Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike

Ajankohtaista

Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa, joka pyörii hiljentyvällä vauhdilla. Mihin suuntaan leppäkertun kulmanopeutta kuvaava vektori osoittaa? z y x 1. +x-suuntaan 2. x-suuntaan 3. +y-suuntaan 4. y-suuntaan 5. +z-suuntaan 6. z-suuntaan

Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike

Paikkavektori Hiukkanen pisteessä P Sen paikkavektori ~r tarkastelukoordinaatiston origosta on z ~r = xî + yĵ + z ˆk x ~r P ~z ~y ~x y

Nopeus Kappaleella paikkavektorit ~r 1 ja ~r 2 ajanhetkillä t 1 ja t 2 Keskimääräinen nopeusvektori z ~v ave = ~r 2 ~r 1 t 2 t 1 = ~r t ~r 2 x ~r 1 ~r y Hetkellinen nopeusvektori raja-arvo, kun t! 0 ~v = lim t!0 ~r t = d~r dt

Nopeus komponenttimuodossa Hiukkasen paikkavektorin komponenteista saadaan d~r dt = d dt ~v = v x î + v y ĵ + v z ˆk = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ˆk = dx dt î + dy dt ĵ + dz dt ˆk z Nopeuden itseisarvo eli vauhti edelleen q v = ~v = vx 2 + vy 2 + vz 2 x ~v ~v z ~v y ~v x y

Kiihtyvyys Kiihtyvyys vaikuttaa vauhtiin ja nopeusvektorin suuntaan Keskimääräinen ja hetkellinen kiihtyvyysvektori: ~a ave = ~v 2 ~v 1 t 2 t 1 = v t Komponenttimuodossaan =) ~a = lim t!0 ~v t = dv dt a x = dv x dt, ja kiihtyvyyden itseisarvo a = ~a = a y = dv y dt, a z = dv z dt q a 2 x + a 2 y + a 2 z

Kiihtyvyys paikkavektorista Nopeus paikkavektorin derivaatta, joten Vastaavasti komponenttimuodossa ~a = d~v dt = d 2 ~r dt 2 a x = d 2 x dt 2, a y = d 2 y dt 2, a z = d 2 z dt 2

Tangentti- ja normaalikomponentit Kiihtyvyysvektori ~a voidaan jakaa nopeusvektorin ~v suuntaiseen (~a T ) ja kohtisuoraan komponenttiin (~a N ) Tangentiaalikomponentti ~a T vaikuttaa ainoastaan hiukkasen vauhtiin (nopeuden itseisarvoon) Normaalikomponentti ~a N vaikuttaa ainoastaan hiukkasen nopeusvektorin suuntaan Normaalikomponentin suunta on aina ratakäyrän koveralle ("sisä-") puolelle

Harjoitus Tehtävänanto Olkoon tasossa liikkuvan hiukkasen koordinaatit ajan funktiona x = A Bt 2 ja y = Ct + Dt 3. Laske hiukkasen a) nopeus, b) kiihtyvyys ja c) kiihtyvyyden tangentiaali- ja normaalikomponentit hetkellä t = 0

Ratkaisu

Heittoliike Kertausta lukiosta Tärkeä erikoistapaus tasaisesti kiihtyvästä liikkeestä on heittoliike (projectile motion) lähellä maan pintaa Kun vastusvoimat jätetään huomiotta, hiukkaseen vaikuttaa ainoastaan maan vetovoiman kiihtyvyys ~g Sekä pysty- (y) että vaakasuuntaiseen (x) liikkeeseen voidaan erikseen soveltaa tasaisen kiihtyvyyden yhtälöitä a x = 0 a y = g Mikäli alkunopeusvektori ~v tunnetaan, liike on täysin määrätty

Heittoliikkeen yhtälöt Heitetään hiukkanen maan pinnalta Alkunopeus ~v 0 Lähtökulma 0 maan pintaan nähden Vakiokiihtyvyyden yhtälöistä saadaan nopeuden ja paikan komponentit ajan hetkellä t ( ( v x = v 0x x = x 0 + v 0x t =) 1 v y = v 0y gt y = y 0 + v 0y t 2 gt2 missä alkunopeuden komponentit ovat v 0x = v 0 cos 0 ja v 0y = v 0 sin 0

Ratakäyrä heittoliikkeessä Valitaan koordinaatisto siten, että x 0 = y 0 = 0. Eliminoimalla aika t saadaan ratkaistua hiukkasen ratakäyrä x = v 0x t =) t = y = v 0y h x v 0x i y = x tan 0 x v 0x 1 h x i 2 2 g =) v 0x g 2v0 2 x 2 cos2 0

Harjoitus Tehtävänanto Laske lentoradan a) maksimikorkeus ja b) kappaleen lentämä matka (maan suhteen) heittoliikkeessä kun ilmanvastusta ei huomioida

Ratkaisu

Konseptitesti 2 Kysymys Kivi heitetään ilmaan. Ilma kohdistaa kiveen kitkavoiman ilmanvastuksen muodossa. Aika, joka kivellä menee lakipisteensä saavuttamiseen on 1. Suurempi kuin 2. Yhtäsuuri kuin 3. Pienempi kuin aika, joka siltä menee laskeutumiseen lakipisteestä lähtökorkeudelle.

Ympyräliike Kertausta lukiosta Tärkeä erikoistapaus heittoliikkeestä on ympyräliike Tarkastellaan ensin tasaista ympyräliikettä (uniform circular motion) Hiukkasella vakiovauhti v Liikerata ympyränmuotoinen Nopeusvektori ympyrän tangentin suuntainen Kiihtyvyys kohti ympyrän keskipistettä Kiihtyvyydellä ei tangentiaalista komponenttia

Kiihtyvyys tasaisessa ympyräliikkeessä Yhdenmuotoisista kolmioista ~v v 1 = s R =) ~v = v 1 R s. Keskimääräinen kiihtyvyys a av = Hetkellinen kiihtyvyys v t a = lim t!0 v 1 R = v 1 R s t s t = v 2 1 R R ~v 1 P 1 s P 2 ' ' R ~v 1 ~v 2 ~v ~v 2

Keskihakukiihtyvyys ja jaksonaika P 1 voi olla mikä piste tahansa =) a = a N = a rad = v 2 R, jota kutsutaan keskihakukiihtyvyydeksi (centripetal acceleration) Jaksonaika (period) T (tai P) tarkoittaa yhteen kierrokseen tarvittavaa aikaa. Keskihakukiihtyvyys jaksonajan avulla esitettynä on a rad = v 2 2 R R = T 2 1 R = 4 2 R T

Yleinen ympyräliike Yleisessä ympyräliikkeessä (non-uniform circular motion) hiukkasen vauhti v = ~v ei vakio Jaetaan kiihtyvyysvektori tangentiaaliseen ja normaalikomponenttiin (radan suhteen... ) Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja normaalikomponentti nopeuden suuntaan a rad = v 2 R ja a T = a tan = dv dt

Yleinen käyräviivainen liike Hiukkasen vauhti ~v ja radan kaarevuussäde R eivät vakioita Jaetaan kiihtyvyysvektori voidaan jakaa silti tangentiaali- ja normaalikomponentteihin Tangentiaalikomponentti muuttaa hiukkasen vauhtia ja normaalikomponentti suuntaa Normaalikiihtyvyyden yhtälössä radan kaarevuussäde R korvataan :lla, joka riippuu sijainnista ratakäyrällä, eikä siis ole vakio a rad = v 2 ja a T = a tan = dv dt Seuraus: jos hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde ja paikallinen vauhti tunnetaan, päästään sen kokemaan kiihtyvyyteen ja päinvastoin: kiihtyvyyden perusteella voidaan määrittää hiukkasen radan paikallinen kaarevuussäde =) ratatehtävät

Kulmamuuttujat,! ja Jäykkä kappale (rigid body) = kappale, jolla tietty muuttumaton koko ja muoto Jäykkä kappale pyörii kiinteän akselin ympäri y r P s Akseli on levossa (jossakin) inertiaalikoordinaatistossa Kulma (janan OP ja x-akselin välinen kulma) mitataan radiaaneissa O x = Ympyräradan kaaren pituus jaettuna ympyrän säteellä Kulman yksikkö 1 rad = 360 /2

Kulmanopeus ja -kiihtyvyys Keskimääräinen ja hetkellinen kulmanopeus! ave = 2 1 t 2 t 1 = t ;! = lim t!0 t = d dt Keskimääräinen ja hetkellinen kulmakiihtyvyys ave =! 2! 1 t 2 t 1 =! t ; = lim t!0! t = d! dt

Harjoitus Tehtävänanto Renkaan säde olkoon r = 0.36 m ja erään pisteen kulmakoordinaatti ajan funktiona = t 3, missä = 2.0 rad s 3. Laske pisteen a) kulmanopeus, b) kulmakiihtyvyys ja c) kuljettu matka, kun t = 2 s.

Ratkaisu

Konseptitesti 3 z Kysymys Viereisessä kuvassa istuu kaksi leppäkerttua pyörivässä karusellissa. Karuselli pyörii vakionopeudella. Miten sisäkehällä istuvan leppäkertun kulmanopeus suhteutuu ulkokehällä istuvan leppäkertun kulmanopeuteen, jos se istuu pyörimisakselin ja ulkokehällä istuvan leppäkertun puolivälissä? y x 1. Se on puolikas ulomman leppäkertun kulmanopeudesta 2. Se on yhtä suuri kuin ulomman leppäkertun kulmanopeus 3. Se on kaksinkertainen ulomman leppäkertun kulmanopeuteen nähden 4. Annetun tiedon perusteella ei voi päätellä

Pyörimisliikkeen vektorisuureet Kulmanopeusvektori ~! Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa vastaan Suunta määrätään oikean käden säännöllä!, > 0 Kulmakiihtyvyysvektori ~! Samansuuntainen kuin ~! jos >0 Vastakkaissuuntainen jos <0

Tasainen kulmakiihtyvyys Vakio- Kulmakiihtyvyyden määritelmästä Toisaalta = d! dt! =! 0 + t = vakio =) Z! Z t! 0 d! = 0 dt =)! = d dt =) Z Z t 0 d = 0 Z t!dt = (! 0 + t)dt =) 0 = 0 +! 0 t + 1 2 t2

Tasainen kulmakiihtyvyys - jatkoa Eliminoidaan aika: t =(!! 0 )/, jolloin!! 0 = 0 +! 0 + 1 h! 2!0!! 0 2 = 0 +! 0 + 1! 2 2 = 0 + 1! 2 1! 0 2 2 2 i 2! 0! + 1 2 Samanlainen ajasta eksplisiittisesti riippumaton yhtälö kuin mikä saatiin translaatioliikkeellekin! 2 0

Translaatio- ja rotaatioliikkeen yhteys Pisteen paikka ympyrän kaarella s = r Pisteen nopeus v = ds = r d = r! dt dt Pisteen tangentiaalinen kiihtyvyys a T = dv = r d! dt dt Kiihtyvyyden normaalikomponentti ja itseisarvo a N = v 2 r = r! 2, a = q a 2 T + a2 N = r y r O v, a T a N P s x

Analogiat Pyörimisliikkeen yhtälöt tasaisella kulmakiihtyvyydellä samanmuotoiset kuin tasaisella kiihtyvyydellä translaatioliikkeessä Esimerkki fysiikassa esiintyvistä analogioista: sama matemaattinen malli pätee erilaisiin fysikaalisiin ongelmiin

Yhdistetty translaatio- ja pyörimisliike = Massakeskipisteen etenemisliikkeenä + massakeskipisteen kautta kulkevan akselin ympäri tapahtuva pyörimisliike Liikeyhtälöt vastaavat kuin erikseen etenemis- ja pyörimisliikkeessä Edellyttää Pyörimisakseli on symmetria-akseli Akseli ei muuta suuntaansa liikkeen aikana

Vieriminen liukumatta Esimerkki yhdistetystä etenemis- ja pyörimisliikkeestä Kappaleen tukipintaa koskettava piste ei liiku suhteessa pintaan Toisaalta hetkellisesti kappale pyörii aina kosketuspisteensä ympäri Kappaleen kulmanopeuden ja etenemisnopeuden välillä yhteys v CM = R! Palataan yhdistetyn liikkeen analyysiin hitausmomentin yhteydessä + =