Differentiaalimuodot

LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja jälkimmäinen komponentti v suuntaosa (tai suuntavektori). Kaikkien pisteen p vektoreiden joukkoa merkitään R n p. Joukkona siis R n p = {p} R n. Joukosta R n p saadaan vektoriavaruus, kun yhteenlasku ja luvulla kertominen määritellään (p; v) + (p; w) := (p; v + w) r (p; v) := (p; r v) kaikille v, w R n ja r R. Joukosta R n p saadaan edelleen sisätuloavaruus, kun vektoreille (p; v) ja (p; w) määritellään sisätulo ( (p; v) (p; w) ) := (v w). Huomaa, että yhteenlasku, luvulla kertominen ja sisätulo on määritelty vain samaan pisteeseen p kiinnitetyille vektoreille. Pisteeseen p kiinnitetyt vektorit havainnollistetaan pisteestä p pisteeseen p + v kulkevalla nuolella. Tässä havainnollistuksessa R n p samaistuu euklidiseen avaruuteen R n, ja piste p toimii vektoriavaruuden R n p origona. Joukossa A R n määritelty vektorikenttä on kuvaus F, joka liittää jokaiseen pisteeseen p A vektorin F (p) pisteessä p. Vektorikenttä on siis muotoa F (p) = ( p; (F 1 (p),..., F n (p)) ) oleva kuvaus A p A Rn p, missä F j : A R ovat reaaliarvoisia komponenttifunktioita. Vektorikenttien F ja G summafunktio F + G, sisätulofunktio (F G) sekä reaaliarvoisen funktion f ja vektorikentän F tulo f F määritellään tavanomaiseen tapaan: (F + G)(p) := F (p) + G(p), (F G)(p) := ( F (p) G(p) ), (f F )(p) := f(p) F (p). Määritelmä 2.1. Olkoot A R n ja 1 k n. Astetta k oleva differentiaalimuoto (tai lyhyesti (differentiaalinen) k-muoto) joukossa A on kuvaus ω, joka liittää jokaiseen pisteeseen p A alternoivan k-muodon ω(p) Λ k (R n p). Tapausta k = 0 tarvitaan myös joissakin tilanteissa: differentiaalinen 0-muoto joukossa A on yksinkertaisesti reaaliarvoinen funktio f : A R. 1 Viimeksi muutettu 3.11.2008. 12

2. DIFFERENTIAALIMUODOT 13 Määritelmä 2.2. Olkoot A R n ja 1 k, l n. Astetta k olevien differentiaalimuotojen ω ja η summa ω + η määritellään kaavalla (ω + η)(p) := ω(p) + η(p). Olkoot ω ja η differentiaalimuotoja, joiden asteet ovat k ja l. Differentiaalimuotojen ω ja η väkätulo ω η määritellään kaavalla (ω η)(p) := ω(p) η(p). Jos ω = f on 0-muoto (eli reaaliarvoinen funktio), määritellään väkätulo tavalliseksi tuloksi, (f η)(p) := f(p) η(p), jolloin siis f η on l-muoto, jolle ((f η)(p))(v 1,..., v l ) = f(p) η(p)(v 1,..., v l ), kun v 1,..., v l R n p. Esimerkki 2.3 (Määritelmä). Olkoot A R n avoin ja f : A R C 1 -funktio. Funktion f differentiaali df määritellään asettamalla (df(p))(v p ) := Df(p)v, missä Df on funktion derivaattakuvaus ja v p = (p; v) R n p. Siis df(p)(v p ) = j f(p) v j, kun v = (v 1,..., v n ) R n. Tällöin on 1-muoto alueessa A. Huomaa, että differentiaali- ja integraalilaskennan kursseilla [14] [17] reaaliarvoisen funktion derivaattakuvausta nimitetään differentiaaliksi. Ero on pieni (mutta merkittävä, sillä jatkossa vektorit halutaan kiinnittää pisteisiin, jolloin differentiaali pisteessä p operoi pisteen p vektoreihin): d nyt f(p)(p; v) = d DL1 f(p)v = d 1 DL2f(p; v). Esimerkki 2.4. (Erikoistapaus edellisestä: koordinaattidifferentiaalit dx j.) Olkoot x 1,..., x n : R n R kanoonisest koordinaattikuvaukset (projektiot koordinaattiakseleille), x j (u) = u j, kun u = (u 1,..., u n ) R n. Koska kuvaukset x j ovat lineaarikuvauksia, on Dx j (p) = x j kaikille p R n. Koordinaattikuvausten differentiaalit dx j ovat siis 1-muotoja, joille kun v = (v 1,..., v n ) R n ja v p = (p; v). dx j (p)(v p ) = x j (v) = v j, Lause 2.5. Olkoot A R n avoin ja f : A R C 1 -funktio. Tällöin df = j f dx j. Todistus. df(p)(v p ) = Df(p)v = n jf(p) v j = n jf(p) dx j (p)(v p ). Esimerkki 2.6. Olkoon X vektorikenttä alueessa A R n. Tällöin kaava ω X (v p ) := (X(p) v p ), kun v p R n p, määrittelee 1-muodon ω X alueessa A. Muoto ω X on vektorikentän X duaalimuoto.

2. DIFFERENTIAALIMUODOT 14 Esimerkki 2.7. Olkoot X ja Y vektorikenttiä alueessa A R 3 sekä ω X ja ω Y niiden duaalimuodot. Tällöin duaalimuotojen ω X ja ω Y ja väkätulo vastaa vektorikenttien X ja Y ristitulovektorikenttää seuraavalla tavalla: (ω X ω Y )(v p, w p ) = ( (X Y )(p) (v p w p ) ), kun v, w R 3 p. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi (kannattaa huomata, että bilineaarisuuden takia riittää osoittaa, että kaava on tosi kantavektoreille; ristitulo v p w p := v w). Lauseesta 1.20 saadaan välittömästi seuraava tulos: Lause 2.8. Olkoot A R n, 1 k n ja ω astetta k oleva differentiaalimuoto joukossa A. Tällöin on olemassa funktiot ω i1,...,i k : A R, missä 1 i 1 < i 2 < < i k n, siten, että ω = ω i1,...,i k dx i1 dx ik. i 1 < <i k Differentiaalimuotoa ω kutsutaan jatkuvaksi, C r -muodoksi tai C -muodoksi sen mukaan, ovatko kertoimet ω i1,...,i k jatkuvia, C r -funktioita tai C -funktioita. Tarkastellaan seuraavaksi muuttujanvaihtoa. Olkoot A R n ja B R m avoimia joukkoja sekä f : A B C 1 -kuvaus. Tällöin jokaiselle p A derivaattakuvaus Df(p) on lineaarikuvaus R n R m. Määritellään f : R n p R m f(p) asettamalla2 (2.1) f (v p ) := ( f(p); Df(p)v ), kun v p = (p; v) R n p. Kuvaus f määrittelee lineaarikuvauksen f : Λ k (R m f(p) ) Λk (R n p) määritelmän 1.6 mukaisesti: (f η p )(w 1,..., w k ) := η p (f (w 1 ),..., f (w k )), kun η p Λ k (R m f(p) ) ja w 1,..., w k R n p. Olkoon nyt ω k-muoto joukossa B. Määritellään f (ω) asettamalla 3 eli (f (ω))(p) := f (ω(f(p))) ( (f (ω))(p) ) (v 1,p,..., v k,p) = (ω(f(p)))(w 1,f(p),..., w k,f(p)), kun v j,p = (p; v j ) R n p, w j := Df(p)v j ja w j,f(p) := (f(p); w j ). Tällöin f (ω) on k-muoto joukossa A. Erikoistapaus: k = 1: ((f (ω))(p) ) (v p ) = (ω(f(p)))(w f(p)), kun v p = (p; v) R n p, w := Df(p)v ja w f(p) := (f(p); w). 2 Funktioon f liittyvästä kuvauksesta f käytetään englanninkielessä yleensä nimitystä pushforward. Joissakin kirjoissa käytetään merkintää T f ja nimitystä tangenttikuvaus. Tätä merkintää käyttäen ketjusääntö kaunistuu kovasti: jos myös g : B C on C 1 -kuvaus, niin T (g f) = T g T f. 3 Muuttujanvaihdosta ω f (ω) käytetään englanninkielessä nimitystä pullback tai inverse image, ranskassa transposée. Nimitys muuttujanvaihto on hieman epäkorrekti, koska tässä funktion f ei tarvitse olla diffeomorfismi.

2. DIFFERENTIAALIMUODOT 15 Lause 2.9. Olkoot A R n ja B R m avoimia joukkoja sekä f = (f 1,..., f m ): A B C 1 -kuvaus. Kun ω, ω 1 ja ω 2 ovat k-muotoja joukossa B, η on l-muoto joukossa B ja g : B R on jatkuva funktio, niin: (i) f (dy i ) = n jf i dx j, kun x 1,..., x n ovat koordinaattikuvaukset R n :ssä ja y 1,..., y m ovat koordinaattikuvaukset R m :ssä; (ii) f (ω 1 + ω 2 ) = f (ω 1 ) + f (ω 2 ); (iii) f (g ω) = (g f) f (ω); (iv) f (ω η) = f (ω) f (η). Todistus. (i) Suoraan määritelmien mukaan, kun v = (v 1,..., v n ) R n, (f (dy i ))(p)(v p ) = dy i (f(p))(f (v p )) = dy i (f(p)) ( f(p); j f 1 (p) v j,..., = j f i (p) v j = ) j f m (p) v j j f i (p) dx j (p)(v p ). Kohtien (ii), (iii) ja (iv) todistukset jätetään lukijan suoritettavksi. Esimerkki 2.10. Olkoot x ja y tason R 2 koordinaattikuvaukset ja ω := x dx+y dy. Olkoon f : R n R m napakoordinaattikuvaus (n = 2, napakoordinaatti- eli rθ-taso, ja m = 2, xy-taso), Tällöin f(r, θ) := (r cos θ, r sin θ). f (ω) (ii) = f (x dx) + f (y dy) (iii) = (x f) f (dx) + (y f) f (dy) (i) = r cos θ ( 1 f 1 dr + 2 f 1 dθ) + r sin θ ( 1 f 2 dr + 2 f 2 dθ) = r cos θ (cos θ dr r sin θ dθ) + r sin θ (sin θ dr + r cos θ dθ) = (r cos 2 θ + r sin 2 θ) dr + ( r 2 cos θ sin θ + r 2 sin θ cos θ) dθ = r dr. Yllä oleva, kohtaan (i) vetoava lasku voidaan tehdä helpommin lauseen 2.5 avulla: f (dy i ) = n jf i dx j = df i = d(y i f). Siis f (dx) = d(x f) = d(r cos θ) = dr cos θ + r d(cos θ) = dr cos θ r sin θ dθ. Vastaavasti f (dy) = d(y f) = d(r sin θ) = dr sin θ + r d(sin θ) = dr sin θ + r cos θ dθ. Esimerkki 2.11. Olkoot x, y, r, θ ja f kuten edellisessä esimerkissä, ja ω := x dy y dx.

Tällöin 2. DIFFERENTIAALIMUODOT 16 f (ω) (ii) = f (x dy) f (y dx) (iii) = (x f) f (dy) (y f) f (dx) L. 2.5 = r cos θ d(y f) r sin θ d(x f) = r cos θ (dr sin θ + r cos θ dθ) r sin θ (dr cos θ r sin θ dθ) = r 2 dθ. Esimerkki 2.12. Olkoot x, y, r, θ ja f kuten edellisessä esimerkissä, ja ω := dx dy. Tällöin (muista: dr dr = 0, dθ dθ = 0 ja dθ dr = dr dθ) f (ω) (iv) = f (dx) f (dy) L. 2.5 = d(x f) d(y f) = (dr cos θ r sin θ dθ) (dr sin θ + r cos θ dθ) = r cos 2 θ dr dθ r sin 2 θ dθ dr = r dr dθ. Lause 2.13. Olkoot A, B R n avoimia joukkoja sekä f = (f 1,..., f n ): A B C 1 -kuvaus. Kun h: B R on jatkuva, on f (h dx 1 dx n ) = (h f) det(df) dx 1 dx n = (h f) det( j f i ) n i, dx 1 dx n. Todistus. Koska riittää osoittaa, että f (h dx 1 dx n ) = (h f) f (dx 1 dx n ), f (dx 1 dx n ) = det(df) dx 1 dx n. Olkoot p R n ja A = (a i,j ) derivaatan Df(p) matriisi. Nyt f (dx 1 dx n )(p)(e 1,..., e n ) = (dx 1 dx n )(f(p))(f (e 1 ),..., f (e n )) ( ) = (dx 1 dx n )(f(p)) f(p); a j,1 e j,..., a j,n e j = det(a) (dx 1 dx n )(f(p))(e 1,..., e n ), lauseen 1.21 nojalla. Väite seuraa, koska yhtälön molemmat puolet ovat n-lineaarisia.