Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET

Ville Suomala EUKLIDISET AVARUUDET Luentotiivistelmä syksy 2016

R reaalilukujen joukko [a; b] suljettu väli fx 2 R : a x bg ]a; b[ avoin väli fx 2 R : a < x < bg [a; b[ puoliavoin väli fx 2 R : a x < bg ]a; +1[ avoin rajoittamaton väli fx 2 R : x > ag A [ B joukkojen A ja B yhdiste A [ B = fx : x 2 A tai x 2 Bg A \ B joukkojen A ja B leikkaus A \ B = fx : x 2 A ja x 2 Bg A n B joukkojen A ja B erotus A n B = fx : x 2 A ja x =2 Bg A c tai X n A joukon A komplementti, kun perusjoukkona on X, fx 2 X : x =2 Ag? tyhjä joukko eli joukko, jossa ei ole yhtään alkiota 1 Johdanto Taulukko 1: Merkintöjä Kurssilla perehdytään eukldisen topologian peruskäsitteisiin kuten euklidiseen metriikkan, avoimiin ja suljettuihin joukkoihin, raja-arvoon ja täydellisyyteen. Keskeisimpänä tavoitteena on ymmärtää vektrifunktion jatkuuvuus sekä siihen liittyvät ominaisuudet. 2 Kertausta: Reaaliluvut ja reaalimuuttujan reaaliarvoiset funktiot 2.1 Reaalilukujoukon supremum ja infimum Määritelmä 2.1. Luku M 2 R on reaalilukujoukon A R yläraja, jos a M kaikilla a 2 A. Vastaavasti, m 2 R on joukon A alaraja, jos m a kaikilla a 2 A. Huomautuksia. 1. Määritelmä ei ota kantaa siihen, kuuluuko joukon A yläraja tai alaraja joukkoon A. Esimerkiksi 0 ja 1 ovat molemmat joukon N = f1; 2; 3; : : :g alarajoja. 2. Yhtään ylä/alarajaa ei välttämättä ole olemassa. Esim joukolla N on alaraja, mutta ei ylärajaa. 3. Ylä/alarajat eivät ole yksikäsitteisiä: Jos M on joukon A R yläraja, niin myös jokainen reaaliluku c M on joukon A yläraja. Määritelmä 2.2. Joukko A R on ylhäältä rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja M 2 R. Vastaavasti, A on alhaalta rajoitettu, jos sillä on jokin alaraja. Joukko A on rajoitettu, jos se on sekä alhaalta, että ylhäältä rajoitettu. 1

Täydellisyysaksiooma 2.3. Jokaisella epätyhjäällä ja ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on pienin yläraja eli supremum. Huomautuksia. 1. Joukon A supremum on siis sellainen reaaliluku, että se on Joukon A yläraja t.s. a sup A kaikilla a 2 A. sup A on ylärajoista pienin t.s. jos M on mikä tahansa joukon A yläraja, niin sup A M. 2. Täydellisyysaksioomasta seuraa välittömästi, että jokaisella epätyhjällä alhaalta rajoitetulla joukolla on pienin alaraja eli infimum. Käytämme joukon A supremumista merkintää sup A ja infimumista merkintää inf A. 3. Jos joukossa A on suurin/pienin alkio, käytämme näistä merkintöjä max A, min A. 4. Jos max A on olemassa, niin tällöin sup A = max A ja vastaavasti inf A = min A, mikäli joukossa A on pienin alkio. 5. Ylhäältä rajoitetussa joukossa ei välttämättä ole suurinta alkiota. Esimerkiksi puoliavoimelle välille [0; 1[ pätee min[0; 1[= inf[0; 1[= 0 ja sup[0; 1[= 1, mutta joukossa [0; 1[ ei ole suurinta alkiota. Jatkuvuus ja raja-arvo kurssilta muistamme, että täydellisyysaksiooma on yhtäpitävä seuraavan, sisäkkäisten välien periaatteena tunnetun tuloksen kanssa. Lause 2.4. Jos I 1 ; I 2 ; : : : ovat suljettuja ja rajoitettuja reaalilukuvälejä siten, että I n+1 I n kaikilla n 2 N 1, niin tällöin leikkaus on epätyhjä. 2.2 Lukujonon raja-arvo \ n2n I n = fx 2 R : x 2 I n kaikilla n 2 Ng Määritelmä 2.5. Reaalilukujonoa x 1 ; x 2 ; : : : 2 sanotaan suppenevaksi, jos sillä on raja-arvo lim n!1 x n 2 R. Tämä tarkoittaa määritelmän mukaan sitä, että jokaiselle " > 0 on n 0 2 N siten, että jx n xj < ", kun n n 0. Jos raja-arvoa lim n!1 x n ei ole olemassa, sanotaan että lukujono (x n ) hajaantuu 1 I2 I1, I3 I2 jne. 2 Merkitään (x n )n2n tai (x n ) 1 n=1 tai pelkästään (x n ) 2

Esimerkkejä. 1. Lukujonon x n = 1 raja-arvo on 0: Olkoon " > 0. Valitaan n n 0 2 N niin suureksi, että n 0 > 1 (tämä on mahdollista, koska N ei ole " ylhäältä rajoitettu). Tällöin jx n 0j = j 1 n 0j = 1 n 1 n 0 < " ; kun n n 0. 2. Lukujono (x n ) = (( 1) n ) = ( 1; 1; 1; 1; : : :) hajaantuu: Koska x n+1 = x n, huomataan, että kaikilla n 2 N on jx n x n+1 j = 2jx n j = 2. Jos x 2 R, niin kolmioepäyhtälön nojalla 2 = jx n x (x n+1 x)j jx n xj + jx n+1 xj ; joten ainakin toinen luvuista jx n+1 xj, jx n xj on 1 = ". Koska tämä pätee kaikille n 2 N, x ei voi olla lukujonon (x n ) raja-arvo. Määritelmiä 2.6. Lukujono (x n ) on kasvava, jos x n+1 x n kaikilla n 2 N ja vähenevä, jos x n+1 x n kaikilla n 2 N. Lukujono (x n ) on rajoitettu, jos joukko fx n : n 2 Ng on rajoitettu eli jos on luvut m; M 2 N siten, että m x n M kaikilla n 2 N. Lukujono (y k ) k2n on jonon (x n ) n2n osajono jos on olemassa luvut n 1 ; n 2 ; : : : 2 N s.e. n k+1 > n k kaikilla k ja y k = x nk kaikilla k. Täydellisyysaksioomasta seuraa, että reaalilukujen joukko R on täydellinen: Lause 2.7. Jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla on suppeneva osajono. Seuraus 2.8. Reaalilukujono (x n ) n suppenee jos ja vain jos se on Cauchy jono eli jos kaikille " > 0 löytyy n 0 2 N siten, että jx n x m j < " kaikilla n; m n 0. 2.3 Reaalifunktion jatkuvuus Määritelmiä 2.9. Funktio eli kuvaus f : A! B on sääntö, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon alkioon a 2 A jonkin maalijoukon alkion f(a) 2 B. Reaalimuuttujan analyysissä tarkastellaan yleensä funktioita, joiden määrittelyjoukko on R tai jokin sen (rajoittamaton tai rajoitettu) osaväli. Määritelmä 2.10. Olkoon I R reaalilukuväli ja f : I! R. Funktio f on jatkuva pisteessä x 2 I, jos jokaiselle " > 0 löytyy > 0 siten, että jf(y) f(x)j < " kaikille y 2 I, joille jx yj <. Funktiota f : I! R sanotaan jatkuvaksi, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyvälin pisteessä x 2 I. 3

Määritelmä 2.11. Funktiolla f : I! R on raja-arvo c pisteessä x 2 I, jos jokaiselle " > 0 löytyy > 0 siten, että jf(y) cj < " kaikille y 2 I, joille 0 < jx yj <. Tällöin merkitään c = lim y!x f(y). Välittömästi huomataan, että funktio f on jatkuva pisteessä x jos ja vain jos sillä on raja-arvo f(x), kun y! x. Funktion raja-arvon olmeassaolo ja jatkuvuus voidaan luonnehtia jonojen avulla seuraavasti. Propositio 2.12. Funktiolla f : I! R on raja-arvo pisteessä x jos ja vain jos jokaiselle lukujonolle (x n ) n2n, jolle lim n!1 x n = x ja x n 6= x kaikilla n 2 N, lukujono f(x n ) suppenee. Tällöin lim y!x f(y) = lim n!1 f(x n ). Erityisesti, f on jatkuva pisteessä x jos ja vain jos lim n!1 f(x n ) = f(x) jokaiselle jonolle x n 2 I, jolle lim n!1 x n = x. Funktiolle f : X! Y, joukon A X kuvajoukko on f(a) = ff(x) : x 2 Ag = fy 2 Y : f(x) = y eräällä x 2 Ag : Jatkuvuus ja raja-arvo kurssilta muistetaan muun muassa seuraava keskeinen tulos Lause 2.13. Suljetulla ja rajoitetulla välillä [a; b] määritellyn jatkuvan funktion arvojoukko f([a; b]) on suljettu väli. Erityistapauksen tästä saadaan niin sanottu jatkuvien funtioiden väliarvolause eli Bolzanon lause. Seuraus 2.14. Jos f on jatkuva välillä [a; b], niin f saa tällä välillä kaikki lukujen f(a) ja f(b) väliset arvot. Tällä kurssilla tarkastellaan muun muassa sitä, missä määrin ylläolevat tulokset yleistyvät vektorimuuttujan vektoriarvoiselle funktiolle f : R n! R m. 3 Euklidinen avaruus ja euklidinen metriikka 3.1 Avaruus R n Joukkojen A ja B karteesinen tulo muodostuu pareista (a; b), missä a 2 A ja b 2 B: A B = f(a; b) : a 2 A ja b 2 Bg : Vastavaasti, jos n 3 ja A 1 ; A 2 ; : : : ; A n ovat joukkoja, niin karteesinen tulo A 1 A 2 : : : A n on A 1 : : : A n = f(a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ) : a i 2 A i jokaiselle 1 i ng : 4

Jos A 1 = A 2 = : : : = A n = A, voidaan karteesiselle tulolle A : : : A (n-kertainen karteesinen tulo) käyttää merkintää A n. Karteesisen tulon märitelmässä järjestyksellä on väliä: A B 6= B A jos A 6= B. Edelleen, mikäli a; b 2 A ja a 6= b, niin (a; b) 2 A 2 ja (b; a) 2 A 2, mutta (a; b) 6= (b; a). Määritelmä 3.1. n-ulotteinen euklidinen avaruus on karteesinen tulo R n, jonka alkioita ovat n-jonot eli vektorit (x 1 ; : : : ; x n ) reaalisin koordinaatein x i 2 R kaikilla 1 i n. Esimerkkejä. 1. Reaaliakseli R. 2. Euklidinen taso R 2, jonka muodostavat pisteparit (x; y), missä x; y 2 R ja jota voidaan havainnollistaa 2-ulotteisen koordinaatiston avulla. 3. Kolmiulotteinen euklidinen avaruus R 3, joka muodostuu kolmikoista (x; y; z), x; y; z 2 R. 4. R 4, R 5 jne. Joukko R n on lineaarinen vektoriavaruus, jossa vektorien (x 1 ; : : : ; x n ) ja (y 1 ; : : : ; y n ) yhteenlasku on määritelty koordinaateittain: (x + y) = (x 1 + y 1 ; : : : ; x n + y n ) : Toisin sanoen, (x + y) i = x i + y i kaikille 1 i n. Lisäksi määritellään skalaarilla 2 R kertominen asettamalla eli (x) i = x i kaikille 1 i n x = (x 1 ; : : : ; x n ) ; Huomautuksia. 1. Avaruuden R n nolla alkiota eli origoa (0; : : : ; 0) 2 R n merkitään symbolilla 0. Tällöin pätee x + 0 = x kaikilla x 2 R n ja edelleen x + ( 1)x = x x = 0 kaikilla x 2 R n. 2. Avaruus R n on n-ulotteinen. Sen luonnollisen kannan muodostavat kantavektorit e i = (0; : : : ; 0; 1; 0; : : :) (t.s. (e i ) i = 1 ja (e i ) j = 0 kun j 6= i). Vektori (x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n voidaan esittää kantavektoreiden lineaarisena kombinaationa: x = nx i=1 x i e i = x 1 e 1 + : : : + x n e n : 3. Esimerkiksi avaruuden R 4 kantavektorit ovat e 1 = (1; 0; 0; 0), e 2 = (0; 1; 0; 0), e 3 = (0; 0; 1; 0) ja e 4 = (0; 0; 0; 1). 5

3.2 Sisätulo ja metriikka Määritelmä 3.2. Geometrisen rakenteen avaruuteen R n antaa euklidinen sisätulo x y, joka määritellään vektoreille x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n ja y = (y 1 ; : : : ; y n ) 2 R n asettamalla x y = nx i=1 x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + : : : + x n y n Sisätulon avulla määritellään avaruuteen R n normi jjxjj, jjxjj = p x x = vu u t X n On hyvä huomata, että sisätulo x y ja normi jjxjj ovat reaalilukuja, eivätkä siis ole avaruuden R n alkioita. Sisätulolla on seuraavat perusominaisuudet: Jos x; y; z 2 R n ja 2 R, niin i=1 x 2 i : (1) (2) (3) (4) x x 0 ja x x = 0 jos ja vain jos x = 0 ; x y = y x ; (x) y = (x y) ; (x + y) z = x z + y z : Geometrisesti jjxjj tarkoittaa pisteen x etäisyyttä origosta. Kahden pisteen x; y 2 R n välisen etäisyyden antaa puolestaan luku jjx yjj. Tällä on yleisen etäisyyden eli metriikan luonnolliset ominaisuudet: Lemma 3.3. Kaikille x; y 2 R n ja 2 R pätee (5) (6) (7) jjxjj 0 ja yhtäsuuruus pätee vain mikäli x = 0 ; jjxjj = jj jjxjj erityisesti jjy xjj = jj( 1)(x y)jj = jjx yjj ; jjx + yjj jjxjj + jjyjj : Todistus. Lemman väitteet (5) ja (6) seuraavat suoraan vastaavista sisätulon ominaisuuksista. Väite (7) on avaruuden R n kolmioepäyhtälö. Sen todistamiseksi osoitetaan ensin niin sanottu Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälö: Lemma 3.4. Kaikille x; y 2 R n pätee jx yj jjxjj jjyjj. Todistus. Tarkastellaan toisen asteen polynomia P (t) = (x + ty) (x + ty) = (y y)t 2 + (2x y)t + x x. Koska sisätulon ominaisuuden (1) perusteella P (t) 0 kaikilla t 2 R, niin diskriminantille D = 4(x y) 2 4jjxjj 2 jjyjj 2 pätee D 0. Väite seuraa tästä. 6

Soveltamalla Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälöä saamme jjx + yjj 2 = (x + y) (x + y) = jjxjj 2 + 2x y + jjyjj 2 jjxjj 2 + 2jjxjj jjyjj + jjyjj 2 = (jjxjj + jjyjj) 2 ; josta (7) seuraa ottamalla neliöjuuri puolittain. Huomautus. Vektorien 0 6= x 2 R n ja 0 6= y 2 R n välinen kulma \(x; y) voidaan laskea kaavalla cos \(x; x y) = y jjxjj jjyjj : Tästä huomataan, että jjx + yjj 2 = jjxjj 2 + jjyjj 2 täsmälleen silloin kun vektoreiden x ja y välinen kulma on suora, siis silloin kun x ja y ovat keskenään ortogonaalisia eli kohtisuorassa. Määritelmiä 3.5. Jos x 2 R n ja r > 0, niin määritellään x-keskinen ja r säteinen avoin pallo B(x; r), suljettu pallo B(x; r), sekä pallopinta eli pallon kuori S(x; r) asettamalla B n (x; r) = fy 2 R n : jjy xjj < rg ; B n (x; r) = fy 2 R n : jjy xjj rg ; S n 1 (x; r) = fy 2 R n : jjy xjj = rg : Jos avaruus R n on asiayhteydestä selvä, voidaan käyttää merkintöjä B(x; r), B(x; r) ja S(x; r) ilman yläindeksiä. Esimerkkejä. 1. Avaruuden R 3 pisteen (1; 2; 3) normi on jj(1; 2; 3)jj = p 1 2 + 2 2 + 3 2 = p 14. 2. Pisteiden ( 1; 0; 1; 1) ja (3; 2; 1; 0) qvälinen etäisyys avaruudessa R 4 on jj(3; 2; 1; 0) ( 1; 0; 1; 1)jj = jj(4; 2; 0; 1)jj p = 4 2 + 2 2 + 0 2 + ( 1) 2 = 21. 3. Tutkitaan millä parametrin a arvolla piste (1; 2; a) kuuluu palloon B 3 ((2; 1; 0); 2): Pisteen (1; 2; a) etäisyys keskipisteestä (2; 1; 0) on jj(1; 2; a) (2; 1; 0)jj = jj( 1; 1; a)jj = p 2 + a 2. Tämä on < 2 täsmälleen silloin, kun 2 + a 2 < 4 eli kun jaj < p 2. 4. Olkoon x = (0; 1) ja y = ( 1; 2). Tutkitaan millä reaaliluvuilla r > 0 ja t > 0, pätee B 2 (x; r) \ S 1 (y; t) 6=?: Havaitaan aluksi, että jjx yjj = p 10. Olkoon z 2 B(x; r) \ S(y; t). Kolmioepäyhtälöä soveltaen näemme, että p 10 = jjx yjj jjx zjj + jjy zjj < r + t p t = jjy zjj jjz xjj + jjy xjj r + 10 7

ja huomaamme, että B(x; r)\s(y; t) =? mikäli t p 10 r tai t p 10+r. Jos p 10 r < t < p 10+r, olkoon w = y +t(x y)= p 10. Tällöin jjw yjj = t eli w 2 S(y; t). Edelleen, jjx wjj = jjx y t p 10 (x y)jj = jj 1 t p 10! (x y)jj = j p 10 tj < r ; joten w 2 B(x; r). Olemme siis näyttäneet, että B(x; r) \ S(y; t) 6=? jos ja vain jos r; t > 0 ja p 10 r < t < p 10 + r. Määritelmä 3.6. Joukko A R n on rajoitettu, mikäli (reaaliluku)joukko fjjx yjj : x; y 2 Ag on ylhäältä rajoitettu. Rajoitetun joukon halkaisija on diam(a) = supfjjx yjj : x; y 2 Ag : Jos A ei ole rajoitettu, se on rajoittamaton. Sovimme että rajoittamattoman joukon halkaisija on d(a) = 1. Esimerkkejä. 1. Väli [a; b] R (vast ]a; b[; [a; b[; ]a; b] on rajoitettu ja sen halkaisija on välin pituus diam([a; b]) = b a. Sen sijaan esim väli [a; +1[ on rajoittamaton kaikilla a 2 R. 2. Riippumatta ulottuvuudesta n, pätee diam(b n (x; r)) = diam(b n (x; r)) = diam(s n 1 (x; r)) = 2r ; kaikille x 2 R n, r > 0. 3. Joukko A = f(x; y; z) 2 R 3 : z 2 = x 2 + y 2 g R 3 on rajoittamaton: Olkoon 0 < M < 1 ja (x M ; y M ; z M ) = (3M; 4M; 5M ). Huomataan, että (x; y; z) 2 A. Koska myös 0 2 A, niin d(a) jj(3m; 4M; 5M ) 0jj = p 50M M. Tämä pätee kaikilla M > 0, joten diam(a) = 1 ja A on rajoittamaton. 4. Joukko A R n on rajoitettu jos ja vain jos on olemassa x 2 R n ja 0 < r < 1 siten, että A B(x; r). 5. Tarkastellaan avaruuden R 4 yksikkökuutioita [0; 1] 4 = f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ) : 0 x i 1 kaikilla 1 i 4g : Jos x; y 2 [0; 1] 4, havaitsemme että jjx yjj 2 = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 + (x 3 y 3 ) 2 + (x 4 y 4 ) 2 4 : Siten A on rajoitettu ja diam(a) 2. Toisaalta diam(a) jj(1; 1; 1; 1) 0jj = 2, joten diam(a) = 2. 8

4 Funktioista 4.1 Kertausta funktioista Määritelmiä 4.1. Olkoon f : X! Y kuvaus. 1. Joukkoa A X vastaava kuvajoukko on f(a) = ff(a) : a 2 Ag Y : tapauksessa A = X, kuvajoukkoa f(x) sanotaan funktion f arvojoukoksi. 2. Joukon B Y alkukuva on f 1 (B) = fx 2 X : f(x) 2 Bg X : 3. Sanomme, että f on injektio, jos se kuvaa lähtöjoukon erilliset pisteet arvojoukon erillisiksi pisteiksi, eli jos kaikille x; y 2 X, x 6= y pätee f(x) 6= f(y). 4. Funktio f on surjektio, jos jokaisella maaliavaruuden pisteellä y 2 Y on ainakin yksi alkukuva, eli jos f(x) = Y. 5. Sanomme, että f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Bijektiolla f : X! Y on käänteiskuvaus f 1 : Y! X, joka määräytyy ehdosta f 1 (y) = x () f(x) = y : 6. Jos g : Y! Z, voimme määritellä yhdistetyn kuvauksen g f : X! Z asettamalla (g f)(x) = g(f(x)), kun x 2 X. Huomautus. Olkoon f : X! Y ja A X. Usein on kätevää tarkastella rajoittumakuvausta f A : A! Y, joka määritellään asettamalla f A (x) = f(x), kun x 2 A. Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, käytämme rajoittumakuvauksestakin merkintää f (ilman ala-indeksiä A). Rajoittumakuvauksen tarkastelu voi olla hyödyllistä esim. siksi, että sopivalle A X, f A saataa olla injektio, vaikka alkuperäinen f : X! Y ei sitä olisikaan. Tällöin voidaan määritellä myös käänteiskuvaus joukossa f(a). Huomaa, että injektiivinen kuvaus on aina bijektio arvojoukolleen. 4.2 Usean muuttujan vektoriarvoiset funktiot Tarkastellaan seuraavaksi kuvausta f : A! B, missä A R n ja B R m ja m; n 2 R. 9

Jos n = 1 ja m = 1, kyseessä on yhden (reaali)muuttujan reaaliarvoinen funktio eli lyhyemmin reaalifunktio. Esimerkiksi f : ]0; +1[! R, f(x) = 1 x. Jos m = 1, kyseessä on reaaliarvoinen vektorimuuttujan funktio. Tällaisia ovat esimerkiksi f : R 3! R, f(x; y; z) = xy + log(jzj). Samoin funktiot jj jj : R n! R, x 7! jjxjj sekä (x; y) 7! x y, R n R n! R ovat reaaliarvoisia. Jos m > 1, kyseessä on vektoriarvoinen funktio. Tällainen funktio f voidaan esittää muodossa f = (f 1 ; : : : ; f m ), missä f(x) = (f 1 (x); : : : ; f m (x)) ja f i : A! R ovat funktion f komponenttifunktiot (1 i m). Esimerkiksi f : A! R 3, f(x; y) = missä A = f(x; y) 2 R 2 : y 6= 0g. x 2 + y; xy; x y! ; Tapauksessa n = 1, komponenttifunktiot f 1 ; : : : ; f m Esimerkiksi f : [0; 2[! R 3, f(t) = (sin t; cos t; t). ovat reaalifunktioita. Funktion f kulkua voidaan joissain tapauksissa hahmotella kuvien avulla. Riippuen tilanteesta, kuva voidaan hahmotella funktion f kuvaajasta, G f = f(x; y) 2 A B : y = f(x)g A B R n R m (= R n+m ) ; arvojoukosta f(a), tai tasa-arvojoukoista f 1 (fcg), c 2 B. Yleispätevää ohjetta on mahdoton antaa, mutta kuvaajan piirtäminen tulee suoraan kyseeseen vain jos n + m 3. Tasa-arvojoukon piirtäminen voi olla hyödyllistä jos n 3 (erityisesti tapauksessa n = 2) ja arvojoukon tai sopivan joukon A 0 A kuvajoukon f(a 0 ) hahmottelusta voi olla apua, jos m 3. Esimerkkejä. i) Jos n = 1 ja m = 1, kannattaa yrittää suoraan kuvaajan piirtämistä. Tämä onnistuu yleensä, jos funktio on määritelty konkreetttisen kaavan avulla, kuten funktioille f : R! R, f(x) = x 3 2x 2 +x 2 tai g : Rnf0g! [ 1; 1], g(x) = sin( 1 ), x =2 0. Aina kuvaajaa ei kuitenkaan pysty hahmottamaan konkreettisesti tässäkään tapauksessa. Esimerkkinä g : ]0; +1[! x R, (8) g(x) = 8 < : 0 jos x 2 R n Q 1 p jos x = q ; (p; q 2 N syt(p; q) = 1) : p ii) Kuvaajan voi monesti piirtää myös tapauksissa n = 1, m = 2 tai n = 2, m = 1. Esimerkkeinä a) f : [0; 2]! R 2, f(t) = (sin t; cos t), b) g : R 2! R, g(x; y) = p x 3 + y 3, c) h : R 2 n f0g! R, h(x; y) = x2 x 2 + y : 2 10

Funktioiden g ja h kulkua voi hahmotella muodostamala ääriviivakartasto piirtämällä tasa-arvojoukkoja g 1 (fcg); h 1 (fcg) muuttujan h eri arvoilla. Ääriviivakartasto auttaa myös kuvaajan piirtämisessä. iii) Kuvauksen f : R 3! R, f(x; y; z) = xy + log(jzj) tilanteessa, kuvia voi piirtää lähinnä tasa-arvojoukoista f 1 (c), c 2 R. iv) Funktiota f : [ ; ]! R 3, f(t) = (sin t; cos t; t) voi tutkia piirtämällä arvojoukko f([ ; ]) tai sopivien välien I [ ; ] kuvajoukkoja. v) Napapkoordinaattikuvausta h : R 2! R 2, h(r; ') = (r sin '; r cos ') voi hahmottaa tutkimalla vakiosuorien r = c ja ' = c kuvautumista. vi) Olkoon f : R 100! R, f(x) = sin(jjxjj 2 ). Huomataan, että f = g h, funktioille g : R! R, g(x) = sin(x 2 ) ja h : R n! R, h(x) = jjxjj 3. Funktiota f voi havainnollistaa tutkimalla funktion g kuvaajaa. Huomautus. Jos B = R m, niin funktiot f : A! B muodostavat lineaarisen vektoriavaruuden: Kun f : A! R m, g : A! R m sekä 2 R, määritellään funktiot (f + g) : A! R m sekä (f): A! R m asettamalla (f + g)(x) = f(x) + g(x) sekä (f)(x) = f(x) kaikille x 2 A : Määritelmä 4.2. Funktio f : A! B on rajoitettu, jos sen arvojoukko f(a) B R m on rajoitettu. Funktio f todetaan rajoitetuksi osoittamalla, että jollekin 0 < M < 1 on voimassa, jjf(x)jj M kaikilla x 2 A. Esimerkkejä. 1) Funktio f : R n! R 2, f(x) = (sin jjxjj; cos jjxjj) on rajoitettu, sillä q jjf(x)jj = sin 2 jjxjj + cos 2 jjxjj = 1 kaikille x 2 A. 2) Kuvaus g : R 2 n f(x; 0) : x 2 Rg! R 2, g(x; y) = ei ole rajoitettu, sillä esimerkiksi kaikilla M > 0. log jxj 1 ; y 1 + jxj + jyj jjg(exp(m ); 1)jj M Propositio 4.3. Funktio f : A! B on rajoitettu, jos ja vain jos kaikki sen komponenttifunktiot f i : A! R ovat rajoitettuja 3 Kyseessä on niin sanottu radiaalinen funktio, koska funktion arvo riippuu vain luvusta jjxjj.! 11

Todistus. Jos f on rajoitettu, niin on olemassa 0 < M < 1 siten, että jjf(x)jj M kaikille x 2 A. Koska kaikille y = (y 1 ; : : : ; y m ) 2 R m ja kaikille i = 1; : : : ; m on voimassa jy i j jjyjj, huomataan välittömästi että kaikille i = 1; : : : ; m on oltava jf i (x)j jjf(x)jj M aina kun x 2 A. Oletetaan sitten, että jokainen komponenttifunktioista f i on rajoitettu. Tällöin on olemassa luvut 0 < M 1 ; M 2 ; : : : ; M m < 1 siten, että jf i (x)j M i kaikille 1 i m ja kaikille x 2 X. Huomataan, että tällöin kaikille x 2 A pätee jjf(x)jj = vu u t X m i=1 jf i (x)j 2 vu u t X m i=1 M 2 i M ; kun valitaan M = q Pni=1 M 2 i. 5 Jonot ja täydellisyys Tarkastellaan avaruuden R n jonoa (x k ) = (x 1 ; x 2 ; x 3 ; : : :), jossa jokaista luonnollista lukua k 2 N vastaa jokin avaruuden R n piste x k = (x 1 k; : : : ; x n k ) 2 Rn. Jos A R n ja x k 2 A kaikilla k 2 N, voidaan sanoa että kyseessä on joukon A jono. Esimerkkejä. 1) Asettamalla x k = (k 2 ; 1 ), muodostuu jono k (x k ) = ((1; 1); (4; 1 ); (9; 1 ); (16; 1 ); : : :) 2 3 4 avaruuteen R 2. 2) Määrittely x k = (k; 1; 1+k 2 ) antaa jonon ((1; 1; 2); (2; 1; 5); (3; 1; 10); (4; 1; 17); : : :) avaruuteen R 4. Huomautus. Jos (x k ) on jono avaruudessa R n, niin merkitsemällä x k = (x 1 k; : : : ; x n k ) huomataan että komponenttijonot (x i k ) k ovat reaalilukujonoja kaikilla i = 1; : : : ; n. Esimerkiksi yllä olevan esimerkin 2) tilanteessa (x 1 k ) k = (k) k = (1; 2; 3; : : :), (x 2 k ) k on vakiojono (1; 1; 1; : : :) ja (x 3 k ) k = (1 + k 2 ) k = (2; 5; 10; 17; : : :). Määritelmiä 5.1. Piste x 2 R n on avaruuden R n jonon (x k ) k raja-arvo, jos kaikille " > 0 on k 0 2 N siten, että jjx k xjj < " aina kun k k 0. Tällöin merkitään x = lim n!1 x k. Jonoa (x k ), jolla on raja-arvo, sanotaan suppenevaksi. Jos jono ei suppene, se hajaantuu. Huomautus. Määritelmän mukaan avaruuden R n jono (x k ) suppenee kohti rajaarvoa x jos ja vain jos reaalilukujonolle jjx k xjj pätee lim k!1 jjx k xjj = 0. Lemma 5.2. Olkoon (x k ) ja (y k ) avaruuden R n jonoja ja ; 2 R. 1. Jonon raja-arvo on yksikäsitteinen: Jos x; y 2 R n ovat molemmat jonon (x k ) k raja-arvoja, niin x = y. 12

2. Jos x = lim k!1 x k ja y = lim k!1 y k, niin jono z k = (x k + y k ) suppenee ja lim k!1 z k = x + y. Todistus. Todistetaan ensin väite 1). Jos x 2 R n ja y 2 R n, x 6= y olisivat molemmat jonon (x k ) k raja-arvoja, niin valitsemalla " = jjx yjj=2 sekä k 1 ; k 2 2 N niin suuriksi, että jjx k xjj < " kun k k 1 sekä jjx k yjj < " kun k k 2, saataisiin jjx yjj jjx x k jj + jjx k yjj < " 2 + " 2 = " = jjx yjj ; kaikille k k 0 = maxfk 1 ; k 2 g. Tämä on ristiriita, joten raja-arvoja voi olla enintään yksi. Väite 2) on määritelmän suoraviivainen seuraus (yksityiskohdat:harjoitustehtävä). Määritelmiä 5.3. Jono (y k ) k on jonon (x k ) k osajono mikäli y k = x mk eräille m k 2 N, m 1 < m 2 < m 3 < : : :. Jono (x k ) k on rajoitettu, mikäli joukko fx k : k 2 Ng R n on rajoitettu. 4 Propositio 5.4. Suppeneva Jono (x k ) k avaruudessa R n on rajoitettu. Todistus. Olkoon x = lim k!1 x k. Raja-arvon määritelmän perusteella on k 0 2 N siten, että jjx k xjj 1 kaikilla k k 0. Jos k k 0, saadaan jjx k jj jjxjj + jjx k xjj jjxjj + 1 ; joten valitsemalla M = maxfjjxjj + 1; jjx 0 jj; jjx 1 jj; : : : ; jjx k0 1jjg, on oltava jjx k jj jjxjj kaikille k 2 N. Lemma 5.5. Olkoon (x k ) k = (x 1 k; : : : ; x n k ) k avaruuden R n jono. Tällöin (x k ) k suppenee jos ja vain jos sen jokainen komponenttijono (x i k ) k suppenee. Lisäksi lim k!1 (x k ) = (x 1 ; : : : ; x n ), missä x i = lim k!1 x i k, jokaisella i = 1; : : : ; n. Todistus. Oletetaan ensin, että jokainen komponenttijono x i k (1 i m) suppenee ja olkoon x i = lim k!1 x k i. Jos " > 0, valitaan kaikille i = 1; : : : ; n, luku k i 2 N siten, että jx i k x i j "= p n kun k k i : Olkoon x = (x 1 ; : : : ; x n ) ja k k 0 = maxfk 1 ; : : : ; k n g. Tällöin jjx k xjj = vu u t X n i=1 jx i k x i j 2 < kaikilla k k 0. Siten x k! x, kun k! 1. 4 eli jos on M < 1 siten, että jjx n jj M kaikille n 2 N. 13 q n("= p n) 2 = "

Olkoon sitten x = (x 1 ; x 2 ; : : : ; x n ) = lim k!1 x k. Koska jx i k x i j = q jx i k x i j 2 vu ux t n j=1 jx j k x j j 2 = jjx k x i jj ; kaikilla i = 1; : : : ; n niin välittömästi havaitaan että lim k!1 x i k = xi kaikilla i = 1; : : : ; n. Lause 5.6 (Bolzano-Weierstrass). Avaruuden R n rajoitetulla jonolla (x k ) k on ainakin yksi suppeneva osajono. Todistus. Osoitetaan väite aluksi tapauksessa n = 1. Olkoon siis (x k ) rajoitettu reaalilukujono. Määritellään joukko A = fx 2 R : x k x äärettömän monellak 2 Ng : Koska (x k ) k on rajoitettu, niin on olemassa luvut m; M 2 R siten, että m x k M kaikilla k 2 N. Koska m 2 A, niin joukko A ei ole tyhjä. Toisaalta M on selvästi joukon A yläraja, joten A on ylhäältä rajoitettu. Täydellisyysaksiooman perusteella on siis olemassa y = sup A. Tavoitteena on konstruoida osajono (x kl ) l siten, että x kl! y, kun l! 1. Apulemma 5.7. Kaikille " > 0 ja kaikille k 0 2 N, joukko on epätyhjä. fx k : y " < x k < y + " ja k k 0 g Apulemman todistus. Huomataan aluksi, että x k > y " äärettömän monella k 2 N, sillä muussa tapauksessa y " olisi joukon A yläraja, mikä on mahdotonta sillä sup A = y. Toisaalta y +" =2 A, joten x k y +" vain äärellisen monella k 2 N. Yhdistämällä nämä tiedot huomataan, että (9) jy x k j < " äärettömän monella k 2 N. Koska joukko f1; : : : ; k 0 g on äärellinen niin arvio (9) on voimassa myös äärettömän monella k k 0. Haluttu osajono saadaan nyt määriteltyä apulemman avulla valitsemalla ensin k 1 = 1 ja edelleen induktiivisesti k l+1 siten, että k l+1 > k l ja jy x kl+1 j < 1=l. Tämä todistaa väitteen tapauksessa n = 1. Tapaus n > 1 seuraa induktiivisesti: Oletetaan, että väite pätee avaruuden R n 1 rajoitetuille jonoille ja olkoon (x k ) k = (x 1 k; : : : ; x n k ) avaruuden Rn rajoitettu jono. Tällöin myös (avaruuden R n 1 jono) (x k ) = (x 1 k; : : : ; x n k 1 ) on rajoitettu, 14

joten sillä on suppeneva osajono (x kl ) l. Tarkastelemalla jonon x k viimeistä komponenttia x n k arvoilla k = k l, ja soveltamalla väitettä tapauksessa n = 1 huomataan että löytyy jonon k l osajono k m siten, että x n k m suppenee. Koska suppenevan jonon kaikki osajonot suppenevat, huomataan että myös x km suppenee. Lemman 5.5 nojalla, jono (x km ) m = (x km ; x n k m ) = (x 1 k m ; : : : ; x n k m ) havaitaan suppenevaksi. Määritelmä 5.8. Avaruuden R n jono (x k ) on Cauchy jono mikäli jokaista " > 0 vastaa k 0 2 N siten, että jjx k x m jj " kaikille k; m k 0. Avaruus R n on täydellinen: Lause 5.9. Avaruuden R n jono suppenee jos ja vain jos se on Cauchy jono. Todistus. Oletetaan aluksi, että lim k!1 x k = x ja " > 0. Valitsemalla k 0 niin suureksi, että jjx x k jj < "=2 kun k k 0, huomataan että jjx k x m jj jjx k xjj + jjx x m jj < " ; aina kun k; m k 0. Suppeneva jono on siis väistämättä Cauchy jono. Oletetaan sitten, että (x k ) on Cauchy jono. Todistetaan seuraavat aputulokset: Apulemma 5.10. Jonolla x k on suppeneva osajono. Apulemma 5.11. Jos avaruuden R n Cauchy jonolla (x k ) on suppeneva osajono raja-arvonaan x, niin lim k!1 x k = x. Yhdistämällä apulemmojen väitteet nähdään, että (x k ) suppenee. Apulemman 5.10 todistus. Lauseen 5.6 nojalla riittää näyttää, että (x k ) on rajoitettu. Valitsemalla k 0 2 N niin suureksi, että jjx k x m jj < 1 aina kun k; m k 0 havaitaan, että jjx k jj jjx k0 x k jj + jjx k0 jj < 1 + jjx k0 jj kun k k 0 ja edelleen jjx k jj M kaikilla k 2 N, kun M = maxfjj1+jjx k0 jj; jjx 1 jj; : : : ; jjx k0 1jjg. Apulemman 5.11 todistus. Olkoon k 1 < k 2 < : : : ja x 2 R n siten, että lim l!1 x kl = x. Jos " > 0, voidaan siis valita l 0 2 N siten, että jjx kl xjj < "=2 aina kun l l 0. Toisaalta, koska (x k ) on Cauchy jono, voidaan valita k 0 2 N siten, että jjx k x m jj < "=2 aina kun k k 0. Olkoon k k 0 ja l > l 0 siten, että k l > k 0. Tällöin jjx k xjj jjx k x kl jj + jjx kl xjj < " " 2 + 2 = " ; mistä väite seuraa. 15

Esimerkkejä. 1. Avaruuden R 3 jono x k = ( 1; 1 ; 2k ) suppenee raja-arvonaan k k 2 k+1 (0; 0; 2), sillä komponenttijonoille x 1 k = 1 k, x2 k = 1 ja x 3 k 2 k = 2k pätee k+1 1 lim k!1 k = 0, lim k!1 p 1 2k = 0 k ja lim k!1 = 2. k+1 Tapa 2: Suoraan määritelmää käyttäen. Jos " > 0, niin kun k > 4 p 3=" 2. jjx k (0; 0; 2)jj = s 1 k 2 + 1 k + 4 (k + 1) 2 < " ; 2. Olkoon (x k ) avaruuden R n jono. Sarja P 1 k=1 x k suppenee mikäli osasummien muodostama jono S P N N = k=1 x k suppenee. Esimerkiksi tason R 2 sarja P 1 k=1 (( 1) k 1; 1 ) suppenee, mikä havaitaan esimerkiksi osoittamalla, että k k 2 osasummat ovat Cauchy jonoja. komponenttisarjojen P 1 k=1 ( 1) k 1 k, P 1 k=1 1 k 2 3. Tutkitaan avaruuden R 2 jonoa x k = (k sin(1=k); P k j=1 1=j 3 ). Muistamalla, että lim x!0 sin(x)=x = 1, saamme sin(1=k) lim k sin(1=k) = lim k!1 k!1 1=k = lim x!0 sin x x = 1 : Edelleen, P 1 j=1 1=j 3 on (itseisesti) suppeneva reaalilukusarja, joten molemmat komponenttijonot x 1 k ja x 2 k suppenevat. Siten myös (x k ) suppenee. 6 Euklidisen avaruuden topologiaa 6.1 Topologian peruskäsitteitä Määritelmiä 6.1. Olkoon A R n. Piste x 2 R n on joukon A sisäpiste, jos on olemassa r > 0 siten, että B(x; r) A. reunapiste, jos B(x; r) \ A 6=? ja B(x; r) n A 6=? kaikilla r > 0. ulkopiste, jos B(x; r) \ A =? jollakin r > 0. kasautumispiste, jos A \ B(x; r) n fxg 6=? kaikilla r > 0. eristetty piste, jos A \ B(x; r) = fxg eräällä r >0. Esimerkkejä. 1) Olkoon I =]a; b[ R. Tällöin jokainen x 2 I on välin I sisäpiste, reunapisteitä ovat a ja b ja jokainen x 2 R n [a; b] on välin I ulkopiste. Edelleen, joukon I kasautumispisteitä ovat kaikki suljetun välin pisteet x 2 [a; b]. Joukolla I ei ole eristettyjä pisteitä. 16

2) Joukolla N R ei ole sisäpisteitä eikä kasautumispisteitä. Kaikki sen pisteet ovat eristettyjä pisteitä, sillä B(n; 1) \ N = fng kaikille n 2 N. Jokainen n 2 N on joukon N reunapiste. Ulkopisteitä ovat kaikki komplementin R n N pisteet. 3) Rationaalilukujen joukolla Q ei ole lainkaan sisäpisteitä, ulkopisteitä, eikä eristettyjä pisteitä. Jokainen reaaliluku x on joukon Q reunapiste ja kasautumispiste, sillä jokainen väli ]x r; x + r[ R sisältää sekä äärettömän monta rationaalisia, että irrationaalisia pisteitä. Määritelmiä 6.2. Joukon A R n sisus int A R n koostuu kaikista joukon A sisäpisteistä. reuna @A R n koostuu kaikista joukon A reunapisteistä. ulkopuoli ext A R n koostuu kaikista joukon A ulkopisteistä. sulkeuma A määritellään asettamalla A = A [ @A. Esimerkkejä. 1) Jos I = [a; b] R, niin int I =]a; b[, @I = fa; bg, ext A = R n I ja I = I. 2 int N =?, ext N = R n N ja edelleen @N = N = N. 3 int Q = ext Q =? ja @Q = Q = R. Propositio 6.3. Tarkastellaan avaruuden R n palloja B(x; r), B(x; r) R n sekä pallopintaa S(x; r), kun x 2 R n, r > 0. Näiden joukkojen sisus, ulkopuoli, reuna, sekä kasautumispisteiden joukko ilmenevät oheisesta taulukosta. A int A @A ext A A kas A B(x; r) B(x; r) S(x; r) R n n B(x; r) B(x; r) B(x; r) B(x; r) B(x; r) S(x; r) R n n B(x; r) B(x; r) B(x; r) S(x; r)? S(x; r) R n n S(x; r) S(x; r) S(x; r) Joukoilla B(x; r), B(x; r) ja S(x; r) ei ole eristettyjä pisteitä. Todistus. B(x; r) int B(x; r): Olkoon y 2 B(x; r). Tällöin jjy xjj < r, joten myös jjy xjj + t < r, jos valitaan 0 < t < r jjy xjj. Kolmioepäyhtälön nojalla jjz xjj jjz yjj + jjy xjj < r + t kaikilla z 2 B(y; t). Siis B(y; t) B(x; r) eli y 2 int B(x; r). int B(x; r) B(x; r): Jos y 2 int B(x; r), niin B(y; t) B(x; r) eräällä t > 0, erityisesti siis y 2 B(x; r). S(x; r) @B(x; r): Jos y 2 S(x; r) ja t > 0, niin selvästi y 2 B(y; t) n B(x; r), joten B(y; t) n B(x; r) 6=?. Toisaalta myös B(y; t) \ B(x; r) 6=?, sillä esimerkiksi y + (x y) 2 B(y; t) \ B(x; r). Siten S(x; r) @B(x; r). t 2jjx yjj 17

@B(x; r) S(x; r): Jos jjy xjj > r, niin valitsemalla t < jjy xjj r, on B(y; t)\b(x; r) =?, joten y =2 @B(x; r). Samoin, jos jjy xjj < r ja t < r jjy xjj, on B(y; t) B(x; r) =?, joten y =2 @B(x; r). Loput väitteet todistetaan samaan tapaan (harjoitustehtävä). Propositio 6.4. Joukolle A R n on voimassa: 1. int A A A. 2. int A = A n @A = A n @A. 3. int A = ext(r n n A). 4. @A = @(R n n A). 5. R n = int A [ @A [ ext A (erillinen yhdiste). 6. @A = A n int A ja A = int A [ @A. 7. fx 2 R n : x on joukon A kasautumispisteg = A n fx 2 R n : x on joukon A eristetty pisteg. Todistus. 1. Jos x 2 int A, niin määritelmän mukaan B(x; r) A eräälle t > 0, erityisesti x 2 A (koska x 2 B(x; r) kaikille x 2 R n ja r > 0). Siten int A A. Koska A = A [ @A, niin välttämättä A A. 2. Jos x 2 int A, niin väitteen 1 nojalla x 2 A. Toisaalta B(x; r) A erällä r > 0, joten B(x; r) n A =?, mistä seuraa että x =2 @A. Siten int A A n @A. Jos x 2 A n @A, niin B(x; r) \ A 6=? kaikilla r > 0. Koska x =2 @A, niin on oltava B(x; r) n A =? eli B(x; r) A eräällä r > 0. Siten A n @A int A. Väite A n @A = A n @A on sulkeuman A määritelmän suora seuraus. 3. Huomataan, että x 2 int A () B(x; r) A eräälle r > 0 () B(x; r) \ (R n n A) =? eräälle r > 0 () x 2 ext(r n n A) : 4. Määritelmän suora seuraus, sillä B(x; r) n A c = B(x; r) \ A. 5. Väitteestä 2. seuraa, että int A \ @A =? ja väitteet 1. ja 3. yhdistämällä (tai suoraan määritelmän perusteella) havaitaan, että int A \ ext A =?. Edelleen, väitteitä 3. ja 4. käyttäen, ext A \ @A = int(r n n A) \ @(R n n A) =? : Kun vielä huomataan, että mikäli x =2 int A [ ext A, niin B(x; r) \ A 6=? 6= B(x; r) n A kaikilla r > 0, niin väite 5. seuraa. 18

6. Väitteen 2 ja sulkeuman määritelmän nojalla A n int A = A n (A n @A) = A \ @A = @A : Toinen väite seuraa suoraan väitteestä 1. 7. Olkoon kas A joukon A kasautumispisteiden joukko ja er A sen eristettyjen pisteiden joukko. Selvästi kas A \ er A =?. Jos x 2 kas A, niin B(x; r) \ A B(x; r) \ A n fxg 6=? kaikille r > 0, joten x 2 A. Siten kas A A n er A. Olkoon lopuksi x 2 A n er A. Jos x 2 int A, niin selvästi x 2 kas A. Voidaan siis olettaa, että x 2 @A n er A. Tällöin kaikille r > 0 on A \ B(x; r) 6=?, mutta A \ B(x; r) 6= fxg, joten väistämättä A \ B(x; r) n fxg 6=?. Niinpä x on joukon A kasautumispiste. Edellä määritellyt topologian peruskäsitteet voi määritellä myös jonojen avulla: Propositio 6.5. Piste x 2 R n on joukon A R n 1. sisäpiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k!1 x k = x on k 0 2 N siten, että x k 2 A kaikilla k k 0. 2. reunapiste, jos ja vain jos on olemassa jonot x k, y k siten, että x k 2 A ja y k 2 R n n A kaikille k 2 N, sekä lim k x k = lim k y k = x. 3. ulkopiste, jos ja vain jos jokaiselle jonolle x k, jolle lim k!1 x k = x on k 0 2 N siten, että x k =2 A kaikilla k k 0. 4. kasautumispiste, jos ja vain jos on olemassa jono x k siten, että x k 2 A n fxg kaikilla k 2 N ja lim k x k = x 5. Eristetty piste, jos jokaiselle jonolle x k 2 A, jolle lim k x k = k on olemassa k 0 2 N siten, että x k = x kaikille k k 0. Todistus. 4. Oletetaan aluksi, että x on joukon A kasautumispiste. Tällöin A \ B(x; k 1 )nfxg 6=? kaikilla k 2 N, joten voidaan valita pisteet x k 2 A\B(x; k 1 )n fkg. Huomataan, että jjx k xjj < 1 k! 0, kun k! 1, joten lim k x k = x. Olkoon sitten x k joukon A n fxg jono, siten että lim k! 1x k = x. Jokaiselle r > 0, voidaan valita k 0 2 N siten, että 0 < jjx k xjj < r kaikille k k 0. Toisin sanoen x k 2 A\B(x; r)nfxg kaikille k k 0, joten x on joukon A kasautumispiste. Muut väitteet johdetaan samaan tapaan suoraan määritelmistä. Bolzanon ja Weirstrassin lauseesta seuraa, että äärettömässä rajoitetussa joukossa on väistämättä ainakin yksi kasautumispiste. Lause 6.6. Olkoon A rajoitettu joukko, jossa on äärettömän monta alkiota. Tällöin joukolla A on ainakin yksi kasautumispiste. 19

Todistus. Koska joukossa A on äärettömän monta alkiota, voidaan valita x 1 2 A ja edelleen kaikille k 2 N, x k 2 A n fx 1 ; : : : ; x k 1 g. Koska A on rajoitettu, niin muodostettu joukon A jono (x k ) on rajoitettu. Lauseen 5.6 nojalla sillä on suppeneva osajono (y k ), raja-arvonaan y 2 R n. Nyt siis y k 2 A kaikilla k 2 N. y k 6= y m kaikille k; m 2 N, joille k 6= m. lim k y k = y. Osoitetaan vielä, että y on haluttu joukon A kasautumispiste. Huomataan, että y k = y enintään yhdelle jonon alkioista y k, joten poistamalla tämä alkio jonosta, voidaan olettaa että y k 2 A n fyg kaikille k 2 N. Väite seuraa nyt Proposition 6.5 väitteestä 4. Esimerkki 6.7. Tarkastellaan joukkoa A = f 1 n : n 2 Ng = f1; 1; 1 ; : : :g R. 2 3 Huomataan että jokainen joukon A alkio on eristetty piste, sillä B( 1 ; 1 1 )\A n n = n+1 f 1 g kaikilla n 2 N. Onko joukolla A kasautumispisteitä? Ainakin 0 on joukon A n kasautumispiste, sillä 0 =2 A, mutta 1! 0, kun n! 1 (Proposition 6.5 4.). Muita n kasautumispisteitä ei ole, sillä jos x 2 R nf0g ja r = jxj=2, niin B(x; r)\a sisältää vain äärellisen monta alkioita. 6.2 Avoimet ja suljetut joukot Määritelmiä 6.8. Joukko A R n on avoin jos jokainen sen piste on sisäpiste eli jos jokaiselle x 2 A on r > 0 siten, että B(x; r) A. Joukko A R n on suljettu jos se sisältää kaikki kasautumispisteensä. Esimerkkejä. a) Avoimia reaalilukujoukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit ]a; b[, ]a; +1[, ] 1; a[. Suljettuja joukkoja ovat esimerkiksi Z, yksiöt fxg R ja kaikki suljetut välit [a; b], [a; +1[, ] 1; a]. b) Avaruuden R n avoimet pallot B(x; r) ovat avoimia joukkoja ja suljetut pallot B(x; r) sekä pallonkuoret S(x; r) ovat suljettuja joukkoja. c) Yleensä joukot eivät ole suljettuja tai avoimia. Esimerkiksi puoliavoin väli ]0; 1] R ei ole avoin, koska 1 2 [0; 1[n int[0; 1[, eikä suljettu koska 1 =2 [0; 1[, vaikka 1 on selvästi välin [0; 1[ kasautumispiste. d) Joukot?; R n R n ovat sekä avoimia että suljettuja. e) A on suljettu kaikille A R n. Lemma 6.9. 1. Joukko A R n on avoin jos ja vain jos A = int A eli jos A \ @A =?. 2. Joukko A R n on suljettu jos ja vain jos A = A eli jos @A A. 20

3. A on avoin jos ja vain jos R n n A on suljettu. Todistus. 1. Väite seuraa suoraan määritelmästä, kun muistamme että int A A int A [ @A. 2. Huomataan aluksi, että kaikki joukon @A n A pisteet ovat joukon A kasautumispisteitä. Tästä seuraa välittömästi, että suljetulle joukolle A on voimassa @A A ja edelleen A = A. Olkoon @A A ja olkoon x =2 @A joukon A kasautumispiste. Tällöin B(x; r) n A =? eräällä r > 0, joten x 2 int A A. Joukko A sisältää siis kaikki kasautumispisteensä ja on näinollen suljettu. 3. Vaitteitä 1-2 ja Propositiota 6.4 käyttäen: A avoin () A \ @A =? () @A R n n A () @(R n n A) R n n A () R n n A on suljettu. Lause 6.10. Olkoon U 1 ; U 2 ; : : : R n suljettuja joukkoja. Tällöin avoimia joukkoja sekä K 1 ; K 2 ; : : : R n 1. T N k=1 U k on avoin kaikille N 2 N. 2. S N k=1 K k on suljettu kaikille N 2 N. 3. S 1 k=1 U k on avoin joukko. 4. T 1 k=1 K k on suljettu joukko. Todistus. 1. Olkoon x 2 \ N k=1u k. Koska jokainen U 1 ; : : : ; U N on avoin, niin on luvut r 1 ; : : : ; r N siten, että B(x; r i ) U i kaikilla i = 1; : : : ; N. Valitsemalla r = minfr 1 ; : : : ; r N g havaitaan, että B(x; r) \ N k=1u k, joten x 2 int \ N k=1u k. 2. Väitteen 1 ja Lemman 6.9 3. nojalla N[ k=1 K k! c = on avointen joukkojen äärellisenä leikkauksena avoin, joten S N 1 K k on suljettu. 3. Jos x 2 S 1 k=1 U k, niin x 2 U j jollakin j 2 N. Koska U j on avoin, on r > 0 siten, että B(x; r) U j S k = 1 1 U k. Näinollen jokainen joukon S k = 1 1 U k piste on sisäpiste, kuten väitettiin. 4. Samaan tyyliin kuin väitteen 2. todistuksessa, havaitaan että 1\ k=1 K k! c = on avointen joukkojen yhdisteenä avoin. Siten T k = 1 1 K k on suljettu. 21 N\ k=1 1[ k=1 K c k K c k

Huomautus. Lauseen 6.10 väitteet 3 ja 4 ovat voimassa myös ylinumeroituvan indeksijoukon tapauksessa. Jos I on indeksijoukko ja U R n on avoin kaikilla 2 I sekä K R n on suljettu kaikilla 2 I, niin joukko on avoin ja on suljettu. [ U 2I \ K 2I Reaaalilukuanalyysistä muistamme suljettujen välien periaattena tunnetun tuloksen, jonka mukaan \ n2n I n on epätyhjä aina jos I 1 ; I 2 ; : : : R ovat suljettuja ja rajoitettuja reaalilukuvälejä siten, että I n+1 I n kaikilla n 2 N. Tulos yleistyy avaruuteen R n seuraavasti: Lause 6.11. Jos K 1 ; K 2 : : : ovat epätyhjiä suljettuja ja rajoitettuja joukkoja avaruudessa R n siten, että K k+1 K k kaikilla k 2 N, niin K := 1\ k=1 K k 6=? : Lisäksi, jos diam(k k )! 0, kun k! 1, niin tällöin K on yksiö, eli K = fxg eräällä x 2 R n. Todistetaan ensin lemma: Lemma 6.12. Jos K R n on suljettu, x k 2 K kaikilla k 2 N ja (x k ) suppenee, niin lim k!1 x k 2 K. Todistus. Jos x k = x eräällä k 2 N, niin selvästi x 2 K. Voidaan siis olettaa, että x k 6= x kaikilla k 2 N. Koska x = lim x k, voidaan kaikille r > 0 valita k o 2 N siten, että x k 2 B(x; r), kun k k 0. Tällöin x k0 2 K \ B(x; r) n fxg, joten x on joukon K kasautumispiste. Koska K on suljettu, sisältää se kaikki kasautumispisteeensä, joten x 2 K. Todistus. Valitaan kaikilla k 2 N, piste x k 2 K k. Koska K 1 on rajoitettu ja x k 2 K 1 kaikilla k 2 N, niin jono (x k ) on rajoitettu. Sillä on siis lauseen 5.6 nojalla suppeneva osajono (x kl ), jolle lim l!1 = x eräällä x 2 R. Osoitetaan vielä, että x 2 K. Osoitetaan aluksi, että x 2 K kl kaikilla l 2 N. Tarkastelemalla jonoa (x kl+m ) m2n, huomataan että x kl+m 2 K kl+m X kl kaikilla l 2 N. Lemman 6.12 nojalla x = lim m!1 x kl+m 2 K kl, sillä K kl on suljettu. Jos k 2 N, niin välttämättä k l k eräällä l 2 N. Tästä seuraa, että x 2 K kl K k. Olemme siis osoittaneet, että x 2 K k kaikilla k 2 N. Se on siis välttämättä joukon K = \ k K k alkio eikä K näin ollen ole tyhjä. 22

Koska diam(k) diam(k k ) kaikilla k 2 N ja diam(k k )! 0, kun k! 1, niin välttämättä diam(k) = 0. Tällöin K koostuu täsmälleen yhdestä pisteestä (ks. Harj 1. t. 4). Huomautus. Avaruuden R n suljettua ja rajoitettua joukkoa sanotaan kompaktiksi; Sen jokaisella jonolla on suppeneva osajono, jonka raja-arvo on joukon K alkio. 7 Vektorifunktion jatkuvuus 7.1 Perustuloksia Määritelmä 7.1. Olkoon A R n ja B R m. Kuvaus f : A! B on jatkuva pisteessä x 2 A, jos kaikille " > 0 on > 0 siten, että jjf(y) f(x)jj < " aina kun y 2 A ja jjy xjj < : Kuvaus f on jatkuva, jos se on jatkuva pisteessä x kaikille määrittelyjoukon pisteille x 2 A. Esimerkki 7.2. Olkoon f : R 3! R 2 ; (x; y; z) 7! (z; 2x + y 2 ) on jatkuva: Olkoon (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 2 R 3 ja " > 0 Tällöin joten jjf(x; y; z) jjf(x; y; z) f(x 0 ; y 0 ; z 0 )jj 2 = (z z 0 ) 2 + (2(x x 0 ) + y 2 y 2 0 )2 jz z 0 j 2 + (2jz z 0 j + jy 0 yjjy 0 + yj) 2 2 + (2 + (1 + 2jy 0 j)) 2 = (1 + (3 + 2jy 0 j) 2 2 < " 2 ; f(x 0 ; y 0 ; z 0 )jj < ", kun jj(x; y; z) (x 0 ; y 0 ; z 0 )jj < < maxf1; "= q 1 + (3 + 2jy 0 j) 2 g : Kuten ylläolevasta esimerkistä havaitaan, funktion osoittaminen jatkuvaksi suoraan määritelmää käyttäen ei aina ole kovin kätevää. Jatkossa kehitetään työkaluja, joiden avulla jatkuvuuden tarkastelu monimutkaistenkin funktioiden tilanteessa on usein helppoa ja sujuvaa. Seuraava alkeellinen esimerkki on näiden tulosten kannalta olennainen. Esimerkki 7.3. Projektiokuvaus x = (x 1 ; : : : ; x n ) 7! x i, R n! R on jatkuva kaikille i = 1; : : : ; n, sillä jx i j jjxjj, joten jx i y i j < " aina kun jjx yjj q< ". Vastaavalla tavalla todetaan myös esim. kuvaukset x 7! jjxjj, x 7! x 2 1 + x 2 4 (n 4) jne. jatkuviksi. 23

Määritelmä 7.4. Olkoon A R n, B R m ja olkoon x 2 A. Funktiolla f : A! B on pisteessä x raja-arvo c = lim y!x f(y), mikäli kaikille " > 0 on olemassa > 0 siten, että jjf(y) cjj < " aina kun y 2 A ja 0 < jjy xjj < : Huomautuksia. a) Välittömästi huomataan raja-arvon ja jatkuvuuden välinen yhteys: f : A! B on jatkuva pisteessä x 2 A jos ja vain jos lim y!x f(y) = f(x) kaikille joukon A kasautumispisteille x, joille x 2 A. b) Funktion f : A! B jatkuvuus pisteessä x 2 A voidaan esittää lyhyesti seuraavalla tavalla: f on jatkuva pistessä x jos ja vain jos kaikille " > 0 on olemassa > 0 siten, että f(a \ B(x; )) B(f(x); "). Kuten reaaliakselin R tapauksessa, raja-arvon olemassaolo ja jatkuvuus voidaan luonnehtia jonojen avulla: Lemma 7.5. Kuvauksella f : A! B on raja-arvo c 2 R m pisteessä x 2 A jos ja vain jos kaikille jonoille (x k ), joille x k 2 A n fxg kaikilla k 2 N ja lim k!1 x k = x pätee lim f(x k) = c : k!1 Kuvaus f : A! B on jatkuva pisteessä x jos ja vain jos kaikille jonoille (x k ), joille x k 2 A ja lim k!1 x k = x on voimassa lim k!1 f(x k ) = f(y). Todistus. Olkoon c = lim y!x f(y) ja x k 2 A n fxg on jono, jolle x k! x, kun k! 1. Jos " > 0, niin on olemassa > 0 siten, että jjf(y) cjj < " aina kun y 2 A ja 0 < jjy xjj < : Toisaalta, lim k!1 x k = x, ja x k 2 A n fxg, jolloin on olemassa n 0 siten, että 0 < jjx k xjj < " kaikille k k 0. Yhdistämällä nämä tiedot, havaitaan että lim k!1 f(x k ) = c. Oletetaan sitten, että c ei ole raja arvo lim y!x f(y). Tällöin on olemassa " > 0 siten, että kaikille k 2 N, voidaan valita x k 2 A\B(x; 1 k )nfxg, jolle jjf(x k) cjj > ". Huomataan, että x k! x, kun k! 1, mutta f(x k ) 9 c. Jatkuvuutta koskeva väite seuraa tästä ylläolevan huomautuksen avulla. Esimerkki 7.6. Pisteen x, jossa raja-arvon lim y!x f(y) olemassaoloa tarkastellaan ei välttämättä tarvitse olla funktion f määrittelyjoukon piste, vaan se voi olla myös reunapiste. Esimerkiksi kuvaukselle f : ]0; 1[! R, f(x) = sin x on lim x!1 f(x) = 0, mutta raja-arvoa lim x!0 f(x) ei ole olemassa, sillä f saa kaikki arvot väliltä [ 1; 1] jokaisella välillä ]0; "[]0; 1[. Esimerkki 7.7. Tutkitaan, onko funktiolla f : R 2 n f0g! R, f(x; xy y) = x 2 + y : 2 24

raja-arvoa, kun (x; y)! 0. Valitaan jonot u k = ( 1; k 0) ja v k = ( 1; 1 ). Tällöin k k lim k!1 u k = lim k!1 v k = 0, mutta lim f(u k) = lim 0 = 0 6= 1 k!1 k!1 2 = lim 1 k!1 2 = lim v k : k!1 Siispä raja-arvoa lim (x;y)!0 f(x; y) ei ole olemassa. Käytännön tilanteissa vektoriarvoisen funktion jatkuvuuden tarkastelu palautuu yleensä komponenttifunktioihin. Lemma 7.8. Olkoon A R n, x 2 A, c = (c 1 ; : : : ; c n ) 2 R n ja f = (f 1 ; : : : ; f m ) : A! R m. Tällöin lim y!x f(y) = c jos ja vain jos lim f i(y) = c i kaikille i = 1; : : : ; n : y!x Kuvaus f on jatkuva pisteessä x 2 A jos ja vain jos jokainen komponenttikuvaus f i : A! R on jatkuva pisteessä x. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa suoraan arvioista jf i (y) c i j jjf(y) cjj p m max j=1;:::;m jf j(y) c i j ; joka on voimassa kaikille i = 1; : : : ; n. Jälkimmäinen väite on puolestaan ensimmäisen väitteen suora seuraus. Vaihtoehtoisesti, tuloksen voi johtaa jonojen avulla yhdistämällä Lemmat 7.5 ja 5.5. Lemma 7.9. Olkoon A R n ja f : A! R m, g : A! R m jatkuvia pisteessä x 0 2 A. Tällöin 1. f + g : A! R m, x 7! f(x) + g(x) on jatkuva pisteessä x 0. 2. f : A! R m, x 7! f(x) on jatkuva pisteessä x 0 jokaiselle 2 R. Todistus. Sovelletaan lemmaa 7.5: Olkoon x k 2 A siten, että lim k!1 x k = x 0. Koska f ja g ovat jatkuvia pisteessä x 0, niin lim k!1 f(x k ) = f(x 0 ) ja lim k!1 g(x k ) = g(x 0 ). Jonon raja-arvon laskusääntöjen nojalla (k.s. lemma 5.2), lim (f + g)(x k) = lim f(x k ) + lim g(x k ) = f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ) ; k!1 k!1 k!1 ja edelleen lim k!1 f(x k ) = lim k!1 f(x k ) = f(x 0 ). Lemman 7.5 nojalla f + g ja f ovat siis jatkuvia pisteessä x 0. Seuraus 7.10. Jokainen lineaarikuvaus L : R n! R m on jatkuva. 25

Todistus. Muistamme, että L = (L 1 ; : : : ; L m ) : R n! R m on lineaarkuvaus jos jokaisella komponentifunktiolla L i on esitys L i (x 1 ; : : : ; x n ) = nx j=1 a i;j x j : Lemman 7.9 nojalla nämä ovat jatkuvia, joten L on jatkuva. Esimerkki 7.11. Seurauksen nojalla esimerkiksi matriisin A = 2 6 4 1 2 0 0:00007 101 22 35 55 36 p p 2 1051 määräämä lineaarikuvaus R 4! R 3, x 7! Ax on jatkuva. Seuraavaa tulosta voi soveltaa suoraan, kun n = 1, mutta lemman 7.8 avulla sitä voi hyödyntää myös vektoriarvoisen kuvauksen tilanteessa. Lemma 7.12. Olkoon A R n ja f : A! R, g : A! R jatkuvia pisteessä x 2 A. Tällöin 1. fg : A! R, x 7! f(x)g(x) on jatkuva pisteessä x. 2. f g : A n fx : g(x) = 0g on jatkuva pisteessä x (mikäli g(x) 6= 0). Todistus. Lemma 7.5 soveltuu kuten edellisenkin lemman todistuksessa. Alla on vaihtoehtoinen todistus väitteelle 1. suoraan määritelmää käyttäen. Olkoon y 2 A. Tällöin j(f g)(y) (f g)(x)j = jf(y)g(y) f(x)g(x)j = j(f(y) f(x))g(y) + f(x)(g(y) g(x))j jg(y)jjf(y) f(x)j + jf(x)jjg(y) g(x)j : Koska f ja g ovat jatkuvia pisteessä x, voidaan annetulle 0 < " < 2 valita > 0 siten, että " jg(y) g(x)j < 2jf(x)j + 2 " jf(y) f(x)j < 2jg(x)j ; + 2 aina kun jy xj <. Huomataan, että tällöin myös jg(y)j < jg(x)j + 1 (kun jy xj < ). Yhdistämällä edelläsaadut arviot, huomataan että j(fg)(y) (fg)(x)j aina kun y 2 A ja jy xj <. "(jg(x)j + 1) 2jg(x)j + 2 + "jf(x)j 2jf(x)j + 2 < " 2 + " 2 = " ; 26 3 7 5

Esimerkki 7.13. Olkoon f : R 3! R 3, f(x; y) = x + yz; 100x 13y 1 + p x 2 + y 2 ; ); y x 95 3 + jyj! : Tutkitaan onko f jatkuva. Kuvaukset (x; y; z) 7! x, (x; y; z) 7! y, (x; y; z) 7! z, (x; y; z) 7! jyj, (x; y; z) 7! p x 2 + y 2, R 3! R ovat jatkuvia (Esimerkki 7.3) Lemman 7.9 nojalla sitä ovat myös (x; y; z) 7! 100x 13y, (x; y; z) 7! 3 +jyj, (x; y; z) 7! 1 + p x 2 + y 2 Lemman 7.12 nojalla todetaan edelleen, että (x; y; z) 7! yz, x 7! x 2,..., x 7! x 95, (x; y; z) 7! x9 5 3+jyj ovat jatkuvia. Samojen tulosten nojalla nähdään edelleen, että komponenttikuvaukset 100x 13y f 1 (x; y; z) = x + yz, f 2 (x; y; z) = px ja f x 3(x; y; z) = y ovat 2 +y 2 jatkuvia. 1+ Lemman 7.8 perusteella f on jatkuva. Lemma 7.14. Olkoon A R n, B R m ja C R k. Jos f : A! B ja g : B! C on jatkuva, niin sitä on myös yhdistetty kuvaus g f : A! C. Todistus. Olkoon x 2 A ja " > 0, sekä y = f(x) 2 B. Koska g on jatkuva pisteessä y, niin on olmeassa > 0 siten, että jjg(z) g(y)jj < " ; kaikille z 2 B, joille jjz yjj <. Koska f on jatkuva pisteessä x, on olemassa > 0 siten, että jjf(u) f(x)jj <, kun u 2 A ja jju xjj <. Yhdistämällä arviot, havaitaan että jjg(f(u)) g(f(x))jj < " aina kun jju xjj <. Siten g f on jatkuva pisteessä x. Esimerkkejä. Olkoon f : R 3 n f(x; y; z) 2 R 3 : z = 0g! R 2, Onko f jatkuva? 0 f(x; y; z) = @ exp(sin5 (xy)) + cosh log jzj q 1 + x 3 + jzj Komponenttikuvaukset (x; y; z) 7! x jne. ovat jatkuvia. ; z=(jyj+1) 1 A : (x; y; z) 7! xy, (x; y; z) 7! x 3 ovat jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden tuloina jatkuvia, samoin (x; y; z) 7! z=(jyj + 1) (lineaariyhdistely + osamäärä). 27 3+jyj

q Reaalifunktiot t 7! sin t, t 7! log jtj, t 7! cosh t, t 7! jtj, t 7! exp(t), t 7! t, ovat jatkuvia. Jatkuvien kuvausten yhdistettyinä kuvauksina (x; y; z) 7! sin 5 (xy), (x; y; z) 7! log jzj, (x; y; z) 7! jzj=(jyj+1) (= f 2 (x; y; z)) ja edelleen (x; y; z) 7! cosh log jzj, (x; y; z) 7! exp(sin 5 (xy)) ovat jatkuvia. Lineaariyhdistelyn ja osamäärän avulla määritelty (x; y; z) 7! f 1 (x; y; z) on jatkuva. Koska molemmat komponenttifunktiot ovat jatkuvia, sitä on myös f. Olkoon g : R 100! R 2, Onko g jatkuva? g(x) = log(1 + jjxjj 2 ); X50 k=1 x k + exp(7x 50+k ) x 7! x k on jatkuva kaikilla k = 1; : : : ; 100, samoin x 7! jjxjj ja edelleen x 7! 7x k+1 kaikilla k. Koska t 7! log t 2, R! R on jatkuva, niin yhdistetty kuvaus x 7! log jjxjj 2 on jatkuva. Samoin jokainen x 7! exp(7x k+1. Jatkuvien kuvasten lineaariyhdistely x 7! P 50 k=1 x k + exp(7x k+1 antaa jatkuvan kuvauksen. Koska komponenttifunktiot ovat jatkuvia, sitä on myös g. Reaalifunktion analyysista muistamme, että välin I R jatkuvan bijektion f : I! f(i) käänteiskuvaus f 1 (I) on jatkuva. Vastaava tulos ei päde korkeammissa ulottuvuuksissa. Esimerkki 7.15. Olkoon f : [0; 2[! S 1 = f(x; y) 2 R 2 : x 2 + y 2 = 1g, f(x) = (sin x; cos x). Tällöin f on jatkuva bijektio. Olkoon y k = f(2 1 k ), jolloin y k! (1; 0), kun k! 1. Koska f 1 (y k ) = x k = 2 1 k 9 0 = f 1 ((1; 0)), niin f 1 ei ole jatkuva pisteessä (1; 0). Huomautus. Jatkuvaa bijektiota f : A! B, jonka käänteiskuvaus on jatkuva kutustaan homeomorfismiksi. Joukot A ja B ovat homeomorfiset, jos on olemassa homeomorfismi f : A! B. Esimerkiski R n ja B n (0; 1) ovat homeomorfisia (valitaan esim. f(x) = x=(1 + jjxjj), jolloin f 1 (x) = x=1 jjxjj). Sen sijaan esimerkiksi joukot B(0; 1) ja B(0; 2) n B(0; 1) eivät ole keskenään homeomorfisia.! 28