Palataan takaisin aaltoputkitehtäv än analy y ttiseen ratkaisuun. Lähd etään hakem aan ratkaisua y htälöistä (2 ) ja (3 ), kuten T E M -siirtolinjojen y htey d essä. N y t aaltoputkien tapauksessa z-kom ponentit eiv ät häv iä, v aan y htälöistä tulee auki kirjoitetuna t E t + t ẑ E z + z ẑ E t = jω µ (H t + ẑ H z ) (4 2 ) t H t + t ẑ H z + z ẑ H t = jω ɛ(e t + ẑ E z ). (4 3 )
Jaetaan edelliset yhtälöt taas poikittais- ja z-suuntaisiin kompontentteihin. Poikittaiskomponentit ovat t ẑe z + z ẑ E t = jωµh t (44) t ẑh z + z ẑ H t = jωɛe t. (45 ) O letetaan, että putkessa etenee aalto +z-suuntaan, tällöin kenttien z-riippuvuus on e jβ z -muotoista. S ijoitetaan E t yhtälöstä (45 ) yhtälöön (44) ja käytetään em. oletusta, jolloin saadaan t ẑe z β ωɛẑ ( t ẑh z jβẑ H t ) = jωµh t. (46 )
Koska ẑ ( t ẑh z ) = t H z, ẑ (ẑ H t ) = H t ja t ẑe z = ẑ t E z, saadaan H t = 1 β 2 k 2 (jβ th z + jωɛ ẑ t E z ), (47 ) missä k = ω ɛµ on väliaineen aaltoluku. V astaavasti saadaan E t = 1 β 2 k 2 (jβ te z jωµ ẑ t H z ), (48 ) Poikittaiskentät voidaan siis kirjoittaa z-komponenttien poikittaissuuntaisen g radientin avulla. Eli, jos z-komponentit saadaan ratkaistua, loput komponentit saadaan yhtälöistä (47 ) ja (48 ).
Peruskursseilta tiedetään, että lähteettömässä alueessa, kuten esimerkiksi aaltoputken sisällä, kentät toteuttava H elmholtzin yhtälön ( 2 + k 2 )E = 0, ( 2 + k 2 )H = 0. Jokainen komponentti toteuttaa saman yhtälön, erityisesti ( 2 + k 2 )E z = 0, ( 2 + k 2 )H z = 0. Kun taas käytetään hyväksi sitä, että E z :n ja H z :n z-riippuvuus on e jβz -muotoista, saadaan 2 t E z + (k 2 β 2 )E z = 0 (49 ) 2 t H z + (k 2 β 2 )H z = 0 (50 )
Aaltoputkitehtävän analyyttinen ratkaisu on E z ja H z :n ratkaisua skalaarisista Helmholzin yhtälöistä. Loput komponentit saadaan sen jälkeen yhtälöistä (47) ja (48). Tarkastellaan aaltoputkia, joiden seinät ovat ideaalijohdetta. Seinällä S reunaehto on ˆn E S = (ˆn E t + ˆn ẑe z ) S = 0. (51) Nämä kaksi komponenttia ovat keskenään kohtisuoria, joten niiden molempien pitää hävitä, eli E z S = 0 (52) ˆn E t S = 0 (53)
Haetaan H z :lle reunaehto ottamalla (48):sta puolittain ristitulo ˆn:n kanssa, ˆn E t S = 1 β 2 k 2 [jβˆn te z jωµ ˆn (ẑ t H z )] S = 0. (54) Nyt ˆn t E z S = 0, koska E z S = 0, joten sen gradientti on ˆn:n suuntainen. Lisäksi ˆn (ẑ t H z ) = ẑ(ˆn t H z ) = ẑ H z n, jolloin edellinen yhtälö saa muodon H z n = 0. (55) S R eunaehdot (52) ja (55) eivät kytke E z - ja H z -kenttiä toisiinsa, joten yhtälöt (49) ja (50) voidaan ratkaista erikseen.
Ratkaisua, jossa E z = 0 ja H z 0 kutsutaan TE-aalloksi ja vastaavasti jos E z 0 ja H z = 0 TM-aalloksi. Meillä on siis kaksi riippumatonta ominaisarvotehtävää, TM: t 2 E z + kce 2 z = 0, E z S = 0 (56) TE: t 2 H z + kch 2 z = 0, S = 0, (57) H z n missä kc 2 = k 2 β 2. Molemmilla ominaisarvotehtävillä on äärettömän (numeroituvan) monta ratkaisua eri ominaisarvon k c arvoilla k ci. Jokaista ominaisarvoa vastaa ominaisfunktio E z tai H z. Ratkaisut ovat siis (kci T M, E zi )- ja (kci T E, H zi)-pareja, joilla jokaisella on oma etenemiskertoimensa β i = ± k 2 kci 2.
Samalla ominaisarvolla k ci voi olla sekä TM- että TE-moodi. Eri ominaisarvoihin liittyvät TM-ominaisfunktiot ovat keskenään ortogonaalisia, samoin TE-ominaisfunktiot keskenään. Lisäksi vielä TM- ja TE-moodit ovat keskenään ortogonaalisia. Tämän ominaisuuden johdosta mikä tahansa putkessa etenevä aalto voidaan esittää yksikäsitteisesti TM- ja TE-moodien lineaarikomb inaatioina. k ci vastaa tasoaallon aaltovektorin poikittaista komponenttiä, eli se kuvaa värähtelyä poikittaissuunnassa.
Eri taajuuden ja samalla k = ω ɛµ:n arvoilla on kolme eri vaihtoehtoa: k 2 > k 2 ci k 2 < k 2 ci k 2 = k 2 ci β on reaalinen, aalto etenee e ±jβz -muotoisesti β on imaginäärinen β = jα, aalto vaimenee eksponentiaalisesti e α z -muotoisesti. Aalto on etenemätön (evanescent). k ci 2π ɛ µ β = 0, aallon kenttä vakio putkessa. Kyseinen taajuus f ci = on katkotaajuus (cu t-o ff frequ ency ), koska tätä pienemmillä taajuuksilla aalto on etenemätön. Kullakin taajuudella f etenee vain ne moodit, joilla f > f ci, ja näitä moodeja on äärellinen määrä.
Tavallisesti toimintataajuus valitaan siten, että vain yksi moodi etenee. Aallon vaihenopeus määritellään vakiovaiheen (ωt βz = vakio) etenemisnopeutena, v = ω β = ω c = k2 kci 2 ( ) (58) 2 1 fci f Etenevälle aallolle vaihenopeus on valon nopeutta suurempi, sillä v > c, jos f > f ci. Signaali ei kuitenkaan etenene vaihenopeudella, vaan ryhmänopeudella v g = d ω d β d ω = 1 c k k2 k 2 ci v g = c 1 ( fci f d β, ) 2 < c. (59)
Ryhmänopeus on etenevällä aallolla pienempi kuin valon nopeus, taajuuden kasvaessa ryhmänopeus lähestyy valonnopeutta oheisen kuvan mukaisesti, lim f v g = c. ω ω c T M v = ω β ja T E v g = d ω d β T E M β Aallonpituuksien avulla kirjoitettuna kc 2 = k 2 β 2 on 1 λ = 1 2 c λ 1 2 λ, jossa λ = 2π / k on tasoaallon aallonpituus, 2 g λ g = 2π / β on aallonpituus aaltoputkessa ja λ c = 2π / k c on katkotaajuutta vastaava aallonpituus.
Aaltoputken aallonpituus on siten λ g = λ 1 λ2 λ 2 c > λ. (60) TM- ja TE-moodeille voidaan määrittää aaltoimpedanssi kuten TEM-aallollekin. TM-moodissa yhtälöiden (47) ja (48) oikealla puolella vain E z eroaa nollasta. Jakamalla nämä yhtälöt puolittain saadaan jossa H = 1 Z TM (ẑ E), (61) Z TM = β ωɛ. (62)
Aaltoimpedanssi aaltoputkessa on eri kuin vapaan tilan aaltoimpedanssi η = µ ɛ, koska aaltoputkessa β ω ɛµ. Itseasiassa β = ( ) k 2 kc 2 = k 1 fc 2, f jolloin Z TM = η 1 ( fc f ) 2. (63) Aaltoimpedanssi on siis etenevällä TM-aallolla (f > f c ) reaalinen ja aina pienempi kuin vapaan tilan aaltoimpedanssi.
TE-aalloilla yhtälöiden (47) ja (48) oikealla puolella vain H z eroaa nollasta. Saadaan E = Z TE (ẑ H), (64) jossa Z TE = ωµ β = η ( ). (65) 2 1 fc f Etenevillä TE-aalloilla (f > f c ) aaltoimpedanssi on puhtaasti reaalinen ja aina isompi kuin vapaan tilan aaltoimpedanssi.
Alla olevassa kuvassa on esitetty Z TE ja Z TM f/f c :n funktiona. 2 E te n e m ä tö n a lu e Z TE /η 1 Z TM /η f/f c 1 2 3
b y Suorakulmainen aaltoputki Tarkastellaan oheisen kuvan mukaista suorakulmaista aaltoputkea. z x a Helmholtzin yhtälö saa muodon X (x) X }{{} k 2 x Tarkastellaan aluksi putken TM-moodeja, eli yritetään ratkaista (56) putken sisällä. Käytetään hyväksi separointia, eli haetaan ratkaisua muodossa E z (x, y) = X(x)Y (y). + Y (y) +kc 2 = 0, (66) }{{ Y } ky 2
Suorakulmainen aaltoputki Ensimmäinen termi riippuu vain x:stä ja toinen termi y:stä. Jotta yhtälö pitäisi paikkansa, molempien termien pitää olla vakioita. Ratkaisuna saadaan X(x) = A cos(k x x) + B sin(k x x) Y (y) = C cos(k y y) + D sin(k y y). (67) Koska reunaehdosta johtuen E z (0, y) = 0, X(0) = A = 0. Samoin koska E z (x, 0) = 0, Y (0) = C = 0. Täten E z (x, y) = BD sin(k x x) sin(k y y). (68)
Suorakulmainen aaltoputki Taas reunaehdosta saadaan E z (a, y) = 0 k x = m π a ja E z (x, b) = 0 k y = nπ b, jossa m = 1, 2,... ja n = 1, 2,..., E z (x, y) = E 0 sin( mπ a x) sin(nπ y). (69) b Aaltomuotoja indeksoidaan m:n ja n:n avulla ja merkitään TM m n. Ensimmäinen indeksi kertoo E z :n puolijaksojen määrän x-suuntaan ja n saman y-suuntaan. Loput E:n komponenteista ja H saadaan nyt yhtälöistä (47) ja (48).
Suorakulmainen aaltoputki TE-moodilla ratkaisu saadaan samalla tapaa. Erona on homogeenin Neumannin reunaehto D irichlet n asemasta. Saadaan H z (x, y) = H 0 cos( mπ a x) cos(nπ b y), (70) jossa m = 0, 1, 2,... ja n = 0, 1, 2,.... Tapaus m = n = 0 ei ole mielenkiintoinen, koska tällöin H z (x, y) = vakio, jolloin muut komponentit häviävät. Moodeja merkitään TE mn.
Suorakulmainen aaltoputki Yhtälöstä kx 2 ky 2 + kc 2 = 0 seuraa, että ( k c = mπ ) 2 ( a + nπ ) 2, b jo llo in k a tk o ta a ju u d elle sa a d a a n la u sek e f c = 1 (m ) 2 ( n ) 2 2 + (7 1) ɛµ a b V a sta a v a a a llo n p itu u s o n λ c = ( m a 2 ) 2 ( + n ). (7 2) 2 b
Suorakulmainen aaltoputki Jos a > b, katkotaajuudeltaan m atalataajuisin m oodi on T E 10. T E 10 -m oodissa säh kökentällä on vain y-kom ponentti ja se on ao. kuvan m uotoinen. T E 20 :ssa on kokonainen sinin jakso jne... T E 10 :n katkotaajuus on (71):n m ukaisesti f T E 10 c = K atkotaajuutta vastaava aallonpituus on 1 2a ɛµ = c 2a. (73 ) λ T E 10 c = 2a (74 ) eli putken levey s on tarkalleen puolikas kentän pituussuuntaisen sinijakaum an jaksosta.