Timo Tossavainen, Kaija Häkkinen, Markku Halmetoja, Camilla Hollanti ja Jorma Merikoski

Luokanopettajakoulutukseen hakevien peruslaskutaidoista Timo Tossavainen, Kaija Häkkinen, Markku Halmetoja, Camilla Hollanti ja Jorma Merikoski Timo Tossavainen ja Kaija Häkkinen ovat Itä-Suomen yliopiston soveltavan kasvatustieteen ja opettajankoulutuksen osaston lehtoreita. Tossavainen toimi myös Savonlinnan opettajankoulutuslaitoksen johtajana 26 29. Markku Halmetoja on Mäntän lukion lehtori. Camilla Hollanti on Turun yliopiston tutkija, jonka alana on algebrallisen lukuteorian sovellukset langattomassa verkkoviestinnässä. Jorma Merikoski on Tampereen yliopiston dosentti ja hänen tutkimusalansa on lineaarialgebra. Tossavainen, Häkkinen, Halmetoja ja Merikoski ovat kirjoittaneet lukion ja yliopiston oppikirjoja. Johdanto eruskoululaisten matematiikan taitoja on mitattu maassamme usein; viimeksi julkisuutta sai Liisa Näverin (9) väitöstutkimus, jossa tarkasteltiin aritmetiikan ja algebran osaamisen muutoksia 198-luvulta -luvulle. se sisältää myös yhteenvedon useimmista muista tämän alan viimeaikaisista suomalaisista tutkimuksista (Näveri 9, luku.3). Vähemmälle huomiolle on jäänyt se, kuinka geneerisiksi (esim. erkins 199) nämä taidot ovat tulleet ts. hallitaanko ja osataanko niitä soveltaa vuosienkin kuluttua ja toisaalta se, millaiselta osaamispohjalta matematiikan opetusta peruskoulussa tulevaisuudessa toteutetaan ja kehitetään. Tarkastelemme erityisesti jälkimmäistä kysymystä. ppimateriaalien rooli on koulumatematiikan opetuksessa keskeinen (esim. Törnroos 4). Vaikka opet- tajaoppaiden avulla voidaan jonkin verran paikata opettajien matematiikantaitojen puutteita, lienee kohtuullista vaatia, että jokainen peruskoulussa matematiikkaa opettava täyttää selvästi perusopetuksen matematiikan päättöarvioinnin arvosanan 8 kriteerit. Viime vuosina opettajankouluttajat ovat alkaneet huolestua siitä, ettei näin välttämättä ole. esimerkiksi Turun yliopiston luokanopettajaopiskelijoilla on vakavia puutteita jo peruslaskutaidoissa ja niiden soveltamisessa (merenluoto & ehkonen 4). keväällä 9 asiaa kartoitettiin savonlinnan opettajankoulutuslaitokseen pyrkivien osalta. haluttiin selvittää, onko kaikilla hakijoilla todellisia edellytyksiä kehittyä koulutuksen aikana matematiikassa riittävän taitaviksi opettajiksi, vai pitäisikö valintakokeeseen liittää kohtuullisen lähtötason takaava kynnystesti. Vertailuryhmänä oli tällöin erään itä- suomalaisen peruskoulun kahdeksasluokkalaiset, jotka tekivät saman testin ja menestyivät siinä yhtä hyvin kuin tutkittavien ryhmä (häkkinen, Tossavainen & Tossavainen 1). me päätimme laventaa näkökulmaa ottamalla vertailuryhmiksi myös Tampereen yliopiston erään matematiikankurssin sekä saman seudun erään lukion toisen vuosikurssin opiskelijat. Tämä selvitys toimii esitutkimuksena hankkeelle, jossa pyritään kehittämään opettajankoulutukseen hakevien matematiikan geneeristen taitojen laaja-alainen mittari. Testin suunnittelu ja toteutus Testin suunnittelu perustui seuraaviin ehtoihin. 1. Testi saa kestää korkeintaan 15 minuuttia, jotta pyrkijät malttaisivat osallistua siihen varsinaisen valintakokeen lisäksi.. Tehtävien on katettava moni- Arkhimedes 3/1 1

Taulukko 1. Virheellisten vastausten osuus tehtävittäin ja ryhmittäin (n=24). Virheellisiä yhteensä Tehtävä 1. 4 6 5 14 16,3 %,4 % 6,3% 8,7% 3,% 1,8%. a) 7 5 8 1 38, % 63,4 % 37,5% 17,4% 3,% 35,8%. b) 5 : 3 6 61, % 8,9 % 5,% 6,1% 3,% 53,3% 3. a) 145 mm = dm 19,4 %, % 5,% 4,3% 6,5% 17,1% 3. b) 3 dl = cl 1,7 % 14,6 % 18,8% 34,8% 9,7%,% 4. Ajan jakolaskutehtävä 9,5 % 9,3 % 5,% 13,% 9,7% 5,% 5. keksi sanallinen tehtävä 54,3% 41,5% 31,3% 17,4% 9,7% 41,3% laskutoimituksesta 5. anna vastaus tähän tehtävään 61, % 61, % 43,8% 17,4% 1,9% 49,6% 6. Alueen pinta-ala 47,3 % 63,4 % 37,5% 39,1% 16,1% 44,6% puolisesti alaluokkien matematiikan keskeisiä sisältöjä. 3. Tehtävien on oltava helpohkoja, jotta testattavat suostuvat yrittämään niiden ratkaisemista. 4. Tehtävien tulee olla monella eri tavalla ratkaistavissa, jotta yhden asian unohtaminen ei estä tehtävän ratkaisemista. Testiin valikoituivat seuraavat tehtävät. 1. Laske 4 + 6 5 ( 14). Tässä haluttiin tutkia, onko osallistujilla strategista laskutaitoa vai onko heidän aritmeettisten symbolien lukutaitonsa vain muistinvaraista. 2. Laske a) 7 5 +, 8 1 b) 5 :. 3 6 Murtolukujen ja niiden laskutoimitusten hallitseminen on osoittautunut puutteelliseksi vielä peruskoulun päättöluokalla (Näveri 29), eivätkä nämä taidot välttämättä kehity lukiossakaan (Merenluoto 21). Kumpaakaan kohtaa ei voida suorittaa tarkasti esimerkiksi muuttamalla lukuja desimaaliluvuiksi ja laskemalla niillä. Erinimisten murtolukujen yhteenlaskun nimittäjät valittiin spontaanin hahmottamisen ulkopuoliselta lukualueelta (Railo ym. 28), jotta mahdolliset laskuvaikeudet tulisivat selvemmin esille. 3. a) 145 mm = dm, b) 3 dl = cl. Tehtävä edellyttää muunnosta pienemmästä yksiköstä suurempaan ja päinvastoin. Neliöja kuutiomittoja vältettiin, jotta tehtävä vaikuttaisi sellaisilta, että se pitäisi osata missä tahansa tilanteessa. 4. ksi työntekijä selviytyy urakasta ajassa 1 h 15 min. Kuinka kauan aikaa samaan urakkaan kuluu kolmelta samantasoiselta työntekijältä? Tässä pyrittiin selvittämään, hahmottaako vastaaja sanallisesta tehtävästä, pitääkö kertoa vai jakaa. Lisäksi haluttiin saada tietoa kymmenjärjestelmää noudattamattomien yksiköiden käsittelytaidoista. 5. Keksi sanallinen tehtävä laskutoimituksesta 6 : 24 ja anna vastaus tähän tehtävään. Tällä tehtävällä pyrittiin mittaamaan matemaattista ajattelutaitoa: millaisissa tilanteissakäytetään juuri jakolaskua. Tehtävä poikkeaa tyypillisimmistä jakolaskutehtävistä, joihin koulussa totutaan. Huhtala ja Laine (24) käyttivät samaa tehtävää jakolaskuun liittyvien miniteorioiden tutkimuksessa. Tehtävän luvut on valittu siten, että jaettavan ja jakajan merkityksestä piittaamaton suorittaa jakolaskun helposti väärinpäin. 6. Laske oheisen alueen pinta-ala. Geometrian tehtäväksi valittiin pinta-alalasku, joka voidaan suorittaa peruskoulun tietojen pohjalta esim. Arkhimedes 3/21

Taulukko 2. Virheellisten vastausten summan keskiarvo, keskihajonta, minimi ja maksimi (n=24). Virheiden summan keskiarvo keskihajonta minimi maksimi 3,5 1,95 8 3,8 1,89 7,8 1,95 7 1,8 1,6 5,7 1,1 5 kaikki 3,,8 8 väärästä tai tyhjästä vastauksesta sai yhden virhepisteen, joten virhepisteitä kertyi kullekin 9. Vastaus on katsottu oikeaksi, vaikka murtoluku olisikin jätetty supistamatta tai muuttamatta sekaluvuksi (kuten peruskoulussa yleensä tehdään). Toisaalta tiettyihin melko vähäisiin virheisiin on suhtauduttu tässä ankarammin kuin raportissa Häkkinen, Tossavainen & Tossavainen (21). Virheellisten vastausten osuus tehtävittäin ja ryhmittäin on raportoitu Taulukossa 1. Vaikeimmiksi osoittautuivat jakolaskuun liittyvät tehtäjakamalla alue joko suorakulmioksi ja kolmioksi tai kahdeksi kolmioksi. Testi oli siis varsin helppo. Tehtävät 1 ja 3 6 edellyttävät vain perusopetuksen vuosiluokkien 1 5 keskeisten sisältöjen hallitsemista. Tehtävän 2 aihepiiri kuuluu vuosiluokkien 6 9 keskeisiin sisältöihin. (S 24, 157 167). leensä erinimisten murtolukujen yhteenlasku opetetaan 6. luokalla ja murtolukujen jakolasku 7. luokalla. Luokanopettajien valintakokeen viimeiseen vaiheeseen osallistui keväällä 29 Savonlinnassa 162 hakijaa. Heistä 129 osallistui testiin, joten otos on kattava. Käytämme jatkossa tästä ryhmästä lyhennysmerkintää ja vertailuryhmistä lyhenteitä: = peruskoulun kahdeksannen luokan oppilaat, = lukion lyhyen matematiikan opiskelijat, = lukion pitkän matematiikan opiskelijat ja = yliopisto-opiskelijat. Vertailuryhmien koot olivat n = 41, n = 16, n = 23 ja n = 31. Testin tulokset Testissä oli siis kuusi tehtävää, joista kolmessa oli kaksi kohtaa. Jokaisesta Taulukko 3. Ryhmien väliset erot virheiden kokonaismäärässä F 4,235 =18,722, p <,1, yksisuuntainen varianssianalyysi, Bonferronin post hoc testi). Ryhmät Keskiarvojen erotus Keskivirhe Merkitsevyys * p<,1 -,317,738 1,76* 2,746*,317 1,55 2,22* 3,63* -,738-1,55,967 2,8* -1,76* -2,22* -,967 1,4-2,746* -3,63* -2,8* -1,41,328,485,414,366,328,539,476,435,485,539,595,563,414,476,595,53,366,435,562,53,1,,515,,,515,4,1,,397,,,4,397 Arkhimedes 3/21 3

vät ja pinta-alan määrittämistehtävä. arhaiten menestyttiin ensimmäisessä tehtävässä, vaikka jokaisessa ryhmässä oli vähintään yksi henkilö, joka teki tässäkin ainakin yhden virheen. Vain 37 osallistujaa vastasi kaikkiin kohtiin oikein. arhaalla neljänneksellä oli enintään yksi kohta väärin ja parhaalla puolikkaalla enintään kolme kohtaa; 64 vastaajaa teki virheen vähintään viidessä kohdassa. Jokaisessa ryhmässä oli täysin oikeita suorituksia mutta myös sellaisia, joissa alle puolet tehtävistä oli oikein. Virhepisteiden tyyppiarvo oli neljä. Tehtävissä 2a, 2b ja 5 ryhmien välillä on merkitseviä eroja. Toisaalta tehtävissä 1, 3a, 3b ja 4 ryhmien väliset erot eivät ole merkitseviä. (yksisuuntainen varianssianalyysi, p <,1 ja p <,5). Taulukko 2 riittää osoittamaan, että yliopisto- ja lukio-opiskelijat menestyivät testissä paremmin kuin luokanopettajakoulutukseen pyrkineet ja peruskoululaiset. Tarkemmin ryhmien väliset erot ja näiden merkitsevyys näkyvät kuitenkin yksisuuntaisen varianssianalyysin avulla, ks. Taulukko 3. Ryhmien väliset erot selittävät 24 % virhepisteiden vaihtelusta (etakertoimen neliö). Taulukoiden 2 ja 3 perusteella ryhmät ja hallitsevat peruskoulun oppimäärän keskeisiä sisältöjä muita paremmin. Näiden ryhmien välinen ja toisaalta ryhmien ja välinen ero ei ole kuitenkaan merkitsevä. Samalla tavalla ero ryhmien ja välillä ei ole merkitsevä; sen sijaan ero ryhmien ja välillä on. Ryhmät ja menestyivät erittäin merkitsevästi paremmin kuin ryhmät ja. Luokanopettajaksi pyrkineiden ryhmä oli siis testin toiseksi heikoin vieläpä niin, että ero heikoimpaan ryhmään ei ole merkitsevä. Kun peruskoulun päättöarvioinnin kriteerit arvosanalle 8 edellyttävät mm. luotettavaa peruslaskutaitoa (S 24, 166), täytyy epäillä, onko hakijoiden enemmistöllä tällaista taitoa. Hieman kärjistäen voidaan tulkita, että luokanopettajakoulutukseen hakijoiden peruslaskutaito ei ole lukiossa kehittynyt lainkaan tai sitten he ovat aikanaan suoriutuneet peruskoulun matematiikasta todella heikosti. Virheistä Tarkastelemme vielä tehtävien 2b ja 6 virheitä (Taulukot 4 ja 5). Jakolaskutehtävän osalta on tilastoitu myös se, ettei tulosta ole supistettu. Vaikka tämä ei ole varsinaisesti virhe, taitava ratkaisija esittää laskun tuloksen yksinkertaisimmassa muodossa. eräti 49 osallistujaa jätti supistamatta ja muutama muu supisti väärin. n mielenkiintoista, että ryhmässä suhteellisesti useampi jätti lopputuloksen supistamatta kuin ryhmässä, vaikka se menestyi paljon paremmin koko testissä. Tehtävän 2b toiseksi yleisin vir- Taulukko 4. Tehtävän 2b virheiden ja oikeiden vastausten jakaumat (n=24). Vastauksen virhetyyppi ei supistettu muutettu luvut samannimisiksi, muuta ei osattu rivisumma 31 3 4 9 49 3 5 1 9 kerrottu ristiin väärinpäin 7 3 14 kerrottu osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään muutettu oikein kertolaskuksi mutta jatkettu siitä eteenpäin väärin 3 5 3 1 4 muu virhe tai epämääräinen laskutapa 6 6 4 1 19 täysin väärä tai mieletön vastaus 6 4 1 ei yritetty lainkaan 31 15 1 47 täysin oikea vastaus 19 4 6 13 1 63 4 Arkhimedes 3/21

Taulukko 5. Tehtävän 6 virheiden ja oikeiden vastausten jakaumat (n=24). rivisumma Vastauksen virhetyyppi ei mittayksikköä tai virhe niiden käsittelyssä 9 13 ala = kanta kertaa korkeus 11 8 1 4 A 3 8 4, A 3 8 4 8 tms. 6 9 1 16 osattu laskea vain kolmion tai suorakulmion ala 3 3 1 7 muu virhe tai epämääräinen laskutapa 16 1 1 täysin väärä tai mieletön vastaus 6 ei yritetty lainkaan 19 5 1 7 täysin oikea vastaus 63 15 1 14 5 17 sia kuin meidän testissämme. Siinä opiskelijoiden virheellisten vastausten prosenttiosuus vaihteli tehtävittäin välillä 1,6 44,3 ja keskimäärin 3,7 % vastauksista oli virheellisiä (Merenluoto & ehkonen 24, 425). Näverin tutkimuksessa vastaavien murtolukujen yhteenlasku- ja jakolaskutehtävien virheellisten vastausten osuudet olivat 63 % ja 72 % (Näveri 29, 11). eruskoulun matematiikanopetuksen nykyinen tuloksellisuus näyttää siis vähintään kyseenalaiselta. Jos jatkossa matematiikkaa opettavat luokanopettajat, jotka eivät itse hallitse alan perusasioita, tulevaisuus huolestuttaa sitäkin enemmän. Vaikka tehdyistä virheistä osa johtuu huolimattomuudesta, esimerkiksi runsas vastaamattomuus lähinnä mekaanisia laskutaitoja edellyttäviin tehtäviin kertoo paljon osallistujien suhteesta ja asenteista matematiikkaan. Tosiasiaksi jää, että tässä aineistossa luokanopettajakoulutukseen hakeutuvat ovat peruslaskutaidoiltaan keskimäärin koululaisten tasolla. Valitettavashe oli ratkaisematta jättäminen. Kahdeksasosa vastaajista kykeni vain muuttamaan luvut samannimisiksi mutta ei jatkamaan siitä. Murtolukujen kertolaskun osaamattomuuteen kaatui ainakin 23 vastausta. Muihin virheisiin sortui 19 ja 1 vastausta oli mielettömiä. Ainoastaan 63 osallistujaa ratkaisi tehtävän moitteettomasti. Näistä luokanopettajaksi pyrkiviä oli 19 eli vain 15 % tästä ryhmästä. inta-alan määritystehtävässä yleisin (27) virhe oli, ettei yritetty lainkaan. elkästään kolmion alan laski 24 vastaajaa ja kaksi esitti ratkaisuksi piirin kaavan avulla saadun tuloksen. eräti 16 osallistujaa kertoi kaikki annetut sivujen pituudet keskenään tai teki muuta vastaavaa. Mittayksikkö puuttui viideltä ja kahdeksan teki muun mittayksikkövirheen. Epämääräisiä tai mielettömiä ratkaisuja kertyi yhteensä 16, joista 12 oli luokanopettajakoulutukseen hakijoilta. Ryhmän virheet johtuivat lähinnä huolimattomuudesta, mutta silmiinpistävää on se, että ryhmässä peräti viisi jätti tehtävän ratkaisematta. Jos tuloksissa halutaan nähdä edes jotakin ilahduttavaa, niin vain kaksi ratkaisua kaatui mekaanisiin laskuvirheisiin. Lopuksi hakijoita pyydettiin arvioimaan asteikolla 1 5 testin vaikeutta. Vaikeaksi kokemisen keskiarvo oli 2,54 ja keskihajonta 1,16 (n=29). Vaikeimmaksi se koettiin ryhmässä (2,96) ja helpoimmaksi ryhmässä (1,35). Testissä menestymisen ja sen helpoksi kokemisen välillä on selvä yhteys: näiden muuttujien välinen earsonin korrelaatiokerroin on,58 ja se on merkittävä tasolla p <,1. Jos muuttujien asteikot tulkitaan vain ordinaalisiksi, korrelaatiokerroin kasvaa yhden prosentin verran. ohdinta Testin tulokset ovat yhdensuuntaisia Merenluodon ja ehkosen (24) näyttökokeen alkuosion tulosten ja Näverin (29) vuoden 23 aineiston tulosten kanssa. Ensin mainitussa tehtävät olivat melko samanlai- Arkhimedes 3/21 5

ti sama pätee myös tästä ryhmästä koulutukseen hyväksyttyihin: heidän (n=49) virhepisteidensä keskiarvo oli 3,45. Vain ensimmäisessä tehtävässä ero hyväksyttyjen ja hylättyjen välillä oli merkitsevä Studentin t-testissä (jopa merkitsevyystasolla 99 %). piskelupaikan saaneista testin heikoimpaan neljännekseen kuului 15 opiskelijaa. Heistä yksi onnistui vain ensimmäisessä tehtävässä. Luokanopettajat vastaavat noin 2/3 oppivelvollisten matematiikan opetuksesta, joten heillä on keskeinen rooli suomalaisten matemaattisen sivistyksen perustan luomisessa. Millaisia matematiikan opettajia tähän testiin osallistuneista ja koulutukseen hyväksytyistä sekä muista heidän tasoisistaan opiskelijoista tulee? Vaikka opiskelijan matematiikkakuva ts. taidot, asenteet, oppimiskokemusten laatu jne. voi kehittyä merkittävästi luokanopettajakoulutuksen aikana (ietilä 22), ei liene realistista toivoa, että peruslaskutaidon selkeät puutteet voitaisiin yleisesti korjata nykyisten 6 8 op matematiikan yliopisto-opintojen aikana, jos 12 vuotta peruskoulussa ja lukiossa eivät ole tähän riittäneet. Voidaanko peruskoulun matematiikan opetuksen laadun varmistamiseksi tehdä jotakin valtakunnallisella tasolla? Useimmat luokanopettajakoulutukseen hakeneista ovat käyneet lukiossa lyhyen matematiikan, mikä ei ole sinänsä huono asia, sillä lyhyen matematiikan pitäisi käytännönläheisemmän sisältönsä takia nimenomaan edistää peruslaskutaitoa (LS 23, 125 128). Tämä näkemys ei kuitenkaan saa tukea aineistostamme. Toisaalta pitkän matematiikan opiskelijoiden paremmuus luokanopettajakoulutukseen hakijoihin verrattuna kertonee ennen kaikkea eroista asenteissa ja yleisessä kiinnostuksessa matematiikkaan, vaikka voitaisiin tietenkin päätellä niinkin, että suurempi kurssimäärä ja vaativamman matemaattisen sisällön opiskelu kehittää tehokkaammin myös peruslaskutaitoja. Lyhyen ja pitkän matematiikan opiskelijoiden välinen ero ei tässä aineistossa ole kuitenkaan merkitsevä, mikä tosin osittain johtuu vertailyryhmien pienestä koosta. ksinkertaiseksi ja riittävän toimivaksi peruslaskutaidon indikaattoriksi vuosittain tuhansiin nousevassa opettajakoulutukseen pyrkivien joukossa voi osoittautua arvosana ylioppilastutkinnon matematiikan kokeessa. Tätä asiaa kannattaisi tutkia laajemmin. itäisikö luokanopettajakoulukseen hyväksyttäviltä esimerkiksi vaatia vähintään tyydyttävä suoritus tässä kokeessa tai muu vastaava näyttö? Viitteet Huhtala, S. & Laine, A. (24). Matikka ei ole mun juttu Matematiikkavaikeuksien syntyminen ja niihin vaikuttaminen. Teoksessa. Räsänen,. Kupari, T. Ahonen &. Malinen (toim.), Matematiikka näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti, 32 346. Häkkinen, K., Tossavainen, T. & Tossavainen, A. (21). Kokemuksia luokanopettajaksi pyrkivien matematiikan soveltuvuustestistä Savonlinnan opettajankoulutuslaitoksessa. Lähetetty käsikirjoitus. LS (23). Lukion opetussuunnitelman perusteet 23. petushallitus. Merenluoto, K. (21). Lukiolaisen reaaliluku. Lukualueen laajentaminen käsitteellisenä muutoksena matematiikassa. Ann. Univ. Turkuensis C 176. Merenluoto, K. & ehkonen, E. (24). Luokanopettajaksi opiskelevien matemaattinen osaaminen ja ymmärtäminen. Teoksessa. Räsänen,. Kupari, T. Ahonen &. Malinen (toim.), Matematiikka näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti, 414 436. Näveri. L. (29). Aritmetiikasta algebraan. Muutoksia osaamisessa peruskoulun päättöluokalla 2 vuoden aikana. Tutkimuksia 39. Helsingin yliopisto, Soveltavan kasvatustieteen laitos. erkins, D. N. (1992). Smart Schools: Better Thinking and Learning for Every Child. The Free ress. ietilä, A. (22). Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva. Matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Tutkimuksia 238. Helsingin yliopisto, pettajankoulutuslaitos. S (24). erusopetuksen opetussuunnitelman perusteet 24. petushallitus. Railo, H.M., Koivisto, M., Revonsuo, A. & Hannula, M. M. (28). Role of attention in subitizing. Cognition 17, 82 14. Törnroos, J. (24). petussuunnitelma, oppikirjat ja oppimistulokset 7. luokan matematiikan osaaminen arvioitavana. Jyväskylän yliopisto, Koulutuksen tutkimuslaitos. 6 Arkhimedes 3/21