Talousmatematiikan perusteet: Luento 12 Usean muuttujan funktiot Osittaisderivaatta Gradientti Suhteellinen muutosnopeus ja osittaisjousto
Aiemmilla luennoilla Tähän mennessä olemme tarkastelleet Erilaisia yhden muuttujan funktioita Usean muuttujan lineaarisia funktioita Yhden muuttujan funktioista f(x) tiedämme: Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta x:n suhteen Suhteellinen muutosnopeus D lnf x = f (x) kertoo funktion arvon suhteellisen f(x) muutoksen, kun x kasvaa yhden yksikön (pieni, absoluuttinen muutos) Jousto f (x) x kertoo funktion arvon suhteellisen muutoksen, kun x kasvaa f(x) prosentin (pieni, suhteellinen muutos) 2
Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioita yleisesti Erityisesti määrittelemme derivaatan, suhteellisen muutosnopeuden ja jouston vastineet usean muuttujan funktioille Osittaisderivaatta ja gradientti (Osittainen) suhteellinen muutosnopeus Osittaisjousto 3
Usean muuttujan funktiot Esim. Ekonomisti selvitti, että Arktinen Kala yhtiön tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ; laitteet, rakennukset ym. infrastruktuuri) kuvaa Cobb-Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 = 2.28x 1 0.38 x 2 0.62. Esim. Työpanoksella x 1 = 20 M ja pääomapanoksella x 2 = 10 M tuotannon arvo on f 20,10 = 2.28 20 0.38 10 0.62 29.67 M Tuotanto on tappiollista: 29.67 30 M = 0.33 M 4
Usean muuttujan funktiot Yritys suunnittelee 0.2M :n lisäinvestointia tuotantoon. Kuinka tämä investointi kannattaisi jakaa työvoiman ja pääoman kesken, jotta tuotannon arvo kasvaisi mahdollisimman paljon? Tällaiseen kysymykseen voidaan vastata tarkastelemalla tuotantofunktion muutosnopeutta työvoima- ja pääomapanosten suhteen 5
Derivaatta ja osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktion f(x) muutosnopeudesta muuttujan x suhteen kertoo derivaatta f (x) f (x) > 0: funktio kasvaa muuttujan x suhteen f x < 0: funktio vähenee muuttujan x suhteen Monen muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeudesta muuttujan x i suhteen kertoo osittaisderivaatta f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i f(x 1,,x n ) x i > 0: funktio kasvaa muuttujan x i suhteen < 0: funktio vähenee muuttujan x i suhteen Eri merkintätapoja: f x 1,,x n x i, D i f x 1,, x n, D xi f x 1,, x n, f i x 1,, x n, f xi x 1,, x n 6
Osittaisderivaatta Jos sijoitetun pääoman tasoksi kiinnitetään esim. x 2 = 10 M ja työpanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi t 10 : R + R +, t 10 x 1 = f x 1, 10 = 2.28x 1 0.38 10 0.62 = 9.505x 1 0.38 Tuotanto on voitollista, kun 9.505x 1 0.38 10 + x 1 > 0 x 1 (1.75, 19.24) 7
Osittaisderivaatta Kun x 2 on kiinnitetty arvoon 10 M, tuotannon arvon muutosnopeutta työvoimapanoksen x 1 suhteen kuvaa derivaatta t 10 x 1 = D 9.505x 1 0.38 = 3.612x 1 0.62 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 2 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 1 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 1 = D 1 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 2 0.62 D 1 x 1 0.38 = 0.38 2.28x 2 0.62 x 1 0.62 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 8
Osittaisderivaatta Jos työpanokseksi kiinnitetään esim. x 1 = 20 M ja pääomapanoksen annetaan vaihdella vapaasti, tuotantofunktio muuttuu yhden muuttujan funktioksi k 20 : R + R +, k 20 x 2 = f 20, x 2 = 2.28 20 0.38 x 2 0.62 = 7.117x 2 0.62 Tuotanto on voitollista, kun 7.117x 0.62 2 20 + x 2 > 0 x 2 (10.40, 114.54) 9
Osittaisderivaatta Kun x 1 on kiinnitetty arvoon 20 M, tuotannon arvon muutosnopeutta pääoman x 2 suhteen kuvaa derivaatta k 20 x 2 = D 2 (7.117x 2 0.62 ) = 4.413x 2 0.38 Yleisemmin: Kun muuttujaa x 1 ajatellaan vakiona, tuotannon arvon muutosnopeutta muuttujan x 2 suhteen kuvaa osittaisderivaatta f(x 1,x 2 ) x 2 = D 2 2.28x 1 0.38 x 2 0.62 = 2.28x 1 0.38 D 2 x 2 0.62 = 0.62 2.28x 1 0.38 x 2 0.38 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 10
Osittaisderivaatta Tuotantofunktion f x 1, x 2 osittaisderivaattoja sanotaan myös työpanoksen ja pääoman rajatuottavuuksiksi, esim. D 1 f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 on työpanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) D 2 f x 1, x 2 = 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 on pääomapanoksen rajatuottavuus (kuinka paljon yhden yksikön lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa eri työvoima- ja pääomapanostasoilla?) 11
Osittaisderivaatta Yhden muuttujan funktioille määriteltyjä derivointisääntöjä voidaan soveltaa, kun muut muuttujat ajatellaan vakioina. Esim. f: R 2 R, f x, y = 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 D x f x, y = D x 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D x 3xy 2 + 4x + D x 2y 2 5y + 1 = 3y 2 D x x + 4D x x + 0 = 3y 2 + 4 D y f x, y = D y 3xy 2 2y 2 + 4x 5y + 1 = D y 3xy 2 2y 2 5y + D y 4x + 1 = 3xD y y 2 2D y y 2 5D y y + 0 = 6xy 4y 5 12
Osittaisderivaatta Esim. f: R ++ R R ++, f x, y = x y on potenssifunktio x:n suhteen ja eksponenttifunktio y:n suhteen D x f x, y = D x x y = yx y 1 D y f x, y = D y x y = x y ln x 13
Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y, z = ze 2x + x 3 f x x, y, z y y ln z osittaisderivaatta 1. 2ze 2x + 3x 2 y 2. e 2x + y 3. 2ze 2x + 3x2 2 y y ln z 14
Gradientti Funktion f(x 1,, x n ) gradientti f(x 1,, x n ) on pystyvektori, jonka i. komponentti on f:n osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen: f x 1,, x n = D 1 f(x 1,, x n ) D n f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion f muutospyrkimyksestä (suunta ja voimakkuus) pisteessä (x 1,, x n ). 15
Gradientti Esim. Tuotantofunktion muutospyrkimystä kuvaa vektori: f x 1, x 2 = 0.8664x 1 0.62 x 2 0.62 1.4136x 1 0.38 x 2 0.38 Tuotannon arvon muutospyrkimys työvoimapanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M : f x 1, x 2 = 0.8664 20 0.62 10 0.62 0.564 1.4136 20 0.38 0.38 = 10 1.840 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus työvoimaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 0.564 = 0.0564 = 56 400 Esim. 0.1 M :n lisäpanostus pääomaan kasvattaa tuotannon arvoa likimäärin 0.1 1.840 = 0.184 = 184 000 16
Gradientti Yleisesti: Kun muuttuja x i x i + x i, niin funktion arvon likimääräinen muutos on f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,,x n x i x i Kun muuttujavektori x = muutos on x 1 x n x 1 + x 1 x n + x n = x + x, niin funktion arvon likimääräinen f x = f x 1,, x n f x 1,, x n + f x 1,, x n x 1 = f x + f x x x 1 + + f x 1,, x n x n x n Laitoksen nimi 17
Gradientti Muuttujavektorin pienillä muutoksilla x muutos funktion arvossa on siis likimäärin gradientin ja muutosvektorin sisätulo f x x Luennolta 8 muistamme, että f x x = cos θ f x x, missä θ on vektorien f x ja x välinen kulma Jos muutosvektorin x pituus on kiinnitetty, funktion muutos on suurin, kun cos θ = 1 θ = 0. Funktion f x arvo muuttuu eniten, kun x muuttuu gradientin f x suuntaan 18
Gradientti Esim. Jos lisäpanos 0.2 M jaetaan tasan työn ja pääoman kesken, niin tuotannon arvo kasvaa likimain 0.1 0.564 1.840 = 0.1 0.564 + 0.1 1.840 = 0.24 240 000 0.1 0.2404 Gradientti ja muutosvektori ovat melko erisuuntaiset: cos θ = = 0.564 2 +1.840 2 0.1 2 +0.1 2 0.88 θ 28 lisäpanos käytetään todennäköisesti epätehokkaasti Jaetaan lisäpanos gradientin suhteessa: 0.564 x 1 = 0.564 + 1.840 0.2 = 0.047 M, x 1.840 2 = 0.2 = 0.153 M 0.564 + 1.840 Tällä jaolla tuotannon arvo kasvaa likimain 0.564 1.840 0.047 0.153 308 000 19
Suhteellinen muutosnopeus Kuten yhden muuttujan funktioiden tapauksessa Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? 20
Suhteellinen muutosnopeus Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 suhteellinen muutosnopeus työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 = D 1 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.38 x 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 = D 2 ln 2.28 + 0.38 ln x 1 + 0.62 ln x 2 = 0.62 x 2 Esim. Työpanoksen ollessa 20 M ja pääomapanoksen 10 M 1 M lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.38 = 1.9% (kaikilla pääomatasoilla!) 1 M lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa n. 0.62 = 6.2% (kaikilla työvoimatasoilla!) 20 10 21
Osittaisjousto Osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D i ln f x 1,, x n = D if(x 1,,x n ) taas vastaa f x 1,,x n kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x i x i + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? Osittaisjousto E i f x 1,, x n = D i ln f x 1,, x n x i = D if(x 1,,x n ) x f x 1,,x i antaa n likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, kun x kasvaa 1% (pieni, suhteellinen muutos)? 22
Osittaisjousto Esim. Tuotannon arvon f x 1, x 2 = 2.28x 0.38 1 x 0.62 2 osittaisjousto työpanoksen x 1 suunnassa: D 1 lnf x 1, x 2 x 1 = 0.38 x x 1 = 0.38 1 Pääoman suunnassa: D 2 lnf x 1, x 2 x 2 = 0.62 x 2 x 2 = 0.62 Tulkinta: 1% lisäys työpanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.38% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 1% lisäys pääomapanokseen kasvattaa tuotannon arvoa 0.62% työpanoksen ja pääomapanoksen tasoista riippumatta 23
Presemo-kysymys Määritä funktion f x 1, x 2 = e x 1 x 2 osittaisjousto muuttujan x 1 suhteen. 1. x 1 2. x 1 x 2 3. x 2 1 24
Yhteenveto Usean muuttujan funktion f(x 1,, x n ) muutosnopeutta muuttujan x i suhteen kuvaa osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Osittaisderivaatta lasketaan 1. Mieltämällä kaikki muut muuttujat vakioiksi 2. Soveltamalla yhden muuttujan funktion derviointisääntöjä Funktion gradientti f x 1,, x n on vektori, jonka i. komponentti on osittaisderivaatta D i f(x 1,, x n ) Gradientti kertoo funktion nopeimman kasvun suunnan Suhteellinen muutosnopeus muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n Osittaisjousto muuttujan x i suunnassa: D i (ln f x 1,, x n ) x i = D if(x 1,,x n ) f x 1,,x n x i 25