TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johdatu tilatotieteeee Välietimoiti TKK (c) Ilkka Melli (004) Välietimoiti: Mitä opimme? /3 Tilatollie tutkimuke tavoitteea o tehdä johtopäätökiä proeeita tai mekaimeita, jotka geeroivat reaalimaailma ilmiöitä kokevia havaitoja. Tavoitteeee pyritää raketamalla havaiot geeroieille proeeille tai mekaimeille tilatolliia malleja. Koka tilatollite tutkimuaetelmie havaitoihi liittyy aia atuaiuutta tai epävarmuutta, tilatolliia malleia käytetää todeäköiyymalleja. Tilatollie malli havaiot geeroieelle proeille tai mekaimille o täyi määrätty, jo havaitoje todeäköiyyjakauma tuetaa. Välietimoiti: Mitä opimme? /3 Tilatolliea mallia käytettävä todeäköiyyjakauma parametreja ei ovellutilateea yleeä tueta. Jakauma parametreille o löydettävä etimaatit eli arviot, jotta jakaumaa voii hyödytää mallia. Tilatollie tutkimuke tärkeimpiä oatehtäviä o etimoida eli arvioida mallia käytettävä todeäköiyyjakauma tutemattomat parametrit ilmiötä kokevita havaioita. Havaitoje fuktiota, joka tuottaa ilmiötä kokevii havaitoihi ovellettua etimaatteja eli arvioita todeäköiyyjakauma tutemattomalle parametrille, kututaa parametri etimaattoriki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 Välietimoiti: Mitä opimme? 3/3 Tilatotietee tärkeimpiä oatehtäviä o johtaa etimaattoreita todeäköiyyjakauma parametreille. Etimaattoreide johtamiee käytetää tavallieti joko uurimma ukottavuude meetelmää tai momettimeetelmää. K. lukua Etimoitimeetelmät. Todeäköiyyjakauma tutemattomie parametrie arvoje määräämitä kututaa uei pite-etimoiiki erotukeki välietimoiita, joa parametreihi liitetää luottamuväleiki kututut välit, joka iältävät parametrie todelliet arvot oveltaja valittavia olevilla todeäköiyykillä. Välietimoiti: Eitiedot Eitiedot: k. euraavia lukuja: Tilatollite aieitoje keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Etimoiti Etimoitimeetelmät Satuaimuuttujat ja todeäköiyyjakaumat Jakaumie tuuluvut Dikreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 6
TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 Välietimoiti: Liätiedot Todeäköiyyjakaumie parametreja kokevie tilatollite hypoteeie tetaamita käitellää luvua Tilatolliet tetit Jakaumaoletukie tetaamita käitellää luvua Yhteeopivuude, homogeeiuude ja riippumattomuude tetaamie Välietimoiti >> Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Parametrie etimoiti Avaiaat Etimaatti Etimaattori Etimoiti Havaito Havaitoarvo Parametri Oto Otojakauma Parametri Pite-etimoiti Tilatollie aieito Tilatollie malli Todeäköiyyjakauma Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumat tilatollite aieitoje kuvaajia Tilatollie aieito kootuu tutkimuke kohteita kuvaavie muuttujie havaituita arvoita. Tilatolliia tutkimuaetelmia havaitoihi liittyy aia epävarmuutta ja atuaiuutta. Tilatolliia tutkimuaetelmia tutkimuke kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaa atuaimuuttujiki, jotka geeroivat muuttujie havaitut arvot. Tilatolliella mallilla tarkoitetaa havaitoarvot geeroieide atuaimuuttujie todeäköiyyjakaumaa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrit / Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrit / Tarkatellaa jotaki tutkimuke kaikkie mahdollite kohteide muodotama perujouko S alkioide omiaiuutta kuvaavaa atuaimuuttujaa X. Oletetaa, että atuaimuuttuja X oudattaa todeäköiyyjakaumaa, joka pitetodeäköiyy-tai tiheyfuktio f(x ; θ) riippuu parametrita θ. Merkitä: X ~ f( x; θ ) Satuaimuuttuja X pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ) kuvaa atuaimuuttuja X todeäköiyyjakaumaa ja parametri θ kuvaa jotaki jakauma karakteritita omiaiuutta. Koka parametri θ arvoa ei ovellutilateea yleeä tueta, tilatollie tutkimuke tärkeimpiä oatehtäviä o etimoida eli arvioida tutemattomalle parametrille θ opiva arvo jakaumata f(x ; θ) poimitu otoke peruteella. TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004)
TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Ykikertaie atuaioto Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Havaiot ja havaitoarvot Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata, joka pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ) riippuu parametrita θ. Tällöi havaiot X, X,, X ovat riippumattomia, idettieti jakautueita atuaimuuttujia, joilla o ama pitetodeäköiyy- tai tiheyfuktio f(x ; θ): X, X,, X X ~ f( x; θ ), i,,, i Oletetaa, että atuaimuuttujat (havaiot) X, X,, X aavat poimitua otokea havaituiki arvoikee luvut x, x,, x Havaitoarvot x, x,, x vaihtelevat atuaieti otoketa toiee jakaumata f(x ; θ) aatavi todeäköiyyki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattorit ja etimaatit / Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattorit ja etimaatit / Oletetaa, että todeäköiyyjakauma f(x ; θ) parametri θ etimoimiee käytetää atuaimuuttujie X, X,, X fuktiota eli tuulukua T g(x, X,, X ) Tällöi fuktiota T g(x, X,, X ) kututaa parametri θ etimaattoriki ja havaitoarvoita x, x,, x lakettua fuktio g arvoa t g(x, x,, x ) kututaa parametri θ etimaatiki. Olkoo T g(x, X,, X ) jakauma f(x ; θ) parametri θ etimaattori. Tällöi etimaattori T havaitoarvoita x, x,, x lakettu arvo eli etimaatti t g(x, x,, x ) o atuaimuuttuja T arvo realiaatio otokea. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Etimaattoreide johtamie Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Pite-etimoiti ja välietimoiti Hyvie etimaattoreide johtamie todeäköiyyjakaumie tutemattomille parametreille o teoreettie tilatotietee kekeiiä ogelmia. Tärkeimmät etimaattoreide johtamiee käytettävät meetelmät: Momettimeetelmä Suurimma ukottavuude meetelmä K. lukua Etimoitimeetelmät. Todeäköiyyjakauma parametri arvo etimoitia kututaa uei pite-etimoiiki. Parametri etimaattii o aia yytä liittää luottamuväliki kututtu väli, joka iältää etimoidu parametri todellie, mutta tutemattoma arvo tietyllä, oveltaja valittavia olevalla todeäköiyydellä. määräämitä kututaa välietimoiiki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8
TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 ja luottamutao määräämie /3 Välietimoiia todeäköiyyjakauma f(x ; θ) tutemattomalle parametrille θ pyritää määräämää havaioita riippuva väli, joka tietyllä, tutkija valittavia olevalla todeäköiyydellä, peittää parametri todellie arvo. Kotruoitua väliä kututaa luottamuväliki ja valittua todeäköiyyttä kututaa luottamutaoki. Luottamutaolle voidaa ataa tulkita todeäköiyyde frekveitulkia avulla. Oletuket: (i) Olkoo f(x ; θ) atuaimuuttuja X todeäköiyyjakauma, joka määrää tutemato parametri θ. (ii) Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata f(x ; θ). (iii) Olkoo ˆ θ ˆ( θ X, X,, X ) parametri θ etimaattori. TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004) määräämie /3 määräämie 3/3 Valitaa luottamutao ja määrätää e jälkee atuaimuuttujat L L( X, X,, X) U U( X, X,, X) ite, että Pr( ˆ θ L θ) / Pr( ˆ θ + U θ) / Satuaimuuttujat L ja U riippuvat ekä havaioita X, X,, X että luottamutaota ( ). Tällöi väli ( ˆ θ L, ˆ θ + U) o parametri θ luottamuväli luottamutaolla ( ). kotruktiota euraa, että väli ( ˆ θ L, ˆ θ + U) peittää tutemattoma parametri θ todellie arvo todeäköiyydellä ( ): Pr( ˆ θ L θ ˆ θ + U) TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4
TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 määräämie: Erikoitapau Jo etimaattori θˆ jakauma o ymmetrie, parametri θ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ˆ θ ± A joa atuaimuuttuja A AX (, X,, X ) valitaa ite, että Pr( ˆ θ A θ ˆ θ + A) Satuaimuuttuja A riippuu ekä havaioita X, X,, X että luottamutaota ( ). Luottamutao ja -väli frekveitulkita Oletetaa, että luottamutaoki o valittu ( ). Luottamutaolle ja iihe liittyvälle luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata f(x ; θ)toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri θ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata f(x ; θ)toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri θ todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Johtopäätöket luottamiväleitä Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää parametri θ tutemattoma todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota parametri θ oikeata arvota. t: Eimerkkejä Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto jakaumata f(x ; θ). Tarkatellaa euraavie jakaumie parametrie luottamuvälejä: Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Välietimoiti Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 TKK (c) Ilkka Melli (004) 30
TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Eimerkki /4 Eimerkki /4 Koe tekee ruuveja, joide pituudet vaihtelevat atuaieti oudattae ormaalijakaumaa; k. eimerkkiä luvua Tilatollite aieitoje kuvaamie. Ruuvie joukota poimitaa ykikertaie atuaioto, joka koko 30 ja otokee poimittuje ruuvie pituudet mitataa. Taulukko oikealla eittää pituukie luokiteltua frekveijakaumaa. Luokkavälit Luokkafrekveit (9.85,9.90] (9.90,9.95] (9.95,0.00] 6 (0.00,0.05] 3 (0.05,0.0] 5 (0.0,0.5] 4 (0.5,0.0] 5 (0.0,0.5] 3 (0.5,0.30] Kuva oikealla eittää otokee poimittuje ruuvie pituukie luokiteltua frekveijakaumaa vataavaa hitogrammia. Luokkavälit määräävät hitogrammi uorakaiteide kaat. Suorakaiteide korkeudet o valittu ii, että uorakaiteide pita-alat uhtautuvat toiiia kute vataavat luokkafrekveit. Frekvei 7 6 5 4 3 0 Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma 9.8 9.9 0.0 0. 0. 0.3 0.4 Pituu (cm) TKK (c) Ilkka Melli (004) 3 Eimerkki 3/4 Eimerkki 4/4 Yhteeveto ototiedoita: Pituukie aritmeettie kekiarvo: X 0.09 cm Pituukie kekihajota: 0.038 cm Jo otataa toitetaa, kaikki otota kokevat tiedot (ekä havaiot että iitä laketut otouureet) vaihtelevat atuaieti otoketa toiee. Frekvei 7 6 5 4 3 0 Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma 9.8 9.9 0.0 0. 0. 0.3 0.4 Pituu (cm) Ogelma: Mitä koee tekemie ruuvie todellieta kekipituudeta voidaa tietää yhdetä otoketa aatuje tietoje peruteella? Ratkaiu: Kotruoidaa väli, joka valitulla todeäköiyydellä iältää ruuvie todellie kekipituude. Frekvei 7 6 5 4 3 0 Ruuvie pituukie luokiteltu frekveijakauma 9.8 9.9 0.0 0. 0. 0.3 0.4 Pituu (cm) TKK (c) Ilkka Melli (004) 33 TKK (c) Ilkka Melli (004) 34 Normaalijakauma ja e parametroiti Oto ormaalijakaumata Satuaimuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), jo e tiheyfuktio o x µ f( x; µσ, ) exp σ π σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotuarvo E( X ) µ ja variai Var( X ) σ Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 35 TKK (c) Ilkka Melli (004) 36
TKK (c) Ilkka Melli (004) 37 Normaalijakauma parametrie etimoiti Luottamutao Etimoidaa ormaalijakauma N(µ, σ ) parametrit µ ja σ iide harhattomilla etimaattoreilla: (i) Odotuarvoparametri µ harhato etimaattori: Xi i X (ii) Variaiparametri σ harhato etimaattori: ( Xi X) i Määrätää luottamuväli ormaalijakauma odotuarvoparametrille µ. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää ormaalijakauma odotuarvo µ todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 38 Luottamukertoimet Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet t / ja +t / ite, että Pr( t t /) Pr( t + t /) joa atuaimuuttuja t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei ( ): t t( ) Luottamukertoimet t / ja +t / toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) / / Luottamukertoimet t / ja +t / jakavat t-jakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee t / vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee +t / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide t / ja +t / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) t-jakauma tiheyfuktio / / t / 0 +t / TKK (c) Ilkka Melli (004) 39 TKK (c) Ilkka Melli (004) 40 ormaalijakauma odotuarvolle ja e pituu / Normaalijakauma odotuarvoparametri µ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa X t/, X + t/ joa X havaitoje aritmeettie kekiarvo havaitoje harhato otovariai havaitoje lukumäärä t /, +t / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet t-jakaumata vapauatei ( ) Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli luottamutaolla ( ) eitetää uei muodoa X ± t / koka väli o ymmetrie kekipiteeä X uhtee. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli pituu o t / TKK (c) Ilkka Melli (004) 4 TKK (c) Ilkka Melli (004) 4
TKK (c) Ilkka Melli (004) 43 ja e pituu / johto /7 Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli luottamutaolla ( ): t / X t / Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Olkoo X i i X havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo ja ( Xi X) i havaitoje X, X,, X (harhato) otovariai. TKK (c) Ilkka Melli (004) 44 johto /7 johto 3/7 Määritellää atuaimuuttuja X µ t Satuaimuuttuja t voidaa kirjoittaa muotoo X µ X µ X µ σ σ t σ ( ) σ Määrätää atuaimuuttuja t jakauma tarkatelemalla erikee atuaimuuttuja t ooittajaa ja imittäjää. Satuaimuuttuja t ooittaja määrittelee atuaimuuttuja X µ Z σ Satuaimuuttuja Z oudattaa ormaalijakautuee otoke aritmeettie kekiarvo otojakaumaa kokeva tuloke peruteella tadardoitua ormaalijakaumaa N(0,): Z N(0,) Satuaimuuttuja t imittäjä määrittelee atuaimuuttuja V ( ) σ Satuaimuuttuja V oudattaa ormaalijakautuee otoke variai otojakaumaa kokeva tuloke peruteella χ -jakaumaa vapauatei ( ): V χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 45 TKK (c) Ilkka Melli (004) 46 johto 4/7 johto 5/7 Edellä o todettu, että Z N(0,) V χ ( ) Liäki voidaa ooittaa, että atuaimuuttujat Z ja V ovat riippumattomia (toditu ivuutetaa). Site atuaimuuttuja X µ Z t V oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei ( ) uoraa jakauma määritelmä mukaa: t t( ) Määrätää t-jakaumata vapauatei ( ) pite +t / ite, että Pr( t + t /) jolloi (t-jakauma ymmetria peruteella) Pr( t t /) ja edellee Pr( t t + t ) / / TKK (c) Ilkka Melli (004) 47 TKK (c) Ilkka Melli (004) 48
TKK (c) Ilkka Melli (004) 49 johto 6/7 johto 7/7 Tarkatellaa epäyhtälöketjua t / t + t / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja t laueke, aadaa epäyhtälöketju X µ t / + t / Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju X t/ µ X + t/ Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( t t + t ) / / aadaa vihdoi Pr X t/ µ X + t/ TKK (c) Ilkka Melli (004) 50 frekveitulkita / frekveitulkita / Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli X t/, X + t/ kotruktiota euraa, että Pr X t/ µ X + t/ Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri µ todellie arvo todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri µ todellita arvoa todeäköiyydellä. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri µ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri µ todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 TKK (c) Ilkka Melli (004) 5 omiaiuudet /3 omiaiuudet /3 Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli kekipite X vaihtelee otoketa toiee. pituu t / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja otovariaita. lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää kavatetaa (pieeetää). lyheee (piteee), jo otovariai pieeee (kavaa). TKK (c) Ilkka Melli (004) 53 TKK (c) Ilkka Melli (004) 54
TKK (c) Ilkka Melli (004) 55 omiaiuudet 3/3 Johtopäätöket luottamuvälitä Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa odotuarvolle µ mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri µ todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri µ todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää odotuarvoparametri µ todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota odotuarvoparametri µ todellieta arvota. TKK (c) Ilkka Melli (004) 56 Eimerkki (jatkuu) /4 Eimerkki (jatkuu) /4 Erää koee tekemie ruuvie joukota poimittii ykikertaie atuaioto ja ruuvie pituudet mitattii. Otokoko: 30 Pituukie aritmeettie kekiarvo: X 0.09 cm Pituukie otokekihajota: 0.038 cm Kotruoidaa ruuvie todellielle kekipituudelle µ luottamuväli luottamutaolla 0.95. Valitaa luottamukertoimet t 0.05 ja +t 0.05 ite, että Pr( t t ) Pr( t + t ) 0.05 0.05 0.05 joa atuaimuuttuja t oudattaa Studeti t-jakaumaa vapauatei 9. Luottamukertoimet t 0.05 ja +t 0.05 toteuttavat ehdo Pr( t t + t ) 0.95 0.05 0.05 t-jakauma taulukoita ähdää, että Pr(t +.045) 0.05 Pr(t.045) 0.05 ku vapauateide lukumäärä 9 Site luottamukertoimet ovat: +t 0.05 +.045 t 0.05.045 Kuvio oikealla havaiollitaa luottamukertoimie valitaa. 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 t(9)-jakauma tiheyfuktio 0.05 0.95 0.05.045 0 +.045 TKK (c) Ilkka Melli (004) 57 TKK (c) Ilkka Melli (004) 58 Eimerkki (jatkuu) 3/4 Eimerkki (jatkuu) 4/4 ki aadaa: 0.038 X ± t / 0.09 ±.045 30 0.09 ± 0.04 (0.05,0.3) Site tiedämme, että ruuvie todellie kekipituu o todeäköiyydellä 0.95 välillä (0.05, 0.3) Luottamutao 0.95 tulkita: Oletetaa, että poimimme koee tekemie ruuvie joukota toituvati ykikertaiia atuaiotokia, joide koko o 30 ja kotruoimme jokaieta otoketa 95 %: luottamuväli edellä eitetyllä meetelmällä. Tällöi: (i) Kotruoiduta väleitä kekimääri 95 % peittää ruuvie todellie, mutta tutemattoma kekipituude. (ii) Kotruoiduta väleitä kekimääri 5 % ei peitä ruuvie todellita, mutta tutematota kekipituutta. TKK (c) Ilkka Melli (004) 59 TKK (c) Ilkka Melli (004) 60
TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Otokoo määräämie /4 Otokoo määräämie /4 Moia tutkimutilateia toivotaa, että parametrille voitaiii muodotaa mahdolliimma lyhyt luottamuväli. Normaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli pituu riippuu otokoota ite, että väli lyheee, jo havaitoje lukumäärää kavatetaa. Tämä ormaalijakauma odotuarvo µ luottamuväli omiaiuu mahdollitaa tietyi ehdoi otokoo valitemie ellaiella tavalla, että luottamuväliki aadaa (uuillee) halutu mittaie väli. Oletetaa ii, että ormaalijakauma odotuarvoparametrille µ halutaa kotruoida luottamuväli, joka toivottu pituu o A. Jo ormaalijakauma variai σ tuetaa, ormaalijakauma odotuarvoparametri µ luottamuväliki luottamutaolla ( ) aadaa σ X ± z / joa X havaitoje aritmeettie kekiarvo σ havaitoje oletettu variai otokoko z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) TKK (c) Ilkka Melli (004) 6 Otokoo määräämie 3/4 Otokoo määräämie 4/4 Jo ii käytettäviä o eakkotietoa perujouko variaita σ, voidaa otokoko ratkaita yhtälötä: σ z / A joa z / luottamutaoo ( ) liittyvä luottamukerroi ormaalijakaumata N(0,) σ havaitoje oletettu variai otokoko A toivottu pituu luottamuvälille Site tarvittava otokoko o z /σ A Tarvittava otokoo kaavata ähdää, että mitä lyhyempää luottamuväliä toivotaa, itä uurempi oto o poimittava: Eimerkiki, jo luottamuväli pituu halutaa puolittaa, pitää havaitoja kerätä 4 kertaa eemmä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 63 TKK (c) Ilkka Melli (004) 64 Välietimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti >> Normaalijakauma variai luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Avaiaat Frekveitulkita Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma TKK (c) Ilkka Melli (004) 65 TKK (c) Ilkka Melli (004) 66
TKK (c) Ilkka Melli (004) 67 Normaalijakauma variai luottamuväli Normaalijakauma ja e parametroiti Normaalijakauma variai luottamuväli Oto ormaalijakaumata Satuaimuuttuja X oudattaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ), jo e tiheyfuktio o x µ f( x; µσ, ) exp σ π σ < µ < +, σ > 0 Normaalijakauma parametreia ovat jakauma odotuarvo E( X ) µ ja variai Var( X ) σ Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa ormaalijakaumaa N(µ, σ ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 68 Normaalijakauma variai luottamuväli Normaalijakauma parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamutao Etimoidaa ormaalijakauma N(µ, σ ) parametrit µ ja σ iide harhattomilla etimaattoreilla: (i) Odotuarvoparametri µ harhato etimaattori: Xi i X (ii) Variaiparametri σ harhato etimaattori: ( Xi X) i Määrätää luottamuväli ormaalijakauma variaiparametrille σ. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää ormaalijakauma variai σ todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 69 TKK (c) Ilkka Melli (004) 70 Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamukertoimet Normaalijakauma variai luottamuväli Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet χ / ja χ / ite, että Pr( χ χ /) Pr( χ χ /) joa atuaimuuttuja χ oudattaa χ -jakaumaa vapauatei ( ): χ χ ( ) Luottamukertoimet χ / ja χ / toteuttavat ehdo Pr( χ / χ χ /) Luottamukertoimet χ ja jakavat χ / χ / -jakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee χ /vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee χ / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide χ ja / χ / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) / χ / χ -jakauma tiheyfuktio / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 7 TKK (c) Ilkka Melli (004) 7
TKK (c) Ilkka Melli (004) 73 Normaalijakauma variai luottamuväli ormaalijakauma variaille Normaalijakauma variai luottamuväli ja e pituu Normaalijakauma variaiparametri σ luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) ( ), χ/ χ / joa havaitoje harhato otovariai havaitoje lukumäärä χ /, χ / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet χ -jakaumata vapauatei ( ) Normaalijakauma variai σ luottamuväli pituu o ( ) χ / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 74 Normaalijakauma variai luottamuväli johto /5 Normaalijakauma variai luottamuväli johto /5 Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto ormaalijakaumata N(µ, σ ) Olkoo X i i X havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo ja ( Xi X) i havaitoje X, X,, X (harhato) otovariai. Määritellää atuaimuuttuja ( ) χ σ Satuaimuuttuja χ oudattaa ormaalijakautuee otoke variai otojakaumaa kokeva tuloke peruteella χ -jakaumaa vapauatei ( ): χ χ ( ) TKK (c) Ilkka Melli (004) 75 TKK (c) Ilkka Melli (004) 76 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 3/5 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 4/5 Määrätää χ -jakaumata vapauatei ( ) pite χ /ite, että Pr( χ χ /) ja pite χ / ite, että Pr( χ χ /) jolloi Pr( χ / χ χ/) Tarkatellaa epäyhtälöketjua χ / χ χ / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja χ laueke, aadaa epäyhtälöketju ( ) χ / χ / σ Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju ( ) ( ) σ χ / χ / TKK (c) Ilkka Melli (004) 77 TKK (c) Ilkka Melli (004) 78
TKK (c) Ilkka Melli (004) 79 Normaalijakauma variai luottamuväli johto 5/5 Normaalijakauma variai luottamuväli frekveitulkita / Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( χ χ χ ) / / aadaa vihdoi ( ) ( ) Pr σ χ/ χ / Normaalijakauma variai σ luottamuväli ( ) ( ), χ/ χ / kotruktiota euraa, että ( ) ( ) Pr σ χ/ χ / Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri σ todellie arvo todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri σ todellita arvoa todeäköiyydellä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 80 Normaalijakauma variai luottamuväli frekveitulkita / Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet /3 Normaalijakauma odotuarvo σ luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri σ todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata N(µ, σ ) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri σ todellita arvoa. Normaalijakauma variai σ luottamuväli pituu ( ) χ / χ / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja otovariaita. TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 TKK (c) Ilkka Melli (004) 8 Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet /3 Normaalijakauma variai luottamuväli omiaiuudet 3/3 lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo otovariai pieeee (kavaa). Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa variaiparametrille σ mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii amaaikaieti mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri σ todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri σ todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. TKK (c) Ilkka Melli (004) 83 TKK (c) Ilkka Melli (004) 84
TKK (c) Ilkka Melli (004) 85 Normaalijakauma variai luottamuväli Johtopäätöket luottamuvälitä Välietimoiti Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää variaiparametri σ todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota variaiparametri σ todellieta arvota. Todeäköiyyjakaumie parametrie etimoiti Normaalijakauma variai luottamuväli >> Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli TKK (c) Ilkka Melli (004) 86 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma ja e parametroiti Avaiaat Beroulli-jakauma Frekveitulkita Kekeie raja-arvolaue Luottamukerroi Luottamutao Normaalijakauma Satuaimuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa Ber(p), jo e pitetodeäköiyyfuktio o x x f( x; p) p ( p), x 0,;0< p< Olkoo A o kiiotuke kohteea oleva tapahtuma ja, jo A tapahtuu X 0, jo A ei tapahdu Tällöi X Ber( p) ja jakauma aioaa parametria o tapahtuma A todeäköiyy p Pr(A) E(X) TKK (c) Ilkka Melli (004) 87 TKK (c) Ilkka Melli (004) 88 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Oto Beroulli-jakaumata Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto Beroulli-jakaumata Ber(p) Tällöi atuaimuuttujat X, X,, X ovat riippumattomia ja oudattavat amaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri etimoiti / Etimoidaa Beroulli-jakauma Ber(p) odotuarvoparametri p e harhattomalla etimaattorilla: X i i TKK (c) Ilkka Melli (004) 89 TKK (c) Ilkka Melli (004) 90
TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametri etimoiti / Koka, jo A tapahtuu X i 0, jo A ei tapahdu ii X f i i joa f o tapahtuma A frekvei otokea. Site Beroulli-jakauma parametri p etimaattori f Xi i o tapahtuma A uhteellie frekvei otokea. Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamutao Määrätää luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvoparametrille p. Valitaa luottamutaoki Luottamutao kiiittää todeäköiyyde, jolla kotruoitava luottamuväli peittää Beroulli-jakauma parametri p todellie arvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 9 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamukertoimet Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Luottamukertoimie määräämie: Havaiollitu Olkoo valittu luottamutao ( ). Määrätää luottamukertoimet z / ja +z / ite, että Pr( z z /) Pr( z + z /) joa atuaimuuttuja z oudattaa tadardoitua ormaalijakaumaa: z N(0,) Luottamukertoimet z / ja +z / toteuttavat ehdo Pr( z z + z ) / / Luottamukertoimet z / ja +z / jakavat ormaalijakauma tiheyfuktio kuvaaja alle jäävä todeäköiyymaa ( ) kolmee oaa: () Pitee z / vaemmalle puolelle jää / % maata. () Pitee +z / oikealle puolelle jää / % maata. (3) Piteide z / ja +z / välii jää ( ) % maata. Huomaa, että / + / + ( ) 0.5 0.4 0.3 0. 0. 0 N(0,)-jakauma tiheyfuktio / / z / 0 +z / TKK (c) Ilkka Melli (004) 93 TKK (c) Ilkka Melli (004) 94 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Beroulli-jakauma odotuarvolle Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli ja e pituu / Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p p z p+ z/ joa ˆp parametri p harhato etimaattori havaitoje lukumäärä z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ) eitetää uei muodoa ( ) ± z / koka väli o ymmetrie kekipiteeä ˆp uhtee. Beroulli-jakauma parametri p approkimatiivie luottamuväli pituu o ( ) z / TKK (c) Ilkka Melli (004) 95 TKK (c) Ilkka Melli (004) 96
TKK (c) Ilkka Melli (004) 97 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli ja e pituu / Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto /5 Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p approkimatiivie luottamuväli luottamutaolla ( ): z / ( ) ˆp z / ( ) Olkoo X, X,, X ykikertaie atuaioto Beroulli-jakaumata Ber(p) Olkoo Xi i harhato etimaattori parametrille p. Huomaa, että ˆp o havaitoje X, X,, X aritmeettie kekiarvo. TKK (c) Ilkka Melli (004) 98 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto /5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 3/5 Määritellää atuaimuuttuja p z ( ) Satuaimuuttuja z oudattaa Beroulli-jakautuee otoke uhteellie ouude otojakaumaa kokeva tuloke peruteella uuria otokia approkimatiivieti tadardoitua ormaalijakaumaa N(0,) : z a N(0,) K. lukua Kovergeikäitteet ja raja-arvolaueet. Määrätää ormaalijakaumata N(0,) pite +z / ite, että Pr( z + z /) jolloi (ormaalijakauma ymmetria peruteella) Pr( z z /) ja edellee Pr( z z + z ) / / TKK (c) Ilkka Melli (004) 99 TKK (c) Ilkka Melli (004) 00 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 4/5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli johto 5/5 Tarkatellaa epäyhtälöketjua z / z + z / Sijoittamalla tähä epäyhtälöketjuu atuaimuuttuja z laueke, aadaa epäyhtälöketju p z / + z / ( ) Tätä epäyhtälöketjuta aadaa e kaa yhtäpitävä epäyhtälöketju ( ) ( ) z ˆ / p p+ z/ Yhditämällä aatu epäyhtälö iihe, että Pr( z z + z ) a / / aadaa vihdoi ( ) ( ) Pr z ˆ / p p+ z / a TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 TKK (c) Ilkka Melli (004) 0
TKK (c) Ilkka Melli (004) 03 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli frekveitulkita / Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli frekveitulkita / Beroulli-jakauma parametri p luottamuväli ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p p z p+ z/ kotruktiota euraa, että p ˆ ( p ˆ ) p ˆ ( p ˆ ) Pr z / p + z / a Site kotruoitu luottamuväli peittää parametri p todellie arvo approkimatiivieti todeäköiyydellä ( ) ja e ei peitä parametri p todellita arvoa approkimatiivieti todeäköiyydellä. Beroulli-jakauma parametri p approkimatiivielle luottamuvälille voidaa ataa euraava frekveitulkita: (i) Jo otataa jakaumata Ber(p) toitetaa, kekimääri 00 ( ) % otokita kotruoiduita luottamuväleitä peittää parametri p todellie arvo. (ii) Jo otataa jakaumata Ber(p) toitetaa, kekimääri 00 % otokita kotruoiduita luottamuväleitä ei peitä parametri p todellita arvoa. TKK (c) Ilkka Melli (004) 04 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet /3 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet /3 Beroulli-jakauma parametri p luottamuväli kekipite ˆp vaihtelee otoketa toiee. pituu ( ) z / vaihtelee otoketa toiee. pituu riippuu valituta luottamutaota ( ), havaitoje lukumäärätä ja etimaattorita ˆp. lyheee (piteee), jo luottamutaoa ( ) pieeetää (kavatetaa). lyheee (piteee), jo havaitoje lukumäärää kavatetaa (pieeetää). o lyhimmillää, ku 0 tai o piimmillää, ku p ˆ TKK (c) Ilkka Melli (004) 05 TKK (c) Ilkka Melli (004) 06 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli omiaiuudet 3/3 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Johtopäätöket luottamuvälitä Olii toivottavaa pytyä kotruoimaa parametrille p mahdolliimma lyhyt luottamuväli, joho liittyvä luottamutao olii amaaikaieti mahdolliimma korkea. Vaatimute amaaikaie täyttämie ei ole kuitekaa mahdollita, jo otokoko pidetää kiiteää: (i) Luottamutao kavattamie pidetää luottamuväliä, jolloi tieto parametri p todellie arvo ijaiita tulee epätarkemmaki. (ii) lyhetämie pieetää luottamutaoa, jolloi tieto parametri p todellie arvo ijaiita tulee epävarmemmaki. Oletetaa, että teemme johtopäätöke, että kotruoitu luottamuväli peittää odotuarvoparametri p todellie arvo: (i) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o oikea 00 ( ) %:a tapaukia. (ii) kotruktiota euraa, että tehty johtopäätö o väärä 00 %:a tapaukia. Virheellie johtopäätöke mahdolliuutta ei aada häviämää, ellei luottamuväliä tehdä äärettömä leveäki, jolloi väli ei eää iällä iformaatiota odotuarvoparametri p todellieta arvota. TKK (c) Ilkka Melli (004) 07 TKK (c) Ilkka Melli (004) 08
TKK (c) Ilkka Melli (004) 09 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie /5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie /5 Moia tutkimutilateia toivotaa, että parametri luottamuväli aataiii mahdolliimma lyhyeki. Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p luottamuväli pituu riippuu otokoota ite, että väli lyheee, jo havaitoje havaitoje lukumäärää kavatetaa. Tämä odotuarvoparametri p luottamuväli omiaiuu mahdollitaa tietyi ehdoi otokoo valia ii, että luottamuvälitä tulee (uuri piirtei) toivotu mittaie. Oletetaa ii, että Beroulli-jakauma odotuarvoparametrille p halutaa kotruoida luottamuväli, joka toivottu pituu o A Beroulli-jakauma odotuarvoparametri p luottamuväli luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) ± z / joa ˆp parametri p harhato etimaattori havaitoje lukumäärä z /, +z / luottamutaoo ( ) liittyvät luottamukertoimet ormaalijakaumata N(0,) TKK (c) Ilkka Melli (004) 0 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 3/5 Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 4/5 Jo ii käytettäviä o eakkotietoa parametrita p, voidaa otokoko ratkaita yhtälötä: p( p) z / A joa z / luottamutaoo ( ) liittyvä luottamukerroi ormaalijakaumata N(0,) p odotuarvo oletettu arvo otokoko A toivottu pituu luottamuvälille Site tarvittava otokoko o z / p( p) A Huomaa, että tarvittava otokoko aavuttaa makimia z / A ku p TKK (c) Ilkka Melli (004) TKK (c) Ilkka Melli (004) Beroulli-jakauma odotuarvo luottamuväli Otokoo määräämie 5/5 Tarvittava otokoo kaavata ähdää, että mitä lyhyempää luottamuväliä toivotaa, itä uurempi oto o poimittava: Jo eimerkiki luottamuväli pituu halutaa puolittaa, pitää havaitoja kerätä 4 kertaa eemmä. TKK (c) Ilkka Melli (004) 3