Luku 4 Elementtimenetelmä tasoalueessa

Luku 4 Elementtimenetelmä tasoalueessa Elementtimenetelmän yleistys useampiulotteisiin tapauksiin on sangen suoraviivaista. Kaksidimensionaalisuus mahdollistaa erilaisia elementtigeometrioita, joista tässä luvussa esitetään kolmio ja nelikulmio. Geometrian kuvaaminen mahdollistaa mielivaltaisten alueiden analysoimisen. Isoparametrisissa elementeissä elementin geometriaa kuvataan samoilla interpolaatiofunktioilla kuin itse ratkaistavaa suuretta. Luvussa sovelletaan elementtimenetelmää kvasiharmoonisen yhtälön ratkaisuun. 4. Kvasiharmoninen yhtälö Elementtimenetelmää olisi tuskin kehitetty alkua pidemmälle, jollei sen yleistäminen useampiulotteisiin tapauksiin ja mutkikkaisiin geometrioihin olisi ollut mahdollista. Tarkastellaan seuraavassa ns. kvasiharmonisen yhtälön (D u)+cu = f (4.) ratkaisua elementtimenetelmällä. Tällä yhtälöllä on näennäisestä yksinkertaisuudesta huolimatta suuri merkitys fysikaalisten ongelmien mallinnuksessa. Taulukossa 4. on esitetty yhtälön (4.) tärkeimpiä sovellutusalueita ja suureiden merkityksiä. Mikäli yhtälön (4.) kerroin c on negatiivinen vakio ja lähdetermi f = 0, on yhtälö ominaisarvotehtävä, jota kutsutaan myös Helmholtzin yhtälöksi. Otetaan esimerkkinä kvasiharmonisesta yhtälöstä lämmön siirtymistä johtumalla kuvaava osittaisdifferentiaaliyhtälö, jossa lämmönlähde ei riipu lämpötilasta itsestään (c = 0) kaksidimensioisessa alueessa Ω reunaehdoilla (D u) = f (4.) u = u s, reunan S osalla S u, (4.) q = q s, reunan S osalla S q. (4.4) 7

74 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Taulukko 4. Kvasiharmonisen yhtälön (D u)+cu = f sovellutusalueita. Fysikaalinen Suureen Materiaaliongelma Suure tulkinta lain nimitys lämmönjohtuminen u lämpötila q = D u (c = 0) D lämmönjohtavuudet = lämpövuo f lämmönlähteen antoisuus Fourier diffuusio u konsentraatio q = D u (c = 0) D diffuusiokertoimet = vuo f lähteen antoisuus Fick suotovirtaus u hydraulinen korkeus q = D u (c = 0) D vedenläpäisykertoimet = virtavuo f virtauslähteen antoisuus Darcy st. sähkökenttä u jännite q = D u eristeessä D permittiivisyys = sähkövuon tiheys (c = 0) f sähkövarauksen antoisuus - virtastationääri tila u jännite q = D u johteessa D sähkönjohtavuus virrantiheys (c = 0) f sähkövarauksen antoisuus Ohm kitkattoman ja kokoon- u nopeuspotentiaali v = u puristumattoman nesteen D = I = nopeusvektori pyörteetön virtaus (c = 0) f virtauslähteen antoisuus () kalvon taipuma u poikittainen taipuma (c = 0) D = I f = p/s paine/kalvon jännitys massiivipoikkileikkausten u Prandtlin jännitysfunktio vapaa vääntö (c = 0) D = G I G=leikkausmoduuli (B. de St. Venant/L. Prandtl) f = θ θ= vääntymä matalan veden seisova u aallonkorkeus perustilaan aaltoliike (Seiche-aalto) D = hi h = veden syvyys perustilassa f = 0 c = 4π gt g = painovoiman kiihtyvyys T värähdysliikkeen jaksonaika akustiset värähtelyt u paineen muutos perustilaan f = 0 c = (w/v) w = aaltoliikkeen taajuus v aallon nopeus väliaineessa () ei ole materiaalilaki Lämpövuo q on yhteydessä lämpötilan gradienttiin konstitutiivisen yhteyden q = D u, (4.5) välityksellä. Yhtälö (4.) voidaan siis kirjoittaa myös muodossa q = f, (4.6) Versio: kevät 04

4.. Kvasiharmoninen yhtälö 75 josta kertomalla painofunktioilla û ja integroimalla alueen Ω yli seuraa û qda = ûfda. (4.7) Ω Osittaisintegroimalla ja käyttämällä Gaussin lausetta ensimmäiseen termiin, saadaan muoto ûq nds ( û) T qda = ûfda. (4.8) S Ω Ottamalla huomioon se, että testifunktio häviää reunan osalla S u (u s = 0) ja lämpövuo on annettu reunan osalla S q (q = q s ) sekä sijoittamalla yhtälöön materiaalilaki (4.5), päädytään lopulliseen muotoon ( û) T D uda = ûfda ûq s nds, (4.9) Ω Ω S q joka on yhtälön (4.) heikko muoto. Otetaan käyttöön elementtimenetelmän mukainen kantafunktiojärjestelmä N i (x,y), i =,...,n, missä n on solmupisteiden lukumäärä ratkaisualueessa. Funktio u ja painofunktio û voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa kantafunktioista N i seuraavasti: Ω Ω u = Nu, û = Nû, (4.0) missä pystyvektorit u ja û sisältävät u:n ja û:n vapausasteet, jotka ovat tässä tapauksessa suureiden solmupistearvot koko alueessa Ω. Käytetään gradienttioperaattorin diskreetille vastineelle merkintää B = N. (4.) Suorakulmaisessa kaksiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa gradienttioperaattori on muotoa [ ] T =, (4.) x y jolloin B = N = x N y N = [ N,x N,y ]. (4.) Nyt heikko muoto (4.9) voidaan kirjoittaa muodossa ( ) û T ΩB T DBdAu N T fda+ N T q s nds = 0. (4.4) Ω S q Koska painofunktiot ovat mielivaltaisia, on oltava B T DBdAu N T fda+ N T q s nds = 0. (4.5) Ω Ω S q Versio: kevät 04

76 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Koska elementtimenetelmän kantafunktiot ovat paikallisia vain elementin alueella Ω (e) määriteltyjä funktioita, voidaan integrointi suorittaa elementeittäin ja merkitään elementin jäykkyysmatriisia K (e) = B T DBdA. (4.6) Ω (e) Osittamalla diskreetti gradienttimatriisi B elementin paikallisten solmujen mukaan seuraavasti B = [ B B B m ], (4.7) voidaan diffuusioyhtälön heikko muoto lausua myös muodossa = N m e= j= N e= Ω (e) B T i DB j dau j Ω (e) N i fda e(s q) S (e) q N i q s nds, i =,...,m, (4.8) missä m on yksittäisen elementin solmupisteiden lukumäärä. Viimeisessä lausekkeessa summaus suoritetaan niiden elementtien yli, joiden reunaviiva osuu kappaleen reunan osalle S q. 4. Lineaarinen kolmioelementti Yksinkertaisin mahdollinen kaksidimensioinen elementti on lineaarinen kolmioelementti, katso kuva 4.. Lineaarisen funktion kuvaamiseen tarvitaan kolme parametria, joten funktion u interpolaatio voidaan kirjoittaa muodossa jossa u(x,y) = α +α x+α y = Pα, (4.9) P = [ x y ], α = α α α. (4.0) Sijoittamalla interpolaatioyhtälöön solmujen koordinaattien arvot ja vastaava funktion u arvo päädytään kolmen tuntemattoman yhtälöryhmään, josta kertoimet α voidaan ratkaista, eli u u u = x y x y x y α α α, u(e) = Aα. (4.) Interpolaatio elementin e alueella voidaan nyt kirjoittaa interpolaatiofunktioiden N = PA = [ N N N ] (4.) Versio: kevät 04

4.. Lineaarinen kolmioelementti 77 y (x,y ) (x,y ) sivu sivu sivu (x,y ) x N (x,y) Kuva 4. Lineaarinen kolmioelementti. avulla muodossa u = Nu (e). (4.) Matriisin A käänteismatriisin muodostaminen onnistuu helposti, ja se on A = adja deta = A missä A on kolmion -- pinta-ala x y x y x y x y x y x y y y y y y y x x x x x x, (4.4) A = (x y +x y +x y x y x y x y ) = (x y x y ), (4.5) jossa on käytetty merkintää x ij = x i x j ja y ij = y i y j. Yhtälö (4.) voidaan nyt kirjoittaa auki muodossa u(x,y) = N (x,y)u +N (x,y)u +N (x,y)u, (4.6) jossa lineaariset interpolaatiofunktiot ovat N = (a +b x+c y)/a, N = (a +b x+c y)/a, N = (a +b x+c y)/a, (4.7a) (4.7b) (4.7c) sekä vakiot a = x y x y, b = y y, c = x x, a = x y x y, b = y y, c = x x, a = x y x y, b = y y, c = x x. (4.8) Havaitaan, että indeksit vakioiden a i,b i ja c i lausekkeissa muodostavat syklisen permutaation solmunumeroiden suhteen. Versio: kevät 04

78 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Palataan nyt hieman taaksepäin muotoon (4.5) tai (4.8). Siinä olevat elementtien osuudet ovat K (e) ij = B T i DB jda. (4.9) Ω (e) Gradienttimatriisi B saa kolmisolmuisen elementin tapauksessa muodon B = [ [ ] ] N,x N,x N,x B B B =. (4.0) N,y N,y N,y Koska interpolaatiofunktiot N,N ja N ovat lineaarisia funktioita, on matriisi B kolmisolmuisen lineaarisen kolmioelementin tapauksessa vakiomatriisi B = [ ] b b b. (4.) A c c c Tarkastellaan nyt hieman yksityiskohtaisemmin konstitutiivista yhteyttä eli materiaalilakia, joka sitoo toisiinsa lämmönjohtumisyhtälön tapauksessa lämpötilagradientin ja lämpövuon muodossa q = D u. (4.) Fysikaalisten syiden vuoksi lämpö virtaa kuumemmasta kohti kylmempää aluetta, josta seuraa miinusmerkki yllä olevaan yhtälöön. Siitä seuraa myös, että lämpötilagradientin ja lämpövuovektorin sisätulo on negatiivinen, eli ne muodostavat tylpän kulman keskenään ( u) q = ( u) T q < 0, (4.) joka on havainnollistettu myös kuvassa 4.. Sijoittamalla yllä olevaan epäyhtälöön materiaalilaki (4.) seuraa epäyhtälö ( u) T D u > 0 u 0, (4.4) joka osoittaa konstitutiivisen matriisin D olevan positiivisesti definiitin. Energiaargumenttien perusteella se on myös symmetrinen eli D = D T, (4.5) ja sen yleinen muoto kahdessa dimensiossa on: [ kxx k xy D = k xy k yy ], (4.6) jossa k xx,k xy ja k yy ovat lämmönjohtumiskertoimia. Mikäli koordinaattiakselit yhtyvät materiaalin pääsuuntiin, saadaan ortotrooppisen aineen konstitutiivinen yhteys [ ] kxx 0 D =. (4.7) 0 k yy Versio: kevät 04

4.. Alakoordinaatit 79 q kylmä u kuuma Kuva 4. Lämpövuovektori q ja lämpötilagradientti u. Materiaalia kutsutaan isotrooppiseksi, mikäli sen ominaisuudet ovat jokaisessa suunnassa samanlaiset. Tällöin materiaalilaki yksinkertaistuu muotoon [ ] [ ] k 0 0 D = = k = ki. (4.8) 0 k 0 Koordinaatiston muunnoksella voidaan matriisin D täysi muoto (4.6) aina saattaa diagonaaliseen muotoon (4.7). Tämä on laskentateknisesti edullista, sillä tällöin jäykkyysmatriisia muodostettaessa suoritettavien kertolaskujen määrä vähenee huomattavasti. Kolmisolmuisen lineaarisen kolmioelementin jäykkyysmatriisi voidaan kvasiharmonisen yhtälön tapauksessa kirjoittaa auki eksplisiittisesti: ( K (e) = B T DBdA = kxx N Ț x N,x +k yy N Ț y N ),y da Ω (e) Ω (e) = k xx 4A (e) f (e) = fa(e) b b b b b b b b b b b b b b b + k yy 4A (e) c c c c c c c c c c c c c c c. (4.9) Kuormitusvektori on tasan jakautuneen lämmönlähteen ja reunoille tasan jakautuneen lämpövuon tapauksessa q n s +q n s q n s +q n s q n s +q n s, (4.40) jossa q ni viittaa reunaehtona annetun lämpövuon normaalikomponenttiin sivulla i, ja vastaavasti s i on sivun i pituus, katso kuva 4.. 4. Alakoordinaatit Ajatellaan kolmio -- jaetuksi kolmeen osa-alueeseen joiden pinta-alat ovat A,A ja A ja jotka kohtaavat pisteessä P, katso kuva 4.4. Kolmion luonnolliset eli alakoordinaatit määritellään suhteina Kutsutaan myös barysentrisiksi koordinaateiksi. L = A A, L = A A, L = A A, (4.4) Versio: kevät 04

80 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa y q sivu q sivu sivu q x Kuva 4. Kolmion sivujen numerointi ja lämpövuon normaalikomponentit. y L P L L x Kuva 4.4 Alakoordinaatit. jossa A on kolmion -- pinta-ala. Koordinaatit L,L ja L eivät ole riippumattomia, sillä niitä sitoo rajoiteyhtälö L +L +L =. (4.4) Alakoordinaatit voidaan tulkita myös etäisyyssuhteina. Esimerkiksi koordinaatin L tasa-arvoviivat on piirretty kuvaan 4.4. Jokainen näistä viivoista on yhdensuuntainen sen sivun kanssa josta koordinaatin mittaus alkaa. Tarkastellaan lähemmin koordinaatin L lauseketta. Mielivaltaisen, kolmion -- alueella olevan pisteen P koordinaatit ovat (x,y). Kolmion P-- alaksi saadaan A = [(x x) i+(y y) j] [(x x) i+(y y) j] (4.4) i j k = x x y y 0 = [x y x y +(y y )x+(x x )y], x x y y 0 joten alakoordinaatin L lauseke on L = A A = A [x y x y +(y y )x+(x x )y] = A (a +b x+c y). (4.44) Versio: kevät 04

4.4. Korkeamman asteen kolmioelementtejä 8 Se on täsmälleen sama kuin aikaisemmin johdettu lineaarisen interpolaatiofunktion lauseke (4.7a). Vastaavasti voidaan myös johtaa alakoordinaateille L ja L samanlainen kaava ja tulos voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa L i = A (a i +b i x+c i y). (4.45) Nyt lukijalle helposti herää kysymys onko alakoordinaateista mitään etua ensin esitettyyn lähestymistapaan nähden. Lineaarisen kolmioelementin tapauksessa ne eivät tuo mitään erikoista formulaatioon, mutta korkeamman asteen elementtien yhteydessä ne helpottavat käsittelyä huomattavasti. 4.4 Korkeamman asteen kolmioelementtejä Tasoalueessa lineaarisen funktion esittäminen vaatii kolme parametriä, kvadraattisen muodon kuvaaminen vastaavasti kuusi ja kuubisen kymmenen parametria. Funktion u interpolointi kvadraattisella tai kuubisella esityksellä voitaisiin kirjoittaa muodoissa u = α +α x+α y +α 4 x +α 5 xy +α 6 y, (4.46) u = α +α x+α y +α 4 x +α 5 xy +α 6 y +α 7 x +α 8 x y +α 9 xy +α 0 y. Mikäli nyt otetaan käyttöön Lagrangen tyylinen interpolaatio tarvitaan joko kuusi tai kymmenen pistettä, joiden kautta kyseinen interpolaatio voidaan pakottaa kulkemaan. Vastaavasti, kuten lineaarisenkin elementin tapauksessa, voidaan solmuinterpolaatiofunktiot konstruoida kirjoittamalla nämä yhtälöt, jolloin päädytään lineaariseen, tyyppiä (4.) olevaan yhtälösysteemiin u (e) = Aα, (4.47) jossa A on solmupisteiden koordinaateista riippuva vakiomatriisi ja josta parametrit α voidaan, ainakin muodollisesti, helposti ratkaista. Edellä kuvattu menettely on kuitenkin epäkäytännöllisen hankala. Miellyttävämpi tapa konstruoida interpolaatiofunktiot on kirjoittaa ne auki suoraan kuten yksidimensioisessa tapauksessakin käyttäen hyväksi joitain tunnettuja polynomeja. Kolmioelementit sallivat täydellisen tiettyä astetta olevan polynomin käytön kenttäsuureen interpolaatiossa. Kuvassa 4.5 on esitetty interpolaatiossa olevien kantapolynomien ja solmukonfiguraation suhdetta aina asteeseen neljä saakka. Havaitaan, että kolmannen ja sitä korkeamman asteen elementteissä joudutaan käyttämään sisäsolmuja. Niiden mukaantulo ei kuitenkaan ole haitallista, vaan päinvastoin edullista, sillä niihin liittyvät vapausasteet on mahdollista kondensoida elementtitasolla pois globaalisesta yhtälösysteemistä. Tarkastellaan yleistä tapausta, jossa kolmioelementin alueella interpolaatioon käytetään täydellistä astetta p olevaa polynomia. Elementin solmupisteet voidaan Versio: kevät 04

8 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Pascalin kolmio polynomin aste p n kolmioelementtien solmukonfiguraatiot 0 x y x xy y 6 x x y xy y x 4 x y x y xy y 4 4 0 5 Kuva 4.5 Lagrangen tyyppisen kolmioelementin interpolaatio ja solmukonfiguraatio. Kolmioelementissä on solmuja sama määrä kuin interpolaatiossa termijä (n = (p+)(p+)/). (0,0,p) i = (r,s,t) (p,0,0) (0,p,0) Kuva 4.6 Astetta p oleva kolmioelementti. määrittää kuvan 4.6 mukaisesti jakamalla kukin sivu p:n osaan. Tarkastellaan mielivaltaista solmua i, jonka kuvaamiseen tarvittavien alakoordinaattien arvot olkoot L (i),l (i) ja L (i). Määritellään solmuun i liittyvä interpolaatiofunktio N i (L,L,L ) = l r r (L )l s s (L )l t t (L ), (4.48) jossa lr r,ls s ja lt t ovat Lagrangen astetta r,s ja t olevia interpolaatiopolynomeja (.6), jossa nyt ξ:n tilalla argumenttina on alakoordinaatit L i. Lukukolmikon r,s,t arvoja sitoo tietenkin ehto r +s+t = p. (4.49) Suoritetaan yksityiskohtainen interpolaatiofunktioiden johto kvadraattiselle elementille. Solmuun liittyvä funktio on kaavan (4.48) mukaan N = l (L ). (4.50) Funktion N kulku voidaan mieltää yksiulotteisena paraabelina pitkin reunaviivaa - tai -, se kumpaa ajatellaan on yhdentekevää. Funktio saa tunnetut arvot sol- Versio: kevät 04

4.4. Korkeamman asteen kolmioelementtejä 8 mupisteissä, eli arvon solmussa ja arvon 0 solmuissa ja 4, mikäli tutkitaan kulkua viivalla -. Vastaavasti alakoordinaatin L arvot ovat,,0. Täten interpolaatiofunktion N kulku voidaan konstruoida mainittujen kolmen pisteen kautta. Kirjoitetaan funktion N interpolaatiodata vielä taulukon muodossa. Lagrangen interpolaatiopisteen # (k) 0 elementin solmun # 4 alakoordinaatin L arvo L (k) 0 N (L,L,L ) = l(l ) 0 0 6 5 4 Nyt voidaan funktio N kirjoittaa N = l (L ) = (L L (0) )(L L () ) (L () L (0) )(L () L () ) = L (L ) = L (L ). (4.5) Vastaavasti saadaan kaikille kolmion kärkien interpolaatiofunktioille samanlainen lauseke, joten parabolisen kolmioelementin solmufunktioille voidaan kirjoittaa N i = L i (L i ). (4.5) Sivujen keskisolmujen lausekkeet saadaan samalla tavalla, esimerkiksi N 4 = l (L )l (L ). (4.5) Tämä on siis lineaarinen polynomi kummankin koordinaatin L ja L suhteen. Lausekkeen muodon ymmärtämiseksi on syytä kuvitella funktion N 4 kulkua pitkin linjoja 4-5 ja 4-6, joita pitkin interpolaatiopolynomit l(l ) ja l(l ) voidaan konstruoida. Havainnollistetaan asiaa uudelleen taulukon avulla. Lagrangen interpolaatiopisteen # (k) 0 elementin solmun # 4 5 alakoordinaatin L arvo L (k) 0 N 4 (L,L,L ) = l(l )l(l ) 0 Lagrangen interpolaatiopisteen # (k) 0 elementin solmun # 4 6 alakoordinaatin L arvo L (k) 0 N 4 (L,L,L ) = l(l )l(l ) 0 Muodostetaan nyt lauseke 6 5 4 6 5 4 N 4 = l (L )l (L ) = 4L L. (4.54) Versio: kevät 04

84 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Muiden sivujen keskisolmujen lausekkeet ovat vastaavanlaisia, joten kvadraattisen elementin kuusi interpolaatiofunktiota ovat: N = L (L ), N = L (L ), N = L (L ), N 4 = 4L L, N 5 = 4L L, N 6 = 4L L. (4.55a) (4.55b) (4.55c) (4.55d) (4.55e) (4.55f) Elementin jäykkyysmatriisia muodostettaessa tarvitaan derivaattojen lausekkeita koordinaattien x ja y suhteen. Ne on helppo muodostaa ketjuderivoinnin avulla seuraavaan tapaan: x = L + L + L, x L x L x L = L + L + L, y y L y L y L (4.56a) (4.56b) jossa L i x = b i A, L i y = c i A. (4.57) Vakiot b i ja c i on annettu yhtälöissä (4.8). Yleinen lauseke interpolaatiofunktion (4.48) osuudelle l q q (L k) on q pl k j + lq q (L j= kun q, k) = j kun q = 0. (4.58) Alakoordinaattien potenssien integraaleja tarvitaan elementtimatriiseja ja vektoreita muodostettaessa, jossa seuraava kaava on hyödyllinen Ω (e) L i Lj Lk i!j!k! da = A(e) (+i+j +k)!, A(e) = ala(ω (e) ). (4.59) Yllä oleva kaava voidaan johtaa seuraavasti. Alakoordinaatit on määritelty pintaalojen suhteina kolmion P pinta-ala L = kolmion pinta-ala = ξ = l h ξ l l h = ξ (4.60) Versio: kevät 04

4.4. Korkeamman asteen kolmioelementtejä 85 ξ l h ξ l ξ P θ l ξ l h ξ Koska kaikki alakoordinaatit eivät ole riippumattomia, niille pätee ehdot L +L +L = L = L L ja reunalla -: L +L =. (4.6) Differentiaalinen alaelementti da on da = l dl sinθl dl = l h dl dl = A (e) dl dl, (4.6) missä A (e) on kolmion pinta-ala. Täten on L i Lj L k da = A(e) Ω (e) 0 L i L Integroimalla alakoordinaatin L yli antaa tuloksen L 0 L j ( L L ) k dl = L k + 0 j k + k + L j ( L L ) k+ + j k + L 0 0 L j ( L L ) k dl dl. (4.6) L L j ( L L ) k+ + j k + L j j j j + k +k + k +j 0 L j!k! (k +j)! k +j + ( L L ) k+j+ = Versio: kevät 04 0 0 L j ( L L ) k+ dl = L L j j ( L L ) k+j dl = 0 ( L L ) k+ dl = L j j!k! (k +j +)! ( L ) k+j+. (4.64)

86 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Integroimalla alakoordinaatin yli L, saadaan j!k! L i (k +j +)! ( L ) k+j+ dl 0 j!k! i = (k +j +)! k +j + i i+ L i i ( L ) k+j+i+ dl k +j +i+ 0 j!k! i! [ = (k +j +)! (k +j +) (k +j +i+) ( L ) k+j+i+] 0 i!j!k! = (k +j +i+)!. (4.65) Kokoamalla tulokset yhteen saadaan tulos (4.59). 4.5 Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa Esimerkki 4. Määritä lämpötilajakauma oheisessa neliön muotoisessa alueessa käyttäen yhtä parabolista elementtiä alueen kahdeksasosalle. Oletetaan, että materiaali on isotrooppista ja sen lämmönjohtavuuskerroin k on vakio koko alueessa. Otaksutaan lisäksi homogeeniset reunaehdot ja että lämmönlähteen antoisuus on vakio. y f = vakio globaali solmu # elementin solmu # 6 5 L L x Lasketaan elementin jäykkyysmatriisin ja kuormavektorin lausekkeet: K (e) = f (e) = B T ( DBdA = kxx N Ț xn,x +k yy N Ț ) yn,y da,(4.66) Ω (e) Ω (e) N T fda N T q s nds (nyt q s 0). (4.67) Ω (e) S q(e) Interpolaatiofunktiomatriisi N on kvadraattiselle elementille muotoa [ ] N = N N N N 4 N 5 N 6, (4.68) Versio: kevät 04

4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 87 jossa interpolaatiofunktiot on annettu yhtälöissä (4.55a). Tarvitaan derivaattojen lausekkeita: N i,x = x [L i(l i )] = (4L i ) L i x = b i A (e)(4l i ), N i+,x = ( ) x (4L L i+ il i+ ) = 4 L i x +L L i i+ = x A (e) (L ib i+ +L i+ b i ), N i,y = N i+,y = c i 4A (e)(l i ), A (e) (L ic i+ +L i+ c i ), i =,,. (4.69) Merkintä i+ tarkoittaa elementin solmunumeroa, joka seuraa solmua i vastapäivään kierrettäessä. Jäykkyysmatriisin termi K (e) on siten: K (e) ( = kxx 4(A (e) ) b +k yyc ) (6L 8L +)da (4.70) Ω (e) ( = kxx 4(A (e) ) b +k yy c ) A (e) ( 4 4 + ) ( = kxx 4A (e) b +k yy c ), jossa on käytetty kaavaa (4.59) integrointien suorittamiseen. Suorittamalla muiden termien integrointi samaan tapaan, saadaan kvadraattisen elementin jäykkyysmatriisiksi (vastaten solmupistevapausasteita u,u,...,u 6 ): 4 b 0 0 b b 0 b b 4 K (e) = k b 0 b b b b 0 xx A (e) 4 b 0 b b b b B B B B B B 4 c 0 0 c c 0 4 c c 4 c 0 c c c c 0 + k yy A (e) jossa on käytetty lyhennysmerkintöjä 4 c 0 C c c c c C C C C C, (4.7) B ij = b i +b i b j +b j, C ij = c i +c ic j +c j, B ijk = b i (b +b +b )+b j b k, C ijk = c i (c +c +c )+c j c k. (4.7a) (4.7b) (4.7c) (4.7d) Kuormitusvektoriksi saadaan f (e) = fa(e)[ 0 0 0 ] T. (4.7) Versio: kevät 04

88 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Rakenteen jäykkyysmatriisi on siten K () 66 K () 65 K () 6 K = = k A () Määritetään vakiot ja lasketaan termit K () 55 K () 5 K () (B +C ) (B +C ) (b b +c c ) (B +C ) (b b +c c ) (b +c ) b = y y = L, b = y y = L, b = y y = 0, c = x x = 0, c = x x = L, c = x x = L,.(4.74) (4.75) B = b +b b +b = 4 L, C = c +c c +c = 4 L, B = b (b +b +b )+b b = L, C = c (c +c +c )+c c = 0. (4.76a) (4.76b) (4.76c) (4.76d) Kolmion pinta-alahan on 8 L, joten yhtälösysteemiksi saadaan 6 8 0 u k 8 6 4 u 0 4 u = 4 fl 0. (4.77) Ratkaisuksi saadaan siten u = 7 60 fl /k,u = 9 60 fl /k,u = 60 fl /k = 0,075fL /k. Keskipisteen tarkka ratkaisu on u = 6 fl π 4 k m=,,5,... n=,,5,... joten virhe siinä on noin,8 %. sin( mπ)sin( nπ) (m +n )mn 0.0767fL /k. (4.78) Määritetään vielä lämpövuo x-akselilla. Lämpötilan approksimaatio elementin alueella on u = N u () +N 5 u () 5 +N 6 u () 6 = N u +N 5 u +N 6 u = ( 40 N + 9 60 N 5 + 7 60 N ) fl 6 k, (4.79) josta lämpövuo reunalla - (elementin solmunumeroita) saadaan q n = q n, (4.80) Versio: kevät 04

4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 89 jossa n on elementin sivun yksikkönormaali n = j. Täten lämpövuoksi elementin reunalla saadaan q n = k u y. (4.8) Määritetään interpolaatiofunktioiden N,N 5 ja N 6 derivaatat N y N 5 y N 6 y = = = c A ()(4L ) = L, A ()(L c +L c ) = 8 L L, (4.8) A ()(L c +L c ) = 8 L L, jossa on otettu huomioon että alakoordinaatti L saa arvon nolla pitkin reunaa. Interpolaatiofunktioiden L ja L lausekkeet reunalla ovat L = x L, L = x L, (4.8) joten lämpövuon lauseke pitkin reunaviivaa on q n = [ 0 + 9 60 6x+ 7 60 8( x)] fl = 5 (+x) fl. (4.84) Esimerkki 4. Ratkaise elementtimenetelmällä lämmönjohtumisongelma neliöalueessa (sivun pituus L) kun kuormituksena on tasa-antoinen lämmönlähde (f(x,y) = f = vakio). Reunaehdot ovat homogeeniset, eli u = 0 koko reunalla. Käytä hyväksesi symmetriaa oheisen kuvan mukaisesti ja ratkaise tehtävä käyttäen neljää lineaarista elementtiä. Määritä myös lämpövuo reunalla y = 0. Materiaali on isotrooppista ja sen lämmönjohtavuuskerroin on k. f = vakio y u u 4 u L L x Havaitaan, että elementtimatriisit elementeistä, ja 4 ovat identtiset. Täten riittää muodostaa vain elementit ja. Kolmioelementin lausekkeissa olevat b i ja c i vakiot b = y y, c = x x b = y y, c = x x (4.85) b = y y, c = x x on määritetty alla olevaan taulukkoon Versio: kevät 04

90 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa elementit,,4 elementti i b i c i b i c i -L/4 -L/4 0 -L/4 L/4 0 L/4 L/4 0 L/4 -L/4 0 Kaikkien elementtien pinta-ala on A (e) = L / ja elementtimatriisit ovat seuraavat: K () = k 0 0 + k 0 0 0 0 0 0 0 0 = k K () = k 0 0 0 0 0 0 0, (4.86) + k = k 0 0 0 0 0 0 0. (4.87) Elementtien paikallisten solmupisteiden ja kuvan globaalien solmunumeroiden välillä on seuraavan taulukon mukainen yhteys. solmu elem. - - - - - 4 Taulukosta voidaan nyt lukea globaalin jäykkyysmatriisin elementtialkiot: Globaali jäykkyysmatriisi on siten Versio: kevät 04 K = K () +K() +K(4), K = K () +K(4), K = K (4), (4.88) K = K () +K() +K(4), K = K (4), K = K (4), K = k 0 0, (4.89)

4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 9 jonka käänteismatriisi on K = k Rakenteen kuormitusvektori on 4. (4.90) f = f () +f () +f (4) = f L = fl, f = fl, (4.9) f = 96 fl. Solmupisteiden lämpötiloiksi saadaan u = fl 9 k 0.057fL k, u = 7 fl 84 k 0.044fL k, (4.9) u = 5 fl 64 k 0.078fL k. Keskipisteen tarkka ratkaisu on u = 0.0767fL /k, joten virhe on noin 6 %. Lämpövuo määritellään Fourierin lämmönjohtumislain mukaan seuraavasti q = k u. (4.9) Nyt kysyttiin lämpövuota reunalla -, jonka normaalin suunta on negatiivisen y-akselin suunta, eli n = j, joten lämpövuo reunalla - saadaan lausekkeesta Elementissä on lämpötilaratkaisu muotoa joten ja q n = q n = k u y. (4.94) u = N u = A (a +b x+c y)u, (4.95) u y = c A u = L fl 4 L 9 Vastaavasti elementille : u = N u, k = 48 fl k = 0.9fL k, (4.96) q n = 48 fl j. (4.97) u y = c A u = 7 96 fl k = 0.77fL k, (4.98) q n = 7 96 fl j. (4.99) Vuo on tietenkin vakio jokaisessa elementissä erikseen, koska kysymyksessä on lineaarinen kolmioelementti. Versio: kevät 04

9 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Esimerkki 4. Määritä ja piirrä edellisen tehtävän lämpötilan tasa-arvokäyrät u max / ja u max /, jossa u max on keskipisteen lämpötila. Lasketuista solmupistearvoista voidaan päätellä, että tasa-arvoviiva u leikkaa elementit, ja 4. Vastaavasti tasa-arvoviiva u leikkaa elementit, ja. Käydään jokainen elementti lävitse. Aloitetaan elementistä 4. Interpolaatio on jossa u(x,y) = N (x,y)u +N (x,y)u +N (x,y)u, (4.00) N i = L i = A (a i +b i x+c i y). (4.0) Vakiot b i ja c i ovat jo määritetyt edellisessä tehtävässä. Vakiot a i on määritettävä kussakin elementissä erikseen, sillä a = x y x y, a = x y x y, (4.0) a = x y x y. Elementissä 4 vakioden arvot ovat a = L /8,a = 0,a = L /6. Ratkaistavana on siis suora, joka toteuttaa Sijoittamalla lukuarvot saadaan N u u +N u u +N = u u. (4.0) = N 5 +N 7 0 +N. (4.04) Elementissä 4 alakoordinaattien lausekkeet ovat N = 6( 8 x 4L y ) 4 = 4ξ 4η, L N = 6 x 4 = 4ξ, (4.05) ( L N = 6 6 + y ) 4 = +4η, L jossa on merkitty ξ = x/l ja η = y/l. Yhtälösta (4.04) saadaan = ( 4ξ 4η) 5 +4ξ7 0 +4η 0 = 0ξ +6η. (4.06) Ratkaistaan nyt ylla olevan suoran leikkauspisteet elementin 4 reunaviivojen η = 4 ja η = ξ kanssa. Saadaan ratkaisut ξ = 0, η = 4, ja ξ = 5 6 0.9, η = 4 0.077. (4.07) Vastaavalla tavalla käydään muut elementit lävitse ja saadaan oheisen kuvan mukainen tasa-arvoviivasto. Versio: kevät 04

4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 9 y u max u max u max x Esimerkki 4.4 Määritä oheisen lineaarisen tasoelementin kuormitusvektori kun lämpövuo muuttuu lineaarisesti arvosta q arvoon q reunalla (solmuväli ). y, (4L,5L), (L,L), (5L,L) 4 x Kuvion perusteella vuovektori reunalla on ( q = q 4 5i+ ) 5j, solmussa, (4.08) ( q = q 4 5i+ ) 5j, solmussa, (4.09) ja reunan normaalivektori on n = 4 7 i+ 7 j. (4.0) Vuon normaalikomponentit reunan alku ja loppupisteessä ja ovat 9 q n = q n = 5 7 q, q n = q n = 5 7 q. (4.) Elementin kuormitusvektorin komponentit ovat f i = q n N i ds. (4.) S Solmua vastaava termi on tietenkin nolla ja muut ovat (suoritetaan integrointi Simpsonin kaavalla): f = q n 7L 6 (q n q n ) 7L = ( 9 0 q + 9 5 q ) L, (4.) f = q n 7L (q n q n ) 7L = ( 6 5 q + 8 5 q ) L. (4.4) 9 Versio: kevät 04

94 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa q n q n q n q n N 7L N 7L Esimerkki 4.5 Määritä kuubisen elementin solmuihin sidotut interpolaatiofunktiot N,N 4,N 5 ja N 0. 8 7 9 0 6 4 5 Koordinaattien L, L ja L tasa-arvoviivat ovat seuraavanlaiset. 0 0 0 Interpolaatiofunktiolla on arvo N i = 0 kaikissa muissa salmuissa paitsi solmussa i. Solmu : Etsitään kolme tasa-arvoviiva, jotka kulkevat kaikkien muiden, paitsi solmun, kautta. L = 0, L =, L = N = c L (L )(L ), ja sillä on arvosolmussa,elin (,0,0) = c ( )( ) = c = 9 (4.5) N = 9 L (L )(L ) (4.6) Versio: kevät 04

N 0 = 7L L L (4.) 4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 95 Solmu 4: Solmu 5: L = 0, L =, L = 0 N 4 = c 4 L (L )L, N 4 (,,0) = c 4 = 7 (4.7) N 4 = 7 L (L )L (4.8) L = 0, L = 0, L = N 5 = c 5 L L (L ), N 5(,,0) = c 5 = 7 (4.9) N 5 = 7 L L (L ) (4.0) Solmu 0: L = 0, L = 0, L = 0 N 0 = c 0 L L L, N 0 (,, ) = c 0 = 7 (4.) Esimerkki 4.6 Ratkaisen stationäärinen lämmönsiirto-ongelma k(u,xx +u,yy ) = f = vakio tasasivuisessa kolmiossa homogeenisilla oleellisilla reunaehdoilla u = 0. Käytä yhtä kuubista elementtiä ja määritä myös lämpövuon lauseke reunalla -. Kolmion sivun pituus on L. y 8 7 9 0 6 4 5 x Käyttäen yhtä kuubista elementtiä on ratkaistavana vain yksi tuntematon, u 0, joka voidaan ratkaista yhtälöstä K 0,0 u 0 = f 0, (4.) Versio: kevät 04

96 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa jossa K 0,0 = k (N 0,x N 0,x +N 0,y N 0,y )da, (4.4) A ja edellisen esimerkin mukaan on solmuun 0 liittyvä interpolaatiofunktio: N 0 = 7L L L. Lasketaan tarvittavat derivaatat: ( L N 0,x = 7 x L L + L x L L + L ) x L L = 7 A (b L L +b L L +b L L ) (4.5) N 0,y = 7 A (c L L +c L L +c L L ). Kerroinmatriisin alkiolle saadaan lauseke ( ) 7 [ K 0,0 = k (b L L +b L L +b L L ) A A +(c L L +c L L +c L L ) ] da ( ) 7 ( = k b A L L +b L L +b L L +b b L L L A +b b L L L +b b L L L + c-termit ) da, (4.6) käytetään kaavaa L i L j Lk da = A(e) i!j!k! A (+i+j +k)!, 0! = ( ) =k 7 b!! +b 4 4 A 6! 6! +b 6! +b b 6! + =k 7 [ (b A +c )+(b +c )+(b +c ) ]4 +b b +b b +b b +c c +c c +c c 6! = 8 k ( b 40A +c +b +c +b +c +b ) b +b b +b b +c c +c c +c c. (4.7) Kuormatermiksi saadaan f 0 = Lasketaan kertoimet ja elementin pinta-ala: Versio: kevät 04 A f7l L L da = 54Af 5! = 9 fa. (4.8) 0 b = y y = L c = x x = L b = y y = L c = x x = L b = y y = 0 c = x x = L A = L = 4 L (4.9)

4.5. Esimerkkejä diffuusioyhtälön ratkaisusta tasoalueessa 97 K 0,0 = 8 [ 4 40 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 ] k = 4 0 k (4.0) Ratkaisuyhtälö on siten 4 0 ku 0 = 9 80 L f, jonka ratkaisu on u 0 = fl 6 k. (4.) Lämpötilajakauma elementin alueella on siten: u = N 0 u 0 = 7L L L u 0. Lämpövuon lauseke on q = k u = k(u,x i + u,y j). Lämpövuon normaalikomponentti on q n = q n. Reunalla - on n = j ja L = 0, siten ( L q n = ku,y = ku 0 7 y L L + L y L L + L ) y L L L = ku 0 7L L y = 7ku c 0 A L L = fll L. (4.) Koska L = x/l ja L = x/l lämpövuon normaalikomponentin lausekkeeksi saadaan q n = fl x ( x ). (4.) L L Esimerkki 4.7 Ratkaise massiivipoikkileikkauksisen sauvan vääntojäyhyys siirtymämenetelmällä De Saint-Venantin vapaan väännön teorian mukaisesti. De Saint-Venant otaksui siirtymätilan olevan muotoa u = yφ = yzθ, v = xφ = xzθ, (4.4) w = θψ(x,y), missä φ on vääntökulma, θ = dφ/dz vääntymä ja ψ(x, y) poikkileikkauksen käyristymäfunktio. Sauvan akselin z suuntaisen tasapainoehdon perusteella saadaan soveltamalla Hooken lakia τ zx z + τ zy y = 0 (4.5) τ zx = Gγ zx = Gθ(ψ,x y), (4.6) τ zy = Gγ zy = Gθ(ψ,y +x). (4.7) Täten saadaan Laplacen yhtälö käyristymäfunktiolle: ψ,xx +ψ,yy = 0. (4.8) Versio: kevät 04

98 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Jos sauvan reunalla ei ole kuormitusta, niin reunaehto on τ n = τ zn n x +τ zy n y = 0, (4.9) missä n x ja n y ovat reunan normaalivektorin komponentit. Lausumalla jännityskomponentit siirtymien avulla reunaehto saadaan muotoon (ψ,x y)n x +(ψ,y +x)n y = 0. (4.40) Suoritetaan vääntöprobleeman likiratkaisu Galerkinin keinolla minimoimalla potentiaalienergian funktionaali Π = G(γzx +γ zy )da = G [ (ψ,x y) +(ψ,y +x) ] da. (4.4) A A Minimin välttämätön ehto on δπ = G[(ψ,x y)δψ,x +(ψ,y +x)δψ,y ]da = 0, (4.4) eli A A G(ψ,x δψ,x +ψ,y δψ,y )da+ G( yδψ,x +xδψ,y )da = 0, (4.4) A missä toinen termi saadaan osittaisintegroimalla muotoon G( yδψ,x +xδψ,y )da = G[( yδψ),x +(xδψ),y ]da A A = G( yn x +xn y )δψds. (4.44) Sijoittamalla interpolaatio ψ(x,y) = N i (x,y)ψ i saadaan elementin jäykkyysmatriisin alkioiksi lauseke K ij = G(N i,x N j,x +N i,y N j,y )da. (4.45) A Vastaavasti kuormavektorin lauseke on f i = G(yn x xn y )N i ds. (4.46) A Huomaa, että yhtälön (4.8) reunaehdot (4.9) ovat luonnolliset. Mikäli käyristymäfunktion arvoa ei sidota, on globaali jäykkyysmatriisi singulaarinen ja käyristymäfunktion arvo on vakiota vaille yksikäsitteisesti määrätty. Singulaarisen systeemin käsittelyltä vältytään, mikäli käyristymäfunktion arvo sidotaan jossain poikkileikkauksen pisteessä. Vääntöjäyhyys I t voidaan laskea yhtälöstä [ ( ψ ) ( ) ] ψ I t = Ω x y + y +x da ( = x +y +x ψ ) Ω y y ψ da = I p x i A ψ i f i. (4.47) Versio: kevät 04

4.6. Nelikulmioelementtejä 99 4.6 Nelikulmioelementtejä 4.6. Elementtiperheet Nelikulmioelementit tarjoavat vielä kolmioelementtejäkin yksinkertaisemman tavan konstruoida interpolaatiofunktioita. Tarkastellaan vainc 0 -jatkuvia elementtejä. Tässä luvussa käsitellään myös geometrian parametrista kuvaamista interpolaatiofunktioiden avulla. Näin voidaan helposti mallintaa geometrisesti monimutkaisia alueita. Tälläisten elementtien jäykkyysmatriisin ja kuormavektorin analyyttinen muodostaminen ei aina ole mahdollista, vaan joudutaan käyttämään numeerista integrointia, joten myös yleisimmät käytössä olevat numeeriset integrointimenetelmät esitellään. Tarkastellaan interpolaatiopolynomeja ns. perusneliössä, joka määritellään luonnollisten koordinaattien ξ ja η avulla seuraavasti: (ξ, η) (, ) (, ). Yksinkertaisin tapa konstruoida kaksidimensioisia interpolaatiofunktioita on käyttää suoraan yksidimensioisia Lagrangen polynomeja tulomuodossa eli N i (ξ,η) = l p a (ξ)lp (η), (4.48) jossap jap ovat interpolaation asteetξ jaη suunnissa. Mikäli interpolaation aste on sama kummassakin suunnassa (p = p = p), pitää Lagrangen tyyppinen elementti sisällään kaikki termit, joissa toisen tekijän asteluku on pienempi tai yhtäsuuri kuin p. Kaksidimensioiseen Lagrangen interpolaatioon tulevat termit on piirretty Pascalin kolmioon kuvassa 4.7, ja elementin solmukonfiguraatioita on esitetty kuvassa 4.9. Havaitaan, että interpolaation asteen kasvaessa elementtien sisäisten solmujen määrä kasvaa merkittävästi. Tätä on usein pidetty Lagrangen elementtien haittana, koska tällöin myös vapausastemäärä tarpeettomasti kasvaa, sillä approksimaatioteoreettiselta kannalta Lagrangen elementissä on turhia vapausasteita. Elementin tarkkuusominaisuudet pysyvät kertaluokalleen samoina, kun mukana ovat kaikki astetta p olevat polynomit. Lisätermit, jotka ovat esimerkiksi astetta p kummankin koordinaatin suhteen, eivät siten vaikuta ratkaisevasti elementin approksimaatioominaisuuksiin. Näillä termeillä on kuitenkin suuri merkitys elementin käyttäytymiseen, kun tarkastellaan ns. isoparametrisia elementtejä, joten ei ole syytä unohtaa Lagrangen elementtejä kahdessa (tai kolmessa) dimensiossa. On mahdollista konstruoida elementtiperhe, jossa on vähemmän vapausasteita kuin vastaavissa Lagrangen elementeissä ja jonka interpolaatiofunktiot sisältävät täydellisen astetta p olevan polynomin kahdessa dimensiossa. Tämä elementtiperhe kulkee nimellä Serendipity. Siinä kanta konstruoidaan polynomeista, jotka ovat vähintään astetta p ja jota täydennetään polynomeilla, jotka ovat muotoa ξ p η ja ξη p. Tälläinen kanta on piirretty kuvaan 4.8 ja elementtien solmukonfiguraatioita kuvaan 4.0. Blaise Pascal (6 66): ranskalainen filosofi, fyysikko, matemaatikko ja kirjailija. 654 Pascal kävi läpi vaikean henkisen kriisin jonka jälkeen hän keskittyi uskonnollisiin kysymyksiin. b Versio: kevät 04

00 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Kuva 4.7 Kuva 4.8 ξ η ξ ξη η ξ ξ η ξη η ξ 4 ξ η ξ η ξη η 4 ξ 4 η ξ η ξ η ξη 4 ξ 4 η ξ η ξ η 4 ξ 4 η ξ η 4 ξ 4 η 4 Lagrangen interpolaatio asteeseen neljä saakka. ξ η ξ ξη η ξ ξ η ξη η ξ 4 ξ η ξ η ξη η 4 ξ 4 η ξη 4 Serendipity interpolaatio asteeseen neljä saakka. 4.6. Parametrinen kuvaus Tähän asti on elementtien geometria otaksuttu joko suorista sivuista koostuviksi kolmioksi tai nelikulmioksi. Geometriaa voidaan myös interpoloida kuten itse ratkaistavaa funktiota. Mikäli elementissä on m solmua, voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa kaksidimensioisessa alueessa m m x = Ni (ξ,η)x i, y = Ni (ξ,η)y i, (4.49) i= jossa x i ja y i ovat elementin solmujen koordinaatit. Interpolaatiofunktioita N i voidaan hyvällä syyllä kutsua muotofunktioiksi. Mikäli muotofunktiot N i ovat identtiset ratkaistavan funktion (tai funktioiden) interpolaatiossa käytettyjen funktioiden kanssa, käytetään elementistä nimitystä isoparametrinen. Mikäli elementin geometriaa kuvataan muotofunktioilla, jotka ovat matalampaa astetta kuin itse ratkaistavan suureen interpolaatiopolynomit, on elementti aliparametrinen (engl. subpara- i= Kuva 4.9 Lagrangen nelikulmioelementtien solmukonfiguraatioita. Versio: kevät 04

4.6. Nelikulmioelementtejä 0 Kuva 4.0 Serendipity-nelikulmioelementtien solmukonfiguraatioita. metric). Vastaavasti käytetään nimitystä yliparametrinen (engl. superparametric), mikäli geometriaa kuvataan tarkemmin kuin itse ratkaistavia suureita. Isoparametristen elementtien käyttökelpoisuudesta ja suosiosta johtuen käytetään termiä muotofunktio yleisesti myös itse ratkaistavana olevan funktion interpolaatiofunktioista. Tarkastellaan ensin asian havainnollistamiseksi yksinkertaista parabolista janaelementtiä. Peruselementti on jana ξ-koordinaatistossa välillä (, ). Merkitään elementin koordinaatteja globaalisessa x-koordinaatistossa x,x ja x (=keskisolmu). Elementin geometrian kuvaus on siten x = N i (ξ)x i = ξ(ξ )x + ξ(+ξ)x +( ξ )x. (4.50) i= Elementin jäykkyysmatriisin ja kuormavektorin integrointia varten tarvitaan derivaatan lausekkeita x-koordinaatin suhteen: d dx = dξ ( ) d dx dxdξ = d dξ dξ = d J dξ, (4.5) jossa J on kuvauksen (4.50) mittakaavatekijä. Jotta kuvaus olisi yksikäsitteinen ja säilyttäisi suuntaisuuden, on mittakaavatekijän oltava aina positiivinen J > 0. (4.5) Tämä ehto asettaa rajoituksia elementin solmujen sijoitteluun eli siis keskisolmun sijaintiin päätesolmuihin nähden. Esimerkki 4.8 Tutki parabolisen isoparametrisen janaelementin keskisolmun sijainnin sallittua aluetta. x = 0 x x = L x Yleisyyttä menettämättä voidaan tutkia tilannetta, jossa elementin päätesolmuilla on arvot x = 0 ja x = L. Geometrian kuvaus on siten lausuttavissa kaavalla x = N L+N x, (4.5) Versio: kevät 04

0 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa ja ehto kuvauksen yksikäsitteisyydelle on josta seuraa J = dx dξ = N,ξL+N,ξ x = ( +ξ) L ξx > 0, (4.54) ξx < ( +ξ) L. (4.55) Tutkitaan erikseen tapaukset ξ > 0 ja ξ < 0, jolloin saadaan epäyhtälöt x < x > +ξ L = f(ξ)l, ξ (4.56) +ξ L = f(ξ)l. ξ (4.57) Funktion f(ξ) derivaatta on aina negatiivinen, joten f on monotonisesti laskeva funktio. Täten pätee x < f()l < f(ξ)l, f()l = 4L, (4.58) x > f( )L > f(ξ)l, f( )L = 4L. (4.59) Elementin keskisolmu ei siten saa sijaita elementin reunaneljännesten alueella. 4.6. Bilineaarinen interpolaatio Lagrangen ja Serendipity-tyyppisten elementtiperheiden alimman asteen jäsen on bilineaarisesti interpoloitu elementti. Siinä kantafunktioina ovat, ξ, η ja ξη. Interpolaatiofunktiot ovat siten N (ξ,η) = ( ξ)( η), 4 N (ξ,η) = (+ξ)( η), 4 N (ξ,η) = (+ξ)(+η), 4 N 4 (ξ,η) = ( ξ)(+η), 4 (4.60a) (4.60b) (4.60c) (4.60d) jotka voidaan kirjoittaa lyhyesti yleisessä muodossa N i (ξ,η) = 4 (+ξ iξ)(+η i η), (4.6) jossa ξ i ja η i ovat peruselementin solmun i koordinaatit. Elementin interpolaatiofunktio N on esitetty kuvassa 4.. Mikäli myös elementin geometriaa interpoloidaan funktioilla (4.6), on tuloksena isoparametrinen bilineaarinen elementti. Kuvauksen munnosmatriisi saadaan, kun tarkastellaan funktion u(x,y) = u(x(ξ,η),y(ξ,η)) (4.6) Versio: kevät 04

4.6. Nelikulmioelementtejä 0 E E Kuva 4. Lineaarinen interpolaatio tasoalueessa. derivaattojen lausekkeita peruselementin koordinaattien ξ ja η suhteen: u ξ u η joka voidaan kirjoittaa matriisimuodossa { } [ u,ξ x,ξ y,ξ = u,η x,η y,η = u x x ξ y y ξ, (4.6) = u x x η y y η, (4.64) ]{ u,x u,y } eli u,ξ = JT u,x, (4.65) jossa J on geometriakuvauksen Jacobin matriisi. Jotta kuvaus olisi yksikäsitteinen, on Jacobin matriisin determinantin oltava nollasta eroava ja jotta kuvaus säilyttäisi suuntaisuutensa on sen oltava positiivinen, eli vaaditaan detj = J > 0. (4.66) Esimerkki 4.9 Tutki oheisen bilineaarisen isoparametrisen elementin solmun sijainnin sallittua aluetta. y b (x,y ) a Elementin geometrian kuvaus kaavoja (4.60a) käyttäen on x = 4 N i (ξ,η)x i = N a+n x i= x = 4 (+ξ)[( η)a+(+η)x ], (4.67) 4 y = N i (ξ,η)y i = N y +N 4 b i= = 4 (+η)[(+ξ)y +( ξ)b]. (4.68) Monissa elementimenetelmää käsittelevissä kirjoissa kutsutaan J:n transpoosia parametrisen kuvauksen Jacobin matriisiksi. Tässä esityksessä noudatetaan kuitenkin yleisempää käytäntöä, missä kuvauksen x i = f i (y j ) Jacobin matriisi määritellään J ij = f i / y j. Versio: kevät 04

04 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Mittakaavatekijän muodostamista varten tarvitaan derivaattojen lausekkeet, jotka ovat x,ξ = 4 [( η)a+(+η)x ], y,ξ = 4 (+η)(y b), x,η = 4 (+ξ)(x a), y,η = 4 [(+ξ)y +( ξ)b], (4.69a) (4.69b) (4.69c) (4.69d) Ehto kuvauksen yksikäsitteisyydelle on josta seuraa epäyhtälö Yhtälö detj = x,ξ y,η y,ξ x,η > 0, (4.70) (+ξ)ay +(+η)bx (ξ +η)ab > 0. (4.7) (+ξ)ay +(+η)bx (ξ +η)ab = 0 (4.7) esittää laskevaa suoraa, joka leikkaa koordinaattiakselit pisteissä Ehdon (4.7) nojalla on oltava voimassa x = 0, y = ξ +η +ξ b = f (ξ,η)b, (4.7) y = 0, x = ξ +η +η a = f (ξ,η)a. (4.74) y > f (ξ,η)b kun x = 0, (4.75) x > f (ξ,η)a kun y = 0. (4.76) Funktioiden f ja f maksimiarvot ovat, kun (ξ,η) (,) (,), ja koska ehto (4.7) määrittelee suoran, on solmun sallittu alue määriteltävissä epäyhtälöillä y > b kun x = 0, (4.77) x > a kun y = 0, (4.78) y > b b a x kun 0 < x < a. (4.79) Solmun on sijaittava siten, että kuvanelikulmio on konveksi, ts. siinä ei ole sisäänpistäviä kulmia. Sallittu alue on piirretty alla olevaan kuvaan. solmun sallittu alue Versio: kevät 04

4.6. Nelikulmioelementtejä 05 (a) 4 7 (b) 4 7 8 6 8 9 6 Kuva 4. 5 5 Kvadraattisten elementtien solmunumerointi: (a) Serendipity, (b) Lagrange. 4.6.4 Bikvadraattinen ja korkeamman asteen interpolaatio Kvadraattisia elementtejä ovat bikvadraattinen 9-solmuinen Lagrangen elementti ja 8-solmuinen Serendipity eli ns. supistettu bikvadraattinen elementti. Numeroidaan elementin solmut kuvan 4. mukaisesti. Lagrangen elementin interpolaatiofunktiot ovat siten N (ξ,η) = ξ(ξ )η(η ), (4.80a) 4 N (ξ,η) = ξ(ξ +)η(η ), (4.80b) 4 N (ξ,η) = ξ(ξ +)η(η+), (4.80c) 4 N 4 (ξ,η) = ξ(ξ )η(η+), (4.80d) 4 N 5 (ξ,η) = ( ξ )η(η ), N 6 (ξ,η) = ξ(ξ +)( η ), N 7 (ξ,η) = ( ξ )η(η+), N 8 (ξ,η) = ξ(ξ )( η ), N 9 (ξ,η) = ( ξ )( η ), (4.80e) (4.80f) (4.80g) (4.80h) (4.80i) joista muutamia on esitetty kuvassa 4.. Supistettu bikvadraattinen eli 8-solmuinen elementti muodostetaan helpoimmin seuraavasti. Lähtökohtana on havainto, että sivusolmuille 5-8 voidaan ottaa Lagrangen tyyppinen interpolaatio, joka on solmun sivun suunnassa kvadraattinen ja sivua vastaan kohtisuorassa suunnassa lineaarinen N 5 (ξ,η) = ( ξ )( η), (4.8) N 6 (ξ,η) = (+ξ)( η ), (4.8) N 7 (ξ,η) = ( ξ )(+η), (4.8) N 8 (ξ,η) = ( ξ)( η ). (4.84) Nurkkasolmuja -4 vastaavat interpolaatiofunktiot voidaan konstruoida bilineaarisista ˆN i ja edellä esitetyistä interpolaatiofunktioista. Tutkitaan esimerkkinä solmun Versio: kevät 04

K K 06 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa K H = I A I E I I E L K I K Kuva 4. Lagrangen bikvadraattisia interpolaatiofunktioita. interpolaatiota. Bilineaarinen interpolaatio ˆN saa arvon solmuissa 5 ja 8, joita vastaavat funktiot (4.8a) ja (4.8d) saavat arvot. Mikäli nyt bilineaarisesta funktiosta ˆN vähennetään sopivasti N 5 :n ja N 8 :n osuus, saadaan haluttu solmujen 5 ja 8 interpolaation arvo: N = ˆN N 5 N 8. (4.85) Näin saatu interpolaatiofunktio on piirretty kuvaan 4.4. Kvadraattisen Serendipityelementin nurkkasolmuihin liittyviksi interpolaatiofunktioiksi saadaan yleisesti N i (ξ,η) = 4 (+ξ iξ)(+η i η)(ξ i ξ +η i η ), i =,...,4. (4.86) Aivan vastaavalla tekniikalla voidaan muodostaa korkeamman asteen Serendipitytyyppisiä interpolaatioita, esimerkiksi kuubiset interpolaatiofunktiot ovat: N i = (+ξ iξ)(+η i η) [ 9(ξ +η ) 0 ], kulmasolmuille, (4.87) N i = 9 (+ξ iξ)( η )(+9η i η), sivusolmuille ξ i ± ja η i = ±,(4.88) ja muita sivusolmuja vastaavat interpolaatiot saadaan vaihtamalla muuttujia. Neljännen asteen Serendipity-interpolaatioon tulee polynomin täydellisyysvaatimuksen takia mukaan yksi keskisolmu. Tähän keskisolmuun liittyvä interpolaatioksi voidaan asettaa ( ξ )( η ), joka on nolla elementin reunoilla. Versio: kevät 04

& " % D N $! 4.7. Elementtimatriisien muodostaminen 07 # = # N D > & N D = E D A # N D " _ # L = E D A #? L = E D A! _ # _ # & Kuva 4.4 Serendipity-tyyppisen elementin interpolaatiofunktion N muodostaminen. 4.7 Elementtimatriisien muodostaminen Elementin jäykkyysmatriisi on yleisessä muodossa kirjoitettuna K (e) = B T DBdΩ. (4.89) Ω (e) Kahdessa dimensiossa integrointi suoritetaan alan yli, joten dω = da. Parametrisen kuvauksen välityksellä integrointi elementin alan Ω (e) yli suoritetaankin perusneliössä (ξ, η) (, ) (, ), jolloin (4.89) muuntuu muotoon K (e) = B T DBJdξdη, (4.90) jossa J on geometriakuvauksen Jacobin matriisin determinantti eli mittakaavatekijä. Johdetaan seuraavaksi (ξ, η)-tason alkion dξdη ja (x, y)-tason alkion da välinen muunnoskaava da = det(j)dξdη = Jdξdη. (4.9) Versio: kevät 04

D N O N E H O N 08 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa N + N + H D @ D @ ) H N @ N D + D + Kuva 4.5 Parametrinen kuvaus. Tarkastellaan kuvan 4.5 kuvausta (ξ,η)-tasosta (x,y)-tasoon. Suora ξ = C = vakio kuvautuu (x,y)-tason käyräksi ξ = C ja vastaavasti suora η = C kuvautuu käyräksi. Alkioiden dx,dy ja dξ,dη välinen yhteys on ketjusäännön nojalla eli { dx dy dx = x ξ dy = y ξ } [ x,ξ x =,η y,ξ y,η Merkitään (x,y)-tason paikkavektoria OP x dξ + dη, (4.9) η y dξ + dη, (4.9) η ]{ dξ dη } = J { dξ dη } (4.94) r = x i+y j, (4.95) missä i ja j ovat koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit. Käyrien ξ = C ja η = C tangenttivektorit ovat a = r ( x dξ dξ = ξ i+ y ) ξ j dξ (4.96) ( r x b = dη dη = η i+ y ) η j dη (4.97) Pinta-ala-alkio da muodostetaan vektoritulona da = a b = a b k, (4.98) missä k on (x,y)-tasoa vastaan kohtisuora yksikkövektori. Kaavasta (4.98) seuraa 0 0 da = x,ξ y,ξ 0 x,η y,η 0 dξdη = (x,ξy,η x,η y,ξ )dξdη, (4.99) Versio: kevät 04

4.7. Elementtimatriisien muodostaminen 09 eli da = detjdξdη = Jdξdη. (4.00) Esimerkki 4.0 Muodosta suorakaiteen muotoisen isoparametrisen bilineaarisen elementin jäykkyysmatriisi kvasiharmooniselle yhtälölle. Geometrian interpolaatio on x = (N +N )a = (+ξ)a, y = (N +N 4 )b = (+η)b. (4.0) Kuvauksen Jacobin matriisin transpoosi supistuu diagonaalimatriisiksi [ ] [ ] J T x =,ξ y,ξ = a 0 x,η y,η 0 b, (4.0) jonka käänteismatriisi on yksinkertaisesti (J T ) = J T = [ a 0 0 b ], (4.0) ja determinantti J = detj = 4ab. (4.04) Kvasiharmonisen yhtälön jäykkyysmatriisille on johdettu lauseke K (e) ( = kxx N Ț x N,x +k yy N Ț y N ),y da, (4.05) Ω (e) joka tässä tapauksessa muuntuu muotoon K (e) = = Elementtimatriisin yksittäinen alkio on siis ( ) 4 k xx a NȚ ξ N 4,ξ +k yy b NȚ η N,η ( b k xx a NȚ ξ N a,ξ +k yy b NȚ ηn,η 4 abdξdη ) dξdη. (4.06) ( ) K (e) b ij = k xx a N a i,ξn j,ξ +k yy b N i,ηn j,η dξdη. (4.07) Suorittamalla integroinnit, päädytään lopputulokseen K (e) = k xxb 6a + k yya 6b. (4.08) Esimerkki 4. Muodosta kvasiharmonisen yhtälön bilineaarisen isoparametrisen elementin alkion K (e) lauseke yleisessä tapauksessa. Versio: kevät 04

0 LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Elementin alkion lauseke on K (e) = Ω (e) ( kxx N,x +k yy N,y) da. (4.09) Siirrytään peruselementin (ξ,η) koordinaatistoon, jolloin tarvitaan globaalien koordinaattiakselien suhteen ilmoitettujen derivaattojen lausekkeet ilmaistuna luonnollisten koordinaattien avulla, eli joudutaan kääntämään yhteys (4.65) { N i,x N i,y } = = x,ξ y,η y,ξ x,η [ detj [ J J J J y,η y,ξ x,η x,ξ ]{ N i,ξ N i,η ]{ } N i,ξ N i,η }, (4.0) jossa J ij :t ovat Jacobin matriisin komponentit. Lauseke (4.09) saa siten muodon K (e) = [ ( ) (4.) J N,ξ J N ( ) ],η J N,ξ +J N,η k xx +k yy J dξdη, J J jossa J = det J. Yllä olevan kaltaiset isoparametrisen elementin jäykkyysmatriisin alkiot integroidaan yleensä numeerisesti. Tähän seikkaan palataan myöhemmissä luvuissa. 4.8 Parametriset kolmioelementit Aivan vastaavaan tapaan kuin nelikulmioelementtien tapauksessa voidaan kolmioelementtien geometria kuvata parametrisesti. Mikäli interpolaatiopolynomit lausutaan alakoordinaattien suhteen, on muistettava että vain kaksi kolmesta alakoordinaatista ovat riippumattomia. Toisaalta alakoordinaatit L ja L voidaan assosioida alla olevan kuvan 4.6 mukaisen peruskolmion luonnollisiin koordinaatteihin ξ ja η. Lineaariset interpolaatiofunktiot ovat siten N = L = ξ, N = L = η, N = L = ξ η. (4.) Parametrisen kolmioelementin käsittely selvinnee seuraavasta esimerkistä. η solmu solmu solmu ξ Kuva 4.6 Peruskolmio. Versio: kevät 04

O $ "! # N 4.8. Parametriset kolmioelementit Esimerkki 4. Määritä oheisen kvadraattisen isoparametrisen kolmioelementin lämpötilan gradientti kaarevalla reunalla, kun elementin solmulämpötilat ovat u = 0,u = u = 4,u 4 = u 6 =,u 5 = 5.! # $ Koska elementti on isoparametrinen interpoloidaan geometriaa samoilla funktioilla kuin lämpötilaakin, eli x = 6 N i x i y = i= 6 N i y i, u = i= 6 N i u i, i= missä x i ja y i ovat solmun i koordinaatit, u i solmupistelämpötilat. Kvadraattiset interpolaatiofunktiot N i,i =,...,6 ovat: N i = L i (L i ), N +i = 4L i L i+ i =,,. (4.) Korjoittamalla (ξ, η)-koordinaattien avulla ne ovat N = ξ(ξ ), N = η(η ), N = ( ξ η)( ξ η), N 4 = 4ξη, N 5 = 4η( ξ η), N 6 = 4ξ( ξ η). (4.4a) (4.4b) (4.4c) (4.4d) (4.4e) (4.4f) Aivan vastaavalla tavalla kuin isoparametristen nelikulmioelementtien yhteydessä, saadaan tarvittavat derivaatat rakennekoordinaatiston koordinaattien (x, y) suhteen ketjuderivoimalla. Geometriakuvauksen Jacobin matriisin transpoosi on Versio: kevät 04 J T = x ξ x η y ξ y η (4.5)

LUKU 4. Elementtimenetelmä tasoalueessa Intepolaatiofunktioiden derivaatat reunalla, jolla ξ 0, ovat: N,ξ =, N,η = 0, N,ξ = 0, N,η = 4η, N,ξ = +4η, N,η = 4η, N 4,ξ = 4η, N 4,η = 0, N 5,ξ = 4η, N 5,η = 4 8η, N 6,ξ = 4 4η, N 6,η = 0. (4.6) Jacobin matriisin muodostamisessa tarvittavien geometriainterpolaatioiden derivaatat reunalla ovat: x 6 ξ = i= x 6 η = i= y 6 ξ = i= y 6 η = i= N i ξ x i = 4(+η)L, N i η x i = 4( η)l, N i ξ y i = L, N i η y i = 4L. (4.7a) (4.7b) (4.7c) (4.7d) Jacobin matriisi laskettuna reunalla on [ ] J T 4(+η) = L, detj = 4L, (4.8) 4( η) 4 ja sen käänteismatriisi on [ (J T ) = 4 4L 4(η ) 4(+η) ] = [ (J ) (J ) (J ) (J ) ] (4.9) Nyt voidaan laskea gradientin termit u,x = u x = u u (J ) ξ +(J ) η = (J ) 6 = 6 i= i= N i ξ u i +(J ) 6 N i η u i i= [ ] (J N i N i ) ξ +(J ) u i η = {(4η )4+[ 4(4η )+(4η )]4+ 4L +( 4 4η)+[ 4( 4η)+(4 8η)]5+[ 4(4 4η)]} = L. (4.0) Gradientin x komponentti on vakio koko reunalla. Tämä on oikein, sillä annettu lämpötilakenttä on u(x, y) = x/l, joten gradientti on vakio koko Versio: kevät 04

4.9. Hierarkinen interpolaatio kahdessa dimensiossa alueessa. Totea, että gradientin y-komponentti häviää identtisesti laskemalla tehtävä loppuun. 4.9 Hierarkinen interpolaatio kahdessa dimensiossa 4.9. Nelikulmioelementit Hierarkisia interpolaatiofunktioita voidaan muodostaa useilla tavoilla. Seuraavassa esitetään kuitenkin vain yksi mahdollinen järjestelmä, jonka peruselementtinä on bilineaarinen nelikulmioelementti. Interpolaatiofunktiot voidaan luokitella kolmeen kategoriaan: solmuinterpolaatiofunktiot, sivumuodot ja sisäiset muodot. Seuraavassa esitetään yksi tapa konstruoida Serendipity-tyyppinen hierarkinen kantajärjestelmä.. Solmumuotofunktiot ovat tavanomaiset bilineaariset interpolaatiofunktiot: N i (ξ,η) = 4 (+ξ iξ)(+η i η), i =,...,4. (4.). Sivumuotoja on astetta p olevalla elementillä 4(p ) kappaletta (p ), jotka liittyvät elementin sivujanoihin. Sivuun, katso kuva 4.6, liittyvät sivumuodot ovat N () i (ξ,η) = ( η)ψ i(ξ), i =,...,p, (4.) missä funktiot ψ i (ξ) on määritelty yhtälöillä (.). Vastaavasti muut sivumuodot ovat N () i (ξ,η) = (+ξ)ψ i(η), N () i (ξ,η) = (+η)ψ i(ξ), (4.) N (4) i (ξ,η) = ( ξ)ψ i(η), i =,...,p.. Sisäisiä muotoja on p-asteisessa Serendipity-tyyppisessä hierarkisessa interpolaatiossa (p )(p )/ kappaletta (p 4). Nämä voidaan kirjoittaa muodossa: N (0) = ψ (ξ)ψ (η), N (0) = ψ (ξ)ψ (η), N (0) = ψ (ξ)ψ (η), (4.4) N (0) 4 = ψ 4 (ξ)ψ (η), N (0) 5 = ψ (ξ)ψ (η), N (0) 6 = ψ (ξ)ψ 4 (η), jne. Versio: kevät 04