DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä ajanhetki, jolla komponenttiin tuotu teho on maksimissaan b) Laske tehon p suurin arvo c) Laske piirielementtiin tuotu kokonaisenergia Lähdetään liikkeelle siitä, että piirretään komponentin jännite v(t), virta i(t) ja teho p(t) ajan t funktiona Kuvasta voidaan päätellä, että (a) teho saavuttaa maksiminsa suunnilleen ajanhetkellä ms, (b) maksimiteho on hieman yli 6 W ja (c) kokonaisenergiaa voidaan arvioida kuvittelemalla käyrän
pinta-alaa suunnilleen kuvaava suorakulmio kuvaajaan Tämä voisi olla noin 4 W 6 s = 4 mj Haetaan seuraavaksi täsmälliset vastaukset kohtiin (a), (b) ja (c) a) Muodostetaan ensin tehon lauseke: 5t 5t 6 p t v t i t 8te 5te t e Tehon maksimi löydetään p(t):n aikaderivaatan nollakohdan avulla, koska dp(t)/dt on tehon kuvaajan tangentti, eli kertoo tehon muutosnopeuden ajan funktiona Kun dp(t)/dt on nolla, kuvaajalle piirretty tangentti on vaakasuorassa dp t d t e d t e te e dt dt dt dp t 6 t t te e dt 6 6 6 : ms te t e te t t b) Tehon maksimiarvo saadaan selville, kun p(t) lausekkeeseen sijoitetaan t = s: 6 p e 65 W c) Kokonaisenergia W saadaan selville integroimalla tehoa ajan suhteen
6 6 t t W p t dt t e dt t e dt Hyödynnetään osittaisintegrointia, jonka mukaan f ' g fg fg ' Valitaan g t ja f ' e, jolloin g' t ja f e Tällöin 6 t t W e e dt Yllä olevan lausekkeen sijoitustermi menee nollaksi sekä ylä- että alarajalla Alarajan nollaksi meneminen on selvää, mutta ylärajan nollaksi meneminen on seuraus siitä, että e - lähestyy nollaa nopeammin kuin t lähestyy ääretöntä, kun t lähestyy ääretöntä On siis saatu, että t 6 W e dt 4 te dt Käytetään uudelleen osittaisintegrointia Valitaan g f e t ja f ' e, jolloin ' g ja Tällöin t W 4 e e dt Yllä olevan lausekkeen sijoitustermi menee nollaksi sekä ylä- että alarajalla Perustelu on sama kuin edellä On siis saatu, että
4 W 4 e dt 4 e 4 e 4 mj Kuvan virtapulssi kulkee kelan ( L 75 mh ) läpi a) Kirjoita it ():n yhtälö ajanhetkinä t, t 5 ms, 5 ms t 5 ms ja t 5 ms b) Johda lausekkeet kelan jännitteelle, teholle ja energialle ajan funktioina a) Suoran yhtälö on: i t i kk t t, jonka avulla saadaan virran yhtälöt: i( t) A, kun t ms i( t) 6 t A, kun t 5 ms i( t),8 6 t A, kun 5 ms t 5 ms i( t) A, kun t 5 ms b) Kelan jännitteelle, teholle ja energialle saadaan seuraavat yhtälöt:
u ut () di L dt u( t) V, kun t ms u t ( ) 6 75 6 V, kun t 5 ms u t ( ) 6 75 6 V, kun 5 ms t 5 ms u( t) V, kun t 5 ms p( t) u( t) i( t) p( t) W, kun t ms p( t) 6 6t 96 t W, kun t 5 ms p( t) 6,8 6t 96t 4,8 W, kun 5 ms t 5 ms p( t) W, kun t 5 ms E( t) Li( t) E( t) J, kun t ms E( t) 75 6t 48 t J, kun t 5 ms E( t) 75,8 6t 75, 64 5, 6t 56t, 4,8t 48 t J, kun 5 ms t 5 ms E( t) J, kun t 5 ms 6 Syötä tehtävän 4 kuvassa annettu virta käämiin ( aikaväleillä L mh ) ja laske käämin yli oleva jännite eri
i( t) 8 t A, kun t 5 μs i( t),4 A, kun 5 μs t 5 μs it () i( t) 8t, 6 A, kun 5 μs t 5 μs i( t) 8t, 4 A, kun 5 μs t μs u t ( ) 8 4 V, kun t 5 μs di u( t) V, kun 5 μs t 5 μs u() t L dt u( t) 8 4 V, kun 5 μs t 5 μs u t ( ) 8 4 V, kun 5 μs t μs 4 Määritä alla olevan piirin virta I E = V, R = 5, R =, R = 5, R 4 = 5, R 5 = 5 Kun kytkentä on oheisen kuvan mukainen, virta I saadaan Ohmin lain avulla: E I R I E R, jossa R on kytkennän kokonaisresistanssi Määritetään R vastuksia yhdistelemällä Vastukset R ja R 5 ovat sarjassa, koska niiden läpi kulkee sama virta Näiden yhdistetyksi resistanssiksi R 5 saadaan täten R5 R R 5 5 5 =
Vastukset R ja R 5 ovat rinnakkain, koska niiden yli on sama jännite Näiden yhdistetyksi resistanssiksi R 5 saadaan täten R R R R R R R 5 5 5 5 R 5 RR 5 R R 5 Vastukset R, R 5 ja R 4 ovat sarjassa, koska niiden läpi kulkee sama virta Näiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan täten R R R5 R 4 4 4 Kysytyksi virraksi I saadaan siis I E R A A 4 Laske oheisen piirin virrat i ja Kun kytkentä on oheisen kuvan mukainen, virta saadaan Ohmin lain avulla: i g 5 V, R 5 V R
jossa R on kytkennän kokonaisresistanssi Laskuvaiheet ja käytetyt merkinnät selviävät seuraavasta kuvasarjasta R R R R R R 4 Määritetään R vastuksia yhdistelemällä 5, ja ovat sarjassa, joten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R = (5++) = 4 5 ja ovat rinnakkain, joten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan: R 5 4 R = 4 6 ja R ovat sarjassa, joten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R = 6 Ω + R = (6 + 4) = R ja R ovat rinnakkain, joten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R 4 saadaan:
R R R R R R R 4 R 4 RR R R 4 4 8 ja R 4 ovat sarjassa, joten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R = + R 4 = ( + 8) = Täten virta on 5 5 A 5 A R Hyödynnetään virranjakoa virran i laskemisessa (katso kolmas kuva) Virta kulkee jakaantuu sen jälkeen rinnankytketyille vastuksille R ja R Kun R r on tarkasteltavan rinnankytkennän kokonaisresistanssi, virranjaon perusteella vastuksen R virta i on :n läpi ja RR R R R R i i i i r g g g R R R R 4 4 5 A A, Virta i kulkee 6 :n vastuksen läpi ja jakaantuu sen jälkeen rinnankytketyille vastuksille 5 ja Virranjaon perusteella :n vastuksen virta i on 5 Rr 5 i 5 i i A A 5