MAB2 koe Jussi Tyni Lue ohjeet huolellisesti! Muista, että välivaiheet perustelevat vastauksesi. Muista kirjoittaa konseptille nimesi ja tee pisteytysruudukko konseptin yläreunaan. A-osio. Ei laskinta! Laske kaikki tehtävät. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. 1. a. Määritä suoran yhtälö, kun suoran kuvaaja on: b. Suora kulkee kuvassa näkyvän pisteen kautta. Määritä suoran kulmakerroin ruudukon avulla ja määritä suoran yhtälö: 2p 2p 2. a. Ratkaise yhtälö 6x = 2x 2 + 8 b. Määritä yhtälön kuvaaman paraabelin huipun korkeus. 4p 3. Ratkaise yhtälöpari 2x 3y = 6 { 3x y = 2 4p
B-osio. Laskin ja MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Valitse laskettavaksi neljä tehtävistä 4-8. 4. Kukkaro sisältää yhden ja kahden euron kolikoita. Kolikoita on yhteensä 24 ja kukkarossa on rahaa yhteensä 39 euroa. Ratkaise kuinka monta yhden ja kuinka monta kahden euron kolikkoa kukkarossa on. 5. a. Sievennä P(x) = 2x(x 4)(3x + x 2 ) b. Laske P(3) 6. a. Erään kilpikonnalajin kuoren paksuus on suoraan verrannollinen kilpikonnan ikään. Kun kilpikonnan kuori on 3,5 cm paksu, kilpikonnan ikä on 70 vuotta. Minkä ikäisenä kilpikonnan kuoren paksuus on 2,5 cm? b. Automatka mummolaan kestää 3 h 20 min, jos keskinopeus on 85 km/h. Kuinka kauan matka kestäisi, jos keskinopeus olisi 100 km/h? 7. Koulutuslinjalle hyväksyttiin yhteensä 207 opiskelijaa. Naisopiskelijoita oli 25% enemmän kuin miesopiskelijoita. Määritä kuinka paljon naisia ja kuinka paljon miehiä hyväksyttiin opiskelemaan. 8. Maratonin pituus on 42,195 km ja Patric Makaun maailmaennätys aika on 2.03.38. Toisaalta Usain Boltin sadan metrin maailmanennätysaika on 9.58. a. Mikä tulisi sadan metrin ajaksi, jos koko matka juostaisiin nopeudella, joka vastaa Makaun maailmanennätysaikaa maratonilla. b. Cooperin testissä juostaan 12 minuutissa niin pitkälle kuin päästään. Mikä olisi Cooperin testin tulos, jos juoksuvauhti olisi Patric Makaun mukaista? c. Mikä tulisi maratonin maailmanennätysajaksi, jos koko sen matka juostaisiin nopeudella joka vastaa Usain Boltin 100 m maailmanennätysaikaa.
Ratkaisut: 1. a. Suoran yhtälö on muotoa y = kx + b Kuvaaja leikkaa y-akselin korkeudella -5, joten b = -5. Lasketaan kulmakerroin kuvasta: k = Δy Δx = 4 1 = 4 Suoran yhtälö on siis y = 4x-5 b. Lasketaan kulmakerroin kuvasta: k = Δy Δx = 2 4 = 1 2 Tiedetään, että suora kulkee pisteen (4,-4) kautta, joten käytetään kaavaa y y 0 = k(x x 0 ). Nyt y () = 1 (x 4) 2 y + 4 = 1 2 x 2 Suoran yhtälö on siis y = 1 2 x 6 y = 1 2 x 6 2. a. Ratkaise yhtälö 6x = 2x 2 + 8 0 = 2x 2 6x + 8 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava: x = ( 6) ± ( 6)2 4 ( 2) 8 2 ( 2) 6 ± 36 + 64 = = 6 ± 100 = 6 ± 10 Ja nyt x 1 = 6 + 10 = 16 = x 2 = 6 10 = = 1 b. Paraabelin malli vaihtelee mille puolelle satuit sen termit järjestelemään. Tuo minun paraabelini on alaspäinaukeava,
eli huippu on tuolla ylhäällä, noin 12. Jos järjestelit termit toiselle puolelle, niin huippu on peilikuvana alhaalla, noin -12. Lasketaan huippu tarkasti: Paraabeli on symmetrinen käyrä ja huippu on keskellä nollakohtia: Kohtien -4 ja 1 etäisyys x-akselilla on 5 yksikköä, joten niiden keskellä oleva kohta on 2,5 yksikön päässä kummastakin nollakohdasta. Huippu on siis kohdassa x = -1,5. Lasketaan lausekkeen arvo, kun x = -1,5. Helpommin tämä sujuu, kun ajatellaan desimaaliluku murtolukuna: x = 1,5 = 3 2. Nyt 2 ( 3 2 ) 2 6 ( 3 2 ) + 8 = 2 9 4 + 18 2 + 8 = 18 4 + 18 2 + 8 = 18 4 + 36 4 + 32 4 = 50 4 = 12,5 3. 4. Ratkaise yhtälöpari 2x 3y = 6 { 3x y = 2 ( 3) => { 2x 3y = 6 alekkain lasku yhteen: 9x + 3y = 6 7x = 0 : ( 7) => x = 0. Sijoitetaan x = 0 jompaankumpaan alkuperäisistä yhtälöistä: 3 0 y = 2 y = 2 y = 2 Eli { x = 0 y = 2 Muodostetaan tehtävänannon mukaan lausekkeet, missä x = yhden euron kolikkojen määrä y = kahden euron kolikoiden määrä Kolikoiden määrä yhteensä: x + y = 24 ja rahan määrä 1x + 2y = 39. Yhtälöpari, ratkaistu laskimella: 5.
6. a. kuori ikä 3,5 cm 70 v 2,5 cm x Suoraan verrannollinen, joten verrantoyhtälö: Ikä on siis 50 vuotta. b. Muunnellaan aika minuuteiksi: 3 h 20 min = 200 min. aika nopeus 200 min 85 km/h x 100 km/h Kääntäen verrannollinen, joten verrantoyhtälössä käännetään esim. vasen puoli ylösalaisin: Aikaa kuluu siis 170 min = 2 h 50 min. 7. Olkoon x miesopiskelijoiden määrä. Naisopiskelijoita on 25% enemmän, joten naisia on 1,25x Nyt x+1,25x=207 => 2,25x=207 2,25x = 207 : 2,25 x = 92 Tällöin 1,25x=1,25 x 92 =115. Miehiä 92 ja naisia 115 kpl. 8. Ajat ovat suoraan verrannollisia keskenään a. Muunnetaan 2.03.38 järkeväksi yksiköksi. 100 m juostaan sekunneissa, joten 2h 3 min 38 sek = 123 min 38 sek = 123 x 60 +38 sek = 7418 sek aika matka maraton 7418 42195 100 m x 100 Verrantoyhtälö:
100 m aika olisi siis 17.58. b. Muunnellaan Cooperin testin 12 min sekunneiksi, jotta se on maratonin ajan kanssa vertailukelpoinen: 12 min = 720 sek aika matka maraton 7418 42195 Cooper 720 x Verrantoyhtälö: c. Cooperin testin tulos olisi noin 4096 m. eli noin 4100 m. aika matka maraton x 42195 100 m 9,58 100 Verrantoyhtälö: