Moottorin säätö Miikka Ihonen 67367P Sampo Salo 79543L Kalle Spoof 83912K John Boström 83962B Venla Viitanen 84514C
Tehtävän määrittely Tehtävän aiheena on moottorin tyhjäkäynnin säätö. Tehtävässä tulee perehtyä tyhjäkäynnin fysiikkaan ja mallintaa tyhjäkäyntiprosessia. Prosessin mallille tulee tehdä erilaisia säätimiä ja virittää ne parhaalla mahdollisella tavalla ohjaamaan mallin käyttäytymistä. Eri säätimien sopivuutta mallimme säätöön tulee vertailla. Pääasiassa projektissa keskitytään moottorin tyhjäkäynnin säätämiseen. Tehtävänä on suunnitella annetulle moottorille säätö sekä PID-säädintä että tilasäätöä käyttäen. Säädön tärkein ehto on että säädön kanssa systeemi on stabiili. Lisäksi säädön tulee olla mahdollisimman nopeaa, ja lähtösignaalin mahdollisimman tasainen. Nämä ehdot on täytettävä mahdollisimman yksinkertaisella säätimellä. Päätimme pitää annattua moottoria henkilöauton nelitahtimoottoria vastaavana. Näin saimme kierrosluvulle tavoitearvon 7rpm ja alarajan 6rpm. Nelitahtimoottori Nelitahtimoottorin kehitti Nikolaus Otto vuonna 1876. Kaksitahtimoottoriinverrattuna sen toiminita on hieman monimutkaisempaa. Kun kaksitahtimoottorin kierros sisältää kaksi tahtia (eli mäntä laskee ja nousee kerran) on nelitahtimoottorin syklissä neljä tahtia (mäntä nousee ja laskee kaksi kertaa). Nelitahtimoottorin etuja ovat pienempi polttoaineen kulutus ja puhtaampi palaminen eli se on ergiatehokkaampi ja ekologisempi. Tämä johtuu siitä ettei nelitahtimoottorissa polttoainekaasuihin ei juurikan sekoitu pakokaasuja kaksitahtimoottorin tavoin. Haittana ovat monimutkaisempi rakenne ja sen myötä kohonnut massa.
Toiminta Nelitahtimoottorin toiminta voidaan kuvata neljänä toimintavaiheena. 1. Imutahti: Mäntä liikkuu sylinterissä alaspäin, jolloin paine sylinterissä laskee ja imuventtiilin kautta sylinteriin siirtyy polttoiane-ilma -seosta. 2. Puristustahti: Männän liikkuessa ylöspäin paine sylinterissä nousee ja imuventtiili sulkeutuu. Samalla pottoaine-ilma -seos puristuu. Poistoventtiili pidetään suljettuna. 3. Työtahti: Sytytystulppa sytyttää puristetun polttoaine-ilma seoksen, jonka palamiskaasujen aikaan saama paine painaa männän alas. 4. Poistotahti: Männän taas noustessa sylinterissä ylöspäin poistoventtiili avataan ja mäntä työntää pakokaasut pois sylinteristä. Moottorin tyhjäkäynti Voimansiirron ollessa irti (eli autossa kun vaihde on vapaalla tai kaasupoljin ylhäällä), moottori pyörii tyhjäkäynnillä. Tällöin moottori pyörii ajoa hitaammin pitäen yllä vain toissijaisia toimintoja kuten auton ilmastointia. Varsinaiseen moottorin käyttötarkoitukseen kuten auton liikuttamiseen tyhjäkäynnin käyntinopeus on useimmiten liian matala. Normaalissa henkilöautossa tyhjäkäyntinopeus on noin välillä 6-1rpm. Esimerkiksi kilpa-autoissa tyhjäkäyntinopeus on suurempi ja niiden tyhjäkäynti kuluttaakin enemmän polttoainetta. Näin saadaan moottori kiihtymään nopeammin. Toisaalta, jos nopeutta lasketaan polttoaineen kulutus vähenee mutta moottorin sammumisriski kasvaa. Tyhjäkäynnin säätö sisääntuloilman määrää säätelemällä Mootorin tyhjäkäynnin nopeuttaa säätelee moottorin muutakin toimintaa ohjaava kontrollointiyksikkö ECU:a (Engine Control Unit). Tyhjäkäyntiö säätelevät osat ovat säätöruuvi, tyhjäkäynninsäätöventtili, ISCV ( Idle Speed Control Valve), ja ilmaventtiili, AV (Air Valve). Kontrollointiyksikön ohjaama tyhjäkäynnin säätöventtiliä säätää kuristusventtiilille menevän ilman määrää. Ilmavirtausta joko lisätään tai vähennetään kuorman mukaan. Ilmavirran kasvattaminen nostaa tyhjäkäyntinopeutta ja ilmavirran pienentäminen taas laskee. Ilmavirran kasvaessa kontrollointiyksikkö kasvattaa moottoriin syötettävän polttoaineen määrää samssa suhteessa ilmavirran kanssa.
Ilmavirtaa kuristusventtiilin läpi taas säätää säätöruuvi. Säätöruuvia voidaan sätää ainoastaan manuaalisesti. Ilmaventtiili vain antaa ilman virrata lävitse. Kun moottoria aletaan käyttää, jäähdytysnesteen lämpötila nousee. Tällöin ilmaventtiili lopettaa tyhjäkäynnin estämällä ilman läpivirtauksen.
PID-säädin PID-säätimelle on asetettu säätöarvo, jota kohti säädin ohjaa systeemiä. Säätimelle syötetään takaisinkytkentänä järjästelmän ulostulon arvo, jota säädin vertaa säätöarvoon. Jos arvot poikkeavat säädin yrittää ohjata prosessia oikeaan suuntaan säätämällä prosessista riippuen esim. venttiiliä suuremmalle tai kasvattamalla järjästelmään syötettävää tehoa. PID-säädin koostuu kolmesta osasta, jotka ovat vahvistin, integrattori ja derivaattori. P-säätö eli vahvistin-osuus on suhteellista säätöä. Pelkällä P-säätö säätää prosessia suorassa suhteessa ulostulon virheeseen. Tämän PID-säätimen yksinkertaisimman säätömuodon huonona ominaisuutena on ettei se kykene säätämään järjästelmän ulostuloa täysin oikeaksi. I-säätö eli integraattori-osuus on korjaavaa säätöä. I-säädöllä ulostuloa säädetään poikkeamaan suuruuteen ja kestoon verrannollisella nopeudella. Erosuure siis integroidaan ajan suhteen. Prosessia säädetään kunnes virhe saadan nollaksi. D-säätö eli derivaattori-osuus on ennakoivaa säätöä. Derivaattorilla säädetyn systeemin ulostulo on verrannollinen poikkeaman muutosnopeuteen ja siksi D-säätö reagoikin prosessin nopeisiin muutoksiin hyvin. Samoin ennakoiva säätö on mahdollista D-säätimellä. G PID (s)=k P + K I s + K D s Näiden eri säätöjen suhteita muuttamalla voidaan etsiä paras mahdollinen säätö erilaisille prosesseille. Kaikkia termejä ei ole pakko käyttää vaan asettamalla esim D-termin kertoimen nollaksi saadaan PI-säädin.
Moottorin säätäminen PI-, PD- ja PID-säätimellä Tässä osiossa käydään läpi moottorin säätö PID-säätimellä. Aluksi esitellään säädössä käytetyt apuvälineet, eli käytetyt matemaattiset kaavat, Matlab-koodi ja simulink malli. Tämän jälkeen siirrytään itse säätöön, ja esitellään säädön vaiheita kuvaajin ja sanoin. Aluksi säädetään PIDsäätimellä, sillä se osoittautui ylivoimaisesti parhaaksi. PD-, ja PI-säätimet käydään lopussa lyhyesti läpi. Säädön vaiheet ovat seuraavat: systeemin stabiilisuus, varsinainen viritys (värähtelyt, nopeus) ja lopputulosten arvioiminen. Lähestymme ongelmaa siten, että valitsemme parhaat mahdolliset säätimen parametriarvot välittämättä kovinkaan paljon arvojen järkevyydestä. Syy tähän selviää säätämisen jälkeen lopputulosten arvioimisesta (Paljastetaan jo tässä vaiheessa kuitenkin se, että stabiili systeemi vaatii kohtuullisen järeitä säätöarvoja). Säädön apuvälineeksi valitsimme juuriuran sen selkeyden vuoksi. Juuriura on myös ehkä ainoa PID-säädön apuväline, jolla voi havainnollistaa konkreettisesti eri parametrien arvojen muuttumisen vaikutusta. Huomasimme juuri havainnollisuuden erittäin tärkeäksi, varsinkin yrittäessämme saada systeemiä stabiiliksi. Käytetyt apuvälineet Matlab-skripti juuriurien ja koko järjestelmän tutkimista varten %JUURIURA-SKRIPTI, PLOTTAA JOKAISEN TERMIN JUURIURAN JA SULJETUN SILMUKAN NAPA- NOLLA- KUVAAJAN. %moottorin parametrit a = 9.97e-4; b = 1; c = -.95; f = -.836; FP_1 = 2; FN_1 = 1; FP_2 = 1; FN_2 = 1; %PID-säätimen parametrit P = 1; I = 1; D = 1; %moottorin siirtofunktio moottori = tf([a], [1 (FP_1*.78-FN_2*1.61) (FN_1*FP_2-FN_2*FP_1)*.836]); % integraalitermille: i = tf([1], [b/a (D + c/a) (f/a + P) ]); subplot(2,2,1), rlocus(i) title('integral') % derivaattatermille d = tf([1 ], [b/a c/a (P + f/a) I]); subplot(2,2,2), rlocus(d) title('derivative')
% proportional-termille p = tf([1 ], [b/a (c/a + D) f/a I]); subplot(2,2,3), rlocus(p) title('proportional') % PID-säätimen siirtofunktio pid = tf([d P I], [1 ]); %suljettu silmukka suljettu_silmukka = tf([d P I], [b/a (c/a + D) (f/a + P) I]); subplot(2,2,4), pzmap(suljettu_silmukka) title('suljetun silmukan nolla-napakuvio') figure() plot(t, rpm) set(plot(t,rpm),'linewidth',2) set(gca,'fontsize',18) xlabel(''); ylabel('kierrosluku [rpm]') PID- säätöä varten rakennettu simulink- malli Referenssi PID(s) PID Säädin a den(s) Moottori rpm Kierrosluku Scope t Clock To Workspace
Tarvittavat kaavat Systeemin siirtofunktio: Juuriuraa varten saadaan:
Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Systeemin stabiilisuus Heikosti säädetyn (P = 1, I = 1, D = 1) moottorin juuriura on esitetty kuvassa 1. Kuvasta nähdään, että systeemi on lähtökohtaisesti hyvin epästabiili: kolmesta navasta ensimmäinen sijaitsee selvästi vasemmassa puolitasossa, toinen oikeassa puolitasossa hyvin lähellä origoa ja kolmas kaukana oikeassa puolitasossa. Ainoa parametri, jota säätämällä systeemiä saadaan lähemmäksi stabiilisuutta, on selvästi derivaattatermi. Derivaattatermiä täytyy kuitenkin kasvattaa melkoisesti, jotta kolmas napa liikkuisi kohti vasenta puolitasoa. 4 Integraali.15 Derivaatta 3 2 1.1.5 System: d Gain: Inf Pole: Damping: -1 Overshoot (%): Frequency (rad/s): System: d Gain: 681 Pole:.418 Damping: -1 Overshoot (%): Frequency (rad/s):.418-1 -.5-2 -3 -.1-4 -4-3 -2-1 1 2 3 4 Real Axis (seconds -1 ) -.15.2.4.6.8 1 Real Axis (seconds -1 ).4 Proportionaali 1 Suljetun silmukan nolla-napakuvio.3.8.6.2.4.1 -.1 -.2 -.3.2 -.2 -.4 -.6 -.8 -.4 -.5.5 1 1.5 Real Axis (seconds -1 ) -1 -.5.5 1 Real Axis (seconds -1 ) Kuva 1: Juuriura, P =1, I = 1, D = 1
Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Kuva 2. esittää juuriuria, kun derivaattatermiä on kasvatettu arvoon 1. Tässä tapahtuu varsin kummallinen ilmiö, eli derivaattatermin kasvattaminen muuttaa P- termin juuriuraa radikaalisti. Kuvasta 1. nähdään, ettei systeemiä voi saada stabiiliksi kyseisillä säätimen lähtöarvoilla. Kuvassa 2 taas on selkeästi nähtävissä se, että tietyllä P-termin arvolla (ja kasvatetulla D-termillä) systeemin toinen ja kolmas napa siirtyvät vasempaan puolitasoon ja systeemi muuttuu stabiiliksi. Tällä tavoin saamme siis stabiilin systeemin, jota voidaan lähteä virittämään nopeammaksi ja värähtelemättömästi. 2 Integraali.15 Derivaatta 1.5.1 1.5.5 -.5 -.5-1 -1.5-2 -2-1.5-1 -.5.5 1 Real Axis (seconds -1 ) -.1 -.15.2.4.6.8 1 Real Axis (seconds -1 ) 1 Proportionaali.4 Suljetun silmukan nolla-napakuvio.8.6.4.2 System: p Gain: 855 Pole: -.453 +.876i Damping:.517 Overshoot (%): 85 Frequency (rad/s):.877.3.2.1 -.2 -.4 -.6 -.8 System: p Gain: 13 Pole: -.166 -.13i Damping:.127 Overshoot (%): 66.8 Frequency (rad/s):.131-1 -.4 -.3 -.2 -.1.1.2.3.4 Real Axis (seconds -1 ) -.1 -.2 -.3 -.4 -.4 -.3 -.2 -.1.1.2.3.4 Real Axis (seconds -1 ) Kuva 2: Juuriura, P = 1, I = 1, D = 1
Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Varsinainen viritys PID-säätimellä Edellisessä kohdassa saimme säädettyä moottorin stabiiliksi, mikä on varsin hyvä lähtökohta varsinaiselle viritykselle. Tässä osiossa tutkimme juuriuran ja simulink-mallin avulla järjestelmän nopeutta ja värähtelyä. Säädämme järjestelmän mahdollisimman nopeaksi ja värähtelemättömäksi käyttäen apuna juuriuraa ja tietoa napojen sijainnin vaikutuksesta edellä mainittuihin ominaisuuksiin. Napojen sijaintiin yritämme vaikuttaa seuraavien kriteereiden avulla: Nopeus lisääntyy, kun navat liikkuvat kauemmas origosta Värähtelyn taajuus pienenee, kun navat lähestyvät reaaliakselia Lähtökohtana on tilanne, johon päädyimme edellisessä kohdassa. Lähtökohtaa havainnollistavat kuva 3 (juuriura) ja kuva 4 (systeemin askelvaste). Ideaalitapauksessa kaikki navat olisivat reaaliakselilla ja kaukana vasemmassa puolitasossa. Nyt pyrimme tasapainoilemaan näiden kahden kriteerin välillä sillä tavoin, että navat ovat mahdollisimman kaukana vasemmassa puolitasossa ja kohtuullisen lähellä reaaliakselia. 1.8.6.4 Integraali Derivaatta.2 System: d Gain: 1.11e+3 Pole: -.321 +.788i.15 Damping:.377 Overshoot (%): 27.8.1 Frequency (rad/s):.85.2.5 -.2 -.4 -.6 -.8 -.5 -.1 -.15-1 -1 -.5.5 Real Axis (seconds -1 ) -.2-1 -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 1 Real Axis (seconds -1 ) 1 Proportionaali.2 Suljetun silmukan nolla-napakuvio.8.15.6.1.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 System: p Gain: 211 Pole: -.419 -.352i Damping:.118 Overshoot (%): 68.8 Frequency (rad/s):.354.5 -.5 -.1 -.15-1 -.4 -.3 -.2 -.1.1.2.3.4 Real Axis (seconds -1 ) -.2 -.1 -.9 -.8 -.7 -.6 -.5 -.4 -.3 -.2 -.1 Real Axis (seconds -1 ) Kuva 3: Juuriura, P=1, I=1, D=1
kierrosluku [rpm] 8 6 4 2-2 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 4: Askelvaste, P=1, I=1, D=1 Kuvista 3 ja 4 voidaan helposti todeta, että systeemi on stabiili. Värähtelyssä ja nopeudessa on sen sijaan melkoisesti parannettavaa, sillä moottori asettuu vakionopeuteen vasta noin kahdeksan minuutin kuluttua. Yliampumista on myös monin verroin enemmän kuin olisi toivottavaa: haluttu tyhjäkäyntinopeus on 7rpm, ja alussa värähtelyn amplitudi on huimat 6 kierrosta minuutissa. Kun tarkastellaan lähemmin kuvaa 3, voidaan havaita, että D-termin kasvaessa kaksi napaa siirtyy kohti origoa. Toisin sanoen, D-termin kasvaessa systeemin värähtely vaimenee ja systeemi hidastuu. Tässä vaiheessa pidämme kuitenkin tärkeimpänä päästä kuvan 4 suuresta värähtelystä eroon, joten D-termin kasvattaminen on perusteltua. Seuraavat kuvat (kuvat 5 ja 6) näyttävät tilanteen, jossa kaksinkertaistimme D-termin pitäen muut termit vakiona. Yksi napa on siirtynyt hyvin paljon vasemmalle ja kaksi napaa pysyy aikalailla samoilla paikoilla. Tämä on nopeuttanut systeemiä selkeästi ja värähtely on vaimentunut, mutta tilanne ei ole läheskään halutun kaltainen. Juuriuraa tarkastelemalla huomataan, että P- ja D- termien kasvattaminen siirtää napoja edelleen parempaan suuntaan, joten seuraavaksi kasvatamme niitä.
Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) kierrosluku [rpm] 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 5: Askelvaste, P=1, I=1, D=2 4 Integraali.2 Derivaatta 3.15 2.1 1.5-1 -.5-2 -.1-3 -.15-4 -6-5 -4-3 -2-1 1 2 Real Axis (seconds -1 ) -.2-1 -.8 -.6 -.4 -.2.2.4.6.8 1 Real Axis (seconds -1 ).4 Proportionaali.4 Suljetun silmukan nolla-napakuvio.3.3.2.2.1.1 -.1 -.2 -.3 System: p System: p Gain: 382 Gain: 382 Pole: -.515 Pole: -.58 Damping: 1 Damping: 1 Overshoot (%): Overshoot (%): Frequency (rad/s):.515 Frequency (rad/s):.58 -.1 -.2 -.3 -.4-1.5-1 -.5.5 Real Axis (seconds -1 ) -.4-1.5-1 -.5 Real Axis (seconds -1 ) Kuva 6: Juuriura, P=1, I=1, D=2
kierrosluku [rpm] Kuvassa 7 on edellisestä tilanteesta kasvatettu P- ja D-termejä. Värähtelyt ovat kadonneet kokonaan, mutta kuvasta täytyy panna merkille aika-akselin pituus ( 1s). Aika-akselin pituus paljastaa systeemin hitauden: moottorilla kestää yli 17 minuuttia päästä haluttuun 7rpm tyhjäkäyntinopeuteen. Muutoin kuvaaja näyttää jo siltä, mihin oletamme PID- säätimen tässä systeemissä pystyvänkin: suhteellisen nopea mutta alkuun tulee jäämään pientä yliampumista. Säädöstä tiedämme sen, että I-termin kasvattaminen poistaa pysyvän virheen. Seuraavassa vaiheessa kasvatamme I-termiä ja päädymme lopullisiin parametriarvoihin. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 7: Askelvaste, P=5, I=1, D=4 Kuvissa 8 ja 9 on esitetty lopullinen PID- säätö. Askelvasteessa ei ole merkittävää yliampumista ja värähtely on varsin pientä. Hitaus on parantunut edellisiin kohtiin verrattaessa, mutta se on kuitenkin melko suuri. Moottori pääsee hyväksyttävään kierrosnopeuteen noin kymmenessä sekunnissa mutta tasaiseen 7rpm nopeuteen se asettuu vasta minuutin kuluttua. PID-säätimen lopulliset ja parhaat mahdolliset arvot ovat siis P = 5, I = 5 ja D = 4. Näillä arvoilla voidaan juuriurasta nähdä, että tilanne ei suuresti tule muuttumaan paremmaksi arvoja vaihdellessa. Nolla-napa- kuvaajasta nähdään, että yksi napa on reilusti vasemmassa puolitasossa ja kaksi napaa juuri ja juuri vasemmassa puolitasossa kompleksisina. Kaikkien napojen sijainti on optimoitu juuriuran avulla parhaaksi mahdolliseksi alussa annettuja virityksen kriteereitä silmällä pitäen.
Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) Imaginary Axis (seconds -1 ) kierrosluku [rpm] Lopullinen PID-säädetty systeemi 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 8: Askelvaste, P=5, I=5, D=4 2 Integraali 1 Derivaatta 15.8.6 1.4 5-5 -1-15.2 -.2 -.4 -.6 -.8-2 -2-15 -1-5 5 1 Real Axis (seconds -1 ) -1-2 -1.5-1 -.5.5 1 Real Axis (seconds -1 ) 1 Proportionaali.2 Suljetun silmukan nolla-napakuvio.8.15.6.1.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8.5 -.5 -.1 -.15 System: suljettu_silmukka Pole : -2.95 Damping: 1 Overshoot (%): Frequency (rad/s): 2.95 System: suljettu_silmukka Pole : -.675 -.111i Damping:.519 Overshoot (%): 14.8 Frequency (rad/s):.13 System: suljettu_silmukka Zero : -.625 +.927i Damping:.559 Overshoot (%): 12 Frequency (rad/s):.112-1 -4-3 -2-1 1 2 Real Axis (seconds -1 ) -.2-3 -2.5-2 -1.5-1 -.5 Real Axis (seconds -1 ) Kuva 9: Juuriura, P=5, I=5, D=4
kierrosluku [rpm] Varsinainen viritys PI-säätimellä Systeemin virittäminen PI-säätimellä ei ole mahdollista. Systeemin saattaminen stabiiliksi vaatii D-termin, joten D-termin puuttuessa systeemi jää epästabiiliksi huolimatta muista säätöparametreista. Kuvassa 1 on esitetty askelvaste systeemille, joka on viritetty lopullisen PID-säätimen arvoilla niin, että I-termi on. Kuvasta voi selvästi huomata epästabiiliuden. 2 x 14 1-1 -2-3 -4-5 -6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 1: PI-säätimen askevaste (P=5, I=5)
kierrosluku [rpm] Varsinainen viritys PD-säätimellä PID-säätimen virityksessä pidimme I-termin loppuun saakka hyvin pienenä muihin verrattuna. Lopussa huomasimme, että systeemi jää hitaaksi ja pysyvä poikkeama on suuri. Tämän huomion perusteella kasvatimme I-termiä, kunnes löysimme arvon, jolla pysyvä poikkeama katoaa ja systeemi pysyy riittävän nopeana ja värähtelemättömänä. PD-säädin on tämän perusteella toimiva ratkaisu, jos hyväksytään todella pitkäkestoinen pysyvä poikkeama moottorin kierrosluvussa ja ylipäätään systeemin hitaus (aika-akselin väli 1s). Kuvassa 11 on esitetty askelvaste PD-säätimelle. Kuvasta nähdään pitkäkestoinen pysyvä virhe, joka kuitenkin poistuu vähitellen. PD-säädintä tutkittaessa löysimme jopa arvoja, joilla pysyvä virhe näytti jatkuvan lähes äärettömiin. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 11: PD-Säätimen askelvaste (P=5, D=4) PI-, PD-, ja PID-säädön lopputulosten arviointi Systeemi on lähtökohtaisesti epästabiili ja sen saattaminen stabiiliksi vaati D- ja P-termien kasvattamista. Jo säädön alkuvaiheessa tuli siis selväksi, ettei PI-säätö ole mahdollinen D-termin tarpeellisuuden vuoksi. Stabiilisuus vaati hyvin suuria D-termin arvoja, joten säädössä ei voi olla kovin kriittinen säätöarvojen suuruusluokille. Arvojen suuruudesta voisi kuitenkin sanoa sen, että suuret säätöarvot eivät ole täysin mahdottomia, kun on kyseessä niinkin voimakas systeemi kuin polttomoottori. PD-säädöllä moottorin voi saada stabiiliksi sillä ehdolla, että systeemistä tulee hidas ja lopullinen tyhjäkäyntinopeus saavutetaan vasta minuuttien kuluttua. Hitaus on kuitenkin moottoria säädettäessä melko huono ominaisuus jo siitäkin syystä, että tyhjäkäyntiajat ovat yleensä muutamista sekunneista muutamiin minuutteihin. PID-säädöllä moottori saadaan stabiiliksi ja PD-säädölle ominasta hitautta saadaan vähennettyä. Systeemiin jää kuitenkin pientä hitautta, eikä moottori asetu haluttuun tyhjäkäyntinopeuteen kuin vasta noin 4 sekunnin kuluttua. PID-säätö on kuitenkin tässä osiossa käsitellyistä säädöistä käyttökelpoisin.
kierrosluku [rpm] Häiriöt HÄIRIÖ I: Kuorma 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 4: "Load Torque" Kuormahäiriö hetkeltä t=2 s
kierrosluku [rpm] Tyhjänkäynnin osalta tärkein häiriömuoto on moottorin kuorman lisäys, esim. ilmaistoinnin tai stereon päällekykeytyminen. Se simuloitiin vähentämällä askelfunktio moottorin lähdöstä. Askelkorkeudeksi eli maksimikierroslukuvaikutukseksi valittiin 15 rpm. Koska mikään laite ei kuluta tehoa välittömästi kytkeytymisen jälkeen, integroitiin askelfunktio jotta saatiin penger. Pengerfunktion jyrkkyys säädettiin integrattorin osoittajasta ja se ohjattiin pois päältä ->1 askelfunktiolla.3:n sekunnin jälkeen niin että se nousee haluttuun korkeuteen puolessa sekunnissa. Jotta saataisiin luonnollisemman näköinen häiriö, suodatettiin kulmat pois alipäästösuodattimella, jonka staattinen vahvistus on yksi. -5-1 -15.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Kuva 5: Kuormahäiriön kierroslukuvaikutus Kuvista 3-6 nähdään askelvaste kun kuorma kytkeytyy tietyillä hetkillä moottoriin. Meidän määritelmän mukaan (sallittu kierroslukualue 6-...rpm) moottori sammuisi jos häiriöhetki sattuisi olemaan noin 25-3 s johtuen säädetyn systeemin lievästä oskilloinnista. Vaikea kuitenkin arvioida, voisiko tällainen tilanne tapahtua todellisuudessa.
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 6: LT kun t=1 s 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 7: LT kun t=3 s
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 72 7 68 66 64 62 6 3 32 34 36 38 4 42 44 46 48 Kuva 8: zoom ed. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 9: LT kun t=1 s
kierrosluku [rpm] HÄIRIÖ II: Signaalin katko Yhdeksi mahdolliseksi häiriöksi keksimme myös säädön katkeamisen yhdeksi sekunniksi. Se toteutettiin kertomalla haluttu signaali ykkös-askeleella, joka tietyllä sekunnilla on nolla yllä olevan kuvan mukaisesti. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 1: PID-katko kun t=1 s
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 11: PID-katko kun t=1 s 77 76 SÄÄTÖ PÄÄLLE 75 74 73 72 71 7 69 68 98 1 12 14 16 18 11 112 114 Kuva 12: zoom ed. Kuva 7 näyttää PID-säätösignaalin katkon, kun moottorin kierrosluvut ovat asettumassa. Tämä ei näytä häiritsevän moottorin toimintaa merkittävästi. Kuvissa 8-9 askelvaste on jo ehtinyt stabiloitua häiriöhetkellä ja kierrosluvut pysyvät rajojen sisällä. Molemmissa tapauksissa moottorin epästabiilisuus nuosee mielenkiintoisella tavalla esiin. PID-säätimen huikeat kertoimet korjaavat tilanteen suhteellisen nopeasti.
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 13: Moott.katko, t=1 s 6 5 4 3 2 1-1 1 15 2 25 3 35 4 Kuva 14: zoom ed. Tehtäväannon mukaan kokeiltiin myös moottorisignaalin katko vaikkei tämä ole kovin realistinen tilanne tämäntyyppiseen häiriöön. Moottori sammuu tietenkin heti eikä tämä liity säätöön juuri mitenkään. Moottorin sammuttaminen onnistuisi sen sijaan erittäin hyvin juuri täältä.
kierrosluku [rpm] HÄIRIÖ III: Sini-/Satunnaishäiriö Viimensenä esitellään hieman perinteisempi häiriömuoto, eli joko säätö- tai moottorisignaaliin summattu jaksollinen siniaalto tai satunnaislukuja. Siniaallon taajudeksi käytettiin (7/6)*4 47Hz vastaamalla neljäsylinterimoottorista tulevaa mekaanista tärinää. Satunnaislukuja laitettiin tulemaan.3 sekunnin välein. 699.9 699.8 699.7 699.6 699.5 699.4 699.3 699.2 699.1 8 82 84 86 88 9 92 94 96 98 1 Kuva 15: PID-sig, f noin 7rpm, A=1 Kuva 12 on vahvasti suurennettu askelvaste aikavälillä, jossa mottori käytännössä pyörii vakionopeudella. Siitä huomaa, että säätösignaaliin lisätty häiriö näkyy hyvin heikkona lähdössä, eikä tämän kaltainen häiriö vaikuta moottorin toimintaan mitenkään. Vielä kerran voi siis todeta että tämän moottorimallin vaativa PID-säätösignaali on erittäin vahva!
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 9 85 8 75 7 65 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 16: moott.sig, f noin 7rpm, A=1 1 8 6 4 2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 17: moott.sig, f noin 3Hz, RandVar= 5 Suoraan lähtöön kytketty signaali sen sijaan on havaittavissa sellaisenaan. Jatkuvaa häiriönsyöttöä käytetty säädin ei pysty korjaamaan, mutta kierrosluvut pysyvät kuitenkin halutulla alueella. Moottoria on kuitenkin ajateltava mekaanisena systeeminä, jonka on käytävä mahdollisimman tasaisesti. Tästä syystä kuvien 13 ja 14 näyttämiä askelvasteita ei voida hyväksyä missään lopullisessa ratkaisussa.
WORST CASE SCENARIO Häiriötutkimisen Grande Finale on tietenkin kaikkien kolmen häiriötyyppien vaikutus samalla ajolla mutta vähän erillä ajanhetkillä. Niistä tulee vielä selkemmin esille se mikä toivottavasti vielä yhteenvedossa todetaan: PID-säädin ei sovi tyhjänkäyntisäätöön. Kaikissa simuloiduissa tapauksissa paitsi viimeisessä moottorin kierrosluvut putoaa alle 6 rpm. Sen lisäksi se on tähän tarkoitukseen aivan liian hidas, asettumisaika ei ole järkevä. Tämä on aika luonnollista jos miettii että PID on suoraviivainen käytettäessä ja helppo ymmärtää mutta suhteellisen vanhanaikainen ja ehkä enemmän teollisuusprosesseihin suunniteltu säädin.
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] 1 8 6 KUORMA KYTKEYTYY SÄÄTÖKATKO 4 2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 18: LT 2 s, katko 6 s, RandVar=1 12 1 8 6 4 2-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 19: LT 5 s, katko 1 s, RandVar=4
kierrosluku [rpm] kierrosluku [rpm] Kuva 16: Säätökatkosta palauttuminen aiheuttaa moottorin sammuminen. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kuva 2: katko 3 s, LT 27 s, RandVar=1 1 8 6 4 2-2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2
Kuva 218: LT 6 s, katko 1 s, RandVar=6 Kuva 18: Kun kuorman lisäys ja säätösignaalin katko tapahtuu minuutti käynnistämisen jälkeen, säädin pystyy pitämään kierrosluvut sallitulla alueella. Tästä seuraa ajatus siitä, että PID-säätimen suurin haittapuoli on korkea asettumisaika, koska häiriönsietokyky kasvaa moottorin saavutettua referenssiarvon. Tilasäätö tilasuureesta Jotta tilasäätö tilasuureesta voidaan toteuttaa tulee syssteemin olla saavutettava ja havaittava. Muutoin on käytettävä estimaattoria. Tilasäätö tilasuureesta tarkoitta että takaisinkytkentä säätöä varten tulee tilasuureesta eikä lähdöstä. Yleinen tilaesitys tällaisille systeemille (tilasäädön D-termi on nolla): ẋ(t)=ax(t )+ Bu(t) y(t)=cx(t)
Tilasäätö 1. saavuteettavuus ja havaittavuus Ensiksi tarkastellaan systeemin saavutettavuutta ja tarkkailtavuutta. Systeemin on oltava saavutettava, että sille voidaan tehdä tilasäätö (takaisinkytkennän navat voidaan valita vapaasti). Jos systeemi ei ole saavutettava, mutta on tarkkailtava, voidaan käyttää tilasäätöä. Laskimme saavutettavuuden matlabilla: (huom. saavutettavuus engl. contollability) % Saavutettavuusmatriisi, controllability M_c=ctrb(moottori); % Tämän tulisi olla eri suuri kuin nolla! saavutettavuus=det(m_c) moottori on: % A-matriisin alkiot a11=-fp_1*p_/(tau_n*m_); a12=-fn_1*n_/(tau_n*m_); a21=fp_2*p_/(t_j*t_); a22=fn_2*n_/(t_j*t_); % Moottorin tilaesitys matriisi-vektori -muodossa moottori=ss([a11 a12;a21 a22],[1/tau_n;],[ 1],); Moottori oli saavutettava, joten sitä voidaan säätää tilasäädöllä. Tilaestimointisäätöä ja tarkkailtavuuden tarkistamista ei tehdä. 2. tilasäätö lähtösuureesta Juuriurasta nähdään, että toinen napa on aika oikeassa s-puolitasossa ja systeemi olisi tällä säätimellä epästabiili. Juuriura on saatu komennolla rlocus(moottori). Sama nähdään myös laskemalla säädetyn systeemin karakteristisen yhtälön juuret. Kuva 22 Moottorin juuriura
3. tilasäätö tilasuureesta Nyt järjestelmän navat voidaan asettaa ainakin teoriassa mielivaltaisesti. Niiden on kuitenkin oltava vasemmassa s-puolitasossa. Lähdimme hakemaan säädintä, jolla moottori toimii nopeasti; sen tulisi saavuttaa 6 rpm noin puolessa sekunnissa. Lisäksi kierrosluku ei saa missään vaiheessa tippu alle 6 rpm. 3.1 Ei häiriötä Ensin kokeilimme reaalisia napoja ilman häiriöitä. Niillä saadaan nopea systeemi, jossa ei tapahdu ylitystä. Napojen täytyy kuitenkin olla aika kaukana vasemmalla verrattuna systeemiin, jonka navat ovat imaginäärisiä. Seuraavaksi testasimme napoina konjugaattipareja eri etäisyyksillä origosta. 8 7 6 5 4 (-1,i) (-2,i) (-5,i) (-1,i) (-2,i) 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 23: Reaalisia napoja Kasvattamalla pelkästään napojen reaaliosaa, huomaamme, että vasta kun navat ovat lähempänä pistettä -1 alkaa moottorin käynnistyksen vaste olla vaaditulla tasolla.
12 1 (-1,+-1i) (-1,+-2i) (-1,+-5i) (-1,+-3,2i) 8 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Kuva 24: Napoja, reaaliosa -1 Jos reaaliosaa pidetään -1:ssä ja kasvatetaan imaginääriosaa, ainoa tyydyttävä vaste on kun imaginääriosa on +-3,2m jolloin moottori käynnistyy noin puolessa sekunnissa yli kierrosluvun 6 ja värähtelykään ei laske alle 6 rpm. 12 1 8 6 4 2 (-2,+-1i) (-2,+-2i) (-2,+-3i) (-2,+-5i) (-2,+-1i) (-2,+-6.5i) 1 1.5 2 2.5 3 Kuva 25: Napoja, reaaliosa -2 Kun napojen reaaliosaa pideään -2:ssa, riittävä nousuaika saadaan jo kun imaginääriosa +-5. Nopeutta voidaan lisätä kasvattamalla imaginääri osaa aina +-6.5 saakka, jolloin kierrosluvun
värähtely pysyy vielä sallituissa rajoissa. 1 9 8 7 6 5 4 3 (-5,+-2.5i) (-5,+-5i) (-5,+-1i) (-5,+-17i) 2 1 1 1.5 2 2.5 Kuva 26: Napoja, reaaliosa -5 Kun taas reaaliosa pidetään -5:ssä, saadaan riittävän nopea vaste jo imaginääriosan ollessa +-3. Suurimman sallimamme värähtelyn saamme, kun imaginääriosan arvo on +-17.
1 9 8 (-1,+-5i) (-1,+-1i) (-1,+-2i) (-1,+-34i) 7 6 5 4 3 2 1.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Kuva 27: Napoja, reaaliosa -1 Kasvatetaan napojen reaaliosaa -1:een. Nousuaika kaikilla imaginääriosan arvoilla täyttää vaatimuksemme, värähtelyä on liikaa, jos imaginääriosaa kasvatetaan yli +-34:n. 1 9 8 7 6 5 4 3 2 (-2,+-1i) (-2,+-2i) (-2,+-4i) (-2,+-65i) 1.8.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Kuva 28: Napoja, reaaliosa -2 Napojen reaaliosa on -2. Edelleen vaste on riittävän nopea kaikilla arvoilla. Maksimaalisen värähtelyn saavutamme, kun imaginääriosa on +-65 tai enemmän.
3.2 Kuorma Nyt Järjestelmään lisätään kuvan 8 mukainen kuorma, joka kuvaa esimerkiksi tilannetta, jossa auton lämmitys laitetaan päälle hetkellä t=1s. Lähdimme simuloimaan napoja samassa järjestyksessä kuin edellä. Myös ehdot, jotka systeemin tulee täyttää ovat samat. 7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 29: Kuorma, kun navat ovat -1 72-5+-i -6.5+-i 7-8+-i 68 66 64 62 6 58 56 9.5 1 1.5 11 11.5 12 Kuva 3: Kuorma reaalisilla navoilla Kuvaajasta huomaamme, että kun navat ovat pisteettä -6,5 tai kauempana origosta, järjestelmä
kestää simuloimamme kuorman. 1 9 (-1,+-3.2) 8 7 6 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 31: Kuorma, navat -1+-3.2 Huomamme, että säädetty järjestelmä ei kestä kuormaa, jos navat reaaliosa on -1. 8-2+-5-2+-6.5 75 7 65 6 55 8 9 1 11 12 13 Kuva 32: Kuorma, navat -2+-5i...6.5i Huomaamme, että säädetty systeemi kestää kuorman kaikilla niillä imaginääriosan arvoilla, jotka täyttivät kriteerimme jo käynnistysvasteessa.
75-5+-3i -5+-5i -5+-1i -5+-17i 7 65 6 55 9.5 1 1.5 11 11.5 12 Kuva 33: Kuorma, navat -5+-3i...17i Nyt napojen imaginääriosilla tietyissä pisteissä on ylärajat, joita ei voi ylittää ilman, että värähtely on liian suuri. Kun tutkimme käyttäytymistä moottoria käynnistäessä (kohta 3.1) imaginääriosan kasvattaminen lisäsi värähtelyä (vaikka kyllä nopeutti vastetta).
Häiriö ulostulossa 8 7 6 5 4 3 2 1-1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 34 Häiriö ulostulossa Simuloimme ulostuloon kohdistuvaa satunnaista häiriötä random number lohkolla, asettamalla varianssiksi 1 ja sample timeksi.1s. Tätä simuloidessamme pidimme myös kuorman kytkettynä ajanhetkellä 1 sekuntia.
76 74 72-2+-5i -2+-6.5i -5+-3i -5+-5i 7 68 66 64 62 6 58 9.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 11 11.2 11.4 Kuva 35 Satunnaishäiriöllä ja kuormalla eri navoilla kuorma 95 9-2+-5i -2+-6.5i -5+-3i -5+-5i 85 8 75 7 65 6 55 1 1.5 2 2.5 3 Kuva 36 Satunnaishäiriöllä ja kuormalla eri navoilla startti Huomaamme, että valitsemallamme kuormalla ja häiriöllä pieninapaiset säädetyt järjestelmät eivät tahdo pitää kierroslukua yli 6 rpm:n. Kuvista 14 ja 15 nähdään, että jos navat ovat pisteessä -5+- 5i, kierrosluku pysyy joka hetkellä riittävän korkealla. Voidaan myös tehdä johtopäätös, että tällaisen systeemin napojen reaaliosan on oltava vähintään -5.
3.3 sinihäiriö erosuureessa -amplitudi 1*1^5, vaihe pi (rad), kulmanopeus 2 (rad/s). Amplitudi on todella iso, mutta se on samaa luokkaa kuin L-matriisin antama arvo. Lähdimme jälleen simuloimaan napoja samassa järjestyksessä. Emme simuloineet tätä häiriötä siten, että kuorma olisi kytkettynä. Kuva 37:Erosuureen häiriö
8 7 6 5 4 (-1,i) (-3,i) (-5,i) 3 2 1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 38: Häirö erosuureessa, Re navat 12 1 (-1,+-1i) (-1,+-3i) (-1,+-5i) 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Kuva 39:Häiriö Re-osa=1 navat (-1,+-1i) ei kelpaa, koska rpm tippuu alle 6:n alussa.
8 (-3,+-1i) (-3,+-3i) (-3,+-5i) 75 7 65 6 2 3 4 5 6 7 8 9 Kuva 4:Häiriö Re-osa -3 Kaikissa tapauksissa kaukana origosta olevat napapari vaimentaa tätä häiriötä parhaiten. Nämä Ohjaukseen kytkeytyvät häiriöt eivät ole ongelma navoilla, jotka vaadittiin lähdön häiriöiden kompensointiin. 3.4 Johtopäätökset tilasäädöstä Vaikka navat voidaankin sijoittaa mielivaltaisesti, liian suuret navat kuluttavat paljon energiaa. Myös Re-osaltaan pienillä navoilla imaginääriosat ovat rajattuja: liian pieni imaginääriosa ei kestä kuormaa tai häiriötä ja liian suuri aiheuttaa liikaa värähtelyä alussa. Päädyimme napaan -5,+-5i, joka kestää kuorman, kaikki häiriöt ja on tarpeeksi nopea. Tämä oli siis pienin napa, joka nämä kriteerit täytti. Näin saadaan mahdollisimman pienet säätimen arvot L1, L2 ja T, jotka määrittelevät tehonkulutusta. Nämä arvot saadaan laskettua (navalle, joka on muotoa a+-bi) kaavoilla: Napaparille -5,+-5i nämä arvot ovat: L1 = 8.685 L2 = 8.8454e+4 T1 = 7.1736e+4
Loppupäätelmät Prosessi saatiin stabiiliksi PID, PD säätimillä ja tilasäädöllä tilasuureesta. PI-säätö ei toiminut, koska D-termi tarvitaan välttämättä stabiiliuden saavuttamiseksi. Tilasäädöllä lähtösuureesta taas molempia napoja ei saa vasempaan puolitasoon, eli taaskaan systeemi ei ole stabiili. PID-säädöllä systeemiin jää pientä värähtelyä ja asettumisaika on varsin pitkä, kymmeniä sekuntteja. Säätö PID-säätimellä on kuitenkin mahdollista vain yhden kierrosnopeusmittarin avulla. Tilasäädön etuna on että systeemin navat on mahdollista asettaa mielivaltaisesti haluttuun paikkaan kompleksitasossa. Näin säädetystä systeemistä saadaan mahdollisimman nopea ja stabiili. Haittapuolena on että tilasäätöa varten tarvitsee säätää sekä painetta että kierroslukumäärää eli se on hieman PID monimutkaisempi toteuttaa. Tästä saattaa aiheutua liiaksi kustannuksia esimerkiksi tarvittavista mittalaitteista. Jos kuitenkaan näin ei ole, on tilasäätö ehdottomasti paras käsitellyistä säätövaihtoehdoista kyseiselle systeemille.
Lähteet Modern control systems Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. Introduction to modeling and control of internal combustion engine systems Lino Guzzella and Christopher H. Onder. Automotive control systems : for ingine, driveline, and vehichle Uwe Kiencke, Lars Nielsen. http://en.wikipedia.org/wiki/idle_speed http://www.autowiki.fi/index.php/tyhjäkäynti http://www.autowiki.fi/index.php/nelitahtimoottori http://www.animatedengines.com/otto.html http://www.miata.net/garage/isc.html http://en.wikipedia.org/wiki/engine_control_unit#control_of_idle_speed http://www.aa1car.com/library/idle_speed_control_valve.htm http://autsys.tkk.fi/pub/control.tkk.fi/kurssit/verkkokurssit/as- 74.2111/simulointi/oppitunti5/pid.html http://wiki.metropolia.fi/pages/viewpage.action?pageid=12159966 http://www.autowiki.fi/index.php/tyhjäkäynti http://www.autowiki.fi/index.php/nelitahtimoottori Työmäärät Miikka Jone Sampo Kalle Venla 5h 4h 4h 4h 4h