Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215
Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta Fourier-sarjaan........... 11 Lähdeluettelo 13 1
Johdanto Tässä tutkielmassa käydään läpi Fourier-sarjaa ja jaksollisen signaalin muuttamista spektrin muotoon sen avulla. Fourier-sarja on matemaattinen menetelmä, jolla signaali voidaan esittää sinimuotoisten komponenttien summana. Spektrissä signaali on taajuustasossa. Jaksollisella signaalilla ja sen spektrin analysoinnilla on useita käyttötarkoituksia ja käytännön sovelluksia. Fouriersarjan avulla signaalin muuttamista spektrimuotoon voidaan käyttää hyväksi esimerkiksi valoa tai ääntä analysoitaessa. 1 Jaksollisuudesta Tässä työssä käsitellään jaksollisen funktion spektriä, joten määritellään ensin jaksollisen funktion käsite. Havainnollisesti jaksollinen funktio on funktio, joka saa samoja arvoja tietyn jakson välein. Funktion kuvaaja esiintyy samanlaisena tietyn jakson välein. Muodollinen jaksollisuuden määritelmä on seuraava. Määritelmä 1.1. Funktio g on jaksollinen, jos on olemassa positiivinen luku T niin, että g(t) = g(t+t) (1) kaikilla t R. Pienintä positiivista lukua T, jolle (1) toteutuu kaikilla t R sanotaan funktion g perusjaksoksi. Fourier n sarja eli Fourier-sarja on tapa, jolla voidaan esittää jokin jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla äärettömänä summana. Sinimuotoiset funktiot eli sini- ja kosinifunktiot ovat keskenään identtisiä, mutta niillä on vaihe-ero π 2, sillä sin(t) = cos(t π 2 ). Signaalin aaltomuodolla kuvataan signaalin käyttäytymistä aikatasossa eli ajan funktiona. Sinimuotoinen signaali toimii perustana kaikkien signaalien taajuussisällön käsittelyssä, sillä periaatteessa mikä tahansa signaali voidaan esittää sinimuodossa olevien signaalien summana. Sinimuotoinen signaali on muotoa tai Asin(ωt+φ) = Asin(2πft+φ) Acos(ωt+φ) = Acos(2πft+φ). 2
Sinimuotoinen signaali värähtelee yhdellä kulmataajuudella ω ja perussuureet ovat f = 1/T, T = jakson pituus [s], f = taajuus [Hz], ω = 2πf, ω = kulmataajuus [rad], T = 2π/ω, A i = amplitudi, f i = taajuus, φ i = vaihe. Käytännössä jaksollinen signaali voidaan esittää kosinisignaalien summana valitsemalla kosinisignaalit sopivasti. Esimerkiksi funktio g voidaan siis esittää muodossa g(t) A i cos(2πf i t+φ i ) = A cos(2πf t+φ )+A 1 cos(2πf 1 t+φ 1 )+A 2 cos(2πf 2 t+φ 2 )+... missä merkinnällä tarkoitetaan, että funktio g ei välttämättä yhdy sarjaesitykseen jokaisella t:n arvolla. Termien lukumäärä summalausekkeessa riippuu esitettävästä signaalista ja esitystarkkuudesta. 2 Spektristä Spektri tarkoittaa mitattavan suureen jakautumista komponentteihin taajuuden tai energian suhteen. Spektrianalyysiä käytetään esimerkiksi fysiikassa ilmiöiden tulkitsemiseen. Jaksollisen signaalin tapauksessa spektri saadaan aaltomuodon Fourier-sarjasta. Fourier-sarja on tapa esittää jaksollinen funktio trigonometristen sini- ja kosinifunktioiden avulla sarjakehitelmänä eli äärettömänä summana. Määritellään Fourier-sarja muodollisesti seuraavaksi. Määritelmä 2.1. Olkoon f : R R T-jaksollinen funktio. Sarjaa missä a a n = 2 T 2 + (a n cos( 2πnt T )+b nsin( 2πnt T )), n=1 T g(t)cos( 2πnt )dt, n =,1,2,... T 3
ja b n = 2 T T g(t)sin( 2πnt )dt, n = 1,2,... T sanotaan funktion f Fourier-sarjaksi. Kertoimia a n ja b n sanotaan funktion f Fourier-kertoimiksi. Huomautus 2.2. Määritelmässä 2.1 ei ole oleellista, minkä välin yli funktio integroidaan, sillä T-jaksolliselle funktiolle mille tahansa t R. T f(x)dx = t +T t f(x)dx Fourier-sarjan määritelmän avulla voidaan määritellä työn pääkäsitteet amplitudispektri ja vaihespektri. Määritelmä 2.3. Olkoon f : R R T-jaksollinen funktio. Joukkoa {( k a T, 2 k +b2 k ) k =,1,2,...}, missä luvut a k ja b k ovat funktion f Fourier-kertoimia, sanotaan funktion f amplitudispektriksi. Määritelmä 2.4. Olkoon f : R R T-jaksollinen funktio. Joukkoa {( k T,φ k) k =,1,2,...}, missä φ k = arctan(b k /a k ) ja luvut a k ja b k ovat funktion f Fourier-kertoimia, sanotaan funktion f vaihespektriksi. Kiinnitetään vaihekulma φ k = arctan(b k /a k ) ] π,π] seuraavasti. 1. φ k [, π 2 [, jos b k ja a k >, 2. φ k ] π 2,π], jos b k ja a k <, 3. φ k ] π, π 2 [, jos b k < ja a k <, 4. φ k ] π 2,[, jos b k < ja a k >. Lisäksi sovitaan, että 5. φ k = π 2, jos b k > ja a k =, 4
6. φ k = π 2, jos b k < ja a k =. Jos a k = b k =, niin tällöin φ k ei ole määritelty. Amplitudispektri liittää kuhunkin taajuuteen kyseisellä taajuudella värähtelevän kosinisignaalin amplitudin. Vastaavasti vaihespektri liittää kuhunkin taajuuteen kyseisellä taajuudella värähtelevän kosinisignaalin vaihekulman. Jaksollisen signaalin spektri on luonteeltaan diskreetti eli koostuu erillisistä komponenteista, joiden taajuudet saadaan signaalin perustaajuuden f = 1/T harmonisina monikertoina f n = n/t. Fourier-sarja koostuu siis perustaajuudella ja sen monikerroilla värähtelevistä sini- ja kosinikomponenteista. Esimerkki 2.5. Olkoon f(t) = 3 sin(2π2t). Lasketaan funktion f(t) amplitudispektri. Ratkaisu: Koska funktio on muotoa missä a f(t) = 3sin(2π2t) 2 + (a k cos( 2πkt T )+b ksin( 2πkt T )), k=1 T = 1, b 2 = 3, a k = kaikilla k, niin funktion f(t) = sin(2π2t) Fourier-sarja on funktio itse. Näiden nojalla funktio f(t) = 3sin(2π2t) voidaan esittää Fourier-sarjana a 2 + (a k cos(2πkt)+b k sin(2πkt)). k=1 Määritelmän 2.3 nojalla amplitudispektriksi saadaan {(2,3)} {(k,) k 2}. Parametri a k = kaikilla k ja ainoa nollasta poikkeava parametri b k on b 2. Määritelmän 2.4 kohdan 5 perusteella φ 2 = π. Määritelmän 2.4 nojalla 2 vaihespektriksi saadaan {(2, π 2 )}. 5
Kuva 1: Funktio f(t):n kuvaaja ja amplitudispektri. 6
Esimerkki 2.6. Olkoon f(t) = sin(2t)+3sin(5t)+4cos(5t). Lasketaan funktion f(t) amplitudi ja vaihespektri. Ratkaisu: Jaetaan funktio f(t) kahteen osaan värähtelevän kulmataajuuden mukaan eli olkoon f 1 (t) = sin(2t) ja f 2 (t) = 3sin(5t)+4cos(5t). Lasketaan ensin funktion f 1 (t) = sin(2t) spektrit. Sijoitetaan luvut paikalleen aiemmin esiteltyyn amplitudispektrin kaavaan, jolloin saadaan amplitudispektriksi {( 2 2π, 2 +1 2 )} = {( 1 π,1)}. Vaihespektri saadaan vastaavasti ja tehdään sijoitus, josta saadaan, että Vaihespektri on siis 2 2π = 1 π,arctan(1 ) = π 2. {( 1 π, π 2 )}. Lasketaan sitten funktion f 2 (t) amplitudi- ja vaihespektri. Koska 3 2 +4 2 = 5, voidaan kirjoittaa muodossa f 2 (t) = 3sin(5t)+4cos(5t) f 2 (t) = 5 ( 3 5 sin(5t)+ 4 5 cos(5t)). Merkitään x = 5t ja ratkaistaan y yhtälöparista { cos(y) = 4 5 sin(y) = 3 5 ja käytetään kosinin yhteenlaskukaavaa cos(x y) = cosxcosy +sinxsiny, josta saadaan, että f 2 (t) voidaan kirjoittaa muodossa f 2 (t) = 5 cos(5t φ), missä φ = arctan 3 4. 7
Tästä saadaan, että komponentin f 2 (t) amplitudi on 5 ja vaihe on φ = arctan 3. Funktion f amplitudispektriksi saadaan edellisestä 4 ja vaihespektriksi {( 2 2π,1)} {( 5 2π,5)} {( k,) k 2,5} 2π {( 2 2π, π 2 )} {( 5 2π,arctan 3 4 )}. 6 4 2-2 -4-6.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 6 Funktion f(t) amplitudispektri 5 4 3 2 1 5 1 15 2 Kuva 2: Funktio f(t):n kuvaaja ja amplitudispektri. Kuvan amplitudispektrissä näkyvät epätarkkuudet johtuvat käytetystä piirto-ohjelmasta, joka laskee spektrin Fourier-muunnoksen avulla. Esimerkki 2.7. Olkoon f(x) = x, π < x < π Lasketaan funktion f Fourier-sarja ja määrätään amplitudi- ja vaihespektri. 8
Ratkaisu: Funktio on muotoa f(x) = a 2 + (a n cos(nx)+b n (sin(nx)). n=1 Lasketaan ensin kerroin a, joksi saadaan a = 1 π π x dx = 2 π x dx = π, jonka jälkeen kerroin a n = 1 π = 2 π [ π/ π x cos(nx)dx = 2 π xsin(nx) n xcos(nx)dx sin(nx) dx] = 2 n π = 2( 1)n πn 2 2 πn 2 = 2(( 1)n 1) πn 2, ja lopuksi kerroin π/ cos(nx) n 2 b n = 1 π = 1 π [ / π π x sin(nx)dx = 1 π xcos(nx) n = 1 π [π( 1)n n / π π π xsin(nx)dx+ 1 π cos(nx) dx]+ 1 π/ n n [ x cos(nx) + n π/ sin(nx) ]+ 1 n 2 π [ π( 1)n + n = 1 π( 1) n + 1 π( 1) n =. π n π n sin(nx) n 2 ] xsin(nx)dx cos(nx) dx] n Jokainen pariton luku n on muotoa n = 2k+1 jollakin k =,1,2,..., joten a 2k+1 = 4 kaikilla k =,1,2,... π(2k+1) 2 Parillisilla n:n arvoilla a n =, kun n 1 ja b n = kaikilla n = 1,2,... 9
Amplitudispektri on {( 2n+1 2π, 4 π(2n+1) 2) n =,1,...} {(2n,) n = 1,2,...}. 2π Vaihespektriä tarkastellessa huomataan, että nyt a 2n+1 < ja b 2n+1 =. Määritelmän 2.3 perusteella φ 2n+1 ] π,π] ja yksikköympyrän perusteella 2 tästä seuraa, että φ 2n+1 = π. Vaihe φ 2n ei ole määritelty millään luvun n arvolla. Näin ollen vaihespektri on {( 2n+1,π) n =,1,...}. 2π 1
2.1 Symmetrian vaikutuksesta Fourier-sarjaan Fourier-sarjan kertoimien laskeminen yksinkertaistuu, jos funktio on parillinen tai pariton. Esimerkin 2.7 funktio oli parillinen ja kertoimiena n laskemisessa hyödynnettiin parillisuutta. Parillisuutta voidaan hyödyntää yleisemminkin. Jokaiselle T-jaksolliselle parilliselle funktiolle g saadaan kerroin a n = 4 T T/2 g(t)cos( 2πnt )dt, n =,1,2,..., T sillä kosini on parillinen ja kahden parillisen funktion tulo on parillinen. Vastaavasti, koska sini on pariton ja parittoman funktion tulo parillisen funktion kanssa on pariton, saadaan kertoimiksi b n =. Jos funktio g on pariton, eli g( t) = g(t) kaikilla t, niin edellä esitetyn päättelyn mukaan kertoimiksi saadaan b n = 4 T T/2 g(t)sin( 2πnt )dt, n = 1,2,... T Parittomalle funktiolle a n = kaikilla n. Parilliselle funktiolle g( t) = g(t) kaikilla t, josta kertoimeksi a saadaan a = 2 T T/2 g(t)dt. Vastaavalla tavalla kertoimeksi a n saadaan a n = 4 T/2 ( ) 2πnt g(t) cos dt. T T Parittomalle funktiolle saadaan nollakertoimet Esimerkki 2.8. Olkoon a = ja a n = sekä kerroin b n = 2 g(x) = 2 T Lasketaan funktion g Fourier-sarja. T /2 g(t)sinn 2π T tdt { 1, kun π < x < 1, kun < x < π. 11
Ratkaisu: Valitaan T = 2π ja jatketaan g 2π-jaksolliseksi. Funktio g on pariton, joten edellä esitetyn nojalla kertoimet a n ovat nollia kaikilla n =,1,2,... Kertoimiksi b n saadaan b n = 1 π π g(x)sinnxdx = 2 π koska g(x) sin nx on parillinen. Tämän nojalla b n = 2 π sinnxdx = 2 nπ Koska cosnπ = ( 1) n niin seuraa, että 2/ g(x) sin nxdx, cosnx = 2 nπ (1 cosnπ). on auki kirjoitettuna b n = 2 nπ (1 ( 1)n ) Koska cosnπ = ( 1) n, niin (b n ) = 4 π (1,, 1 3,, 1 5,...). b n = 2 nπ (1 ( 1)n ). Nähdään, että kertoimet b n ovat nollia parillisilla n:n arvoilla. Kertoimista b n saadaan jono (b n ) n=1 = ( 4 π 1,, 1,, 1,...). 3 5 Fourier-sarja on siis eli g(x) 4 π (sinx+ 1 3 sin3x+ 1 5 sin5x+...) g(x) 4 π n=1 sin(2k 1)x. 2k 1 Aiemmassa esimerkissä 2.7 symmetriaa olisi voitu käyttää hyväksi siten, että funktion f Fourier-sarjan sinikertoimet eli kertoimet b n menevät nollaksi parillisuuden nojalla. Tällöin kertoimia ei olisi tarvinnut laskea, koska funktion symmetrisyys varmistaa kertoimien b n nollautumisen kaikilla n:n arvoilla. 12
Lähdeluettelo [1] Antti Koivumäki: Johdatus tietoliikennesignaalien Fourier-analyysiin http://users.metropolia.fi/~koiva/s215/tv14k-integr/ 4_johdatus.tietoliikennesignaalien.Fourier-analyysiin.pdf [2] Antti Kosonen: Signaalien taajuusanalyysi https://noppa.lut.fi/noppa/opintojakso/ bl4a4/materiaali/luentokalvot_4.pdf [3] Jyrki Laitinen: Signaalit aika- ja taajuustasossa http://www.oamk.fi/~jyrkila/45/tl5231/tl5231.fourier.pdf [4] Seppo Seikkala: Signaalit ja järjestelmät http://www.ee.oulu.fi/~ssa/sig/ 13