Mekaniikka, osa 2 Perttu Lantto Luentokalvot perustuvat kirjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R. A. Freedman (Pearson, 2012) 20. helmikuuta 2017
Osa II Luku 12: Nestemekaniikka
Nestemekaniikka Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys 12.1 Tiheys kappale määrittelee materiaalin tiheyden ja kappaleen keskimääräisen tiheyden. Mitä tartoitetaan fluidin paineella ja miten se mitataan? Miten lasketaan fluidin kohdistama nostovoima kappaleeseen, joka on upotettu siihen? kappale käsittelee laminaarisen ja turbulentin virtauksen eroja sekä miten virtauksen nopeus riippuu putken koosta. kappaleessa esitetään miten se kytkee paineen virtausvauhtiin eri kohdissa tietynlaisia virtauksia. kappale käsittelee fluidin sisäisen kitkan, viskositeetin, vaikutuksia virtaukseen.
Nestemekaniikka Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Fluidit ovat osa arkeamme: koostumme lähes kokonaan sellaisesta, nautimme niitä sekä hengittämällä että juomalla, minkä lisäksi liikumme niissä esim. uiden, kävellen ja lentäen. Fluidi on mikä tahansa aine, joka voi virrata eli sillä tarkoitetaan sekä nesteitä että kaasuja. Jatkossa käytämme nestettä fluidin synonyymina. Yleensä kaasu on helposti kokoonpuristuvaa ja neste lähes kokoonpuristumatonta mutta poikkeuksiakin on. Nestestatiikka (fluid statics) kuvaa tilanteita, joissa fluidi on levossa tasapainotilanteissa (equilibrium) eli perustuu 1. ja 3. Newton:in lakiin kuten muutkin tasapainotilanteet. Tärkeimpiä suureita ovat tiheys, paine ja noste. Nestedynamiikka (fluid dynamics) on huomattavasti monimutkaisempaa eräs mekaniikan haastellisimmista ja laajimmista aloista. Vaikkakin tutustumme siihen vain hyvin pinnallisesti, voimme onneksi käsitellä muutamia tärkeitä ilmiötä idealisoiduilla malleilla, jotka perustuvat Newton:in lakeihin ja energian säilymiseen. Hain pitää uida jatkuvasti jottei vajoaisi pohjaa mutta trooppisten kalojen ei tarvitse, miksi?
12.1 Tiheys Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Eräs tärkeä materiaalin ominaisuus on sen tiheys (density) (ρ, rho) eli massa (m) tilavuusyksikköä (V ) kohti: ρ = m V (12.1) Homogeenisellä eli tasaisesti jakautuneella materiaalilla (jää, metalli) on sama tiheys kaikkialla. Kahdella samasta materiaalista tehdyllä kappaleella on sama tiheys vaikka niillä olisi eri massa ja tilavuus, sillä m -suhde on sama (12.1). V SI-yksikkö on 1 kg/m 3 ja cgs-yksikkö 1 g/cm 3 = 1000 kg/m 3. Osmium (Os) (ρ = 22.61 10 3 kg/m 3 ) on tihein metalli Maassa. 12.1 Samantiheyksiset erikokoiset kappaleet
12.1 Tiheys Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Ominaispaino (kiintotiheys, tiheyssuhde, engl. specific gravity) on materiaalin tiheyden suhde veden tiheyteen ρ = 1000 kg/m 3 lämpötilassa T = 4 C. Se on laaduton luku esimerkiksi alumiinille 2.7. Huom! ominaispaino (specific gravity) on huono termi, sillä ei ole kyse painovoimasta: parempi termi on suhteellinen tiheys (relative density). Joidenkin materiaalien tiheys vaihtelee (esim. ilmakehä ja meret), joille yhtälö (12.1) antaa keskitiheyden (average density). Ylesestikin materiaalin tiheys riippuu ympäristön olosuhteista eli paineesta ja lämpötilasta. Tiheyden mittaaminen on tärkeä analyyttinen menetelmä. Esim. mittaamalla rikkihappo (H 2 SO 4 ) -elektrolyytin tiheyttä, voidaan selvittää akun lataustilanne (täysi: 1.30 10 3 kg/m 3, tyhjä: 1.15 10 3 kg/m 3 ), sillä H 2 SO 4 -konsentraatio pienenee sen muodostaessa lyijysulfaattia (PbSO 4 ) akun purkautumisprosessissa.
12.1 Tiheys Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Esimerkki 12.1: Mitä painaa huoneellinen ilmaa? Kun T = 20 C, lasketaan huoneessa (P L K = 4.0 m 5.0 m 3.0 m) olevan ilman massa ja paino. Lasketaan lisäksi veden paino samassa tilavuudessa. Tilavuus on V = (4.0 m)(5.0 m)(3.0 m) = 60 m 3, joten ilman massa: m air = ρ air V = (1.20 kg/m 3 )(60 m 3 ) = 72 kg ja paino: w air = m air g = (72 kg)(9.8 m/s 2 ) = 705.6 N 700 N eli noin aikuisen ihmisen painon verran. Vedelle vastaavat ovat massa: m water = ρ waterv = (1000 kg/m 3 )(60 m 3 ) = 6.0 10 4 kg ja paino: w water = m waterg = (6.0 10 4 kg)(9.8 m/s 2 ) = 5.88 10 5 N 5.9 10 5 N Eli vastaa noin 60 tonnin massan painoa, mitä tavallisen rakennuksen lattia ei kestäisi.
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Kun fluidi on levossa, se kohdistaa kosketuksissa olevaa pintaan (astian seinät, upotettu kappale) kohtisuoran voiman. Nesteen muodostavat molekyylit ovat liikkeessä vaikka neste itsessään on levossa. Molekyylien törmäilystä aiheutuu nesteen pintaan kohdistama voima. Kuvitteelliseen pinta-alaan (kuva 12.2) da nesteessä kohdistuu molemmilta puolilta nesteen aiheuttama samansuuruinen mutta vastakkaissuuntainen normaalivoima df. Jos näin ei olisi, pinta olisi kiihtyvässä liikkeessä eli neste ei olisi tasapainossa. Paine (pressure) p määritellään tietyssä pisteessä (kuva 12.3): 12.2 Tasapainossa olevan nesteen pintaan kohdistuvat voimat. p = df da (12.2) 12.3 Paine (skalaari) on kohtisuora Jos paine on sama kaikissa kohdissa äärellistä pintaa A ja voima (vektori) jaettuna pinta-alalla. F on nettonormaalivoima pinnan yhdellä puolella, on paine: p = F (12.3)(SI: 1 pascal = 1 Pa = 1 N/m 2 ) A (1 ilmakehä, atm = 101325 Pa)
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Esimerkki 12.2: Ilman voima Lasketaan Esimerkin 12.1 huoneessa olevan ilman alaspäin lattiaan kohdistama voima, kun ilmanpaine on 1.00 atm. Lattia on horisontaalisesti, joten alaspäin suuntautuvat voima on kohtisuorassa sitä vastaan eli F. Koska paine p = 1 atm = 1.013 10 5 N/m 2 on sama kaikkialla, voidaan käyttää yhtälöä (12.3). Nyt lattian pinta-ala on A = (4.0 m)(5.0 m) = 20.0 m 2, joten saadaan: F = pa = (1.013 10 5 N/m 2 )(20.0 m 2 ) = 2.026 10 6 N 2.0 10 6 N mikä on enemmän kuin Esimerkin 12.1 veden paino! Lattia ei kuitenkaan romahda F voimasta, sillä lattian alapuolella oleva samanpaineinen ilma aiheuttaa samansuuruisen mutta ylöspäin suuntautuvan voiman. Jos unohdetaan lattian paksuus, ilmanpaineen kohdistama nettovoima lattian pinta-alaan on nolla.
Paine, syvyys ja Pascalin laki 12.1 Tiheys Jos nesteen paino voidaan jättää huomiotta, sen paine on kaikkialla sen tilavuudessa sama. Tätä oletusta käytettiin bulkkijännityksen ja -muutoksen yhteydessä kappaleessa 11.4. Usein fluidin painoa ei voi jättää huomiotta. Esimerkiksi korkealla ilmanpaine on alempi kuin meren pinnan tasolla, joten lentokoneiden matkustamon ilmanpainetta joudutaan tasaamaan. Samoin sukellettaessa, korvissa tuntee nopean paineen kohoamisen syvemmälle mentäessä. Kun neste on levossa, voidaan paineen arvo missä tahansa pisteessä korkeudella y laskea. Oletetaan, että kuvan 12.4(a) ohuen tilavuuselementin alueella nesteen tiheys ρ on sama kaikkialla (uniform) ja että gravitaatiokiihtyvyys g on vakio. Tasapainossa jokainen tilavuuselementti on myös tasapainossa. Nyt kuvan 12.4(a) ohuen tilavuuselementin dv = A dy ala- ja yläpinnat ovat kohdissa y ja y + dy (valitaan referenssitaso kohtaan y = 0), sen massa on dm = ρ dv = ρa dy, ja paino dw = dm g = ρga dy. 12.4 Tasapainossa olevan nesteen tilavuuselementtiin kohdistuvat voimat.
Paine, syvyys ja Pascalin laki 12.1 Tiheys Tasapainossa y-suuntaisten voimien, sisältäen paineen ja painon kontribuutiot, pitää kumoutua. Kun positiivinen suunta on ylöspäin saadaan: fy = 0 pa (p + dp)a ρgady = 0 dpa = ρgady Kun jaetaan A:lla ja järjestellään: dp = ρg (12.4) dy Eli odotusten mukaisesti kun nesteessä noustaan ylöspäin, eli y kasvaa, paine p pienenee.
Paine, syvyys ja Pascalin laki 12.1 Tiheys Jos ρ ja g ovat vakioita, paine-ero eri korkeuksilla: p 2 p 1 = ρg(y 2 y 1 ) (12.5) Usein on käytännöllistä esittää paine-ero nesteen pinnan (p 0, nollasyvyys kohdassa y 2 ) ja syvyydellä h = y 2 y 1 olevan pisteen (paine p kohdassa y 1 ) välillä: p 0 p = ρg(y 2 y 1 ) = ρgh p = p 0 + ρgh (12.6) Eli vakiotiheyksisen (uniform density) nesteen paine on suurempi kuin p 0 kaikilla syvyyksillä (ρgh). Paine on samalla syvyydellä kaikissa kohdissa sama riippumatta astian muodosta (kuva 12.6). 12.6 Riippumatta astian muodosta nestepinta on samalla korkeudella. 12.5 Vakiotiheyksisen nesteen paineen vaihtelu.
Paine, syvyys ja Pascalin laki 12.1 Tiheys Yhtälöstä (12.6) nähdään, että paineen p 0 kasvattaminen nesteen pinnalla, esim. männän avulla, kasvattaa nesteen painetta p kaikilla syvyyksillä saman verran. Tämän huomasi Blaise Pascal vuonna 1653, joten Pascalin laki: Rajoitettuun nesteeseen kohdistettu paine leviää häviöttömästi kaikkialle nesteeseen ja nesteastian seinämiin. Kuvan (12.7) hydraulinosturi soveltaa Pascalin lakia. Siinä mäntä, jolla on pieni poikkipinta-ala A 1 kohdistaa voiman F 1 nesteeseen (esim. öljyyn). Paine p = F 1 /A 1 välittyy yhteysputken kautta suurempaan mäntään A 2. Koska paine on sama molemmissa sylintereissä: Toisin on kaasuille, joissa tiheys on sama vain hyvin pienillä korkeuseroilla (huone), joten kaavaa (12.6) ei voida käyttää suurille korkeuseroille (merenpinnan taso vrt. Mount Everest). p = F 1 A 1 = F 2 A 2 F 2 = A 2 A 1 F 1 (12.7) Eli pieni voima F 1 saadaan moninkertaiseksi voimaksi F 2 kertoimella, joka on pinta-alojen suhde. Koska nesteet ovat melkein kokoonpuristamattomia (incompressible), niiden tiheys on lähes paineesta riippumaton. 12.7 Hydraulinosturi on Pascalin lain sovellus.
Absoluuttinen paine ja ylipaine 12.1 Tiheys Yleensä ilmoitetaan paine-ero suhteessa ilmanpaineeseen, esim. rengaspaineen pitää olla suurempi kuin ulkoinen ilmanpaine. Eli 3 baarin (n. 300 kpa) rengaspaine tarkoittaa että rengaspaine on tämän verran ilmanpainetta suurempi eli paine on n. 400 kpa. Ilmanpaineen ylitystä kutsutaan ylipaineeksi (gauge pressure) ja kokonaispainetta absoluuttiseksi paineeksi (absolute pressure). Jos paine on alle ilmanpaineen, ylipaine eli mittapaine on negatiivinen. Esimerkki 12.3: Absoluuttisen paineen ja ylipaineen määrittäminen. Vesi on 12.0 m syvässä ylhäältä avoimessa tankissa. Mikä on absoluuttinen ja ylipaine tankin pohjalla? Nyt h = 12.0 m ja p 0 = 1 atm = 1.01 10 5 Pa Absoluuttinen paine: p = p 0 + ρgh = (1.01 10 5 Pa) + (1000 kg/m 3 )(9.80 m/s 2 )(12.0 m) = 2.19 10 5 Pa = 2.16 atm Ylipaine: p p 0 = (2.19 1.01) 10 5 Pa = 1.18 10 5 Pa = 1.17 atm Painemittari kalibroidaan todennäköisimmin ulkoisen ilmanpainen suhteen, jolloin sillä mitataan ylipainetta.
Painemittarit Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Yksinkertaisin painemittari eli manometri (manometer) on kuvassa 12.8a esitetty avoinputkinen painemittari, jossa putki sisältää nestettä esim. vettä tai elohopeaa. Vasen putki on kytketty säiliöön, missä paine p mitataan ja oikea putki on avoin, joten se kokee ilmanpaineen p 0 = p atm. Paine vasemman putken pohjalla on p + ρgy 1 ja oikean p atm + ρgy 2, joiden pitää olla samat: p + ρgy 1 = p atm + ρgy 2 p p atm = ρg(y 2 y 1 ) = ρgh (12.8) p on absoluuttinen paine, joten p p atm on yli- eli mittapaine, joka on suoraan verrannollinen korkeuseroon h = y 2 y 1. 12.8 Kaksi erityyppistä painemittaria.
Painemittarit Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Elohopeapainemittarissa (mercury barometer) on pitkä toisesta päästä suljettu putki, joka on täytetty elohopealla ja on käännetty ylösalaisin avoin pää elohopea-altaassa (kuva 12.8b). Putken tyhjässä osassa on vain elohopeakaasua, jonka paine on merkityksetön, joten paine on käytännössä p 0 = 0 eli yhtälö (12.6) antaa: p atm = p = 0 + ρg(y 2 y 1 ) = ρgh (12.9) Useat painemittarit sisältävät suljetun putken (kuva 12.9), joka muuttaa muotoaan paineen vaihdellessa. Muodonmuutos luetaan optisesti, sähköisesti tai mekaanisesti. Joten elohopeapatsaan korkeudesta voidaan lukea suoraan ilmanpaine p atm. Paineiden yksikkönä käytetään usein elohopeamillimetriä (mm Hg) sekä torri:a: 1 Torr = 1 mm Hg paine. Nämä yksiköt riippuvat kuitenkin elohopean tiheydestä sekä gravitaatiokiihtyvyyden g arvosta, jotka muuttuvat lämpötilan ja paikan mukaan. Pascal on siis parempi paineen yksikkö. 12.9 Bourdon painemittari.
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Esimerkki 12.4: Kahden nesteen tarina Manometriputki on täytetty osin vedellä. Veteen sekoittumaton öljy kaadetaan oikeaan putken haaraan kunnes vesi-öljy-rajapinta asettuu putken keskipisteeseen (kuva 12.10). Kummatkin putken päät ovat avoimia. Lasketaan nestepatsaiden korkeuksien h oil ja h water suhde. Koska nyt on kaksi eri nestettä, yhtälöä (12.6) ei voi käyttää koko systeemille vaan on kirjoitettava erilliset paine-syvyys yhtälöt kummallekin. Kummankin nestepatsaan paine pohjalla (niiden rajapinnalla) on sama p ja kummankin yläpinnalla on ilmanpaine p 0. 12.10 Ongelman luonnostelma. Saadaan yhtälöpari, josta voidaan ratkaista korkeuksien riippuvuus: p = p 0 + ρ water g h water p = p 0 + ρ oil g h oil ρ water g h water = ρ oil g h oil h oil = ρwater h water ρ oil Koska öljyn tiheys on pienempi (ρ oil 850 kg/m 3 ) kuin veden (ρ water 1000 kg/m 3 ), öljypatsaan korkeus on suurempi (h oil > h water). Mitä pienempitiheyksistä öljy on, sitä korkeampi patsas, jotta p olisi sama putken pohjalla.
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Fluidin aiheuttama noste (buoyancy) saa kappaleen tuntumaan kevyemmältä (pienempipainoiselta) ja jos kappale on harvempaa kuin neste, se kelluu (esim. ihminen vedessä, heliumpallo ilmassa). Arkhimedeen laki: Fluidi kohdistaa siihen kokonaan tai osittain uponneeseen kappaleeseen ylöspäin suuntautuneen voiman, joka vastaa kappaleen syrjäyttämää fluidimäärää. Kuvassa 12.11a esitetään mielivaltaisen muotoiseen neste-elementtiin kohdistuvia voimia, jotka ympäröivä neste aiheuttaa. Koska koko neste on tasapainossa, elementtiin kohdistuvien y-suuntaisten voimien summa täytyy olla nolla. Tämän seurauksena pintavoimien y-komponenttien summa täytyy olla sama kuin pinnan sisäpuolisen nesteen paino w fluid = mg. Tätä ylöspäin suuntautuvaa voimaa B kutsutaan nostevoimaksi (buoyant force) ja sen vaikutusviiva kulkee syrjäytetyn nesteen (ei välttämättä sama kuin kappaleen) painopisteen kautta. 12.11 Arkhimedeen laki.
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Upoksissa olevan ilmapallon ilmassa tai kalan vedessä täytyy olla samanpainoinen kuin syrjäyttämänsä fluidi eli niiden keskimääräinen tiheys pitää olla fluidin kanssa sama. Nestettä pienempitiheyksinen kappale kelluu osin uponneena nesteen pinnalla. Nostetta käytetään hyväksi hydrometrissä (uppovaaka, tiheysmittari, happomittari, engl. hydrometer), jolla mitataan nesteiden tiheyttä (kuva 12.12a). Siinä kalibroitu kelluke uppoaa nesteeseen, kunnes sen syrjäyttämän nesteen paino vastaa kellukkeen painoa. Uppovaaka kelluu sitä korkeammalla mitä tiheämmissä nesteessä se on, joten sen asteikko antaa suoraan nesteen tiheyden. Kuva 12.2b esittää yleistä tiheysmittaria, jota käytetään esim. happojen tai jäänestoaineiden tiheyden määritykseen. Siinä neste imaistaan putkeen, jossa mitataan sen tiheys. 12.12 Nesteen tiheyden mittaaminen.
Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Esimerkki 12.5: Noste. Kultainen patsas (m statue = 15.0 kg) nostetaan meren pohjasta (kuva 12.13a). Mikä on nostokaapelin (oletetaan massattomaksi) jännitys, kun patsas (a) on täysin veden alla levossa tai (b) täysin veden yläpuolelle levossa? Kummassakin tapauksessa kolme voimaa ovat tasapainossa: paino, kaapelin jännitys ja noste, joka vastaa kappaleen syrjäyttämän fluidin, (a) merivesi ja (b) ilma, painovoimaa. Patsaan tilavuus on V = m statue = ρ gold 15.0 kg 19.3 10 3 kg/m 3 = 7.77 10 4 m 3 (a) Tasapainossa nettovoima on nolla: fy = B sw + T sw + ( m statueg) = 0 T sw = m statueg B sw = (15.0 kg)(9.80 m/s 2 ) 7.84 N = 147 N 7.84 N = 139 N (b) Ilman noste on B air = ρ air V g = (1.2 kg/m 3 )(7.77 10 4 m 3 )(9.80 m/s 2 ) = 9.1 10 3 N Se on mitätön verrattuna patsaan painoon eli mittaustarkkuuden rajoissa T air = m statueg = 147 N Nosteeseen ja siten kaapelin jännitykseen vaikuttaa siis ainoastaan fluidin tiheys. (a) Noste on sama kuin tilavuutta vastaavan meriveden paino: B sw = w sw = m swg = ρ swv g = (1.03 10 3 kg/m 3 )(7.77 10 4 m 3 )(9.80 m/s 2 ) = 7.84 N 12.13 Nostokaapelin jännitys?
Pintajännitys Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) 12.1 Tiheys Vesimittari (kuva 12.14) pysyy veden pinnalla pintajännityksen (surface tension) vuoksi. Siinä nesteen pinnan molekyylit kokevat toisten molekyylien aiheuttaman nettovetovoiman, joka ei ole nolla kuten molekyyleille nesteen sisällä (kuva 12.15). Kuten venytetty kalvo, neste pyrkii siis minimoimaan pinta-alansa ja kannattelee kappaletta ilman että se uppoaa lainkaan siihen. Pintajännitys tekee myös vesipisaroista pallomaisia eli saattaa ne muotoon, jolla on pienin A/V -suhde. Sen vuoksi veden pintajännitystä pitää pienentää lämmittämällä ja saippuoimalla pesuominaisuuksien parantamiseksi. 12.14 Vesimittari kävelee veden pinnalla. Koska pienille pisaroille A V = 4πr2 4/3πr 3 = 3 on suuri, niin on myös r pinta-jännityskin. Suurille vesimäärille A 12.15 Nesteen pintamolekyylit -suhde on pienehkö ja pintajännitys on kokevat vetovoiman V bulkkiveteen päin, mikä merkityksetön paineen aiheuttamiin voimiin verrattuna. pienentää pinta-alaa ja aiheuttaa pinta-jännityksen.
Fluidien liike on yleisesti erittäin monimutkaista (esim. joen pyörteily): eräs fysiikan haasteellisimmista osioista. Eräitä tapauksia voidaan kuitenkin käsitellä idealisoiduilla yksinkertaisilla malleilla. Ideaalineste (ideal fluid) on kokoonpuristumatonta (incompressible) eli sen tiheys ei voi muuttua ja sillä ei ole sisäistä kitkaa eli viskositeettia (viscosity). Useimmissa tapauksissa nesteet ovat kokoonpuristumattomia ja kaasuakin voidaan käsitellä sellaisena, jos painemuutokset käsitellyssä tilavuudessa eivät ole kovin suuria. Nesteen sisäinen kitka aiheuttaa leikkausjännityksiä rajapinnoilla, kuten eri nestekerrosten liikkuessa toistensa suhteen esim. astian seinämien lähellä tai esteiden ympärillä. Joissain tapauksissa nämä jännitysvoimat voidaan jättää huomiotta gravitaation ja paine-erojen aiheuttamiin verrattuna. Yksittäisen hiukkasen kulkemaa reittiä liikkuvassa nesteessä kutsutaan trajektoriksi tai ratakäyräksi (path line, flow line). Jos virtauskuvio ei muutu ajan kuluessa, kyseessä on tasainen virtaus (steady flow). Tasaisessa virtauksessa jokainen tietyn pisteen kautta kulkeva neste-elementti seuraa samaa trajektoria, joten nesteen vauhtijakauma eri pisteissä säilyy vaikka yksittäisen hiukkasen vauhti muuttuu ja muuttaa suuntaa sen liikkuessa. Virtausviivan (streamline) tangentti on joka pisteessä nesteen vauhdin suuntainen. Kun virtauskuviot muuttuvat, virtausviivat eivät ole yhteneviä trajektorien kanssa. Tasaisessa virtauksessa, jota käsittelemme seuraavaksi, nämä ovat identtisiä.
Trajektorit, jotka kulkevat nesteessä tietyn kuvitteellisen pinta-alan A läpi (kuva 12.8) muodostavat ns. virtausputken (flow tube). Trajektorin määritelmän mukaisesti tasaisessa virtauksessa neste ei voi ylittää virtausputken sivuseinämiä eli nesteet eri virtausputkissa eivät sekoitu. Kuva 12.19 esittää laminaarista virtaa (laminar flow) erilaisten esteiden ympäri, jossa vierekkäiset nestekerrokset liikkuvat tasaisesti toistensa ohi ja virtaus on tasaista. 12.18 Virtausputken rajaavat virtausviivat, joiden muodostamaa seinämää neste ei voi läpäistä tasaisessa virtauksessa. Kun virtausnopeus on riittävän suuri tai rajapinnat aiheuttavat akillisiä nopeusmuutoksia, virtaus muuttuu epätasaiseksi ja kaoottiseksi eli turbulenttiseksi virraksi (turbulent flow), jossa ei ole säännöllistä muotoa ja se myös muutuu jatkuvasti (kuva 12.20). 12.19 Laminaarivirta erimuotoisten kappaleiden ympäri.
Jatkuvuusyhtälö Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) Virtaavan nesteen massa ei muutu, mistä seuraa kvantitatiivinen jatkuvuusyhtälö (continuity equation). Kun neste kulkee virtausputkessa kahden erikokoisen poikkipinta-alan A 1 ja A 2 läpi (kuva 12.21) vauhdeilla v 1 ja v 2, se ei läpäise putken seinää, koska nesteen nopeus on tangentiaalinen jokaisessa seinän pisteessä. Pienen aikaintervallin dt aikana neste liikkuu kohdassa A 1 matkan v 1 dt, joten pinnan läpi virtaa dv 1 = A 1 v 1 dt verran nestettä ja vastaavasti A 2 -kohdassa dv 2 = A 2 v 2 dt. Kokoonpuristumattomalle nesteelle tiheys ρ on sama kaikissa kohdissa. Tällöin pinta-alojen läpi virtaavat massat ovat dm 1 = ρa 1 v 1 dt ja dm 2 = ρa 2 v 2 dt. Koska tasaisessa virtauksessa nesteen kokonaismassa virtausputkessa on vakio eli dm 1 = dm 2, jolloin saadaan jatkuvuusyhtälö kokoonpuristumattomalle nesteelle (incompressible fluid): ρa 1 v 1 dt = ρa 2 v 2 dt A 1 v 1 = A 2 v 2 (12.10) 12.21 Jos neste on kokoonpuristumatonta, tulo Av ei muutu vaikka putken poikkipinta-ala muuttuu.
Jatkuvuusyhtälö Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) Tulo Av on siis tilavuuden virtausnopeus dv/dt eli vauhti, jolla tilavuus läpäisee tietyn putken osan: dv dt = Av (12.11) Massan virtausnopeus on siten nesteen tiheys ρ kertaa tilavuuden virtausnopeus dv/dt. Yhtälö (12.10) kertoo, että tilavuuden virtausnopeus on sama putken eri osissa. Kun putken poikkileikkaus pienenee, nesteen vauhti kasvaa ja päinvastoin. Kun putken läpimitta pienenee puoleen, nesteen vauhti v nelinkertaistuu. Jos neste ei ole kokoonpuristumatonta voidaan yhtälö (12.10) yleistää, kun tiedetään nesteen tiheydet ρ 1 ja ρ 2 : ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 (12.12) Jos neste on tiheämpää kohdassa 2 (ρ 2 > ρ 1 ), tilavuuden virtausnopeus on pienempi kuin pisteessä 1 (A 2 v 2 < A 1 v 1 ), koska massan virtausnopeus on sama kaikissa osissa putkea.
Jatkuvuusyhtälö Luku 12: Nestemekaniikka (Osa 1) Esimerkki 12.6: Kokoonpuristumattoman nesteen virtaus Kokoonpuristamaton öljy (ρ = 850 kg/m 3 ) pumpataan sylinterimäisen putken läpi nopeudella 9.5 l/s. (a) Mikä on öljyn virtausnopeus ja massan virtausnopeus putken ensimmäisessä osassa, jossa halkaisija on 8.0 cm? (b) Entä toisessa osassa, jossa halkaisija on 4.0 cm? Koska öljy on kokoonpuristumatonta, tilavuuden virtausnopeus on sama putken kaikissa osissa eli nestettä ei katoa eikä sitä tulee lisää missään osassa putkea. (a) Yhtälöstä (12.11) saadaan virtausnopeus: dv /dt v 1 = A 1 = 1.9 m/s = (9.5 l/s)(10 3 m 3 /l) π(4.0 10 2 m) 2 (a) Massan virtausnopeus on: ρ dv/dt = (850 kg/m 3 )(9.5 10 3 m 3 /s) = 8.1 kg/s. (b) Jatkuvuusyhtälö (12.10) antaa pisteessä 2: v 2 = A 1 v A 1 = π(4.0 10 2 m) 2 2 π(2.0 10 2 m) 2 (1.9 m/s) = 7.6 m/s = 4v 1. (b) Tilavuuden ja massan virtausnopeudet ovat samat kuin kohdassa (a). Putken toisen osan halkaisija on puolet ensimmäisen halkaisijasta, joten sen poikkipinta-ala on neljäsosa ensimmäisestä. Tällöin virtausnopeuden pitää olla nelinkertainen, kuten tulokset osoittavat.
Jatkuvuusyhtälön mukaan nesteen vauhti voi vaihdella eri kohdissa sen trajektoria. Lisäksi paine voi vaihdella johtuen sekä korkeudesta että virtausnopeudesta. Bernoullin yhtälö yhdistää paineen, vauhdin, ja korkeuden ideaaliselle, kokoonpuristumattomalle nesteelle. Sen avulla voidaan analysoida monia tärkeitä ilmiöitä, kuten pumppaamoita tai lentokoneen lentoa. Koska kokoonpuristumattoman nesteen vauhdin taytyy muuttua eri paksuisissa putken osissa, neste-elementillä on oltava kiihtyvyyttä. Horisontaalissa suunnassa tämän kiihtyvyyden täytyy aiheuttaa ympäröivä neste, joten paineen täytyy muuttua ja riippua putken läpimitasta muuten jokaiseen neste-elementtiin kohdistuva nettovoima olisi nolla. Koska nesteen vauhti kasvaa kapeammassa putkessa, sen täytyy mennä kohti pienemmän paineen aluetta. Tällöin nettovoima eteenpäin kiihdyttää sitä. Jos neste ei liiku pelkästään horisontaalisessa tasossa, myös nesteen korkeuden muutos lisää paine-eroa. 12.22 Bernoullin yhtälö seuraa työstä.
Bernoullin yhtälön johtaminen Jotta päädymme Bernoullin yhtälöön, sovelletaan kuvan 12.22 tilanteeseen työ-energia teoreemaa. Tarkastellaan neste-elementtiä, joka alussa on kahden poikkileikkauspisteen a ja c välillä. Pienen aikaintervallin dt aikana nesteen peräpää liikkuu a b matkan ds 1 = v 1 dt ja vastaavasti etupää c d matkan ds 2 = v 2 dt. Poikkipinta-alat kyseisissä pisteissä on A 1 ja A 2. Koska neste on kokoonpuristumatonta, jatkuvuusyhtälön (12.10) mukaan minkä tahansa poikkipinta-alan läpi ajassa dt liikkuva tilavuus dv on sama eli dv = A 1 ds 1 = A 2 ds 2. Oletetaan, että nesteellä ei ole viskositeettiä, jolloin gravitaation lisäksi ainoat neste-elementtiin työtä tekevät voimat aikavälillä dt ovat ympäröivän nesteen paineen aiheuttamia. Jos neste-elementin päihin kohdistuvat paineet ovat p 1 ja p 2, niiden voimat poikkipinta-aloihin ovat p 1 A 1 ja p 2 A 2. Tällöin ympäröivän nesteen tekemä nettotyö neste-elementtiin on: dw = p 1 A 1 ds 1 p 2 A 2 ds 2 = (p 1 p 2 )dv (12.13) 12.22 Bernoullin yhtälö seuraa työstä.
Bernoullin yhtälön johtaminen Koska edellä johdettu työ dw on muiden voimien kuin konservatiivisen painovoiman aihauttama, se vastaa neste-elementin mekaanisen kokonaisenergian eli kineettisen ja gravitaatiopotentiaalienergian summan muutosta. Mekaaninen energia ei muutu poikkileikkauspisteiden b ja c välillä. Nestettä liikkuu ρ A 1 ds 1 = ρ A 2 ds 2 = ρ dv verran aikavälillä dt. Sen kineettinen energia on alussa (a b): K 1 = 1 2 ρ(a 1ds 1 )v 2 1 = 1 2 ρ dv v2 1 ja lopussa (c d): K 2 = 1 2 ρ(a 2ds 2 )v 2 2 = 1 2 ρ dv v2 2, joten nettomuutos on: dk = K 2 K 1 = 1 2 ρ dv (v2 2 v2 1 ) (12.14) Vastaavasti alussa potentiaalienergia on U 1 = dm g y 1 = ρ dv g y 1 ja lopussa U 2 = dm g y 2 = ρ dv g y 2, joten nettomuutos on: du = U 2 U 1 = ρ dv g(y 2 y 1 ) (12.15) 12.22 Bernoullin yhtälö seuraa työstä.
Bernoullin yhtälön johtaminen Kun yhtälöt (12.13), (12.14) ja (12.15) yhdistetään, saadaan Bernoullin yhtälö: dw = dk + du (12.16) (p 1 p 2 ) dv = 1 2 ρ dv (v2 2 v2 1 ) + ρ dv g(y 2 y 1 ) p 1 p 2 = 1 2 ρ(v2 2 v 2 1) + ρg(y 2 y 1 ) Bernoullin yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa: p 1 + ρgy 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + ρgy 2 + 1 2 ρv2 2 (12.17) Eli missä tahansa pisteessä: Sen mukaan ulkopuolisen nesteen tekemä työ yksikkötilavuuteen virtauksen aikana vastaa nesteen kineettisen ja potentiaalienergian muutosta tätä yksikkötilavuutta kohti. Yhtälön jälkimmäisen muodon mukaan painemuutos johtuu toisaalta nopeuden (1. termi oikealla) mutta myös painovoiman muutoksesta eri korkeuksilla (2. termi). p + ρgy + 1 2 ρv2 = vakio (12.18) Jos neste on paikallaan, yhtälöstä (12.17) saadaan levossa olevan nesteen yhtälö (12.5). Bernoullin yhtälö pätee ainoastaan kokoonpuristumattomalle, tasaisesti virtaavalle ja viskositeetittomalle nesteelle!
Esimerkki 12.7: Veden paine kotona Veden absoluuttinen paine halkaisijaltaan 2.0 cm tuloputkessa on 4.0 10 5 Pa 4 atm ja virtausnopeus 1.5 m/s. Toisen kerroksen 5.0 m korkeammalla olevaan kylpyhuoneeseen menee halkaisijaltaan 1.0 cm vesiputki. Mikä on veden virtausnopeus, paine ja tilavuuden virtausnopeus kylpyhuoneessa? Koska vesi on käytännössä kokoonpuristumatonta, virtausnopeus toisen kerroksen putkessa saadaan jatkuvuusyhtälöstä (12.10): v 2 = A 1 v A 1 = π(1.0 10 2 m) 2 2 π(0.5 10 2 m) 2 (1.5 m/s) = 6.0 m/s Koska putken halkaisija on melko suuri, viskositeetti voidaan unohtaa ja voimme käyttää Bernoullin yhtälöä (12.16) paineen ratkaisemiseen: p 2 = p 1 1 2 ρ ( v2 2 1) v2 ρg(y2 y 1 ) = 4.0 10 5 Pa 1 2 (1000 kg/m3 )(36 2.25) m 2 /s 2 (1000 kg/m 3 )(9.8 m/s 2 )(5.0 m) = 4.0 10 5 Pa 0.17 10 5 Pa 0.49 10 5 Pa = 3.3 10 5 Pa 3.3 atm Ainemäärän eli tilavuuden virtausnopeus kylpyhuoneessa on: dv dt = A 2v 2 = π(0.50 10 2 m) 2 (6.0 m/s) = 4.7 10 4 m 3 /s = 0.47 l/s 12.23 Mikä on veden paine toisen kerroksen kylpyhuoneessa?
Esimerkki 12.8: Ulosvirtauksen vauhti Neste poistuu korkeudelle h täytetystä tankista (poikkipinta-ala: A 1 ) alakautta lyhyttä putkea pitkin (poikkipinta-ala: A 2 ). Johdetaan yhtälö nesteen ulosvirtausvauhdille ja tilavuuden virtausvauhdille. Käsitellään systeemiä virtausputkena, jossa liikkuva neste on kokoonpuristumatonta ja viskositeetin rooli on pieni, jolloin Bernoullin yhtälöä voidaan käyttää. Yläpinnalla pisteessa 1 paine on vakio p 0 ja alapinnalla pisteessä 2 p atm. Valitaan y 1 = h ja y 2 = 0 ja koska A 2 A 1 nesteen yläpinta tippuu hyvin hitaasti eli käytännössä v 1 = 0. Ratkaistaan v 2 yhtälöstä (12.17): p 0 + 1 2 ρv2 1 + ρgh = patm + ) 1 2 ρv2 2 + ρg(0) + 2gh ( v2 2 = v2 1 + 2 p0 p atm ρ Kun v 1 = 0, saadaan virtausvauhdiksi: v 2 = ) + 2gh ( 2 p0 p atm ρ Tilavuuden virtausvauhdiksi saadaan: Vuotovauhti (speed of efflux) riippuu paine-erosta p 0 p atm ja nestekorkeudesta h. Jos tankin yläosa on ilmastoitu, paine-eroa ei ole ja vuotovauhti on v 2 = 2gh. mikä on vapaasti putoavan kappaleen vauhti (Torricellin teoreema) ja dv dt = A 2 2gh. 12.24 Ulosvirtausnopeuden ( ) laskeminen säiliön alaosasta dv dt = v 2A 2 = A 2 2 p0 p atm + 2gh poistuvalle nesteelle. ρ
Esimerkki 12.9: Venturimittari Johdetaan yhtälö virtausnopeudelle v 1 Venturimittarissa (Venturi meter), joka riippuu pinta-aloista A 1 ja A 2 sekä nesteen korkeuserosta h kahden vertikaalisen putken välillä. Virtaus on tasaista ja nesteen oletetaan olevan kokoonpuristumatonta sekä lähes viskoositonta (eli ei sisäistä kitkaa), jolloin voidaan käyttää Bernoullin yhtälöä. Koska pisteet ovat samassa tasossa (y 1 = y 2 ), gravitaatiopotentiaalitermit häviävat yhtälöstä (12.17): p 1 + 1 2 ρv2 1 = p 2 + 1 2 ρv2 2 Yhdistämällä tähän jatkuvuusyhtälö: v 2 = A 1 v A 1, saadaan: 2 [ ( ) ] 2 p 1 p 2 = 1 2 ρv2 A1 1 A 1 2 Yhtälön (12.6) mukaan paine-ero p 1 p 2 = ρgh, jolloin saadaan: v 1 = 2gh (A 1 /A 2 ) 2 1 Koska A 1 > A 2, on v 1 < v 2 ja p 1 > p 2. Ennen nielua paine-ero aiheuttaa nettovoiman oikealle, joka kiihdyttää nestettä nielun kohdalla. Nielun jälkeen nettovoima kohdistuu vasemmalle ja hidastaa virtausta. 12.25 Venturimittari virtauksen vauhdin mittaamiseen.
Esimerkki 12.10: Lentokoneen siiven noste VIrtausviivat kerääntyvät lentokoneen siiven yläpuolella (Kuva 12.26a), mikä tarkoittaa suurempaa virtausnopeutta ja pienempää painetta kuin siiven alapuolella. Siten ilman siiven alapintaan kohdistama ylöspäin suuntautuva voima on yläpinnalla siipeen kohdistuvaa alaspäin suuntautuvaa voimaa pienempi, joten nettovoima on noste ylöspäin. Paineen lasku yläpinnalla on tärkein nosteen kontribuutio ja siis merkittävämpi kuin siiven alapintaan osuvan ilman impulssi. Ilman liikemäärä on siiven jälkeen ( p f ) alaviistoon verrattuna horisontaaliseen alkuliikemäärään ( p i ). Siipi aiheuttaa alaspäin suuntautuvan voiman, joka muuttaa liikemäärän vertikaalista komponenttia. Voiman vastavoima kohdistuu ylöspäin siipeen. Kuten tietokonesimulaatio kuvassa 12.26b osoittaa, ilma liikkuu nopeammin, mikä edelleen lisää nostetta verrattuna väittämään, että ilma vain liikkuisi 12.26 Virtaus lentokoneen siiven ohi. pidemmän matkan.
Viskositeetti Viskositeetti (viscosity) on fluidin sisäistä kitkaa eli voimia, jotka vastustavat nesteen osien liikkumista toistensa suhteen. Viskositeetin suuruudella on merkitystä monissa käytännön ilmiöissä, kuten esim. veden ja veren virtauksessa sekä moottorin voitelussa. Nesteillä, jotka virtaavat helposti (esim. vesi), on alhaisempi viskositeetti kuin paksuilla nesteillä kuten esim. öljyllä. Viskositeetti on samallakin aineella hyvin lämpötilasta riippuva (kuva 12.27): kaasuilla se kasvaa ja nesteillä pienenee, kun lämpötila kasvaa. Koska moottorien voiteluöljyjen pitää toimia niin kuumissa kuin kylmissäkin olosuhteissa, niiden viskositeetti pyritään tekemään mahdollisimman vähän lämpötilariippuvaiseksi. Normaalilla viskoosilla nesteellä on tapana tarrautua kosketuksissa kiinteään seinämään, jolloin pinnan lähelle muodostuu ns. rajakerros (boundary layer), jossa neste on lähes levossa pintaan nähden (mahdollistaa lian jäämisen suihkutuksen jälkeen pinnalle, esim. auton pesussa). 12.27 Laava on esimerkki viskoosista nesteestä. Sen viskositeetti pienenee, kun lämpötila kasvaa.
Viskositeetti Viskoosittomalle nesteelle voidaan käyttää Bernoullin yhtälöä (12.17). Sen mukaan sylinterimäiselle putkelle, jonka halkaisija on vakio ja päät ovat samalla korkeudella (y 1 = y 2 ), virtausnopeus säilyy (v 1 = v 2 ) ja paine on putken päissä sama (p 1 = p 2 ). Kun nesteen viskositeetti huomioidaan, näin ei enää ole, vaan laminaarisen virtauksen virtausvauhtiprofiili on kuvan 12.28 mukainen. Eli viskositeetin vuoksi nesteen vauhti on lähellä seinämiä nolla ja suurimmillaan putken keskellä eli tilanne muistuttaa sisäkkäisten putkien liukumista toistensa suhteen niin että keskimmäinen liikkuu nopeimmin uloimman pysyessä paikoillaan. Viskoosit voimat vastustavat putkien liukumista, joten virtauksen ylläpitämiseksi paine pitää olla putken alkupäässä suurempi kuin loppupäässä. Tietyn tilavuusvirtausnopeuden ylläpitämiseksi L-pituisessa ja R-säteisessä putkessa paine-eron pitää olla verrannollinen L/R 4 :een. Jos säde pienenee puoleen paineen pitää olla 2 4 = 16-kertainen. Toisaalta jo verisuonen 10% ahtautuminen (vrt. ateroskleroosi) edellyyttää verenpaineen 52% lisäystä saman virtauksen saamiseksi [(1/0.90) 4 = 1.52]. 12.28 Viskoosin nesteen virtausvauhtiprofiili sylinteriputkessa.
Turbulenssi Kun nesteen virtausvauhti ylittää tietyn kriittisen rajan, virtaus ei ole enää laminaarista. Sen sijaan virtauskuvio on hyvin epäsäännöllinen ja monimutkainen, minkä lisäksi se muuttuu jatkuvasti. Tällaista kaoottista virtausta kutsutaan turbulenssiksi (turbulence). Se ei ole enää tasainen, joten sitä ei voi kuvata Bernoullin yhtälöllä. Myös nesteen viskositeetista riippuu, onko nesteen virtaus laminaarista vai turbulenttista. Mitä suurempi viskositeetti, sitä suurempi taipumus nesteellä on virrata laminaarisesti: pieni määrä viskositeettia tarvitaan laminaariseen virtaukseen. Tietyllä viskositeetilla virtausnopeus määrittelee turbulenssin alkamisen: kun virtaus saavuttaa kriittisen nopeuden, neste muuttuu äkisti laminaarisesta turbulenttiseksi (kuva 12.29b). 12.29 Veden (a) laminaarinen hidas ja (b) turbulenttinen nopea virtaus. Tällöin viskositeetin hitaalla nopeudella vaimentamat turbulenttisuutta aiheuttavat tekijät, kuten virtausputken epäsäännöllisyydet ja nesteen tiheyserot, kasvavat ja näin ollen hävittävät vakaan laminaarisen virtauskuvion (kuva 12.29a).
Turbulenssi Pyörimättömän pallon takapuolelle syntyy turbulenssia n. 35 m/s nopeuden yläpuolella. Lähellä pintaa oleva ilmakerros pyörii kierrepallon mukana ja vetää turbulenttista virtausta kierteen suuntaan. Turbulenssin puolella on suurempi ilmanpaine ja siten voima, joka työntää palloa vastakkaiseen suuntaan.
(12.2) pressure applied tofluid an enclosed fluid isoftrans(pressure inof aamaterial (12.5)p = da uid of uniform den- states that the density to the density water.12.4 (See df on Nesteen virtaus Equal normal forces exerted undiminished to every portion of(osa the fluid. Luku 12: Nestemekaniikka 1) da Example 12.1.) p2 5 p0 both sidesdfby surrounding fluid of uniform density) proportional to the mitted 12.5 Bernoullin yhta lo Absolute pressure is the total pressure in a fluid; gauge Luku 12:Pressure Nestemekaniikka (Osa is normal force per unit 2) area. Pascal s law 2 12.6 Viskositeetti ja turbulenssi difference between absolute pressurefluid and is transstates that pressure applied to an enclosed 1 and y2. If the pres-pressure is the y 2 y 5 h Equal normal forces exerted on 2 1 undiminished to of every portionisofthe thepasfluid. atmospheric mitted pressure. The SI unit pressure 2rghis the total pressure in a fluid; gauge sible liquid at rest is cal (Pa):p1 = +pressure p1 5 p y 2 both sides by surrounding fluid PaAbsolute =p01 N>m. (See Example 12.2.) pressure is the difference between absolute pressure and 1 y1 greater by an (pressure inpressure. a fluid atmospheric The SI unit of pressure is the(12.6) pas2 cal (Pa): Paarea = The 1 da N>m. (See Example nd 12.4.) Pressures a fluid at1rest: pressure difference of inuniform density) (12.1) Small within fluid at12.2.) rest p2 - p1 = - rg1y2 - y12 Fluid, density r!! 12. luvun yhteenveto (pressure in a fluid (12.5) between points 1 and 2 in a static fluid of uniform dennoste, Arkhimedeen laki: of uniform density) sity r (an incompressible fluid) is proportional to the p2 - p1 = - rg1y2 - y12 Pressures in a fluid at rest: The pressure difference (12.2)between difference the elevations and If the presy. y 1 2 (pressure in a fluid (12.5) between points 1 and 2 in a static fluid of uniform dentiheys ja paine:at the surface A of an incompressible rgh density) dfat!rest is to thep = p0 of+ uniform sity r (an incompressible fluid)liquid is proportional states that when a sure p0, then the pressure adf depth h iselevations greater (12.6) (pressure in a fluid differenceatbetween and y2. If the presy1 an da by m! the per unit volume. (12.1) = Small area da within fluid at rest id exerts an rupward amount rgh. sure (See 12.4.) atexamples the surface12.3 of anand incompressible liquid at restofisuniform V p = density) p0 + rgh has volume V, its! MMARY MARY MARY df! vity is the ratio of p m = itofvolume. da water. (See r = the weight of the V m ume V, its 12.5.) Example nit volume. ea. Pascal s law r = df! p0, then the pressure at a depth h is greater by an (12.2) amount rgh. (See Examples and 12.4.) (12.1) Small area da 12.3 within fluid at rest df! (pressure in a fluid of uniform density) df (12.6)Fluid p2 5 p0 2 Fluid, density r y2 2 y1 5 h p1 5 p p2 5 p0y 2 2 1 y1 y2 2 y1 5 h p1 5 p y2 element1 y1 replaced with solid body of the same size Fluid element replaced with df'shape and Fluid element B solid body of ' df! Equal normal forces exerted da that Buoyancy: Archimedes s principle states when aon (12.1) Small area da within fluid at rest B the ratio of p = V both sidesthebyfluid surrounding fluid body is immersed in a fluid, exerts an upward (12.2) lume V, its sed fluid is transbuoyancy: Archimedes s principle states that when a wbody cg da! er. (See df buoyant force on the body equal to the weight of the df Equal normal forces exerted on! ofthe the ratio fluid. of p = body(12.2) is immersed in a fluid, the fluid exerts an upward df da12.5.) both sides surrounding fluid fluid that the body displaces. (Seeby!Example da ter. in a (See fluid; gauge buoyant force on the body equal to thedfweight of the! scal s law and cg with df! thereplaced same size wdf daexample 12.5.) olute pressure ' body fluid that the body displaces. (See B body of id is transandsolid shape ressure is the passcal s law the same size wbody cg Equal normal forces exerted on Levossa olevan nesteen paineet: fluid. le 12.2.) uid is transand shape both sides by surrounding fluid Equal normal forces exerted on uid; fluid.gauge Nesteen virtaus: both sides by surrounding fluid ressure and uid;difference gauge p2 - p1 = - rg1y2 - y12 ure Fluid, density r is uniform the pasressure andden- -(pressure in a fluid (12.5)fluid is incompressible and has no of v2 Fluid flow: An ideal A1 v1 = A2 v2 = - torg1y yuniform 2 no 2 1 v2.) d p 5 p pressible and has A v = A v 2 0 of density) portional the e is the pas1 Fluid 1internal 2An 2ideal c v2 p2a2 Fluid, density r the pathand flow:friction). fluid is incompressible no A1 v1equation, = A2 v2 viscosity (no A flow line is of has (continuity (12.10) 2 d p2a2 d p2a2 e in fluid (12.5) nd presy2. Ifathe c 2.) yfriction). A2 dv c viscosity (no internal (continuity equation, (12.10) 2 2 y1 5 h A flow line is the path of a streamline is pa 5curve tangent at each (12.10) ow line ofa fluid particle; incompressible fluid) (continuity equation, e liquid at restis is the p =path p0 + rgh p y A2 dv 1p2 5 p0 2 a fluid particle; aatstreamline is a curve tangent at each incompressible fluid) rm density) ds dv 2 point to the velocity vector that point. A flow tube is a 1 y1 A2 eater by an p2 peach - rg1y erence (12.6) (pressure a fluid2 - y12 1 = in ds2 rve tangent at incompressible point to the velocity fluid) vector at 2that point. flow tube is a Fluid, r A 12.4.) tube-bounded at (12.5) its sides by flow lines. Indensity flow, dv (pressure fluid form denp2 of - uniform p1 =in a-density) rg1y y12 tube ference hlaminar bounded at itsysides by flow lines. In laminar flow, = Av 2 2 2 y 1 5 dv ds 2 Fluid, density r turbup2 other. 5 p0 In layers of fluidlayers slide smoothly past each point. A flow tube is a = Av of uniform density) al to the dt Flow (pressure in a fluid (12.5) iform denof fluid slide smoothly past each other. In turbu+ rgh p1 5 p y 22 dt Flow lent flow, there greatthere disorder and apconstantly changf the presv1 bv (12.11) (volume(volume flow rate) 2 5 0 h a constantly changlentisflow, is great density) al to the y1pand 5 es that a of uniform 1 b (12.11) flow rate) 1disorder nes. In laminar flow, yy12 2 awhen fluid y2 y 2 y a adv flowdv pattern. de atin rest is p = p0 + rgh ing(12.6) p1 5 p 2 ing flow pattern. xerts anpresupward If the dv y2 2Fluid y1 5element h 2 = Av A 1 1 yincompressible of mass in an incompressible fluid is fluid is p1a1p1a1 A1 yrm an Conservation of mass (12.6) in a fluid Conservation each other. 1 dweight at density) restof isthe (pressure p In = pturbup1 in 5 an preplaced ywith 2 0 + rgh dt 1 1 df' 2 1 12 2 + rgyflow 2 mple 12.5.) ds p + rgy + rv = p + rv ds p + rgy + rv = p + rgy + rv expressed by the continuity equation, which relates the 1 1 expressed equation, 1 22 2 B of uniformindensity) 1solid 11 12 2 2 2 1 1 2 2 y1 body ofwhich relates the (12.6)by the continuity (pressure a fluid y1 y1 dy ana constantly changsameasize wbody v1 b A2 speeds and for sections twothecross sections v1two v2 cg flow speeds for cross and AA vflow v2flow (12.11) (volume rate) 1 and 2 1 and of uniform density) and shape 1 (Bernoulli s equation) (12.17) (Bernoulli s equation) (12.17) in The a flow tube. The theflow volume flow y2 Avproduct in a flow tube. product equals Av theequals volume a dv dv>dt, rate,rate the rate at which volumea crosses when a rate, dv>dt, the at which volume crosses sectiona section A of theexample tube. (See Example 12.6.) ompressible fluid is of the tube. (See p1a1 1 nwhen upward 12.6.) a th Interna 1 1 Fluid element Bernoulli s equation relates the pressure p, flow speed 2 2 t ofupward the Perttu perustuvat Mekaniikka, osa 2 University Bernoulli s p, flow an v= sible and has nolantto A1 v1 = Athe 2 Fluid ds1 physics, 13 element p Luentokalvot + equation rgy relates + the rvpressure preplaced +speed rgy + rvkirjaan: 2 v2 on, which relates with df