MAA6 koe 26.9.2016 Jussi Tyni Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko. Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A-osio: Ilman laskinta, MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. 1. a. Matikan testistä tuli seuraavia pistemääriä: 0, 1, 3, 5, 3, 4, 2, 2, 0, 2, 3, 2, 4, 5, 4 Määritä testipistemäärän keskiarvo, moodi ja mediaani! Perustele mediaanin ja moodin valintasi! (2p) 2. b. Määritä a-kohdan pistemäärien keskihajonta! (2p) a. Kahta noppaa heitetään. Millä todennäköisyydellä silmälukujen summa on vähintään 9? b. Satunnaismuuttuja Z noudattaa normaalijakaumaa N~ (0,1) (eli satunnaismuuttujan arvot ovat valmiiksi normitettuja). Laske todennäköisyydet b1) (Z 1,35) b2) P( 0,70 Z 0,45) 3. a. Kuinka monta eri viisikirjaimista sanaa voidaan muodostaa sanan SOTKA kirjaimista? (2p.) b. Millä todennäköisyydellä joukon 100,101,102,...150 luvuista satunnaisesti valittu luku on jaollinen seitsemällä? (2p.)
B-osio: Laskin ja MAOL:in taulukkokirja saa olla käytössä. Perustele vastauksesi välivaihein! Valitse tehtävistä neljä-kahdeksan neljä kappaletta, joihin vastaat. 4. a. Korttipakasta nostetaan kolme korttia palauttamatta nostettua korttia pakkaan. Millä todennäköisyydellä kaikki nostetut kortit ovat samaa maata? (2p.) b. Laatikossa on neljä sinistä ja kuusi punaista palloa. Laatikosta nostetaan umpimähkään kolme palloa. Millä todennäköisyydellä vähintään kaksi palloista on sinisiä? (.) 5. Koneen valmistamista tuotteista 8 % on lievästi väriviallisia ja 7 % pintaviallisia. Viat esiintyvät toisistaan riippumatta. Virheettömät tuotteet myydään A- laatuna. Tuotteet, joissa on vain toinen vika, myydään B-laatuna. Tuotteet joissa on molemmat viat, särjetään. A-laatuinen tuote voidaan myydä 500 euron voitolla ja B-laatuinen tuote 100 euron voitolla. Särjetystä tuotteesta tulee 10 000 euroa tappiota. Kuinka suuri on yhdestä tuotteesta saatavan voiton odotusarvo? 6. Kolikko heitetään ämpäriin. Millä todennäköisyydellä ämpärin pohjan ja kolikon keskipisteiden etäisyys pienempi kuin 10 cm, kun ämpärin pohjan halkaisija on 40 cm ja kolikon halkaisija 24 mm? 7. On todettu, että merkityistä linnuista 85% palaa pesimäpaikalleen myös seuraavana kesänä. Vuonna 2012 merkittiin Kalliomaan pesimisalueella 12 lintua. Millä todennäköisyydellä niistä ainakin 10 palaa pesimään Kalliomaalle myös vuonna 2013? 8. a. Kokeen tulokset noudattavat likimain normaalijakaumaa. Oppilaiden pistekeskiarvo oli 16 pistettä ja keskihajonta 5 pistettä. Kuinka suuri osa oppilaista sai yli 20 pistettä? (2p) b. Koulun lentopallojoukkueen tyttöjen pituus on keskimäärin 165 cm keskihajonnan ollessa 5,8 cm. Kentälle arvotaan pelaamaan kuusi tyttöä. Millä todennäköisyydellä kentälle tulee ainakin yksi yli 172 cm pitkä pelaaja? ()
Ratkaisut: 1. Taulukkolaskentaohjelmalla: 2. a. Kaikki mahdolliset tulokset ja keltaisella pohjalla suotuisat tulokset: b. Joten P(tulos 9) = 10 36 = 5 18 b1) P(Z 1,35) = 0,9115 b2) P( 0,70 Z 0,45) = φ(0,45) (1 φ(0,70)) = 0,6736 (1 0,7580) = 0,4316 3. a. Ensimmäinen kirjain voidaan valita 5 eri tavalla, toinen 4 eri tavalla, kolmas 3 eri tavalla, neljäs 2 eri tavalla ja viimeinen yhdellä eri tavalla. 5! (1p.) 120 (2p.) Vastaus: 120 b. Ratkaisu: Luvulla 7 jaollisia ovat 105,112,119,126,133,140 ja 147 eli 7 kappaletta. (1p.) 7 Joukossa 100,101,102,...150 on 51 lukua. (2p.) Siis P 0,14. 51 Vastaus: 7 51 4. a. Ratkaisu: 52 12 11 P(3 samaa maata) (2p.) 52 51 50 22 = 0, 052 (3p.) 425
Vastaus: 0,052 => 5,2% b. P(vähintään 2 sinistä) = P(kaksi tai kolme sinistä) = P(2 sinistä) + P(3 sinistä) Lasketaan erikseen noi: Sininen ja sininen ja joku muu väri voi tulla ( 3 ) eri tapaa. Sitten sininen ja sininen ja joku 2 muu väri kombinaation todennäköisyys on aina sama 4 3 6 vaikka kertolaskujärjestys 10 9 8 muuttuisikin! Joten P(2 sinistä) = ( 3 2 ) 4 10 3 9 6 8 = 3 10 3 sinistä ei voi tulla kuin yhdellä tapaa, sininen, sininen ja sininen, joten P(3 sinistä) = 4 10 3 9 2 8 = 1 30 Joten nyt P(vähintään 2 sinistä) = P(kaksi tai kolme sinistä) = P(2 sinistä) + P(3 sinistä) = 3 10 + 1 30 = 10 30 = 1 3 5. Jakauma: Voitto P(Voitto) A laatu 500 P(ei vikaa) = 0,92 0,93 = 0,8556 B laatu 100 P(värivika tai pintavika) = P(värivika ja ei pintavikaa tai pintavika ja ei värivikaa) = 0,08 0,93 + 0,07 0,92 = 0,1388 särjetään -10000 P(värivika ja pintavika) = 0,07 0,08 = 0,0056 Nyt E(voitto) = 500 0,8556 + 100 0,1388 10000 0,0056 = 385,68 Voiton odotusarvo on siis noin 390 /tuote. 6. Puuttuu, jossakin mun kokeessa Mallikuva: Kolikon putoamispaikkaa mallinnetaan sen keskipisteen kautta. Mallikuvasta havaitaan, että kolikon keskipisteen pitää pudota ämpärin keskipisteen ympärille muodostuvan 10 cm + 1,2 cm =11,2 cm säteeltään olevan ympyrän sisään. Koko ämpärin pohjan pinta-ala: A ämpäri = π20 2 = 400π ja Kolikon putoamisalueen pinta-ala: A kolikko = π11,2 2 = 125,44π Siis P(keskipisteiden etäisyys on alle 10cm)= 125,44π = 196 => 31,4% 400π 625
7. Ratkaisu: P( ainakin 10 palaa) = P(10, 11 tai 12 palaa) (2p.) 12 10 2 12 11 1 12 12 0 0,85 0,15 0,85 0,15 0,85 0,15 (5p.) 10 11 12 0,74 (.) Vastaus: 0,74 8. a. Normitus: z = 20 16 = 0,8 5 Nyt P(yli 20 pistettä) = 1 φ(0,8) = 1 0,7881 = 0,2119 = 21,2% b. Ratkaisu: Lasketaan ensin millä todennäköisyydellä pelaaja on alle 172 cm. Px ( 172) (1p.) 172 165 P( z ) P( z 1,21) 5,8 (2p.) 0,8869 (3p.) P( ainakin yksi yli 172 cm) = 1 P(kaikki alle 172 cm) (.) 6 1 0,8869 (5p.) 0,51 (.) Vastaus:0,51