Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä f : X Y tarkoittaa, että f on kuvaus joukosta X joukkoon Y. Tässä X on kuvauksen f lähtö (eli määrittelyjoukko) ja Y on kuvauksen f maali. LM2, Kesä 2012 51/160
Oletetaan, että x X. Sitä yksikäsitteistä joukon Y alkiota, jonka kuvaus f liittää alkioon x, merkitään f (x) ja kutsutaan alkion x kuva-alkioksi. X f Y x f(x) LM2, Kesä 2012 52/160
Määritelmä Lineaarikuvaus Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Kuvaus L: V W on lineaarikuvaus, jos seuraavat ehdot pätevät kaikilla ū, v V ja c R: (a) L(ū + v) = L(ū) + L( v) (b) L(c v) = cl( v). Jos kuvaus L on lineaarikuvaus, voidaan myös sanoa, että L on lineaarinen. V L W ū v c v ū + v L(ū) L( v) L(c v) = cl( v) L(ū + v) = L(ū) + L( v) LM2, Kesä 2012 53/160
Esimerkki 18 Tarkastellaan kuvausta f : R R, f (x) = 3x. Osoitetaan, että f on lineaarikuvaus. Lineaarikuvaus f(u + v) = f(u) + f(v) f(v) Oletetaan, että u, v R ja c R. Tällöin f(u) f (u + v) = 3(u + v) = 3u + 3v 2u u v u + v = f (u) + f (v) ja f (cv) = 3(cv) = c(3v) = cf (v). f( 2u) = 2f(u) LM2, Kesä 2012 54/160
Esimerkki 19 Kuvaus, joka ei ole lineaarinen Tarkastellaan kuvausta g : R R, g(x) = x 3 2x + 1. Osoitetaan, että g ei ole lineaarikuvaus. Valitaan esimerkiksi u = 1 ja v = 2. Tällöin f (u + v) = f (1) = 0 mutta f (u) + f (v) = f ( 1) + f (2) = 2 + 5 = 7. Siis f ( 1 + 2) f ( 1) + f (2), joten f ei ole lineaarikuvaus. LM2, Kesä 2012 55/160
Lineaarikuvaus Esimerkki 20 Merkitään enintään ensimmäistä astetta olevien polynomien joukkoa P 1 = { a 1 x + a 0 a 1, a 0 R }. Osoitetaan, että kuvaus L: R 2 P 1, jolle L(a, b) = ax + b, on lineaarikuvaus. Oletetaan, että (a, b), (c, d) R 2 ja r R. Tällöin L((a, b) + (c, d)) = L(a + c, b + d) = (a + c)x + (b + d) = ax + b + cx + d = L(a, b) + L(c, d) ja L(r(a, b)) = L(ra, rb) = rax + rb = r(ax + b) = rl(a, b). LM2, Kesä 2012 56/160
Matriisi määrää lineaarikuvauksen Lause 21 Oletetaan, että A on m n -matriisi. Matriisin A määräämä kuvaus L A : R n R m, L A ( v) = A v on lineaarikuvaus. (Tässä avaruuden R n alkiot tulkitaan sarakevektoreiksi eli n 1-matriiseiksi.) Todistus. Oletetaan, että v, w R n ja c R. Nyt matriisien laskutoimitusten ominaisuuksien perusteella L A ( v + w) = A( v + w) = A v + A w = L A ( v) + L A ( w) ja L A (c v) = A(c v) = ca v = cl A ( v). Siten L A on lineaarinen. LM2, Kesä 2012 57/160
Esimerkki 22 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). LM2, Kesä 2012 58/160
Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x1 1 0 1 0 x1 L = = x x 2 x 1 + x 2 0 2 = 1 0 1 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] 1 0 0 1 määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. LM2, Kesä 2012 59/160
L L(1, 2) = (1,2) (x 1, x 2 ) L(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) (1, 2) LM2, Kesä 2012 60/160
Esimerkki 23 Matriisi määrää lineaarikuvauksen Tutkitaan, millaisen lineaarikuvauksen antavat matriisit [ ] [ ] [ ] 2 0 1 0 0 1 A =, B = ja C =. 0 1 0 1 1 0 Matriisista A saadaan kuvaus L A : R 2 R 2, L A ( v) = A v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi (2x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 2 0 x1 2x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L A venyttää vektoreita vaaka-akselin suunnassa. LM2, Kesä 2012 61/160
L A LM2, Kesä 2012 62/160
Matriisista B saadaan kuvaus L B : R 2 R 2, L B ( v) = B v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 1, x 2 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 = = 0 1 x 2 x 2 Tästä nähdään, että kuvaus L B peilaa vektorit pystyakselin suhteen. L B LM2, Kesä 2012 63/160
Matriisista C saadaan kuvaus L C : R 2 R 2, L C ( v) = C v. Avaruuden R 2 vektori (x 1, x 2 ) kuvautuu vektoriksi ( x 2, x 1 ): L [ ] x1 x 2 [ ] [ ] [ ] 0 1 x1 x2 = = 1 0 x 2 x 1 Kuvaus L C kiertää vektoreita origon ympäri 90 vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan. L C LM2, Kesä 2012 64/160
Voidaan osoittaa, että matriisin [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ määräämä lineaarikuvaus kiertää vektoreita origon ympäri kulman ϕ verran (positiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ > 0, ja negatiiviseen kiertosuuntaan, jos ϕ < 0). Matriiisi C = [ ] 0 1 1 0 on tällainen kiertomatriisi, jossa kulma ϕ = 90. LM2, Kesä 2012 65/160
Lause 24 Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Tällöin L( 0 V ) = 0 W. Todistus. Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( 0 V ) = L( 0 V + 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ). Lisätään tämän yhtälön molemmille puolille avaruuden W vektori L( 0 V ), jolloin saadaan L( 0 V ) L( 0 V ) = L( 0 V ) + L( 0 V ) L( 0 V ). Näin ollen 0 W = L( 0 V ). LM2, Kesä 2012 66/160
Määritelmä Yhdistetty kuvaus Oletetaan, että f : X Y ja g : Y Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f tarkoittaa kuvausta X Z, jolla (g f )(x) = g(f (x)) eli x g(f (x)). X f Y g Z y g(y) x f(x) g(f(x)) g f LM2, Kesä 2012 67/160
Lineaarikuvausten ominaisuuksia Lause 25 Oletetaan, että L: U V ja T : V W ovat lineaarikuvauksia. Tällöin yhdistetty kuvaus T L: U W on lineaarinen. Todistus. Oletetaan, että ū 1, ū 2 U ja a R. Tarkistetaan lineaarikuvauksen määritelmän ehdot: (a) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(ū 1 + ū 2 ) = T (L(ū 1 + ū 2 )) = T (L(ū 1 ) + L(ū 2 )) = T (L(ū 1 )) + T (L(ū 2 )) = (T L)(ū 1 ) + (T L)(ū 2 ) LM2, Kesä 2012 68/160
(b) Yhdistetyn kuvauksen määritelmän, kuvauksen L lineaarisuuden ja kuvauksen T lineaarisuuden avulla saadaan (T L)(aū 1 ) = T (L(aū 1 )) = T (al(ū 1 )) = at (L(ū 1 ))) = a(t L)(ū 1 ) LM2, Kesä 2012 69/160
Matriisien määräämien lineaarikuvausten yhdistäminen Matriisien määräämillä lineaarikuvauksilla kuvausten yhdistäminen vastaa matriisien kertomista keskenään: Lause 26 Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin L A L B = L AB eli tulomatriisin AB määräämä kuvaus L AB : R p R m on sama kuvaus kuin yhdistetty kuvaus L A L B : R p R m. LM2, Kesä 2012 70/160
Lauseen 26 todistus. Oletetaan, että v R p. Tällöin matriisien laskusääntöjen mukaan L AB ( v) = (AB) v = A(B v) = L A (B v) = L A (L B ( v)) = (L A L B )( v). Siis L AB : R p R m ja L A L B : R p R m ovat sama kuvaus. LM2, Kesä 2012 71/160
Määritelmä Osajoukon kuva Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja ja f : X Y on kuvaus. Osajoukon A X kuva kuvauksessa f on joukko Huom. f [A] = { y Y y = f (a) jollakin a A }. Kuva voidaan kirjoittaa lyhyesti myös muodossa X f Y fa = { f (a) a A }. Joukko on itsensä osajoukko: X X. A f A LM2, Kesä 2012 72/160
Aliavaruuden kuva Esimerkki 27 Tarkastellaan esimerkin 22 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, joka peilaa jokaisen pisteen vaaka-akselin suhteen: (1,2) (x 1, x 2 ) (1, 2) (x 1, x 2 ) LM2, Kesä 2012 73/160
Osoitettiin, että kuvaus L on matriisin [ ] 1 0 A = 0 1 määräämä lineaarikuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Olkoon w = (3, 1) ja W = span( w). Tällöin W on vektorin w virittämä aliavaruus; tarkemmin sanottuna origon kautta kulkeva suora: W = span( w) LM2, Kesä 2012 74/160
Aliavaruuden W kuva on L[W ] = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v W } = { ū R 2 ū = L( v) jollakin v span( w) } = { ū R 2 ū = L(t w) jollakin t R } = { L(t w) t R } = { tl( w) t R } = { t(3, 1) t R } = span ( (3, 1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä 2012 75/160
L W = span ( (3,1) ) L[W] = span ( (3, 1) ) LM2, Kesä 2012 76/160
Lineaarikuvauksen ominaisuuksia Lineaarikuvauksesssa aliavaruudet kuvautuvat aliavaruuksiksi. Lause 28 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Jos W on avaruuden V aliavaruus, niin kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. LM2, Kesä 2012 77/160
Lauseen 28 todistus. Oletetaan, että W on avaruuden V aliavaruus. Osoitetaan, että kuva L[W ] on avaruuden V aliavaruus. Oletetaan, että u, w L[W ] ja a R. Tällöin on olemassa sellaiset u, w W, että L(u) = u ja L(w) = w. (a) Tutkitaan summaa u + w käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: u + w = L(u) + L(w) = L(u + w), missä u + w W, koska W on aliavaruus ja u, w W. Siis u + w L[W ]. LM2, Kesä 2012 78/160
(b) Tutkitaan skalaarimonikertaa au käyttäen hyväksi kuvauksen L lineaarisuutta: au = al(u) = L(au), missä au W, koska W on aliavaruus ja u W. Siis au L[W ]. (c) Koska W on aliavaruus, niin 0 V W. Koska L on lineaarikuvaus, niin L( 0 V ) = 0 V lauseen 24 nojalla. Siten 0 V L[W ]. LM2, Kesä 2012 79/160
Lineaarikuvauksen ydin Määritelmä Oletetaan, että L: V W on lineaarikuvaus. Sen ydin on joukko Ker L = { v V L( v) = 0 W }. Huom. Ydin on aina joukko (ei koskaan pelkkä yksittäinen alkio). Ytimessä ovat ne vektorit, jotka kuvautuvat nollavektoriksi. Ydin ei ole koskaan tyhjä joukko, sillä nollavektori on aina ytimessä (lause 24). Ytimessä on siis ainakin yksi alkio, mahdollisesti useita alkioita. LM2, Kesä 2012 80/160
Esimerkki 29 Lineaarikuvauksen ydin Tarkastellaan kuvausta L: R 2 R 2, joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Jos (x 1, x 2 ) R 2, niin L(x 1, x 2 ) = (x 1, 0). LM2, Kesä 2012 81/160
Tulkitsemalla avaruuden R 2 alkiot 2 1 -matriiseina saadaan [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] x1 x1 1 0 1 0 x1 L = = x 0 1 + x 0 2 = 0 0 0 x 2 x 2 Siis kuvaus L on matriisin A = [ ] 1 0 0 0 määräämä kuvaus, jolla L( v) = A v kaikilla v R 2. Näin ollen L on lineaarinen lauseen 21 nojalla. Määritetään lineaarikuvauksen L ydin. LM2, Kesä 2012 82/160
Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 ydin on Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 (v 1, 0) = (0, 0) } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 } = { (0, v 2 ) v 2 R } = { v 2 (0, 1) v 2 R } = span ( (0, 1) ). LM2, Kesä 2012 83/160
Lineaarikuvauksen L ydin on siis vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L LM2, Kesä 2012 84/160
Lineaarikuvauksen ydin Esimerkki 30 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin. Huom. Ker L = { v R 2 L( v) = 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 x + v 2 = 0x + 0 } = { (v 1, v 2 ) R 2 v 1 = 0 ja v 2 = 0 } = { (0, 0) } = { 0}. Vektoriavaruuden P 1 nollavektori on nollapolynomi, jonka kaikki kertoimet ovat nollia. Sitä voidaan merkitä lyhyesti 0 tai kuten edellä 0x + 0. LM2, Kesä 2012 85/160
Lause 31 Lineaarikuvauksen ydin Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin ydin Ker L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Ker L on määritelmänsä mukaan vektoriavaruuden V osajoukko. Oletetaan, että w, ū Ker L ja c R. Tällöin L( w) = 0 V ja L(ū) = 0 V. Tarkistetaan aliavaruuden määritelmän ehdot: (a) Kuvauksen L lineaarisuuden nojalla L( w + ū) = L( w) + L(ū) = 0 V + 0 V = 0 V, joten w + ū Ker L. (b) Vastaavasti L(c w) = cl( w) = c 0 V = 0 V ja siten c w Ker L. (c) Lauseen 24 nojalla L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. LM2, Kesä 2012 86/160
Injektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on injektio, jos kaikilla a, b X yhtälöstä f (a) = f (b) seuraa, että a = b. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on injektio, jos ja vain jos kaikilla lähdön alkioilla on eri kuva-alkiot. Injektiivisen kuvauksen tapauksessa maalin kullekin alkiolle kuvautuu korkeintaan yksi lähdön alkio. LM2, Kesä 2012 87/160
Kuvaus g ei ole injektio: X g Y a b g(a) = g(b) LM2, Kesä 2012 88/160
Injektio Kuvaus h on injektio: X h Y a = b h(a) = h(b) LM2, Kesä 2012 89/160
Lineaarikuvauksen injektiivisyys Lause 32 Lineaarikuvaus L: V V on injektio, jos ja vain jos Ker L = { 0 V }. LM2, Kesä 2012 90/160
Todistus. : Oletetaan, että L on injektio. Tiedetään, että L( 0 V ) = 0 V, joten 0 V Ker L. Injektiivisyyden nojalla mikään muu alkio ei voi kuvautua neutraalialkiolle, joten ytimessä on vain yksi alkio, 0 V. : Oletetaan, että Ker L = { 0 V }. Oletetaan lisäksi, että alkioille v, w V pätee L( v) = L( w). Lisäämällä yhtälön molemmille puolille vektori L( w) saadaan L( v) L( w) = 0 V. Koska L on lineaarikuvaus, seuraa tästä, että L( v w) = 0 V. Siis v w Ker L. Koska Ker L = { 0 V }, täytyy päteä v w = 0 V. Kun tämän yhtälön molemmille puolille lisätään vektori w, saadaan v = w. On siis osoitettu, että f on injektio. LM2, Kesä 2012 91/160
Esimerkki 33 Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkin 29 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) ydin on vektorin j = (0, 1) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin j suuntainen suora: L Ker L Ker L { 0}, joten L ei ole injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä 2012 92/160
Lineaarikuvauksen injektiivisyys Esimerkki 34 Esimerkin 30 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, ydin on Ker L = { 0}, missä 0 tarkoittaa nollavektoria 0 = (0, 0) R 2. Näin ollen L on injektio lauseen 32 nojalla. LM2, Kesä 2012 93/160
Lineaarikuvauksen kuva Määritelmä Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen L kuva on joukko Im L = { L( v) v V }. Huom. Lineaarikuvauksen kuva on erityistapaus aiemmin määritellystä osajoukon kuvan käsitteestä. Aiemman määritelmän merkinnöillä Im L = L[V ]. LM2, Kesä 2012 94/160
Esimerkki 35 Lineaarikuvauksen kuva Tarkastellaan esimerkin 29 lineaarikuvausta L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0), joka projisoi jokaisen pisteen vaaka-akselille: (1,2) (1,0) (x 1,0) (x 1, x 2 ) Määritetään lineaarikuvauksen L kuva. LM2, Kesä 2012 95/160
Lineaarikuvauksen L: R 2 R 2 kuva on Im L = { L( v) v R 2 } = { (v 1, 0) R 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { (v 1, 0) R 2 v 1 R } = { v 1 (1, 0) v 1 R } = span ( (1, 0) ). LM2, Kesä 2012 96/160
Lineaarikuvauksen L kuva on siis vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L LM2, Kesä 2012 97/160
Lineaarikuvauksen kuva Esimerkki 36 Määritetään esimerkin 20 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva. Im L = { L( v) v R 2 } = { v 1 x + v 2 (v 1, v 2 ) R 2 } = { v 1 x + v 2 v 1, v 2 R } = P 1. LM2, Kesä 2012 98/160
Lineaarikuvauksen kuva Lause 37 Oletetaan, että L: V V on lineaarikuvaus. Tällöin kuva Im L on avaruuden V aliavaruus. Todistus. Tämä seuraa lauseesta 28, jonka mukaan lineaarikuvauksessa aliavaruuden kuva on aina aliavaruus. Nimittäin V on itsensä aliavaruus ja Im L = L[V ]. LM2, Kesä 2012 99/160
Surjektio Määritelmä Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on surjektio, jos jokaisella y Y on olemassa ainakin yksi sellainen x X, että f (x) = y. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on surjektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu ainakin yksi lähdön alkio. Lineaarikuvaus L: V V on surjektio, jos ja vain jos Im L = V. LM2, Kesä 2012 100/160
Kuvaus g ei ole surjektio: X g Y y g(x) kaikilla x X LM2, Kesä 2012 101/160
Surjektio Kuvaus h on surjektio: X h Y LM2, Kesä 2012 102/160
Esimerkki 38 Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkin 35 lineaarikuvauksen L: R 2 R 2, (x 1, x 2 ) (x 1, 0) kuva on vektorin ī = (1, 0) virittämä aliavaruus, joka on origon kautta kulkeva, vektorin ī suuntainen suora: L Im L Im L R 2, joten L ei ole surjektio. LM2, Kesä 2012 103/160
Lineaarikuvauksen surjektiivisuus Esimerkki 39 Esimerkin 36 lineaarikuvauksen L: R 2 P 1, (a, b) ax + b, kuva on Im L = P 1, joten L on surjektio. LM2, Kesä 2012 104/160