1 1 PERUSKÄSITTEITÄ Luonto on täynnä aaltoja. Aaltoliikettä voi syntyä kimmoisissa systeemeissä, jotka poikkeutettuna tasapainotilastaan pyrkivät palaamaan siihen takaisin. Aalto etenee, kun poikkeama (häiriö) etenee systeemissä paikasta toiseen. Tällaisia häiriöitä (aaltoja) ovat esimerkiksi ääniaallot, veden pinnan aaltoilu, maanjäristykset, valo, tv- ja radiolähetykset sekä yleensä sähkömagneettiset aallot. Aaltoja on siis kaikkialla ja niitä joudutaan käsittelemään paljon esimerkiksi fysikaalisissa, teknillisissä ja biologisissa tieteissä. Tämän vuoksi tarvitaan teoreettista aaltoliikeoppia, joka yhtenäistää eri luonnontieteissä esiintyvien aaltoihin liittyvien ilmiöiden kuvausta. Kuvassa (a) väliaineena on jännitetty köysi. Köyttä häiritään heilauttamalla sen toista päätä ylös-alas-suunnassa nopeasti. Syntyy pulssi, joka etenee köyttä pitkin muotonsa säilyttäen. Köyden eri osaset läpikäyvät saman poikkeaman myöhempinä ajanhetkinä kuin köyden pää alussa. Koska osaset poikkevat poikittaissuunnassa (kohtisuorasti, transverse) häiriön etenemissuuntaa vastaan, niin aalto on ns. poikittainen aalto (transverse wave). Poikittaiseen aaltoon liittyy aina myös ns. polarisaation käsite. Jos köyden osasten liike tapahtuu yhdessä ainoassa tasossa, niin kysymyksessä on tasopolarisoitu eli lineaarisesti polarisoitu aalto. Huom! Sähkömagneettinen (ei-mekaaninen) aaltoliike on myös poikittaista aaltoliikettä. Siinä sähkö- ja magneettikentät värähtelevät kohtisuorasti aallon etenemissuuntaa vastaan. Tässä ja seuraavassa kappaleessa, tarkastelemme ns. mekaanisia aaltoja, ts. aaltoja, jotka tarvitsevat jonkin konkreettisen väliaineen missä edetä. Esimerkki tällaisesta aallosta on ääniaalto, joka etenee paineen muutoksina ilmassa. Esimerkkinä ei-mekaanisesta aallosta voidaan mainita vaikkapa valoaalto, joka voi edetä myös tyhjiössä. 1.1 AALTOJEN TYYPIT Mekaaninen aalto on häiriö, joka etenee jossakin materiaalissa eli ns. väliaineessa (medium). Aallon edetessä väliaineen hiukkaset (osaset, partikkelit) poikkeavat hetkellisesti tasapainoasemistaan. Aallon tyyppi riippuu siitä, mihin suuntaan poikkeaminen tapahtuu. Asiaa valaistaan seuraavan sivun kuvassa. Kuvassa (b) väliaineena on sylinterissä oleva neste tai kaasu. Väliaineeseen aiheutetaan häiriö heilauttamalla mäntää kerran nopeasti edestakaisin. Paineen muutos (pulssi) liikkuu pitkin sylinteriä siten, että väliainehiukkaset poikkeavat tasapainoasemistaan pulssin etenemissuunnassa. Aalto on ns. pitkittäinen aalto (longitudinal wave).
3 Kuvassa (c) väliaineen muodostaa astiassa oleva vesi, johon synnytetään pinta-aalto. Veden pinnalla etenevässä aallossa vesiosaset poikkeavat sekä poikittaisessa että pitkittäisessä suunnassa, joten aallolla on sekä poikittainen että pitkittäinen komponentti. Esimerkin aalloilla (kuten kaikilla) on kolme yhteistä seikkaa: 1) Häiriö etenee väliaineessa tietyllä vakionopeudella v, eli ns. aallon etenemisnopeudella (wave speed). On huomattava, että häiriön nopeus ei ole sama kuin väliaineen hiukkasten nopeus niiden värähdellessä tasapainoasemiensa ympäristössä. ) Väliaine itsessään ei etene paikasta toiseen. Se mikä etenee on häiriö (sen muoto). 3) Systeemin poikkeuttaminen tasapainoasemastaan vaatii energiaa. Aaltoliike kuljettaa siis mukanaan energiaa ja liikemäärää. Muita tyyppijakoja: Aaltoliikkeet voidaan luokitella myös sen mukaan, miten monessa dimensiossa (ulottovuudessa) aalto etenee: - 1-dimensionaalinen aaltoliike esim. aalto jännitetyssä langassa tai kitaran kielessä - -dimensionaalinen aaltoliike esim. värähtelevä levy tai pinta-aallot vedessä - 3-dimensionaalinen aaltoliike esim. ääni- ja valoaallot Lisää käsitteitä: - Pulssi: Jos esimerkiksi vieterin päätä poikkeutetaan vain kerran (kuva), niin jokainen vieterin osanen on levossa, kunnes aalto saapuu sen kohdalle. Aallon ohituksen jälkeen osanen on jälleen levossa. - Pulssijono: Esimerkiksi köyden päätä poikkeutetaan jatkuvasti. - Jaksollinen aalto: Jos köyden pään liikuttelu on jaksollista (periodista), syntyy periodinen aaltojono. Näistä yksinkertaisin on harmoninen aalto (kuva). 4 Voidaan osoittaa (Fourier-analyysi), että mikä tahansa periodinen aalto voidaan esittää harmonisten aaltojen lineaarikombinaationa. Tämän vuoksi harmoniset aallot ovat erityisen tärkeitä ja periaatteessa riittää tarkastella vain niiden teoriaa. - Aaltorintama on 3-ulotteisessa aallossa niiden pisteiden muodostama pinta, jossa aalto on samassa vaiheessa (esim. aaltojen harjojen muodostama pinta). Homogeenisessä ja isotrooppisessa väliaineessa aaltorintama on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. - Säde puolestaan on suora, joka on kohtisuorassa aaltorintamaa vastaan, ts. osoittaa aallon etenemissuuntaan. Pistemäinen lähde synnyttää palloaallon, jonka aaltorintamat ovat pallopintoja (kuva a). Kaukana lähteestä pallopinnat suoristuvat lähes tasoiksi. Kyseessä on tasoaalto (kuva b).
5 1. AALTOFUNKTIO JA AALTOYHTÄLÖ Aallon ominaisuuksien yksityiskohtaiseen matemaattiseen kuvaamiseen tarvitaan ns. aaltofunktio (wave function). Aaltofunktio on funktio, joka kertoo väliaineen hiukkasten poikkeaman tasapainosta millä tahansa ajanhetkellä. Funktio voi olla aaltofunktio vain, jos se toteuttaa ns. aaltoyhtälön (wave equation). Tarkastellaan esimerkkinä aallon (pulssin) etenemistä jännitetyssä langassa. Asetetaan lanka x- akselin suuntaiseksi ja olkoot langan osasten poikkeamat y- suuntaisia (kuva). Kysymyksessä on poikittainen aalto, jonka aaltofunktio on y f(,) xt. (1..1) Aaltofunktio kertoo paikassa x olevan langan osasen poikkeaman y ajanhetkellä t. Kysymyksessä on siis kahden muuttujan funktio. Tarkastellaan pitkässä kitkattomassa langassa etenevää pulssia. Ajanhetkellä t 0 langan muoto olkoon y f( x) (kuva alla). Kun kitkavoimat ovat pieniä, pulssi etenee langassa samanmuotoisena ja vakionopeudella v. Siten ajanhetkellä t langan muoto on 6 y f( xv t). (1..) Funktio antaa siis saman muodon pisteessä xv t ajanhetkellä t kuin mikä langalla oli ajanhetkellä t 0 pisteessä x 0. Funktio (1..) esittää positiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa. Vastaavasti on helppo päätellä, että negatiivisen x-akselin suuntaan etenevää aaltoa kuvaa funktio y f( xv t). Vuonna 1747 Jean Le Rond d'alambert otti matematiikassa käyttöön osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja kirjoitti samana vuonna artikkelin värähtelevistä kielistä, jossa käsite differentiaalinen aaltoyhtälö esiintyy ensimmäisen kerran. Kysymyksessä on lineaarinen toisen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, joka yksiulotteisen aallon tapauksessa on muotoa y 1 y. (1..3) x v t On helppo todeta, että funktiot y f( xv t) toteuttavat tämän aaltoyhtälön. Aaltoyhtälö on yksi fysiikan tärkeimmistä yhtälöistä. Kaikki pulssit, aallot ja etenevät häiriöt, riippumatta siitä ovatko ne sinimuotoisia tai muuten periodisia, toteuttavat aaltoyhtälön. Kun aaltofunktio tunnetaan, siitä voidaan laskea poikkeaman y lisäksi mm. langan osasten nopeudet v y y (,) xt f(,) xt t t, (1..4) kiihtyvyydet v y ay (,) xt f(,) xt (1..5) t t ja langan muoto millä ajanhetkenä tahansa.
7 Vielä aallon nopeudesta (vauhdista) v : Kun aallon etenemistä seurataan ajan funktiona, tietyltä aallon vaiheelta (esim. pulssin huippukohdalta) vaaditaan, että poikkeama y säilyy vakiona, ts. on myös oltava xv t = vakio. Kokonaisdifferentiaali d dx dt 1dx v dt 0 x t Antaa tuloksen dx dt = v Nopeus on ns. vaihenopeus. Esimerkki: Esittääkö funktio yexp( xv t) aaltoa? 1. tapa: kyllä esittää, sillä se on muotoa y f( xv t). Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Huomaa, että kysymyksessä ei ole periodinen aalto.. tapa: käytetään aaltoyhtälöä y exp( xvt) exp( xv t) y x x y v exp( xvt) v exp( xvt) v y t t Kun nämä tulokset sijoitetaan aaltoyhtälöön (1..3) y y, mikä on totta, ts. funktio toteuttaa yhtälön ja esittää siten aaltoa. Esimerkki: Jännitetyssä köydessä etenevän pulssin muotoa ajanhetkellä t 0 kuvaa SI-yksiköissä funktio y3 /(x 1). Mikä funktio kuvaa pulssia ajanhetkellä t, kun pulssi etenee positiivisen x-akselin suuntaan vauhdilla m/s? Hahmottele pulssi koordinaatistoon ajan hetkillä t 0 ja t 1 s. 8 Vaatimus on, että muuttujat x ja t esiintyvät muodossa xv t. On siis kirjoitettava 3 3 y, ( xvt) 1 ( x t) 1 missä siis v m/s. Tulos on SI-yksiköissä, joten x ja y ovat metreinä ja aika t on sekunteina. Jos yksiköt kirjoitetaan näkyviin, niin edellä esitetty tulos on muotoa 3 3 m y. m ( x t) 1 m Ohessa Mathematica-ohjelmalla piirretyt kuvaajat vaadituilla ajanhetkillä t 0 ja t 1 s. Kuvaajassa vaaka-akseli (x-akseli) ja pystyakseli (poikkeama- eli y-akseli) ovat metreinä. s Kuvaajista nähdään, että yhden sekunnin aikana pulssi on todellakin edennyt metriä ja vielä siten, että sen muoto säilyy.
9 1.3 HARMONINEN AALTO Mielenkiintoinen ja tärkeä erikoistapaus aallosta on ns. harmoninen aalto, joka on muotoa sin ( v ) tai y Acos k( x t) y A k x t v. (1.3.1) Näissä A ja k ovat vakioita, joiden arvoja voidaan muutella aallon silti menettämättä harmonisuuttaan. Nyt sin cos( / ), joten siniä ja kosinia erottaa toisistaan vain /:n radiaanin vaihesiirto. Jatkossa riittää siis tarkastella vain jompaa kumpaa näistä harmonisista funktioista. Valitaan sini: y Asin k( xv t). (1.3.) Harmoninen aalto on kahden muuttujan (x ja t) funktio. Seuraavassa tarkastelemme kahta tavallisimpaa harmonisen aallon esitystapaa: (a) Olkoon t vakio Kuvassa on aallon aallonpituus ja A amplitudi. Pisteissä x ja x aallolla on sama poikkeama (siis y), joten v v Asin k( x t) k Asin kx ( t) Asin kx ( t) Koska sinin periodi on tunnetusti, saadaan v. 10 k k. (1.3.3) Tässä k on ns. etenemisvakio eli ns. aaltoluku. (b) Olkoon x vakio Kuvassa T on aallon periodi eli jakson aika ja A on amplitudi. Hetkillä t ja t T aallolla on sama poikkeama, joten v v Asin k( x t) k T Asin kx ( t) Asin kx ( ( t T)) v v. Nyt saadaan kvt v, (1.3.4) kt ( / ) T T missä 1 (1.3.5) T on aallon taajuus. Usein taajuutta merkitään myös f:llä. Aaltoliikkeen yhteydessä (varsinkin optiikassa) symboli on kuitenkin vakiinnuttanut asemansa. Kulmataajuus määritellään yhtälöllä f. (1.3.6)
11 Edellä esille tulleita suureita käyttäen harmoninen aalto voidaan esittää mm. seuraavissa muodoissa: y Asin k( xv t), y Asin kx t, x t y Asin T. Kaikissa tapauksissa sinifunktion argumenttia, joka riippuu siis paikasta ja ajasta, sanotaan aallon vaiheeksi (vaihekulma). Esimerkiksi k( xv t) kxt. (1.3.7) Usein vaiheessa tarvitaan myös vakio-osa, jolloin kirjoitetaan kxt, (1.3.8) missä 0 on muuttujista x ja t riippumaton ns. vaihevakio. Monesti kokonaisvaihe kirjoitetaan myös järjestyksessä 0 t kx. (1.3.9) Näin voidaan tehdä, mutta on muistettava, että valittua järjestystä ei kannata muuttaa kesken kaiken. Tässä kurssissa käytämme pääasiassa järjestystä (1.3.8). Kun x ja t muuttuvat siten, että vaihe pysyy vakiona, poikkeama y Asin säilyy myös vakiona. Vakiovaiheisuus kuvaa aallon tietyn pisteen liikettä; pisteen nopeus on sama kuin aallon nopeus. Aallon tämä ns. vaihenopeus saadaan siis laskemalla (ks. sivu 7) josta d k( dx v dt) 0, dx dt v. 0 1 Esimerkki: Etenevää aaltoa kuvaa SI-yksiköissä funktio y( x, t) 0.35sin 3 x10 t / 4. Määritä aallon amplitudi, aaltoluku, aallonpituus, kulmataajuus, taajuus ja vauhti sekä etenemissuunta. Laske lisäksi kohdassa x 0.10 m olevan väliainehiukkasen poikkeama ajanhetkellä t 0. - amplitudi A 0,35m (Huom! Yksiköt kirjoitettava näkyviin) - aaltoluku k 3 (1/m) - aallonpituus m k 3 - kulmataajuus 10 (1/s) - taajuus f 5Hz (Huom! 1/s = Hz = Hertsi) 1 - vauhti v m5 3.33m/s 3 s - etenee positiivisen x akselin suuntaan. Vauhti saadaan myös vaiheesta 3 x10 t /4 differentioimalla d 3 dx 10 dt 0, josta dx 10 v 3.33m/s. dt 3 Aalto etenee positiivisen x-akselin suuntaan. Poikkeama paikassa x 0.10 m hetkellä t 0. y(0.10,0) 0.35sin 3 0.10 10 0 / 4, 0.35sin 3 /10 / 4 0.35sin 11 / 0 = 0.346m.
Kompleksiesitys: Harmoninen aalto esitetään usein kompleksimuodossa 13 i( kx t), y Ae joka Eulerin kaavalla avautuu muotoon y Acos( kxt) iasin( kxt). Kompleksiesitys sisältää siis sekä sini- että kosiniaallon. Erilaisia ilmiöitä tarkasteltaessa on usein laskennollisesti kätevämpää operoida kompleksiesityksellä kuin todellisella sini- tai kosinimuodolla. Monesti kirjoitetaan y x t i( kx t) (, ) Re{ Ae }, jonka reaaliosa siis esittää todellista (reaalista) aaltoa (kosinimuodossa). On myös tavallista, että aallossa reaaliosan ottamista tarkoittava symboli Re jätetään kirjoittamatta. Tällöin on syytä olla varovainen. Jos aaltoon kohdistuvat laskuoperaatiot ovat lineaarisia (yhteenlasku, vakiolla kertominen,...), niin reaaliosa voidaan ottaa vasta lopputuloksesta ja näin saadaan oikea tulos. Mutta, jos laskutoimitukset eivät ole lineaarisia (neliöjuuri, toiseen korottaminen,...) reaaliosa on otettava ennen operaation suorittamista. Tästä on yksi tärkeä poikkeus. Jos lasketaan neliöllisen lausekkeen aikakeskiarvoa, riittää kun reaaliosa otetaan vasta lopputuloksesta. Esimerkki: Kirjoita aallon y( x, t) Asin( kxt ) kompleksiesitys siten, että yxt (,) on kompleksiesityksen reaaliosa. 0 i Koska y( x, t) Re{ Ae } Acos Asin( / ), kompleksiesityksen on oltava muotoa y Ae. i( kx t 0 /) 14 1.4 AALLON NOPEUS Fysikaaliset suureet, jotka määräävät poikittaisen aallon etenemisnopeuden köydessä ovat köyden jännitysvoima (tension) ja köyden massa pituusyksikköä kohti. Jälkimmäista sanotaan myös lineaariseksi massatiheydeksi. Jännitysvoimalla puolestaan tarkoitetaan sitä voimaa, joka tarvittaisiin pitämään köyden osia edelleen yhdessä, jos köysi leikattaisiin poikki. Jännityksen lisääminen kasvattaa palauttavaa voimaa, joka pyrkii oikaisemaan köyden häiriön edetessä siinä. On helppo kuvitella, että jännityksen lisääminen kasvattaa aallon nopeutta. On myös helppo arvata, että massan kasvattaminen hidastaa nopeutta, koska köyden liikkeet tulevat jähmeämmiksi. Johdetaan seuraavassa aallon nopeudelle kaava, ja katsotaan siitä sattuivatko arvauksemme kohdalleen. Seuraavassa kuvassa tarkastellaan täysin notkeaa köyttä, jonka massa pituusyksikköä kohti on (kg/m) ja johon tasapainoasemassa kohdistuu jännitysvoima F. Oletetaan lisäksi, että köysi on painoton, joten se kuvassa (a) on täsmälleen suorassa.
15 Hetkellä t 0 köyden päähän kohdistetaan lisävoima F y ylöspäin, jolloin köysi lähtee nousemaan. Köysi on painoton, joten noustessaan se muodostaa kuvan (b) mukaisen kolmion, missä piste P erottaa liikkuvan osan vielä liikkumattomasta. Köyden liike on nyt se häiriö (pulssi, aalto), jonka jo aikaisemmin olemme todenneet etenevän vakionopeudella. Nyt siis piste P liikkuu vakionopeudella v. Vakiovoima F y ei tässä tapauksessa johda kiihtyvään liikkeeseen, koska massa, johon voima kohdistuu, kasvaa koko ajan. Siis pisteen P vasemmalla puolella oleva köyden osa liikkuu ylöspäin vakionopeudella v y. Jos liike olisi kiihtyvä, piste P etenisi myös kiihtyvällä nopeudella ja syntyisi ristiriita. Hetkellä t köyden pää on noussut matkan v y t ja piste P edennyt matkan v t (kuvan b tilanne). Voimien ja köyden muodostamista kolmioista voimme kirjoittaa Fy F yt v v t Fy y F v v. Seuraavaksi sovellamme mekaniikasta tuttua impulssiteoreemaa. Voiman F y impulssi Ft, y joka on kehittynyt aikavälillä 0 t, menee liikkuvan köydenosan liikemäärän muutokseksi mv y 0. Tulee F t mv. Tässä m v t on liikkuvan köydenosan massa. On siis y y v y F t vv t y, v ja kun tästä ratkaistaan v, saadaan F v. (1.4.1) 16 Intuitiivinen pohdiskelumme alussa johti siis oikeaan tulokseen. Aallon nopeus kasvaa, kun jännitysvoima ( F ) kasvaa ja pienenee, kun massa pituusyksikköä kohti ( ) kasvaa. Kaavan neliöjuurta emme intuitiivisesti keksineet, mutta se paljastuu helposti yksikkötarkastelulla. Tuloksessa (1.4.1) jännitysvoima F edustaa väliaineen (köyden) kimmoisuutta ja lineaarinen massatiheys sen hitautta. Yleisesti pätee kaikille systeemeille kimmoisuus v (1.4.) hitaus Esimerkki: Kolme L:n pituista köyttä yhdistetään, jolloin kokonaispituudeksi tulee 3L. Ensimmäisen osan lineaarinen massatiheys on 1, toisen 41 ja kolmannen 3 1/4. Yhdistettyyn köyteen kohdistetaan jännitysvoima F. a) Mikä jännitysvoima vaikuttaa osaköysissä? b) Kuinka kauan pulssilta kestää kulkea köyden läpi? Huomaa, että jännitysvoima F vaikuttaa köyden molemmissa päissä. Jos se vaikuttaisi vain toisessa, köysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen (muistele mekaniikkaa). a) Jokaisessa osaköydessä vaikuttaa sama jännitysvoima F. Jos esimerkiksi ensimmäisen ja toisen osaköyden liitoskohdassa
17 ensimmäiseen osaan vaikuttaisi jokin muu voima (esim. F /3), niin ensimmäinen osaköysi joutuisi kiihtyvään liikkeeseen, koska sen toisessa päässä vaikuttaa F. b) Pulssin kulkuaika köyden läpi on L L L tkok t1 t t3 L v1 v v3 1 3 F F F 1 1 7 1 L1 L. F F 1.5 AALLON ENERGIA Tarkastellaan taas köydessä positiivisen x-akselin suuntaan etenevää poikittaista aaltoa. Viereisessä kuvassa on esitetty hyvin pieni osa värähtelevästä köydestä pisteen a ympäristöstä. Pisteeseen a kohdistuu jännitysvoima F sekä pystysuorassa suunnassa liikkeen aiheuttava voima F y. Tämä voima F y on juuri se voima, jonka tekemä työ siirtyy köyttä pitkin eteenpäin oikealle. Köyden vasemmassa päässä tämä voima synnytetään käden liikkeellä, ks. kuva sivulla 14. 18 Köyden suunnassa (kulmakerroin y/ x) kokonaisvoima syntyy kahdesta komponentista, kuva (b), ja kuvan perusteella yxt (,) Fy(,) x t F, (1.5.1) x missä negatiivinen merkki on tarpeen, koska suhde Fy / F on negatiivinen silloin kun köyden kulmakerroin (slope) y/ x on positiivinen. Kun piste a liikkuu y-suunnassa, voima F y tekee työtä. Teho on yxt (,) yxt (,) Pxt (,) Fy(,) xtvy(,) F. (1.5.) x t Tämä on hetkellinen teho, jolla pisteen a vasemmalla puolella oleva köyden osa siirtää energiaa pisteeseen a. Kaava siis kertoo millä teholla energiaa virtaa köyttä pitkin oikealle. Kaava on voimassa kaikenlaisille köydessä eteneville aalloille. Sinimuotoisten eli harmonisten aaltojen tapauksessa aaltofunktio on y( x, t) Asin( kx t), josta yxt (,) kacos( kxt), x yxt (,) Acos( kxt), t ja hetkelliseksi tehoksi tulee Kun vielä käytetään relaatioita P( x, t) FkA cos ( kx t). (1.5.3) v k ja v F /, saadaan P( x, t) F A cos ( kx t). (1.5.4) Tästä näemme, että energia ei koskaan virtaa aallon etenemissuuntaa vastaan (teho aina positiivinen).
19 Funktion cos ( kx t) keskimääräinen arvo on 1/, joten keskimääräiseksi tehoksi saamme 1 Pav F A. (1.5.5) Energian siirtymisnopeus on siis verrannollinen amplitudin neliöön ja taajuuden neliöön. Yleistys: 1 Pav (hitaus) (kimmoisuus) A (1.5.6) Esimerkki: Köyttä ( 5.00 10 kg/m) jännitetään 80.0 N:n voimalla. Millä keskimääräisellä teholla köyteen on syötettävä energiaa, jos siihen halutaan synnyttää harmoninen aalto, jonka taajuus on 60 Hz ja amplitudi 6.00 cm? Sovelletaan tulosta (1.5.5) 5.00 10 kg/m F 80.0 N (1 N = 1 kg m/s ) 60 1/s A 6.00 10 m 1 Pav F A = 511.6403 kg m 51W. s s kg m Nm J W 3 s s s 0 Esimerkki: Jännitetyssä langassa, jonka lineaarinen massatiheys on.50 10 3 kg/m, etenee harmoninen aalto. 1 1 y( x, t).30mm cos (6.98 m ) x(74 s ) t Millä keskimääräisellä teholla aalto kuljettaa energiaa? Keskimääräinen teho yhtälöstä (1.5.5) 3 1 1 1 Pav F A v A A, k missä ensin on käytetty tulosta (1.4.1) F v. k k Aaltofunktiosta luemme: amplitudi 3 A.3010 m kulmataajuus 74 s -1 aaltoluku k 6.98 m -1, ja lineaarinen massatiheys on Lopulta tulee Pav 0.3870098 kgm 3 m ms = 0.387 W. v ja sitten 3.50 10 kg/m. kg m kgm m Nm J Yksikkötarkastelu: m W. 3 m s s s s s