MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen vuodelta 215. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 1 / 19
Newtonin menetelmä Newtonin menetelmällä voidaan löytää (vähintäänkin derivoituvan) funktion f : R R nollakohta eli yhtälön f (x) = ratkaisu. Silloin kun menetelmä toimii, se suppenee hyvin nopeasti. Silloin kun ei, niin... Lähdetään liikkeelle jostakin pisteestä x, joka on alkuarvaus yhtälön ratkaisulle. Arvioidaan funktiota f sen tangenttisuoralla pisteessä, eli funktiolla l(x) = f (x ) + f (x )(x x ). Ratkaistaan yhtälö l(x 1 ) =. Toistetaan edellinen käyttäen alkuarvauksena lukua x 1 luvun x : sijasta j.n.e. Tämä menettely johtaa algoritmiin, jossa iteraatioaskeleet saadaan kaavasta x n+1 = x n f (x n) f n =, 1, 2,.... (x n ) Suppeneminen ja löytyvä nollakohta riippuvat alkuarvauksesta x. Piirrä kuva iteraation etenemisestä! Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 2 / 19
Esimerkki 1 Etsitään likiarvo luvulle 5. Koska 2 = 4 < 5 < 9 = 3, niin valitaan x = 2 läheltä ratkaisua. Tässä f (x) = x 2 5, joten f (x) = 2x. Saadaan x 1 = x f (2) f (2) = 2 4 5 2 2 = 9 4. x 2 = x 1 f (9/4) f (9/4) = 9 4 27/16 5 = 161 2 9/4 72 2.2361. Huomaa, että 5 2.23668, eli jo kahdella iteraatiolla saatiin varsin hyvä likiarvo. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 3 / 19
Esimerkki 2 Etsitään funktion f (x) = x 3 x + 1 nollakohdat. Piirtämällä kuvaaja nähdään, että funktiolla on vain yksi nollakohta jossain pisteiden 2 ja 1 välissä. Asetetaan x = 1. Koska f (x) = 3x 2 1 iteratioksi saadaan Saadaan x n+1 = x n x3 n x n + 1 3x 2 n 1. x = 1, x 1 = 1.5, x 2 = 1.347826, x 3 = 1.3252. x 4 = 1.324718, x 5 = 1.324717,... Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 4 / 19
Newtonin menetelmä monen muuttujan tapauksessa Newtonin menetelmä toimii myös funktion f : R n R n tapauksessa. Tällöin iteraatiokaavassa oleva derivaatta pitää korvata Jacobin matriisilla Iteraatioaskeleeksi saadaan f(x) =. f 1 f 1 x 1 f 2 f 2 x 1 f m x 1 x 2 x 2. f m x 2 f 1 x n f 2 x n. f m x n. x n+1 = x n f(x n ) 1 f(x n ), n =, 1, 2,..., missä f(x n ) 1 on f(x n ):n käänteismatriisi. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 5 / 19
Esimerkki 3 Etsitään f(x) =, kun x = (1,, 1) ja f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 3)i + (x 2 + y 2 z 1)j + (x + y + z 3)k. Hahmottele kuvaa! Saadaan Voidaan laskea 2x 2y 2z f(x, y, z) = 2x 2y 1. 1 1 1 x 1 = (3/2, 1/2, 1), x 2 = (5/4, 3/4, 1) ja x 2 = (9/8, 7/8, 1) mikä on terveellisintä tehdä tietokoneella. Nähdään, että iteraatiot konvergoivat kohti pistettä (1, 1, 1), joka on tehtävän tarkka (ja kaikesta päätellen ainoa) ratkaisu. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 6 / 19
Tasointegraali Olkoon R 2 joukko tasossa ja f : R skalaarikenttä. Halutaan määritellä tasointegraali f (x, y) da. Integraalin arvo on pinnan z = f (x, y) ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus. Tutkitaan aluksi erikoistapausta = [a, b] [c, d]: 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 111111111111111 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 7 / 19
Yhden muuttujan tapaus Yhden muuttujan tapauksessa integraali saadaan Riemannin summien raja-arvona Formaalisti ˆ b a f (x) dx = lim n n f (x i ) x, missä a = x, x 1,..., x n = b on välin [a, b] tasavälinen jako ja x on jakovälin pituus. i=1 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 8 / 19
Usean muuttujan tapaus (tasointegraali, R 2 ) Jaetaan tason osajoukko = [a, b] [c, d] tasavälisesti ruudukoksi niin, että kummallakin akselilla on n jakopistettä: Nyt voidaan määritellä n f (x, y) da = lim n i=1 j=1 n f (x i, y j ) x y, missä x ja y vastaavat jakovälien pituutta x ja y-suunnassa: x = b a n, y = d c. n Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 9 / 19
Usean muuttujan tapaus (avaruusintegraali R 3 ) Tason tapauksessa edellä määriteltyä integraalia kutsutaan tasointegraaliksi. Samaan tapaan voidaan määritellä avaruusintegraali: f (x, y, y) dv = lim n n n i=1 j=1 k=1 n f (x i, y j, z k ) x y z, kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] R 2 ja f : R. Tässä x = b 1 a 1, y = b 2 a 2 n n ja z = b 3 a 3. n Vieläkin useamman muuttujan funktioita f : R n R, missä n 2, voi integroida samaan tapaan. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 1 / 19
Huomautuksia Yhden muuttajan tapauksessa integraaleille pätee Analyysin peruslause: f (x) = d dx ˆ x c f (t) dt, kun c, x [a, b] ja f : [a, b] R on jatkuva funktio. Analyysin peruslauseesta seuraa, että integrointi ja derivointi ovat toistensa vastaoperaatiota, mikä johtaa moniin integroinnissa hyödyllisiin kaavoihin. Valitettavasti Analyysin peruslauseelle ei ole yksikäsitteistä, selkeää vastinetta usean muuttujan tapauksessa. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 11 / 19
Moninkertainen integraali Monen muuttujan integraaleja voidaan usein kuitenkin laskea moninkertaisina integraaleina. Kaksiulotteinen tapaus (integrointialue suorakaide) f (x, y) da = ˆ d ˆ b c a f (x, y) dx dy, kun = [a, b] [c, d]. Kolmiulotteinen tapaus (integrointialue suorakulmainen särmiö) f (x, y, z) dv = ˆ b3 ˆ b2 ˆ b1 kun = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ]. a 3 a 2 a 1 f (x, y, z) dx dy dz, Mikäli funktio f : R n R (n = 2, 3,...) on jatkuva, niin integroimisjärjestyksellä ei ole väliä integraalin arvon kannalta. Laskujen helppouden kannalta väliä kuitenkin on. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 12 / 19
Esimerkki 4 Olkoon f (x, y) = xy 2. Lasketaan f (x, y) da, missä = {(x, y) R 2 : x 1, y 1}. Aluksi kirjoitetaan tasointegraali kaksinkertaisena integraalina, ja lasketaan xy 2 da = xy 2 dx dy = = [ x 2 y 2 2 y 2 2 dy = ] 1 dy x= ] 1 [ y 3 6 y= = 1 6. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 13 / 19
Esimerkki 5 Olkoon f (x, y, z) = xye z. Lasketaan f (x, y, z) dv, missä = [, 2] [, 1] [ 1, 1]. Kirjoitetaan avaruusintegraali kolminkertaisena integraalina. Lasketaan ˆ 2 xye z dv = xye z dx dy dz = 1 = x 2 ye z 2 1 2 x= y 2 e z 1 1 dy dz = y= dz = 1 1 = e z 1 = e z= 1 e 1. e z dz 2ye z dy dz Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 14 / 19
Integrointi yleisemmissä alueissa 1/2 Tutkitaan funktiota f : R, joka on määritelty tason (tai avaruuden) osajoukossa. Tähän asti on oletettu, että on suorakaide (vast. suorakulmainen särmiö). Yleisemmässä tapauksessa voidaan tarkastella suorakulmiota ˆ, jolle ˆ. Jotta integraali olisi määritelty, täytyy joukon olla siisti (esim. riittää, että reuna on paloittain sileä). 11111111 111111 11 11 111 111 111 111 111 11 11 111111111111111 11111111111111 1111111111111 1111111111111 111111111111 11111111111 111111111 111111 Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 15 / 19
Integrointi yleisemmissä alueissa 2/2 Määritellään funktio ˆf : ˆ R seuraavasti: { f (x, y), kun (x, y), ˆf (x, y) =, kun (x, y) ˆ \. Nyt voidaan määritellä f (x, y) da := ˆ ˆf (x, y) da. Samaan tapaan voidaan määritellä myös avaruusintegraali ei-suorakulmaisen integroimisalueen tapauksessa: f (x, y, z) dv := ˆf (x, y, z) dv, kun ˆ on suorakulmainen särmiö ja ˆ. ˆ Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 16 / 19
Esimerkki 6 1/2 Olkoon = {(x, y) R 2 : < x < 1, < y < x}. Lasketaan funktion f (x, y) = xy integraali yli alueen. 11 111 111 1111 1111 11111 11111 111111 111111 1111111 1111111 11111111 11111111 111111111 111111111 1111111111 1111111111 11111111111 11111111111 111111111111 111111111111 1111111111111 1111111111111 11111111111111 11111111111111 111111111111111 111111111111111 = xy 2 2 xy da = x y= dx = ( ˆ x x 3 2 ) xy dy dx dx = x4 8 1 x= = 1 8. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 17 / 19
Esimerkki 6 2/2 Integrointi on mahdollista suorittaa myös toisessa järjestyksessä: ( ) xy da = xy dx dy = = x 2 y 2 1 x=y ] 1 [ y 2 4 y 4 8 dy = y= y y 2 y 3 2 dy = 1 4 1 8 = 1 8. Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 18 / 19
Esimerkki 7 Lasketaan funktion f (x, y) = e x2 e x2 da = ( ˆ x Sijoituksella t = x 2, dt = 2x dx saadaan 1 2 e t dt = 1 2 et 1 integraali Esimerkin 6 alueessa. ) e x2 dy dx = t= = e 2 1 2. Huom. Integroimisjärjestyksellä on väliä. Integraali ( ) e x2 dx dy on hyvin vaikea laskea. y xe x2 dx Jarmo Malinen (Aalto-yliopisto) MS-A25/MS-A26 Kevät 216 19 / 19