PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä Ch 8 8. Eään kuvitellun hiukkasen aaltfunkti n A( b x ) x < b ψ (x) =. x > b a) Nmeeaa aaltfunkti. b) Määitä millä tdennäköisyydellä hiukkanen löytyy väliltä -b/ < x < b/. c) Määitä millä tdennäköisyydellä hiukkanen löytyy väliltä < x < b, miksi tuls n eilainen, vaikka väli n yhtä pitkä? 9. Ajasta iippuva Schödingein yhtälö! Ψ( x,t) +U ( x)ψ( x,t) = i! m x t Ψ( x,t) vidaan tisinaan atkaista lettamalla, että aikaiippuvuutta ja paikkaiippuvuutta kuvaavat funktit vidaan ettaa, eli atkaisu vidaan kijittaa mudssa Ψ x,t a) Määitä millainen aikaiippuvuus atkaisulle saadaan. b) Osita, että saatu funkti f(t) tteuttaa ehdn f ( t) = ( ) =ψ ( x) f ( t).. Elektni n tisella viitetyllä tilalla ääettömän syvässä ptentiaalikupassa, jnka leveys L = nm. a) Mikä n elektnin enegia? b) Millä tdennäköisyydellä elektni löytyy väliltä L/4? c) Mistä khdasta kuppaa elektni tdennäköisimmin löytyy? d) Mikä n elektnin keskimäääinen paikka? Tämän tehtävän b ja d-khdissa leellisia vat ne lausekkeet, jista lähdetään liikkeelle. Sen jälkeen, kun lausekkeet n mudstettu, niiden laskeminen n pelkkää integintia, jnka tietkne tekee npeasti. Tällaisia integaaleja ei tavitse laskea tentissä, mutta lausekkeita, jista ne pystyy laskemaan saattaa jutua tuttamaan.. Hiukkassuihku tulee negatiivisesta x-suunnasta ptentiaaliin x < U(x) = U < x < L. x > L Ratkaisuna Schödingein yhtälöön tajtaan aaltfunktiita ψ = Asin(kx ωt) + Bsin(kx + ωt) x < ψ = Ce κ x ψ = Dsin(kx ωt) < x < L x > L a) Osita sijittamalla, että atkaisu tteuttaa ajasta iippumattman Schödingein yhtälön ja jhda lauseke k:lle ja k:lle. Kuvaile saamiasi atkaisuja. b) Valitaan vallin kkeudeksi U =, ev ja leveydeksi L = 5 nm. Oletetaan suihku elektneiksi, jiden enegia n E =,9 ev, ja käytetään ma:n vitaa (6, elektnia/s). Avii kuinka mnta elektnia pääsee vallin läpi aikayksikössä?
PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä Ch 9.Vetyatmin peustilan aaltfunkti n ψ = π e a) Osita, että atkaisu tteuttaa Schödingein yhtälön b) Määitä elektnin tdennäköisin etäisyys atmiytimestä tällä tilalla c) Määitä elektnin keskimäääinen etäisyys atmiytimestä tällä tilalla d) Määitä millä tdennäköisyydellä elektni n kahden edellisen etäisyyden välisellä alueella. Muutamia integaalilausekkeita: e cx dx = c e cx xe cx dx = cx + e cx c x e cx dx = c x + cx + c e cx x e cx dx = c x + c x + 6cx + 6 c 4 e cx x 4 e cx dx = c4 x 4 + 4c x +c x + 4cx + 4 e cx c 5 Ch 4! m ψ + ψ sinθ sinθ θ θ + sin θ. Takastellaan cm :n natiumklidikidettä, jssa vit laskea levan N =, Na-inia. NaCl n inikiteinen aine, jssa etäisyydellä tisistaan levien atmien ptentiaalienegiaksi vidaan kijittaa U ( ) = α e n n, missä Madelungin vaki a =,748, atmien tasapainetäisyys =,4 Å ja paameti n = 8,. Yhden Na + - Cl - -inipain mudstaminen vaatii,5 ev kijan esimekin 4- mukaan. a) Määitä natiumklidin kheesienegia, b) Määitä kuinka paljn enegiaa tavitaan kappaleen hajttamiseen atmeiksi. c) Avii, kuinka suui vima tavitaan, js kappaletta puistetaan yhdessä suunnassa 5% pienemmäksi. Vetaa tulsta Na + ja Cl - inipain väliseen vetvimaan, kun ne vat etäisyydellä tisistaan. ψ φ e ψ = Eψ
PHYS-A4 Aineen akenne Ch 4 Esimekkitehtäviä 4. (4-5) Osita, että elektnien keskimäääinen enegia jhtavuusvyöllä nllalämpötilassa n 5. 5. Kupain kideakenne n fcc (pintakeskeinen kuuti), jssa hilavaki d =,6 Å. Kuten vieeisestä kideakennekuvasta vi havaita, yhdessä hilavakin määittelemässä kuutissa n 4 Cu-atmia. Kupain emi-enegia n 7, ev ja sillä n yksi elektni jhtavuusvyöllä. Määitä kupain elektnitiheys a) kideakenteen avulla ja b) emi-enegian avulla Ch 4 6. Vismutin lunnssa esiintyvää istppia 9 8 Bi pidettiin pitkään pysyvänä istppina. Se kuitenkin hajaa eittäin pitkällä puliintumisajalla talliumin 5 8Tl istpiksi. a) Kijita vismutin hajamiseakti b) Määitä hajamisessa vapautuva enegia ja c) syntyvän hiukkasen maksimienegia. Atmien massat vat 9 8 Bi 8,9874 u ja 5 8Tl 4,9744 u ja α-hiukkasen massa 4,56 u. Ch 4 7. Takastellaan kappaleeseen suvaa gammasäteilyä. Kappaleen pintaan suu R ftnia aikayksikössä. Osita, että syvyydelle x aineessa pätee R = R e nσ x. 8. Jissain ydineakteissa, jssa tutetaan enegiaa 5 9 U -istpin fissilla (E fiss MeV), vidaan valmistaa samalla 8 9 U -istpista 9 94 Pu -istppia, sillä yhdessä hajamiseaktissa syntyneistä neutneista keskimääin,6 saadaan absbitumaan 8 9 U -istppeihin. Syntyvästä plutniumista vidaan sitten valmistaa ydinäjähteitä. Yhteen ydinäjähteeseen tavitaan nin 5 kg plutniumia. a) Kijita eaktit, jtka kuvaavat 8 9 U -istpin eaktiplkua 9 94 Pu -istpiksi. b) Js valtilla X n käytössään sähkötehltaan 5 MW:n eakti, jnka hyötysuhde n %, kuinka mneen ydinäjähteeseen se pystyy päivässä valmistamaan aaka-ainetta edellyttäen, että kaikki plutnium pystytään ettamaan eaktitutteista. Massja ptni.785 u H,48 u H,649 u α 4.6 u 4 N 4.74 u 7 O 6,999 u
PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä Esimekkitehtävien atkaisuja 8. a) Nmitus takittaa sitä, että, aaltfunktin amplitudi valitaan siten, että tdennäköisyys löytää hiukkanen jstain kk sen mahdlliselta liikkuma-alueelta n yksi. Lasketaan nmitusintegaali b ψ ( x) dx ( ) dx =. Tämä pilkkutuu klmeen saan ψ x + ψ x + ψ x = + A b x + = => b b b b ( ) dx b ( ) dx b b ( ) A ( b 4 b x + x 4 )dx = A b 4 x b x + 5 x 5 ( ) = 6 A b 5 b 5 + 5 b 5 + b 5 b 5 + 5 b 5 5 A = ( ) dx b b = => b) Aaltfunktin neliö n veannllinen tdennäköisyystiheyteen ja hiukkasen löytymistdennäköisyys saadaan integimalla kiinnstavan välin yli P b < x < b ( ) = A b x P b < x < b b/ b/ b/ b/ b/ ( ) = ψ ( x) dx => b/ ( ) ( ) dx = A ( b 4 b x + x 4 )dx = A b 4 x b x + 5 x 5 ( ) = 5 = A b 5 8 b 5 + 5 b 5 + b 5 8 b 5 + 5 b 5 A = 4 5b 5/ 6 b 5 4 b 5 = 56 => P b < x < b b/ b/ ( ),79 c) Nmitus ket, että P(-b<x<b) = => P(-b<x<) + P(<x<b) = Aaltfunkti n symmetinen ign suhteen, eli ψ(x) =ψ(-x), jten P(<x<b) = P(-b<x<). => P(-b<x<) + P(<x<b) = P(<x<b) = => P( < x < b) =½. Hiukkasen tdennäköisyys painttuu alueen keskisaan, jten saadaan pienempi tuls kuin b-khdassa. (Tki tämän vi myös laskea integimalla.) 9. a) Sijitetaan tulmutinen atkaisu Schödingein yhtälöön! ψ ( x) f ( t) +U ( x)ψ ( x) f ( t) = i! m x t ψ ( x) f ( t)! m f t m ψ x! ( ) ψ ( x ) ( ) x d ψ x ( ) dx +U ( x)ψ ( x) f ( t) = i!ψ ( x) t f ( t) :ψ ( x) f ( t) +U x ( ) = i! f ( t) df ( t) dt Jtta lauseke pitäisi paikkansa kaikilla x ja t avilla, tulee lla! d ψ ( x) +U ( x) = C m ψ ( x) dx! d ψ ( x) +U ( x)ψ ( x) = Cψ ( x) m dx i! => df ( t) = C df ( t) = f ( t) dt f ( t) dt i! C Näistä ylempi palautuu ajasta iippumattmaksi Schödingein yhtälöksi ja vaki C tunnistetaan hiukkasen enegiaksi. Alempi vidaan atkaista. Kannattaa myös humata, että i = => i = i
PHYS-A4 Aineen akenne df ( t) = i df E => ( t ) dt! f t f t ( ) ( ) = i! Edt Esimekkitehtäviä Tämä n ensimmäisen asteen diffeentiaaliyhtälö, jnka vi atkaista integimalla pulittain f df f t = i E! dt => ln f t ( ) = i E! t => f ( t) E = e i! t b) Lasketaan funktin itseisav f ( t) = f *( t) f ( t), missä f* n funktin kmpleksiknjugaatti. Käytetään hyväksi Eulein lauseketta: e iθ = cs( θ ) + isin( θ ), jllin f ( t) = cs E! t f * t ( ) = cs E! t vi kijittaa f t => f t E ( ) = cs isin E! t. Kun vielä muistaa, että cs θ ( ) = cs E! t! t E + sin! t =. + isin E! t ja ( ) = cs( θ ) ja sin( θ ) = sin( θ ), + isin E! t cs E! t isin E! t = E cs! t E i sin! t. a) Ajasta iippumatn Schödingein yhtälö alueella < x < L, jssa U = n Avataan tälle atkaisuksi funkti ψ(x) = A sin(kx) jka sijitetaan Schödingein yhtälöön: m d Asin(kx) = dx m => => Ptentiaalikupan eunilla ptentiaali kasvaa ääettömäksi, jten aaltfunktin pitää mennä nllaan eli ψ() = ja ψ(l) = => ψ(l) = A sin(kl) =. Tästä saadaan avt aaltvektille k: kl = nπ => k = nπ/l Mahdlliset enegian avt vat ja havaitaan, että ääettömässä kupassa levien hiukkasten enegia n kvantittunut, eli hiukkasilla vi lla vain tiettyjä enegiita. Tisen viitetyn tilan enegia (n=) E,4 ev b) Elektnin tdennäköisyys alueella L/4 saadaan integimalla aaltfunktin neliötä kiinnstavan alueen yli eli P(< x < L/4) = d Ak cs(kx) = dx m Ak sin(kx) L/4 π E = n ml = h n ψ ( x) dx 8mL. Aaltfunkti n ψ (x) = Asin(nπ x / L) ja n=. d ψ (x) = Eψ (x) m dx Käytetään laskemiseen spivaa työkalua; se vi lla taulukkkija, Matlab, Mathematica tai Wlfam Alpha (http://www.wlfamalpha.cm). Viimeksi mainitun avulla saadaan kijittamalla syöttöuutuun m Ak sin(kx) = EAsin(kx) E = k m L/4 tulkseksi lauseke A sin ( π L x)dx + π = A L. Jtta tämä vidaan laskea, täytyy laskea vakin A 4π av. Se saadaan nmitusehdsta, jka ket, että tdennäköisyys löytää hiukkanen jstain n yksi, eli L A sin (kx)dx =. Käytetään samaa työkaluaja saadaan tulkseksi lauseke A sin ( π L x)dx jsta edelleen laskemalla A L = => A = L ja lpuksi P(< x < L/4) = L L + π 4π L, = A L,
PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä c) Tdennäköisyys n veannllinen aaltfunktin neliöön ψ ( x) = A sin ( π L x). Tämän funktin maksimit löytyvät deivaatan nllakhdista d dx ψ ( x) = => d dx A sin ( π L x) = A sin( π L x)cs(π L x)(π L ) = => sin(π L x) = cs(π L x) = => π L x =,π,π,π π L x = π, π, 5π => x =, L, L, L x = L 6, L 6, 5L 6 Takastelemalla kijan kuvaa 8- tai laskemalla tisen deivaatan avulla ääiavjen lunne, saadaan selville, että maksimeja vastaa avt L/6, L/ ja 5L/6. d) Elektnin keskimäääinen paikka saadaan laskemalla lauseke x = x ψ x Työkalun avulla saadaan tulkseksi lauseke. a) Schödingein yhtälö L L ( ) dx A xsin ( π L x)dx L = A 4 => x = L A 4 = L L 4 = L Alue x < : => [ Asin(kx ωt) + Bsin(kx + ωt) ] = E[ Asin(kx ωt) + Bsin(kx + ωt) ] => atkeaa, js Ratkaisu kuvaa vasemmalta tulevaa aalta (kx-ωt) ja ptentiaalivallista takaisin heijastunutta aalta (kx+ωt). Hiukkasen aaltfunktin n näiden kahden aalln summa. Alue < x < L : => => => Aaltfunkti n atkaisu, jsκ = Js hiukkasen enegia E < U (=> κ > ), aaltfunkti vaimenee ekspnentiaalisesti kuvaten sitä, että hiukkasella n pieni tdennäköisyys tunkeutua vallin U sisään. Js E > U => d ψ (x) = Eψ (x) d m dx m dx d ψ (x) + U(x)ψ (x) = Eψ (x) m dx m Ak sin(kx ωt) + m Bk sin(kx + ωt) = EAsin(kx ωt) + EBsin(kx + ωt) k ja m Asin(kx ωt) = EAsin(kx ωt) k Bsin(kx + ωt) = EBsin(kx + ωt) m => k = me / m κ Ce κ x +U Ce κ x = ECe κ x d ψ (x) +U m dx ψ (x) = Eψ (x) d m dx Be κ x +U Ce κ x = ECe κ x κ = i m( E U ) / [ ] m( U E) / n imaginääinen. Js mekitään, κ = iα, matematiikka ket, että ψ (x) = Be iα x = B cs( α x) + isin( α x) ja takastelemalla aaltfunktin eaalisaa (näin vidaan tehdä) saadaan sinimutinen atkaisu myös vallin alueella. Tämä kuvaa hiukkasta, jnka enegia n suuempi kuin vallin kkeus, jten se kulkee vallin yli ikealle. d ψ (x) = Eψ (x) d m dx m dx k m Dsin(kx ωt) = EDsin(kx ωt) k = me Alue x > L: => [ Dsin(kx ωt) ] = E[ Dsin(kx ωt) ] => => => Aaltfunkti n atkaisu, js. Saatiin sama aaltvekti kuin alueessa x <. Ratkaisu kuvaa vallin läpäissyttä aalta, jka kulkee ikealle. Humaa, että paametit k ja κ eivät le tisistaan iippumattmia, vaan kytkeytyvät, kun vaaditaan, että aaltfunktin ja sen deivaatan tulee lla jatkuvia khdissa x= ja x = L. b) Vallin läpi kulkeneiden hiukkasten lukumäää n veannllinen aaltfunktin neliöön. Vallin läpäisevien hiukkasten suus vidaan laskea suhteena (läpäisseet )/(suvat)
PHYS-A4 Aineen akenne T = ψ x = L Esimekkitehtäviä ( ) ψ ( x = ). Tämä edellyttäisi vakiiden A, B, C ja D atkaisemista tistensa avulla. ( )/ Lpputulkseksi saadaan T e κ L = e L m U E 5,7-8. Osuus n eittäin pieni, jten suuin sa tulevista elektneista heijastuu takaisin, eikä läpäise vallia, mutta nin 5 e - /s pääsee kuitenkin läpi. Js takasteltaisiin klassisia hiukkasia kaikki heijastuisivat vallista takaisin.. a) Sijitetaan aaltfunkti Schödingein yhtälöön. Lasketaan tavittavat aaltfunktin deivaatat: ψ φ = π ψ = π φ e e = = ja ψ θ = π π e Sijitetaan Schödingein yhtälöön! m! m π e + e = e θ e π e π e = π e e = E π e π e = E π e! e + e m e e = Ee! => m e = E Tämä lauseke pitää paikkansa (ja esitetty aaltfunktin n Schödingein yhtälön atkaisu) kaikilla :n avilla, js! m e =! = E =>! = m m e E =! m Näistä vasemmanpuleinen antaa Bhin säteen lausekkeen =! 5 pm. me Oikeanpuleinen antaa elektnin enegian peustilalla E =!,6 ev. m b) Tdennäköisyys n veannllinen aaltfunktin neliöön ja pallsymmetisessä tapauksessa kiinnstava suue n säteittäinen tdennäköisyysjakauma P ( ) = ψ ( ) pallpinta = 4π ψ ( ) Elektnin tdennäköisin etäisyys saadaan etsimällä elektnin (säteittäisen) tdennäköisyystiheyden d maksimiav käyttämällä deivaatan nllakhtia. d P() = d d 4π π e = => 4π π e + 4π π e = => =. Tähän n kaksi atkaisua = tai =. Tdennäköisin etäisyys n = c) Elektnin keskimäääinen etäisyys saadaan laskemalla etäisyyden dtusav lausekkeella ( ) = ψ dv = ψ 4π d. ( ) Sijittaan aaltfunkti, jllin saadaan = 4π d = 4 e π e Tehtäväpapeissa levien laskettujen integaalilausekkeiden peusteella (c =/ ) d
PHYS-A4 Aineen akenne e c d = c + c + 6c + 6 c 4 e c Esimekkitehtäviä d) Tdennäköisyys, että elektni n välillä (, /) n ( ) = ψ ( ) P / / / = + 6 c => = 4 e d 4 = 4 6 ( ) 4 = / dv = ψ ( ) 4π d = 4π d = 4 e / π e Tehtäväpapeissa levien laskettujen integaalilausekkeiden peusteella (c =/ ) / e / d = ( ) + ( ) + e ( ) ( = ) ( ) + ( )( ) + e ( ) = + + 8 P / / + e + 4 + 4 + e = 7e +e 8 / ( ) = 4 e ( ) + ( ) + e ( ) ( ) d = 4 7e +e 8 ( ) 8 = 7e +e / ( ),5 Tuls ket sen, että elektni viettää suuimman san ajastaan jssain muualla kuin tdennäköisimmän ja keskimäääisen etäisyyden välillä. d. Inikiteissä inien välinen sähköinen vima pitää kiteen kssa. U:n lausekkeen ensimmäinen temi kuvaa sähköistä vetvimaa ja tinen temi sitä, että init eivät vi mennä päällekkäin. a) Kheesienegia kuvaa yhden inin ittamiseen vaadittavaa enegiaa ja se n inien välinen ptentiaalienegia tasapainetäisyydellä U = U( ) =>U ( ) = α e n b) Kappaleen hajttaminen ineiksi vaatii jkaisen inin pistamista. Ineja n N kpl. => E = - N U. Yhden elektnin siitäminen Na:lta Cl:lle vaatii enegian E in =,5 ev Hajttaminen atmeiksi vaatii siis enegian E = N (-U E in ) = 6 kj c) Vima n ptentiaalin gadientti = - du/d -9, ev. () = α e d d n n n = αe n n n (n+) = αe n+ Puistaminen 5% pienemmäksi vastaa inien välistä etäisyyttä =,95 n+ Yhteen iniin khdistuu (,95 ) = αe,95,95 α e,5,5 nn. Kappaleeseen kappale N,5 nn 5 TN. Valtava vima, jka ket siitä, että kiteinen aine n hyvin lujaa. Veataan kheesienegian avulla saatua tulsta kahden yksittäisen inin väliseen vimaan. Culmbin laki C = q q Tasapainetäisyydellä e C ( ) =,9 nn Yhden atmin siitäminen 5% tavitsee viman, jka n samaa suuuuslukkaa inipain välisen vetviman kanssa. Tästä havaitaan, että ( ) =
PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä 4. Kaikkien jhtavuusvyöllä levien elektnien yhteenlaskettu enegia n E tt = g( E)E de. Näiden elektnien lukumäää n N = g( E)dE, jten elektnien keskimäääinen enegia n E = E tt N. Sijitetaan tilatiheyden lauseke g( E) = 8 πm/ E tt = N = E = 8 πm / E / E de h 8 πm / E / de h 8 πm / h 5 E 5/ 8 πm / h E / = 8 πm/ h = 8 πm/ h = E 5/ 5E = / 5 h E / de E / de E / ja lasketaan yksinketaisuuden vuksi eikseen = 8 πm/ h 5 E 5/ = 8 πm/ h E / 5. Metalleilla n yleensä yksi tai kaksi jkaisen atmin suuimman kvanttiluvun elektneista luvutettuna jhtavuusvyölle, jssa ne vivat liikkua kk metallikappaleen alueella. Esimekiksi sähkönjhtavuuden, kannalta n täkeä tietää näiden ns. vapaiden elektnin lukumäää tai tiheys. a) Kupailla n 4 atmia d :n kkisessa kpissa => atmien tiheys n n a = 4/d 8,5 8 m -. Kukin atmi tuttaa yhden vapaan elektnin => elektnitiheys n = 8,5 8 m -. b) Metallikappaletta mallitetaan ptentiaalikuppana, jnka sisälle mudstuu suui määä elektnitilja. Tiljen tiheys n g(e) = 7/ πm / h E. Käytössä levien tiljen lukumäää tilatiheyden avulla n = g(e) de sillä nu nin 8 elektnia sijitetaan alimmille mahdllisille enegiatilille ja kkeimmalla enegialla levan elektnin enegia n emi-enegia. 7/ π m / E 7/ π m / E => n = E / h de = h / = 9/ π m / / E h 8,4 8 m - jka tilassa yksi elektni => saadaan sama elektnien lukumäää kuin edellisellä tavalla. 6. Osa alkuaineiden istpeista hajaa adiaktiivisen psessin seuauksena tiseksi aineeksi. Hajamisessa vapautuu enegiaa eaktitutteiden liike-enegiana ja mahdllisesti γ-säteilynä. a) Hajamispsessi vi tapahtua muutaman ei mekanismin avulla (α, β ja ec). Kska massaluku pienenee neljällä ja jäjestysluku kahdella, saadaan alfa-hajaminen: 9 8 Bi 5 8 Tl + 4 He b) Kuhunkin atmiin liittyy sidsenegia, jka kuvaa sitä kuinka paljn enegiaa vitetaan kun ptnit ja neutnit (ja elektnit) mudstavat atmin, sen sijaan, että ne lisivat iallaan: E b = Zm p c + (A-Z)m n c + Zm e c m atmi c Sidsenegiassa tapahtuva muuts vidaan laskea atmien sidsenegiiden avulla E = E Bi - E Tl - E He = m Bi c - m Tl c - m He c, sillä ptnien, neutnien ja elektnien määä ei muutu. He-atmin massa m He = m α + m e = 4,6 u => E = (m Bi - m Tl - m He )c,7 u c,4 MeV c) Ytimen hajtessa systeemin liikemäää säilyy ja eaktissa vapautuva enegia jää eaktitutteiden liike-enegiaksi => p Bi = p Tl + p He. Ydin aluksi levssa p Bi = => p Tl - p He = => m Tl v Tl = m He v He
PHYS-A4 Aineen akenne Esimekkitehtäviä E = K Tl + K He => ΔE = m Tlv Tl + m Hev He => ΔE = m He v He + m m v He He Tl m m He Hev He + m m Tl Hev He = ΔEm Tl => m v He He = eli lähes kaikki enegia menee α-hiukkasen enegiaksi. => m Tl m He + m Tl ΔE => K He, MeV 7. Mekitään syvyydelle x aikayksikössä saapuvien ftnien määää R x :llä. Aineen ja säteilyn välisen vuvaikutuksen takia suihkusta häviää välillä x, x+dx määä dr. Kska ftnien määä vähenee, dr<. tömäysten määä Vaikutusala määiteltiin lausekkeella nl tulevien hiukkasten määä, missä n n atmien määä tilavuusyksikössä ja L tömäyksiä aiheuttavan keksen paksuus. Svelletaan lauseketta tähän ja saadaan σ = dr tai dr =- R nσdx ndx R x Integidaan tätä lauseketta pinnalta syvyydelle x, jllin saadaan R x R dr R x = σ ndx => ln R x R = σ nx => R = R nx x e σ Tuls kuvaa sitä määää ftneita, jka n päässyt syvyydelle x vuvaikuttamatta mateian kanssa tai, js ainepaksuus n x, sitä määää, jka pääsi aineen läpi. 8. Atmiytimeen ammuttu neutni vi saada aikaan ytimen halkeamisen, jnka seuauksena syntyy kaksi kevyempää ydintä, enegiaa ja muutama neutni. Neutni vi absbitua myös atmin ytimeen. Osa alkuaineiden istpeista hajaa adiaktiivisen psessin seuauksena tiseksi aineeksi. a) Neutnin abspti 8 9 U + n 9 9 U Hajamiseaktiissa ytimen massaluvun täytyy säilyä ja jäjestysluvun kasvaa => hajamiseen spii elektnin emittiminen: 9 9 U 9 9 Np + e + ν ja 9 9 Np 9 94 Pu + e + ν. b) Reaktin sähköteh kknaistehn avulla n P sähkö = e P. Kuukaudessa tutetaan sähköenegiaa E sähkö = P sähkö t = e P t Kknaisenegia saadaan n:stä fissieaktista P t = n E fiss. => n = P sähkö t / e E fiss Tällainen määä fissieaktiita tuttaa,6n plutnium-istppia. Yhden 9 Pu atmin massa n likimain 9 u => m Pu = 9 u,6 P sähkö t / e E fiss kg Eli päivässä saadaan mateiaalia kuuteen äjähteeseen! Onneksi plutniumin ettelun kemia n kaikkea muuta kuin tiviaalia, eikä hmma käy alkuunkaan näin vikkelästi.