15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima riippuu paikasta, Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: W dw Fdr ( FiˆF ˆjFkˆ) ( dxiˆdyj ˆdzkˆ) = ( FdxFdyFdz). x y z x y z A 15.4 Tämä on esimerkki vektorikentän viivaintegraalista. Tässä integroinnissa parametrina on matka s ja käyränä r, käyrän pisteiden paikkavektori. Olkoon Fr ( ) yleisemmin jokin vektorikenttä ja r jonkin käyrän pisteiden paikkavektori. Integraalia F dr kutsutaan vektorin F käyräintegraaliksi yli käyrän. [Ei ole paras mahdollinen nimitys, sillä oikeastaan tässä lasketaan vektorin F käyrän tangentin suuntaisen komponentin. Perimmältään FT Fcos käyräintegraali, F dr FT dr siis tässäkin on kyse skalaarikentän käyräintegraalista.]
16 Kun käyrä esitetään parametrimuodossa eli r r() t, on integraali saatettava sellaiseen muotoon, jossa integroiminen tapahtuu parametrin t suhteen jonkin välin at b yli. Käytetään ketjusääntöä, esim. dx dx, jolloin saadaan b dr Fr ( ) dr ( ) Fr a b dx dy x( ( ), ( ), ( )) y( ( ), ( ), ( )) a F x t y t z t F x t y t z t dz + Fz ( x( t), y( t), z( t)). Lyhyemmin kirjoitettuna: b dx dy dz Fr ( ) dr Fx Fy + Fz. a Esimerkki: Lasketaan vektorikentän Fxyz (,, ) xiˆ yj ˆ zkˆ käyräintegraali yli käyrän rt ( ) ( xt ( ), yt ( ), zt ( )) (sin t,cos tt, ), 0 t. Sovelletaan äskeistä kaavaa. Koska '( ) cos, '( ) sin x t t y t t ja () 1, zt saadaan
17 b dr Fr ( ) dr F a = sin tiˆ costj ˆ tkˆ costiˆ sin tj ˆ kˆ 0 1 = sin t cost sin t cost t t t 0 0 =. 0 3.3 Käyräintegraali ja vektorikentän konservatiivisuus Tarkastellaan vektorikentän käyräintegraalia pitkin suljettua käyrää eli integroinnin alku- ja loppupiste ovat samat, ra ( ) rb ( ). Merkitään tätä integraalia A 15.&15.4 Fr ( ) dr. On helppo uskoa, että integraali voi olla nolla, jos vaan käyrä sattuu olemaan sopivanlainen. On kuitenkin olemassa sellaisia vektorikenttiä, joille tämä integraali on nolla kaikille suljetuille käyrille, Fr ( ) dr 0 kaikille suljetuille Niitä sanotaan konservatiivisiksi kentiksi. Mekaniikasta ovat tuttuja konservatiiviset voimat; ne ovat konservatiivisia vektorikenttiä. On helppo nähdä, että konservatiivisen kentän käyräintegraali kahden pisteen välillä on reitistä riippumaton. Olkoon 1 ja kaksi eri käyrää pisteestä P 0 pisteeseen P. Ne voidaan yhdistää suljetuksi käyräksi, jossa ensin mennään P 0 pisteeseen P käyrää 1 pitkin ja palataan takaisin käyrää väärään suuntaan eli käyrää. Silloin (huomaa, että reiteillä ja - käyrädifferentiaalilla
18 dr on vastakkainen merkki, koska ne osoittavat vastakkaiseen suuntaan) joten 0 Fdr Fdr Fdr, 1 Fdr Fdr Fdr. 1 Konservatiivinen vektorikenttä Fr ( ) voidaan aina esittää jonkin skalaarikentän ( r ) avulla seuraavasti: ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( ) r Fr i r j r k ˆ. x y z F F F x y z Tämä on konservatiivisen kentän määritelmä. Kaava voidaan kirjoittaa lyhyemmin määrittelemällä derivointioperaattori eli nabla: ˆ ˆ i j kˆ. x y z Silloin F. Nabla hyvin tulee tutuksi jatkossa. [Huom. Fysiikassa usein valitaan potentiaalin etumerkki niin, että F, mutta se on ihan sama.] Integrandi saadaan skalaarikentän avulla muotoon
19 ˆ F dr i ˆ j kˆ dxiˆ dyj ˆ dzkˆ x y z dx dy dz d. x y z Jos reitillä on parametriesitys rt ()( atb), käyräintegraali b bd( r( t)) Fdr d( r( t)) ( r( b)) ( r( a)), a a eli käyräintegraalin arvon määräävät potentiaalifunktion arvot käyrän päätepisteissä. Kun käyrä on suljettu, ra ( ) rb ( ) ja käyräintegraali häviää. on Seuraavat kolme ehtoa ovat yhtäpitäviä eli seuraavat toinen toisistaan (ks. Adams puutuvien todistusten osalta): (i) F on konservatiivinen eli on muotoa F. (ii) Fr ( ) dr 0 kaikille suljetuille käyrille. (iii) Käyräintegraali pisteestä P 0 pisteeseen P ei riipu käyrästä, jota pitkin integrointi suoritetaan eli r( P) 1 F dr ei riipu käyrästä. r( P0 ) Esimerkki: Tarkastellaan vektorikenttää F ( F, F, F ) ( x y, x z, y). x y z Onko kenttä konservatiivinen? Mikä on kentän käyräintegraali F dr origosta (0,0,0) pisteeseen (0,1,1)? Yksi tapa osoittaa kenttä konservatiiviseksi on etsiä sellainen skalaarifunktio, josta se saadaan nablaamalla eli F. Hetken pohtimisella näkee, että sellainen on
0 1 ( xyz,, ) x xy yz. Esimerkiksi x x y F x. Kenttä on siis konservatiivinen. Käyräintegraalin arvoksi saadaan Fdr (0,1,1) (0,0,0) 1 1 (0) 0111 (0) 00 00 1. Esimerkki: Laske integraali F dr x, kun on ympyrä y 1 kierrettynä vastapäivään alku- ja loppupisteenä (1,0) ja F on vektorikenttä y x F ( Fx, Fy) (, ). x y x y Onko kenttä konservatiivinen? Laskua yksinkertaistava huomio: koska integroimiskäyrällä x y 1, on kenttä sillä F ( y, x). Parametrisoidaan käyrä kiertokulman avulla: r ( ) (cos,sin ), 0. Silloin F ( sin,cos ) ja käyräintegraaliksi saadaan '( ) ( sin,cos ) ( sin,cos )d F dr F r d 0 0 (sin cos ) d d 0 0. Koska tämä integraali yli suljetun käyrän ei häviä, kenttä ei ole konservatiivinen.
1 Pyörteettömyysehto. Riittävä ja välttämätön ehto vektorikentän F F(, x y,) z konservatiivisuudelle ja siten skalaaripotentiaalin olemassaololle on myös seuraava: F F x y Fy Fz Fz Fx,,. y x z y x z Tämä ehto voidaan kirjoittaa edellä annetun -operaattorin avulla yksinkertaisesti Fxyz (,,) 0, sillä Fxyz (,,) tarkoittaa vektoria F Fy z (,, ) ˆ F F x Fz ˆ y F x F x y z i j kˆ. y z z x x y Vektorikenttää F, jolle Fxyz (,,) 0, sanotaan pyörteettömäksi (asiaan palataan myöhemmin). Kaksiulotteisessa tapauksessa pyörteettömyysehto on F x F y. y x Esimerkki: Edellä olleessa tehtävässä kysyttiin, onko kenttä F ( F, F, F ) ( x y, x z, y) konservatiivinen. x y z Yllä annetut ehdot toteutuvat, F F x y Fy Fz Fz Fx 1, 1, 0, y x z y x z joten kenttä on konservatiivinen.
Esimerkki: Fysiikassa potentiaalia merkitään usein kirjaimella U ja konservatiivinen voima F esitetään muodossa U ˆ U ˆ U F U i j kˆ. x y z Yhdessä ulottuvuudessa jousivoiman potentiaali(energia) on 1 U U( x) kx, josta jousivoimaksi saadaan F iˆkxiˆ. x