MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Ryhmät ja permutaatiot
Väritysongelma Jos meillä on 6 palloa, monellako tavalla voimme värittää 2 niistä vihreiksi ja muut valkoisiksi? Jos pallot ovat identtiset on vain yksi tapa, 2 väritetään vihreiksi ja 4 valkoisiksi. Jos pallot on numeroitu niin on ( 6 2) = 15 tapaa valita ne, jotka väritetään vihreiksi ja loput valkoisiksi. Jos pallot ovat säännöllisen 6-kulmion kulmissa ja tätä 6-kulmiota voi kiertää ja kääntää niin on 3 vaihtoehtoa: Mutta miten ratkaistaan monimutkaisemmat tämäntyyppiset ongelmat? 1 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Permutaatio (kertaus) Määritelmä 1 Äärellisen joukon A permutaatio on bijektio A A. Kun A = {1,..., n}, niin joukon A kaikkien permutaatioiden joukkoa merkitään S n. Huomaa S n = n!. Kahdelle permutaatiolle f, g S n määritellään kertolasku asettamalla fg = f g. Huom. (fg)(x) = f ( g(x) ) eli kertominen tapahtuu oikealta vasemmalle. 2 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Permutaatio (kertaus) Esimerkki 2 (matriisiesitys) Joukon {1, 2, 3} permutaatioille ( ) 1 2 3 f = 3 2 1 ( ) 1 2 3 ja g = 2 1 3 pätee Lisäksi tässä ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 gf =, fg =. 3 1 2 2 3 1 f 1 = f ja g 1 = g, mutta tällainen ei päde yleisesti, esimerkiksi yllä (fg) 1 fg. 3 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Permutaatio Permutaatiot voidaan esittää myös syklinotaatiolla. Esimerkki 3 ( ) 1 2 3 4 5 6 7 α =. 2 4 1 3 5 7 6 Nyt ( näemme, ) että 1 2 4 3 1 ja tästä saamme syklin 1 2 4 3. Koska α(5) = 5, saamme syklin (5), joskin yhden pituista sykliä tosin ei ole tapana ottaa merkintään mukaan. ( ) Lopuksi näemme, että 6 7 6 joten saamme syklin 6 7. Syklinotaatiolla voimme nyt kirjoittaa ( ) ( ) α = 1 2 4 3 6 7. On myös ( muita ) ( esitystapoja ) syklien tuloina, esim. α = 7 6 4 3 1 2. 4 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmä Ryhmä on pari [G, ] missä G on joukko ja on funktio G G G, jolla on seuraavat ominaisuudet: Sulkeutuneisuus: a b G jos a ja b G. Liitännäisyys: (a b) c = a (b c) jos a, b ja c G. Neutraalialkio: On olemassa alkio e G siten, että e a = a e = a jos a G. Käänteisalkio: Jos a G, niin on olemassa alkio a 1 G siten, että a a 1 = a 1 a = e. 5 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmä Esimerkki 4 Joukko S n varustettuna permutaatioiden kertolaskulla toteuttaa ryhmäaksioomat: sulkeutuneisuus: jos f, g S n, niin fg S n liitännäisyys: (fg)h = f (gh) pätee kaikille f, g, h S n neutraalialkion ( ) olemassaolo: identtiselle permutaatiolle 1 2 3 e := pätee ef = fe = f kaikille f S n 1 2 3 käänteisalkion olemassaolo: kaikilla f S n löytyy käänteisalkio g S n, jolle fg = gf = e. 6 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmä Huomioita Käänteisalkion yksikäsitteisyys todistetaan kuten joukossa Z m. Siten on oikeutettua merkitä f :n käänteisalkiota f 1 :llä. Kun p on alkuluku, niin joukko (Z p \ {0}, ) eli Z p \ {0} varustettuna kertolaskulla on ryhmä, neutraalialkio on 1. Joukko (Z m, +) eli Z m varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä kaikilla m N +, neutraalialkio on 0. Permutaatioiden ryhmä S n on ryhmistä tärkein, sillä voidaan osoittaa (Cayleyn lause), että jokainen äärellinen ryhmä on miellettävissä permutaatioryhmänä tai sellaisen aliryhmänä. 7 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Esimerkki 5 Tarkastellaan tasasivuista kolmiota M kolmiulotteisessa avaruudessa. Kolmiota M voidaan kiertää kuudella eri tavalla siten, että M:n asento ei muutu: 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 8 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) Merkitään kiertoja seuraavasti: e = ei tehdä mitään r = kierretään kulman 2π/3 (120 ) verran vastapäivään sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa kolmion tasoa vastaan ja kulkee kolmion keskipisteen kautta s = kierretään kulman π (180 ) verran sen akselin ympäri, joka on kolmion tasossa ja puolittaa kulman paikassa 1. 9 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) 1 1 1 2 3 e 2 3 r 2 3 r 2 1 1 1 2 3 s 2 3 rs 2 3 r 2 s 10 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Esimerkki 5 (jatkuu) Edellä siis: Kiertojen kertolasku tapahtuu suorittamalla kierrot peräkkäin (merkinnöissä oikealta vasemmalle). Valitut kaksi kiertoakselia pysyvät avaruudessa paikallaan. Kolmion kierrot voidaan samaistaa joukon {1, 2, 3} permutaatioihin. Esimerkiksi permutaatio (1)(23) tulkitaan siten, että kolmion kärki avaruuden paikassa numero 1 pysyy paikallaan ja kärjet paikoissa 2 ja 3 vaihtavat paikkaa. 11 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Edellä sanotaan, että ryhmä S 3 toimii kolmiossa M. Jokainen ryhmän S 3 permutaatio voidaan tulkita kolmion symmetrian säilyttäväksi kierroksi kolmiulotteisessa avaruudessa. Sama ei päde neliölle, esimerkiksi permutaatio (123)(4) rikkoisi neliön eikä siten olisi kierto. Säännöllisen n-kulmion kaikkien kiertojen ryhmää sanotaan diedriryhmäksi ja merkitään D n. 12 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Diedriryhmässä on 2n alkiota (taululla n = 4): Merkitään r:llä kiertoa kulman 2π/n verran sen akselin ympäri, joka on kohtisuorassa monikulmion tasoa vastaan ja kulkee monikulmion keskipisteen kautta. Tällöin r n = e ja kierron r monikertoja on n kappaletta: e, r, r 2,..., r n 1. Lisäksi voidaan kiertää kulman π verran minkä tahansa monikulmion lävistäjän tai sivun kohtisuoran puolittajan suhteen, näin saadaan n kiertoa lisää. Osoittautuu, että jälkimmäiset n kiertoa saadaan, kun valitaan vain yksi lävistäjä tai puolittaja (mikä tahansa) ja merkitään π-kiertoa sen suhteen s; sen jälkeen muut n 1 ovat rs, r 2 s,..., r n 1 s. Pätee myös rs = sr 1. 13 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ryhmän toiminta Diedriryhmä voidaan samaistaa permutaatioryhmän S n aliryhmän kanssa. (Lisää hetken kuluttua.) D n generoituu kierroista r ja s, ts D n = {r j s k : j, k Z}, merkitään D n = r, s. Yllä s 2 = e ja r n = e eli joukossa D n on 2n alkiota. 14 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Aliryhmät ja Lagrangen lause Neliön kiertoryhmä (taululla, s on lävistäjä 1 3, pysyy avaruudessa paikallaan): D 4 = r, s = {e, r, r 2, r 3, s, rs, r 2 s, r 3 s}. Jos samaistetaan ryhmän D 4 alkiot joukon {1, 2, 3, 4} permutaatioihin, niin D 4 = { (1)(2)(3)(4), (1 2 3 4), (1 3)(2 4), (1 4 3 2), (1)(3)(2 4), (1 2)(3 4), (1 3)(2)(4), (1 4)(3 2) }. Tämä on joukon S 4 aliryhmä, sillä D 4 S 4 ja D 4 muodostaa itsessään ryhmän, jolla on sama neutraalialkio kuin S 4 :llä. 15 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Aliryhmät ja Lagrangen lause Lause 6 (Lagrange) Jos G on äärellinen ryhmä ja H on sen aliryhmä, niin H on G :n tekijä. Esimerkiksi S 4 = 24 ja D 4 = 8, joka on 24:n tekijä. Todistus. Määritellään alkion g G sivuluokka: gh = {gh : h H} G. Voidaan osoittaa (osoittamalla, että funktio H gh, h gh on bijektio), että sivuluokat ovat yhtäsuuria; lisäksi ne jakavat G:n erillisiin osiin. Siten, koska eh = H on yksi sivuluokka, niin G :n on oltava H :n monikerta. 16 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Rata Määritelmä 7 Olkoon G S n ryhmä, joka toimii joukossa M (esim. kolmion kärjet). Pisteen x M rata on [x] G := {g(x) : g G} M. Usein merkitään vain [x]. Voidaan osoittaa, että joukon M relaatio x y x [y] G on ekvivalenssi, joten radat jakavat M:n erillisiin luokkiin. Esimerkki 8 Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f, niin G:n määräämät radat joukossa M ovat [1] = [2] = {1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] = {3, 4, 5, 6}. 17 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Kiinnittäjäaliryhmä Määritelmä 9 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin pisteen x kiinnittäjäaliryhmä on G x := {g G : g(x) = x} G. Kiinnittäjä todellakin on aliryhmä, joten Lagrangen lauseen nojalla G x jakaa G :n kaikilla x M. 18 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Kiinnittäjäaliryhmä Esimerkki 10 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin kiinnittäjäaliryhmät ovat ovat G 1 = G 2 = {e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 = {e}. Näiden koot (2 ja 1) jakavat luvun G = 4. 19 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Kiintopistejoukko Määritelmä 11 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos g G, niin permutaation g kiintopistejoukko on M g := {x M : g(x) = x} M. Esimerkki 12 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin kiintopistejoukot ovat M e = M, M f = M f 3 = ja M f 2 = {1, 2}. 20 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Radan koko Lause 13 Jos ryhmä G toimii joukossa M ja jos x M, niin radan [x] koko saadaan laskettua kaavasta [x] = G / G x. Todistus. Merkitään G x = H (aliryhmä) ja merkitään kaikkien H:n sivuluokkien joukkoa G/H. Tällöin funktio G/H [x] G, gh gx on bijektio, joten joukon [x] G koko on sama kuin sivuluokkien lukumäärä, joka puolestaan saadaan jakamalla G:n koko H:n koolla (kaikki sivuluokat olivat yhtä suuria). 21 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Radan koko Esimerkki 14 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin aiemmin saimme radoiksi [1] = [2] = {1, 2} ja [3] = [4] = [5] = [6] = {3, 4, 5, 6} ja kiinnittäjäaliryhmiksi G 1 = G 2 = {e, f 2 } ja G 3 = G 4 = G 5 = G 6 = {e}. Lause toimii; esimerkiksi [1] = G / G 1. 22 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ratojen lukumäärä Lause 15 (Burnsiden lemma) Jos ryhmä G toimii joukossa M, niin ratojen lukumäärä on kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo: 1 M g. G g G 23 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ratojen lukumäärä Todistus Merkitään n = { (g, x) G M : gx = x }. Permutaatiota g G vastaavien parien (g, x) lukumäärä on M g, joten n = M g. g G Toisaalta alkiota x M vastaavien parien (g, x) lukumäärä on G x, joten n = G x, x M 24 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ratojen lukumäärä Todistus (jatkuu) saadaan M g = G x. g G x M Radan [x] G koko on G / G x ja rata on sama kaikille y [x] G, joten G y = [x] G G x = G. y [x] G Merkitään ratojen lukumäärää k:lla, jolloin ylläolevan nojalla G x = k G, x M ja jakamalla G :llä ollaan valmiita. 25 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Ratojen lukumäärä Esimerkki 16 (jatkoa edelliseen) Jos M = {1, 2,..., 6}, f = (1 2)(3 4 5 6) S 6 ja G = f = { e, f, f 2, f 3} = { e, f, (1)(2)(3 5)(4 6), (1 2)(3 6 5 4) }, niin aiemmin saimme radoiksi {1, 2}, {3, 4, 5, 6} ja kiintopistejoukoiksi M e = M, M f = M f 3 =, M f 2 = {1, 2}. Kiintopistejoukkojen kokojen keskiarvo on 1 4 ( M e + M f + M f 2 + M f 3 ) = 1 (6 + 0 + 2 + 0) = 2 4 eli sama kuin ratojen lukumäärä. 26 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Sykli-indeksi
Sykli-indeksi Jos a on joukon X permutaatio niin a:n sykli-indeksi on monomi ζ a,x (t 1,..., t n ) = t j 1 1 t j 2 2... tn jn missä j k on a:n k-pituisten ratojen lukumäärä. Jos G on ryhmä joukon X permutaatiota niin G:n sykli-indeksi on ζ G,X (t 1,..., t n ) = 1 G ζ a,x (t 1,..., t n ). a G 27 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Sykli-indeksi Esimerkki 17 Olkoon G ryhmä, joka muodostuu kaikista alla olevan verkon solmujen sellaisista permutaatioista f, että jos solmujen a ja b välillä on kaari, niin myös solmujen f (a) ja f (b) välillä on kaari. 1 2 3 4 5 6 Koska solmuilla 3 ja 4 on 3 naapuria niin joko f (3) = 3 ja f (4) = 4 tai f (3) = 4 ja f (4) = 3. Solmut 1 ja 2 kuvautuvat solmun f (3) naapureille ja samoin solmut 5 ja 6 kuvautuvat solmun f (4) naapureille. 28 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Sykli-indeksi Esimerkki 17 1 2 3 4 5 6 Näin ollen kyseiset permutaatiot ovat: (1), (1 2), (5 6), (1 2)(5 6), (3 4)(1 5)(2 6), (3 4)(1 6)(2 5), (3 4)(1 5 2 6) ja (3 4)(1 6 2 5). Seuraavaksi on laskettava näiden permutaatioiden ratojen pituudet: 29 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Sykli-indeksi Esimerkki 17 (jatkuu) (1) : 6 rataa, joissa on 1 alkio. (1 2), (5 6) : 4 rataa, joissa on 1 alkio, 1 rata, jossa on 2 alkiota. (1 2)(5 6) : 2 rataa, joissa on 1 alkio, 2 rataa, joissa on 2 alkiota. (3 4)(1 5)(2 6), (3 4)(1 6)(2 5) : 3 rataa, joissa on 2 alkiota. (3 4)(1 5 2 6), (3 4)(1 6 2 5) : 1 rata, jossa on 2 alkiota, 1 rata, jossa on 4 alkiota. Näin ollen sykli-indeksi on ζ G,X (t 1, t 2, t 3, t 4 ) = 1 ) (t1 6 + t 2 8 1t2 2 + 2t1t 4 2 + 2t2 3 + 2t 2 t 4 30 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause
Pólyan värityslause Olkoon G ryhmä joukon X permutaatioita ja olkoon K = {v 1, v 2,..., v r } joukko värejä, joilla X :n alkioita väritetään. Silloin termin v i 1 1 v i 2 2... v r ir, kerroin polynomissa ζ G,X (v 1 1 +... + v 1 r, v 2 1 +... + v 2 r,..., v n 1 +... + v n r ) on niiden X :n väritysten lukumäärä, joissa väriä v j käytetään täsmälleen i j kertaa ja jotka eivät ole ekvivalentteja G:n toiminnassa. Jos käytetään r väriä mutta, muita rajoituksia ei ole, niin ζ G,X (r, r,..., r) on niiden X :n väritysten lukumäärä, jotka eivät ole ekvivalentteja G:n toiminnassa. 31 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat) 0 1 3 2 Olkoon X = {0, 1, 2, 3} ja tarkastellaan yo. nelikulmion symmetrioita. Meillä on siis seuraavat permutaatiot syklinotaatiolla: (0)(1)(2)(3), (0)(1 3)(2), (0 1 2 3), (0 1)(2 3), (0 2)(1 3), (0 2)(1)(3), (0 3 2 1) ja (0 3)(1 2), joista 4 on rotaatioita ja 4 peilauksia. Näiden permutaatioiden muodostama ryhmähän on diedriryhmä D 4. 32 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat jatkuu) Monellako tavalla voidaan värittää solmut niin, että yksi on musta, yksi valkoinen ja kaksi punaista? Kaksi väritystä ovat samoja, jos rotaatiolla ja/tai peilauksella saadaan toinen toisesta. Ryhmän D 4 sykli-indeksi saadaan permutaatioiden sykli-indeksien keskiarvona, ja permutaation sykli-indeksi on t j 1 1 t j 1 2... tn jn jos permutaatiolla on j k rataa, joiden pituus on k, k = 1, 2,..., n. Tässä tapauksessa sykli-indeksiksi tulee ζ D4,X (t 1, t 2, t 3, t 4 ) = 1 8 ( t 4 1 + t1t 2 2 + t 4 + t2 2 + t2 2 + t1t 2 2 + t 4 + t2 2 ). 33 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 18 (Nelikulmion symmetriat jatkuu) Erilaisten väritysten lukumäärä on nyt termin mvp 2 (m=musta, v=valkoinen, p=punainen, näitä kaksi) kerroin polynomissa ζ D4,X (m + v + p, m 2 + v 2 + p 2, m 3 + v 3 + p 3, m 4 + v 4 + p 4 ) = 1 8 (m + v + p)4 + 1 4 (m + v + p)2 (m 2 + v 2 + p 2 ) + 3 8 (m2 + v 2 + p 2 ) 2 + 1 4 (m4 + v 4 + p 4 ) = m 4 + m 3 p + 2m 2 p 2 + mp 3 + p 4 + m 3 v + 2m 2 pv + 2mp 2 v +p 3 v + 2m 2 v 2 + 2mpv 2 + 2p 2 v 2 + mv 3 + pv 3 + v 4 eli 2. (Tarkistus ajattelemalla: Kaksi punaista voivat olla vierekkäin tai vastakkain. Tämän valinnan jälkeen on sama miten päin musta ja valkoinen valitaan, peilaamalla ne vaihtavat paikkaa.) 34 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 19 (Pólyan lause ja ristinolla) Meillä on 3 3-ruudukko ja olemme kirjoittaneet kahteen ruutuun x:n, kahteen o:n ja 5 ruutua on tyhjinä. Tämä on tehtävissä ( 9 2,2,5) = 756:lla eri tavalla, jos paperi pidetään paikallaan. Jos voimme kiertää paperia kulman 0, π 2, π tai 3π 2 verran keskipisteen ympäri, niin näiden vaihtoehtojen lukumäärä pienenee. Ensin pitää selvittää miten π 2 kulman rotaation generoima ryhmä toimii ruudukolla ja erityisesti mikä on tämän toiminnan sykli-indeksi. Eli pitää määrittää erilaisten ratojen pituudet. Tulokset ovat seuraavanlaiset: Identiteettifunktiolla (rotaatio 0) on 9 rataa, joihin kaikkiin kuuluu 1 ruutu. 35 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 19 (Pólyan lause ja ristinolla, jatk.) Kierrolla kulman π 2 verran on 2 rataa, joilla molemmilla on 4 ruutua (toinen sisältää kulmaruudut, toinen niiden välillä olevat ruudut) ja 1 rata johon kuuluu 1 ruutu (ruutu keskellä). Sama pätee jos kierretään kulman 3π 2 verran. Jos kiertokulma on π, niin saamme 4 rataa, joilla molemmilla on 2 ruutua (vastakkaiset kulmat ja vastakkaiset ruudut niiden välillä) sekä 1 rata johon kuuluu 1 ruutu. Sykli-indeksiksi saamme näin ollen ζ G,X (t 1, t 2,..., t 9 ) = 1 4 (t9 1 + 2t 1 t 2 4 + t 1 t 4 2). 36 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Esimerkki 20 (Pólyan lause ja ristinolla, jatk.) Jotta voisimme laskea ei-ekvivalenttien väritysten lukumäärän, korvaamme muuttujan t j lausekkeella x j + o j + t j. Tällöin termin x 2 o 2 t 5 kerroin on ei-ekvivalenttien väritysten lukumäärä, kun ruudukossa on kaksi kertaa x ja o ja viisi ruutua tyhjänä (t). Termin x 2 o 2 t 5 kerroin lausekkeessa (x + o + t) 9 on ( 9 2,2,5), lausekkeesta 2(x + o + t)(x 4 + o 4 + t 4 ) 2 ei tule yhtään x 2 o 2 t 5 -termiä ja termin x 2 o 2 t 5 kerroin lausekkeessa (x + o + t)(x 2 + o 2 + t 2 ) 2 on ( 4 1,1,2). Vaihtoehtojen lukumääräksi tulee siis 1 4 (( 9 2, 2, 5 ) ( )) 4 + 0 + = 1 (756 + 12) = 192. 1, 1, 2 4 37 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402
Pólyan värityslause Resepti väritysten lukumäärien etsimiseen on siis seuraava: Selvitä tarkasteltavalla joukolla toimivan permutaatioryhmän permutaatiot ja niiden radat. Määrää permutaatioiden sykli-indeksit ja niiden keskiarvona ryhmän sykli-indeksi. Sijoita ryhmän sykli-indeksin lausekkeeseen muuttujan t j tilalle haluamasi värit potenssiin j, eli t j = v j 1 + v j 2 +... v j k, kun v i ovat käytössä olevat värit Termin v n 1 1 v n 2 2... v n k k kerroin kertoo, montako sellaista väritystä on, jossa esiintyy täsmälleen n i kertaa väri v i. Pólyan värityslauseen todistus löytyy esim. MyCourses-sivulla annetusta lisämateriaalista. 38 / 38 R. Kangaslampi MS-A0402