2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division
Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) = z yksiarvoinen kaksiarvoinen käänteisfunktio: Jos w = f(z), niin merkitään z = g(w) = f 1 (w). Funktio f 1 on f :n käänteisfunktio (joka voi olla moniarvoinen).
Funktioiden kuvausominaisuuksia Esim. 1 Funktio f(z) = z 2. Esim. 2 Miksi käyräksi funktio f(z) = z 2 + z kuvaa suoran y = x?
Esim. 3 Analogisen systeemin, jonka Laplace-siirtofunktio on rationaalifunktio H a (s), digitaalinen vaste (derivaatan approksimointimenetelmällä) saadaan kun s korvataan lausekkeella 1 z 1 T eli H(z) = H a (s) s= 1 z 1 T. Kuvaus s = 1 z 1 T, eli z = 1 1 st, kuvaa vasemman puolitason (1 2,0)-keskiseksi -säteiseksi kiekoksi. 1 2
Polynomit Polynomifunktio P(z) = a 0 z n + a 1 z n 1 + +a n 1 z + a n,. Kertoimet a i C, a 0 0. Luonnollinen luku n on P(z):n aste. Polynomiyhtälöllä a 0 z n + a 1 z n 1 + +a n 1 z + a n = 0 on n juurta z 1, z 2,...,z n (joista jotkut voivat olla samoja). Lisäksi se voidaan kirjoittaa muotoon a 0 (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) = 0. Jos z on yhtälön ratkaisu ja kertoimet a 0,...,a n reaalilukuja, niin myös z on ratkaisu (osoita).
Rationaalifunktio Rationaalifunktio on R(z) = P(z) Q(z), missä P ja Q ovat polynomeja. Möbius - muunnos l. bilineaarikuvaus on w = az + b, missä ad bc 0. cz + d Lineaaristen systeemien (suodattimien tms.) siirtofunktiot ovat useimmiten rationaalifunktioita. Q:n nollakohdat ovat (yleensä) R:n napoja ja P:n nollakohdat R:n nollia.
Navan kertaluku Jos on olemassa positiivinen kokokaisluku n, jolle lim (z z 0 ) n f(z) = A 0, z z 0 niin z 0 on f :n kertalukua n oleva napa. Jos n = 1, z 0 :aa sanotaan yksinkertaiseksi navaksi. Huom. Lineaarisen systeemin stabiilisuutta voidaan tutkia määräämällä siirtofunktion (jos se on rationaalifunktio) napojen sijainti.
Esimerkki Esim. 4 Etsi kuvaus, joka kuvaa vasemman puolitason {z Re z 0} yksikkökiekoksi {z z 1}.
Eksponenttifunktio Ominaisuuksia: f(z) = e z = e x+jy = e x e jy = e x (cos y + j siny) e z 1 e z 2 = e z 1+z 2, e z = e x > 0 e z+k2πj = e z, 2πj- jaksollinen e jϕ = 1, arg e jϕ = ϕ, ϕ R
Kuvausominaisuuksia z e z merk = w, w = w e jϕ e x e jy = w e jϕ { { e x = w > 0 x = ln w y = ϕ mod 2π y = arg w = Arg w + k2π eli arvo w = e z saavutetaan z:n arvoilla z = ln w +j arg w. (1)
lisää ominaisuuksia 1. Imaginaariakseli kuvautuu yksikköympyräksi e jϕ = 1. 2. Suora x = vakio kuvautuu ympyräksi w = e x 3. Suora y = c kuvautuu origosta alkavaksi puolisuoraksi, joka kulkee pisteen e jc kautta 4. Jokainen 2π:n levyinen vyöhyke {y 0 Imz < y 0 + 2π} täyttää kuvajoukon C\{0} täsmälleen kerran.
Logaritmifunktio Jos w = e z, määritellään logaritmifunktio (moniarvoinen) z = log w, w C, w 0. Kaavan (1) mukaan log w = ln w +j arg w (2) eli log w = ln w +j Argw + jk2π, k = 0,±1,±2,... (3)
Logaritmin haarat Kiinteällä k:n arvolla saadaan yksiarvoinen funktio, jota sanotaan logaritmifunktion haaraksi. Päähaara (k = 0) on Log w = ln w +j Argw. (4) Logaritmin pääarvo = päähaaran arvo.
Logaritmin laskulait Yleiselle logaritmifunktiolle log w pätevät normaalit laskulait: ja log w 1 w 2 = log w 1 + log w 2 log w 1 w 2 = log w 1 log w 2. Näissä on kiinnitettävä oikeat haarat.
Esimerkkejä Esimerkki 5 H(ω) = H(ω) e jθ(ω), log H(ω) = ln H(ω) +jθ(ω), α(ω) = ln H(ω) on systeemin vahvistus (gain). Esimerkki 6 Kirjoita a)log( 1 + j), b) log(j), c) log( 1) muotoon a + bj. Esimerkki 7 Ratkaise yhtälö e 4z + 4e 2z + 8 = 0. Anna ratkaisut z muodossa z = x + jy.
Yleinen potenssi Koska z = e log z ja log z = ln z +j arg z, määritellään Yleinen potenssi: z w = e w log z, w C, z 0. Esimerkki 8 Kirjoita (1+j) ( 1+j) muotoon a+bj.
z w (jopa z w jos Imw 0) on moniarvoinen funktio Kukin haara saadaan kiinnittämällä logaritmin haara. Kun logaritmin haara on kiinnitetty, niin z w 1+w 2 = e (w 1+w 2 )log z e w 1 log z+w 2 log z = e w 1 log z e w 2 log z = z w 1 z w 2.
Trigonometriset funktiot Määritellään sin z = ejz e jz, cos z = ejz + e jz, z C, 2j 2 tanz = sinz cos z, z π cos z + kπ, cot z = 2 sin z, z kπ.
Ominaisuuksia 1. sin 2 z + cos 2 z = 1 2. e jz = cos z + j sinz, e jz = cos z j sinz 3. sin(z 1 + z 2 ) = sinz 1 cos z 2 + cos z 1 sinz 2, cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sinz 1 sin z 2 4. sin z:n ja cos z:n nollakohdat ovat reaalisia, z = kπ, z = (k + 1 2 )π
5. sin z on pariton, cos z on parillinen 6. sin z ja cos z ovat 2π-jaksollisia 7. cos z = cos x coshy j sinx sinh y, sin z = sin x cosh y + j cos x sinh y 8. sin z ja cos z eivät ole rajoitettuja! 9. sin z ja cos z saavuttavat jokaisen kompleksilukuarvon!
Esimerkki Esimerkki 9 Sinin kuvausominaisuuksia: sinz kuvaa suorat y = y 0 ellipseiksi. Miksi kuvautuvat suorat x = x 0?
Arcus - funktiot Kun sinz = w, määritellään z = arcsin w, w C. Arcussini on moniarvoinen, z = arcsinw = j log(jw + 1 w 2 ). Arcuskosini z = arccosw = j log(w + w 2 1), w C. Tangentin ja kotangentin käänteisfunktiot määritellään: arctanw = 1 2j log 1+jw 1 jw, arccotw = 1 2j log w + j w j, w ±j.
Hyperboliset funktiot ja area - funktiot Määritellään sinh z = ez e z, cosh z = ez + e z, 2 2 tanh z = sinh z cosh z = ez e z e z + e z, z j(π 2 + kπ), cothz = coshz sinhz = ez + e z e z e z, z jkπ.
Hyperpolisten ja trigonometristen funktioiden yhteys ej jz e j jz sinjz = 2j cos jz = coshz = e z e z 2j tanjz = j tanh z = j e z e z 2 sinh jz = j sin z, coshjz = cos z, tanh jz = j tanz = j sinh z
Ominaisuuksia cosh 2 z sinh 2 z = 1, sinh( z) = sinh z, jne. Käänteisfunktiot eli area-funktiot ovat sinh 1 z = log(z + z 2 + 1), cosh 1 z = log(z + z 2 1), tanh 1 z = 1 1+z log 2 1 z, coth 1 z = 1 2 log z + 1 z 1.
Raja-arvo, jatkuvuus Määritelmä Olkoon f(z) yksiarvoinen funktio pisteen z = z 0 ympäristössä, paitsi mahdollisesti pisteessä z = z 0. Luku l C on f(z):n raja-arvo kun z z 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa δ > 0: f(z) l < ǫ, kun 0 < z z 0 < δ. Merkitään lim z z0 f(z) = l tai f(z) l kun z z 0. Kompleksifunktio f(z) voidaan hajoittaa reaaliosaan u ja imaginaariosaan v; u(x,y) = Ref(z), v(x,y) = Imf(z),
Huom. Kompleksifunktio x + jy = z f(z) = u + jv = u(x,y) + jv(x,y) Vektorikenttä (x,y) (u,v) = (u(x,y),v(x,y)) Selvästi lim f(z) = l = a+jb z z 0 =x 0 +jy 0 lim u(x,y) = a (x,y) (x 0,y 0 ) lim v(x,y) = b, (x,y) (x 0,y 0 ) joten kompleksifunktion raja-arvolle pätevät vastaavat tulokset kuin kahden muuttujan reaalifunktion raja-arvolle.
Jatkuvuus Määritelmä Funktio f : A C on jatkuva pisteessä z 0 A, jos lim f(z) = f(z 0 ). z z 0 f = u + jv jatkuva u ja v jatkuvia. Kompleksilukujonon (z n ) raja-arvo on z C, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa N: z n z < ǫ, kun n > N.
Hyödyllistä tietoa Selvästi: Jos z n = x n + jy n ja z = x + jy, niin { x n x z n z y n y. Lause Olkoon z n 0 ja z 0. Tällöin { z n z z n z arg z n arg z mod 2π