Luento 14: Ääniaallot ja kuulo

Luento 14: Ääniaallot ja kuulo Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot

Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot

Miksi pikajohdanto? Osa ääniaaltojen käsittelystä perustuu elastisuusteoriaan Seuraavat lähinnä taustoittamaan luennon varsinaista asiaa Elastisuusteoriaa tutkitaan tarkemmin käsiteltäessä fluidien mekaniikkaa eli kontinuumimekaniikkaa Tärkeintä tässä vaiheessa ymmärtää käsitteet

Elastisuusteoria Ideaalinen jäykkä kappale on muotoaan muuttamaton Todellisuudessa kaikki kappaleet deformoituvat jonkin verran kun niihin kohdistetaan voimia Elastisuusominaisuuksia laskettaessa voimia kuvataan jännityksellä (stress) = Voima pinta-alayksikköä kohden Kappaleen deformoitumista kuvataan venymällä (strain) Kun jännitys on riittävän pieni, jännitys ja venymä riippuvat lineaarisesti toisistaan Hooken laki (ideaalinen jousi!) Verrannollisuuskerroin on kimmokerroin (elastic modulus)

Hooken laki Kokeellinen havainto joka pätee usean erityyppisen jännityksen yhteydessä Jännitys voidaan jakaa luonteensa puolesta normaali- leikkausja kiertojännityksiin Toisaalta jännitys voidaan jakaa ulottuvuudensa perusteella aksiaaliseen, taso- tai tilavuusjännityksiin Riippuen tapauksesta jännitystä ja Hooken lain mukaista kimmokerrointa kutsutaan eri nimityksillä

Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kaksi sauvaa ovat muuten identtisiä, mutta toinen on pituudeltaan kaksinkertainen. Kumpaankin kohdistuu akselin suuntainen vetävä voima F. Verrattuna L-pituiseen sauvaan, 2L-pituisen sauvan F F F F 1. Jännitys ja venymä ovat suurempia 2. Jännitys ja venymä ovat pienempiä 3. Jännitys on sama, venymä on pienempi 4. Jännitys on sama, venymä on suurempi 5. Jännitys ja venymä ovat yhtäsuuria

Jännitys Jos kappaletta vedetään molemmista päistä samansuuruisella voimalla, kohdistuu sen poikkipinta-alaan aksiaalinen normaalijännitys = venytysjännitys (tensile stress) = F? A Jännitys on skalaarisuure (yksikkö 1 Pa = 1 N m 2 )

Hooken laki Kappaleen pituuden suhteellinen venymä = l l 0 l 0 = l l 0 Huomaa, että kappale venyy kaikkialta yhtä paljon Hooken laki saadaan muotoon Y = =) = Y missä Y on kimmokerroin (Young s modulus) Kimmokertoimesta käytetään usein myös symbolia E Samat yhtälöt pätevät, jos jännitys puristusjännitystä (compressive stress) Jännityksen ja venymän etumerkit muuttuvat

Suppeumakerroin Kun kappaletta venytetään, niin sen pituus l kasvaa mutta samalla se kapenee sivusuunnassa (leveys w) Muutoksen verrannollisia toisiinsa: w w = v l l v ns. suppeumakerroin tai Poissonin luku (Poisson s ratio)

Paine Väliaineen kanssa kontaktissa olevan kappaleen jokaiseen pinta-alkioon da kohdistuu pintaa vastaan kohtisuora voima df? = p da (Pascalin laki) Suuretta p kutsutaan paineeksi (pressure) p = df? da Huomaa! Näissä kalvoissa paine merk. p ja liikemäärä merk. p!

Tilavuuskimmokerroin Hydrostaattinen paine Väliaineen paineen aiheuttama jännitys Paineen yksikkö sama kuin jännityksen Hydrostaattisessa paineessa kappaleen tilavuusvenymä V = V V 0 V 0 = V V 0 eli tilavuuden muutos (bulk strain) Kun Hooken laki on voimassa, pätee p = B V eli missä B > 0 on ns. tilavuuskimmokerroin (bulk modulus).

Puristuvuuskerroin Miinusmerkki yhtälössä osoittaa, että paineen kasvua vastaa tilavuuden pieneminen Oletetaan B vakioksi kun tarkastellaan pieniä paineen muutoksia Puristuvuuskerroin (compressibility) määritellään tilavuuskimmokertoimen käänteisluvuksi k = 1 B = V /V 0 p = 1 V 0 V p Muita merkintöjä k = K = apple

Konseptitesti 2 Tehtävänanto Kaksi sauvaa ovat muuten identtisiä, mutta toinen on pituudeltaan kaksinkertainen ja paksumpi. Kumpaankin kohdistuu akselin suuntainen vetävä voima F. Verrattuna L-pituiseen sauvaan, 2L-pituisen sauvan F F F F 1. Jännitys ja venymä ovat suurempia 2. Jännitys ja venymä ovat pienempiä 3. Jännitys on sama, venymä on pienempi 4. Jännitys on sama, venymä on suurempi 5. Jännitys ja venymä ovat yhtäsuuria

Luennon sisältö Pikajohdanto elastisuusteoriaan Ääniaallot

Ääniaallot Tähän asti pitkittäisen aallot esitettiin hiukkasten siirtyminä Ääniaallot ilmassa (tai muussa väliaineessa) eteneviä pitkittäisiä aaltoja Ääniaaltoja kätevämpi esittää paineen vaihteluina Infraäänet Alle 20 Hz taajuudet Ultraäänet Yli 20 khz taajuudet Kuuloalue Ihmiskorvan aistima taajuusalue: 20-20 000 Hz Tarkastellaan sinimuotoista ääniaaltoa, joka etenee x-akselin suuntaan. Kuvataan hiukkasen y-suuntaista poikkeamaa aaltofunktiolla y(x, t) =A sin(!t kx)

Pitkittäinen aalto kiinteässä aineessa Tarkastellaan pientä tangon osaa (pituus dx) Osan liikeyhtälö F(x + dx) dx F(x) = @F @x = y(x, t) A@2 @t 2 Kiinteän aineen muodonmuutos l. deformaatio F = A = YA = YA ` `0 `0 @ YA @ = A @2 y @x @x @t 2 = YA @y @x =) @2 y @x = @ 2 y =) 2 Y @t 2 v = s Y! Pitkittäinen aaltoliike! poikkeama x-akselin suuntainen Intensiteetti I = 1 p Y! 2 A 2 2

Pitkittäinen aalto kaasussa Aallon nopeus riippuu väliaineesta ja sen ympäristöstä Johdetaan väliaineessa etenevän pitkittäisen aaltoliikkeen nopeus Tarkastellaan väliaineella täytettyä sylinteriä Toisessa päässä on liikkuva mäntä Väliaine on levossa (paine p) t = 0: mäntä lähtee liikkumaan nopeudella v y

Pitkittäinen aalto väliaineessa Häiriö etenee väliaineessa vakionopeudella v Mäntä etenee nopeudella v y Piste P kohdassa x = vt ajan hetkellä t: Vasemmalla puolella väliaine liikkuu nopeudella v y Oikealla puolella on levossa Liikkuvan väliaineen massa m = Avt

Väliaineen liikemäärä Liikkuvaan väliaineosaan vaikuttaa voimat (p + p)a männän puolelta pa levossa olevan väliaineen puolelta Nettovoima pa aiheuttaa ajan hetkeen t mennessä impulssin J y = pat Väliaineella ei alussa liikemäärää p y = p f p i = p f = mv y = Avt v y

Paine-ero p Esitetään paine-ero p väliaineen ominaisuuksien avulla Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä B = p V /V 0 =) p = B V V 0 = B Av yt V 0 Avt = B v y v Impulssi on siis J y = B v y v At

Pitkittäisen aallon nopeus väliaineessa Koska J y = p y (p y liikemäärä!) niin J y = B v y v At = p y = Avt v y =) s v 2 = B =) v = B

Konseptitesti 3 Tehtävänanto Tarkastellaan ääniaaltoa ja tarkemmin siihen liittyvää ilmamolekyylien paikallista tihentymää. Mitä tapahtuu tihentymässä? 1. Ilmamolekyylit siirtyvät tasapainopisteestä maksimimääränsä, aallon kulkusuunnassa 2. Ilmamolekyylit siirtyvät tasapainopisteestä maksimimääränsä, aallon kulkusuuntaa vasten 3. Ilmamolekyylit siirtyvät tasapainopisteestä maksimimääränsä, kohtisuorasti aallon kulkusuuntaan nähden 4. Ilmamolekyylit eivät siirry ollenkaan tasapainoasemastaan

Painefluktuaatiot Johdetaan funktio väliaineen paineen fluktuaatioille Merkitään painevaihtelua p(x, t):llä = paikallisen ja ulkoisen keskiarvopaineen erotus Väliainesylinterin lepopituus dx, poikkipinta-ala S Sylinterin tilavuus muuttuu paikallisesti aallon edetessä dv (x, t) =Sy 2 Sy 1 = S y(x + dx, t) y(x, t) y 1 ja y 2 sylinterin päiden siirtymät Tilavuuden suhteellinen muutos dv V = S [y(x + dx, t) y(x, t)] Sdx = @y(x, t) @x

Painefluktuaatiofunktio Tilavuuskimmokertoimen määritelmästä B = p(x, t) dv /V Ratkaistaan painefluktuaatiofunktio p(x, t) p(x, t) = B dv V = B @y(x, t) @x

Paineamplitudi Sijoitetaan sinimuotoinen aaltofunktio paineen lausekkeeseen @y(x, t) p(x, t) = B = BkA cos(!t kx) @x Suurin paineen fluktuaatio paineamplitudi (pressure amplitude) p max = BkA

Ääniaallon intensiteetti Etenevän aallon intensiteetti = aallon kuljettaman energian aikakeskiarvo pinta-ala- ja aikayksikköä kohden W (x, t) P(x, t) I = = = St S F(x, t)vy (x, t) = hp(x, t)v y (x, t)i S Hiukkasten siirtymänopeus v y (x, t) = @y(x,t) @t, yhdistetään painefunktioon p(x, t) p(x, t)v y (x, t) =Bk!A 2 cos 2 (!t kx) =) I = Bk!A 2 cos 2 (!t kx) = 1 2 Bk!A2 koska cos 2 1 2

Intensiteetti ja paineamplitudi Käytetään yhtälöitä v = p B/ ja! = vk ( tiheys, v aallon nopeus, k aaltovektori) I = 1 2 Bk!A2 = 1 2!2 v 2 v A2 = 1 2 v!2 A 2 = 1 p B! 2 A 2 2 Paineamplitudin p max avulla I = 1 2 Bk!A2 = p2 max 2 p B

Konseptitesti 4 Tehtävänanto Kun ääniaallon paineamplitudi 4-kertaistuu taajuuden pysyessä muuttumattomana, mitä tapahtuu äänen intensiteetille? 1. Intensiteetti 16-kertaistuu 2. Intensiteetti 4-kertaistuu 3. Intensiteetti 2-kertaistuu 4. Intensiteetti ei muutu 5. Vastaus riippuu äänen taajuudesta

Desibeliasteikko Eri taajuisilla äänillä Sama paineamplitudi p max Eri siirtymäamplitudi A! Ääniaaltoja kätevämpi kuvata painevaihteluina Äänen intensiteetti Kuvataan desibeliasteikolla =(10 db) log I I 0 Suhteellinen asteikko, missä I 0 referenssi-intensiteetti I 0 = 10 12 W (= ihmisen kuulokynnys @ 1 khz)

Isotrooppinen äänilähde Pistemäinen, isotrooppinen lähde Emissio samanlainen joka suuntaan Äänen intensiteetti pienenee kääntäen etäisyyden neliöön verrannollisesti I 1/r 2 Lähteen emittoima teho P jakautuu r-säteiselle pallopinnalle I(r) = P 4 r 2

Esimerkki 1 Erään ääniaallon aiheuttamat painevaihtelut ilmassa ovat ±3.0 10 2 Pa. Mikä on kyseisen ääniaallon aiheuttama ilmamolekyylien maksimipoikkeama, jos äänen taajuus on 1 khz ja äänen nopeus 344 m s 1? p max = BkA =) A = pmax Bk. Ideaalikaasulle B ad = p 0, ilmalle = 1.4 ( lämpökapasiteettien suhde = liittyy kaasun termisiin ominaisuuksiin). Toisaalta k = 2 = 2 f v =) A = vpmax 2 f p 0 = 1.2 10 8 m.