well defined) eli binäärioperaatiot ovat funktioita. b). Nolla-alkio (zero) on 0 = { ln l, d Z, d n} (3.33) d ja vasta-alkio x = x x Q n. (3.34) LUKUTEORIA 40 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n c). Ykkösalkio (unity) ja käänteisalkio (inverse) 1 = { d + ln l, d Z, d n} (3.35) d x 1 = x 1 x, x 1 Q n. (3.36) d) Kolmikko (Q n, +, ) muodostaa ykkösellisen kommutatiivisen renkaan. LUKUTEORIA 41 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Lause 15 Olkoon n Z 2. Tällöin kuvaus F (a/b) = a ( b ) 1 F : Q n Z n on rengasisomorfia eli Q n = Zn. (3.37) Todistusta EI kysytä kokeessa. LUKUTEORIA 42 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Todistus: Laskemalla saadaan 1) ( a F b + c ) ( ) ad + bc = F = d bd ad + bc ( bd ) 1 = (ad + bc) ( b ) 1 ( d ) 1 = a ( b ) 1 ( ) 1 + c d = ( ) ( ) a c F + F, (3.38) b d joten F on ryhmien (Q n, +) ja (Z n, +) välinen homomorfia. LUKUTEORIA 43 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 2) F ( a b c ) ( ) ac = F = d bd 3) ac ( bd ) 1 ( ) 1 ( ) 1 = a b c d = ( ) ( ) a c F F. (3.39) b d F ( 1 ) = F ( ) 1 = 1 ( 1 ) 1 = 1. (3.40) 1 Kohtien 1),2) ja 3) nojalla F : Q n Z n on rengasmorfismi. LUKUTEORIA 44 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 4) Asetetaan nyt missä b n, joten F ( ) a = 0, (3.41) b a ( b ) 1 = 0. (3.42) Kerrotaan 3.42 puolittain alkiolla b, jolloin saadaan a ( b ) 1 b = 0 b a = 0 a 0 (mod n) a b = 0. (3.43) Siten F : Q n Z n on injektio. LUKUTEORIA 45 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n 5) Olkoon vielä k Z n. Tällöin, jos valitaan a = k, b = 1, niin F ( ) a = F b Siispä F : Q n Z n on surjektio. Kohtien 4) ja 5) nojalla F : Q n Z n on bijektio ja edelleen rengasisomorfia. ( ) k = k ( 1 ) 1 = k. (3.44) 1 LUKUTEORIA 46 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Rengas Q n Siten Q n ja Z n voidaan samaistaa/can be identified, jolloin merkitään Q n a/b = a(b) 1 Z n. (3.45) ESIM: Lasketaan 2/3 renkaassa Q 7. Aluksi saadaan Valitaan l = 4, jolloin 2 3 2 + l 7 3 (mod 7) l Z. (3.46) Täten Toisaalta Z 7 :ssa. 2 3 2 + 4 7 = 10 3 (mod 7). (3.47) 3 2/3 = 3. (3.48) 2 3 1 = 2 5 = 10 = 3. (3.49) LUKUTEORIA 47 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Lemma 1 Olkoon G ryhmä ja a G. Tällöin kuvaukset ι : G G, ι(x) = x 1 (3.50) ja ovat bijektioita. τ : G G, τ(x) = ax (3.51) Todistus. Kohta (3.50): Asetetaan ι(x 1 ) = ι(x 2 ) x 1 1 = x 1 2, (3.52) josta saadaan x 1 = x 2. Siten ι on injektio. Olkoon sitten y G annettu. Valitaan nyt x = y 1, jolloin Täten ι on surjektio ja edelleen bijektio. ι(x) = ι(y 1 ) = (y 1 ) 1 = y. (3.53) LUKUTEORIA 48 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Seuraus 1 Olkoon äärellinen ryhmä. Tällöin ι(h) = H eli H = {a 1,..., a m } (3.54) {a1 1,..., a 1 m } = {a 1,..., a m }. (3.55) Edelleen, olkoon a H annettu. Tällöin τ(h) = H eli {a a 1,..., a a m } = {a 1,..., a m }. (3.56) LUKUTEORIA 49 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Wilsonin lause Lause 16 WILSONIN LAUSE: Olkoon p P. Tällöin Esimerkki 9 Olkoon H = Z 11, missä (p 1)! 1 (mod p). (3.57) 1 1 = 1, 2 1 = 6, 3 1 = 4,, 4 1 = 3, 5 1 = 9, 6 1 = 2, 7 1 = 8, 8 1 = 7, 9 1 = 5, 10 1 = 10. (3.58) Siten 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = 1 2 2 1 3 3 1 5 5 1 7 7 1 10 = 1. (3.59) LUKUTEORIA 50 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Lause 17 Olkoon p P 3. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 0 (mod p). (3.60) p 1 Todistus. Lemman 3.50 nojalla ι(z p) = Z p eli Täten {1 1,..., p 1 1 } = {1,..., p 1}. (3.61) p 1 a 1 = b, (3.62) a=1 p 1 b=1 Seuraavassa käytetään samaistusta (3.45). LUKUTEORIA 51 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Yhtälön V.P. (vasen puoli)= 1/1 + 1/2 +... + 1/p 1 = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1) = 1 + 1/2 +... + 1/(p 1). (3.63) Toisaalta Yhtälön O.P. (oikea puoli)= 1 +... + p 1 = 1 + 2 +... + p 1 = p(p 1)/2 = 0, (3.64) missä p p(p 1)/2, sillä p 3. Ekvivalenssiluokkien (3.63) ja (3.64) identtisyydestä seuraa edustajien välinen kongruenssi (3.60). LUKUTEORIA 52 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Euler-Fermat Lause 18 Olkoot a Z, m Z 2 annettu ja a m. Tällöin Seurauksena saadaan Lause 19 a ϕ(m) 1 (mod m). (3.65) FERMAT N PIKKULAUSE: Olkoot a Z, p P annettu ja p a. Tällöin a p 1 1 (mod p). (3.66) LUKUTEORIA 53 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Euler-Fermat n todistus Todistus. Asetetaan τ(x) = a x. Koska a Z m, niin Lemman 3.50 nojalla τ(z m) = Z m eli {a a 1,..., a a ϕ(m) } = {a 1,..., a ϕ(m) }. (3.67) Siten a a 1 a a ϕ(m) = a 1 a ϕ(m) (3.68) a ϕ(m) a 1 a ϕ(m) = a 1 a ϕ(m), (3.69) josta a ϕ(m) = 1. (3.70) LUKUTEORIA 54 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Todistetaan seuraavaksi eräs Wilsonin lauseen yleistys. Lause 20 Olkoot p P 3 ja r Z +. Tällöin Todistus. Olkoon a Z p r p r 1 k=1,p k k 1 (mod p r ). (3.71) oma käänteisalkionsa eli a = a 1 a 2 = 1. (3.72) LUKUTEORIA 55 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Siten a 2 1 = 0, (3.73) josta (a 1)(a + 1) = l p r, (3.74) jollakin l Z. Välttämättä p a 1 tai p a + 1. (3.75) Jos p a 1 ja p a + 1, (3.76) niin p 2a p a. (3.77) Mutta a p, joten joudutaan ristiriitaan. LUKUTEORIA 56 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Tarkastellaan siis tapaukset ja Tapaus 1. Yhtälön (3.74) nojalla Tapaus 2. Yhtälön (3.74) nojalla 1.) p a 1 ja p a + 1 (3.78) 2.) p a 1 ja p a + 1. (3.79) p r a 1 a = 1. (3.80) p r a + 1 a = 1. (3.81) Siten a Z pr on oma käänteisalkionsa täsmälleen silloin, kun a = ±1. LUKUTEORIA 57 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Edelleen missä joukon alkioille pätee Täten Z pr = {1, 1} B, (3.82) B = {b 1,..., b m }, m = ϕ(p r ) 2, (3.83) b i 1 bi, i = 1,..., m. (3.84) B = {c 1,..., c m/2, c 1 1,..., c m/2 1 } (3.85) ja siten a Z p r a = 1( 1)c 1 c 1 1 c m/2 c m/2 1 = 1. (3.86) LUKUTEORIA 58 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Esimerkki 10 3 2 = p r. Jolloin 1 2 4 5 7 8 1 (mod 3 2 ). (3.87) LUKUTEORIA 59 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) Sovelluksia Wolstenholmen lause WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin Todistetaan myöhemmin. 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (3.88) LUKUTEORIA 60 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Tiedetään, että kun p = 5, 13, 563,... (Wilsonin alkulukuja) ja (p 1)! 1 (mod p 2 ), (3.89) a p 1 1 (mod p 2 ), (3.90) kun p = 1093, 3511,... Mutta yleisellä tasolla kohtien (3.89) ja (3.90) jakojäännöksien (mod p 2 ) käyttäytymistä ei tunneta. LUKUTEORIA 61 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Ehdon (3.90) tutkiminen on ollut tärkeää liittyen Fermat n suuren lauseen todistusyrityksiin, sillä jos p P 3 ja niin 2 p 1 1 (mod p 2 ), (3.91) x p + y p z p x, y, z Z +. (3.92) Tosin Andre Wiles [Annals of Mathematics 141 (1994)] on todistanut, että (3.92) pätee ilman lisäoletusta (3.91). Wilesin todistus perustuu mm. elliptisten käyrien ominaisuuksiin. LUKUTEORIA 62 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Olkoon p P 3, tällöin Pikku Fermat n nojalla tiedetään, että 2 p 1 1 = l p, (3.93) jollakin l Z, joten on luonnollista tutkia Fermat n osamääriä Lause 21 Olkoon p P 3. Tällöin q p (2) = 2p 1 1 p Z. (3.94) q p (2) = 2p 1 1 p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 p 2 (mod p). (3.95) Huomaa, että (3.95) on yhtäpitävää ehdon ( 2 p 1 1 + p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 kanssa. (mod p 2 ) (3.96) LUKUTEORIA 63 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Todistus. Aluksi binomikaavalla saadaan p ( ) p p 1 ( ) p 2 p = = 2 +, (3.97) i i jossa tuloksen (1.30) nojalla i=0 i=1 jollakin h i Z aina, kun i = 1,..., p 1. Edelleen eli h i = ( ) p = ph i, (3.98) i (p 1)(p 2) (p i + 1) i! ( 1) i 1 (i 1)! i! = ( 1)i 1 i (mod p) (3.99) h i = ( 1)i 1 + m i p, (3.100) i jollakin m i = a/b Q, p b. LUKUTEORIA 64 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Siten (3.98) ja (3.100) antavat ( ) ( ) p ( 1) i 1 = p + m i p ( 1) i 1 p i i i Yhtälöiden (3.97) ja (3.101) nojalla ( 2 p 2 + p 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 ) p 1 Toisaalta tuloksen (3.88) nojalla. (mod p 2 ). (3.101) (mod p 2 ). (3.102) 1 1 2 + 1 3... + 1 p 2 1 p 1 = ( 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 ( 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 2 + 1 ) p 1 ( 2 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) (mod p 2 ) (3.103) p 2 LUKUTEORIA 65 / 94

Rationaaliluvun jaollisuus (mod n) (p 1)! ja a p 1 (mod p 2 )/EI kokeeseen Yhdistämällä (3.102) ja (3.103) saadaan ( 2 p 2 + 2p 1 + 1 3 + 1 5 +... + 1 ) p 2 missä p 2, joten (3.96) seuraa. Esimerkki 11 Olkoon p = 7. Nyt (mod p 2 ), (3.104) 2 p 1 = 2 6 = 1 + 63 = 1 + 7 9 (3.105) ( 1 + 7 1 + 1 3 + 1 ) (mod 7 2 ). (3.106) 5 Huomaa, että 1/3 = 5 ja 1/5 = 3 (mod 7). LUKUTEORIA 66 / 94

Polynomien kongruenssi Määritelmä 13 Olkoot n Z 2 ja jolloin asetetaan P(x) = Q(x) = n p k x k Q[x], k=0 n q k x k Q[x], k=0 P(x) Q(x) (mod n) p k q k (mod n) k = 0, 1,..., n. (4.1) Seuraavassa käytetään jakojäännösluokkia a Z n. Huomaa, että kun p P, niin Z p on kunta. LUKUTEORIA 67 / 94

Polynomien kongruenssi Määritelmä 14 Olkoon n Z 2 ja a(x) = a 0 + a 1 x +... + a d x d Z[x]. Kuvaus r n (a 0 + a 1 x +... + a d x d ) = a 0 + a 1 x +... + a d x d (4.2) on reduktio Lause 22 (mod n). r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), Reduktio on rengasmorfismi. r n : Z[x] Z n [x], r n (a(x)) = a(x), LUKUTEORIA 68 / 94

Polynomien kongruenssi Lause 23 a 0 +... + a d x d = b 0 +... + b d x d (4.3) a 0 +... + a d x d b 0 +... + b d x d (mod n) (4.4) Lause 24 WOLSTENHOLMEN LAUSE: Olkoon p P 5. Tällöin 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 0 (mod p2 ). (4.5) II Todistus. Tämä todistus nojautuu Fermat n pikkulauseeseen 19. LUKUTEORIA 69 / 94

Tarkastellaan polynomeja Polynomien kongruenssi G(x) = (x 1)(x 2) (x (p 1)) Z[x]; (4.6) ja niiden reduktioita (mod p) Välittömästi Fermat n pikkulauseeseen 19 nojalla F (x) = x p 1 1 Z[x] (4.7) G(x), F (x) Z p [x]. (4.8) F (j) 19 = 0, j = 1, 2,..., p 1. (4.9) Täten F (x) jakaantuu polynomirenkaassa Z p [x] tekijöihin seuraavasti F (x) = (x 1)(x 2) (x p 1) = G(x) (4.10) polynomialgebran tulosten nojalla (Katso: Merkintöjä ja algebrallisia rakenteita). LUKUTEORIA 70 / 94

Polynomien kongruenssi Kirjoitetaan G(x) auki polynomiksi p 1 p 1 G(x) = (x j) = ( 1) i W i x i = (4.11) j=1 i=0 x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W p 1 = 1. Tuloksen (4.10) nojalla x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... +W 2 x 2 W 1 x + W 0 x p 1 1 (mod p). (4.12) eli W k 0 (mod p), k = 1, 2,..., p 2, W 0 1 (mod p). (4.13) LUKUTEORIA 71 / 94

Polynomien kongruenssi Siirrytään takaisin polynomirenkaaseen Z[x] ja aukaistaan (4.11): (x 1)(x 2) (x (p 2))(x (p 1)) = (4.14) x p 1 W p 2 x p 2 + W p 3 x p 3... + W 2 x 2 W 1 x + (p 1)!. Sijoitetaan x = p yhtälöön (4.14), jolloin (p 1)! = p p 1 W p 2 p p 2 + W p 3 p p 3... + W 2 p 2 W 1 p + (p 1)!. (4.15) Tällöin saadaan W 1 = W 2 p W 3 p 2 +... W p 2 p p 3 + p p 2. (4.16) Koska p 5, niin p W 2 ja siten p 2 W 1. (4.17) LUKUTEORIA 72 / 94

Polynomien kongruenssi Toisaalta Siten W 1 = p 1 p 1 j=1 i=1,i j i = 2 3 (p 1) + 1 3 4 (p 1) +... +1 2 (p 3) (p 1) + 1 2 (p 2) = ( (p 1)! 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 ). (4.18) p 1 p 2 1 + 1 2 + 1 3 +... + 1 p 1 (4.19) LUKUTEORIA 73 / 94

Polynomien kongruenssi Esimerkki 12 p = 5. 4 G(x) = (x j) = j=1 x 4 W 3 x 3 + W 2 x 2 W 1 x + W 0, W 3 = 4 + 3 + 2 + 1, W 2 = 3 4 + 2 4 + 1 4 + 2 3 + 1 3 + 1 2, W 1 = 2 3 4 + 1 3 4 + 1 2 4 + 1 2 3, W 0 = 4!. (4.20) LUKUTEORIA 74 / 94

Polynomien kongruenssi ja ( W 1 = 50 = 4! 1 + 1 2 + 1 3 + 1 ), 5 2 4! 4 ( 5 2 1 + 1 2 + 1 3 + 1 ). (4.21) 4 Esimerkki 13 Tapauksessa p = 3 lauseen väite ei päde kuten nähdään seuraavasta: G(x) = 2 (x j) = x 2 W 1 x + W 0 = x 2 3x + 2, j=1 ( W 1 = 3 = 2! 1 + 1 ) (, 3 2 1 + 1 ). (4.22) 2 LUKUTEORIA 75 / 94

Polynomien kongruenssi Terävöitetään Esimerkin 8 tulosta. Esimerkki 14 Olkoon p P p 5, tällöin ( ) 2p (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = 2 2 (mod p 3 ). (4.23) p (p 1)! Todistus. Kerrataan aluksi, että W 1 = v 1 p 2 ja W k = v k p, missä v k Z aina, kun k = 1,..., k 2. Sijoitetaan nyt x = 2p yhtälöön (4.14), jolloin (2p 1)(2p 2) (p + 2)(p + 1) = (2p) p 1 W p 2 (2p) p 2 +... + W 2 (2p) 2 W 1 2p + (p 1)! = (2p) p 1 v p 2 (2) p 2 p p 1 +... + v 2 (2) 2 p 3 v 1 2p 3 + (p 1)! (p 1)! (mod p 3 ). (4.24) LUKUTEORIA 76 / 94

Polynomien kongruenssi Lause 25 Olkoon p P, tällöin polynomirenkaassa Q[x]. (x + 1) p x p + 1 (mod p). (4.25) Todistus. Binomisarjan ja Lauseen 4.5 nojalla (x + 1) p = p k=0 ( ) p x k (4.26) k x p + 0 x p 1 + 0 x p 2 +... + 0 x + 1 = x p + 1 (mod p). LUKUTEORIA 77 / 94

Polynomien kongruenssi Lause 26 Olkoot n Z 2 ja f (x), g(x), h(x) Q[x] ja g(x) h(x) (mod n). (4.27) Tällöin f (g(x)) f (h(x)) (mod n). (4.28) LUKUTEORIA 78 / 94

Polynomien kongruenssi Lause 27 Olkoot p P ja r N. Tällöin polynomirenkaassa Q[x]. (x + 1) pr x pr + 1 (mod p). (4.29) Todistus. Induktiolla. r = 1. Lause 25. Induktioaskeleessa lasketaan V.P.= (x + 1) pr+1 = ((x + 1) pr ) p (x pr + 1) p (4.30) (x pr ) p + 1 = x pr+1 + 1 (mod p) (4.31) =O.P. Kohdassa (4.30) sovellettiin induktio-oletusta ja Lausetta 26 sekä kohdassa (4.30) Lausetta 25. LUKUTEORIA 79 / 94

Polynomien kongruenssi Seurauksena saadaan Lause 28 Olkoot p P ja r Z +. Tällöin ( ) p r 0 (mod p) k = 1,..., p r 1. (4.32) k Lause 27 voidaan yleistää kahdenmuuttujan polynomeille. Lause 29 Olkoot p P ja r N. Tällöin polynomirenkaassa Q[x, y]. (x + y) pr x pr + y pr (mod p) (4.33) LUKUTEORIA 80 / 94

Polynomien kongruenssi Ja edelleen useanmuuttujan tapaukseen. Lause 30 Olkoot p P ja r N. Tällöin (x 1 +... + x m ) pr x pr 1 +... + x pr m (mod p) (4.34) polynomirenkaassa Q[x 1,..., x m ]. LUKUTEORIA 81 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Määritelmä 15 Olkoon p P ja A = a b = c pr, p cd. (4.35) d Tällöin asetetaan v p (A) = r, (4.36) joka on luvun A eksponentiaalinen p-valuaatio. Siten, jos v p (A) 0, niin p b ja jos p A, niin p b. LUKUTEORIA 82 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Sovelletaan Lausetta 30 antamalle muuttujille rationaalilukuarvot. Lause 31 Olkoot p P, r N ja A i Q, v p (A i ) 0 aina, kun i = 1,..., m. Tällöin (A 1 +... + A m ) pr A pr 1 +... + Apr m (mod p). (4.37) Huomaa, että (4.37) on Pikku-Fermat n yleistys. LUKUTEORIA 83 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Lucasin binomikerroinlause Lause 32 Olkoot p P, n, k N sekä n = i 0 n i p i, k = i 0 k i p i, 0 k i, n i p 1. (4.38) Tällöin ( ) n k i 0 ( ni k i ) (mod p). (4.39) LUKUTEORIA 84 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Lucasin binomikerroinlauseen todistus Huomautus 6 Olkoot p P ja n N. Tiedetään, että p-kantakehitelmä n = i 0 n i p i, 0 n i p 1 (4.40) on yksikäsitteinen. Lauseen 32 Todistus: Aluksi huomataan, että (1 + x) n = (1 + x) n 0 (1 + x) pn 1 (1 + x) p2 n2 (1 + x) n 0 (1 + x p ) n 1 (1 + x p2 ) n2 (mod p) (4.41) Lauseen 27 nojalla. Sama binomikehitelmillä LUKUTEORIA 85 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin n 0 ( n0 i 0 i 0 =0 p 1 ( n0 i 0 =0 i 0 ) x i 0 ) x i 0 0 j 0 i j p 1 n k=0 n 1 ( n1 i 1 i 1 =0 p 1 ( n1 ( ) n x k k ) x pi 1 ) x pi 1 n 2 ( n2 i 2 i 2 =0 p 1 ( n2 i 1 i 1 =0 i 2 =0 ( )( )( n0 n1 n2 i 0 i 1 i 2 i 2 ) x p2 i2 = ) x p2 i2 = ) x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +... (mod p). (4.42) LUKUTEORIA 86 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Tutkitaan V.P. polynomin termiä x k ja sen O.P. polynomin vastintermiä x i 0+i 1 p+i 2 p 2 +..., joka saadaan, kun k = k 0 + k 1 p + k 2 p 2 +... = i 0 + i 1 p + i 2 p 2 +... (4.43) Luvun k yksikäsitteisen p-kantaesityksen nojalla havaitaan, että i 0 = k 0, i 1 = k 1,.... Täten vertaamalla kongruenssin (4.42) V.P. ja O.P. termejä x k, saadaan kongruenssi ( ) n ( ) ni (mod p). (4.44) k k i i 0 LUKUTEORIA 87 / 94

Polynomien kongruenssi Sovelluksia lukujen kongruensseihin Esimerkki 15 p = 7, n = 11 = 4 + 1 7, k = 5 = 5 + 0 7, joten ( ) ( )( ) ( )( ) 11 n0 n1 4 1 = = 0 1 = 0 5 5 0 (mod 7). (4.45) Esimerkki 16 k 0 k 1 ( 3 100 + 2 3 10 ) + 2 3 10 2 (mod 3) (4.46) + 2 LUKUTEORIA 88 / 94

Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia Esimerkki 17 Lähdetään identiteetistä joka kirjoitetaan muotoon n j=0 (1 + x) n (1 + x) m = (1 + x) n+m, (5.1) ( ) n x j j m l=0 Nyt Caychyn kertosäännöllä n+m ( )( n m j l k=0 j+l=k ( ) m x l = l ) x k = n+m k=0 ( n + m n+m k=0 k ( n + m k ) x k. (5.2) ) x k, (5.3) LUKUTEORIA 89 / 94

Summausmenetelmiä Polynomialgebran sovelluksia josta j+l=k,0 j,l k Edelleen, asettamalla n = m = k, saadaan m j=0 ( )( ) ( ) n m n + m = j l k ( )( ) n m = j m j ( ) 2m m (5.4) (5.5) eli m j=0 ( ) m 2 = j ( ) 2m. (5.6) m LUKUTEORIA 90 / 94

Teleskooppisumma ja teleskooppitulo Summausmenetelmiä Teleskoopit n (a i+1 a i ) = a n+1 a 0 (5.7) i=0 n i=0 a i+1 a i = a n+1 a 0 (5.8) soveltuvat hyvin muunmuassa seuraavantyyppisten tulosten johtamiseen. n k = k=0 n k 2 = k=0 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 (5.9) (5.10) n ( ) n(n + 1) 2 k 3 = (5.11) 2 k=0 LUKUTEORIA 91 / 94

Summausmenetelmiä Teleskoopit k=0 k=0 n (2k + 1) = (n + 1) 2 (5.12) k=0 Johdetaan (5.12) valitsemalla a k = k 2 ja lähtemällä identiteetistä a k+1 a k = (k + 1) 2 k 2 = 2k + 1. (5.13) Otetaan summat (5.13) molemminpuolin, jolloin n n (2k + 1) = (a k+1 a k ) = a n+1 a 0 = (n + 1) 2. (5.14) Edelleen josta saadaan (5.9). n n 2 k + 1 = (n + 1) 2, (5.15) k=0 k=0 LUKUTEORIA 92 / 94

Summausmenetelmiä Teleskoopit Valitsemalla a k = k 3 ja teleskopoimalla identiteettiä a k+1 a k = (k + 1) 3 k 3 = 3k 2 + 3k + 1 (5.16) päästään tulokseen (5.10). JNE. LUKUTEORIA 93 / 94

Summausmenetelmiä Teleskoopit LUKUTEORIA 94 / 94