Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit
|
|
- Matti Hänninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Stationaariset stokastiset prosessit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
2 Stationaariset stokastiset prosessit >> Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden estimointi Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektrin estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2
3 Stationaariset stokastiset prosessit Stokastiset prosessit 1/3 Stokastinen prosessi on satunnaismuuttujien x t, t T järjestetty jono, jossa aikaindeksi t määrää satunnaismuuttujien x t järjestyksen jonossa. Satunnaismuuttujien x t yhteisjakaumat määräävät täysin stokastisen prosessin käyttäytymisen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 3
4 Stationaariset stokastiset prosessit Stokastiset prosessit 2/3 Olkoon x t, t T jokin stokastinen prosessi. Indeksijoukkona T käytetään (tilanteen mukaan) jotakin seuraavista joukoista: (i) Kokonaislukujen joukko: T = = {, 2, 1, 0, + 1, + 2, } (ii) Luonnollisten lukujen joukko: T = ={1, 2, 3, } (iii) Äärellinen luonnollisten lukujen joukko: T = {1, 2, 3,, n} TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 4
5 Stationaariset stokastiset prosessit Stokastiset prosessit 3/3 Koska oletamme, että stokastisen prosessin x t, t T aikaindeksi t saa arvoja diskreetistä joukosta T, prosessia x t kutsutaan usein diskreettiaikaiseksi tai yksinkertaisesti vain diskreetiksi. Huomautus: Jos indeksijoukkona T on jokin reaaliakselin väli, sanotaan stokastista prosessia jatkuva-aikaiseksi tai vain jatkuvaksi. Jatkuva-aikaisten stokastisten prosessien käsittely sivuutetaan tässä esityksessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 5
6 Stationaariset stokastiset prosessit Aikasarjat stokastisten prosessien realisaatioina Havaittu aikasarja tulkitaan tilastollisessa aikasarjaanalyysissa jonkin stokastisen prosessin realisaatioksi, millä tarkoitetaan sitä, että aikasarja on jonkin stokastinen prosessin generoima. Aikasarja-analyysin tehtävät: (i) Tunnistaa aikasarjan generoinut stokastinen prosessi. (ii) Estimoida aikasarjan generoineen prosessin parametrit ja testata parametreja koskevia hypoteeseja. (iii) Konstruoida ennusteita prosessin (aikasarjan) tulevalle käyttäytymiselle. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 6
7 Stationaariset stokastiset prosessit Stokastista prosessia kuvaavat tunnusluvut Olkoon x t, t T diskreetti stokastinen prosessi. Määritellään prosessille tavanomaiset tunnusluvut: Odotusarvo: E(x t ) = µ t, t T Varianssi: Var(x t ) = E[(x t µ t ) 2 ] = D 2 (x t ) = σ t2, t T Kovarianssi: Cov(x t, x s ) = E[(x t µ t )(x s µ s )] = γ ts, t ja s T Erityisesti: γ tt = Var(x t ) = σ t2, t T TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 7
8 Stationaariset stokastiset prosessit Tunnusluvut stokastisille prosesseille: Tulkinta 1/2 Olkoon x t, t T diskreetti stokastinen prosessi. Odotusarvo E(x t ) = µ t, t T kuvaa satunnaismuuttujan x t todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan painopistettä. Varianssi Var(x t ) = E[(x t µ t ) 2 ] = σ t2, t T kuvaa satunnaismuuttujan x t todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua todennäköisyysmassan painopisteen µ t ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 8
9 Stationaariset stokastiset prosessit Tunnusluvut stokastisille prosesseille: Tulkinta 2/2 Kovarianssi Cov(x t, x s ) = γ ts, t ja s T kuvaa satunnaismuuttujien x t ja x s yhteisjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen (µ t, µ s ) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 9
10 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaarisuus 1/2 Olkoon x t, t T diskreetti stokastinen prosessi. Stokastinen prosessi x t, t T on kovarianssistationaarinen eli heikosti stationaarinen jos seuraavat ehdot pätevät: (i) E(x t ) = µ kaikille t T (ii) Var(x t ) = σ 2 kaikille t T (iii) Cov(x t, x s ) = γ t s kaikille t ja s T TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 10
11 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaarisuus 2/2 Olkoon x t, t T diskreetti stokastinen prosessi. Stokastinen prosessi x t, t T on vahvasti stationaarinen, jos kaikilla satunnaismuuttujilla x t on sama jakauma. Vahvasti stationaariset stokastiset prosessit ovat aina myös heikosti stationaarisia, mutta käänteinen ei päde. Huomautuksia: Jos heikosti stationaarinen prosessi on normaalinen, prosessi on myös vahvasti stationaarinen. Emme tarvitse vahvan stationaarisuuden käsitettä tässä esityksessä ja käsite stationaarisuus viittaa jatkossa aina heikosti stationaarisiin prosesseihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 11
12 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit: Ominaisuudet 1/2 Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T ominaisuudet: (i) Odotusarvo E(x t ) = µ, t T ei riipu ajanhetkestä t eli on vakio ajassa. (ii) Varianssi Var(x t ) = σ 2, t T ei riipu ajanhetkestä t eli on vakio ajassa. (iii) Kovarianssi Cov(x t, x s ) = γ t s, t ja s T ei riipu ajanhetkistä t ja s, vaan ainoastaan ajanhetkien t ja sväliajastat s. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 12
13 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit: Ominaisuudet 2/2 Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T realisaatioissa ei saa näkyä seuraavia piirteitä: (i) Determinististä tai stokastista trendiä. (ii) Varianssin (systemaattista) vaihtelua. (iii) Determinististä tai stokastista kausivaihtelua. (iv) Sisäisen riippuvuusrakenteen, kuten rytmin, (systemaattista) vaihtelua. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 13
14 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit aikasarjojen malleina 1/2 Vaikka stationaarisuuden ehdot saattavat tuntua rajoittavilta, stationaariset stokastiset prosessit muodostavat käyttökelpoisen ja moniin erilaisiin tilanteisiin soveltuvan malliluokan aikasarjoille. Tämä perustuu seuraavaan empiiriseen havaintoon: Monet käytännön tutkimuksessa kohdattavat aikasarjat ovat stationaarisia tai ne voidaan stationarisoida. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 14
15 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit aikasarjojen malleina 2/2 Lisäperustelu stationaaristen stokastisten prosessien käyttökelpoisuudelle aikasarjamalleina on se, että stationaaristen stokastisten prosessien teoria hallitaan erinomaisesti: (i) Stationaaristen stokastisten prosessien teoreettiset ominaisuudet tunnetaan hyvin. (ii) Stationaaristen stokastisten prosessien estimointi-ja testiteoria on hyvin strukturoitu ja helposti sovellettavissa. (iii) Stationaarisille aikasarjoille on kehitetty järjestelmällisiä mallinrakennusprosesseja. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 15
16 Stationaariset stokastiset prosessit Autokovarianssi: Määritelmä Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi. Voimme määritellä prosessin k. autokovarianssin kaavalla γ k = Cov( xt, xt k) = E[( xt µ )( xt k µ )], t T, k jossa µ = E( xt ), t T on prosessin odotusarvo. Erityisesti 2 γ 0 = Var( xt ) = σ, t T on prosessin varianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 16
17 Stationaariset stokastiset prosessit Autokovarianssi: Kommentteja Autokovariansseja ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. Autokovarianssit eivät riipu ajanhetkestä t. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 17
18 Stationaariset stokastiset prosessit Autokovarianssifunktio: Määritelmä Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokovarianssifunktio on γ k, k = 0, 1, 2, jossa γ k on prosessin k. autokovarianssi. Huomautus: Autokovarianssifunktio ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 18
19 Stationaariset stokastiset prosessit Autokorrelaatio: Määritelmä Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi. Määritellään prosessin k. autokorrelaatiokerroin kaavalla γ k ρk =, k γ 0 jossa γ k = Cov( xt, xt k), t T, k on prosessin k. autokovarianssi ja 2 γ 0 = Var( xt ) = σ, t T on prosessin varianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 19
20 Stationaariset stokastiset prosessit Autokorrelaatio: Kommentteja Autokorrelaatiokertoimia ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. Autokorrelaatiokertoimet eivät riipu ajanhetkestä t. Autokorrelaatiokerroin ρ k mittaa stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T aikavälin k päässä toisistaan olevien satunnaismuuttujien lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 20
21 Stationaariset stokastiset prosessit Autokorrelaatiokertoimet: Ominaisuudet Autokorrelaatiokertoimilla on seuraavat ominaisuudet: (1) ρ 0 = 1 (2) ρ k = ρ k kaikille k = 0, 1, 2, (3) ρ k 1 kaikille k Ominaisuuden (2) takia on riittävää tarkastella autokorrelaatioita, kun k = 0, 1, 2, TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 21
22 Stationaariset stokastiset prosessit Autokorrelaatiofunktio: Määritelmä Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokorrelaatiofunktio (akf) on ρ k, k = 0, 1, 2, jossa ρ k on prosessin k. autokorrelaatiokerroin. Huomautus: Autokorrelaatiofunktio ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 22
23 Stationaariset stokastiset prosessit Autokorrelaatiofunktio: Graafinen esitys Autokorrelaatiofunktiota ρ k, k = 0, 1, 2, on tapana kuvata graafisesti piirtämällä pisteet (k, ρ k ), k = 0, 1, 2, tasoon. Tavallisesti pisteet (k, ρ k ), k = 0, 1, 2, yhdistetään pisteisiin (k, 0), k = 0, 1, 2, janalla, jolloin autokorrelaatiofunktion kuvaajasta tulee piikkifunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 23
24 Stationaariset stokastiset prosessit Osittaisautokorrelaatio: Määritelmä Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi. Prosessin k. osittaisautokorrelaatiokerroin φk = Cor( xt, xt k xt 1,, xt k+ 1), t T, k on satunnaismuuttujien x t ja x t k ehdollinen korrelaatio, kun ehtomuuttujina ovat muuttujat x t 1,, x t k+1 eli ajanhetkien t ja t k väliin jäävät satunnaismuuttujat stokastisen prosessin muodostavien satunnaismuuttujien jonossa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 24
25 Stationaariset stokastiset prosessit Osittaisautokorrelaatio: Kommentteja Osittaisautokorrelaatiokertoimia ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. Osittaisautokorrelaatiokertoimet eivät riipu ajanhetkestä t. Osittaisautokorrelaatiokerroin φ k mittaa stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T aikavälin k päässä toisistaan olevien satunnaismuuttujien korrelaatiota, kun korrelaatiosta on eliminoitu aikavälin k päässä toisistaan olevien satunnaismuuttujien väliin jäävien satunnaismuuttujien vaikutus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 25
26 Stationaariset stokastiset prosessit Osittaisautokorrelaatiokertoimet: Ominaisuudet Osittaisautokorrelaatiokertoimilla on seuraavat ominaisuudet: (1) φ 0 = 1 (2) φ k = φ k kaikille k = 0, 1, 2, (3) φ k 1 kaikille k Ominaisuuden (2) takia on riittävää tarkastella osittaisautokorrelaatioita, kun k = 0, 1, 2, TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 26
27 Stationaariset stokastiset prosessit Osittaisautokorrelaatiofunktio: Määritelmä Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T osittaisautokorrelaatiofunktio (oakf) on φ k, k = 0, 1, 2, jossa φ k on prosessin k. osittaisautokorrelaatiokerroin. Huomautus: Osittaisautokorrelaatiofunktio ei ole määritelty epästationaarisille stokastisille prosesseille. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 27
28 Stationaariset stokastiset prosessit Osittaisautokorrelaatiofunktio: Graafinen esitys Osittaisautokorrelaatiofunktiota φ k, k = 0, 1, 2, on tapana kuvata graafisesti piirtämällä pisteet (k, φ k ), k = 0, 1, 2, tasoon. Tavallisesti pisteet (k, φ k ), k = 0, 1, 2, yhdistetään pisteisiin (k, 0), k = 0, 1, 2, janalla, jolloin osittaisautokorrelaatiofunktion kuvaajasta tulee piikkifunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 28
29 Stationaariset stokastiset prosessit Auto- ja osittaisautokorrelaatiokertoimien yhteys: Yulen ja Walkerin yhtälöt 1/3 Olkoon stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokorrelaatiofunktio ρ k, k = 0, 1, 2, ja osittaisautokorrelaatiofunktio φ k, k = 0, 1, 2, TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 29
30 Stationaariset stokastiset prosessit Auto- ja osittaisautokorrelaatiokertoimien yhteys: Yulen ja Walkerin yhtälöt 2/3 Määritellään Yulen ja Walkerin yhtälöt 1 ρ1 ρ2 ρk 1 αk1 ρ1 ρ1 1 ρ1 ρ k 2 α k2 ρ 2 ρ2 ρ1 1 ρk 3 α k3 = ρ3 ρk 1 ρk 2 ρk 3 1 α kk ρ k kun k = 1, 2, ja ratkaistaan k. yhtälöstä kerroin α kk TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 30
31 Stationaariset stokastiset prosessit Auto- ja osittaisautokorrelaatiokertoimien yhteys: Yulen ja Walkerin yhtälöt 3/3 k. osittaisautokorrelaatiokerroin φ k saadaan kertoimen α kk ratkaisuna k. yhtälöstä: φ k = α kk Erityisesti: φ = α = ρ φ ρ2 ρ1 2 = α22 = 2 1 ρ1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 31
32 Stationaariset stokastiset prosessit Aikasarjan stationarisointi Koska stationaaristen stokastisten prosessien realisaatioissa ei saa olla näkyvää trendiä tai kausivaihtelua, havaitut aikasarjat eivät useinkaan ole stationaarisia! Merkitseekö tämä sitä, että stationaaristen stokastisten prosessien luokka ei ole käytännössä hyödyllinen? Vastaus on ei: Monet epästationaarisilta näyttävät aikasarjat voidaan stationarisoida differensoimalla! Sellaista epästationaariselta näyttävää aikasarjaa, joka voidaan stationarisoida differensoimalla, kutsutaan integroituvaksi tai differenssistationaariseksi; ks. tarkemmin seuraavaa kappaletta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 32
33 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit >> Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden estimointi Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektrin estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 33
34 Integroituvuus Integroituvuus: Määritelmä 1/2 Oletetaan, että diskreetti stokastinen prosessi x t, t T on epästationaarinen, mutta jokin sen differenssi on stationaarinen. Tällöin prosessia x t, t T kutsutaan integroituvaksi tai differenssistationaariseksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 34
35 Integroituvuus Integroituvuus: Määritelmä 2/2 Diskreetti stokastinen prosessi x t, t T on integroituva eli differenssistationaarinen astetta p, jos q Dxt, D= 1 L on epästationaarinen kaikille q = 1, 2,, p 1 mutta p D x t on stationaarinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 35
36 Integroituvuus Kausi-integroituvuus Diskreetti stokastinen prosessi x t, t T on kausi-integroituva eli differenssistationaarinen astetta p kauden pituuden s suhteen, jos q s Dx s t, Ds = 1 L on epästationaarinen kaikille q = 1, 2,, p 1 mutta p Ds xt on stationaarinen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 36
37 Integroituvuus Integroituvuus ja kausi-integroituvuus Jos stokastisessa prosessissa on sekä trendi että kausivaihtelua, saattaa olla aiheellista tehdä sekä differensointi että kausidifferensointi stationaarisuuden saavuttamiseksi. Esimerkki: Jos kauden pituus s = 12 (kuukausiaikasarja), stationaarisuuden saavuttamiseksi joudutaan usein soveltamaan differensointia D Dx = DD x jossa D D 12 t 12 t (1 ) = 1 L 12 s t = 1 L = L L + L x = x x x + x t t 1 t 12 t Lx = x, s= 0,1,2, t s TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 37 t
38 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus >> Korrelaatiofunktioiden estimointi Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektrin estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 38
39 Korrelaatiofunktioiden estimointi Otostunnusluvut Olkoon x t, t = 1, 2,, n havaittu aikasarja. Määritellään aikasarjalle tavanomaiset otostunnusluvut: (Aritmeettinen) keskiarvo: 1 n x = n t = x 1 t (Otos-) varianssi: c 1 n 2 0 = n ( x ) 1 t x t= k. (otos-) autokovarianssi: 1 n ck = n ( xt x)( xt k x), k = 0,1,2,, n 1 t= k+ 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 39
40 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden estimointi Olkoon x t, t = 1, 2,, n havaittu aikasarja. Määritellään aikasarjan k. (otos-) autokorrelaatiokerroin kaavalla jossa n ( x x)( x x) c = =, = 0,1,2,, 1 t t k k t= k+ 1 rk k n n c0 2 ( xt x) t= 1 c k = aikasarjan k. otosautokovarianssi c 0 = aikasarjan otosvarianssi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 40
41 Korrelaatiofunktioiden estimointi Otosautokorrelaatiofunktio: Määritelmä Havaitun aikasarjan x t, t = 1, 2,, n otosautokorrelaatiofunktio (oakf) on r k, k = 0, 1, 2,, n 1 jossa r k on aikasarjan k. otosautokorrelaatiokerroin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 41
42 Korrelaatiofunktioiden estimointi Otosautokorrelaatiofunktio: Graafinen esitys Otosautokorrelaatiofunktiota r k, k = 0, 1, 2,, n 1 on tapana kuvata graafisesti piirtämällä pisteet (k, r k ), k = 0, 1, 2,, n 1 tasoon. Tavallisesti pisteet (k, r k ), k = 0, 1, 2,, n 1 yhdistetään pisteisiin (k, 0), k = 0, 1, 2,, n 1 janalla, jolloin otosautokorrelaatiofunktion kuvaajasta tulee piikkifunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 42
43 Korrelaatiofunktioiden estimointi Kuinka monta autokorrelaatiota? 1/2 Aikasarjasta x t, t = 1, 2,, n jonka pituus on n, voidaan periaatteessa estimoida n 1 ensimmäistä autokovarianssia ja korrelaatiota. Kannattaa kuitenkin huomata, että k. autokovarianssi 1 n ck = n ( x )( ), 0,1,2,, 1 1 t x x t k t k x k = n = + estimoidaan vain n k havainnosta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 43
44 Korrelaatiofunktioiden estimointi Kuinka monta autokorrelaatiota? 2/2 Tämä merkitsee sitä, että autokovarianssit ja korrelaatiot pitkillä viipeillä k n 1 tulevat estimoiduiksi sangen epätarkasti, koska ne lasketaan vain muutamasta havainnosta. Siten autokovariansseja ja korrelaatioita ei yleensä kannata laskea kuin alle puolet (esim. 1/3) siitä mitä havaintojen lukumäärä sallii. Laskettavien autokovarianssien ja korrelaatioiden lukumäärään on syytä antaa vaikuttaa myös sen, mitä tarkasteltavasta aikasarjasta tiedetään (esim. millaisia ovat syklisten vaihtelukomponenttien aallonpituudet). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 44
45 Korrelaatiofunktioiden estimointi Osittaisautokorrelaatioiden estimointi 1/4 Olkoon x t, t = 1, 2,, n havaittu aikasarja. Olkoot r k, k = 0, 1, 2,, n 1 aikasarjasta estimoidut autokorrelaatiot. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 45
46 Korrelaatiofunktioiden estimointi Osittaisautokorrelaatioiden estimointi 2/4 Määritellään Yulen ja Walkerin yhtälöt 1 r1 r2 rk 1 ak1 r1 r1 1 r1 r k 2 a k2 r 2 r2 r1 1 rk 3 ak3 = r3 rk 1 rk 2 rk 3 1 a kk r k kun k = 1, 2,, n 1 ja ratkaistaan k. yhtälöstä kerroin a kk TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 46
47 Korrelaatiofunktioiden estimointi Osittaisautokorrelaatioiden estimointi 3/4 k. osittaisautokorrelaatiokertoimen estimaattori saadaan kertoimen a kk ratkaisuna k. yhtälöstä: ˆk φ = a kk Erityisesti: ˆ φ = a = r ˆ φ r2 r1 2 = a22 = 2 1 r1 φˆk TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 47
48 Korrelaatiofunktioiden estimointi Osittaisautokorrelaatioiden estimointi 4/4 Osittaisautokorrelaatiokertoimet voidaan estimoida myös regressiomalleista xt = αk1xt 1+ αk2xt αkkxt k + εt, k = 1,2,, n 1 pienimmän neliösumman menetelmällä. Tällöin k. osittaisautokorrelaatiokertoimen estimaattori on parametrin (eli regressisokertoimen) α kk PNSestimaattori a kk k. mallista: φ = a ˆk kk TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 48
49 Korrelaatiofunktioiden estimointi Otososittaisautokorrelaatiofunktio: Määritelmä Havaitun aikasarjan x t, t = 1, 2,, n otososittaisautokorrelaatiofunktio (ooakf) on φˆk, k = 0, 1, 2,, n 1 jossa on k. osittaisautokorrelaatiokertoimen estimaattori. φˆk TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 49
50 Korrelaatiofunktioiden estimointi Otososittaisautokorrelaatiofunktio: Graafinen esitys Osittaisautokorrelaatiofunktiota φˆk, k = 0, 1, 2,, n 1 on tapana kuvata graafisesti piirtämällä pisteet (k, φˆk ), k = 0, 1, 2,, n 1 tasoon. Tavallisesti pisteet (k, φˆk ), k = 0, 1, 2,, n 1 yhdistetään pisteisiin (k, 0), k = 0, 1, 2,, n 1 janalla, jolloin otososittaisautokorrelaatiofunktion kuvaajasta tulee piikkifunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 50
51 Korrelaatiofunktioiden estimointi Kuinka monta osittaisautokorrelaatiota? 1/2 Aikasarjasta x t, t = 1, 2,, n jonka pituus on n, voidaan periaatteessa estimoida n 1 ensimmäistä osittaisautokorrelaatiota. Kannattaa kuitenkin huomata, että k. osittaisautokorrelaatio φˆk estimoidaan vain n k havainnosta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 51
52 Korrelaatiofunktioiden estimointi Kuinka monta osittaisautokorrelaatiota? 2/2 Tämä merkitsee sitä, että osittaisautokorrelaatiot pitkillä viipeillä k n 1 tulevat estimoiduksi sangen epätarkasti, koska ne lasketaan vain muutamasta havainnosta. Siten osittaisautokorrelaatioita ei yleensä kannata laskea kuin alle puolet (esim. 1/3) siitä mitä havaintojen lukumäärä sallii. Laskettavien osittaisautokorrelaatioiden lukumäärään on syytä antaa vaikuttaa myös sen, mitä tarkasteltavasta aikasarjasta tiedetään (esim. millaisia ovat syklisten vaihtelukomponenttien aallonpituudet). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 52
53 Korrelaatiofunktioiden estimointi Korrelaatiofunktioiden estimointi ja stationaarisuus Teoreettiset auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot on määritelty vain stationaarisille stokastisille prosesseille. Otosauto- ja otososittaisautokorrelaatiot voidaan tietysti laskea myös epästationaarisista aikasarjoista eli epästationaaristen stokastisten prosessien realisaatioista. Tällöin otoskorrelaatiofunktioita ei voida tulkita minkään stationaarisen stokastisen prosessin korrelaatiofunktioiden estimaattoreiksi. Epästationaarisen aikasarjan otoskorrelaatiofunktioiden määrääminen on silti järkevää ja hyödyllistä, koska nämä funktiot antavat usein hyviä osviittoja siitä, miten aikasarja kannattaa stationarisoida. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 53
54 Korrelaatiofunktioiden estimointi Korrelaatiofunktioiden tulkinnasta Otosautokorrelaatiofunktiota ja otososittaisautokorrelaatiofunktiota tulkittaessa kiinnitetään erityistä huomiota siihen, millä viipeillä merkittävimmät korrelaatiot esiintyvät. Erityistä huomiota kiinnitetään tällöin (i) muutamaan ensimmäiseen viipeeseen, (ii) kausiviipeeseen ja sen monikertoihin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 54
55 Korrelaatiofunktioiden estimointi Korrelaatiofunktioiden estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet Autokovarianssien, autokorrelaatioiden ja osittaisautokorrelaatioiden estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet ovat sangen monimutkaisia ja ne sivuutetaan pääosin tässä esityksessä. Tarkastelemme kuitenkin lähemmin seuraavia kohtia: (i) Autokovarianssien odotusarvot, varianssit ja kovarianssit. (ii) Auto- ja osittaisautokorrelaatioiden odotusarvot ja varianssit tilanteessa, jossa aikasarjan generoinut stokastinen prosessi muodostuu riippumattomien ja samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien jonosta. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 55
56 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokovarianssien estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 1/3 Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi, jonka k. autokovarianssi on γ k = Cov( xt, xt k) = E[( xt µ )( xt k µ )], t T, k jossa µ = E( xt ), t T on prosessin odotusarvo. Erityisesti 2 γ 0 = Var( xt ) = σ, t T on prosessin varianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 56
57 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokovarianssien estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 2/3 Olkoon havaittu aikasarja x t, t = 1, 2,, n stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T jokin realisaatio ja olkoon 1 n ck = n ( x 1 t x)( x ), 0,1,2,, 1 t k t k x k = n = + aikasarjan k. otoskovarianssi, jossa 1 n x = n t = x 1 t on havaintojen x t, t = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo. Erityisesti c 1 n 2 0 = n ( x x) t 1 t = on aikasarjan otosvarianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 57
58 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokovarianssien estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 3/3 k. otosautokovarianssi c k on autokovarianssin γ k harhainen estimaattori, mutta c k on kuitenkin asymptoottisesti harhaton: lim E( ck) = γ k n Lisäksi + 1 Cov( ck, cl) n γ( r) γ( r+ l k) + γ( r+ l) γ( r k) r = ja edelleen Var( ck ) n γ( r) + γ( r+ k) γ( r k) r = Huomautus: [ ] Autokovarianssien c k ja c l kovarianssin kaavasta nähdään, että autokovarianssit ovat yleisessä tapauksessa korreloituneita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 58
59 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 1/4 Oletetaan, että x t, t T on riippumattomien, samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien jonon muodostama stationaarinen stokastinen prosessi. Tällöin sen k. autokovarianssi on γ k = 0, t T, k, k 0 ja siten myös ρ = Cor( x, x ) = γ γ = 0, t T, k, k 0 k t t k k 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 59
60 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 2/4 Olkoon havaittu aikasarja x t, t = 1, 2,, n stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T jokin realisaatio ja olkoon 1 n ck = n ( x 1 t x)( x ), 0,1,2,, 1 t k t k x k = n = + aikasarjan k. otoskovarianssi, jossa 1 n x = n t = x 1 t on havaintojen x t, t = 1, 2,, n aritmeettinen keskiarvo. Erityisesti 1 n 2 c0 = n ( x ) t 1 t x = on aikasarjan otosvarianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 60
61 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 3/4 Olkoon havaittu aikasarja x t, t = 1, 2,, n stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T jokin realisaatio. Määritellään aikasarjan k. otosautokorrelaatio kaavalla ck rk =, k = 0,1,2,, n 1 c0 jossa c k = aikasarjan k. autokovarianssi, k = 0, 1, 2,, n 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 61
62 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden estimointi: Estimaattoreiden stokastiset ominaisuudet 4/4 Voidaan osoittaa, että (tässä tilanteessa, jossa aikasarjan on generoinut riippumattomien, samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien jonon muodostama stationaarinen stokastinen prosessi) k. otosautokorrelaatio r k on asymptoottisesti normaalijakautunut ja lisäksi 1 1 E( rk) Var( rk) n n Siten väli 2 2, + n n muodostaa approksimatiivisesti 95 %:n luottamusvälin korrelaatiokertoimelle ρ k = 0. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 62
63 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden testaaminen 1/2 Edellä esitetyn mukaan approksimatiivisesti pätee 1 r k a N 0, n olettaen, että aikasarjan on generoinut riippumattomien, samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien jono. Tämä johtaa seuraavaan testausmenettelyyn: Autokorrelaatiokerrointa r k pidetään tilastollisesti merkitsevänä (approksimatiivisesti) 5 %:n merkitsevyystasolla, jos se ei mahdu välille 2 2, + n n TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 63
64 Korrelaatiofunktioiden estimointi Autokorrelaatioiden testaaminen 2/2 Huomautus: Merkitsevyystason frekvenssitulkinnasta seuraa: Jos edellisen kalvon testausmenetelmällä testataan K (esimerkiksi 100) ensimmäistä autokorrelaatiota, niistä n. 5 % (5 kpl) osoittautuu tilastollisesti merkitseviksi tilanteessa, jossa aikasarjan on generoinut riippumattomien samoin jakautuneiden satunnaismuuttujien muodostama stokastinen prosessi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 64
65 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden estimointi >> Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektrin estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 65
66 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Taajuusalue Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokorrelaatiofunktio ja osittaisautokorrelaatiofunktio kuvaavat prosessin aikariippuvuusrakennetta. Stationaarisia stokastisia prosesseja on järkevää tarkastella myös ns. taajuus- eli frekvenssialueessa. Taajuusalueen tarkasteluja voidaan käyttää paljastamaan prosesseissa esiintyvät sykliset komponentit (kuten kausitai suhdannevaihtelun), niiden voimakkuudet ja aallonpituudet. Taajuusalueessa stationaarista stokastisia prosesseja analysoidaan prosessin ja sen autokovarianssi- tai autokorrelaatiofunktion spektraaliesitysten avulla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 66
67 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Stationaarisen stokastisen prosessin spektraaliesitys 1/2 Jokaisella stationaarisella stokastisella prosessilla x t, t T on spektraaliesitys π xt = cos( λt) du( λ) + sin( λt) dv( λ) π 0 0 jossa du(λ) ja dv(λ) ovat jatkuvia ja korreloimattomia stokastisia prosesseja, joilla on ns. ortogonaaliset lisäykset. Suuretta λ [0, π] kutsutaan frekvenssiksi eli taajuudeksi ja suuretta 2π/λ, λ [0, π] kutsutaan taajuutta λ vastaavaksi periodiksi (eli jaksoksi) tai aallonpituudeksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 67
68 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Stationaarisen stokastisen prosessin spektraaliesitys 2/2 Huomautus: Stationaarisen stokastisen prosessin spektraaliesityksen integraalit eivät ole tavanomaisia Riemannin integraaleja, vaan ns. stokastisia integraaleja. Sivuutamme stokastisten integraalien tarkemman käsittelyn tässä esityksessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 68
69 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Stationaarisen stokastisen prosessin spektraaliesityksen tulkinta Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T spektraaliesitykselle π xt = cos( λt) du( λ) + sin( λt) dv( λ) π 0 0 voidaan antaa seuraava tulkinta: Jokainen diskreetti stationaarinen stokastinen prosessi voidaan esittää summana (so. stokastisena integraalina) muotoa ujcos( λjt) + vjsin( λjt) olevista syklisistä komponenteista eri taajuuksilla λ j. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 69
70 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Autokovarianssifunktio Olkoon γ k, k = 0, 1, 2, stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokovarianssifunktio, jossa γ k = Cov( xt, xt k) = E[( xt µ )( xt k µ )], k = 0,1,2, on prosessin k. autokovarianssi ja µ =E(x t ) on prosessin odotusarvo. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 70
71 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktio 1/2 Määritellään stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T spektritiheysfunktio f(λ)eli spektri kaavalla 1 f( λ) = γ 0 2 γ k cos( λk), λ [0, π] π + k= 1 jossa γ k = Cov( xt, xt k) = E[( xt µ )( xt k µ )], k = 0,1,2, on prosessin k. autokovarianssi. Huomautus: Spektri määritellään usein myös niin, että autokovarianssit korvataan yllä olevassa kaavassa vastaavilla autokorrelaatioilla. Tämä ei kuitenkaan vaikuta spektrin tulkintaan. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 71
72 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktio 2/2 Spektritiheysfunktion f (λ) argumenttia λ [0, π] kutsutaan frekvenssiksi eli taajuudeksi ja suuretta 2π/λ, λ [0, π] kutsutaan taajuutta λ vastaavaksi periodiksi (eli jaksoksi) tai aallonpituudeksi. Huomautus: Spektritiheysfunktion symmetrisyyden ja jaksollisuuden takia riittää, että spektritiheysfunktiota tarkastellaan välillä 0 λ π Ks. myös aliasing-ilmiötä käsittelevää kohtaa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 72
73 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Frekvenssi ja periodi: 1. määritelmä Edellä on todettu, että spektritiheysfunktion f (λ) argumenttia λ [0, π] kutsutaan frekvenssiksi eli taajuudeksi ja suuretta 2π/λ, λ [0, π] kutsutaan taajuutta λ vastaavaksi periodiksi (eli jaksoksi) tai aallonpituudeksi. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 73
74 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Frekvenssi ja periodi: 2. määritelmä Frekvenssi eli taajuus määritellään joskus myös kaavalla f = λ/2π, λ [0, π] jolloin taajuutta f vastaava periodi (eli jakso) tai aallonpituus on 1/f Näin määritellyllä taajuudella f on seuraava tulkinta: f = syklien (= kierrosten ) lukumäärä aikayksikköä kohden Huomautus: Emme (yleensä) käytä tätä frekvenssin määritelmää tässä esityksessä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 74
75 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktio ja autokovarianssifunktio 1/3 Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi. Tällöin prosessin spektritiheysfunktio f(λ) saadaan prosessin autokovarianssifunktiosta γ k, k = 0, 1, 2, kaavalla 1 f( λ) = γ 0 2 γ k cos( λk), λ [0, π] π + k= 1 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 75
76 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktio ja autokovarianssifunktio 2/3 Olkoon x t, t T stationaarinen stokastinen prosessi. Tällöin prosessin autokovarianssifunktio γ k, k = 0, 1, 2, saadaan prosessin spektritiheysfunktiosta f(λ) kaavalla π γ k = f( λ)cos( λk) dλ, k = 0,1,2, 0 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 76
77 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktio ja autokovarianssifunktio 3/3 Edellä esitetystä seuraa, että stationaarisen stokastisen prosessin autokovarianssifunktio ja spektri vastaavat kääntäen yksikäsitteisesti toisiaan ja sisältävät siten täsmälleen saman informaation. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 77
78 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktion tulkinta 1/2 Stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T autokovarianssifunktio γ k, k = 0, 1, 2, saadaan prosessin spektritiheysfunktiosta kaavalla π γ k = f( λ)cos( λk) dλ, k = 0,1,2, 0 Kun k = 0, kaava antaa prosessin varianssin: π 2 Var( t ) ( ) 0 γ 0 = x = σ = f λ dλ Siten stationaarisen stokastisen prosessin spektritiheysfunktion f(λ) kuvaajan alle jäävä pinta-ala edustaa prosessin varianssia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 78
79 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Spektritiheysfunktion tulkinta 2/2 Edellä esitetyn nojalla stationaarisen stokastisen prosessin x t, t T spektritiheysfunktiolle f (λ) voidaan antaa seuraava tulkinta: Suure f( λ) dλ edustaa sellaisten syklisten komponenttien kontribuutiota prosessin varianssiin, joiden taajuus on (infinitesimaalisella) välillä [λ, dλ] TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 79
80 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Aliasing 1/2 Spektritiheysfunktion lausekkeesta 1 f ( λ) = γ0 2 γk cos( λk) π + k= 1 nähdään, että frekvenssejä λ ja λ ja frekvenssejä λ ja λ ±2sπ, s = 1, 2, ei voida erottaa toisistaan. Tämän ilmiön englanninkielisenä nimenä on aliasing (engl. alias = toiselta nimeltään). TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 80
81 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Aliasing 2/2 Aliasing-ilmiön takia riittää, että spektritiheysfunktiota tarkastellaan välillä [0, π]. Esimerkki aliasing-ilmiöstä: Elokuvia katsottaessa nähdään usein seuraava ilmiö: Kuva seuraa hevosrattaita, jonka pyörät näyttävät pyörivän todellista nopeutta paljon hitaammin ja joskus jopa taaksepäin. Tämä on seurausta aliasing-ilmiöstä: Pyörien pyöriminen on todellisuudessa jatkuva liike. Filmattaessa pyörimisliikkeestä kerätään (ajassa otannalla) 24 havaintoa (kuvaa) sekunnissa. Aliasing-ilmiön aiheuttaa se, että samat havainnot olisi voitu saada todellista hitaammin tai jopa taaksepäin pyörivistä pyöristä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 81
82 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Nyquist-frekvenssi 1/2 Frekvenssiä λ = π kutsutaan tavallisesti Nyquist-frekvenssiksi. Syklisiä liikkeitä, joiden taajuus on Nyquist-frekvenssiä π suurempi ei voida erottaa sellaisista syklisistä liikkeistä, joiden taajuus on välillä [0, π]. Siten Nyquist-frekvenssiä λ = π vastaava periodi eli aallonpituus 2π/π = 2 on lyhyin periodi, joka voidaan havaita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 82
83 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Nyquist-frekvenssi 2/2 Sillä, että Nyquist-frekvenssiä λ = π vastaava periodi 2π/π = 2 on lyhyin periodi, joka voidaan havaita, on tärkeä seuraus: Syklisestä liikkeestä ei voida saada kuvaa, ellei havaintoja kerätä vähintään 2 havaintoa/sykli. Esimerkki: Ilman lämpötilan vaihteluista vuorokauden sisällä ei voida saada kuvaa, ellei lämpötilaa mitata vähintään 2 kertaa/vrk. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 83
84 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Sykliset komponentit ja spektri 1/2 Voidaan osoittaa, että syklinen komponentti, jonka periodi on s, näkyy stationaarisen stokastisen prosessin spektrissä huippuina ns. perustaajuuden λ s = 2π/s lisäksi ns. harmonisilla frekvensseillä kλ s, k = 1, 2,, [s/2] jossa [s/2] = suurin kokonaisluku, joka s/2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 84
85 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Sykliset komponentit ja spektri 2/2 Jos spektrissä ei havaita huippuja periodia s vastaavan taajuuden λ s = 2π/s lisäksi sen harmonisilla frekvensseillä kλ s, k = 1, 2,, [s/2] sanomme, että stokastisella prosessilla on pseudosyklistä käyttäytymistä. Esimerkki: Ns. AR(2)-prosessi (ks. lukua ARMA-mallit), jota vastaavalla viivepolynomilla on kompleksijuuret, tuottaa spektriin yhden huipun välille 0 λ π TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 85
86 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Sykliset komponentit ja spektri: Esimerkkejä Jos s = 4 (neljännesvuosiaikasarja) perustaajuutena on λ 4 = π/2 ja ainoa harmoninen frekvenssi on π Jos s = 12 (kuukausiaikasarja) perustaajuutena on λ 12 = π/6 ja harmoniset frekvenssit ovat 2π/6, 3π/6, 4π/6, 5π/6, π TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 86
87 Stationaaristen stokastisten prosessien spektri Aika-alue ja taajuusalue Vaikka stationaarisen stokastisen prosessin autokovarianssifunktio γ k, k = 0, 1, 2, 3, ja spektri f(λ) sisältävät täsmälleen saman informaation, molempien funktioiden tarkasteleminen yhdessä täydentää toisen antamaa kuvaa aikasarjan käyttäytymisestä. Kun aikasarjan analyysi perustetaan korrelaatiofunktioiden tarkasteluun, sanomme, että analyysi tapahtuu aikaalueessa. Kun aikasarjan analyysi perustetaan spektritiheysfunktion tarkasteluun, sanomme, että analyysi tapahtuu frekvenssieli taajuusalueessa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 87
88 Stationaariset stokastiset prosessit Stationaariset stokastiset prosessit Integroituvuus Korrelaatiofunktioiden estimointi Stationaaristen stokastisten prosessien spektri >> Spektrin estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 88
89 Spektrin estimointi Periodogrammi ja spektrin estimointi 1/3 Olkoon c k, k = 0, 1, 2,, n 1 aikasarjan x t, t = 1, 2,, n estimoitu autokovarianssifunktio. Määritellään periodogrammi kaavalla n 1 1 fˆ( λ ) = c0 2 ck cos( λk ) π + k= 1 Periodogrammia f ˆ( λ) kutsutaan usein spektrin f (λ) pistoke-estimaattoriksi, koska se saadaan korvaamalla estimoitavan spektrin parametrit eli autokovarianssit γ k vastaavilla otossuureilla c k. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 89
90 Spektrin estimointi Periodogrammi ja spektrin estimointi 2/3 Periodogrammia f ˆ( λ) ei voida kuitenkaan sellaisenaan käyttää spektrin f(λ) estimointiin, koska se ei ole tarkentuva estimaattori spektrille: (i) Periodogrammia varten on estimoitava yhtä monta parametria (= autokovarianssia γ k ) kuin aikasarjassa on havaintoja. (ii) Estimoitavien parametrien lukumäärä kasvaa rajatta, jos havaintojen lukumäärän annetaan kasvaa rajatta. (iii) Autokovarianssien γ k estimaattorit c k pitkillä viipeillä k n 1 eivät ole tarkentuvia, koska ne lasketaan vain muutamasta havainnosta olipa havaintoja kuinka paljon tahansa. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 90
91 Spektrin estimointi Periodogrammi ja spektrin estimointi 3/3 Pitkillä viipeillä epätarkasti estimoituvat autokovarianssit tekevät periodogrammista f ˆ( λ) tavallisesti niin epätasaisen, että sen tulkinta on vaikeata, ellei jopa mahdotonta. Periodogrammi voidaan kuitenkin muuntaa spektrin tarkentuvaksi estimaattoriksi. Tarkastelemme seuraavia menetelmiä: Viiveikkunat Liukuvat keskiarvot TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 91
92 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Viiveikkunat 1/5 Periodogrammista f ˆ( λ) saadaan spektritiheysfunktion f(λ) tarkentuva estimaattori liittämällä periodogrammiin ns. viiveikkuna. Määritellään spektrille estimaattori M ˆ 1 fw ( λ ) = wc wc k k cos( λk ) π + k= 1 jossa painorakennetta w k, k = 0, 1, 2,, M < n kutsutaan viiveikkunaksi ja lukua M katkaisukohdaksi. Estimaattori fˆ w ( λ ) on tarkentuva stationaarisen stokastisen prosessin spektritiheysfunktiolle f(λ), jos painorakenne {w k } ja katkaisukohta M valitaan sopivasti. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 92
93 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Viiveikkunat 2/5 Painorakenne {w k } valitaan tavallisesti niin, että w k > w k+1, k = 0, 1, 2,, M 1 Katkaisukohdan M on toteutettava seuraava asymptoottinen ehto: Jos n, niin M mutta siten, että M/n 0 Viiveikkuna eliminoi periodogrammista pitkillä viipeillä epätarkasti estimoituvien autokovarianssien vaikutuksen. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 93
94 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Viiveikkunat 3/5 Viiveikkunan katkaisukohta M vaikuttaa seuraavalla tavalla estimoidun spektrin tasaisuuteen: Mitä pienempi katkaisukohta M valitaan, sitä tasaisempi spektri saadaan. Katkaisukohdan M optimaalinen valinta on vaikea ongelma: (i) Jos M on liian pieni, spektri tasoittuu liikaa, jolloin osa tulkittavista yksityiskohdista katoaa. (ii) Jos M on liian suuri, spektri tasoittuu liian vähän, jolloin spektri jää niin epätasaiseksi, että sen tulkinta on vaikeata. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 94
95 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Viiveikkunat 4/5 Katkaisukohta M pitää valita niin, että saavutetaan kompromissi liian pienen ja liian suuren resoluution eli erotuskyvyn välillä. Eräs mahdollinen työtapa on seuraava: (i) Kokeillaan kolmea katkaisukohdan M arvoa: Valitaan katkaisukohdan arvoksi M = 2 n (n = aikasarjan pituus) sekä selvästi tätä perusarvoa pienempi ja suurempi arvo. (ii) Verrataan spektrin estimaatteja valituilla katkaisukohdan arvoilla ja valitaan lopulliseksi katkaisukohdan M arvoksi arvoista se, joka tuottaa parhaiten tulkittavissa olevan spektrin estimaatin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 95
96 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Viiveikkunat 5/5 Aikasarja-analyysin kirjallisuudessa on esitetty useita erilaisia viiveikkunoita. Varsin suosittu valinta viiveikkunaksi on ns. Parzenin ikkuna: w k 2 3 k k M k M M 2 = 3 k M 21 k M M 2 TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 96
97 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Liukuvat keskiarvot 1/3 Periodogrammista f ˆ( λ) saadaan spektritiheysfunktion f(λ) tarkentuva estimaattori myös tasoittamalla periodogrammia liukuvalla keskiarvolla. Liukuvan keskiarvon jänteen pituuden valinnalla on samanlainen vaikutus spektrin estimaattiin kuin viiveikkunan katkaisukohdan valinnalla. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 97
98 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Liukuvat keskiarvot 2/3 Liukuvan keskiarvon jänteen pituus vaikuttaa seuraavalla tavalla estimoidun spektrin tasaisuuteen: Mitä pitempi jänne valitaan, sitä tasaisempi spektri saadaan. Jänteen pituuden optimaalinen valinta on vaikea ongelma: (i) Jos jänne on liian pitkä, spektri tasoittuu liikaa, jolloin osa tulkittavista yksityiskohdista katoaa. (ii) Jos jänne on liian lyhyt, spektri tasoittuu liian vähän, jolloin spektri jää niin epätasaiseksi, että sen tulkinta on vaikeata. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 98
99 Spektrin estimointi Spektrin tarkentuva estimointi: Liukuvat keskiarvot 3/3 Liukuvan keskiarvon jänteen pituus pitää valita niin, että saavutetaan kompromissi liian pienen ja liian suuren resoluution välillä. Eräs mahdollinen työtapa on seuraava: (i) Kokeillaan kolmea jänteen pituuden arvoa: Valitaan jänteen pituuden arvoksi n/40 (n = aikasarjan pituus) sekä selvästi tätä perusarvoa pienempi ja suurempi arvo. (ii) Verrataan spektrin estimaatteja valituilla jänteen pituuden arvoilla ja valitaan lopulliseksi jänteen pituuden arvoksi arvoista se, joka tuottaa parhaiten tulkittavissa olevan spektrin estimaatin. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 99
100 Spektrin estimointi Spektrin estimointi ja stationaarisuus Teoreettinen spektritiheysfunktio on määritelty vain stationaarisille stokastisille prosesseille. Spektri voidaan kuitenkin laskea myös epästationaarisista aikasarjoista eli epästationaaristen stokastisten prosessien realisaatioista. Tällöin estimoitua spektriä ei kuitenkaan voida tulkita minkään stationaarisen stokastisen prosessin spektrin estimaattoriksi. Epästationaarisen aikasarjan spektritiheysfunktion määrääminen on silti usein järkevää ja hyödyllistä, koska funktio antaa usein hyviä osviittoja siitä, miten aikasarja kannattaa stationarisoida. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 100
101 Spektrin estimointi Spektrin estimaatin tulkinta 1/3 Jos aikasarjan spektri on vakio kaikille taajuuksille λ [0, π] ovat kaikki eri taajuuksiin λ liittyvät sykliset komponentit yhtä voimakkaita. Tällöin sanomme, että spektriä vastaava stokastinen prosessi (aikasarja) on valkoista kohinaa. Analogia: Valkoisessa valossa kaikki eriväriset komponentit ovat yhtä voimakkaita. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 101
102 Spektrin estimointi Spektrin estimaatin tulkinta 2/3 Trendi tuottaa aikasarjan spektriin huipun taajuudelle λ = 0 joten trendi vastaa sykliä, jonka periodi on äärettömän pitkä. Jos estimoidun spektritiheysfunktion alle jäävä massa keskittyy välin [0, π] vasempaan laitaan, niin matalataajuiset sykliset komponentit ovat aikasarjassa dominoivia ja aikasarjan yleisilme on rauhallinen. Jos estimoidun spektritiheysfunktion alle jäävä massa keskittyy välin [0, π] oikeaan laitaan, niin korkeataajuiset sykliset komponentit ovat aikasarjassa dominoivia ja aikasarjan yleisilme on rauhaton. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 102
103 Spektrin estimointi Spektrin estimaatin tulkinta 3/3 Jos spektrissä on huippu taajuudella 0 λ π niin aikasarjassa on taajuudella λ syklinen komponentti, joka tuottaa huomattavan osan aikasarjan varianssista. Jos aikasarjan spektrissä on huippu taajuudella λ, vastaava periodi eli syklisen komponentin aallonpituus s saadaan kaavalla s = 2π/λ TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 103
104 Spektrin estimointi Spektrin estimaatin tulkinta: Esimerkki Jos aikasarjan spektrissä on huippu taajuudella λ = π/6 niin vastaava periodi eli syklisen komponentin aallonpituus on 2π/λ = 12 Huomautus: Sama aallonpituus 12 vastaa 1/4-vuosisarjassa 3:n vuoden mittaista sykliä, mutta kk-sarjassa 1:n vuoden mittaista sykliä. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 104
105 Spektrin estimointi Periodogrammin ja spektrin estimointi sekä frekvenssien lukumäärä Periodogrammi ja siten myös spektri voidaan periaatteessa määrätä mielivaltaisille frekvensseille eli taajuuksille λ. Valittujen taajuuksien lukumäärä vaikuttaa periodogrammin ja spektrin resoluutioon (yksityiskohtien näkyvyyteen). Eräs suosittu valinta on määrätä periodogrammi ja spektri ns. harmonisille frekvensseille λj = 2 π j/ n, j = 1,2,, k jossa k n/2, jos n on parillinen = ( n 1)/2, jos n on pariton TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 105
Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit
Stationaariset stokastiset prosessit ja ARMA-mallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy
LisätiedotARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen
Lisätiedot3. Teoriaharjoitukset
3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
LisätiedotARMA mallien ominaisuudet ja rakentaminen
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Viikko 4: 1 ARMA-mallien ominaisuudet 1 Stationaaristen
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotKuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Aika t
Kuva 3.1: Näyte Gaussisesta valkoisest kohinasta ε t N(0, 1) Valkoinen kohina ε t 2 1 0 1 2 Voimme tehdä saman laskun myös yleiselle välille [ a, a], missä 0 < a
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
Lisätiedot8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH
8. Muita stokastisia malleja 8.1 Epölineaariset mallit ARCH ja GARCH Osa aikasarjoista kehittyy hyvin erityyppisesti erilaisissa tilanteissa. Esimerkiksi pörssikurssien epävakaus keskittyy usein lyhyisiin
LisätiedotHarjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox
Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Lisätiedot6.5.2 Tapering-menetelmä
6.5.2 Tapering-menetelmä Määritelmä 6.7. Tapering on spektrin estimointimenetelmä, jossa estimaattori on muotoa f m (ω) = 1 m ( ) k w 2π m Γ(k)e ikω, k= m missä Γ on otosautokovarianssifunktio ja ikkunafunktio
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi ARMA esimerkkejä Tehtävä 4.1. Ncss-ohjelmiston avulla on generoitu AR(1)-, AR(2)-, MA(1)- ja MA(2)-malleja vastaavia aikasarjoja erilaisilla parametrien arvoilla.
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Aikasarjat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Aikasarjat >> Aikasarjat: Johdanto Aikasarjojen esikäsittely Aikasarjojen dekomponointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 2 Aikasarjat:
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 4 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita autokovarianssifunktion ominaisuuksien tarkastelu. Osata laskea autokovarianssifunktion spektriiheysfunktio. Tavoitteet
LisätiedotRegressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1
Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin
LisätiedotRegressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen
LisätiedotTilastollinen aineisto Luottamusväli
Tilastollinen aineisto Luottamusväli Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastollinen aineisto p.1/20 Johdanto Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittavien suureiden
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 6 (2016) Tavoitteet (teoria): Hahmottaa aikasarjan klassiset komponentit ideaalisessa tilanteessa. Ymmärtää viivekuvauksen vaikutus trendiin. ARCH-prosessin
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva
LisätiedotSTOKASTISET PROSESSIT
TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTestejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman
LisätiedotTilastollinen testaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastollinen testaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolla: havainnot generoineen jakauman muoto on usein tunnettu, mutta parametrit tulee estimoida Joskus parametreista on perusteltua esittää
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot3. Tietokoneharjoitukset
3. Tietokoneharjoitukset Aikasarjan logaritmointi Aikasarjoja analysoidaan usein logaritmisessa muodossa. Asialooginen perustelu logaritmoinnille: Muuttujan arvojen suhteelliset muutokset ovat usein tärkeämpiä
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
Lisätiedot9. Tila-avaruusmallit
9. Tila-avaruusmallit Aikasarjan stokastinen malli ja aikasarjasta tehdyt havainnot voidaan esittää joustavassa ja monipuolisessa muodossa ns. tila-avaruusmallina. Useat aikasarjat edustavat dynaamisia
Lisätiedot3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka
3.6 Su-estimaattorien asymptotiikka su-estimaattorit ovat usein olleet puutteellisia : ne ovat usein harhaisia ja eikä ne välttämättä ole täystehokkaita asymptoottisilta ominaisuuksiltaan ne ovat yleensä
LisätiedotEnnustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotSignaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 3. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 3. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Varianssin luottamusväli, jatkoa 2 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 3
LisätiedotIlkka Mellin Aikasarja-analyysi. Dynaamiset regressiomallit. TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1
Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi Dynaamiset regressiomallit TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Dynaamiset regressiomallit >> Staattiset vs dynaamiset regressiomallit Siirtofunktio-kohina-malli Siirtofunktio-kohina-mallin
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut
LisätiedotTilastomatematiikka Kevät 2008
Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 4A Parametrien estimointi Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016, periodi
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotVastaavasti voidaan määritellä korkeamman kertaluvun autoregressiiviset prosessit.
Autokovarianssi: (kun τ 0) Γ t (τ) = E[(X t µ t )(X t τ µ t τ )] ( ) ( = E[ φ k ε t k φ j ε t τ j )] = = j=0 φ j+k E[ε t k ε t τ j ] k,j=0 φ j+k σ 2 δ k,τ+j k,j=0 = σ 2 φ j+k δ k,τ+j = = k,j=0 φ τ+2j I
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016) Tavoitteet (teoria): Ymmärtää kausivaihtelun käsite ja sen yhteys otoshetkiin. Oppia käsittelemään periodogrammia.. Tavoitteet (R): Periodogrammin,
LisätiedotJohdatus regressioanalyysiin. Heliövaara 1
Johdatus regressioanalyysiin Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia. Heliövaara 1
Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli (jatkoa) Ensi viikolla ei pidetä luentoa eikä harjoituksia Heliövaara 1 Regressiokertoimien PNS-estimaattorit Määritellään havaintojen x j ja y j, j = 1, 2,...,n
LisätiedotLuento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja
1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma
LisätiedotBatch means -menetelmä
S-38.148 Tietoverkkojen simulointi / Tulosten keruu ja analyysi 1(9) Batch means -menetelmä Batch means -menetelmää käytetään hyvin yleisesti Simulointi suoritetaan tässä yhtenä pitkänä ajona olkoon simuloinnin
LisätiedotKoska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.
24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedot3.11.2006. ,ܾ jaü on annettu niin voidaan hakea funktion 0.1 0.2 0.3 0.4
Ü µ ½ ¾Ü¾µ Ü¾Ê 3.11.2006 1. Satunnaismuuttujan tiheysfunktio on ¼ ļ ܽ ܾ ÜÒµ Ä Ü½ ÜÒµ Ò Ä Ü½ ܾ ÜÒµ ܽ µ ܾ µ ÜÒ µ Ò missä tietenkin vaaditaan, että ¼. Muodosta :n ¾Ä ܽ ÜÒµ Ò ½¾ ܾ Ò ½ ¾Ü¾½µ ½ ¾Ü¾Òµ
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5
Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 3 (2016) Tavoitteet (teoria): Hallita multinormaalijakauman määritelmä. Ymmärtää likelihood-funktion ja todennäköisyystiheysfunktion ero. Oppia kirjoittamaan
Lisätiedot1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + β 1 X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset
TA7, Ekonometrian johdantokurssi HARJOITUS 7 RATKAISUEHDOTUKSET 16.3.2015 1. Tutkitaan regressiomallia Y i = β 0 + X i + u i ja oletetaan, että tavanomaiset regressiomallin oletukset pätevät (Key Concept
LisätiedotMoniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
LisätiedotABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin idea Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun selittävien muuttujien havaittujen arvojen vaihtelun avulla.
LisätiedotOletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen
Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä
Lisätiedot6.1 Autokovarianssifunktion karakterisaatio aikatasossa
6. Spektraalianalyysi Tällä kurssilla on käyty läpi eräitä stationääristen aikasarjojen ominaispiirteitä, kuten aikasarjaa mallintavan stokastisen prosessin X t odotusarvo E[X t ] ja autokovarianssifunktio
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 18 1 Kertausta: momenttimenetelmä ja suurimman uskottavuuden menetelmä 2 Tilastollinen
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman
LisätiedotJos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden
1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3
Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset
LisätiedotTodennäköisyyden ominaisuuksia
Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen
LisätiedotLause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi on lineaarinen projektio.
Määritelmä 4.3. Estimaattoria X(Y ) nimitetään lineaariseksi projektioksi, jos X on lineaarinen kuvaus ja E[(X X(Y )) Y] 0 }{{} virhetermi Lause 4.2. Lineearinen pienimmän keskineliövirheen estimaattoi
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 2. luento: Tilastolliset testit Kai Virtanen 1 Tilastollinen testaus Tutkimuksen kohteena olevasta perusjoukosta esitetään väitteitä oletuksia joita
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma
LisätiedotFoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa. 6. luento. Pertti Palo
FoA5 Tilastollisen analyysin perusteet puheentutkimuksessa 6. luento Pertti Palo 1.11.2012 Käytännön asioita Harjoitustöiden palautus sittenkin sähköpostilla. PalautusDL:n jälkeen tiistaina netistä löytyy
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)
LisätiedotOlkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:
Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti
LisätiedotTilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 Kevät 2012 1 Tilastolliset inversio-ongelmat Tilastollinen ionversio perustuu seuraaviin periaatteisiin: 1. Kaikki mallissa olevat muuttujat mallinnetaan
Lisätiedot3 Yleistä estimointiteoriaa. Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin
3 Yleistä estimointiteoriaa Olemme perehtuneet jo piste-estimointiin su-estimoinnin kautta Tässä luvussa tarkastellaan piste-estimointiin yleisemmin 3.1 Johdanto Tähän mennessä olemme tarkastelleet estimointia
LisätiedotGripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta
MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,
LisätiedotEstimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio
17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla
LisätiedotViikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tiedosto Muuttuja Kuvaus Havaintoväli Aikasarjan pituus
MS-C2128 Ennustaminen ja aikasarja-analyysi 5. harjoitukset / Tehtävät Kotitehtävät: 2 Aihe: ARMA-mallit Viikon 5 harjoituksissa käytämme samoja aikasarjoja kuin viikolla 4. Tehtävä 5.1. Tarkastellaan
Lisätiedot