HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa järjestelmässä ovat samat. Ohje. Avuksi Fermat. Todistus: Tehtävän väite on yhtäpitävää sen kanssa, että n 5 n on jaollinen kymmenellä kaikilla n N +. Fermat'n pieni lause sanoo meille, että kaikilla kokonaisluvuilla a ja alkuluvuilla p pätee, että a p a (mod p). Täten siis erityisesti tehtävän tilanteessa mielivaltaiselle n N + pätee, että n 5 n (mod 5), joten luku n 5 n on siis jaollinen viidellä. Seuraavaksi huomataan, että n 5 n = n(n 4 1) = n(n 2 1)(n 2 + 1) = n(n 1) (n + 1)(n 2 1), }{{} Aina parillinen joten n 5 n on parillinen kaikilla n N +. Luku n 5 n on siis aina jaollinen sekä kahdella että viidellä, joten se on erityisesti jaollinen kymmenellä. Täten väite pätee. 2. Olkoon G (multiplikatiivinen) ryhmä, H G aliryhmä ja N G normaali aliryhmä. Osoita, että joukko on G:n aliryhmä. HN = {hn h H, n N} Todistus: Todistetaan väite aliryhmän ehto kerrallaan. Selvästi HN G, sillä ryhmä G on vakaa laskutoimituksensa suhteen. (i): Väite: 1 G HN. Koska H ja N ovat ryhmän G aliryhmiä, niin 1 G H ja 1 G N, joten 1 G = 1 G 1 G HN. (ii): Väite: Jos a, b HN, niin ab HN. Olkoot siis a, b HN, eli a = hn ja b = km, missä h, k H ja n, m N. Nyt koska oletimme, että N on ryhmän G normaali aliryhmä, niin Nk = kn, eli erityisesti nk = kn jollakin n N. Täten ab = (hn)(km) = h(nk)m = h(kn )m = (hk)(n m) HN, sillä hk H ja n m N, koska aliryhmät H ja N ovat vakaita laskutoimituksen suhteen. (iii): Väite: Jos a HN, niin a 1 HN. Huomataan, että jos a = hn HN, jossa h H ja n N, niin myös h 1 H ja n 1 N, sillä H ja N ovat ryhmän G aliryhmiä. Nyt a 1 = (hn) 1 = n 1 h 1 Nh 1 = h 1 N HN, sillä N oli normaali. Täten siis a 1 HN, kuten haluttiin. 1

2 Algebra I K09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia Joukko HN on siis ryhmän G aliryhmä. 3. Osoita, että (multiplikatiivisen) ryhmän G keskus Z(G) = {a G ax = xa kaikilla x G} on G:n normaali aliryhmä ja että G:n sisäisten automorsmien ryhmä on isomornen tekijäryhmän G/Z(G) kanssa. Huomautus: Ryhmän G sisäisten automorsmien ryhmä, merkitään Inn(G), on kuvausjoukko { cg : G G c g (x) = gxg 1 kaikilla x G, kiinteällä g G }. Olemme todistaneet harjoituksien 7 tehtävässä 6, että jokainen muotoa c g oleva kuvaus on automorsmi, joten Inn(G) Aut(G). Harjoituksen tuloksista seuraa peräti, että Inn(G) Aut(G). Todistus: Todistetaan väite osissa. (i): Väite: Z(G) on ryhmän G aliryhmä. Todistetaan aliryhmän ehto kerrallaan. Koska neutraalialkio kommutoi jokaisen ryhmän alkion kanssa, eli 1 G a = a1 G = a kaikilla a G, niin 1 G Z(G). Jos taas a, b Z(G) ja x G on mielivaltainen, niin koska määritelmän mukaan alkiot a ja b kommutoivat kaikkien ryhmän G alkioiden kanssa, niin abx = axb = xab, eli myöskin ab Z(G). Nyt jos a Z(G), niin tällöin a 1 x = a 1 xaa 1 = a 1 axa 1 = xa 1, eli a 1 Z(G). (ii): Väite: Z(G) on normaali aliryhmä, eli kz(g) = Z(G)k kaikilla k G. Olkoon x kz(g), eli x = ka jollakin a Z(G). Koska keskuksen määritelmän mukaan a tällöin kommutoi kaikkien ryhmän G alkioiden kanssa, niin erityisesti se kommutoi alkion k kanssa. Toisin sanoen x = ka = ak, eli x Z(G)k. Täten kz(g) Z(G)k, ja väite saadaan identtisellä päättelyllä toiseen suuntaan, joten kz(g) = Z(G)k. (iii): Väite: G/Z(G) = Inn(G). Harjoitusten 7 tehtävässä 6 olemme todistaneet, että kuvaus g h c g on homomorsmi ryhmien G ja Aut(G) välillä. Tarkastelmalla kuvauksen h määrittelyä sekä joukon Inn(G) määritelmää huomaamme, että Im(h) = Inn(G). Ryhmien homomoralause kertoo meille, että nyt ryhmä G/ Ker(h) on isomornen kuvauksen h kuvan, eli sisäisten automorsmien ryhmän kanssa. Riittää siis osoittaa, että Ker(h) = Z(G). Olkoon siis g Z(G). (Keskus on aina epätyhjä sillä neutraalialkio kommutoi kaikkien ryhmän alkioiden kanssa.) Saamme seuraavan päättelyketjun: g Z(G) gx = xg kaikilla x G (1) gxg 1 = x kaikilla x G c g (x) = x kaikilla x G c g = id g Ker(h).

Algebra I K09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia 3 (1): Kerrotaan yhtälö puolittain oikealta alkiolla g 1 (tai alkiolla g liikuttaessa päättelyketjua toiseen suuntaan). Olemme siis näyttäneet, että Ker(h) = Z(G), kuten haluttiin. Täten G/ Ker(h) = Inn(G). Huomautus: Kohdan (iii) todistus antaisi meille toisen tavan osoittaa, että ryhmän keskus on aina normaali aliryhmä, sillä kurssin lauseiden mukaan homomorsmin ydin on aina ryhmän normaali aliryhmä. 4. Etsi ryhmän S 3 kaikki aliryhmät. Mitkä aliryhmistä ovat normaaleja? Ohje ensimmäiseen kohtaan. Jos {id} < H < S 3, niin Lagrangen lauseen nojalla on H = 2 tai 3, joten H on syklinen. Todistus: Symmetrinen ryhmä S 3 vastaa tasasivuisen kolmion symmetriaryhmää. Ryhmä on siis S 3 = {id, (123), (132), (12), (13) sekä (23)}. }{{}}{{} Kierrot Peilaukset Ryhmässä S 3 on siis kuusi alkiota. Noudattamalla tehtävänannon ohjetta muistamme, että Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Mahdollisten aliryhmien kertaluvut ovat siis 1, 6, 2 tai 3. Näistä kaksi ensimmäistä vastaavat triviaaleja aliryhmiä, joista tiedämme, että koko ryhmä on itsensä normaali aliryhmä, sillä ryhmä on vakaa laskutoimituksen suhteen ja että yhden alkion aliryhmä on aina normaali, sillä neutraalialkio kommutoi kaikkien ryhmän alkioiden kanssa. Jälkimmäiset luvut edustavat mahdollisten epätriviaalien aliryhmien kertalukuja. Noudattamalla jälleen tehtävänannon ohjetta huomaamme, että kertalukua kaksi tai kolme olevat ryhmät ovat aina syklisiä, joten kaikki epätriviaalit aliryhmät löytyvät, kun tarkastelemme ryhmän eri alkioiden virittämiä aliryhmiä. (i) Peilaukset: Jokainen peilaus virittää kahden alkion aliryhmän, koska jokainen peilaus on itsensä käänteisalkio. Saamme peilausten avulla siis aikaan aliryhmät (12) = {id, (12)}, (23) = {id, (23)}, (13) = {id, (13)}. Näistä ei yksikään ole normaali aliryhmä, sillä jotta kahden alkion ryhmä olisi normaali aliryhmä, pitäisi sen neutraalialkiosta poikkeavan alkion kommutoida kaikkien ryhmän alkioiden kanssa. Yksikään peilaus ei kuitenkaan kommutoi kummankaan epätriviaalin kierron kanssa, joten ryhmistä yksikään ei ole normaali. (ii) Kierrot: Identtinen kuvaus virittää tietenkin triviaalin aliryhmän, mutta kaksi muuta kiertoa virittävät saman kolmen alkion aliryhmän: (id) = {id}, (123) = (132) = {id, (123), (132)}. Triviaali yhden alkion ryhmä on normaali, kuten aikaisemmin totesimme. Myös toinen kolmen alkion aliryhmä on normaali, sillä kierrot

4 Algebra I K09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia kommutoivat keskenään, ja peilaus yhdistettynä kiertoon vastaa 'käänteiskiertoa' yhdistettynä samaan peilaukseen. Luentojen huomioiden avulla epätriviaalin kierron virittämän kolmen alkion aliryhmän K näkisi normaaliksi myös siitä, että sen indeksi on 2, ( S 3 : K = 6/3 = 2) sillä tällöin välttämättä vasemmat K-sivuluokat yhtyvät pareittain oikeiden K-sivuluokkien kanssa. 5. Olkoon G (multiplikatiivinen) Abelin ryhmä, G = 6, a G ja ord(a) = 3. Osoita, että G on syklinen ryhmä. Ohje. Huomaa, että G/ a = Z 2. Todistus: Noudatetaan ohjetta ja huomataan, että Lagrangen lauseen mukaan (normaalin) aliryhmän a sivuluokkien lukumäärä on G / a = 6/3 = 2, eli tekijäryhmän G/ a kertaluku on 2. Kahden alkion ryhmiä on olemassa isomoraa vaille täsmälleen yksi, joten G/ a = Z 2. Valitaan nyt alkio b alkion a virittämän kolmialkioisen ryhmän komplementista, eli olkoon b G\ a. Nyt koska alkio b valittiin alkion a virittämän ryhmän komplementista, niin bh H. Kuitenkin, koska totesimme että tekijäryhmä on isomornen ryhmän Z 2 kanssa, on oltava bh bh = b 2 H = H. Erityisesti siis b 2 H = {1 G, a, a 2 }. Etsitään virittäjä kussakin tapauksessa. Tätä ennen kumminkin huomataan, että alkiot {1 G, a, a 2, b, ab, a 2 b} ovat kaikki keskenään eri. Tämä huomataan siitä, että alkion a kertaluku on tasan kolme, ja siitä, että b valittiin alkion a virittämän aliryhmän komplementista, eli erityisesti se ei ole neutraalialkio, a tai a 2. (i): Tapaus b 2 = 1. Nyt ab = {ab, (ab) 2, (ab) 3, (ab) 4, (ab) 5, (ab) 6 } = {ab, a 2, b, a, a 2 b, 1}, eli alkion ab kertaluku on 6 ja se virittää koko ryhmän. (ii): Tapaus b 2 = a. Nyt b = {b, (b) 2, (b) 3, (b) 4, (b) 5, (b) 6 } = {b, a, ab, a 2, a 2 b, 1 G }, eli alkion b kertaluku on 6 ja se virittää koko ryhmän. (iii): Tapaus b 2 = a 2. Nyt b = {b, (b) 2, (b) 3, (b) 4, (b) 5, (b) 6 } = {b, a 2, a 2 b, a, ab, 1 G }, eli alkion b kertaluku on 6 ja se virittää koko ryhmän. Olemme käyneet läpi kaikki mahdolliset tapaukset, ja huomaamme että ryhmä G on välttämättä syklinen. 6. Osoita, että additiiviset ryhmät Z 2 Z 4 ja Q eivät ole syklisiä. Todistus: Tutkitaan ryhmiä erikseen. (i): Ryhmä (Z 2 Z 4, +).

Algebra I K09 Harj.8 Ratkaisuehdoituksia 5 Olkoon nyt (a, b) Z 2 Z 4. Jos a = 0, niin Olkoon siis a 0, eli a = 1. Huomataan, että (a, b) {0} Z 4 Z 2 Z 4. (1, 0) = Z 2 {0} Z 2 Z 4 (1, 1) = {(1, 1), (0, 2), (1, 3), (0, 0)} Z 2 Z 4 (1, 2) = {(1, 2), (0, 0)} Z 2 Z 4 (1, 3) = {(1, 3), (0, 2), (1, 1), (0, 0)} Z 2 Z 4, joten yksikään ryhmän alkio ei viritä koko ryhmää, joten Z 2 Z 4 ei ole syklinen ryhmä. (Tehtävässä voisi tarkistaa myös kaikkien alkioiden (a, b) kertaluvut, joista yksikään ei ole kahdeksan.) HUOMAUTUS: Voidaan peräti todistaa, että additiivinen ryhmä Z p1 Z pn on syklinen täsmälleen silloin kun luvut p 1,..., p n ovat keskenään jaottomia. (ii): Ryhmä (Q, +). Olkoon q Q. Väite: Q q. Jos q = 0, niin väite on selvä, sillä 0 = {0}. Jos taas q 0, niin väitänkin, että 1 q / q. Nimittäin nyt jos merkitsemme q = a/b, missä 2 a, b 0, niin jotta 1 q q, pitäisi jollakin kertoimella n Z päteä, 2 että a 2b = na b, josta ristiinkertomalla saamme yhtäpitävästi ab = 2nab, eli 1 = 2n, sillä oletimme, että a, b 0. Pitäisi siis olla n = 1/2 Z, joka tuottaa ristiriidan.