Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen signaalin spektri Stokastisen signaalin spektri Signaalien taajuussisältöjen vertaaminen Lineaarinen järjestelmä ja spektri
3 häiriötyyppiä: Häiriöiden kuvaus 1. mitattavissa oleva häiriö häiriötä voidaan käsitellään kuin ohjausta, jota ei voida valita (deterministinen) esim. aurinkolämmitys: säteilyintensiteetti ajatellaan häiriöksi 2. ei-mitattavissa oleva häiriö, jonka lähde tunnetaan häiriö voidaan ottaa huomioon mallia konstruoitaessa (deterministinen / stokastinen) esim. lentokoneen liikeyhtälöt vaihtelut ilmavirtauksissa 3. ei-mitattavissa oleva häiriö esim. ulostuloon summautuva kohina (stokastinen) Vaikka häiriö olisi mitattavissa, on se pystyttävä rekonstruoimaan oleellisilta osiltaan esim. simulointia varten Oleellisuus: ajassa tapahtuvat muutokset vs.taajuussisältö
Yksinkertaiset aikatason signaalit Esimerkkejä impulssi: w(t) = δ(t) askel: w(t)=0, kun t<t 1 ; a, kun t>t 1 eriaikaisten askelten summa; esim. kanttiaalto ramppi: w(t)=0 kun kun t<t 1 ; a*(t-t 1 )+b, kun t>t 1 kolmioaalto: ramppien summa Transienttivaste: systeemin ulostulo, kun ohjaus tai häiriö yo. tyyppistä muotoa (yleensä impulssi / askel)
Muut deterministiset signaalit aikatasossa Oletetaan, että häiriö w(t) on jonkin alisysteemin ulostulo: x& w ( t) = wt () = h f w w ( x ( x w w ( t), u ( t), u ( t)) ( t)) u w (t) on tyypillisesti jokin transientti Hyvä lähestymistapa jos häiriön syntymekanismista on tietoa Lineaarisessa tapauksessa voidaan kuvata myös siirtofunktion tai operaattoripolynomin avulla Vastaavasti diskreettiaikaiset mallit w w u w (t) häiriön tuottava alisysteemi w(t) u(t) S y(t)
Stokastiset signaalit aika-tasossa Lineaarinen diskreettiaikainen malli w(t k )=G(q)u(t k ), t k =kt näytteenottoväli T näytteenottotaajuus 1/T, näytteenoton kulmataajuus 2π/T Nyquistin taajuus 1/2T, Nyquistin kulmataajuus π/t Asetetaan u(t k )=e(t k ), e(t k ) valkoista kohinaa (white noise) e(t k ):t riippumattomia esim. normaalijakautunut, odotusarvo 0 ja vakio varianssi Häiriön tuottava alijärjestelmä: w(t)+d 1 w(t-t)+...+d n w(t-nt)=c 0 e(t)+c 1 e(t-t)+...+c n e(t-nt), w(t) on lineaarisesti suodatettua kohinaa Diskreettiaikainen stokastinen prosessi satunnaismuuttujien joukko w(t k ), t k =kt, k=0,±1, ±2, ±3,
Stokastisista prosesseista w(t)+d 1 w(t-t)+...+d n w(t-nt)=c 0 e(t)+c 1 e(t-t)+...+c n e(t-nt) on ns. ARMA-malli: AutoRegressive: selittäjinä edelliset arvot MovingAverage: selittäjänä edelliset virhetermit taustatietoja ARMA-malleista: Mat-2.3128 kurssikirja Stokastisen prosessin realisaatio: mallin tuottamat numerot, erilainen eri kerroilla w(t):n odotusarvofunktio on m w (t) = Ew(t) w(t):n kovarianssifunktio (autokovarianssi) R w (t,s)=e(w(t)- m w (t))(w(s)-m w (s)) Prosessi on stationaarinen, jos sen tilastolliset (odotusarvo, varianssi ja kovarianssi) ominaisuudet eivät riipu t:stä Stationaarisen w(t):n kovarianssifunktio riippuu vain aikavälistä τ=t-s, eli R w (τ)=r w (t,t-τ), symmetrinen origon suhteen
Aika-ajattelusta taajuusajatteluun Tyypillisesti häiriösignaalia ei voi ennustaa täydellisesti pyrittäessä yleistävään malliin simulointi yhdellä tietyllä häiriöllä ei edes ole kovin mielenkiintoista Aikatasoa täydentävän ajattelutavan muodostaa tässä suhteessa taajuustaso häiriön eksaktin muodon sijaan ollaan kiinostuneita siitä, mitä taajuuksia se sisältää Tärkeä työkalu Fourier-muunnos
Signaalit taajuustasossa Spektri (myös tehospektri, spektraalitieys): merk. w(t):n spektriä Φ w (ω):llä, missä ω on (kulma)taajuus yksikkönä energia/taajuus kertoo energian taajuusjakauman Kaksi määritelmää: 1. Deterministisille signaaleille spektri määritellään signaalin Fourier-muunnoksen modulin neliönä (Signaaleille, joilla on ääretön energia, spektri määritellään katkaistulle signaalille, normeerataan katkaisun pituudella) 2. Stationaarisille stokastisille prosesseille spektri ( realisaation spektrin odotusarvo ) määritellään kovarianssifunktion diskreettinä Fourier-muunnoksena
Esimerkki, deterministisen signaalin spektri Asin(ω 0 t):n Fourier-muunnos on iπa(δ(ω-ω 0 )+δ(ω+ω 0 )) Sen spektri on muunnoksen itseisarvon neliö: Φ(ω)= π 2 A 2 (δ(ω-ω 0 )+δ(ω+ω 0 )) Energia on täysin taajuuksilla ω ja -ω ja spektri näyttää tältä: Φ(ω) ω 0 ω 0 ω
Esimerkki, stokastisen signaalin spektri Valkoisen kohinan e(t) spektri Ee(t)=0 ja e(t):n kovarianssifunktio on R e (kt)=ee(t+kt)e(t)=λ 2, kun k=0 ja 0 muulloin λ 2 on kohinan varianssi Ee(t) 2 Ol. T=1 ja lyödään tämä edellisen sivun kaavaan => Φ e (ω)= λ 2 valkoinen kohina sisältää siis kaikkia taajuuksia yhtä paljon
Signaalien taajuussisältöjen vertaaminen Ristispektri (ristitehotiheysspektri)φ yu (ω): määritellään y:n Fourier-muunnoksen ja u:n Fouriermuunnoksen kompleksikonjugaatin tulona stationaarisille stokastisille prosesseille se on vastaavasti ristikovarianssin diskreetti Fourier-muunnos Intuitiivinen tulkinta: tarkastellaan kahta signaalia y(t) ja u(t): jos u(t):ssä on taajuuskomponentti cos(ωt), on y(t):ssä sama komponentti Φ yu (ω) kertaa suurempana ja vaiheeltaan argφ yu (ω) jäljessä Φ yu (ω)=0 signaalit korreloimattomia
Jatkuva-aikaisen lineaarinen järjestelmän vaikutus spektriin Olk. y(t)=g(p)u(t)+w(t), u(t) ja w(t) riippumattomia Fourier-muunnetaan puolittain: Y(ω)=G(iω)U(ω)+W(ω) Korotetaan puolittain neliöön, normeerataan aikavälin pituudella ja otetaan odotusarvo => Φ y (ω)= G(iω) 2 Φ u (ω)+φ w (ω) Kertomalla puolittain conj(u(ω)):llä (ja etenemällä samoin) => Φ yu (ω)=g(iω)φ u (ω) Olet. w(t)=0, Φ u (ω)=1 (u(t) valkoista kohinaa) ja G(p)=C(p)/D(p) => Φ y (ω)= G(iω) 2 = C(iω) 2 / D(iω) 2 Spectral Factorization: jos annettu spektri on ω 2 :n rationaalifunktio, voidaan aina löytää sitä vastaava stabiili systeemi G(p) (eräs identifiointilähestymistapa)
Diskreettiaikaisen lineaarisen järjestelmän vaikutus spektriin Olk. y(t)=g(q)u(t)+w(t), u(t) ja w(t) rtomia => ja Φ y (ω)= G T (e iωτ ) 2 Φ u (ω)+φ w (ω) Φ yu (ω)=g T (e iωτ )Φ u (ω) Näytteenottoväliä T vastaava siirtofunktio ARMA-prosessin C(q)/D(q) spektraalitiheys: C(e iωτ ) 2 / D(e iωτ ) 2 Spectral Factorization: jos annettu spektri on cosωt:n rationaalifunktio, voidaan aina löytää sitä vastaava stabiili systeemi G T (q) (eräs identifiointilähestymistapa)
Miten homma etenee käytännössä? Jonkinlainen näkemys häiriöstä: - Havaintoja, aikasarja w(1), w(2),..., w(n) - Kvalitatiivinen kuvaus: häiriötaajuudet yleensä alle 5Hz, häiriötaajuudet keskittyneet 50Hz ympärille => spektrin estimaatti C:n ja D:n estimointi käyttäen Spectral Factorization (myös havaitun aikasarjan autokorrelaatiofunktio ja osittaisautokorrelaatiofunktio, vrt. kurssi Mat-2.3128 ja Systeemianalyysilaboratorio II) Spektrin esitimointi äärellisestä määrästä havaintoja (tähän teemaan palataan kurssilla myöhemmin) C:n ja D:n parametrien estimointi (teemaan palataan myöhemmin)